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O Ensino dos Conceitos de Análise Combinatória e o Livro 
Didático: discurso de professores do ensino médio 
 
 
Ricardo Dezso Sabo 
 
 
 Considerações Preliminares e Justificativas 
 
 Desde 1988, quando ainda era estudante do segundo ano do curso de Licenciatura 
de Matemática, no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo – 
USP, trabalho como professor em escolas públicas e privadas da cidade de São Paulo. 
 Nos últimos quinze anos, lecionando no Ensino Médio, observo que muitos 
professores de matemática, por diferentes razões, evitam, ou até não abordam de forma 
fundamentada os estudos de Análise Combinatória com seus alunos. Eles alegam ser difícil 
e laborioso ensinar Análise Combinatória, ou, que os alunos não têm capacidade de 
aprender e entender um tema tão sofisticado; alguns afirmam que o tempo (ano letivo) é 
insuficiente e então se torna necessário optar por outros temas que julgam mais 
importantes. Nessas observações, percebi atitudes de professores em esquivar-se do tema 
nas aulas de matemática. 
 Algumas vezes, observo professores afirmando que eles próprios não têm esses 
conceitos construídos de forma sólida e significativa, e, por esse motivo, evitam abordar o 
tema ou, optam, apenas, a apresentar aos alunos um processo de aplicação de fórmulas 
prontas, sem justificativas ou explicações. Assim sendo, o aluno necessita utilizar-se da 
memorização para aplicar a fórmula certa na resolução de problemas específicos, ou seja, o 
ensino de Análise Combinatória torna-se tecnicista e operacional. 
 Acredito que, neste contexto, o aluno sente a necessidade de adivinhar a fórmula 
pertinente para encontrar a resposta do problema. Essa atitude pode favorecer o não 
desenvolvimento do raciocínio combinatório como também, a não construção dos 
conceitos desse tema. 
 Com relação ao uso de fórmula no ensino de Análise Combinatória, Sturm (1999), 
em sua dissertação de mestrado, afirma: 
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[...] o ensino de Análise Combinatória deve se dar através de situações-problema. 
As fórmulas devem aparecer em decorrência das experiências dos alunos na 
resolução de problemas, devem ser construídas e não ser o elemento de partida 
para o ensino de cada tema: Arranjo, Permutação e Combinação. (STURM, 
1999, p.3). 
 Ainda, a respeito do uso de fórmula, Esteves (2201), em sua pesquisa, pontua: 
[...] queremos mostrar que a fórmula em si não é negativa nem contraproducente; 
ao contrário, ela representa uma compressão algorítmica que assegura uma 
economia cognitiva importante, desde que colocada no tempo certo. Para o 
conteúdo Análise Combinatória, quando não reforçamos a fórmula, acreditamos 
que estamos valorizando o uso da árvore de possibilidade, do método de 
tentativa e erro, do desenho e do princípio fundamental da contagem para um 
melhor desenvolvimento do raciocínio combinatório. Assim, a fórmula no papel 
deixa de ser apenas uma ferramenta para desenvolver os problemas de maneira 
mais econômica. (ESTEVES, 2001, p.3). 
 Acredito que o uso de fórmulas no ensino da Análise Combinatória deva ser uma 
decorrência da construção dos conceitos estudados e conseqüentemente a valorização do 
raciocínio combinatório. 
 Considero que um fator que pode contribuir e favorecer aos professores não 
abordarem determinados temas no Ensino Médio, é a segmentação do conhecimento 
matemático; ou seja, cada conceito é tratado de forma pontual em determinada série, 
favorecendo, assim, a não interação entre os conhecimentos matemáticos ensinados. 
 Segundo Chevallard, Bosch e Gascón: 
 Nas instituições escolares atuais impera uma forte tendência de 
fragmentar a matemática ensinada. O estudante se depara com alguns objetos 
matemáticos pouco relacionados entre si, com algumas técnicas muito rígidas, 
com problemas relativamente isolados (ou formando classes muito 
estereotipadas) e com uma teoria pouco relacionada com a prática matemática 
concreta. O resultado é que a atividade matemática escolar realizada pelos alunos 
não é submetida às restrições de um processo sustentado e estruturado e, 
portanto, tem poucas possibilidades de ser criativa. (CHEVALLARD, BOSCH E 
GASCÓN, 1997, p. 290). 
 A grande maioria dos livros didáticos do Ensino Médio com os quais tive a 
oportunidade de trabalhar segue este padrão de “encaixotamento” dos conceitos 
matemáticos. Observei, durante os anos de magistério, que muitos professores que não 
desejavam ensinar os conceitos de Análise Combinatória, optavam em “pular” o capítulo 
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do livro didático, ou, em algumas situações, optavam em não lecionar na 2a série do Ensino 
Médio, série na qual os livros didáticos abordam os conceitos de Análise Combinatória. 
 A respeito dessa ferramenta didática – o livro didático – Lopes (2000), em sua tese 
afirma: 
 Ele sempre representou – e continua representando – para o professor, o 
complemento de sua formação acadêmica e o apoio na prática escolar, 
principalmente pelas condições de trabalho, não tão favoráveis, que o professor 
enfrenta. (LOPES, 2000, p. 224). 
 Partindo dessa conjuntura, temos a hipótese que o livro didático é um fator de forte 
presença na elaboração e construção dos conceitos matemáticos, pelos professores, na sala 
de aula. Assim sendo, acreditamos que analisar como estão estruturados e desenvolvidos, 
nos livros didáticos, os conceitos de Análise Combinatória, torna-se um elemento 
determinante para entender como se dá a abordagem dos conceitos desse tema no Ensino 
Médio. 
 Sobre a formação acadêmica dos professores de matemática Lopes, (2000) 
argumenta: 
 Um dos fatores responsáveis pela má qualidade de ensino é, sem dúvida 
alguma, a formação do professor. É possível dizer que a maioria dos 
profissionais que se formaram, ou estão se formando, não tem claro o papel da 
escola, os objetivos da aprendizagem, a razão dos conteúdos a serem 
trabalhados, enfim, não tem claro o seu próprio papel de educador. 
 Como em muitas situações da vida, não tendo consciência do lugar onde 
se encontra e do que se deve fazer, segue-se o caminho que lhe é apresentado. 
No caso do professor, na maioria das vezes, este caminho é o livro didático. 
(LOPES, 2000, p.12). 
 Neste panorama, observa-se o livro didático como uma ferramenta decisiva e 
determinante para o professor no momento da elaboração do plano de aulas, assim sendo, 
podemos conjecturar que o livro não assume o papel de um instrumento de apoio didático 
ao professor, mas sim, apropria-se do espaço do professor, determinando, desta forma, a 
prática docente. 
 Em 2005 e 2006, participei de um curso de Especialização em Educação 
Matemática no Centro Universitário Fundação Santo André, e tive a oportunidade de 
conhecer, de fato, algumas teorias em Educação Matemática, mais especificamente, as 
teorias da didática francesa. Neste período, pude conhecer e estudar processos de pesquisa 
na área de educação, ler e analisar algumas dissertações em Educação Matemática, 
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conhecer e conviver com professores de diferentes idades, práticas e concepções, e o mais 
importante, começar a entender e experimentar como se formaliza e se constrói pesquisas 
em Educação. 
 Associando as minhas inquietações sobre o ensinar Análise Combinatória, os 
problemas que permeiam o tema, minhas observações sobre as posturas de muitos 
professores e, a oportunidade de voltar para a universidade com o objetivo específico de 
estudar e pesquisar em Educação Matemática, criei motivação e me matriculei, no início 
do ano de 2007, em um curso de mestrado, no qual a pesquisa desenvolvida se refere ao 
ensino e à aprendizagem da Análise Combinatória. Tal pesquisa se desenvolve no interior 
do grupo PEA-MAT, que atualmente desenvolve projeto sobre os conteúdos referentes ao 
bloco dos PCN conhecido como Tratamento da Informação. 
 
 Revisão bibliográfica 
 
Para iniciar este trabalho de pesquisa, primeiramente, realizei uma investigação no 
CEMPEM– Círculo de Estudo, Memória e Pesquisa em Educação Matemática – com o 
objetivo de analisar dissertações em Educação Matemática, no Brasil, desde 1970, que 
abordaram o tema Análise Combinatória. Nessas leituras, analisei os problemas de 
pesquisa, as bases teóricas e metodológicas utilizadas, os resultados apresentados e o 
público alvo em questão. O foco desse trabalho foi fazer um levantamento de questões já 
pesquisadas relacionada ao tema Análise Combinatória, como também, utilizar este 
material como apoio para a minha pesquisa. 
 Nesta consulta, encontrei quatro dissertações que abordam este tema. A primeira 
dissertação foi realizada por Sturm (1999). Nesta pesquisa, o autor analisa uma proposta de 
ensino de Análise Combinatória, na qual, enfatiza o uso do Princípio Fundamental da 
Contagem, em detrimento do emprego de fórmulas, com alunos do 2a série do Ensino 
Médio. Esta análise desenvolveu-se em uma perspectiva qualitativa, na qual o pesquisador 
analisou sua própria prática pedagógica como professor da turma. Com o propósito de 
abordar os conceitos relativos à Análise Combinatória, o autor apresenta, aos alunos, 
situações problemas com o objetivo de gerar discussões e estratégias de resolução. Por fim, 
desenvolve e sistematiza o uso de fórmulas. 
 O principal instrumento de registro utilizado pelo autor foi um "Diário", no qual foi 
anotado, com o máximo de detalhes, o que ocorreu durante as aulas. Os resultados 
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apresentados pelo autor mostram os aspectos positivos no uso do Princípio Fundamental da 
Contagem na resolução dos problemas, as suas potencialidades e as aplicações desta 
estratégia pelos alunos. O autor descreve, também, que a maioria dos alunos compreendeu 
o funcionamento do Princípio Fundamental da Contagem e soube utilizá-lo de forma 
adequada e condizente. 
 A segunda dissertação foi elaborada por Esteves (2001). O trabalho da autora 
consistiu em estudar a aquisição e o desenvolvimento dos primeiros conceitos de Análise 
Combinatória em adolescentes de 14 anos de idade, cursando a última série do Ensino 
Fundamental. Nessa pesquisa a autora optou em construir uma seqüência de ensino 
fundamentada em teorias psicológicas e educacionais, que parte de situações-problema por 
meio da contagem direta. Para isso, o trabalho foi desenvolvido por dois grupos de alunos: 
um experimental e outro de referência. Nesse processo, a autora levantou as diversas 
representações utilizadas pelos alunos nas resoluções dos problemas de contagem, 
identificou a dificuldade na interpretação dos problemas propostos, além do, não uso da 
árvore de possibilidades ou o uso incorreto desta representação. 
 Os resultados encontrados mostraram que os alunos apresentaram dificuldade em 
resolver problemas relativos à Análise Combinatória. As principais causas de fracasso se 
referem à confusão sobre a relevância da ordem, principalmente em problemas de 
combinação, a falta de organização em enumerar os dados sistematicamente, dúvidas na 
identificação da operação aritmética equivalente e interpretação incorreta do problema, 
quando este apresenta mais de uma etapa. 
 A terceira dissertação, elaborada por Rocha (2002), analisou um processo de 
resolução de problemas de Análise Combinatória, também, baseado na aplicação do 
Princípio Fundamental da Contagem. Esta pesquisa apresentou uma abordagem qualitativa 
na forma de estudo de caso, e foi desenvolvida junto a alunos do Ensino Médio. 
 A autora analisou a evolução do aprendizado dos alunos em relação à resolução de 
problemas de Análise Combinatória baseando-se nos pressupostos construtivistas. As 
atividades propostas visaram possibilitar aos alunos, por meio de princípios básicos de 
contagem, a resolução de problemas de Análise Combinatória, assim como, a compreensão 
dos conceitos de Arranjo, Permutação e Combinação a partir de problemas 
contextualizados no cotidiano. 
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 Nesta perspectiva, a autora constatou a necessidade de negociação dos significados 
em sala de aula, a importância do papel mediador do professor, enquanto representante do 
conhecimento, e a função da linguagem na formação de conceitos de contagem. 
 A quarta dissertação, elaborada por Costa (2003), objetivou investigar os 
instrumentos disponíveis para o professor de Matemática ensinar Análise Combinatória, no 
Ensino Fundamental, por processo de Modelagem. Propôs, também, pesquisar os 
conhecimentos desses professores sobre este objeto matemático. Para essa investigação, o 
autor optou em analisar os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática do Ensino 
Fundamental, a Proposta Curricular para o Ensino da Matemática do Estado de São Paulo 
– 1o grau, e duas coleções de livros didáticos adotados por professores da rede pública. 
Além disso, Costa aplicou e analisou dois questionários, um quantitativo e outro 
qualitativo. Estes questionários tinham o objetivo de investigar as concepções dos 
professores sobre o estudo de Análise Combinatória no Ensino Fundamental e analisar os 
saberes, desses professores, a respeito do objeto matemático em questão. 
 Nessa dissertação o autor mostra que a situação do ensino brasileiro, especialmente 
no caso da Matemática é paradoxal, pois existem bons materiais de apoio: os parâmetros 
norteadores (PCN-EF), os livros didáticos e a proposta curricular estadual, no entanto, o 
professor não conhece os PCN-EF suficientemente e, ainda, o que é mais grave, não 
conhece o objeto matemático – Análise Combinatória – o suficiente para que possa ensiná-
lo aos seus alunos, seja por meio da Modelagem ou não. 
 Assim sendo, por meio dessas leituras, observei que três dessas dissertações 
abordam, efetivamente, a construção dos conceitos de Análise Combinatória pelos alunos, 
utilizando-se, para isso, processos “alternativos”. Saliento que os autores nomeiam e 
justificam esses processos como alternativos, pois abordam os conceitos de Análise 
Combinatória sem a utilização de fórmulas, ou seja, diferente das abordagens descritas, em 
grande parte dos livros didáticos por mim observado. Para isso, esses pesquisadores 
utilizam-se de diferentes práticas como: enumeração, árvore de possibilidades, tentativa e 
erro, contagem direta, desenhos e, também, do Princípio Fundamental da Contagem. 
 Apenas uma dessas dissertações analisa as concepções dos professores frente ao 
ensino de Análise Combinatória, sendo que o autor opta em focar seus estudos em analisar 
os alunos e professores do Ensino Fundamental. 
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 Diante do exposto, neste estudo, tenho a intenção de investigar o discurso dos 
professores do Ensino Médio em relação ao ensino dos conceitos de Análise Combinatória 
e suas relações com aqueles apresentados em textos de livros didáticos por eles utilizados. 
 
 Problema de Pesquisa 
 
 Diante do cenário descrito, no qual observamos professores apresentando lacunas 
em sua formação acadêmica, e desse modo, não tendo claro o papel da escola, os objetivos 
da aprendizagem e a razão dos conteúdos a serem trabalhados. O livro didático atuando 
como complemento na formação acadêmica do professor e apresentando-se como apoio na 
sua prática escolar. Os conceitos de análise combinatória sendo desenvolvidos de forma 
tecnicista, com a utilização de fórmulas e problemas estereotipados, os quais não 
favorecem o desenvolvimento do raciocínio combinatório. 
 Conjecturamos que investigar as concepções dos professores, em relação ao ensino 
dos conceitos de análise combinatória é um fator pertinente e propício para entender os 
equívocos e problemas verificáveis nos alunos, que emergem em pesquisas acadêmicas 
relacionadas a esse tema. 
 Portanto, nossa intenção é estudar, por meio de entrevistas semi-estruturadas, as 
concepções de professores do Ensino Médio, em relação aos conceitos de Análise 
Combinatória, e procurar relações de semelhanças e disparidades que possam existir, com 
relação a esses conceitos, expostos nos livrosdidáticos utilizados por esses professores. 
 Com esses objetivos, estipulamos as seguintes questões de pesquisa: Quais 
concepções podem ser identificáveis, por meio do discurso de professores do Ensino 
Médio, em relação aos conceitos de Análise Combinatória? Tais concepções são 
influenciadas e/ou estão em acordo com o discurso institucional do livro didático 
utilizado/adotado pelo professor? 
 Salientamos que nossa preocupação também está voltada para o processo de 
aprendizagem dos conceitos de Análise Combinatória, embora, isso, não seja foco desta 
pesquisa. Assim sendo, em admitindo a hipótese de que as concepções dos alunos sobre 
esses conceitos, já descritas em algumas pesquisas (Sturm, 1999), (Esteves, 2000), (Costa, 
2003), são influenciadas e direcionadas pelas concepções dos professores, estaremos, 
assim, de alguma forma, identificando, também, as concepções dos alunos sobre o tema. 
 
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 Fundamentos Teóricos e Procedimentos Metodológicos 
 
 Neste trabalho de pesquisa pretendemos fazer um estudo de casos, analisando o 
discurso de professores. Para isso “lançaremos mão” de entrevistas semi-estruturadas, com 
o objetivo de buscar elementos para identificar as relações entre os conceitos de análise 
combinatória desenvolvidos em livros didáticos, e a concepção do professor em ensinar 
esses conceitos. 
 Utilizaremos a Teoria Antropológica do Didático (TAD) de Yves Chevallard (1999, 
2001) como ferramenta para desenvolver uma análise matemática e didática de livros 
didáticos utilizados/adotados pelos professores participantes da pesquisa. 
 
 Teoria Antropológica do Didático – TAD 
 
 A Teoria Antropológica do Didático representa uma importante contribuição para a 
Didática Matemática, pois fornece condições e subsídios teóricos que permite analisar 
como os conhecimentos matemáticos estão relacionados e como essas relações podem 
objetivar, efetivamente, a Transposição Didática1 dos conceitos matemáticos envolvidos. 
Chevallard afirma que a Teoria Antropológica do Didático (TAD) estuda o homem frente 
ao saber matemático, e mais especificamente, frente a situações matemáticas. 
 O postulado básico da TAD é admitir que qualquer atividade humana possa ser 
descrita por um modelo único, que se resume pela palavra praxeologia. Analisando sob 
esta ótica, podemos observar o ato de ensinar e de aprender matemática como sendo, 
também, o resultado de atividades humanas, então, deste modo, segundo a Teoria 
Antropológica do Didático, podemos descrevê-lo por uma organização praxeológica, com 
o objetivo de analisar, estudar e explicitar de que forma essa ação se realiza. 
 Segundo Chevallard (1999), uma organização praxeológica é formada por um 
conjunto de técnicas, tecnologias e teorias organizadas para um tipo de tarefas. 
 A noção de tarefa está intimamente relacionada a um objetivo relativamente 
preciso, e deve ser expressa por meio de um verbo. Por exemplo, calcular o número de 
anagramas da palavra COMBINATÓRIA é uma tarefa, mas calcular, apenas, é o que se 
 
1 “Um conteúdo de saber que tenha sido definido como saber a ensinar, sofre, a partir de então, um conjunto 
de transformações adaptativas que irão torná-lo apto a ocupar um lugar entre os objetos de ensino. O 
‘trabalho’ que faz de um objeto de saber a ensinar, um objeto de ensino, é chamado de transposição 
didática.” (CHEVALLARD, 1991, p.45). 
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pode nomear como gênero de tarefas. Uma praxeologia relativa a uma tarefa, ou a um 
gênero de tarefas, determina, também, uma maneira, ou caminho, de como realizá-la, esta 
“maneira de fazer” uma determinada tarefa é chamada, segundo Chevallard (1999) de 
técnica. Em princípio, uma praxeologia relativa a algum tipo de tarefa contém uma 
determinada técnica, essa combinação tarefa/técnica é denominada bloco saber/fazer. 
 A fim de justificar o uso de uma determinada técnica em uma instituição, 
Chevallard (1997, 1999) desenvolve uma significação específica para o termo tecnologia. 
 Segundo Chevallard, Bosch e Gascón, (1997, p. 125), 
 Para que uma técnica possa ser utilizada de maneira normalizada, deve 
aparecer como algo ao mesmo tempo correto, compreensível e justificado. A 
existência de uma técnica supõe, também, a existência subjacente de um discurso 
interpretativo e justificativo da técnica para um âmbito de aplicabilidade e 
validade. Chamaremos a esse discurso sobre a técnica de uma tecnologia. 
(CHEVALLARD, BOSCH, GASCÓN, 2001, P. 125). 
 Assim sendo, a tecnologia é um discurso racional, com o objetivo de justificar e 
demonstrar as técnicas utilizadas para uma determinada tarefa ou gênero de tarefas. O 
discurso racional utilizado varia no espaço institucional; deste modo, um discurso que 
possui uma racionalidade para uma determinada instituição poderá parecer pouco racional 
em outro espaço institucional. Assim sendo, a tecnologia tem a função de explicar, 
esclarecer e tornar inteligível as técnicas, isto é, expor por que a técnica escolhida tem 
êxito na forma como é desenvolvida. 
 Toda tecnologia, por sua vez, precisa de uma justificativa, que se denomina Teoria 
da Técnica. O discurso tecnológico contém afirmações mais ou menos explícitas, e, deste 
modo, há a necessidade de descrever essa tecnologia com precisão e rigor, permitindo 
efetivamente uma formalização. Passa-se, assim, a um nível superior de justificação – 
explicação e produção, o nível da Teoria. 
 Chevallard argumenta que: 
 Em grego, theôria tem tomado a partir de Platão o sentido moderno de 
“especulação abstrata”. Porém, na origem, significa simplesmente a idéia de 
contemplação de um espetáculo – os theôros eram os espectadores que olhavam 
a ação sem participar. Disso, os enunciados teóricos aparecem frequentemente 
como “abstratos”, afastados das preocupações dos “simples” tecnólogos e 
técnicos. Este efeito de abstração é relativo ao que se baseia a grande 
generalidade dos enunciados teóricos – sua capacidade para justificar, para 
explicar, para produzir. (CHEVALLARD, 1999, p. 5).2 
 Assim sendo, segundo Chevallard, Bosch e Gascón, (1997), toda obra matemática é 
constituída como solução a algum tipo de tarefa problemática, desta problemática emana 
técnicas que permitem resolver esses problemas, tecnologias que justificam, através de um 
 
2 Tradução nossa. 
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discurso racional, essas técnicas, e as teorias que fundamentam todo este processo 
tecnológico. 
 Segundo Chevallard, Bosch e Gascón, (2001), 
 Uma obra matemática surge sempre como resposta para uma questão ou 
para um conjunto de questões. Mas em que se materializa tal resposta? Em uma 
primeira aproximação, poderíamos dizer que a resposta matemática para uma 
questão se cristaliza em um conjunto organizado de objetos ligados entre si por 
diversas inter-relações, isto é, em uma organização matemática. Essa 
organização é o resultado final de uma atividade matemática que, como toda 
atividade humana, apresenta dois aspectos inseparáveis: a prática matemática ou 
“práxis”, que consta de tarefas e técnicas, e o discurso fundamentado ou “logos” 
sobre essa prática, que é constituída por tecnologias e teorias. (CHEVALLARD, 
BOSCH, GASCÓN, 2001, p. 275). 
 Desta forma, nota-se, em princípio que, em torno de uma determinada tarefa, 
encontramos um tripé formado por uma técnica, uma tecnologia e uma teoria. Podemos 
observar uma organização praxeológica como uma organização matemática constituída por 
dois blocos: o bloco [prático/técnico] que constitui o saber fazer e o bloco 
[tecnológico/teórico] que constitui o saber. 
 A fim de elucidar como a praxeologia permeia as organizações matemáticas, 
Chevallard, Bosch e Gascón (1997) afirmam que: 
 Não é possível, nem para o matemático profissional nem para os alunos 
de uma série fundamental, atuar matematicamente com verdadeira eficácia sem 
entender o que está fazendo. Mas também não se pode entenderem profundidade 
uma organização matemática determinada se, simultaneamente, não for realizada 
uma prática matemática eficaz. Não há práxis sem logos, mas também não há 
logos sem práxis. Ao unir as duas faces da atividade matemática, obtemos a 
noção de praxeologia: para responder a um determinado tipo de questão 
matemática é necessário elaborar uma praxeologia matemática constituída por 
um tipo de problema determinado, uma ou várias técnicas, suas tecnologias e a 
teoria correspondente. (Chevallard, Bosch e Gascón, 1997, p.275). 
 Portanto, podemos notar que não é possível para o matemático, o professor de 
matemática ou mesmo o aluno atuar matematicamente sem compreender o que está 
fazendo, por outro lado, não é possível entender uma organização matemática sem uma 
prática matemática eficaz. Então, não há práxis sem logos, como também, não há logos 
sem práxis. 
 Assim, a noção de praxeologia é a união destas duas facetas da atividade 
matemática, ou seja, o fazer matemática, o bloco [prático/técnico] e o compreender 
matemática, o bloco [tecnológico/teórico]. 
 Estudar uma problemática é determinar uma tarefa, ou um gênero de tarefas que 
conduzem a elaboração de uma organização praxeológica. “Porém, em um mundo 
ordinário da skholé, estudar uma questão é quase sempre recriar para si mesmo e seus 
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companheiros de estudo, uma organização praxeológica já produzida em qualquer outra 
instituição” (Chevallard, 1999). 
 Segundo Chevallard, Bosch e Gascón (1997), 
 Estudar é uma atividade fundamental, um processo vital. Existem muitas 
questões, grandes ou pequenas, que obrigam todos nós, periodicamente, a “voltar 
para a escola”, embora esta não tenha muros, nem professores! A escola, isto é, o 
que os gregos chamavam de skholé não é um mero parênteses no qual nos 
fecham durante a infância e a adolescência. É toda uma dimensão de nossa vida 
(Chevallard, Bosch e Gascón, 1997, p. 300). 
 Analisando uma problemática sobre esta ótica, podemos conjecturar que, estudar 
uma obra ou estudar um conceito é, então, compreender uma resposta a um determinado 
problema, isto é, estudar um conceito já existente analisá-lo, reformulá-lo e transportá-lo 
ao habitat de estudo. O processo de estudar, analisar, reformular e transportar um conceito 
ao habitat de estudo, que poderá ser a sala de aula ou qualquer outro ambiente de estudo, é 
o papel intrínseco do professor. 
 Então, torna-se necessário e imprescindível que o professor aproprie-se do 
conhecimento matemático, observe os conceitos como uma organização praxeológica na 
qual o desenvolvimento do conhecimento matemático está permeado pelos blocos 
[prático/técnico], o fazer matemática e o bloco [tecnológico – teórico], o compreender 
matemática. 
 Assim sendo, ao analisar e estudar uma obra matemática está, simultaneamente, 
analisando a organização matemática na qual a obra está embasada, mas também se está 
observando técnicas didáticas que organizam estas obras matemáticas. Neste caso, 
entende-se por didático o que é relativo ao estudo da matemática, portanto, por essa 
perspectiva podemos observar que o limiar entre o matemático e o didático é muito 
“íntimo” e impreciso. 
 Para finalizar, podemos caracterizar que as organizações matemáticas e didáticas 
permeiam a prática docente do professor. Então, analisar as Organizações Praxeológicas 
dos livros didáticos poderá sugerir como se dá o “fazer entender e aprender” matemática 
no meio escolar. 
 
 Recursão, Indução Matemática e o Raciocínio Combinatório 
 
 Pesquisas acadêmicas, Sturm (1999), Esteves (2001), Rocha (2002), sugerem e 
abordam a construção dos conceitos de Análise Combinatória utilizando-se de práticas 
como: enumeração, árvore de possibilidades, tentativa e erro, contagem direta, desenhos, 
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como também, o Princípio Fundamental da Contagem3 (PFC). Diante deste cenário 
notamos que a Árvore de Possibilidade e o Princípio Multiplicativo ou Princípio 
Fundamental da Contagem caracterizam-se como elementos fundamentais na construção 
dos conceitos de contagem. 
 Esteves (2001), em sua dissertação de mestrado afirma que: 
 Para o conteúdo Análise Combinatória, quando não reforçamos a fórmula, 
acreditamos que estamos valorizando o uso da árvore de possibilidade, do 
método de tentativa e erro, do desenho e do princípio fundamental da contagem 
para um melhor desenvolvimento do raciocínio combinatório. Assim, a fórmula 
no papel deixa de ser apenas uma ferramenta para desenvolver os problemas de 
maneira mais econômica. (ESTEVES, 2001, p.13) 
 Por essa ótica, as fórmulas relacionadas ao ensino de análise combinatória deixam 
de ser o cerne das aulas de contagem apresentando-se, desse modo, como o produto do 
estudo e da compreensão dos conceitos construídos nas aulas de matemática. 
 Além das pesquisas acadêmicas, encontramos orientações semelhantes nos 
PCNEM. Essas orientações conduzem a observar o ensino de análise combinatória não 
somente como uma rotina atrelada a uma aplicabilidade de fórmulas, mas sim, focalizando-
o como um processo permeado por resoluções de problemas, que objetiva o 
desenvolvimento do raciocínio combinatório. Assim, segundo os PCNEM, temos: 
 A Contagem, ao mesmo tempo em que possibilita uma abordagem mais 
completa da probabilidade por si só, permite também o desenvolvimento de uma 
nova forma de pensar em Matemática denominada raciocínio combinatório 
(PCNEM, 126) 
 As fórmulas devem ser conseqüência do raciocínio combinatório 
desenvolvido frente à resolução de problemas diversos e devem ter a função de 
simplificar cálculos quando a quantidade de dados é muito grande. Esses 
conteúdos devem ter maior espaço e empenho de trabalho no ensino médio, 
mantendo de perto a perspectiva da resolução de problemas aplicados para se 
evitar a teorização excessiva e estéril. Espera-se que assim o aluno possa se 
orientar frente a informações de natureza estatística ou probabilística. (PCNEM, 
p127) 
 Vale salientar que pesquisas acadêmicas, como também os PCN, valorizam uma 
“abordagem informal”, dos conceitos de análise combinatória, desde os primeiros anos da 
 
3 Enunciado do Princípio Multiplicativo: Se um acontecimento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e se, 
para cada uma das m maneiras possíveis de ocorrências de A, um segundo acontecimento pode ocorrer de n 
maneiras diferentes, então, o número de maneiras de ocorrer o acontecimento A seguido do acontecimento B 
é m ⋅ n. (BACHX et all, p.3, 1975). 
 13
escola básica. “Abordagem informal”, nesta situação, caracteriza-se pela utilização de 
desenhos, enumeração das soluções, construção da árvore de possibilidade, como também, 
a utilização do princípio fundamental da contagem – neste caso como um processo 
multiplicativo elementar – em situações problemas simples, que envolvem um número 
pequeno de possibilidades. 
 Com relação à construção dos conceitos de análise combinatória, temos a premissa 
que a utilização do diagrama de árvores de possibilidade e a valorização do uso do 
Princípio Fundamental da Contagem, na resolução de problemas, sejam, de fato, caminhos 
propícios para desenvolver o raciocínio combinatório. Por outro lado, observamos que 
procedimentos recursivos são inerentes ao processo da construção da árvore de 
possibilidade, como também, estão presentes no enunciado e na utilização do Princípio 
Fundamental da Contagem. 
 De fato, no caso da árvore de possibilidade podemos observar que para construir os 
“ramos” posteriores necessitamos das estruturas dos “ramos” antecedentes, ou seja, o 
procedimento de construção se repete no processo de formação da árvore. Contudo, 
analisando o Princípio Fundamental da Contagem, também podemos observar a 
recursividade. A recursividade se faz presente no ato de identificar o número de 
possibilidade de cada “etapa”, ou seja, a análise das possibilidades de uma determinada 
“etapa” se repete naanálise das possibilidades da “etapa” posterior. 
 Assim sendo, defendemos a idéia de que o processo recursivo é um elemento 
inerente no desenvolvimento do raciocínio combinatório como, também, na construção dos 
conceitos de análise combinatória. 
 Segundo Batanero (1996), um processo é recursivo quando a definição do 
procedimento contém uma versão de si mesmo como um subprocedimento. Por exemplo, o 
algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum ( )mdc de dois números 
inteiros, pode ser caracterizado como recursivo. Neste algoritmo podemos observar uma 
sucessão de divisões que se repetem até o momento em que se determina o mdc dos dois 
números inteiros dados. 
 Para exemplificar e ilustrar este algoritmo, vamos analisar o cálculo do 
( )1128,336mdc 4: 
 
4 Exemplo retirado do livro “Número Uma Introdução à Matemática” de César Polcino Milies e Sônia Pitta 
Coelho, p.72. 
 14
 3 2 1 4 
1128 336 120 96 24 
120 96 24 0 
 
 Observando as sucessivas divisões que compõem o exemplo acima podemos notar 
um processo recursivo. De fato, o resto da divisão de 1128 por 336, que é igual a 120, 
tornar-se-á o divisor da divisão subseqüente, ou seja, da divisão de 336 por 120. Esse 
processo se repetirá até o momento em que se encontre um resto igual a zero, 
determinando, assim, o máximo divisor comum dos dois números dados. Neste exemplo, 
teremos que: ( )1128,336 24=mdc . 
 Nota-se, assim, que a recursividade é característica deste algoritmo, ou seja, 
podemos identificar que existe um procedimento que contém uma versão de si mesmo 
como subprocedimento. Nesta situação, este subprocedimento pode ser reconhecido como 
as sucessivas divisões que compõem o algoritmo. 
 Não é apenas em procedimentos algoritmizados que podemos observar, na 
matemática, processos recursivos. Algumas definições, também, “lançam mão” desse 
recurso. A fim de exemplificar esse fato, vamos observar a definição de potência de um 
número real com expoentes naturais. 
1
1 se 0
se 0−
=⎧
= ⎨
⋅ >⎩
n
n
n
a
a a n
 
 Observando a definição de potencia, podemos notar, de forma clara, a presença do 
processo recursivo, pois, para calcular o valor de na torna-se necessário conhecer, 
anteriormente, o valor de 1−na . 
 Com o intuito de familiarizar os alunos do Ensino Médio com relação à 
aprendizagem de processos recursivos, Sturm (1999, apud KENNEY E BEZUSZKA 1993) 
afirma, por exemplo, que uma boa ocasião para começar a usar relações de recorrência 
seria na definição de fatorial. Observemos: 
( )
1 se 0
!
1 ! se 0
=⎧⎪= ⎨ ⋅ − >⎪⎩
n
n
n n n
 n N∈ 
 Nesta definição podemos, novamente, notar que o processo recursivo se faz 
presente, pois para calcular !n é necessário conhecer, de antemão, o valor de ( )1 !−n 
 Não devemos esquecer, também, que o processo de recursão ocorre nas 
demonstrações por indução completa. No epílogo do livro “Método de Indução 
 15
Matemática” de Sominski (1996), Yu. A. Gástev descreve, em termos gerais, a indução, 
como a passagem do particular para o geral, assim sendo ele descreve: 
 Em geral, toda construção matemática (ou lógica) que consiste na 
passagem de um ou vários objetos iniciais novos, mediante uma ou várias 
operações de passagem, pode ser considerada como o fundamento do método 
correspondente “indutivo” de definição ou demonstração. (SOMINSKI, 1996, p. 
62). 
 Portanto, Gástev mostra-nos que para estabelecer a validade de um teorema ou 
resultado matemático que se mostra verdadeiro para um grande número de observações de 
casos particulares, é necessário “lançar mão” do Método da Indução Finita ou Método da 
Indução Completa. 
 Peirce concorda com essa abordagem em relação ao raciocínio indutivo. Segundo 
Peirce (1975) apud Marcos e Dias (2005), a indução pode ser entendida como o processo 
de observar casos particulares com o objetivo de inferir generalizações verdadeiras para 
um resultado determinado. Assim sendo, Peirce afirma: 
 O raciocínio indutivo, ou sintético, é mais do que a mera aplicação de 
uma regra geral a um caso particular. Parte de uma premissa menor para uma 
maior. A indução é a inferência de uma regra a partir do caso e do resultado. 
Sendo assim, ela ocorre quando generalizamos a partir de certo número de casos 
em que algo é verdadeiro e inferimos que a mesma coisa será verdadeira do total 
da classe. (DIAS e MARCOS, 2005, p. 5). 
 Com o objetivo de exemplificar e ilustrar a necessidade da utilização do método da 
indução completa, a fim de, deduzir e determinar um específico resultado matemático, 
analisaremos o comportamento da função: ( ) 2 41= − +f n n n com ∈Ζn 5. 
 Se calcularmos ( )1f , ( )2f , ( )3f ,..., ( )40f verificaremos que todos os 
resultados obtidos são números primos. Contudo, a partir dessas observações particulares 
não podemos afirmar, com certeza, que essa função seja geradora de números primos. De 
fato, observando o caso no qual, 41=n teremos: ( ) ( )2 241 41 41 41 41 41= − + ⇒ =f f , ou 
seja, um número não primo. Esse exemplo ilustra, de forma simples e clara, que resultados 
particulares não evidenciam a generalização de um resultado ou de um teorema 
matemático. 
 
5 Exemplo retirado do livro “Número Uma Introdução à Matemática” de César Polcino Milies e Sônia Pitta 
Coelho, p.25. 
 16
 Assim sendo, esse exemplo nos mostra e ilustra o que Gástev e Peirce afirmam, ou 
seja, que observações de casos particulares não garantem, com certeza, um resultado 
matemático. Para concluirmos que um resultado matemático é verdadeiro, a partir de 
situações particulares, necessitamos demonstrá-lo empregando, para isso, o Princípio da 
Indução Completa. 
 Segundo Lorenzo (1974, apud BATANERO 1996), por meio da indução completa 
é possível construir conceitos e demonstrar propriedades de natureza nova e geral a partir 
de uma síntese criadora de elementos mais concretos. O autor sintetiza esse processo a 
partir de três componentes: 
 Esse raciocínio é resultado, em síntese, de três componentes: 
• O passo básico: verificação analítica de uma propriedade para '1'n = 
• O passo indutivo: verificação analítica de que tal proposição do teorema 
é válida para um número qualquer, então é válido para a seguinte. 
• A conclusão correta: a proposição do teorema vale para todos os 
números. (BATANERO, 1996, p. 63). 
 Com relação ao método da indução completa, essa autora ainda ressalta que dada 
uma propriedade, é necessário, previamente, sua identificação a partir de casos 
particulares, mediante um processo empírico indutivo, no qual as conclusões serão mais 
amplas que as premissas. A autora descreve que: 
 A fase da busca de hipótese de recorrência tem um caráter psicológico, e 
está caracterizado pelo processo de ensaio e erro, pela analogia, pela idéia 
feliz,..., similarmente ao trabalho científico das ciências empíricas. Porém a 
validade da hipótese é um processo dedutivo de demonstração. (BATANERO, 
1996, p. 63). 
 Ainda, no epílogo do livro “Método de Indução Matemática” de Sominski (1996), 
Gástev salienta a importância de notar que a indução matemática é um método dedutivo, 
isto é, um método de argumentação puramente dedutivo. O autor argumenta: 
 O “princípio da indução matemática” é uma proposição precisa [...] que 
permite obter, a partir da base6 e do passo indutivo, uma demonstração 
puramente dedutiva da proposição para todos os números naturais n. [...] Desse 
modo o problema pode ser aplicado para qualquer número natural. (SOMINSKI, 
1996, p. 59). 
 Seguindo esse raciocínio, Gástev prossegue: 
 
6 O autor considera base como sendo a validade da proposição para um determinado número natural, ou 
vários números naturais. 
 17
 Em outras palavras, o nome “indução matemática” deve-se simplesmente 
ao fato de que se associa em nossa consciência com as argumentações“indutivas” tradicionais [...]; mas o passo indutivo, contrariamente aos critérios 
baseados na experiência de verossimilhança dos argumentos indutivos das 
ciências naturais (e sociais), é uma proposição geral que não necessita de 
nenhuma hipótese particular e é demonstrado segundo os rigorosos cânones dos 
argumentos dedutivos. É por isso que a “indução” matemática é denominada 
também “completa” ou “perfeita”, já que [...] é um método [...] de demonstração. 
(SOMINSKI, 1996, p. 59-60). 
 Com relação às dificuldades apresentadas pelos alunos na resolução de problemas 
envolvendo arranjo e permutação Batanero (1996) afirma que, possivelmente, a chave para 
as dificuldades e o lento desenvolvimento espontâneo da capacidade de realização de 
operações combinatórias, por parte dos sujeitos, se deve, também, a uma relação 
inadequada e insuficiente com a recursão e a indução matemática. Vale destacar que o 
desenvolvimento curricular proposto em diversos países, e particularmente no Brasil, não 
estabelece mesmo uma relação entre a recursão e a indução com as operações 
combinatórias, sendo estes conteúdos desenvolvidos independentemente um do outro. 
 Essas dificuldades apontadas por Batanero com relação a problemas associados aos 
conceitos de arranjo e permutação, também são pontuados por Esteves (2001), que 
analisou, em sua dissertação de mestrado, alguns problemas de análise combinatória 
envolvendo processos recursivos, e ressalta: 
 Ao analisar as concepções apresentadas pelos alunos, [...] pudemos 
classificar algumas que dificultaram a aprendizagem do conteúdo análise 
combinatória. [...] 
 A falta de um procedimento recursivo que os levasse à formulação de 
todas as possibilidades. Isto acontecia quando os alunos resolviam problemas por 
enumeração, mediante tentativa e erro, principalmente nos casos em que a 
formação de todas as possibilidades se tornava exaustivo. (ESTEVES, 2001, 
p.190) 
 Assim sendo, observando os resultados obtidos na pesquisa citada, podemos notar 
que a dificuldade em entender e operacionalizar processos recursivos impossibilitou alguns 
alunos a resolver problemas combinatórios. Vale notar, também, que a autora descreve que 
esses problemas de contagem, envolviam um número elevado de possibilidades, e esse fato 
tornou o processo de enumeração extenso e exaustivo. Nessa situação, o processo recursivo 
“contornaria” o elevado número de possibilidades de resposta para o problema, sendo 
assim, uma possível opção de “caminho de resolução” que o aluno poderia utilizar. 
 18
 Esteves (2001), também salienta em sua pesquisa a dificuldade apresentada pelos 
alunos na construção e utilização do diagrama de árvores na resolução de problemas 
combinatórios. O diagrama de árvores pode ser caracterizado, também, como um processo 
recursivo. Segundo Batanero (1996), o diagrama de árvores, como recurso na resolução de 
problemas, tem um caráter recursivo, pois, uma árvore com n níveis de ramificações se 
forma a partir de outra árvore com 1−n níveis de ramificações. 
 Com relação a problemas combinatórios que envolvem o raciocínio recursivo, 
Batanero (1996) descreve que: 
 Nas atividades de resolução de problemas combinatórios que envolvem 
arranjo e permutação de um número finito e fixo de elementos, pode-se 
identificar os seguintes aspectos: 
• Formação das configurações para valores pequenos. 
• Descrição dos processos de formação de todas as configurações. 
• Demonstração lógica, mas não formal, de que o processo descrito garanta 
que não falte nenhuma das possíveis configurações. (BATANERO, 1996, 
p. 65). 
 Batanero (2006) pontua, também, que nas resoluções de problemas que envolvem 
permutação e arranjo, é possível, geralmente, analisar o problema a partir da formação de 
processos pequenos, com o objetivo de configurar o problema para processos com um 
número mais elevado de elementos. Defendemos a hipótese de que esse é um recurso 
didático bastante importante e acessível aos alunos, permitindo-lhes desenvolver um 
processo recursivo e dedutivo a fim de resolver situações problemas mais complexas. 
 Entretanto, essa autora salienta que o processo recursivo não é o único componente 
na resolução de problemas combinatórios, mesmo sendo uma das principais características 
nos problemas de enumeração e contagem. Desse modo, ela pontua que para analisar as 
dificuldades encontradas pelos alunos na resolução de problemas de combinatória é 
necessário, também, identificar os diferentes tipos de problemas combinatórios, como 
também, analisar os efeitos das instruções recebidas pelos alunos. 
 Observando algumas definições matemáticas, alguns processos de resolução de 
problemas e certos tipos de demonstrações – demonstrações que envolvem o Método da 
Indução Completa – notamos que a recursividade se faz presente em muitos temas da 
matemática, inclusive alguns abordados na escola básica. 
 Pesquisas em Educação Matemática evidenciam, também, que o processo recursivo 
pode ser identificado como um dos fatores característico no desenvolvimento do raciocínio 
 19
combinatório. Neste contexto, acreditamos que abordar situações problemas que envolvam 
processos recursivos desde os primeiros anos da escola básica é valoroso a fim de 
desenvolver o raciocínio combinatório. 
 Por outro lado, temos a convicção de que estudar e construir os conceitos de análise 
combinatória é, também, construir conceitos algébricos, ou seja, utilizar-se de uma 
linguagem própria e de processos algébricos específicos com o objetivo de resolver 
problemas que envolvem processos de contagem. Assim sendo, analisar como se 
desenvolve o raciocínio combinatório é, também, analisar e identificar como se desenvolve 
o raciocínio algébrico. 
 Acreditamos que abordar problemas recursivos, problemas de contagem e 
problemas que envolvem o raciocínio e a linguagem algébrica, desde a escola básica, são 
de fundamental importância para desenvolver o raciocínio combinatório. Vale lembrar, 
como citado por Batanero (1996), que esses não são os únicos componentes na construção 
dos conceitos de contagem, mas são características fundamentais para compreender fatores 
que influenciam o desenvolvimento do raciocínio combinatório. 
 
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