Instrumentação e Controle_5

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Exercício 1 
	Considere um sistema mecânico massa-mola-amortecedor, linear e invariante no tempo, cuja entrada u(t) é a forma externa aplicada na massa. A saída y(t) é o deslocamento da massa medido a partir da posição em equilíbrio, considerando a massa m=3kg. 
a)Descreva a EDO que modela o sistema dado (sem controle) e represente-a em espaço de estados.
u(t) = força externa 
y(t) = deslocamento da massa 
m = 3 kg 
Aplicando-se a Segunda Lei de Newton, temos que:
Onde na forma canônica, teremos a equação (3) abaixo:
Para representar em espaço de estados, temos que:
Sistema é escrito em função de: 
1) Um vetor de dimensão nx1 ⇒ chamado vetor de estados; 
2) Um vetor de dimensão mx1 ⇒ chamado vetor de entradas; 
3) Um vetor de dimensão px1 ⇒ chamado vetor de saídas. 
É necessário converter a equação diferencial de ordem n para n equações diferenciais de 1ª ordem.
No caso do estudo, o sistema massa-mola-amortecedor é obtido a partir de uma equação diferencial de segunda ordem, e os estados serão:
X1 = y(t) – posição da massa 
X2 = y’(t) – velocidade da massa 
Substituindo em (2) teremos: 
Equações de estado: 
Definindo o vetor de estados:
, com dimensão 2x1, n=2
Definindo a entrada: u(t), no caso a entrada é um escalar e não um vetor, m=1;
Equações de estado na forma matricial:
Definindo uma saída para o sistema (valor medido por um sensor): y(t), no caso a saída é um escalar não um vetor, p=1;
Equação de saída na forma matricial:
Sabendo que A(t) é a matriz de transmissão de estados, B(t) é a matriz de entrada, C(t) é a matriz de saída ou matriz dos sensores e finalmente D(t) é a matriz de alimentação direta, temos que a representação em espaço de estados é:
b)Para obter Mp= 20% e ts= 0,6 s (2%), que valores de frequência natural de oscilação (n) e coeficiente de amortecimento () é preciso ter?
Comparando (2) e (3) teremos: 
Temos que:
Substituindo os valores dados, temos: 
Para determinar temos:
c)Com os valores calculados anteriormente, determine a constante elástica da mola, k, e o coeficiente de atrito, b, para uma entrada degrau unitário.
Substituindo os valores de e em (3) e (4) determinamos k e b como solicitado:
d)Mostre a expressão para a saída em regime permanente, y(t➔), e calcule esse valor neste caso.
 Com base na equação mostrada em (2), temos: 
Se considerarmos uma solução particular, teremos que 0, e assim:
Se considerarmos agora a função degrau unitária como u(t), teremos que:
Como não há controle nesse sistema, o valor de k, será o valor calculado para a constante da mola, mostrado na questão “c”. Assim, o valor do regime permanente será dado por:
Exercício 2
Retome o sistema anterior (mesmos valores de k, b e m) e insira nele um controle PD (proporcional-derivativo).
a)Descreva a EDO para o sistema controlado supondo entrada degrau unitário (nas formas original e canônica).
Aplicando-se a Segunda Lei de Newton, temos que:
Onde na forma canônica, teremos a equação (3) abaixo:
Onde 
Temos que a ação de controle de um controlador proporcional-derivativo é definida como: 
O erro de um sistema é dado por: 
, assim teremos que:
, onde na forma canônica é equivalente a:
Agora vamos considerar que r(t) é uma função degrau definida como:
Resultando na solução particular xp(t) = K onde K é uma constante a ser determinada. Para a entrada degrau, temos que r(t)=E e r'(t) =0, logo 
Se considerarmos uma solução particular como uma constante, temos que sua derivada será zero, como segue: 
, e assim:
Assim, o valor de regime estacionário será dado por:
b)Represente o sistema controlado em espaço de estados (forma original). 
Temos que a ação de controle de um controlador proporcional-derivativo é definida como: 
O erro de um sistema é dado por: 
, assim teremos que:
Que comparando com a equação (6), teremos: 
Agora vamos considerar que r(t) é uma função degrau definida como:
Resultando na solução particular onde K é uma constante a ser determinada. Para a entrada degrau, temos que r(t)=E e r'(t) =0, logo 
No caso do estudo, o sistema massa-mola-amortecedor é obtido a partir de uma equação diferencial de segunda ordem, e os estados serão:
X1 = y(t) – posição da massa 
X2 = y’(t) – velocidade da massa 
Substituindo em (10) teremos: 
Equações de estado: 
Definindo o vetor de estados:
, com dimensão 2x1, n=2
Definindo a entrada: u(t), no caso a entrada é um escalar e não um vetor, m=1;
Equações de estado na forma matricial:
Definindo uma saída para o sistema (valor medido por um sensor): y(t), no caso a saída é um escalar não um vetor, p=1;
Equação de saída na forma matricial:
Sabendo que A(t) é a matriz de transmissão de estados, B(t) é a matriz de entrada, C(t) é a matriz de saída ou matriz dos sensores e finalmente D(t) é a matriz de alimentação direta, temos que a representação em espaço de estados é:
c)Determine os ganhos proporcional e derivativo para que o sistema controlado apresente Mp=15% e ts= 0,5s, para uma entrada degrau unitário.
Considerando o sistema massa-mola-amortecedor na forma canônica, temos: 
temos que:
Para e , temos:
Substituindo os valores de e em (3) e (4) determinamos o ganho proporcional e o ganho derivativo como solicitado:
O ganho do controlador derivativo é igual a 8 e o ganho do controlador proporcional igual a 79,75. 
d)Obtenha a expressão que dá a saída em regime permanente, y(t➔), e calcule esse valor.
Assim, 
Como o valor da posição em regime permanente é dado por
O valor do regime permanente é dado por: