Teorema de Stone-Weierstrass e Convexidade em Espaços Topológicos

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O Teorema de Stone-Weierstrass e a Unicidade no Teorema de Bernstein ,
Desenvolvimentos da Convexidade em Espaços Topológicos.
Alunos:
Alexandre Reggiolli Teixeira, R.A. 163407
Carlos César De Oliveira, R.A. 149129
1.Introdução
No presente trabalho, apresentaremos o teorema de Stone-Weiertrass num
contexto da teoria da convexidade de espaços topológicos. Apesar de pare-
cer uma abordagem pouco ortodoxa, tal apresentação do teorema e suas rami-
ficações demonstrará que a convexidade é uma ferramenta poderosa no estudo
de espaços topológicos e que, combinada com resultados auxiliares, torna-se
essencial na descrição daquilo que é denominada Teoria de Choquet. Dito isto,
procederemos da seguinte maneira: primeiramente, definiremos os conceitos de
pontos extremos e conjuntos extremos com a hipótese adjacente de convexi-
dade. Com tais definições em mãos, utilizaremos conceitos básicos de espaços
topológicos para relacionarmos funcionais lineares em tais espaços com o con-
ceito de topologia fraca e continuidade de funcionais. Após isso, com a ajuda
da teoria clássica da medida, enunciaremos o teorema de Riesz-Kakutani no
contexto de medidas com sinal de variação total finita. Por fim, combinada com
outros resultados de teoria da convexidade, como o teorema de Krein-Milman,
demonstraremos o teorema de Stone-Weierstrass (SW) através da abordagem de
Peter D. Lax apresentada em [1]. Como aplicações, apresentaremos o teorema
de Bernstein para medidas de Borel.
2. Teoria Básica da Convexidade
Como dito na introdução, começaremos por conceitos básicos da teoria da
convexidade. Supomos que o leitor possui um conhecimento elementar de teoria
dos espaços lineares e outros tópicos de álgebra linear. Com isso em mente,
começaremos com o ”ator” principal desta seção:
Def. 1 (Espaços Lineares Convexos): Seja X um espaço linear sobre os reais;
dizemos que Y subsespaço de X é convexo se, sempre que x,y são elementos de
Y, então o conjunto de pontos da forma
ax+ (1− a)y, 0 ≤ a ≤ 1 (1)
Também pertence ao conjunto Y.
Nota 1: Observe que tal conceito diz, simplesmente, que dados dois pontos
(digamos, x e y) num conjunto Y, o segmento de pontos extremos x e y também
está dentro do conjunto.
1
Como exemplos de espaços convexos, podemos citar, tomando X=R2 , o
disco circular, o triângulo e o semićırculo. Como exemplo mais interessante,
seguindo a referência [2], podemos citar que todo subespaço linear de um espaço
linear é convexo. Afinal, para quaisquer elementos em tal espaço, basta tomar
uma combinaçao linear qualquer (em particular, na forma (1)) de tais elementos
que esta continua dentro do conjunto. Portanto, mostrando que tal subespaço
linear é, de fato, convexo.
Outra afirmação pouco trivial e de grande importância sobre os conjuntos
convexos é a seguinte: uma intersecção arbitrária de convexos continua sendo
um conjunto convexo. Para os interessados na demonstrção, ver a referência [1].
Mesmo com tais exemplos em mente, a importância dos conjuntos convexos
para o leitor pode ainda parecer obscura. A patir daqui, com estruturas mais
ricas matematicamente, veremos que os conjuntos convexos são objetos muito
interessantes e úteis em outras áreas da matemática. Para começar, a seguinte
definição:
Def. 2 (Convex Hull): Seja H qualquer subconjunto de um espaço linear X
sobre os reais. O Convex Hull de H é definido como a intersecção de todos os
conjuntos convexos que contém H. Denotaremos tal conjunto por Ĥ .
A definição acima será importante na demonstração do teorema de Krein-
Milman, peça chave na construção do teorema principal deste trabalho (e que
encontra-se no t́ıtulo). Até lá, tal ideia será deixada de lado. Agora, para (quase)
finalizarmos as definições da primeira seção, enunciaremos uma (definição mais
importantes até agora:
Def. 3 (Subconjunto e ponto extremos): Um subconjunto Y de um conjunto
convexo X é dito um subconjunto extremo de X se:
1-) Y é convexo e não vazio
2-) Sempre que podemos expressar um ponto x pertencente a Y como x=
y+z
2 , com y e z em X, então ambos y e z pertencem ao conjunto Y.
Um conjunto extremo que consiste de apenas um ponto é dito um ponto
extremo.
Pare deixar a definição mais palpável, vejamos dois exemplos:
1-) O disco aberto não possui pontos extremos.
2-) Se X é o intervalo fechado de extremos 0 e 1, então os pontos 0 e 1 são
extremos.
Com tais definições em mãos, podemos construir uma das principais ferra-
mentas do estudo da convexidade de/em espaços topológicos, os espaços topológicos
lineares localmente convexos (LCT). Então,
2
Def. 4 (Espaços LCT lineares): Um espaço topológico linear localmente
convexo,chamemos-no de X, é um espaço linear sob os reais com a topolo-
gia Hausdorff (i.e, para cada par de pontos no espaço conseguimos vizinhaças
topológicas destes que sejam disjuntas) que possui as seguintes propriedades:
(i) Adição é uma função cont́ınua; isto é (x,y) x+y é um mapa cont́ınuo de
X x X em X
(ii) Multiplicação por escalares do corpo (reais) é uma função cont́ınua; isto
é (k,x)kx é um mapa cont́ınuo de R x X em X.
(iii) Existe uma base de convexos para os abertos na origem; isto é qualquer
aberto que contém a origem também contém um conjunto convexo aberto que
contém a origem.
Tais espaços da Def. 4 são, de fato, uma das peças fundantes da moderna
teoria da convexidade contida na análise funcional. Como veremos não muitas
páginas adiantes, tal definição combinada com os teoremas de Kein-Milman e
Riesz-Kakutani , e com algumas noções de diferentes topologias num espaço Ba-
nach (como a topologia fraca e topologia fraca*), possbilitará realizarmos uma
demonstração do teorema de SW diferente da maioria das demonstrações encon-
tradas na literatura. Para continuar com tal objetivo, seguem cinco resultados
preliminares (que não demonstraremos , ver referência [1]) que utilizaremos na
demonstração do teorema de Krein-Milman:
Proposição 1: Seja K um subconjunto convexo de um espaço LCT linear
X. Então, o fecho de K, K , éconvexo.
Proposição 2: A intersecção não vazia de subonjuntos extremos de um
conjunto K é um subconjunto extremo de K.
Proposição 3: O inverso da imagem de um subconjunto extremo por uma
função cont́ınua é extremo.
Teorema 1: Denote por K um subconjunto fechado e convexo em um espaço
LCT linear X. Seja z um ponto que está em X, mas não em K. Então, existe
um funcional linear cont́ınuo em K tal que:
l(y) ≤ c (2)
para todo y em K, tal que l(z)≥ c.
Teorema 2: Os funcionais lineares cont́ınuos (isto é, mapas lineares cont́ınuos
do espaço linear nos reais) em um espaço LCT linear X separam pontos. Isto é,
se y e z são pontos distintos de X, existe um funcional linear cont́ınuo l tal que
l(y) 6= l(z) (3)
3
Agora, para o teorema principal:
Teorema 3 (Krein-Milman): Seja X um espaço LCT linear e K um
subconjunto não-vazio, convexo e compacto de X. Então,
(i) K possui pelo menos um ponto extremo.
(ii) K é fecho do convex hull do conjunto de seus pontos extremos.
Para a demonstração, seguiremos o esquema de Peter D. Lax em [1].
Dem: Considere a coleção {Ej } de todos os subconjuntos extremos não-
vazios de K. Essa coleção é não-vazia, pois ela contém o próprio K. Ordene
parcialmente essa coleção por inclusão. A afirmação é a seguinte: toda sub-
coleção totalmente ordenada {Ej } possui uma cota inferior. Em particular, tal
cota inferior é a intersecção ∩Ej .Para realmente observar tal fato, precisamos
demonstrar que tal intersecção é não-vazia, fechada e extrema (no sentido de
conjuntos extremos).
Tal fato segue-se da seguinte afirmação: todo subconjunto finito da coleção
totalmente ordenada {Ej } possui uma intersecção não vazia (isto é, se re-
alizarmos o mesmo procedimento anterior das intersecções de {Ej }, mas com
uma subcoleção, tal intersecção das subcoleções nãoé vazia). Afinal, sendo
totalmente ordenada por inclusões, a intersecção de um subconjunto finito da
coleção {Ej } é o menor membro de tal subconjunto. Para demonstrar que ∩Ej
é não vazio, argumentemos por absurdo. Suponha que ∩Ej seja vazia, então a
união dos complementos de cada Ej cobre K. Como K é compacto, conseguimos
obter uma subcoleção finita dos {Ej } que também cobre K, mas então a inter-
seccção dessa subcoleção obtida de {Ej } é vazia, que é uma contradição. Agora,
como a coleção {Ej } é constitúıda de conjuntos fechados, então sua intersecção
é um conjunto fechado. Pela proposição 2, a intersecção ∩Ej é um subconjunto
extremo de K.
Conclúımos, então, pelo lema de Zorn, que K possui um subconjunto fechado
e extremo E que é mı́nimo com respeito à inclusão. Afirmamos que tal E consiste
de apenas um ponto. Para demonstrar tal fato, suponha por absurdo que E
consiste de dois pontos. De acordo com o teorema 1, existe um funcional linear
cont́ınuo em E que separa tais pontos. Como E é compacto, e l cont́ınuo e
não constante em E, l atinge máximo em algum suconjunto próprio M de E.
Além disso, como l é cont́ınuo e E fechado, então M é fechado. Pela proposição
3, o subconjunto M de E é extremo em E. Além disso, é fácil ver que (ver
referência [1]) se E é um subconjunto extremo de um conjunto K, e M é um
subconjunto extremo de E, então M é um subconjunto extremo de K. Como E é
um subconjunto extremo minimal de K, e M um subconjunto de K menor que E,
possuimos uma contradição, pois assumimos que E é minimal (mas, concluimos
que M é menor do que E). Portanto, E consiste de apenas um ponto. Como E é
suconjunto extremo de K e possui apenas um ponto, então E é ponto extremo
4
de K.
Agora, para a parte (ii):
Seja K e o conjunto de todos os pontos extremos de K, e CHKe o convex
hull de K e. Da teoria básica de conjuntos fechados, sabemos que mostrar que
todo ponto de K pertence ao fecho do convex hull de K e é o mesmo que mostrar
se um ponto qualquer não pertence à tal fecho, então não pertence a K. Pela
proposição 1, o fecho de CHKe é um conjunto convexo. Portanto, se z não
pertence ao fecho, então aplicando o teorema 1 a CHKe , segue que existe um
funcional linear cont́ınuo l tal que
l(y) ≤ c (4)
para todo y em CHKe , l(z)≥c.
Como K é compacto e l é cont́ınuo, pelo mesmo argumento da parte 1, l
atinge máximo em K em algum suconjunto fechado E de K. Em particular, E é
um suconjunto extremo de K (ver referência [1], corolário 8’ caṕıtulo 1). Agora,
como consequência da parte (i), E contém algum ponto extremo p de K. Como
p pertence a K e , e logo ao convex hull de K e, segue de (4) que l(p)≤ c . Pois
por construção l(p)=maxK l(x), l(x)≤l(p)≤c para todo x em K. Como por (1.4),
l(z)≥ c, isso prova que z não pertence a K (pela aplicação do teorema 1).
Portanto, terminamos a demonstração do teorema de Krein-Milman.
3. Teoria da Medida e Topologia de espaços Ba-
nach.
Nesta seção, utilizaremos a união clássica entre a teoria dos funcionais lin-
eares e a teoria da medida para examinar mais de perto o teorema da repre-
sentação de Riesz-Kakutani. Nesse processo de examinação, ainda definiremos
o que significa uma função de conjuntos ser uma medida -também no caso onde
esta pode assumir valores negativos- , e a propriedade de variação finita de me-
didas. Além disso, definiremos a noção de topologia fraca* num espaço Banach
e enunciaremos o teorema de Alaoglu.
Def. 5 (Medida): Seja X um conjunto qualquer e σ a sigma-álgebra de X.
Então, dizemos que uma função de conjuntos µ : σ −→ R+ é uma medida se:
1-) µ(∅) = 0
2-) (sigma-aditividade) Seja A1, A2 , ....., uma sequência contável (i.e, finita
ou enumerável) de conjuntos disjuntos em σ. Então, µ(∪Ai) =
∑
Ai.
Obs:Um subconjunto A de X é dito mensurável se A pertence a sigma-álgebra
de X.
5
Note que a definição de medida é uma generalização da noção usual do
tamanho de um dado conjunto. Em particular, temos os seguintes exemplos:
Ex. 1: Tome X=[a, b], σ a sigma-álgebra de Borel de X e µ a medida
de Lebesgue de X. Então, temos que µ(X) = b − a; isto é, o tamanho do
intervalo. Para o caso de subintervalos de X, temos a mesma definição da
medida. Além do exposto anteriormente , em cursos de medida mais avançados é
posśıvel mostrar que tal fato generaliza-se para mais dimensões (i.e, a medida de
Lebesgue de um cubóide qualquer em Rn, com n>1, é simplesmente o produto
das medidas de Lebesgue de cada cartesiano que compõe tal cubóide), mas
possui problemas no caso de X=R ou alguns outros conjuntos espećıfcos (como
o conjunto de Vitalli). Nestes casos, entram em jogo aquilo que chamamos de
medida exterior de conjuntos, o teorema da caracterização de Carathéodory, e
vários outros resultados complicados. Em particular, existem alguns exemplos
de conjuntos que sequer são Lebesgue-mensuráveis (i.e, que não conseguimos
calcular as medidas deles). Aqui, não entraremos em tais detalhes (ver referência
[3]).
Ex. 2: Tome X=N, σ o conjunto das partes de X, e µ = δ a medida pontual
(ou de Dirac). Em particular, seja A ⊂X, e x0 um dado ponto de X. Então,
definimos µ como:
δ(A) = 1↔ x0 ∈ A (5)
δ(A) = 0↔ x0 /∈ A (6)
Em particular, como a “massa total” de X é 1, tal medida pontual é dita
uma medida de probabilidade (isto é, uma medida que assinala massa total 1
para um conjunto base, nesse caso X).
Aqui, assumiremos indiscriminadamente a noção de integração de uma função
mensurável (i.e, que a imagem inversa de cada conjunto mensurável é men-
surável). Isto é, se f:X 27F6 R é uma função mensurável, então definimos algo
do seguinte tipo como sendo a integral de f com respeito a uma medida µ:
E[f ] =
∫
f(x)dµ(x) =
∫
f+(x)dµ(x)−
∫
f−(x)dµ(x) (7)
Onde,se f é uma função positiva, isto é f:X 27F6 [0,∞]:
E[f ] = sup
s≤f
∫
s(x)dµ(x) (8)
6
Sendo que s é dita uma função simples ou função escada (i.e, assume finitos
valores de imagem). Por fim, sendo αi as imagens da função com i=1,....,n, e
Ai= α
−1
i ={ x em X tal que s(x)=αi} definimos:
E[s] =
∫
s(x)dµ(x) =
∑
αiµ(X ∩Ai) (9)
A notação E[.] é oriunda da teoria da probabilidade (ver referência [4]), onde
E é o śımbolo do que denominamos de ”esperança matemática” (mathematical
expectation). Com parte do teorema de SW será feita com medidas de massa
total menor ou igual a um, então seguiremos tal notação. Não computaremos
explicitamente nenhuma integral deste tipo no pesente trabalho. Apesar disso,
vale notar que tal noção de integração é muito poderosa, e consegue resolver
diversos problemas não cobertos pela integral de Riemann clássica.
Agora, medidas com sinal:
Com a mesma notação de anteriormente, sendo X um conjunto e σ sua
sigma-álgebra, temos que:
Def. 6: Uma função de conjuntos µ : σ −→ R é uma medida com sinal se ela
é sigma-aditiva,i.e., para qualquer sequência de conjuntos disjuntos dois-a-dois
{Ai } em σ seque que
∑
|µ(Ai)| <∞, µ(∪Ai) =
∑
µ(Ai) (10)
Agora, enunciaremos um teorema-definição para a variação total de uma
medida com sinal:
Teorema 4: Seja µ : σ −→ R uma medida com sinal e defina,
|µ| (A) = sup{µ(E)− µ(F ) \ σ 3 A,F ;E ∩ F = ∅;E ∪ F = A} (11)
Para σ 3A.
Então, |µ(A)| ≤|µ| (A) < ∞ para todo A em σ e |µ|:σ −→[0,∞) é uma
medida, chamada a variação total de µ.
Agora, enunciamos o teorema da representação de Riesz-Kakutani:
Teorema 5 (Riesz-Kakutani): Seja Q um espaço de Hausdorff compacto,
C(Q) o espaço das funções reais cont́ınuas em Q com a norma do máximo. Então:
7
(i) Sendo C’ o dual de C, então C’ consiste no conjunto de todas as medidas
com sinal µ com massa total finita definidas em todos os Boreis de Q. Isto é,
qualquer funcional linear limitado l em C(Q) poder ser escrito como
l(f) =
∫
Q
f(x)dµ(x) (12)
E a norma de l é:
|l| =
∫
Q
|dµ| (13)
A medida µ é unicamente determinada por l.
(ii) C” (o dual do espaço dual)é L ∞ (Q), o espaço de todas as funções
Borel-mensuráveis e limitadas em Q.
Tal teorema possui uma importância expressiva dentro da teoria da medida,
pricipalmente na caracterização dos espaços L p (µ,X) e seus duais. Em partic-
ular, também, no estudo das medidas de Borel em espaços topológicos. Apesar
de tal importância, não demonstraremos o resultado aqui (ver [3]). Agora, va-
mos definir a noção de topologia fraca* em um espaço Banach. Mas, antes,
defininamos a topologia forte:
Def. 6 (Topologia Forte): Seja X um espaço Banach, então a topologia forte
é a dita ”norm topology”, i.e, a topologia em que dado um conjunto U de X,
podemos caracterizar que U é aberto se e somente se para cada x0 em U existe
� > 0 tal que {x em X;‖x− x0‖ < �} ⊂U.
Intuitivamente, a topologia fraca em um espaço Banach (não confundir com
a topologia fraca*) é a topologia mais fraca de modo que todos os funcionais
limitados em tal espaço sejam cont́ınuos. Como qualquer funcional linear limi-
tado é cont́ınuo na topologia forte (ver referência [1]), que é induzida, intuitiva-
mente, pelo sup da imagem do operador pela norma do argumento, seque que a
topologia fraca é mais ”grossa” que a topologia fraca. Agora, vamos à definição
principal:
Def. (topologia fraca*): A topologia fraca* em um espaço de Banach U,
sendo U espaço dual de um espaço Banach X, é a topologia mais grossa (crudest
topology) no qual todos os funcionais lineares da forma
x : U −→ R, x(l) := l(x) (14)
,onde l é um funcional linear em X, são cont́ınuos.
8
Agora, vamos relacionar, através do último teorema dessa seção, a topologia
fraca* com a velha (e clássica) bola fechada:
Teorema 6 (Alaoglu): A bola unitária fechada B em um espaço Banach
U, dual de um espaço Banach X, é compacta na topologia fraca*.
A demonstração deste teorema envolve, resumindo, a aplicação de alguns
teoremas e definições topológicas -como o teorema de Tychonov e a topolo-
gia produto- no funcionamento de funcionais lineares. Não faremos tal demon-
stração aqui (para maiores informações sobre topologia, veja [5], e para a demon-
stração do teorema [1]).
4. Teorema de Stone-Weierstrass.
Nesta seção, demonstratemos o principal teorema deste trabalho, um resul-
tado associado aos nomes dos matemáticos Stone e Weierstrass. Historicamente,
o resultado ligado ao nome de Weiertrass mostrou-se bem mais fraco do que o
provado aqui, pois só funcionava para o caso da reta real e com polinômios em
mente. Nesta seção, provaremos o resultado generalizado por Stone (que rece-
beu o nome de teorema de Stone-Weierstrass) no caso de um espaço de funções
(quase) arbitrário. Como dito na introdução, seguiremos a demonstração do
teorema dada por Louis de Branges, que utiliza o teorema de Krein-Milmam, e
apresentada no livro ”Functional Analysis” (referência [1]) escrito por Peter D.
Lax. Então, vamos lá:
Teorema de Stone-Weiertrass: Seja S um espaço de Hausdorff compacto
e C(S) o espaço de todas as funções reais cont́ınuas em S. Seja E uma sub-álgebra
de C(S) . Agora, impomos as seguintes condições em E:
(i) E separa os pontos de S, isto é, dado qualquer par de pontos p e q em S,
tal que p6= q, existe uma função f em E tal que f(p)6= f(q)
(ii) Todas as funções constantes de C(S) pertencem a E.
Então, E é denso em C(S) com a norma do máximo.
Antes da demonstração, enunciaremos mais um resultado:
Def. 7: O ”closed linear span” de um subconjunto {yj } de um espaço
linear normado é o menor espaço linear fechado contendo todos os yj , isto é, a
intersecção de todos os espaços lineares fechados contendo todos os yj .
Teorema 7 (Spanning criteria): Um ponto z de um espaço linear nor-
mado X pertence ao closed linear span Y de um subconjunto {yj } de X se e
somente se todo funconal linear limitado l que é zero em tal subconjunto é zero
em z; isto é:
9
l(yj) = 0, (15)
para todo yj temos que l(z)=0.
Tal teorema é de extrema importância em diversas partes da análise fun-
cional. Para uma demonstração de tal resultado, ver [1].
Agora, para SW:
Dem. (Stone-Weierstrass): De acordo com o teorema 7 acima, E é denso em
C(S) se o único funcional linear l em C(S) que é zero em E é o próprio funcional
nulo. Por sua vez, de acordo com o teorema da representação de Riesz-Kakutani,
os funcionais lineares em C(S) são da forma
l(f) =
∫
S
f(x)dµ(x) (16)
Com µ uma medida com sinal de variação total ‖µ‖ =
∫
|dµ| finita. Então,
como o teorema garante uma determinação única entre o funcional linear e a
medida µ, precisamos mostrar que se
∫
S
f(x)dµ(x) = 0 para toda f em E, então
µ = 0.
Vamos provar tal fato por absurdo. Suponha que o fato anterior ocorre ,
mas µ 6= 0. Sendo assim, denote por U o conjunto das medidas com sinal com
massa total finita ≤ 1 e que aniquilam todas as funções em E. Vamos clarificar
melhor esse último ponto: aniquilar, pelo teorema de Riesz-Kakutani, significa
que o funcional linear de f definido pela medida λ em U é sempre zero. Vamos
mostrar que tal conjunto U é convexo:
Sejam λ e ν medidas aniquiladoras em U. Tome aλ+(1-a)ν, com 0≤ a ≤1,
uma combinação convexa de λ e ν. Então,
l(f) =
∫
E
f(x)d(aλ+ (1− a)ν) = a
∫
E
f(x)dλ+ (1− a)
∫
E
f(x)dν = 0 (17)
(tal fato também funciona com a uma função com valores entre 0 e 1)
Afinal, λ e ν são aniquiladoras de f. Mas, então, a combinação linear convexa
é aniquiladora. Logo, U é convexo. Então, de acordo com o teorema de Alaoglu,
também é compacto na topologia fraca*. Então, pelo teorema de Krein-Milman,
se U contesse uma medida não nula, ele conteria um ponto extremo não nulo;
chame-o de ξ. Como ξ é extremo, ‖ξ‖ = 1. Pelas propriedades de uma álgebra,
e como E é uma álgebra, se f e g estão em E, então gf também. Como ξ aniquila
qualquer função em E,
10
∫
(fg)(x)dξ(x) = 0 (18)
Então, utilizando um fato clássico da teoria da medida (gdξ define uma
medida), gdξ também aniquila qualquer função em E. Seja g uma função em E
para a qual os valores de g estão entre 0 e 1, isto é, 0<g(p)<1 para todo p em
S.
Denote
a = ‖gξ‖ =
∫
g |dξ| , b = ‖(1− g)ξ‖ =
∫
(1− g) |dξ| (19)
Claramente, a e b são positivos. Some-os:
a+ b =
∫
|dξ| = 1 (20)
A identidade,
ξ = a
gξ
a
+ b
(1− g)ξ
b
(21)
representa ξ omo uma combinação convexa não-trivial de gξ\a e (1-g)ξ\b,
que são pontos de U. Como ξ é um ponto extremo, ξ precisa ser igual a gξ\a.
Defina o suporte de uma medida ξ como o conjunto de pontos p que pos-
suem a propriedade que
∫
N
|dξ| > 0 para qualquer aberto N contendo p. Se
ξ=gξ\a, segue que g possui o mesmo valor em todos os pontos do suporte de ξ.
Afirmamos que o suporte de ξ consiste de apenas um ponto. Para demonstrar
tal fato, suponha que p e q, com p e q diferentes, sejam pontos do suporte de
ξ. Como as funções em E separam os pontos de S, existe uma função h em
E, h(p) 6=h(q). Adicionando uma constante grande o suficiente a h e dividindo
tal resultado por outra constante bem grande, obtemos uma função g com val-
ores entre 0 e 1, e g(p)6=g(q). Mas, isso é uma contradição com a nossa última
conclusão (afinal, teŕıamos apenas um ponto no conjunto em vez de dois).
Uma medida µ o qual o suporte consiste de apenas um ponto p, e ‖µ‖ = 1,
é uma medida pontual em p. Logo,
∫
fdµ = f(p) (22)
ou
11
∫
fdµ = −f(p) (23)
Como, por hipótese, a constante 1 pertence a E,
∫
fdµ 6= 0 para f≡ 1 em E,
uma contradição. Portanto, o teorema está provado.
5. Aplicações no Teorema de Bernstein.
Para uma aplicação direta do teorema de SW, apresentaremos um resul-
tado clássico de unicidade devido a Bernstein, que diz respeito a representação
integral de funções limitadas e completamente monótonas no intervalo (0,∞).
Para isso, daremos uma definição preliminar . Apesar disso, como em várias
partes desse texto, não demonstratemos maioria dos resultados. Em particular,
demonstraremos apenas a unicidade da medida de representação doteorema de
Bernstein, e não o caso geral. Para isso, ver referência [5].
Def. 7: Uma função real f em (0,∞) é dita completamente monótona se f
possui derivadas de todas as ordens e, sendo f (n) a n-ésima derivada de n, (-
1) n f (n)≥ 0 . Em particular, isso significa que f é não-negativa e não-crescente,
assim como as funções (-1) n f (n) .
Como exemplos, temos f(x)=x -α e f(x)=exp(-αx ), com α≥0.
Agora, enunciaremos o teorema de Bernstein:
Teorema de Bernstein: Se f é limitada e completamente monótona em
(0,∞), então existe uma única medida de Borel µ em [0,∞] tal que µ([0,∞]) =
f(0+) e para cada x>0,
f(x) =
∫ ∞
0
e−αxdµ(α) (24)
Dem (unicidade): Suponha que exista uma segunda medida (além de µ) ν
em [0,∞] tal que f(x)=
∫∞
0
e−αxdν(α) (x>0) e ν([0,∞]) = f(0+). Para cada
x≥ 0 a função α −→ e−αxé cont́ınua em [0,∞] (pois a função exponencial é
uma função cont́ınua). Seja A a sub-álgebra de C([0,∞]) (a álgebra das funções
cont́ınuas no intervalo [0,∞]) gerada por tais funções; A consiste de todas as
combinações lineares das funções exibidas anteriormente (funções de α) e µ e
ν são iguais como funcionais lineares em C([0,∞]) (isso pelo teorema de Riesz-
Kakutani, pois podemos representar µ e ν como funcionais de tais funções,
mas todas são combinações lineares umas das outras, então os funcionais são
os mesmos). Como A separa pontos em [0, ∞], o teorema de Stone-Weierstrass
nos garante que A seja denso em C([0,∞], então µ = ν.
Tal demonstração mostra a unicidade da medida utilizada no teorema de
Bernstein. Como dito anteriormente, a demonstraçao completa do teorema é
12
trabalhosa e utiliza conceitos bastantes mais avançados do que os propostos
neste trabalho. Além disso, o único momento em que o teorema de SW desem-
penha papel chave é, exatamente, no estabelecimento da unicidade das medidas
utilizadas no teorema. Portanto, tal fato mostra-se como uma justificativa par-
cial para omitirmos toda a demonstração (mas, novamente, caso seja de interesse
veja [5]).
Com isso, conclúımos tal apresentação básica do teorema de Stone-Weierstrass
e sua relação com o teorema de Bernstein.
6. Referências.
[1] P. D. Lax, Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002.
[2]E. L. Lima, Espaços Métricos, IMPA, 1980.
[3] D. Salamon, Measure and Integration, EMS-Mathematics, 2016.
[4] D. W. Stroock, Probability Theory: An Analytic View, Cambridge Uni-
versity Press, 2011.
[5] R. R. Phelps, Lectures on Choquet’s Theorem, Springer, 2001.
[6] Grafen, A. (2006). A Theory of Fisher’s Reproductive Value. Journal of
Mathematical Biology, 53, 15-60.
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