MA520-521-2S-2019-LISTA-2

Prévia do material em texto

Geometria Plana - MA520/521 - 2oS/2019
Lista 2
Atenção: faça figuras emtodasas questões.
O Quinto Postulado
Considere para os próximos exercícios as retasr, s, t, sendot concorrente ar es.
1. Enuncie com suas palavras o Quinto Postulado, segundo Euclides. Vamos explorar: que situações podem ocorrer
com o ponto de interseção der es, conforme os ângulos de interseção comt? Analise os casos abaixo:
(a) Um ângulo reto e outro agudo.
(b) Dois ângulos obtusos de um mesmo lado.
(c) Um ângulo agudo e um obtuso em um mesmo lado ... Tem certeza?
2. Mostre que a Proposição 13 implica a Proposição I.15: Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
3. Proposição I.27: Se duas retas cortadas por uma transversal formam ângulos alternos congruentes, então as retas
são paralelas.
(a) Demonstre a Proposição I.16 (Teorema do ângulo externo).
(b) Demonstre a Proposição I.27.
(c) Enuncie a sua recíproca e demonstre-a (por absurdo), assumindo a Proposição 13 e o Quinto Postulado.
4. Demonstre a Proposição I.18: O maior lado de qualquer triângulo subtende o maior ângulo.
5. A partir da construção indicada nos itens abaixo conclua a formulação moderna doPostulado das Paralelas: dada
uma retar e um pontoA /∈ r, existe uma única retas porA paralela ar:
(a) SejamB,C ∈ r eD ∈ BC quaisquer; construa o ponto médioM do segmentoAD e o pontoE oposto deC
com relação aM .
(b) Mostre quêCDA = D̂AE (dica: use a Proposição I.4).
(c) Conclua queEA é paralela aBC.
(d) Prove ques é única, aplicando o Quinto Postulado.
NB.: Até agora o Quinto Postulado não fora utilizado na construção!
6. Assumindo o Postulado das Paralelas, prove o enunciado do Quinto Postulado.
1