Unidade 2 - Modelagem no Domínio da Frequência

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Unidade 2 – Modelagem no Domínio da Frequência
Professor: Ms. Alessandro da Silva Longa
E-mail: alessandro123@globo.com
2019
1
Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
NIT - CCE0267 – 3004 – MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
2.0 Introdução
• Como estudamos na primeira unidade, é difícil modelar um sistema representado por uma equação diferencial na forma de um
diagrama de blocos. Assim, preparamos o terreno para a transformada de Laplace, com a qual pudemos representar a entrada,
a saída e o sistema como entidades separadas. Além disso, seu inter-relacionamento foi simplesmente algébrico.
• Portanto, aprendemos que podemos modelar matematicamente um sistema e que essa modelagem poderia envolver equações
diferenciais. Nesta unidade partimos deste ponto para desenvolver os métodos de modelagem no domínio da frequência.
• Começamos nessa unidade vendo alguns exemplos de aplicação da transformada de Laplace, em seguida alguns exemplos de
sistemas e depois características das funções de transferência.
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Curso de Engenharia Elétrica
NIT - CCE0267 – 3004 – MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• Como estudamos na primeira unidade, é difícil modelar um sistema representado por uma equação diferencial na forma de um
diagrama de blocos. Assim, preparamos o terreno para a transformada de Laplace, com a qual pudemos representar a entrada,
a saída e o sistema como entidades separadas. Além disso, seu inter-relacionamento foi simplesmente algébrico.
• Portanto, aprendemos que podemos modelar matematicamente um sistema e que essa modelagem poderia envolver equações
diferenciais. Nesta unidade partimos deste ponto para desenvolver os métodos de modelagem no domínio da frequência.
• Começamos nessa unidade vendo alguns exemplos de aplicação da transformada de Laplace, em seguida alguns exemplos de
sistemas e depois características das funções de transferência.
• Vejamos novamente o exemplo da unidade I.
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Exercício: Solução via Transformada de Laplace de uma Equação Diferencial. Dada a equação diferencial a seguir, obter
a solução para y(t) considerando que todas as condições iniciais são iguais a zero.
Substitua a F(s) correspondente a cada termo da utilizando o Item 2 da Tabela do antepenúltimo slide, os Itens 7 e 8 da
Tabela do slide anterior e as condições iniciais de y(t) e de dy(t)/dt, dadas por y(0−) = 0 e (0−) = 0, respectivamente.
Assim, a transformada de Laplace da equação é:
Resolvendo para a resposta, Y(s), resulta:
 
s
SYySsYyyssYs
32
)(32)0()(12)0´()0()(2 =+−+−−
s
SYSsYsYs
32
)(32)(12)(2 =++
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• Exemplo: Obtenha a transformada de Laplace de f(t) = te^(–5t).
Integrando por partes:
Integrando por substituição um fator da integral por partes:
Voltando, resolvendo a integral e aplicando os limites, temos:
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

−− =
0
5)( dteetsF stt 

−−=
0
5)( dtetsF stt


=
==
−=
−−−− dteev
dutu
vduuvsF
sttstt 1
1
)(
55
s
du
dts
dt
du
sttu
dte stt
−−
=→−−=
−−=

−−
5
5
5
5
s
e
s
du
e
u
u
−−
=
−− 55 s
e
s
e
v
sttu
+
−=
−−
=
−−
55
5
dt
s
e
s
e
tvduuvsF
sttstt
1
55
)(
0
5
0
5

+
−−





+
−=−= 

−−

−−
( )

−−−−












+
−





+
−=
0
2
55
55
)(
s
e
s
e
tsF
sttstt
( ) ( ) ( ) 






+
−
−−−=











+
−





+
−−











+
−





+
−=
−−−−−−−−
22
005005
2
55
5
1
000
55
0
55
)(
ss
e
s
e
s
e
s
e
sF
ssss
( )25
1
)(
+
=
s
sF
2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• Exercício: Deduza a transformada de Laplace para as seguintes funções do tempo:
a) u(t)
b) tu(t)
c) f(t) = e^−at
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L’hopital
2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• Exercício: Deduza a transformada de Laplace para as seguintes funções do tempo:
d) f(t) = sen (wt)
Observe que obtemos uma equação para L{sen (wt)}:
Resolvemos essa equação e obtemos
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• Também verificamos para a transformada de Laplace inversa. Exemplo: F(s) = 10/[s(s + 2)(s + 3)2]. Poderíamos realizar o
cálculo aplicando a definição da transformada inversa. É um método trabalhoso ao qual aprendemos a solucionar por meio das
frações parciais.
• Vejamos mais uma vez a resolução:
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)3()3()2()3)(2(
10
)(
22 +
+
+
+
+
+=
++
=
s
D
s
C
s
B
s
A
sss
sF
)3()3()2()3)(2(
10
22 +
+
+
+
+
+=
++ s
Ds
s
Cs
s
Bs
s
As
sss
s
0→ sAPara
)3()3()2()3)(2(
10
22 +
+
+
+
+
+=
++ s
Ds
s
Cs
s
Bs
A
ss
)30(
0
)30(
0
)20(
0
)30)(20(
10
22 +
+
+
+
+
+=
++
DCB
A 000
)3)(2(
10
2
+++= A 9
5
=A
2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• F(s) = 10/[s(s + 2)(s + 3)2].
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)3()3()2()3)(2(
10
)(
22 +
+
+
+
+
+=
++
=
s
D
s
C
s
B
s
A
sss
sF
)3(
)2(
)3(
)2(
)2(
)2()2(
)3)(2(
)2(10
22 +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
++
+
s
sD
s
sC
s
sB
s
sA
sss
s
2−→ sBPara
5−=B
)3(
)2(
)3(
)2()2(
)3(
10
22 +
+
+
+
+
++
+
=
+ s
sD
s
sC
B
s
sA
ss
)32(
)22(
)32(
)22(
)22(2
)22(
)32)(2(
10
22 +−
+−
+
+−
+−
+
+−
+
−
+−
=
+−−
DCBA
0005 +++=− B
)3(
)3(
)3(
)3(
)2(
)3()3(
)3)(2(
)3(10 2
2
222
2
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
++
+
s
sD
s
sC
s
sB
s
sA
sss
s
3−→ sCPara
3
10
=C
)33(
)33(
)23(
)33(
3
)33(
)23)(3(
10 222
+−
+−
++
+−
+−
+
−
+−
=
+−−
D
C
BA
000
3
10
+++= C
2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• F(s) = 10/[s(s + 2)(s + 3)2].
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)3()3()2()3)(2(
10
)(
22 +
+
+
+
+
+=
++
=
s
D
s
C
s
B
s
A
sss
sF
)3(
)3(
)3(
)3(
)2(
)3()3(
)3)(2(
)3(10 2
2
222
2
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
++
+
s
sD
s
sC
s
sB
s
sA
sss
s
3−→ sDPara
9
40
=D
)3(
)2(
)3()3(
)2(
10 22
+++
+
+
+
+
=
+
sDC
s
sB
s
sA
ss
)3(00
)2(
10
++++=
+
sDC
ss
)3(
)2(
10
++=
+
sDC
ss
 )3(
)2(
10
++=





+
sDC
ds
d
ssds
d
D
ssds
d
+=





+
0
)2(
10






+
=
)2(
10
ssds
d
D 





+
=
)2(
1
10
ssds
d
D 2)(
)('
)(
1
xu
xu
xudx
d
=





Mas sabemos que:
( )
( ) 









+
+
−=
2
)2(
)2(
10
ss
ss
ds
d
D
Mas sabemos que:
( ) )(')()()(')()( xvxuxvxuxvxu
ds
d
+=
( ) 






+
+++
−=
2
)2(
)01()2(1
10
ss
ss
D
( ) 





+
++
−=
2
)2(
)2(
10
ss
ss
D
( )





 −
−=





+−−
−++−
−=
9
4
10
)2)3)((3(
)3()23(
10
2
D
2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• F(s) = 10/[s(s + 2)(s + 3)2].
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)3(
9
40
)3(
3
10
)2(
)5(9
5
)3()3()2()3)(2(
10
)(
222 +
+
+
+
+
−
+=
+
+
+
+
+
+=
++
=
sssss
D
s
C
s
B
s
A
sss
sF
)3(
1
9
40
)3(
1
3
10
)2(
1
)5(
1
9
5
)3)(2(
10
)(
22 +
+
+
+
+
−+=
++
=
sssssss
sF
ttt eteetF 332
9
40
3
10
5
9
5
)( −−− ++−=
2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• Na seção anterior definimos a transformada de Laplace e sua inversa. Apresentamos a ideia da expansão em frações parciais e
aplicamos esses conceitos na solução de equações diferenciais. Estamos agora preparados para elaborar a representação de
sistema, estabelecendo uma definição viável para uma função que relacione algebricamente a saída de um sistema à sua
entrada. Esta função permitirá a separação da entrada, do sistema e da saída em três partes separadas e distintas,
diferentemente do que ocorre com a equação diferencial. A função também nos permitirá combinar algebricamente
representações matemáticas de subsistemas para produzir uma representação do sistema como um todo.
• Vamos começar escrevendo uma equação diferencial geral de ordem n, linear e invariante no tempo,
• em que c(t) é a saída, r(t) é a entrada e os coeficientes ai e bi e a forma da equação diferencial representam o sistema.
Aplicando-se a transformada de Laplace a ambos os lados da equação,
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• A equação anterior é uma expressão puramente algébrica. Se admitirmos que todas as condições iniciais são nulas, a equação
reduz-se a:
• Agora formando a razão da transformada da saída, C(s), dividida pela transformada da entrada, R(s):
• Observe que a equação separa a saída, C(s), a entrada, R(s), e o sistema, a razão entre polinômios em s no lado direito da
igualdade. Chamamos essa razão, G(s), de função de transferência e a calculamos com condições iniciais nulas.
• A função de transferência pode ser representada por meio de um diagrama de blocos, como mostrado em sala de aula na
unidade I, com a entrada à esquerda e a saída à direita, e a função de transferência do sistema no interior do bloco. Observe
que o denominador da função de transferência é idêntico ao polinômio característico da equação diferencial. Além disso,
podemos obter a saída, C(s), utilizando
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• Exercícios: Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva equação diferencial correspondente.
• Escreva a equação diferencial que é matematicamente equivalente ao diagrama de blocos mostrado abaixo. Admita que r(t) = 3t^3.
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
Resposta
2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• Vamos aplicar o conceito da função de transferência a um exemplo e, em seguida, utilizar o resultado para obter a resposta do
sistema.
• Exemplo: Obtenha a função de transferência representada por
SOLUÇÃO: Aplicando-se a transformada de Laplace a ambos os lados da equação, admitindo condições iniciais nulas, temos
Agora, a partir dessa função de transferência que representa nosso sistema, vamos aplicar uma entrada u(t) em r(t), um degrau
unitário, admitindo condições inciais nulas. Para resolver o problema, utilizamos G(s) = 1/(s + 2), conforme obtida acima. Uma vez
que r(t) = u(t), R(s) = 1/s, a partir da Tabela de Laplace. Como as condições iniciais são nulas,
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  )()(2)0()( SRsCcssC =+−   )()(20)( SRsCssC =+− )()(2)( SRsCssC =+
)()(2)( sRsCssC =+ )()2)(( sRssC =+
)2(
1
)(
)(
+
=
ssR
sC
)2(
1
)()(
+
=
s
sRsC
)2(
1
)2(
11
)(
+
=
+
=
ssss
sC
)2(
2
1
2
1
)(
+
−=
ss
sC
tetc 2
2
1
2
1
)( −−=
18
• Exercícios: Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial: com as condições iniciais x(0) = 1 e x.(0) = −1.
Mostre um diagrama de blocos do sistema, dando sua função de transferência e todas as entradas e saídas pertinentes. (Sugestão: as
condições iniciais aparecerão como entradas adicionais para um sistema efetivo com condições iniciais nulas.)
Solução
Tomando a transformada de Laplace da equação diferencial
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
  1)(3)0()(2)0´()0()(2 =+−+−− sXxssXxxssXs
  1)(31)(2)1(1)(2 =+−+−−− sXssXssXs
1)(32)(21)(2 =+−++− sXssXssXs
s
sXssXssXs
1
)(32)(21)(2 =+−++−
)(1)3)(( 2 sRssssX =−−++
1)()3)(( 2 ++=++ ssRsssX
)3(
1
)3(
)(
)(
22 ++
+
+
++
=
ss
s
ss
sR
sX
19
• Exercícios: Em um dado circuito elétrico, a equação diferencial que relaciona o sinal de entrada u(t) com o sinal de saída y(t) é.
• Determine: a) a função de transferência e b) a resposta impulsional do sistema, ou seja, a expressão da resposta y(t) sob condições iniciais
nulas quando um impulso é aplicado na entrada em t=0.
Solução
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
    )(6)(30)0()(16)0´()0()(2 2 sUsYyssYyyssYs =+−+−−
    )(6)(300)(1600)(2 2 sUsYssYsYs =+−+−−
)(6)(30)(16)(2 2 sUsYssYsYs =++
  )(630162)( 2 sUsssY =++
30162
6
)(
)(
2 ++
=
sssU
sY
30162
6
/1
)(
2 ++
=
sss
sY
( )30162
6
)(
2 ++
=
sss
sY
( ) ( )( )53
6
30162
6
)(
2 ++
=
++
=
ssssss
sY
( )( ) ( ) ( )5353
6
)(
+
+
+
+=
++
=
s
C
s
B
s
A
sss
sY
( )( ) ( ) ( )5
10
6
3
115
6
53
6
)(
+
+
+
−=
++
=
ssssss
sY
tt eety 53
10
6
15
6
)( −− +−=
2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• Exemplo: Obtenha a função de transferência, G(s) = C(s)/R(s), correspondente à equação diferencial:
Resposta:
• Exemplo: Obtenha a equação diferencial correspondente à função de transferência,
Resposta:
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• Exemplo: Obtenha a resposta à rampa para um sistema cuja função de transferência é
Resposta:
• Em geral, um sistema físico que pode ser representado por uma equação diferencial linear invariante no tempo pode ser
modelado como uma função de transferência. Veremos em seguida algumas modelagens específicas para circuitos elétricos e
passaremos por outros tipos de sistema.
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• Em geral, um sistema físico que pode ser representado por uma equação diferencial linear invariante no tempo pode ser
modelado como uma função de transferência. Veremos em seguida algumas modelagens específicas para circuitos elétricos e
passaremos por outros tipos de sistema.
• Circuitos Elétricos
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• Agora, aplicaremos formalmente a função de transferência na modelagem matemática de circuitos elétricos, incluindo circuitos
passivos e circuitos com amplificadores operacionais. Seções subsequentes cobremsistemas mecânicos e eletromecânicos.
• Percebam que já realizamos as modelagens pelo domínio S e pelo Espaço de Estado.
• Circuitos equivalentes para os circuitos elétricos com os quais trabalharemos inicialmente consistem em três componentes
lineares passivos: resistores, capacitores e indutores. A tabela abaixo resume os componentes e as relações entre tensão e
corrente, e entre tensão e carga para condições iniciais nulas.
• Combinamos agora os componentes elétricos em circuitos, decidimos sobre a entrada e a saída e obtemos a função de
transferência. Nossos princípios orientadores são as leis de Kirchhoff. Somamos tensões ao longo de malhas ou somamos
correntes em nós, dependendo de qual técnica envolve o menor esforço de manipulação algébrica, e em seguida igualamos o
resultado a zero. A partir dessas relações podemos escrever as equações diferenciais para o circuito. Em seguida tomamos a
transformada de Laplace das equações diferenciais e, finalmente, resolvemos para obter a função de transferência.
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
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• Exemplo:
Soma das Tensões:
Substituindo as correntes por carga:
, mas:
Aplicando Laplace:
ℒ 𝐿𝐶
𝑑2𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡2
+ ℒ 𝑅𝐶
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
+ ℒ 𝑣𝑐(𝑡) = ℒ 𝑣(𝑡)
𝐿𝐶. ℒ
𝑑2𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 𝑅𝐶. ℒ
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
+ ℒ 𝑣𝑐(𝑡) = ℒ 𝑣(𝑡)
𝐿𝐶. [𝑠2𝑉𝑐 𝑠 − 𝑠 𝑉𝑐 0 − ሶ𝑉𝑐(0)] + 𝑅𝐶. [𝑠 𝑉𝑐 𝑠 −
𝑉𝑐 0 ] + 𝑉𝑐 𝑠 = 𝑉(𝑠)
𝐿𝐶. [𝑠2𝑉𝑐 𝑠 − 0 − 0)] + 𝑅𝐶. [𝑠 𝑉𝑐 𝑠 − 0] + 𝑉𝑐 𝑠 = 𝑉(𝑠)
𝐿𝐶. [𝑠2𝑉𝑐 𝑠 ] + 𝑅𝐶. [𝑠 𝑉𝑐 𝑠 ] + 𝑉𝑐 𝑠 = 𝑉(𝑠)
𝑉𝑐 𝑠 . [𝑠
2𝐿𝐶 + 𝑠 𝑅𝐶 + 1] = 𝑉(𝑠)
𝑉𝑐 𝑠
𝑉(𝑠)
=
1
[𝑠2𝐿𝐶 + 𝑠 𝑅𝐶 + 1]
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
25
• Voltemos ao exemplo
• Poderíamos redesenhar o circuito utilizando as impedâncias:
𝑉𝑐 𝑠
𝑉(𝑠)
=
1
[𝑠2𝐿𝐶 + 𝑠 𝑅𝐶 + 1]
Cs
IRILsIsV
1
)( ++=
Cs
IsVc
1
)( =
• Agora precisamos encontrar Vc/Vs:






++=
Cs
RLsIsV
1
)(






++=
Cs
RLsCssVsV C
1
)()(






++
=
Cs
RLsCs
sV
sVC
1
1
)(
)(
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
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• Mostramos que circuitos elétricos podem ser modelados por uma função de transferência, G(s), que relaciona algebricamente a transformada
de Laplace da saída com a transformada de Laplace da entrada. Agora, iremos fazer o mesmo para os sistemas mecânicos.
• Os sistemas mecânicos se assemelham tanto aos circuitos elétricos que existem analogias entre componentes e variáveis elétricos e
mecânicos. Os sistemas mecânicos, da mesma forma que os circuitos elétricos, possuem três componentes lineares passivos. Dois deles, a
mola e a massa, são elementos armazenadores de energia, e o outro, o amortecedor viscoso, dissipa energia. Os dois elementos
armazenadores de energia são análogos aos dois elementos armazenadores de energia elétricos, o indutor e o capacitor. O dissipador de
energia é análogo à resistência elétrica. Na tabela, K, fv e M são chamados de constante de mola, coeficiente de atrito viscoso e massa,
respectivamente.
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
27
• O sistema mecânico requer apenas uma equação diferencial, chamada de equação de movimento, para descrevê-lo. Inicialmente admitiremos
um sentido positivo para o movimento, por exemplo, para a direita. Esse sentido positivo de movimento adotado é similar a admitir um sentido
para a corrente em uma malha elétrica. Utilizando o sentido adotado para o movimento positivo, desenhamos inicialmente um diagrama de
corpo livre, colocando sobre o corpo todas as forças que agem sobre ele, tanto no sentido do movimento quanto no sentido oposto. Em
seguida, utilizamos a lei de Newton para produzir uma equação diferencial de movimento somando as forças e igualando a soma a zero.
Finalmente, admitindo condições iniciais nulas aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial, separamos as variáveis e
chegamos à função de transferência. Segue um exemplo.
• Determine a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema da figura abaixo:
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SOLUÇÃO: Comece a solução desenhando o diagrama de corpo livre mostrado na figura. Coloque sobre a massa todas as forças exercidas
sobre ela. Admitimos que a massa esteja se movendo para a direita. Assim, apenas a força aplicada é orientada para a direita; todas as demais
forças dificultam o movimento e atuam para se opor a ele. Assim, as forças da mola, do amortecedor viscoso e a decorrente da aceleração são
orientadas para a esquerda.
Escrevemos agora a equação diferencial de movimento utilizando a lei de Newton para igualar a zero a soma de todas as forças mostradas
atuando sobre a massa:
Aplicando a transformada de Laplace, admitindo condições iniciais nulas:
    )()()0()()0´()0()(2 sFSXKxSsXfxxssXsM v =+−+−−
)()()()(2 sFSXKSsXfsXsM v =++
( ) )()(2 sFsXKsfsM v =++ ( )KsfsMsF
sX
v ++
=
2
1
)(
)(
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
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2.1 Modelagem no Domínio da Frequência
• Vimos como as funções de transferência podem representar sistemas lineares invariantes no tempo. Depois que o engenheiro
obtém uma representação matemática de um subsistema, o subsistema é analisado quanto às suas respostas transitória e em
regime permanente para verificar se essas características fornecem o comportamento desejado.
• Após descrevermos uma valiosa ferramenta de análise e projeto, os polos e zeros, começamos analisando nossos modelos
para obter a resposta ao degrau de sistemas de primeira e segunda ordens. A ordem se refere à ordem da equação diferencial
equivalente que representa o sistema – a ordem do denominador da função de transferência após o cancelamento de fatores
comuns no numerador.
• A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a resposta forçada e a resposta natural. Embora muitas
técnicas, como a solução de uma equação diferencial ou a aplicação da transformada inversa de Laplace, permitam que
calculemos essa resposta de saída, essas técnicas são trabalhosas e consomem muito tempo. A produtividade é auxiliada por
técnicas de análise e projeto que fornecem resultados em um tempo mínimo. Se a técnica é tão rápida que sentimos que
deduzimos os resultados desejados por inspeção, algumas vezes utilizamos o atributo qualitativo para descrever o método. A
utilização dos polos e zeros e de sua relação com a resposta no domínio do tempo de um sistema é uma técnica deste tipo. O
aprendizado dessa relação nos dá uma “visão” qualitativa dos problemas. O conceito de polos e zeros, fundamental para
análise e projeto de sistemas de controle, simplifica o cálculo da resposta de um sistema.
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2.2 Polos, Zeros e a Resposta do Sistema
2.2 Polos, Zeros e a Resposta do Sistema
Polos de uma Função de Transferência
• Os polos de uma função de transferência são (1) os valores da variável da transformada de Laplace, s, que fazem com que a
função detransferência se torne infinita, ou (2) quaisquer raízes do denominador da função de transferência que são comuns às
raízes do numerador.
• Estritamente falando, os polos de uma função de transferência satisfazem a parte (1) da definição. Por exemplo, as raízes do
polinômio característico no denominador são os valores de s que tornam a função de transferência infinita, portanto são polos.
Entretanto, se um fator do denominador pode ser cancelado com o mesmo fator no numerador, a raiz deste fator não faz mais
com que a função de transferência se torne infinita. Em sistemas de controle, geralmente nos referimos à raiz do fator cancelado
no denominador como um polo, mesmo que a função de transferência não seja infinita neste valor. Portanto, incluímos a parte (2)
da definição.
Zeros de uma Função de Transferência
• Os zeros de uma função de transferência são (1) os valores da variável da transformada de Laplace, s, que fazem com que a
função de transferência se torne zero, ou (2) quaisquer raízes do numerador da função de transferência que são comuns às
raízes do denominador.
• Estritamente falando, os zeros de uma função de transferência satisfazem a parte (1) desta definição. Por exemplo, as raízes do
numerador são valores de s que anulam a função de transferência e, portanto, são zeros. Entretanto, se um fator do numerador
pode ser cancelado com o mesmo fator no denominador, a raiz desse fator não mais fará com que a função de transferência se
torne zero. Em sistemas de controle, frequentemente nos referimos à raiz do fator cancelado no numerador como um zero,
mesmo que a função de transferência não seja zero neste valor. Assim, incluímos a parte (2) da definição.
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2.2 Polos, Zeros e a Resposta do Sistema
Polos e Zeros de um Sistema de Primeira Ordem: um Exemplo
• Dada a função de transferência G(s) na figura abaixo parte (a), existe um polo em s = –5 e um zero em s = – 2. Esses valores são
representados graficamente no plano s complexo na figura abaixo parte (b), utilizando-se um × para o polo e um para o zero.
Para mostrar as propriedades dos polos e dos zeros, vamos determinar a resposta ao degrau unitário do sistema. Multiplicando a
função de transferência da figura abaixo parte (a) por uma função degrau resulta
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2.2 Polos, Zeros e a Resposta do Sistema
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Polos e Zeros de um Sistema de Primeira Ordem: um
Exemplo
• A partir do desenvolvimento resumido na parte (c),
tiramos as seguintes conclusões:
a) Um polo da função de entrada gera a forma da resposta
forçada (isto é, o polo na origem gerou uma função
degrau na saída).
b) Um polo da função de transferência gera a forma da
resposta natural (isto é, o polo em –5 gerou e^–5t).
c) Um polo no eixo real gera uma resposta exponencial da
forma e^–αt, em que – α é a posição do polo no eixo
real. Assim, quanto mais à esquerda um polo estiver no
eixo real negativo, mais rápido a resposta transitória
exponencial decairá para zero (novamente, o polo em –
5 gerou e– 5t – veja a figura ao lado para o caso geral).
d) Os zeros e os polos geram as amplitudes para ambas
as respostas, forçada e natural (isso pode ser observado
a partir dos cálculos de A e B).
2.2 Polos, Zeros e a Resposta do Sistema
Polos e Zeros de um Sistema Vamos agora ver um exemplo que demonstra a técnica de utilização dos polos para obter a forma
da resposta do sistema. Iremos aprender a escrever a forma da resposta por inspeção. Cada polo da função de transferência do
sistema que está no eixo real gera uma resposta exponencial que é uma componente da resposta natural. O polo da entrada gera a
resposta forçada.
• PROBLEMA: Dado o sistema da figura abaixo, escreva a saída, c(t), em termos gerais. Especifique as partes forçada e natural da
solução.
SOLUÇÃO: Por inspeção, cada polo do sistema gera uma exponencial como parte da resposta natural. O polo da entrada gera
a resposta forçada. Assim,
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
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2.2 Polos, Zeros e a Resposta do Sistema
Polos e Zeros de um Sistema
• PROBLEMA: Um sistema possui a função de transferência abaixo. Escreva, por inspeção, a saída, c(t), em termos gerais caso a
entrada seja um degrau unitário.
• Para um degrau unitário, a transformada de Laplace é 1/s, logo a saída C(s), que é igual U(s) x G(s), se torna:
• Nesta seção, aprendemos que os polos determinam a natureza da resposta no domínio do tempo: os polos da função de entrada
determinam a forma da resposta forçada, e os polos da função de transferência determinam a forma da resposta natural. Os
zeros e polos da entrada ou da função de transferência contribuem com as amplitudes das partes componentes da resposta total.
Finalmente, os polos no eixo real geram respostas exponenciais.
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10871
)( 54321
+
+
+
+
+
+
+
+
s
K
s
K
s
K
s
K
s
K
sC
tttt eKeKeKeKKtc 105
8
4
7
321)(
−−−− ++++
tttt EeDeCeBeAtc 1087)( −−−− ++++
2.2 Polos, Zeros e a Resposta do Sistema
Sistemas de Primeira Ordem
• Discutiremos agora os sistemas de primeira ordem sem zeros para definir uma especificação de desempenho para tal sistema.
Um sistema de primeira ordem sem zeros pode ser descrito pela função de transferência mostrada na figura abaixo. Caso a
entrada seja um degrau unitário, em que R(s) = 1/s, a transformada de Laplace da resposta ao degrau é C(s), em que
• Aplicando a transformada inversa, a resposta ao degrau é dada pela equação abaixo, em que o polo da entrada na origem gerou
a resposta forçada cf(t) = 1, e o polo do sistema em –a, como mostrado na parte (b) gerou a resposta natural cn(t) = –e^–at. A
equação abaixo é representada graficamente na figura no próximo slide.
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Frações parciais!!!!
2.2 Polos, Zeros e a Resposta do Sistema
Sistemas de Segunda Ordem: Introdução
• Vamos agora estender os conceitos de polos, zeros e resposta transitória aos sistemas de segunda ordem. Comparado à
simplicidade de um sistema de primeira ordem, um sistema de segunda ordem exibe uma ampla variedade de respostas que
devem ser analisadas e descritas. Enquanto a variação de um parâmetro de um sistema de primeira ordem simplesmente altera a
velocidade da resposta, as variações nos parâmetros de um sistema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta. Por
exemplo, um sistema de segunda ordem pode apresentar características muito parecidas com as de um sistema de primeira
ordem ou, dependendo dos valores dos componentes, apresentar oscilações amortecidas ou puras na resposta transitória.
• Para nos familiarizarmos com a ampla variedade de respostas antes de formalizar nossa discussão na próxima seção,
observamos alguns exemplos numéricos de respostas de sistemas de segunda ordem mostradas na figura do próximo slide.
• Todos os exemplos são derivados da parte (a), o caso geral, que possui dois polos finitos e nenhum zero. O termo no numerador
é simplesmente uma escala ou um fator de multiplicação da entrada que pode assumir qualquer valor sem afetar a forma dos
resultados deduzidos. Atribuindo valores apropriados aos parâmetros a e b, podemos mostrar todas as respostas transitórias de
segunda ordem possíveis.
• A resposta ao degrau unitário pode então ser obtida utilizando C(s) = R(s)G(s), em que R(s) = 1/s, seguido de uma expansãoem
frações parciais e da transformada inversa de Laplace.
• Explicaremos agora cada resposta e mostraremos como podemos utilizar os polos para determinar a natureza da resposta sem
passar pelo procedimento da expansão em frações parciais seguido da transformada inversa de Laplace.
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2.2 Polos, Zeros e a Resposta do Sistema
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2.2 Polos, Zeros e a Resposta do Sistema
Exemplo
• Calcule os polos e zeros da Função de Transferência abaixo e desenhe o gráfico.
Como queremos escrever a função de transferência (F. T.) em termos de polos e zeros, devemos preparar a F. T. deixando os
coeficientes das maiores potências de s iguais a 1.
Como as raízes de s^2 + 7s + 10 = 0 são s1 = –2 e s2 = –5, então os polos e zeros da F. T. são:
Polos: Temos 4 polos:
Zeros: Temos 3 zeros:
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