função analítica - variáveis complexas

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VARIÁVEIS
COMPLEXAS
Cristiane da Silva
 
Funções analíticas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir funções analíticas.
  Reconhecer as propriedades das funções analíticas.
  Identificar a importância das funções analíticas no estudo das variáveis 
complexas.
Introdução
As funções analíticas são uma parte da matemática com grande relevância 
em razão das suas aplicações em áreas como cartografia, hidrodinâmica, 
aerodinâmica, elasticidade, eletromagnetismo, etc.
Neste capítulo, você conhecerá as funções analíticas, aprenderá 
a encontrar soluções para funções complexas e conhecerá teoremas 
importantes. 
Definição
Dizemos que uma função f de uma variável complexa z é analítica em um 
conjunto aberto S se f tiver uma derivada em cada ponto desse conjunto. 
Além disso, a função será analítica em um ponto z0 se for analítica em alguma 
vizinhança de z0. Cabe destacar que, na literatura, também são utilizados os 
termos regular ou holomorfa em vez de analítica. No caso de uma função 
que é analítica em um conjunto S que não é aberto, entende-se que essa função 
é analítica em algum conjunto aberto que contém S. Chamamos de inteira 
uma função analítica em cada ponto de todo o plano complexo (BROWN; 
CHURCHILL, 2015).
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A função é analítica em cada ponto não nulo do plano finito, pois a sua 
derivada existe em um tal ponto. A função não é analítica 
em ponto algum, pois a sua derivada existe apenas em z = 0, e não em todos os pontos 
de alguma vizinhança. Como a derivada de um polinômio existe em toda parte, segue 
que qualquer polinômio é uma função inteira.
Fonte: Brown e Churchill (2015, p. 72).
Outro ponto importante é que uma condição necessária para uma função 
ser analítica em um domínio D é a continuidade dessa função em cada ponto 
de D. Além disso, a validade das equações de Cauchy-Riemann também é 
necessária, embora não suficiente. Outras condições suficientes vêm das 
regras de derivação. As derivadas da soma e do produto das duas funções 
existem em cada ponto em que cada uma dessas funções tiver derivada 
(BROWN; CHURCHILL, 2015).
Brown e Churchill (2015, p. 74) destacam ainda que, se uma função não 
for analítica em um ponto z0, mas for analítica em cada ponto de alguma 
vizinhança de z0, z0 é uma singularidade, ou ponto singular de f. O ponto z = 
0 é uma singularidade da função . Por outro lado, a função 
não tem singularidades, por não ser analítica em ponto algum.
Funções analítica real versus função 
analítica complexa
Uma função real f = f(x) pode ter a primeira derivada contínua, mas não possuir 
a segunda derivada. Já no sistema complexo, isso não ocorre, pois, se f = f(z), 
tem-se a primeira derivada e também todas as outras derivadas. Vejamos um 
exemplo em relação à analiticidade.
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Podemos exibir uma função real f = f (x) que não é analítica, mas cuja equivalente 
complexa f = f (z) é analítica.
Por exemplo, a função real definida por f(0) = 0 e se x ≠ 0 não é 
analítica, mas a função complexa definida por f (0) = 0 e se z ≠ 0 é 
analítica em todo o plano complexo.
Fonte: Toffoli (2006).
Propriedades
Brown e Churchill (2015) apontam algumas propriedades das funções analíti-
cas. Os autores explicam que, se duas funções são analíticas em um domínio 
D, então a soma e o produto dessas funções são funções analíticas em D. A 
composição de duas funções analíticas é analítica, o que pode ser visto a partir 
da regra da cadeia da derivada de uma função composta. Outra propriedade 
útil das funções analíticas é que, se em cada ponto de um domínio 
D, então f (z) é constante em D.
Funções harmônicas
Brown e Churchill (2015, p. 77, grifo nosso) defi nem funções harmônicas da 
seguinte forma:
Dizemos que uma função real H de duas variáveis reais x e y é harmônica 
em um dado domínio do plano xy se as derivadas parciais de segunda ordem 
de H existirem em forem contínuas em cada ponto do domínio e satisfize-
rem a equação diferencial parcial Hxx (x,y) + Hyy (x,y) = 0, conhecida como 
equação de Laplace.
Essas funções possuem aplicações matemáticas importantes. Por exemplo, 
as temperaturas T(x,y) de placas finas do plano xy são, muitas vezes, harmô-
nicas. A função V(x,y), que representa um potencial eletrostático que varia 
somente com x e y no interior de alguma região do espaço tridimensional livre 
de cargas, também é harmônica (BROWN; CHURCHILL, 2015). Vejamos 
um exemplo de função harmônica.
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É fácil verificar que a função T(x,y) = e–y sen x é harmônica em qualquer domínio do 
plano xy e, em particular, na faixa vertical semi-infinita 0 < x < π,y> 0. Os valores dessa 
função nas arestas da faixa estão indicados na figura abaixo.
Essa função satisfaz todas as condições. Que descrevem as temperaturas estacionárias 
T(x,y) de uma placa homogênea fina do plano xy, sem fontes ou poços de calor e que 
esteja isolada, exceto pelas condições indicadas ao longo das arestas.
Fonte: Brown e Churchill (2015, p. 77-78).
Brown e Churchill (2015, p. 78) destacam um teorema que é fonte de funções 
harmônicas é o seguinte: “Se uma função f(z) = u(x,y) + iv(x,y) é analítica em 
um domínio D, então suas funções componentes u e v são harmônicas em D”.
Bourchtein e Bourchtein (2014) definem uma função harmônica na região 
D como aquela que satisfaz à equação de Laplace.
Princípio da reflexão
Essa é uma propriedade de algumas funções analíticas. Por exemplo, as fun-
ções z + 1 e z2 têm essa propriedade em todo o plano complexo, mas isso não 
acontece com as funções z + i e iz2. O teorema, conhecido como princípio da 
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refl exão, fornece uma maneira de detectar quando vale . Vejamos 
o teorema e a sua demonstração (BROWN; CHURCHILL, 2015, p. 83-84).
Teorema
Suponha que uma função f seja analítica em algum domínio D que contém 
um segmento do eixo x e cuja metade inferior é a refl exão da metade superior 
em relação a esse eixo. Então:
em que cada ponto z do domínio se, e somente se, f(x) é real em cada ponto 
x do segmento.
Começamos a demonstração supondo que f(x) seja real em cada ponto x 
do segmento. Para obter a equação (1) mostramos que a função:
é analítica em D. Para estabelecer a analiticidade de F(z), escrevemos:
e observamos que:
Segue, da equação (2), que os componentes de F(z) e f(z) estão relacionados 
pelas equações:
 e 
em que t = –y. Como f(x + it) é uma função analítica de x + it, as derivadas 
parciais das funções u(x,t) e v(x,t) são contínuas em D e satisfazem as equações 
de Cauchy-Riemann.
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Além disso, pelas equações (4), temos:
E segue dessas equações e da primeira das equações de (5) que Ux = Vy. 
Analogamente,
E a segunda das equações (5) nos diz que Uy = –Vx. Já que verificamos que 
as derivadas de primeira ordem de U(x,y) e v(x,y) satisfazem as equações de 
Cauchy-Riemann e como essas derivadas parciais são contínuas, estabelecemos 
que a função F(z) é analítica em D. Além disso, como f(x) é real no segmento 
do eixo real contido em D, sabemos que v(x,0) = 0 nesse segmento; em vista 
das equações (4), isso significa que
Assim:
em cada ponto do segmento. Disso segue que a equação (6) é válida em 
D, pois uma função analítica defi nida em um domínio D é determinada de 
maneira única por seus valores em qualquer segmento de reta contido em D. 
Pela defi nição (2) da função F(z) segue, então, que
O que corresponde à equação (1).
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Para provar a recíproca do teorema, vamos supor que valha a equação (1). 
Observe que, pela equação (3), a forma (7) da equação (1) pode ser reescrita 
como:
Em particular,se (x,0) for um ponto do segmento do eixo real que está 
contigo em D, então:
E, igualando as partes imaginárias, vemos que v(x,0) = 0. Logo, f(x) é real 
no segmento do eixo real contido em D.
Funções analíticas e variáveis complexas 
A teoria das funções analíticas apresenta grandes riquezas em termos de 
propriedades e formalidade. Além disso, tem fundamental importância em 
aplicações à física e à técnica.
Trataremos aqui da representação de funções analíticas por séries.
Convergência
Brown e Churchill (2015) explicam que uma sequência infi nita z1, z2, ..., zn, ... 
de números complexos tem um limite z se, dado qualquer número positivo ε, 
existir algum inteiro positivo n0 tal que:
Ou seja, com valores suficientemente grandes de n, os pontos zn estão em 
qualquer vizinhança dada de z, como mostra a Figura 1.
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Figura 1. Convergência.
Fonte: Adaptada de Brown e Churchill (2015, p. 180).
Podemos escolher ε tão pequeno quanto quisermos, assim os pontos zn 
estarão arbitrariamente próximos de z à medida que os seus índices crescem. 
O valor de n0 que é necessário depende, em geral, do valor de ε. Uma sequên-
cia tem, no máximo, um limite. Diz-se que a sequência converge a z quando 
o limite z existir (BROWN; CHURCHILL, 2015). Podemos representar da 
seguinte forma:
Se uma sequência não tiver limite, ela diverge.
Brown e Churchill (2015, p. 179-180) destacam o seguinte teorema: “Su-
ponha que e . Então, se, e só 
se, e ”.
Vejamos dois exemplos — um de uma sequência que converge; outro, de 
uma que diverge.
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Exemplos
Exemplo 1
A sequência:
converge a –1, pois:
Também podemos usar a definição (1) para obter esse resultado. Mais precisamente:
É necessário ser cuidadoso na adaptação do teorema a coordenadas polares.
Exemplo 2
Considerando a mesma sequência do exemplo anterior: 
Usando coordenadas polares:
em que Argzn denota os argumentos principais . Vemos que:
mas,
É evidente que não existe o limite de se n tender ao infinito.
Fonte: Brown e Churchill (2015, p. 181).
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1. No que diz respeito à 
definição de função analítica 
é correto afirmar que:
a) Uma função f de uma variável 
complexa z é analítica em 
um conjunto aberto S se f 
tiver uma derivada em cada 
ponto desse conjunto.
b) A função é analítica em 
um ponto z0 apenas se não 
for analítica em alguma 
vizinhança de z0.
c) Se f for analítica em um 
ponto z0, então f não será 
analítica em cada ponto de 
alguma vizinhança de z0.
d) Uma função só será analítica 
em um conjunto S aberto.
e) Uma função não é 
analítica em um conjunto 
aberto que contém S.
2. Para uma função ser 
analítica, é necessário:
a) e suficiente a validade das 
equações de Cauchy-Riemann.
b) que, considerando um domínio 
D, haja a descontinuidade dessa 
função em cada ponto de D.
c) lembrar das condições 
suficientes que vêm das 
regras de antiderivação.
d) lembrar das condições que 
vêm das regras de radiciação.
e) a validade das equações de 
Cauchy-Riemann, embora isso, 
por si só, não seja suficiente.
3. No que diz respeito às funções 
analítica real e analítica complexa, 
analise a afirmativa correta. 
a) Uma função real f = f(x) precisa 
necessariamente ter a primeira 
derivada contínua e também 
possuir a segunda derivada.
b) No sistema complexo f = f(z), 
tem-se apenas a primeira derivada.
c) A função complexa definida 
por f(0) = 0 e f(z) = e−1/z se 
z ≠ 0 é analítica em todo 
o plano complexo.
d) Uma função real f = f(x) 
que não é analítica não terá 
equivalente complexa analítica.
e) A função complexa definida 
por f(0) = 0 e f(z) = e−1/z se 
z ≠ 0 não é analítica em 
todo o plano complexo.
4. Considerando a função 
exponencial ex (com x real), as 
propriedades básicas são: 
Se desejarmos uma função 
exponencial complexa ez com 
as mesmas propriedades, 
escrevemos z = x + iy. Então, 
é correto afirmar que:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
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BOURCHTEIN, L.; BOURCHTEIN, A. Teoria das funções de variável complexa. Rio de 
Janeiro: LTC, 2014.
BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e aplicações. 9. ed. Porto Alegre: 
McGraw-Hill, 2015.
TOFFOLI, S. F. L. Variáveis complexas: derivadas de funções complexas. 2006. Disponível 
em: <http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/vc/vc06.htm>. Acesso em: 
15 mar. 2018.
5. As funções analíticas podem ser 
representadas por séries. Brown e 
Churchill (2015) explicam que uma 
sequência infinita z1, z2, ..., zn, ... de 
números complexos tem um limite 
z se, dado qualquer número positivo 
Ɛ, existir algum inteiro positivo n0 
tal que |zn – z| < Ɛ se n > n0. Nesse 
contexto, é correto afirmar que:
a) uma sequência pode 
ter vários limites.
b) uma sequência diverge de z 
quando o limite z existir.
c) uma sequência converge a 
z quando não tiver limite.
d) uma sequência pode ser 
convergente e divergente 
ao mesmo tempo.
e) uma sequência tem, no 
máximo, um limite.
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http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/vc/vc06.htm
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da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
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