TransfLaplace-FT-2

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EM 621 - DMC - UNICAMP
TRANSFORMADA DE LAPLACE
■ Introdução
■ Transformada de Laplace
■ Propriedades da Transformada de Laplace
■ Definição da Função de Transferência
■ Conversão função de transferência para modelo de
estado
EM 621 - DMC - UNICAMP
Introdução
■ A partir do operador “p = d/dt” define-se a função
de transferência operacional.
■ A FTO pode ser entendida como uma função p/ o
módulo (ganho) e outra p/ a fase (fase).
■ Com a transformada de Laplace, este conceito
pode ser generalizado.
2
2
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Definição da Transformada de Laplace
A transformada de Laplace de uma função causal é
dada por:
onde s=σ+jω é a variável livre que assume valores
no plano complexo. Observe que o limite inferior
inclui qualquer descontinuidade que ocorra no
instante t = 0.
[ ]F s L f t f t e dtst( ) ( ) ( )= = −∞−∫0
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Existência da TL
Para a convergência da integral de Laplace de uma
função f(t), é necessário que exista um α > 0 tal
que
0)(lim =−
∞→
tfe t
t
α
3
3
EM 621 - DMC - UNICAMP
Existência da TL
0)(lim =−
∞→
tfe t
t
α
Maioria das funções
possuem um valor de α
Funções exponenciais
positivas
Funções que crescem a uma
taxa menor que a exponencial
não possui
um valor de α
2te
aparecem raramente em
problemas de engenharia
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Exemplo 5.1: TL da exponencial
■ Calcular para[ ])(tfL jcbaetf at +== − )(
[ ] ∫∫
∞
+−
∞
−−− ===
0
)(
0
)( dtedteeeLsF tasstatat
[ ]
asas
e
as
sF tas
+
=−
+
−=
+
−=
∞
+− 110
11
)(
0
)(
4
4
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Continuação
Para que exista a
transformada
0>+ bα
)(lim)(lim)(lim )()( jcttb
t
tjcb
t
att
t
eeeee −+−
∞→
++−
∞→
−−
∞→
== ααα
0)(lim =−
∞→
tfe t
t
α
Para que este limite
convirja a zero
(abcissa de convergência) b−>α
0)(lim )( =−+−
∞→
jcttb
t
ee α
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Exemplo 5.2: TL do degrau unitário
■ Calcular para a função degrau[ ])(tuL



>
≤
=



>
≤
= − 0 se 
0 se 0
0 se 1
0 se 0
)( 0 te
t
t
t
tu t
[ ]
ss
eLsF t
1
0
1
)( 0 =
+
== −
s
sF
1
)( =
0>αPara que exista a
transformada
Igual ao exemplo 1
5
5
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Propriedades da TL: Linearidade
P1: A transformada de Laplace é um operador linear
[ ] [ ] [ ])()()()( 22112211 tfLtfLtftfL αααα +=+
[ ] )()()()( 22112211 sFsFtftfL αααα +=+
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Exemplo 5.3: TL da cossenóide
■ Calcular para[ ])(tfL ttf ωcos)( =
[ ]tjtj eet ωωω −+=
2
1
cos
[ ])()(
2
1
)( tjtj eLeLsF ωω −+=
22
)(
ω+
=
s
s
sF



 += − )(
2
1
][cos tjtj eeLtL ωωω




+
+
−
=
ωω jsjs
sF
11
2
1
)(
6
6
EM 621 - DMC - UNICAMP
Continuação: TL da cossenóide
Para que exista a
transformada
0>α
0)]cos([lim =−
∞→
te t
t
ωα
0)(lim =−
∞→
tfe t
t
α
Para que exista o limite:
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Exemplo 5.4: TL do impulso unitário
■ Calcular para a função impulso unitário[ ])(tL δ




>
≤≤
<
=
0
00
 se 0
0 se 1
0 se 0
)(
tt
ttt
t
tf
01 t
)(tf
t
)(lim)(
00
tft
t →
=δ
[ ] dtetftfLtLsF st
tt
−
∞
→→ ∫=


==
0
00
)(lim)(lim)()(
00
δ
7
7
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Continuação
dtetfdtetfsF st
t
st
t
−
∞
→
−
∞
→ ∫∫ ==
0
0
0
0
)(lim)(lim)(
00



 −=




 −=
−
→
−
→
0
0
00
0
0
0
0
0
1
lim
11
lim
st
e
e
st
st
t
t
st
t
1lim
1
lim
0
0
0
0 00
0
=⇒−
−
→
−
→ s
se
st
e st
t
st
t
Aplicando
L’Hôpital: [ ] 1)( =tL δ
Como
0 ,0)( tttf >=
dte
t
dtetf st
t
t
st
t
−
→
−
∞
→ ∫∫ =
0
00 0 0
0
0
0
1
lim)(lim
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Propriedades da TL: Transformada da derivada
P2: Diferenciação real (com relação à variável t)
)0()(
)( −−=


 fssF
dt
tdf
L
generalizando 







−=





=
−
=
−−∑
0
1
0
1 )()(
)(
t
i
in
i
inn
n
n
dt
tfd
ssFs
dt
tfd
L
quando todas as
condições iniciais
são nulas
)(
)(
sFs
dt
tfd
L n
n
n
=





8
8
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Propriedades da TL: Transformada da integral
P3: Integração real
[ ]
0
)(
1
)(
1
)(
=
∫∫ −=
t
dttf
s
sF
s
dttfL
quando todas as
condições iniciais
são nulas
[ ]
s
sF
dttfL
)(
)( =∫
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Propriedades da TL: Teorema do valor final
P4: Valor Final
[ ] )()( sFtfL =se
)(lim
)(lim
0
sFs
tf
dt
df
L
s
t
→
∞→




e se
existem
)(lim)(lim
0
sFstf
st →∞→
=
9
9
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Propriedades da TL: Teorema do valor inicial
P5: Valor Inicial
[ ] )()( sFtfL =se
)(lim sFs
dt
df
L
s ∞→




e se
existem
)(lim)(lim
0
sFstf
st ∞→→
=
+
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Propriedades da TL: Translação no tempo
P6: Translação Real (u(t) é o degrau unitário)
[ ] )()()( sFeTtuTtfL sT−=−−
t
)()( TtuTtf −−
)(tf
T
Se existe a TL F(s) de uma função f(t)
10
10
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Propriedades da TL: Convolução no tempo
■ Transformada da convolução no tempo
∫ =−
t
sGsFdtgfL
0
)()(])()([ τττ
[ ] )()( sFtfL =
se
[ ] )()( sGtgL =
∫ −==
t
dtgftgtfth
0
)()()(*)()( τττ
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Propriedades da TL: Translação na freqüência
P7: Translação complexa
[ ] )()( asFtfeL at +=−
Se existe a TL F(s) de uma função f(t)
11
11
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Propriedades da TL: Funções periódicas
P8: Funções Periódicas
)(tf
onde
[ ] )(
1
1
)( 1 sF
e
tfL
sT−−
=
função periódica de período T
[ ])()( 11 tfLsF =
primeiro período de f(t)
)(1 tf
)(tf
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Propriedades da TL: Diferenciação na freqüência
P9: Diferenciação complexa
[ ] )()( sF
ds
d
tftL −=
quando todas as condições iniciais são nulas
Se existe a TL F(s) de uma função f(t)
12
12
EM 621 - DMC - UNICAMP
Propriedades da TL: Integração na freqüência
P10: Integração complexa
dssF
t
tf
L
s
∫
∞
=


 )()(
Se existe a TL F(s) de uma função f(t) e dssF
s
∫
∞
∃ )( 
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Exemplo 5.5: TL da função dente de serra
)(1 tf
tT
A
T
)(tf
t
A
tT tT
A− −
)( tut
T
A
)( )( TtuTt
T
A −−
)( TtuA −
)( )( )()( )(1 TtuATtuTtT
A
tut
T
A
tf −−−−−=
)(1 tf
Primeiro
período
13
13
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Continuação Exemplo 5.5 da TL
[ ] [ ] [ ] [ ]{ })()()()()()( 11 TtuTLTtuTtLtutLT
A
tfLsF −−−−−==
[ ])( )( )()( )(1 TtuTTtuTttutT
A
tf −−−−−=
[ ]
2
11
)(
ssds
d
tutL =



−=
[ ]
2
1
)]([)()(
s
ettuLeTtuTtL sTsT −− ==−−
[ ]
s
e
TsUTeTtTuL
sT
sT
−
− ==− )()(
P9:
P6:
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Continuação Exemplo 5.5 da TL




 −−=
−
−
s
e
T
s
e
sT
A
sF
sT
sT
221
11
)(
)(
1
1
)( 1 sFe
sF
sT−−
=





−
−−= −
−
sT
sT
e
eTs
Ts
A
sF
1
)1(1
)(
2
P8:
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Definição da Função de Transferência
A partir da equação diferencial geral simplificada
aplicando a Transformada de Laplace (P2 c/ CIs nulas)
define-se a função de transferência como:
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=
D s Y s N s U s( ) ( ) ( ) ( )=
)(
)(
)(
)(
)(
sD
sN
sU
sY
sH ==
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Resposta ao impulso e FT
■ Resposta ao Impulso
)}({)]}([{)( thLtLsH == δR
∫ −=
t
dtuhty
0
)()()( τττ
)}({)(1)( thLsHsU =⇒=
)()(])()([)(
0
sUsHdtuhLsY
t
=−= ∫ τττ
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15
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Conversão modelo de estado p/ FT
Considerando o modelo de estado
aplicando a TL
(com CIs nulas)
chega-se a
DuCxy
BuAxx
+=
+=�
)()()(
)()()(
sDUsCXsY
sBUsAXssX
+=
+=
)()()( 1 sBUAsIsX −−=
DBAsIC
sU
sY
sH +−== −1)(
)(
)(
)(
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Exercício 5.1
Para um sistema MMA desenhar o DB e encontrar a resposta
ao degrau no SIMULINK. Usar os conectores de entrada e
saída e transferir o modelo p/ o ambiente MATLAB. Achar a
resposta ao degrau e comparar c/ a resposta anterior.
Considerar m = 1 kg; c = 2 N-s/m; k = 10 N/m.
Usar comando linmod p/ a transferência do modelo.
Ex:
nome_do_modelo = test.mdl
 [A B C D] = linmod(‘test’);
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16
EM 621 - DMC - UNICAMP
Modelo no Simulink
EM 621 - DMC - UNICAMP
Resposta do Modelo no Simulink
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17
EM 621 - DMC - UNICAMP
Modelo noSimulink com os conectores (p/ linmod)
EM 621 - DMC - UNICAMP
MatLab
■ m=1
■ c=2
■ k=10
■ np=1/m
■ dp=[1 c/m k/m]
■ step(np,dp)
■ printsys(np,dp)
■ [A B C D] = linmod(’ex1a’);
■ sys=ss(A,B,C,D);
■ step(sys)
■ [nps,dps]=ss2tf(A,B,C,D)
■ printsys(nps,dps)
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18
EM 621 - DMC - UNICAMP
Exercício 5.2
Repetir a mesma seqüência anterior para o sistema
cuja EDG é
u
dt
du
dt
ud
y
dt
dy
dt
yd
dt
yd
8410127
2
2
2
2
3
3
++=+++
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Modelo no Simulink
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19
EM 621 - DMC - UNICAMP
Resposta do Modelo no Simulink
EM 621 - DMC - UNICAMP
MatLab
■ np=[1 4 8]
■ dp=[1 7 12 10]
■ step(np,dp)
■ printsys(np,dp)
■ [A B C D] = linmod(’ex2’);
■ sys=ss(A,B,C,D);
■ step(sys)
■ [nps,dps]=ss2tf(A,B,C,D)
■ printsys(nps,dps)
20
20
EM 621 - DMC - UNICAMP
Exercício 5.3
Para o sistema cujo DB está abaixo
2
u
y
5
∫
3
25
1
∫
-
-
-
■ Repetir a seqüência anterior
■ Achar o ME a partir do DB
■ Comparar os resultados
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Modelo no Simulink com os conectores
21
21
EM 621 - DMC - UNICAMP
Equaçoes do modelo de estado apartir DB
1 1 2
2 1 2
1 2
3 5
5 2
2
x x x u
x x x u
y x x
= − + +
= − − +
= +
�
�
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MatLab
■ Ad=[-1 3;-1 -5]
■ Bd=[5;2]
■ Cd=[2 1]
■ Dd=0
■ sys=ss(Ad,Bd,Cd,Dd);
■ step(sys)
■ [npd,dpd]=ss2tf(A,B,C,D)
■ printsys(npd,dpd)
■ [A B C D] = linmod(’ex3’);
■ sys=ss(A,B,C,D);
■ step(sys)
■ [np,dp]=ss2tf(A,B,C,D)
■ printsys(nps,dps)