Lista1-061s

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FI-004 F��sica Estat��stica I
Primeiro semestre 2006
Lista de Exerc��cios #1
Guillermo Cabrera
cabrera@i�.unicamp.br
Data de entrega: 04 de abril de 2006
(entregar somente os itens marcados com *)
1. Matriz Densidade
(a) Considere as seguintes matrizes e/ou operadores dados abaixo. Diga quais
deles representan um operador Densidade (satisfazem todos os requisitos para
ser um operador ou matriz densidade). Justi�que a sua resposta.
�1 =
�
1=4 3=4
3=4 3=4
�
;
�2 =
1
3
j1i h1j+ 2
3
j2i h2j+
p
2
3
(j1i h2j+ j2i h1j) ;
com (j1i ; j2i) um par de kets ortonormais;
�3 =
0@ 1=2 0 1=40 1=4 0
1=4 0 1=4
1A :
(b) Dos operadores densidade aceitos acima, diga quais representam um ensemble
puro e quais um ensemble misto. Para o caso do ensemble puro, encontre o ket
estado que ele representa. Para ensembles mistos, encontre uma decomposi�c~ao
como soma de ensembles puros. �
2. Part��culas de spin 1/2
Use a representa�c~ao das matrizes de Pauli (�x; �y; �z) para spin 1/2 nos problemas
abaixo:
2
~
Sx = �x =
�
0 1
1 0
�
;
2
~
Sy = �y =
�
0 �i
i 0
�
;
2
~
Sz = �z =
�
1 0
0 �1
�
1
(a) Considere um ensemble puro de sistemas de spin 1/2 preparados de maneira
idêntica. Suponha que os valores esperados hSxi e hSzi s~ao conhecidos e
tamb�em o sinal de hSyi : Mostre que esta informa�c~ao �e su�ciente para deter-
minar o estado quântico (encontre tal estado), n~ao sendo necess�ario conhecer
a magnitude de hSyi :
(b) Considere agora um ensemble misto (s = 1=2). Suponha que as m�edias sobre
o ensemble [Sx] ; [Sy] e [Sz] s~ao dadas. Mostre que esta informa�c~ao �e su�ciente
para construir a matriz densidade que carateriza o ensemble. Falamos que um
sistema n~ao est�a polarizado quando
[Sx] = [Sy] = [Sz] = 0 :
Encontre a matriz densidade que carateriza esse ensemble e encontre no m��nimo
duas decomposi�c~oes como somas de ensembles puros. �
3. * Matriz Densidade para spin 1/2
As matrizes de Pauli (problema #2) mais a identidade formam uma base do espa�co
vetorial de todas as matrizes complexas (2x2). Em particular, a Matriz Densidade
� poder�a ser escrita como combina�c~ao linear dessa base. Escreva portanto
� =
1
2
(a01+ax�x + ay�y + az�z) ; (1)
onde o fator 1/2 foi escrito por conveniência.
(a) A partir das propriedades gerais da Matriz Densidade, encontre condi�c~oes sobre
os coe�cientes em (1). Em particular, mostre que a0 = 1 e que os coe�cientes
(ax; ay; az) s~ao reais.
(b) Que condi�c~ao dever�a ser satisfeita por (ax; ay; az) para que � represente um
ensemble puro? Mostre que neste caso, os coe�cientes (ax; ay; az) fornecem a
dire�c~ao (cosenos diretores) da polariza�c~ao do spin.
(c) Encontre a condi�c~ao para termos um ensemble misto.
(d) No caso geral, de�nimos a magnetiza�c~ao M por
M2 = [�x]
2 + [�y]
2 + [�z]
2 :
Calcule M2 em fun�c~ao dos (ax; ay; az). Mostre que 0 � M2 � 1. O caso n~ao
polarizado �e de�nido como sendo M � 0. Encontre o ensemble (matriz �)
correspondente a este �ultimo caso.
(e) Calcule a entropia do ensemble em fun�c~ao de jM j e mostre que ela �e m�axima
para o caso de polariza�c~ao nula. Como interpreta essa situa�c~ao? �
2
4. Part��culas de spin 1
Considere agora um ensemble de sistemas de spin 1. A matriz densidade �e constru��-
da como uma matriz de 3� 3: Quantos parâmetros reais independentes precisamos
para determinar o ensemble? Que outras grandezas f��sicas, al�em de [Sx] ; [Sy] e [Sz],
precisamos conhecer para caraterizar completamente o ensemble? Use a seguinte
representa�c~ao dos operadores de momentum angular (em unidades de ~) que diago-
naliza o operador Jz:
Jz =
0@ 1 0 00 0 0
0 0 �1
1A ; Jx = 1p
2
0@ 0 1 01 0 1
0 1 0
1A ; Jy = 1p
2
0@ 0 �i 0i 0 �i
0 i 0
1A :
Mostre que a forma mais geral da matriz densidade pode ser escrita na forma
� =
�!
P � �!J +�!J � !Q � �!J ; (2)
onde
�!
P = (Px; Py; Pz) �e um vetor real e
 !
Q �e um tensor de ordem dois, real e
sim�etrico
 !
Q =
0@ Q11 Q12 Q13Q12 Q22 Q23
Q13 Q23 Q33
1A :
Mostre que a condi�c~ao de normaliza�ca~o Tr � = 1 �e uma condi�c~ao sobre o tra�co
da matriz de
 !
Q : A grandeza
�!
P �e chamada de momento dipolar e o tensor
 !
Q
de momento quadrupolar. Mostre que a expans~ao (2) possue 8 parâmetros reais
livres e construa explicitamente a matriz densidade para o ensemble (totalmente
polarizado) correspondente a um estado puro com autovalor +1 para Jz. Expresse
seu resultado na forma (2). �
5. Ensemble puro ou misto: um crit�erio poss��vel
Mostre que o Tra�co de �2 est�a limitado pela desigualdade abaixo
0 < Tr
�
�2
�
� 1;
e que somente toma o m�aximo valor 1 para o caso do ensemble puro. �
6. * A Entropia como uma grandeza extensiva
Considere um sistema composto de duas partes independentes, de maneira que os
observ�aveis relativos aos subsistemas comutam entre si. Os estados do sistema
completo podem ser escritos na forma de produtos (tensoriais) entre estados das
partes:
jn1n2 >= jn1 > jn2 > ;
3
onde fn1g e fn2g referem-se a conjuntos de n�umeros quânticos para os subsistemas.
O operador densidade, no caso geral, se expressa por
� =
X
n1; n2
jn1n2 > w(n1; n2) < n1n2j ;
com os pesos w(n1; n2) satisfazendo a condi�c~ao de normaliza�c~aoX
n1; n2
w(n1; n2) = 1 :
A independência estat��stica entre os sistemas implica na propriedade
w(n1; n2) = w(n1)w(n2) :
Mostre que o operador densidade pode tamb�em ser escrito como um produto
� = �1 
 �2
e que a entropia S = �kB Tr (� ln �) �e aditiva, isto �e
S = �kB Tr (� ln �) = �kB Tr1 (�1 ln �1)� kB Tr2 (�2 ln �2) = S1 + S2 ;
onde o sub��ndice no tra�co refere-se a tomar o tra�co sobre as vari�aveis do subsistema.
�
7. *Ensemble Canônico
Neste problema use a representa�c~ao de coordenadas para a Matriz Densidade
� (~x; ~x�). Calcule a distribui�c~ao canônica para os casos:
(a) part��cula livre de massa m em três dimens~oes;
(b) part��cula de massa m em uma dimens~ao con�nada numa caixa de tamanho L,
com paredes representadas por barreiras in�nitas. �
8. Equa�c~ao de Liouville-von Neumann
O problema de spin 1/2 com campo magn�etico na dire�c~ao transversa tratado em
aula, pode ser resolvido em forma exata para a equa�c~ao de Liouville-von Neumann
(LvN). Considere ent~ao a condi�c~ao inicial de uma matriz densidade diagonal:
�(0) =
�
a 0
0 1� a
�
;
com a > 0. O Hamiltoniano tem a forma
H = �BB�x = �BB
�
0 1
1 0
�
:
Integre a equa�c~ao LvN em forma fechada e compare com a solu�c~ao de Pauli. Inter-
prete e discuta o resultado. Qual �e a origem da irreversibilidade na equa�c~ao mestra
de Pauli e como essa situa�c~ao pode ser realizada? �
4
9. Representa�c~ao de Wigner
Considere o caso 1-dim. Chamamos de representa�c~ao de Wigner de um operador de
uma part��cula 
, �a fun�c~ao da coordenada e momentum de�nida por
W (q; p) �
Z 1
�1
dy
�
q � 1
2
y j 
j q + 1
2
y
�
exp
�
i
~
py
�
:
Encontre a representa�c~ao de Wigner de operadores usuais, como a energia cin�etica
e potencial:
K = p2�2m;
V = V (x) ;
onde p e x s~ao os operadores de momentum e posi�c~ao. Mostre que o valor m�edio
de 
 no ensemble de�nido por � �e dado pela express~ao
[
] = Tr (�
) =
Z
dq
Z
dp �W (q; p) 
W (q; p) ;
onde �e feita uma integra�c~ao sobre todo o espa�co de fase (q; p) e �W (q; p) �e a fun�c~ao
de Wigner
�W (q; p) �
1
2�~
Z 1
�1
dy
�
q � 1
2
y j �j q + 1
2
y
�
exp
�
i
~
py
�
: �
10. Fun�c~ao de Wigner negativa
Encontre a fun�c~ao de Wigner de um estado que �e uma superposi�c~ao de dois pacotes
gaussianos centrados em �c:
 (q) = C
(
exp
"
�(q � c)
2
4a2
#
+ exp
"
�(q + c)
2
4a2
#)
; (3)
onde C �e uma constante de normaliza�c~ao. Mostre que a fun�c~ao de Wigner de
(3) possui, al�em dos picos em �c, um pico centrado em q = 0 modulado por um
fator oscilat�orio (que toma valores negativos). Este �ultimo representa efeitos de
interferência entre os dois pacotes gaussianos e n~ao �e eliminado no limite c ! 1,
quando os pacotes est~ao muito separados. �
5