listaGA-3

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Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matema´tica
Terceira lista de exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica - 2012.1
Prof. Andre´ Contiero
Todas as questo˜es sa˜o consideradas no R3.
1. Prove que ‖−→u ∧ −→v ‖2+ < −→u ,−→v >2= ‖−→u ‖2 ‖−→v ‖2.
2. Prove os seguintes itens:
(a) ‖−→u ∧ −→v ‖2 ≤ ‖−→u ‖2 ‖−→v ‖2;
(b) ‖−→u ∧ −→v ‖2 = ‖−→u ‖2 ‖−→v ‖2 ⇔ −→u⊥−→v .
3. Assinale (V) para verdadeiro e (F) para falso nos itens abaixo, justificando a resposta.
( ) Se < −→u ,−→v >= 0 enta˜o −→u ∧ −→v = (0, 0, 0);
( ) Se −→u e −→v sa˜o LD enta˜o −→u ∧ −→v = (0, 0, 0);
( ) Se −→u⊥−→v e −→v ⊥−→w , enta˜o −→u⊥−→w ;
( ) Dois planos sa˜o concorrentes se, e somente se, seus vetores normais sa˜o LI;
( ) Duas retas sa˜o paralelas se, e somente se, seus vetores diretores sa˜o LD;
( ) Duas retas sa˜o reversas se seus vetores diretores sa˜o LI;
( ) Se duas retas sa˜o reversas enta˜o seus vetores diretores sa˜o LI.
4. Estude a posic¸a˜o relativa das retas r e s quando:
(a) r : (1,−1, 1) + λ(−2, 1,−1) e s :
{
y + z − 3 = 0
x+ y − z − 6 = 0 ;
(b) r :
{
x− y − z − 2 = 0
x+ y − z = 0 e s :
{
2x− 3y + z − 5 = 0
x+ y − 2z = 0 ;
(c) r : (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0) e s :
{
3x− 2y + 3 = 0
2y − 3z − 3 = 0 ;
(d) r : (8, 1, 9) + λ(2,−1, 3) e s : (3,−4, 4) + λ(1,−2, 2).
5. Determine m tal que as retas r : (1, 0, 2) + λ(2, 1, 3) e s : (0, 1,−1) + λ(1,m, 2m) sejam coplanares, e estude
a posic¸a˜o relativa.
6. Estude a posic¸a˜o relativa da reta r e do plano pi nos seguintes casos:
(a) r : (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1) e pi : x− y − z − 2 = 0;
(b) r :
{
x− y − 1 = 0
x− 2y = 0 e pi : x+ y − 2 = 0;
(c) r :
{
x− y + z = 0
2x+ y − z − 1 = 0 e pi : (0,
1
2 , 0) + λ(1,− 12 , 0) + µ(0, 1, 1);
(d) r :
{
x− y − 1 = 0
x− 2y = 0 e pix+ y − 2 = 0;
(e) r : (0, 0, 0) + λ(1, 4, 1) e pi : (0,−1, 1) + λ(0, 1, 2) + µ(1,−1, 0).
7. Estude a posic¸a˜o relativa dos planos pi1 e pi2 nos casos:
(a) pi1 : x− z = 0 e pi2 : y = 0;
(b) pi1 : 2x− y + z − 1 = 0 e pi2 : 2x√
3
− y√
3
+
z√
3
− 1√
3
= 0;
(c) pi1 : x+ y = z e pi2 : x+ y = z + 1;
(d) pi1 : x− y + 2z − 2 = 0 e pi2 : (0, 0, 1) + λ(1, 0, 3) + µ(−1, 1, 1).
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matema´tica
8. Calcule o aˆngulo entre as retas do exerc´ıcio 4, calcule o aˆngulo entre a reta r e o plano pi do exerc´ıcio 5 e
calcule o aˆngulo entre os planos pi1 e pi2 do exerc´ıcio 6.
9. Obtenha a equac¸a˜o do plano que conte´m a reta r : (1, 1, 0)+λ(2, 1, 2) e e´ paralelo a` reta s :
{
x− 2y + 1 = 0
y − z − 3 = 0
10. Obtenha uma equac¸a˜o vetorial para a reta t, tal que t esta´ contida no plano pi : x− y+ z = 0 e e´ concorrente
as retas r :
{
x+ y + 2z − 2 = 0
x− y = 0 e s :
{
x− z + 2 = 0
y = 0
.
11. Obtenha a equac¸a˜o geral do plano que passa pelo ponto P = (1, 2, 3) e e´ parelelo ao plano pi : x+y+z+1 = 0.
12. Calcule a distaˆncia do ponto P = (1, 1,−1) a` reta r :
{
x− y − 1 = 0
x+ y − z = 0
13. Calcule a distaˆncia do ponto P = (1, 0, 0) ao plano pi : x− y + z − 3 = 0.
14. Calcule a distaˆncia entre as retas r :
{
x− z + 1 = 0
y − 3z + 2 = 0 e s :
{
3x− 2z + 3 = 0
y − z − 2 = 0
15. Calcule a distaˆncia entre os planos:
(a) pi1 : (0, 0, 1) + α(1, 0, 1) + γ(−1, 1, 0) e pi2 : (2,−3, 1) + α(0, 1, 1) + γ(1, 0, 1);
(b) pi1 : 2x− y + 2z + 9 = 0, pi2 : 4x− 2y + 4z − 21 = 0.
16. Encontre os pontos da reta s :
{
y + z − 2 = 0
x− y − z = 0 que distam
√
6 de pi : x− 2y − z − 1 = 0.
17. Determine o ponto do plano pi : 2x − y + z − 2 = 0 tal que a soma de suas distaˆncias a P e Q seja mı´nima
nos seguintes casos:
(a) P = (2, 1, 0) e Q = (1,−1,−1);
(b) P = (2, 1, 0) e Q = (1,−1, 2).
18. Encontre a equac¸a˜o do plano pi que conte´m a reta r : (1, 0, 1)+λ(1, 1,−1) e dista √2 do ponto P = (1, 1,−1).
19. Um quadrado ABCD tem a diagonal BD sobre a reta r :
{
x = 1
y = z
. Sabendo que A = (0, 0, 0), encontre os
ve´rtices B,C e D.
20. Mostre que se um plano pi passa pelo ponto me´dio do segmento PQ enta˜o d(P, pi) = d(Q, pi).