PriscilaT-Mansanares-F609-RF2

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1
 Relatório Final 
F 609 A 
 
 
 
Ressonador acústico de Helmholtz 
 
 
Aluna: Priscila Todero de Almeida, RA: 073608 
 e-mail: pritodero[arroba]hotmail.com 
 
Orientador: Prof. Dr. Antonio Manoel Mansanares 
e-mail: manoel[arroba]ifi.unicamp.br 
 
Novembro de 2010. 
 
1 Introdução 
 
A ressonância de Helmholtz é um fenômeno que ocorre quando o ar passa 
por uma cavidade e, devido a isso, ressoa. O dispositivo que demonstra tal 
fenômeno, o ressonador de Helmholtz, foi criado em meados de 1860 por 
Hermann von Helmholtz para demonstrar as grandes variedades de tons (figura 
1). Um exemplo do ressonador de Helmholtz é o som criado quando alguém 
assopra pelo gargalo de uma garrafa vazia. Um dos vários instrumentos musicais 
que existem usando esse princípio é a ocarina (vide figura 2)[1]. 
 
 
 
Figura 1: Ressonador de Helmholtz 
original 1890-1900. 
Figura 2: Ocarina, instrumento musical. 
 
 2
Um ressonador ideal consiste em uma cavidade de volume V com um 
gargalo de área S e de comprimento L (figura 3). 
Se o comprimento de onda λ é muito maior que suas dimensões L, S1/2 e 
V1/3, o ar do gargalo se move como um bloco de massa m. Ou seja, o ar contido 
em um grande volume V0 atua como uma mola de constante elástica k que está 
unido a um bloco de massa m que é o ar do gargalo da garrafa [2]. Num 
oscilador desse tipo a freqüência de ressonância depende das dimensões da 
cavidade e da velocidade de propagação do som [1, 3, 4]. 
 
 
Figura 3: Esquema do ressonador. 
 
1.1 Objetivos 
 
Nesse experimento temos o objetivo de estudar a ressonância de 
Helmholtz em diferentes cavidades (garrafas com diversos tamanhos), 
demonstrando a dependência da freqüência de ressonância com as dimensões da 
cavidade e do gargalo. 
 Vamos usar uma caixa de som de computador e o programa CoolEdit 
96 versão demonstrativa para gerar a onda sonora numa faixa de freqüências 
(rampa), e um microfone para detectar a intensidade da onda no interior das 
garrafas. 
 Faremos essa análise em três garrafas de volumes 280 ml, 810 ml e 1080 
ml. Em seguida iremos variar o volume da segunda garrafa usando diferentes 
níveis de água e enfim faremos uma varredura em altas freqüências para que 
possamos visualizar os modos normais. Deve-se notar que, de forma geral, a 
freqüência de ressonância de Helmholtz é inferior àquelas dos modos normais da 
garrafa ou cavidade. 
 
1.2 Lista de materiais 
 
• Haste rígida (para suporte do microfone) 
• Garrafas de vários tamanhos (ou parcialmente preenchidas com água para 
variar o volume livre) 
• Microfone 
• Caixa de som 
• Computador 
• Béquer (para preencher as garrafas com água) 
• Caixa móvel. 
 
 3
2 Montagem experimental e resultados 
 
2.1 Medidas da freqüência de Helmholtz em garrafas de diferentes 
volumes 
 
Na primeira parte desse projeto fizemos um estudo da ressonância de 
Helmholtz. Levando em consideração nosso experimento, calculamos a expressão 
para a freqüência de ressonância em cavidades. (ver Apêndice I). 
Em seguida, instalamos no computador caixas de som de 1,2 Watts RMS e o 
programa CoolEdit 96 versão demonstrativa. Com ele geramos uma rampa de 0 a 
500 Hz durante 50 segundos, seguida de uma onda de 250 Hz ou 100 Hz no 
começo e no fim, com duração de um segundo cada. Essa onda no início e no 
final foi criada para marcar o começo e o fim da medida, para que pudéssemos 
saber precisamente qual é a freqüência em que ocorre a ressonância. 
As figuras 4 e 5 abaixo mostram respectivamente: a rampa gerada pelo 
programa e um zoom no começo dela. 
 
 
 
Figura 4: Rampa gerada de 0 a 500 Hz em 50 segundos. 
 
 
 
 
Figura 5: Rampa gerada de 0 a 500 Hz com zoom no começo. 
 
 4
Depois de um teste inicial do programa começamos a montar o aparato 
experimental. Para reduzir o ruído resolvemos pôr tanto a caixa de som como a 
garrafa sobre espumas. As caixas de som ficam a 10 cm da base do experimento 
e elas estão no volume máximo. 
 Em seguida parafusamos uma haste na mesa para segurar o microfone 
dentro da garrafa. Para manter o microfone fixo, enrolamos seu cabo em um 
arame, formando uma haste rígida. Assim, posicionamos o microfone perto do 
pescoço de cada garrafa e começamos a medir (figuras 16-19). 
É importante notar que o microfone usado tem uma resposta plana acima de 
algumas dezenas de Hz [6]. 
Antes de encontrar a freqüência de ressonância usando o programa CoolEdit 
medimos em cada garrafa o volume, com e sem o pescoço, a altura, com e sem o 
pescoço, e o diâmetro da boca da garrafa. 
Utilizamos a expressão 6 do Apêndice I para encontrar a freqüência de 
ressonância teórica, como mostra na tabela 1. 
 
 
Tabela 1: Dimensões das garrafas e suas freqüências de ressonância. O erro na 
freqüência de ressonância decorre da propagação dos erros nas medidas das dimensões. 
 
Garrafa 1 2 3 
Volume com pescoço (ml) 325±10 ml 850±10 ml 1150±10 ml 
Volume sem o pescoço (ml) 280±10ml 810±10ml 1080±10ml 
Diâmetro interno (cm) 2,0±1mm 1,8±1mm 1,8±1mm 
Altura sem o pescoço (cm) 12,5±0,5 cm 20,5±0,5 cm 20,5±0,5 cm 
Altura do pescoço (cm) 6,0±0,5 cm 8,0±0,5 cm 10,5±0,5 cm 
Frequência de resson.calculada(Hz): 234±6% 107±7% 81±7% 
 
 
Com a onda gerada medimos o sinal do microfone em função da freqüência 
de ressonância das três garrafas usando o programa CoolEdit, e encontramos a 
freqüência experimental. Tendo os pontos experimentais, usamos o programa 
Origin 8 para traçar o gráfico do “Sinal do microfone versus a Freqüência”, sendo 
o pico a freqüência de ressonância. Os gráficos das figuras 6, 7, e 8 abaixo são 
referentes às garrafas 1, 2 e 3, respectivamente, com o microfone posicionado 
próximo ao pescoço da garrafa. 
 
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-16000
-12000
-8000
-4000
0
4000
8000
12000
16000
20000
Si
na
l d
o 
m
ic
ro
fo
ne
 (u
.a
.)
Frequencia (Hz)
 
Figura 6: Sinal do microfone versus freqüência, referente à garrafa 1. 
 5
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
S
in
al
 d
o 
m
ic
ro
fo
ne
 (u
.a
)
Frequência (Hz)
 
Figura 7: Sinal do microfone versus freqüência, referente à garrafa 2. 
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
S
in
al
 d
o 
m
ic
ro
fo
ne
 (u
.a
)
Frequência (Hz)
 
Figura 8: Sinal do microfone versus freqüência, referente à garrafa 3. 
 
Pela análise dos gráficos acima, encontramos as seguintes freqüências de 
ressonância: 242 Hz, 108 Hz e 104 Hz, para as garrafas 1, 2 e 3, 
respectivamente. 
 
Tabela 2: Comparação das freqüências de ressonância teóricas e 
experimentais. Os erros nas freqüências medidas foram tomados como sendo a 
meia-largura a meia altura do pico de ressonância. 
 
Garrafa Freqüência 
de ressonância 
calculada (Hz) 
Freqüência 
de ressonância 
medida (Hz) 
Erro percentual calc med
calc
f -f
f
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
1 234±6% 242±12% 4% 
2 107±7% 108±3% 1% 
3 81±7% 104±3% 29% 
 6
Vemos que o erro percentual é razoável no caso das garrafas 1 e 2, 
entretanto para garrafa 3, o erro é muito maior. Uma possível explicação é o fato 
da garrafa 3 ter um pescoço irregular, ou seja, a área da seção reta varia ao 
longo do pescoço como podemos observar pela figura 9. Usamos no cálculo da 
tabela 1 o valor da área na extremidade superior do pescoço. Contudo, se 
usarmos o valor médio da área, chegamos a uma freqüência calculada de 135 Hz. 
Esse resultado nos mostra que o valor experimental de 104 Hz é intermediário a 
81 e 135 Hz. 
Após encontrar as primeiras freqüências de ressonância tentamos melhorar 
nossas medidas adaptando o experimento dentro de uma caixa móvel. Fizemos 
isso para diminuir ruídos e para facilitar a locomoção do experimento no dia da 
apresentação. (ver Figuras 20 e 21) 
Em seguida, partimos para a segunda parte do projeto que consiste nas três 
seguintes medidas experimentais: 
 
1º Variamos o volume da garrafa 2 colocando água para analisar a mudançada freqüência de ressonância em cada caso. 
 
2º Efetuamos uma varredura em altas freqüências (até 5 kHz) para medir os 
modos normais da garrafa 2. O objetivo é demonstrar claramente a diferença 
entre as freqüências de ressonância de Helmholtz e dos modos normais. 
 
3º Estudamos a formação de nós e ventres em relação à pressão no interior 
da garrafa. É importante notar que utilizamos a garrafa 2 para as medidas acima 
devido a uma melhor visualização de modos normais, uma vez que o tamanho 
dela era maior e permitiu a obtenção de mais pontos experimentais. 
 
 
2.2 Cálculo da freqüência de Helmholtz com variação no volume da 
garrafa 
 
Na primeira medida variamos o volume sem água da garrafa 2 que é de 810 
ml, adicionado volumes de água de 200 ml, 400 ml, e 600 ml. Assim calculamos 
as freqüências de Helmholtz para cada caso, que estão listadas na tabela 3. Os 
gráficos de cada medida se encontram nas figuras 9, 10 e 11. A figura 12 mostra 
uma simulação que relaciona a freqüência de Helmholtz com o volume da garrafa 
2. 
 
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
S
in
al
 d
o 
m
ic
ro
fo
ne
 (u
.a
.)
Frequência (Hz) 
 
Figura 9: Garrafa 2 com volume final de 610 ml. 
 7
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
S
in
al
 d
o 
m
ic
ro
fo
ne
 (u
. a
.)
Frequência (Hz) 
 
Figura 10: Garrafa com volume final de 410 ml. 
 
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
40000
S
in
al
 d
o 
m
ic
ro
fo
ne
 (u
.a
.)
Frequência (Hz) 
Figura 11: Garrafa com volume final de 210 ml. 
 
0 200 400 600 800 1000
0
50
100
150
200
250
300
350
 medida
 calculadaFr
eq
uê
nc
ia
 d
e 
H
el
m
ho
ltz
 (H
z)
Volume (ml) 
Figura 12: Frequência de Helmholtz em função do volume final da garrafa 2. 
 
 8
 
Se analisarmos a tabela 3 com relação aos pontos simulados vemos que o 
erro percentual é menor do que 10%, ou seja, encontramos bons resultados 
experimentais. Tanto na simulação como nas medidas experimentais notamos 
que quanto menor o volume maior é a frequência de Helmholtz e que sua 
amplitude depende da posição do microfone. 
 
 
Tabela 3: Freqüência de Helmholtz com a garrafa parcialmente preenchida com água. 
 
 
 
 
2.3 Varredura em altas freqüências para encontrar os modos normais da 
garrafa 2 
 
Nos gráficos da figura 13 podemos ver o sinal do microfone em função da 
freqüência na faixa que vai de zero a 5 kHz. O gráfico da figura 13a foi obtido 
com o microfone na extremidade superior do volume da garrafa, logo abaixo do 
pescoço. Os outros dois (figuras 13b e 13c) foram obtidos com o microfone no 
centro e no fundo da garrafa, respectivamente. Neles, podemos observar a 
ressonância de Helmholtz em torno de 110 Hz, e os três primeiros harmônicos 
dos modos normais longitudinais, indicados pelas setas vermelhas com os 
números 1, 2 e 3. Estes harmônicos podem ser identificados a partir da altura da 
garrafa 2 sem o pescoço, que é igual a 20,5 cm. Isto faz com que a freqüência 
calculada para o primeiro harmônico seja igual a 830 Hz, considerando-se que a 
garrafa seja perfeitamente fechada em ambas as extremidades, o que não é o 
caso. A tabela 4 nos mostra as freqüências medidas a partir dos gráficos da figura 
13. Notamos que a freqüência do primeiro harmônico é em torno de 915 Hz, um 
pouco acima da calculada. Além disso, observa-se que nas extremidades da 
garrafa (pescoço e fundo), as intensidades dos três harmônicos são máximas. Já 
no meio da garrafa, observamos que o primeiro e o terceiro harmônico 
apresentam mínimos, conforme devemos esperar para um tubo fechado nas 
extremidades [2]. 
Na figura 13, além das três ressonâncias atribuídas aos modos longitudinais, 
vemos também uma ressonância em torno de 2 kHz que pode ser atribuída ao 
primeiro modo transversal, dadas as dimensões da garrafa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volume final 
da garrafa 
(ml) 
Freqüência 
calculada (Hz) 
Freqüência 
medida 
(Hz) 
Amplitude 
(u.a.) Erro percentual calc med
calc
f -f
f
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
610±10 125±8% 135±4% 5737 8% 
410±10 153±9% 160±4% 11779 4% 
210±10 216±11% 228±4% 32923 6% 
 9
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-1600
-1200
-800
-400
0
400
800
1200
1600
2000
Helmholtz
32
S
in
al
 d
o 
m
ic
ro
fo
ne
 (u
.a
.)
Frequência (Hz)
(a)
Microfone posicionado
no pescoço
1
 
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
Helmholtz
3
2
Microfone posicionado
no meio da garrafa
S
in
al
 d
o 
m
ic
ro
fo
ne
 (u
.a
.)
Frequência (Hz)
1
 
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000 (c)
Microfone posicionado
no fundo
S
in
al
 d
o 
m
ic
ro
fo
ne
 (u
.a
.)
Frequência (Hz)
Helmholtz
3
2
1
 
Figura 13: Ressonância de Helmholtz e modos normais para a garrafa 2. 
 
 
 
Tabela 4: Ressonâncias medidas na garrafa 2. 
1º harmônico 
 
2º harmônico 
 
3º harmônico 
 
 
Posição do 
microfone freq. 
(Hz) 
 
amplitude 
(u.a.) 
freq. 
(Hz) 
amplitude 
(u.a.) 
freq. 
(Hz) 
amplitude 
(u.a.) 
Pescoço 912±3% 1286 1727±2% 1670 2715±1% 1485 
Meio 915±2% 231 1708±2% 1280 2712±1% 411 
Fundo 919±2% 1248 1717±1% 1828 2718±1% 824 
 10
2.4 Estudo da formação de nós e ventres no interior da garrafa 
 
 
Para entender a formação de nós e ventres de pressão fizemos a seguinte 
simulação: somamos duas ondas progressivas se deslocando em sentidos 
contrários, nas diferentes freqüências de interesse, ou seja, na freqüência de 
Helmholtz e naquelas dos modos longitudinais. A figura 14 mostra o perfil da 
pressão ao longo do comprimento da garrafa para tais freqüências, evidenciando 
que no primeiro e terceiro harmônicos a pressão tem um mínimo no centro da 
garrafa, enquanto que no segundo ela apresenta um máximo. No caso da 
freqüência de Helmholtz, vemos que também deve haver um mínimo no centro. A 
figura 15 mostra o resultado de medidas feitas variando-se a posição do 
microfone ao longo do comprimento da garrafa (vide fotos da montagem na 
figuras 22 e 23). Na figura 15 podemos confirmar o comportamento simulado nos 
gráficos da figura 14 para as freqüências medidas, ou seja, 109 Hz e 912 Hz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (c) (d) 
 
Figura 14: Simulação da Ressonância de Helmholtz (a) e dos três primeiros harmônicos 
dos modos normais (b, c e d, respectivamente) para a garrafa 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15: Sinal do microfone ao longo do comprimento da garrafa 2. 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
(a)
Medida em 912 Hz
A
m
pl
itu
de
 (u
.a
)
Posição do microfone (cm)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
A
m
pl
itu
de
 (u
.a
.)
Posição do microfone (cm)
(b)
Medida em 109 Hz 
 11
3. Fotos da montagem experimental: 
 
 
 
Figura 16: Vista frontal do experimento: Aparato experimental com as 
garrafas 1, 2 e 3 com diferentes volumes. 
 
 
 
Figura 17: Caixas de som e microfone 
 
 
 
1
2 
3 
Aprox. 10 cm 
 12
 
Figura 18: Microfone dentro da garrafa. 
O cabo do microfone foi revestido por um arame para que formasse uma haste 
rígida. Assim pudemos prender o microfone na haste externa. 
 
 
Figura 19: Microfone fixo pela haste dentro da garrafa 1 para realização 
das medidas. As espumas servem para redurzir vibrações e ruídos. 
 
 
 
Haste fixadora 
Microfone 
Microfone 
 13
 
Figura 20: Montagem experimental final dentro da caixa móvel. 
 
 
Figura 21: Montagem experimental final. 
 
 
 14
 
Figura 22: Montagem para a medida 3 dos ventres e nós de pressão. 
 
Figura 23: O microfone dentro da garrafa é deslocado de passos de 1 cm. 
 
5 Declaração do orientador 
 
Meu orientador realizou os seguintes comentários: “O trabalho realizado 
atingiu plenamenteo objetivo proposto. A estudante conseguiu demonstrar a 
fenomenologia da ressonância de Helmholtz, bem como o comportamento da 
freqüência dessa ressonância em função das dimensões do ressonador. Na 
verdade foi além, mostrando também a presença dos modos normais 
longitudinais e transversais em freqüências elevadas, bem como fazendo o 
mapeamento dos ventres e nós de pressão dentro da garrafa. Considero o 
relatório final um texto instrutivo no assunto de ondas sonoras em tubos e 
cavidades. Observo finalmente que as tabelas apresentam o erro estimando, 
 15
tanto para as freqüências calculadas como para as medidas. Neste último caso a 
estimativa é exagerada, e ainda assim vemos uma boa concordância entre o 
cálculo e a medida.” 
 
Apêndice I 
Cálculo da freqüência de ressonância de Helmholtz 
 
O ressonador é composto de uma cavidade de volume V (corpo de uma 
garrafa), com uma abertura conectada por um pescoço de comprimento L e área 
de seção transversal A. 
 
 
Figura 24: Esquema do ressonador (uma garrafa). 
 
Quando uma perturbação externa move o ar contido no pescoço, este 
comprime o ar no volume da cavidade. Com isto, a pressão do ar na cavidade é 
aumentada, passando da pressão atmosférica P0 para (P0 + dP). Assim, a massa 
de ar no pescoço passa a sentir uma força restauradora, proveniente da diferença 
entre a pressão interna e a externa (dF = dP x A). Essa força é proporcional ao 
deslocamento da massa de ar do pescoço, e o movimento realizado por essa 
massa é o mesmo que o de um sistema massa-mola. Calculando-se a constante 
de mola, chegamos à freqüência natural do sistema, que é a freqüência de 
ressonância de Helmholtz: 
 
VL
Ac=0ω 
sendo c = 340 m/s a velocidade do som no ar. Segue abaixo a dedução da 
expressão. 
 
AdydV = [1] 
ctePV =γ [2] (Isso vale porque estamos considerando uma 
compressão/expansão adiabática, pois a mesma é rápida) 
 
Logo, diferenciando a equação [2] acima: 
 
01 =+− dPVdVPV γγγ [3] 
 
Assim, dV
V
PdP γ−= [4] 
Sendo a força dada por: dV
V
PAAdPdF γ−== [5] 
V,P 
L
A
 16
Dessa forma, dy
V
PAdF
2γ−
= sendo k=
V
PA2γ
, assim dF=- k dy , que é a equação 
de um oscilador harmônico simples. 
 
Na figura 25 abaixo vemos um esquema da garrafa com as diferenciais de força. 
 
 
Figura 25: Esquema do ressonador com a indicação da força restauradora. 
 
Temos que a freqüência natural do oscilador é: 
m
k
=0ω , e ρ
γPc = mas, LAm ρ= 
Após alguns rearranjos: 
VL
Ac=0ω [6] 
 
 
 
 
V 
P+dP 
L
A
dF
dy 
 17
Apêndice II 
 
Ondas sonoras no ar: a equação de onda [5] 
 
 
Figura 26: Esquema de uma onda sonora causando perturbação. 
 
Sejam as variáveis: 
 
 x: posição de equilíbrio de uma das faces da camada de ar. 
 ∆x: espessura de equilíbrio da camada de ar. 
),( txχ : perturbação introduzida na posição x e no tempo t. 
),( txx ∆+χ : perturbação introduzida na posição (x+∆x) e no tempo t. 
0ρ : densidade do equilíbrio. 
:0P pressão no equilíbrio. 
 
eρρρ += 0 sendo, )( 0ρρ 〈〈e e )( 0PPe 〈〈 
ePPP += 0 
 
A variação de densidade leva à variação de pressão. Se escrevermos a 
pressão como uma função da densidade temos: 
 
)(ρfP = [7] 
 
Se expandirmos a equação 7 em uma série de Taylor, e desprezamos os 
termos de segunda ordem e termos muito pequenos encontramos: 
 
( ) ( ) ...)()( 202
2
00
00
+−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
==
ρρ
ρ
ρρ
ρ
ρρ
ρρρρ d
Pd
d
dPPP (Série de Taylor) 
 
( )00
0
)()( ρρ
ρ
ρρ
ρρ
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=−
=d
dPPP onde ( )0ρρ − 0ρ〈〈 
Substituindo: 
 
)()( 0ρρ PP − = eP e ( )0ρρ − = eρ 
 
 
 
 
 
0ρ ρ
x x+∆x Posição 
Inicial 
),( txx χ+ ),()( txxxx ∆++∆+ χ 
Final 
 18
Assim, 
 
eP
0ρρ
ρ =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
d
dP
eρ = b. eρ em que, b 
0ρρ
ρ =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
d
dP
[8] 
 
Agora vamos calcular a variação de volume devido a variação de densidade. 
 
0ρ A ∆x = [((x+∆x) + ),( txx ∆+χ )-(x+ ),( txχ )]* Aρ 
0ρ = ρ [1+ x
txtxx
∆
−∆+ ),(),( χχ
] onde 
x
txtxx
∆
−∆+ ),(),( χχ = 
x∂
∂χ 
0ρ = ( eρρ +0 )[1+ x∂
∂χ
]= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
xx ee
χρρχρρ 00 
 
Simplificando a equação acima. 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
xx ee
χρρχρ0 =0 , sendo )( 0ρρ 〈〈e e 1〈〈∂
∂
x
χ podemos desprezar o 
segundo termo da equação e encontrar a relação entre as densidades. 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
xe
χρρ 0 [9] 
Pela 2ª Lei de Newton: 
 
amF .= , assim se considerarmos nosso problema: 
[ ] AtxxPtxP
t
xA *),(),(* 2
2
0 ∆+−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∆
χρ 
Cancela-se a área (A) de ambos os lados : 
 
[ ]
x
txxPtxP
t ∆
∆++−
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ ),(),(
2
2
0
χρ =
x
P
∂
∂
− 
Definimos no começo que ePPP += 0 , sendo assim x
P
x
P e
∂
∂
=
∂
∂ 
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
2
2
0 t
χρ -
x
Pe
∂
∂ [10] 
Da equação 8 e 9 temos: 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−==
x
bbP ee
χρρ 0 , derivando parcialmente em relação a x: 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
∂
∂
2
2
0 x
b
x
Pe χρ , substituímos esse resultado na equação 10 acima e 
encontramos a equação de onda. 
 
01 2
2
2
2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
tbx
χχ
 [11] 
 19
Sendo b a velocidade ao quadrado da onda, 
 
b=
0
2
ρρρ =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
d
dPv 
 
Calculando a derivada encontramos: 
0
1
0
ρρρρ ρρ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
= d
dPV
d
dV
dV
dP
d
dP
 
Finalmente encontramos a velocidade da onda: 
 
000
1
1
11
ρκρρ
B
dP
dV
V
v
s
==
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
= em que 
s
B
κ
1
= [12] 
 
 
 20
Referências 
 
[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Resson%C3%A2ncia_de_Helmholtz, acesso em 
06/09/2010. 
 
[2] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, Vol. 2, 8ª ed., pág. 
115-172. 
[3] http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/acustica/resonador/resonador.htm, 
acesso em 06/09/2010. 
[4] http://pt.wikipedia.org/wiki/Ocarina, acesso em 06/09/2010. 
 
[5] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, 
Addison-Wesley, 1977. 
 
[6] A.M.Mansanares, tese de doutorado IFGW- Unicamp, 1991 
 
 
 
 
 
 
 
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