apostila-de-estatistica-experimental-20141234567

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MATERIAL DIDÁTICO 
 
 
 
 
Estatística Experimental – Medicina Veterinária 
 
 
Faculadade de Ciências Agrárias e Veterinárias 
 
Campus de Jaboticabal – SP 
 
 
Gener Tadeu Pereira 
2º SEMESTRE DE 2014 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
INTRODUÇÃO AO R ................................................................................................ 2 
AULA 1 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA ......................................................................... 3 
1º EXERCÍCIO PRÁTICO ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ................................................... 23 
AULA 2 – TESTES DE SIGNIFICÂNCIA ..................................................................... 25 
2º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ............................................. 35 
AULA 3- DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC) .................................. 37 
3º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ............................................. 58 
AULA 4 TESTE DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS ....................................................... 61 
4º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ............................................. 79 
AULA 5 TESTES F PLANEJADOS ............................................................................ 80 
5º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ............................................. 89 
AULA 6 DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS (DBC) .................................... 91 
6º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ........................................... 106 
AULA 7 DELINEAMENTO QUADRADO LATINO (DQL). .............................................. 109 
7º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ........................................... 124 
AULA 8 EXPERIMENTOS FATORIAIS ..................................................................... 126 
8º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ........................................... 138 
AULA 9 EXPERIMENTOS FATORIAIS: ANALISANDO UM FATORIAL A X B ................... 143 
9º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ........................................... 155 
AULA 10 EXPERIMENTOS EM PARCELA SUBDIVIDIDA ........................................... 157 
10º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ......................................... 169 
AULA 11 EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - ANÁLISE DE MEDIDAS 
REPETIDAS NO TEMPO. ...................................................................................... 171 
AULA 12 TRANSFORMAÇÃO DE DADOS ................................................................ 175 
 
 
 
Estatística Experimental 
2 
Introdução ao R 
 
1 O que é o R? 
 
 R é uma linguagem e ambiente para calcular estatísticas e gráficos. Ele 
é um projeto “GNU” o qual é similar à linguagem S e ambiente a qual foi 
desenvolvida na “Bell Laboratories” , formalmente (AT&T) por John Chambers 
e colaboradores. R pode ser considerado uma implantação diferente do S. 
Existem algumas diferenças importantes, mas muitos dos códigos escritos para 
o S rodam sem modificações no R. 
 O R fornece uma grande variedade de técnicas estatísticas (modelagem 
linear e não linear, testes estatísticos clássicos, análise de séries-temporais, ...) 
e gráficas, e é altamente extensível. 
 Um dos pontos fortes de R é a facilidade com que bem projetados 
gráficos para publicações de qualidade pode ser produzidos, incluindo 
símbolos matemáticos e fórmulas. 
 R esta disponível como um programa livre (“Free Software”) sob os 
termos da “Free Software Foundation’s GNU General Public License”. 
 
2 Instalando o R 
 
 Geralmente, o sistema R consite de duas partes. Uma é denominada de 
Sistema básico do R para o núcleo da linguagem R e bibliotecas fundamentais 
associadas. A outra consiste de contribições de usuários que desenvolvem 
pacotes que são aplicações mais especializadas. Ambas as partes podem 
obtidas do “ Comprehensive R Archive Network ” (CRAN) do site: 
 
http://CRAN.r-project.org 
 
A instalação do sistema R é descrito a seguir 
 
2.1 Instalando o Sistema básico do R 
 
Usuários do Windows podem baixar a última versão do R no endereço 
 
http://www.vps.fmvz.usp.br/CRAN/ 
 
Em “Dowload and Install R”, acione o “link” que corresponde ao sistema 
operacional do seu computador ( no caso do Windows – “Dowload R for 
Windows” e depois no link base. Depois de baixar (salvar) o arquivo 
executável, basta executá-lo e seguir a rotina de instalação. Neste mesmo 
endereço são disponibilizadas versões do R nas plataformas do “Linux” ,e 
“MacOS X”. 
O endereço acima é o local disponível mais próximo de Jaboticabal, no 
caso a USP/Pirassununga, SP. 
 
 
http://cran.r-project.org/
http://www.vps.fmvz.usp.br/CRAN/
 
Estatística Experimental 
3 
Aula 1 – Estatística Descritiva 
 
1 Símbolos: conjunto de dados e da somatória 
 
Conjunto de dados: 
Considere uma variável aleatória de interesse representada pela letra 
maiúscula Y e os valores específicos assumidos por esta variável aleatória 
pelas letras minúsculas y. Para distinguir um valor do outro, utilizamos um 
subscrito i. Por exemplo, nyyy ,...,, 21 . Em geral, um valor típico da variável 
aleatória será designado por yi e o valor final desta amostra por yn, sendo que 
n representa o tamanho da amostra. 
Uma notação compacta para representar a soma de todos os valores de 
uma variável aleatória de interesse, por exemplo, Y, é 
n
n
i
i yyyy 

...21
1
 
A letra grega Σ (sigma) é usada como símbolo da soma para a soma e yi 
para o valor da observação i, denominado de sinal de soma, será usado 
extensivamente neste curso. 
Alguns exemplos e propriedades da somatória: 
 
A soma de n números nyyy ,...,, 21 , como vimos, pode ser expressa por 
n
n
i
i yyyy 

...21
1
 
A soma dos quadrados de n números nyyy ,...,, 21 é: 
22
2
2
1
2 ... ni
n
i
i yyyy 

 
A soma dos produtos de dois conjuntos de n números nxxx ,...,, 21 
e nyyy ,...,, 21 : 
nn
n
i
ii yxyxyxyx ...2211
1


 
 
Exemplo: Considere um conjunto de 3 números: 1, 3 e 6. Os números 
são simbolizados por:    6,3,1,, 321  yyyY 
A soma e a soma dos quadrados destes números são: 
10631
1


n
i
iy , 46631
222
1
2 

n
i
iy 
Considere outro conjunto de números .54,2 321  xexx 
A soma dos produtos de x e y é: 
44)6)(5()3)(4()1)(2(
3
1

i
ii yx 
As três principais regras da adição são: 
 
1 A soma da adição de dois conjuntos de números é igual à adição das 
somas 
  
  

n
i
n
i
n
i
iiii yxyx
1 1 1
)( 
 
Estatística Experimental 
4 
2 A soma dos produtos de uma constante k e uma variável Y é igual ao 
produto da constante pela soma dos valores da variável (yi) 



n
i
i
n
i
i ykyk
11
 
3 A soma de n constantes com valor k é igual ao produto kn 
knkkkk
n
i


...
1
 
Atenção: notem que o cálculo da expressão 


n
i
ni yyyy
1
22
2
2
1
2 ... , 
denominada de “soma de quadrados” é diferente do cálculo da expressão 



n
i
ni yyyy
1
2
21
2 )...()( , denominada de “quadrado da soma”. 
Outras notações: 
y+ = 


n
i
ni yyyy
1
21 ... , e 
n
y
n
y
y
n
i
i
  1 
Notação com dois subescritos. Considere dois grupos de dados 
 
1. grupo controle: { 5, 7, 5, 4 } , o qual é representado por 
 4,5,7,5 14131211  yyyy , 
 
2. grupo tratado: { 7 , 9 , 6 , 9 , 8 } , o qual é representado por 
 8,9,6,9,7 2524232221  yyyyy , 
sendo, i =1, 2, representando os grupos e j = 1, 2,..., ri 
representando as repetições dentro de cada grupo. 
 Calcular o valor da expressão 
i
i
r
j
ij
r
y
i
 
 
2
1
2
1
)(
 
Exemplo de Tabela de dupla entrada. Qualquer observação é 
representada por yij , sendo que, o índice i refere-se às linhas (i=1, 2,..., k) e o 
índice j refere-se às colunas (j=1, 2, ..., r).Colunas 
Linhas 1 2 3 ... j ... r Total Média 
1 y11 y12 y13 ... ... ... y1r y1+ 1y 
2 y21 y22 y23 ... ... ... y2r y2+ 2y 
3 y31 y32 y33 ... ... ... y3r y3+ 
3y 
. 
. 
. 
i 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
... 
... 
... 
yij 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
yj+ 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
jy 
. 
. 
. 
k yk1 yk2 yk3 ... ... ... ykr yk+ ky 
Total y+1 Y+2 y+3 ... y+j ... y+r y++ 
Média 
1y 2y 3y ... jy  ... ry  y 
 
Estatística Experimental 
5 
 
geralmédiaaéysobservaçõeastodasdesomageraltotaloéy
linhaésimaidamédiaaéylinhaésimaidatotaloéy
colunaésimajdamédiaaéycolunaésimajdatotaloéy
ii
jj






);(
;;
;;
 
 
2 Medidas de tendência central 
Um dos aspectos mais importantes do estudo de um conjunto de dados 
é a posição do valor central. Qualquer valor numérico que representa o centro 
de um conjunto de dados é denominado de medida de locação ou medida de 
tendência central. As duas medidas mais comumente utilizadas é média 
aritmética, ou simplesmente a média, e a mediana. 
 
2.1 Média aritmética. 
A mais familiar medida de tendência central é a média aritmética. Ela é 
a medida descritiva que a maioria das pessoas tem em mente quando elas 
falam de média. 
A média pode ser expressa como 
 
n
y
n
yyy
n
y
y n
n
i
i
 


 ...211 
Vamos supor que a variável aleatória Y assume os seguintes valores, 
{ 10, 54, 21, 33, 53 }, então a média destes 5 valores é dada por: 
 2,34
5
171
5
5333215410
5
5
1 



i
iy
y 
Script no R para o cálculo da média 
# calculo da média pela definição 
y <-c(10,54,21,33,53) 
media.1<-sum(y)/length(y) 
 
# pela função mean( ) 
media.2<-mean(y) 
Propriedades da média; 
a) Única. Para um conjunto de dados existe uma e somente uma média 
aritmética. 
b) Simplicidade. A média aritmética é fácil de ser entendida e fácil de ser 
calculada. 
c) Dado que toda observação do conjunto de dados entra no seu 
cálculo, ela é afetada por cada valor. Valores extremos têm influência na média 
e, em algumas situações podem ocorrer distorções, o que pode torná-la uma 
medida indesejável como medida de tendência central. 
 
2.2 Mediana. 
Uma alternativa à média aritmética como medida de tendência central 
é a mediana. A mediana de um conjunto de valores finitos é o valor que ocupa 
a posição central dos dados ordenados, ou seja, aquele valor o qual divide o 
conjunto de dados em duas partes iguais tal que o número de valores iguais ou 
 
Estatística Experimental 
6 
maiores que a mediana é igual ao número de valores menores ou iguais que a 
mediana. Temos que considerar duas situações: 
 
 









)(2)(
2
1
)(12
~
)1()(
)1(
parénknseyy
imparénknsey
y
kk
k
 
 
 Exemplos: 
 1. Considere os dados 10, 54, 21, 33, 53 , com n=5 observações, e a 
seqüência ordenada fica 10, 21, 33, 53, 54. A mediana é calculada como sendo 
a observação que ocupa a 3ª posição da seqüência ordenada, ou seja, 
 33~2,,2/)1(12 )3()12(   yyyksejaounkkn 
 2. Considere os dados 10, 54, 21, 33, 53, 55, e a seqüência ordenada 
fica 10, 21, 33, 53, 54, 55. Como o número de observações é par e a mediana 
é calculada como sendo a média das observações que ocupam a posição 
central, ou seja, 
 
43)5333(
2
1
)(
2
1
)(
2
1~3,,2/)(2 )4()3()13()3(

  yyyyyksejaounkkn
 
Script no R para o cálculo da mediana 
 
# calculo da mediana pela função median( ) 
mediana<-median(y) 
 
Propriedades da mediana; 
a) Única. Assim como a média, para um conjunto de dados existe 
uma e somente uma mediana. 
b) Simplicidade. A mediana é fácil de ser calculada. 
c) Ela não é drasticamente afetada por valores extremos, como a 
média. 
 
2.3 Moda. 
A moda é comumente definida como a observação mais freqüente 
do conjunto de dados. Se todas as observações são diferentes não existe 
moda; por outro lado um conjunto de dados pode ter mais de uma moda. 
Exemplo: considere o conjunto de dados 
 {98, 102, 100, 100, 99, 97, 96, 95, 99, 100}, então a moda é mo = 
100, e no conjunto de dados, abaixo, 
 { 20, 21, 20, 20, 34, 22, 24, 27, 27, 27} existe duas modas 20 e 27 
(bimodal). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
7 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
Figura 1.1 Distribuições de freqüência mostrando as medidas de 
tendência central. Distribuições em a) e b) são simétricas, c) é 
positivamente assimétrica, e d) é negativamente assimétrica. As 
distribuições a), c), e d) são unimodal, e a distribuição b) é bimodal. 
 
3 Medidas de dispersão 
Apesar das medidas de tendência central fornecerem uma idéia do 
comportamento de um conjunto de dados, elas podem esconder valiosas 
informações. Essas medidas não são suficientes para descrever ou discriminar 
diferentes conjunto de dados. Por exemplo, a Figura 3.1 mostra os polígonos 
de freqüência duas variáveis que possuem a mesma média, mas diferentes 
valores de dispersão. A variável B, a qual tem maior variabilidade que a 
variável A, é mais espalhada. A dispersão de um conjunto de dados se refere à 
variedade que eles exibem. Uma medida de dispersão fornece informação a 
respeito da quantidade de variabilidade presente no conjunto de dados. 
 
 
Figura 3.1 Dois polígonos de freqüência com a mesma média, mas com 
diferentes quantidades de dispersão. 
Se todos os valores do conjunto de dados são iguais, não existe 
dispersão; se eles são diferentes, a dispersão está presente nos dados. A 
quantidade de dispersão pode ser pequena, quando os dados, embora 
diferentes, são muito próximos. 
 
3.1 Amplitude 
A amplitude é definida como a diferença entre o maior e o menor valor 
do conjunto de dados. O problema desta mediada é que ela só leva em conta 
dois valores do conjunto de dados e, assim, seria mais conveniente 
considerarmos uma mediada que utilizasse todas as observações do conjunto 
de dados. A primeira idéia que ocorre é considerar o desvio de cada 
 
Estatística Experimental 
8 
observação em relação a um ponto de referência e então calcular a sua média. 
Se tomarmos a média aritmética como este ponto de referência, temos a 
seguinte situação: 
Seja o conjunto de dados yeyyy n...,,, 21 , a média destes dados. 
Definiremos por yyd ii  , os desvios destas observações em relação à sua 
média. Por exemplo, considere os dados 96,5,4 4321  yeyyy . Assim 
temos: 
3)69(,0)66(,1)65(,2)64(
,6
4
9654
4321 



dddd
y
 
Reparem que a soma dos desvios é igual a zero, ou seja, 0d
4
1i
i 

. Isto 
pode ser provado algebricamente, da seguinte forma, 
     


     



n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
iiii
n
i
i yy
n
y
nyynyyyyyd
1 1 1 1 1 11
1
1
0)( 
Portanto a soma destes desvios não seria nada informativa sobre a 
dispersão dos dados. Definiremos então, uma medida que utiliza o quadrado 
dos desvios em relação à média. 
 
3.2 Variância e desvio-padrão 
A variância de um conjunto de dados, é definida como média dos 
desvios das observações em relação à média ao quadrado, ou seja, 
1
)(...)()( 222
2
12



n
yyyyyy
s n 
 Para manter a mesma unidade dos dados originais, é conveniente 
definirmos o desvio-padrão como sendo a raiz quadrada positiva da variância 
s2, 
1
)(...)()( 222
2
1



n
yyyyyy
s n 
 
 A variância amostral é frequentemente calculada usando-se a 
fórmula mais rápida e prática 





















 







n
i
n
i
i
i
n
n
n
y
y
n
n
yyy
yyy
n
s
1
1
2
2
2
2122
2
2
1
2
)(
1
1
)...(
...
1
1
 
Exemplo: Os pesos (em pounds) de uma amostra aleatória de trutas em 
um lago são: 
1,19; 0,93; 2,40; 1,71; 0,89; 1,74; 1,06; 1,16; 1,47; 1,15 
 
 A média aritmética destes dados é 
.37,1
10
7,13
)15,1...93,019,1(10
1
poundsy  
 E a variância é 
 
Estatística Experimental 
9 
 
2
2222
)(2187,0
)37,115,1(...)37,193,0()37,119,1(
110
1
pounds
s




 
 Alternativamente, temos 
.47,02187,0
,)(2187,0
10
70,13
74,20
9
1
10
)15,1...93,019,1(
15,1...93,019,1
110
1
2
2
2222
poundss
epounds
s















 



 
Script no R para os cálculos acima 
# entrando com os dados pelo comando concaternar c( ) 
peso <- c(1.19, 0.93, 2.40, 1.71, 0.89, 1.74, 1.06, 1.16, 1.47, 1.15) 
 
# cálculo da média pela definição com os comandos sum() e length() 
m.peso1 <- sum(peso)/length(peso) 
m.peso1 
 
# cálculo da média pela função mean() 
m.peso2 <- mean(peso) 
m.peso2 
 
# 
# para saber mais detalhes da função mean() execute o comando ??mean() 
# 
 
# 3 formas de se calcular a variância pelas fórmulas do item 3.4 
v1.peso <- sum((peso-mean(peso))^2)/(length(peso)-1) 
v1.peso 
 
v2.peso <- (sum(peso^2)-sum(peso)^2/length(peso))/(length(peso)-1) 
v2.peso 
 
# cálculo pela função var( ) 
v3.peso <- var(peso) 
v3.peso 
 
# cálculo do desvio padrão pela definição 
sd1.peso <- sqrt(v3.peso) 
sd1.peso 
 
# cálculo do desvio padrão pela função sd( ) 
sd2.peso <- sd(peso) 
sd2.peso 
 
3.3 Quartis 
Alguns quartis são definidos de modo análogo à mediana. Assim como a 
mediana divide o conjunto de dados em duas partes, os quartis dividem os 
dados em quatro partes. O segundo quartil, representado por Q2 é igual à 
 
Estatística Experimental 
10 
mediana, então yQ2
~ . O primeiro quartil, Q1 é definido como aquele valor do 
conjunto de dados tal que não mais que 25% dos dados têm valores menores 
que Q1 e não mais que 75% dos dados têm valor maior que Q1. O terceiro 
quartil, Q3, pode ser definido de maneira similar. Assim como a mediana, mais 
de uma observação pode satisfazer a definição dos quartis. As seguintes 
fórmulas podem ser utilizadas para calcular o primeiro e o terceiro quartis de 
um conjunto de dados 
ordenadaobservaçãoésima
n
Q
ordenadaobservaçãoésima
n
Q
4
)1(3
4
1
3
1




 
3.4 Gráfico “BOX-PLOT” 
O gráfico tipo Box-plot é um recurso visual útil de comunicação da 
informação contida em conjunto de dados. O objetivo de um gráfico tipo Box-
Plot é mostrar as principais características de um conjunto de dados. Para 
interpretar um gráfico Box-Plot adequadamente, os valores devem ser 
visualizados como pontos de linha horizontal/vertical localizada no centro do 
gráfico. Valores grandes correspondem a grandes pontos na horizontal/vertical. 
Existem três componentes importantes no gráfico Box-plot: 
 A caixa, a qual contém 50% dos valores, começa no primeiro quartil 
Q1 e termina no terceiro quartil, Q3. 
 As duas pontas (whiskers), se extendem acima e abaixo da caixa 
até a localização da maior e da menor observação que estão 
dentro da distância de 1.5 vezes o intervalo interquartil. 
 Os valores atípicos “outliers”, são os valores fora das pontas. 
 
Exemplo: Considere os dados a seguir, os quais se referem a peso (g) 
de tumores cancerígenos extraídos do abdome de 57 cães 
 
68 63 42 27 30 36 28 32 79 27 22 23 24 25 44 65 43 25 74 
51 36 42 28 31 28 25 45 12 57 51 12 32 49 38 42 27 31 50 
38 21 16 24 69 47 23 22 43 27 49 28 23 19 46 30 43 49 12 
 
O conjunto ordenado fica: 
 
12 12 12 16 19 21 22 22 23 23 23 24 24 25 25 25 27 27 27 
27 28 28 28 28 30 30 31 31 32 32 36 36 38 38 42 42 42 43 
43 43 44 45 46 47 49 49 49 50 51 51 57 63 65 68 69 74 79 
Assim, a menor e a maior observação é 12 e 79, respectivamente. O 
número de observações é 57. O primeiro quartil é a observação 
 
255.14
4
157
)5,14(1 

 yQ g, 
e o terceiro quartil 
 
5,465.43
4
)157(3
)5,43(3 

 yQ g 
 
Script no R para os cálculos acima 
 
Estatística Experimental 
11 
# entrando com os dados 
p.tumor <- c(68, 63, 42, 27, 30, 36, 28, 32, 79, 27, 
 22, 23, 24, 25, 44, 65, 43, 25, 74, 51, 
 36, 42, 28, 31, 28, 25, 45, 12, 57, 51, 
 12, 32, 49, 38, 42, 27, 31, 50, 38, 21, 
 16, 24, 69, 47, 23, 22, 43, 27, 49, 28, 
 23, 19, 46, 30, 43, 49, 12) 
 
# observação mínima dos dados do vetor p.tumor pela função min() 
min.ptumor <- min(p.tumor) 
min.ptumor 
 
# observação máxima dos dados do vetor p.tumor pela função max() 
max.ptumor <- max(p.tumor) 
max.ptumor 
 
# cálculo da amplitude pela definição 
amplitude<-max.ptumor-min.ptumor 
amplitude 
 
# cálculo do quantil 0.20 com a função quantile() 
q.20 <- quantile(p.tumor,0.20) 
q.20 
 
# cálculo do primeiro quartil Q1 
q1 <- quantile(p.tumor,0.25) 
q1 
 
# cálculo do primeiro quartil Q2 
q2 <- quantile(p.tumor,0.50) 
q2 
 
# cálculo do terceiro quartil Q3 
q3<- quantile(p.tumor,0.75) 
q3 
 
# calculo da mediana 
mediana<- median(p.tumor) 
mediana 
 
 # reparem que a mediana é igual ao segundo quartil 
 
# cálculo dos 3 quartis (0.25, 0.50, 0.75) de uma única vez 
quartis <- c(0.25,0.50,0.75) 
quantile(p.tumor,quartis) 
 
# apresentando a função summary( ) 
summary(p.tumor) 
 
# 2 gráficos pela função boxplot() 
boxplot(p.tumor) # gráfico default 
 
Estatística Experimental 
12 
 
# incrementando o gráfico 
boxplot(p.tumor, 
 col=2, # colocando cor no gráfico 
 horizontal= T, # na posição horizontal 
 main= "Gráfico Box-Plot") # colocando título principal 
Gráfico produzido pela última função boxplot( ) 
 
O exame deste Gráfico revela que 50% das observações estão no 
retângulo entre os valores do Q1=25 e Q3=46,5. A linha vertical dentro da caixa 
representa o valor da mediana, Q2, a qual é 32. A longa cauda a direita do 
gráfico indica que a distribuição de peso de tumores é levemente assimétrica à 
direita. O símbolo da bolinha indica que existe uma observação atípica neste 
conjunto de dados, observação cujo valor é 79, com uma probabilidade de 
ocorrência muito baixa. 
 
3.5 Medidas da forma da distribuição 
As medidas da forma de uma distribuição são os coeficientes de 
assimetria (skewness) e curtosis (kurtosis). 
Assimetria é uma medida da assimetria da distribuição de freqüência. 
Ela mostra se os desvios da média são maiores de um lado do que do outro 
lado da distribuição. Ela é dada por 
3
1)2)(1(







 


n
i
i
s
yy
nn
n
ass 
Para uma distribuição simétrica o coeficiente de assimetria é zero. Ela é 
positiva quando a cauda da direita é mais alongada e negativa quando a cauda 
da esquerda é mais alongada. 
 
a) 
 
b) 
 
 
 Figura 3.3 Ilustrações da assimetria a) negativa e b) positiva 
Curtosis é uma medida da forma das caudas de uma distribuição. Ela é 
dada por 
 
Estatística Experimental 
13 
)3)(2(
)1(3
)3)(2)(1(
)1( 2
4
1 






 


 
 nn
n
s
yy
nnn
nn
ct
n
i
i 
Para variáveis, tais como, peso, altura ou produção de leite, espera-se 
que a distribuição de freqüência seja simétrica em torno da média e tenha a 
forma de um sino. Estas são as distribuições normais. Se as observações têm 
distribuição normal então a curtosis é igual a zero (ct = 0). Uma distribuição 
com curtosis positiva tem uma grande freqüência de observações próximas da 
média e caudas finas. Uma distribuição com curtosis negativa tem as caudas 
mais grossas e uma baixa freqüência de dados perto da média. 
Script no R para os cálculos dos coeficientes de assimetria e curtosis 
 
# definindo uma função para o cálculo do coef. de assimetria 
ass<-function(x){ # início da função 
m3<-sum((x-mean(x))^3) 
s3<-sd(x)^3 
n <- length(x);n_1 <- length(x)-1; n_2 <- length(x)-2 
coef<- n/(n_1*n_2) 
coef*m3/s3 } # término da função 
 
# aplicando a função ass( ) aos dados de p.tumor 
ass(p.tumor) 
 
# definindo uma função para o cálculo do coef. de curtosis 
ct <-function(x) { # inicio da função 
m4<-sum((x-mean(x))^4)s4<-sd(x)^4 
n<-length(x);coef1<-n*(n+1)/((n-1)*(n-2)*(n-3));coef2<- 3*(n-1)^2/((n-2)*(n-3)) 
coef1*m4/s4 - coef2} # término da função 
# aplicando a função aos dados de p.tumor 
ct(p.tumor) 
 
# definindo uma função ed( ) que calcula todas as estatísticas descritivas 
ed<-function (x) { # inicio da funçao 
media<-mean(x) # cálculo da média 
dp<-sd(x) # cálculo do desvio padrão 
minimo<-min(x) # cálculo do mínimo 
maximo<-max(x) # cálculo do máximo 
q1<-quantile(x,0.25) # cálculo do 1 quartil 
mediana<-median(x) # cálculo da mediana q2 
q3<-quantile(x,0.75) # cálculo do terceiro quartil 
cv<-sd(x)/mean(x)*100 # cálculo do coef. variação 
 
# cálculo do coef. de assimetria 
m3<-sum((x-mean(x))^3) 
s3<-sd(x)^3 
n <- length(x) 
coef<- n/((n-1)*(n-2)) 
ass<-coef*m3/s3 
 
# cálculo do coef. curtosis 
 
Estatística Experimental 
14 
m4<-sum((x-mean(x))^4) 
s4<-sd(x)^4 
n<-length(x) 
coef1<-n*(n+1)/((n-1)*(n-2)*(n-3)) 
coef2<- 3*(n-1)^2/((n-2)*(n-3)) 
ct<-coef1*m4/s4 - coef2 
 
# definindo a saída 
c(mínimo=minimo,Q1=q1,média=media,mediana=mediana,desv_pad=dp, 
Q3=q3,máximo=maximo,CV=cv,Assimetria=ass,Curtosis=ct) 
} # final da função ed( ) 
 
# aplicando a função ed( ) aos dados de p.tumor 
round(ed(p.tumor),1) # a função round( ) controla as casas decimais 
Abaixo estão estas estatísticas calculadas pelo script acima 
 
mínimo Q1.25% mediana desv_pad Q3.75% máximo CV 
 12.0 25.0 32.0 15.9 46.0 79.0 43.2 
Assimetria Curtosis 
 0.8 0.1 
 
3.6 Histograma 
O gráfico do histograma é outro recurso visual muito usado para a 
análise da forma da distribuição. No script do R abaixo são apresentados 
alguns exemplos doa função hist( ) e sua correspondência com o gráfico Box-
Plot. 
 
# histograma dos dados p.tumor 
hist(p.tumor) # default 
 
# histograma com mais opções 
hist(p.tumor, 
 col="light blue", # colocando a cor azul 
 xlab=" Classes de Peso (g)", # título do eixo x 
 ylab="Frequência", # título do eixo y 
 nclass=8, # número de colunas 
 border="dark blue") #colocando bordas no gráfico 
 
Saída fornecida pelo script acima 
 
Apresentação do histograma e do Box-Plot juntos 
# dividindo a janela gráfica em 2 linhas e 1 coluna 
par(mfrow=c(2,1)) 
Histograma
 Classes de Peso (g)
F
re
q
u
ê
n
c
ia
10 20 30 40 50 60 70 80
0
5
1
0
1
5
2
0
 
Estatística Experimental 
15 
 
# histograma 
hist(p.tumor, 
 col="light blue", # colocando a cor azul 
 xlab=" Classes de Peso (g)", # título do eixo x 
 ylab="Frequência", # título do eixo y 
 nclass=8, # número de colunas 
 border="dark blue", # colocando bordas no gráfico 
 main="Histograma") # título principal 
 
# gráfico box plot 
boxplot(p.tumor, 
 col=2, # colocando cor no gráfico 
 horizontal= T, # na posição horizontal 
 main= "Gráfico Box-Plot") # colocando título principal 
 
Gráficos para dados com uma classificação é uma ferramenta muito útil 
na ánalise exploratória de dados. Considere a questão nº 1 da 1ª Lista de 
exercícios, apresentada ao final da Aula 1. Nesta questão é solicitado a 
construção do gráfico de barras para cada tipo de comida. O script no R para 
construir estes gráficos é: 
 
# entrando com todas as observações 
n.moscas<-c(15,20,31,16,22,22,23,33,38,28,25,20,21,23,29,26,40,20,19,31, 
 6,19,0,2,11,12,13,12,5,16,2,7,13,20,18,19,19,9,9,9) 
 
# definindo um vetor para cada tipo de comida 
t.comida <- c(rep("c.regular",20),rep("c.suco",20)) 
#calculando a média para cada tipo de comida com o comando tapply() 
m.moscas<-tapply(n.moscas,t.comida,mean) 
 
#calculando o desvio-padrão para cada tipo de comida com o comando tapply() 
sd.moscas<-tapply(n.moscas,t.comida,sd) 
 
# gráfico de barras do valor médio de cada tipo de comida 
bar.moscas<-barplot(m.moscas, cex.names=0.7, 
xlab="Comida",col=c(2,3), 
ylab="Comprimento médio (±sd)", 
ylim=c(0,max(mean(m.moscas)+sd(m.moscas)*2))) 
 
# colocando os eixos do desvio-padrão no gráfico de barras 
Histograma
 Classes de Peso (g)
F
re
q
u
ê
n
c
ia
10 20 30 40 50 60 70 80
0
5
1
5
10 20 30 40 50 60 70 80
Gráfico Box-Plot
 
Estatística Experimental 
16 
arrows(bar.moscas,m.moscas-sd.moscas, 
bar.moscas,m.moscas+sd.moscas, length=0.1, angle=90, code=3) 
 
# gráfico Box-plot para cada tipo de comida 
boxplot(n.moscas~t.comida,col=c(2,3)) 
 
3.7 Coeficiente de variação (CV) 
O desvio-padrão é útil como medida de variação dentro de um conjunto 
de dados. Quando desejamos comparar a dispersão de dois conjuntos de 
dados, a comparação dos desvios-padrões dos dois conjuntos de dados pode 
nos levar a conclusões falsas. Pode acontecer que as duas variáveis 
envolvidas estão medidas em unidades diferentes. Por exemplo, podemos 
estar interessados em saber se os níveis do soro de colesterol, medido em 
miligramas por 100 ml são mais variáveis do que o peso corporal, medido em 
kilograma. 
O que é necessário nesta situação é o uso de uma medida de variação 
relativa do que uma medida absoluta. Tal medida é o COEFICIENTE DE 
VARIAÇÃO (CV), a qual expressa o desvio padrão como uma porcentagem da 
média, e sua fórmula é 
)%(100
y
s
cv  , 
a qual é uma medida independente da unidade. 
Exemplo: considere os valores abaixo de média e desvio-padrão de dois 
grupo de cães, identificados pelas suas idades 
 Amostra 1 Amostra 2 
Grupo 10 anos 4 anos 
Peso médio 145 80 
Desvio-padrão 10 10 
Uma comparação dos seus respectivos desvios-padrões leva a uma 
conclusão de que as duas amostras têm a mesma variabilidade. Se 
calcularmos os coeficientes de variação, para o grupo 1 
%,)( 96100
145
10
cv  
e para o grupo 2, 
%,)( 512100
80
10
cv  , 
e comparando estes resultados temos uma impressão bem diferente. O grupo 
2 tem uma variabilidade de 1,8 vezes maior em relação ao grupo 1. O 
coeficiente de variação é muito útil na comparação de resultados obtidos por 
diferentes pesquisadores que investigam a mesma variável. Visto que o 
coeficiente de variação é independente da unidade, ele é útil para comparar a 
variabilidade de duas ou mais variáveis medidas em diferentes unidades. 
 # definindo uma função para o cálculo do coeficiente de variação 
cv <- function(x) sd(x)/mean(x)*100 
 
# aplicando a função aos dados de p.tumor 
cv(p.tumor) 
 
4.ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
 
 
Estatística Experimental 
17 
4.1 INTRODUÇÃO 
Numa pesquisa científica o procedimento geral é formular hipóteses e 
verificá-las diretamente ou por suas conseqüências. Para isto é necessário um 
conjunto de observações e o planejamento de experimentos é então essencial 
para indicar o esquema sob o qual as hipóteses possam ser verificadas com a 
utilização de métodos de análise estatística que dependem da maneira sob a 
qual as observações foram obtidas. Portanto, planejamento de experimentos e 
análises dos resultados estão intimamente ligados e devem ser utilizados em 
uma seqüência nas pesquisas científicas das diversas áreas do conhecimento. 
Isto pode ser visto por meio da seguinte representação gráfica da circularidade 
do método científico. 
(2) 
Observações 
 (1) (3) 
Formulação de Hipóteses Verificação das Hipóteses formuladas(4) 
Desenvolvimento da Teoria 
Fica evidente nesta ilustração que as técnicas de planejamento devem 
ser utilizadas entre as etapas (1) e (2) e os métodos de análise estatística 
devem ser utilizados na etapa (3). 
Desenvolvendo um pouco mais está idéia podemos dizer que uma 
pesquisa científica estatisticamente planejada consiste nas seguintes etapas: 
 
1. Enunciado do problema com formulação de hipóteses. 
2. Escolha dos fatores (variáveis independentes) que devem ser 
incluídos no estudo. 
3. Escolha da unidade experimental e da unidade de observação. 
4. Escolha das variáveis que serão medidas nas unidades de 
observação. 
5. Determinação das regras e procedimentos pelos quais os diferentes 
tratamentos são atribuídos às unidades experimentais (ou vice-
versa). 
6. Análise estatística dos resultados. 
7. Relatório final contendo conclusões com medidas de precisão das 
estimativas, interpretação dos resultados com possível referência a 
outras pesquisas similares e uma avaliação dos itens de 1 a 6 (desta 
pesquisa) com sugestões para possíveis alterações em pesquisas 
futuras. 
 
Ilustrações destas etapas com exemplos. 
 
1. Enunciado do problema. 
Como vimos uma pesquisa científica se inicia sempre com a formulação 
de hipóteses. Essas hipóteses são primeiramente formuladas em termos 
científicos dentro da área de estudo (hipótese científica) e em seguida em 
termos estatísticos (hipótese estatística) . Deve haver uma correspondência 
perfeita entre as hipóteses científica e estatística para evitar ambigüidade. 
Portanto, no enunciado do problema, a hipótese científica deve ser 
formulada de maneira precisa e objetiva. 
 
Estatística Experimental 
18 
Exemplo:Um pesquisador está interessado em estudar o efeito de vários 
tipos de ração que diferem pela quantidade de potássio no ganho de peso de 
determinado tipo de animal. 
Este objetivo pode ser atingido se planejarmos a pesquisa com uma das 
seguintes finalidades: 
a) comparar as médias dos aumentos de peso obtidas com cada uma 
das rações (igualdade das médias); 
b) Estabelecer uma relação funcional entre o aumento do peso médio e 
a quantidade de potássio. 
 
2. Escolha dos fatores e seus respectivos níveis. 
No exemplo apresentado em 2.1, a variável independente “ração” é um 
fator e os tipos de rações são os níveis deste fator, ou tratamentos. Assim, em 
um experimento para se estudar o efeito de 4 rações e 3 suplementos no 
ganho de peso de animais, temos dois fatores: ração com quatro níveis e 
suplementos com 3 níveis. Podemos dizer que este experimento envolve 12 
tratamentos, correspondentes às combinações dos níveis dos dois fatores. 
Pelo próprio conceito de fator, temos que em um experimento, a escolha 
dos fatores e seus respectivos níveis é basicamente um problema do 
pesquisador. No entanto é importante para o planejamento e análise 
distinguirmos as duas situações, descritas a seguir: 
a) uma fazenda de inseminação adquiriu 5 touros de uma determinada 
raça para a produção de sêmen, e está interessada em realizar um 
experimento para verificar se os cinco touros são homogêneos 
quanto a produção de sêmen. 
b) A mesma fazenda de inseminação está interessada em realizar um 
experimento para verificar se a produção de sêmen de touros, de 
uma determinada raça, é homogênea. Como a população de touros 
da fazenda é muito grande o pesquisador decidiu realizar um 
experimento com uma amostra de touros (5 touros), mas as 
conclusões devem ser estendidas para a população de touros. 
 
Na situação descrita em a) dizemos que o fator “touro” é fixo e na 
situação em b) o fator “touro” é aleatório. A diferença fundamental entre estes 
dois tipos de fatores é, então, que no caso de fatores fixos, as conclusões se 
referem apenas aos níveis do fator que estão presentes no experimento. No 
caso de fatores aleatórios as conclusões devem ser estendidas para a 
população de níveis. 
 
3. Escolha da unidade experimental. 
Em um grande número de situações práticas a unidade experimental é 
determinada pela própria natureza do material experimental. Por exemplo, 
experimentos com animais, em geral a unidade experimental é um animal. Em 
outras situações a escolha de outras unidades experimentais não é tão 
evidente, exigindo do pesquisador juntamente com o estatístico algum estudo, 
no sentido de escolher a unidade experimental mais adequada. A escolha de 
uma unidade experimental, de um modo geral, deve ser orientada no sentido 
de minimizar o erro experimental, isto é, as unidades devem ser as mais 
homogêneas possíveis, para, quando submetidas a dois tratamentos 
diferentes, seus efeitos, sejam facilmente detectados. 
 
 
Estatística Experimental 
19 
4. Escolha das variáveis a serem medidas. 
 As medidas realizadas nas unidades experimentais após terem sido 
submetidas aos tratamentos constituem os valores da variável dependente. A 
variável dependente, em geral, é pré-determinada pelo pesquisador, isto é, ele 
sabe qual variável que ele quer medir. O que constitui problema, às vezes, é a 
maneira como a variável é medida, pois disto dependem a precisão das 
observações, e a distribuição de probabilidade da variável a qual é essencial 
para a escolha do método de análise. Assim, por exemplo, se os valores de 
uma variável são obtidos diretamente por meio de um aparelho de medida 
(régua, termômetro, etc.) a precisão das observações vai aumentar se, quando 
possível, utilizarmos como observação a média de três medidas da mesma 
unidade experimental. Com relação à distribuição de probabilidade em muitas 
situações as observações não são obtidas diretamente e sim por expressões 
matemáticas que as ligam a outros valores obtidos diretamente. Neste caso, a 
distribuição de probabilidade das observações vai depender da distribuição de 
probabilidade da variável obtida diretamente e da expressão matemática que 
as relaciona. 
Portanto, as variáveis, necessariamente presentes em um experimento 
são: a variável dependente, medida nas unidades experimentais, e o conjunto 
de fatores (variáveis independentes) que determinam as condições sob as 
quais os valores da variável dependente são obtidos. 
Qualquer outra variável que possa influir nos valores da variável 
dependente deve ser mantida constante. 
 
5. Regras segundo as quais os tratamentos são atribuídos às unidades 
experimentais. 
Nas discussões apresentadas em cada um dos itens anteriores a 
colaboração da estatística é bem limitada exigindo-se a essencial colaboração 
do pesquisador. Porém, o assunto discutido neste item é o que poderíamos 
denominar de planejamento estatístico de experimento. Trata-se das regras 
que associam as unidades experimentais aos tratamentos e que praticamente 
determinam os diferentes planos experimentais, ou seja, a Aleatorização ou 
Casualização. Lembramos, neste ponto, que os tratamentos são cada uma 
das combinações entre os níveis de todos os fatores envolvidos no 
experimento. 
Para que a metodologia estatística possa ser aplicada aos resultados de 
um experimento é necessário que em alguma fase do experimento, o principio 
a ser obedecido é o da Repetição, segundo o qual devemos ter repetições do 
experimento para que possamos ter uma medida da variabilidade necessária 
aos testes da presença de efeitos de tratamentos ou a estimação desses 
efeitos. 
 
Aleatorização 
Aleatorização é a designação dos tratamentos às unidades 
experimentais, tal que estas têm a mesma chance (mesma probabilidade) de 
receber um tratamento. Sua função é assegurar estimativas não-viesadas das 
médias dos tratamentos e do erro experimental. Nesta fase do planejamento de 
um experimento já sabemos quais fatores serão estudados e o número de 
níveis de cada fator que estarão presentes no experimento. Sabemos ainda 
qual é a unidade experimental escolhida e a variável dependente. Podemos 
imaginar que de um lado temos um conjunto 
 
Estatística Experimental 
20 
 U de unidades experimentais, e de outro, 
 T um conjuntode tratamentos, que podem ser as combinações dos 
níveis de todos os fatores envolvidos. Precisamos estabelecer 
esquemas que associam subconjuntos de elementos de U a cada 
elemento de T. Vamos apresentar o esquema mais simples. Para 
efeito de notação vamos supor que o conjunto U tem n elementos, o 
conjunto T tem a elementos, e o número de elementos de U 
submetidos ao tratamento Ti é ni, com i=1, 2, ..., a, de tal modo que 



k
i
i nn
1
. 
O número de unidades experimentais ni para cada tratamento Ti é 
determinado a partir de informações sobre a variabilidade das unidades 
experimentais em termos da variabilidade da variável dependente. 
O plano completamente aleatorizado é um esquema em que as 
unidades experimentais que vão ser submetidas a cada tratamento são 
escolhidas completamente ao acaso. Isto significa que cada unidade 
experimental tem igual probabilidade de receber qualquer um dos tratamentos. 
Por exemplo, um pesquisador quer realizar um experimento para 
estudar o efeito de um resíduo industrial que é adicionado em rações de 
animais. Ele suspeita que este resíduo contenha uma substância tóxica, cuja 
presença no organismo, produz um aumento relativo de alguns órgãos, como o 
fígado, por exemplo. Após uma entrevista com o pesquisador conseguimos as 
seguintes informações 
 
 O experimento irá envolver um único fator, ração, com três níveis: t1 - 
ração normal, sem resíduo industrial (grupo controle; t2 - ração normal 
com o resíduo tratado, e t3 - ração normal com resíduo não tratado. 
Portanto, o conjunto T tem três tratamentos 
 Um conjunto U, é formado por um grupo de 18 camundongos todos, 
recém nascidos, com o mesmo peso inicial e homogêneos com relação 
às características genéticas gerais. Por isto foi decidido distribuir 
completamente ao acaso 6 animais para cada tratamento. 
 A variável dependente (resposta) é o peso relativo do fígado após 90 
dias do início do experimento. 
Uma maneira de se proceder ao sorteio é a seguinte: 
 enumera-se as unidades experimentais de 1 a 18. 
 coloca-se os tratamentos em seqüência , por exemplo: 
T1 T1 T1 T1 T1 T1 , T2 T2 T2 T2 T2 T2 , T3 T3 T3 T3 T3 T3 
 sorteia-se uma sequência de 18 números aleatórios. Pode-se obter, 
por exemplo, a sequência : 
3, 1, 11, 15, 18, 16, 4, 5, 9, 12, 8, 7, 17, 14, 2, 6, 13, 10 
 
Gerando uma seqüência de números aleatórios no R: 
# gerando uma sequencia de números de 1 a 18 
x<-seq(1:18) 
x 
 
# sequencia aleatória de tamanho 18 de x 
sample(x,18,replace=F) 
 
 
Estatística Experimental 
21 
Saída fornecida pelo R 
> # gerando uma sequencia de números de 1 a 18 
> x<-seq(1:18) 
> x 
 [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
> 
> # sequencia aleatória de tamanho 18 de x 
> sample(x,18,replace=F) 
 [1] 4 5 7 10 17 8 16 3 2 14 11 13 9 1 18 6 15 12 
 
 Distribuição das unidades experimentais aos tratamentos de acordo 
com a seqüência gerada no R 
 
Trat. Repetições 
T1 u4 u5 u7 u10 u17 u8 
T2 u16 u3 u2 u14 u11 u13 
T3 u9 u1 u18 u6 u15 u12 
 
Este plano experimental é mais eficiente quanto maior for o grau de 
homogeneidade entre as unidades experimentais em termos da variável 
dependente. Se as unidades experimentais são heterogêneas o número n de 
unidades experimentais necessárias para uma boa precisão pode ser muito 
grande. Algumas alterações no planejamento descrito, tal como, a introdução 
de blocos, ou simplesmente a utilização de uma co-variável medida nas 
unidades experimentais, a qual é correlacionada com à variável dependente, 
podem reduzir consideravelmente o erro experimental. 
Observações: 
1) o plano experimental completamente aleatorizado não depende do 
numero de fatores envolvidos e nem da maneira pela qual os 
fatores são combinados. 
2) Existem alguns fatores que pela própria natureza, impõe restrições 
na aleatorização, porém para efeito de análise, o experimento é 
considerado completamente aleatorizado. 
Plano experimental em blocos 
Quando o conjunto U de unidades experimentais for muito heterogêneo 
(em termos da variável independente), o plano experimental completamente 
aleatorizado torna-se pouco preciso, pois o erro experimental fica muito grande. 
Em algumas situações dispomos de informações segundo as quais, antes da 
realização do experimento, é possível agruparmos as unidades experimentais 
mais ou menos homogêneas, em que a é o número de tratamentos envolvidos 
no experimento. Estes subconjuntos são denominados de blocos. Assim, a 
maior parte da heterogeneidade interna do conjunto U é expressa pela 
heterogeneidade entre blocos. A distribuição das unidades experimentais entre 
os tratamentos obedece a uma restrição imposta pelos blocos, isto é, as a 
unidades de cada bloco são distribuídas aleatoriamente entre os tratamentos. 
Na análise de um experimento em blocos, além dos fatores de interesse, 
deve-se levar em conta o fator experimental bloco, diminuindo desta forma o 
erro experimental. Quanto maior for a heterogeneidade entre blocos, maior é a 
eficiência deste plano experimental em relação ao completamente aleatorizado. 
Exemplo: Um pesquisador deseja testar o efeito de três tratamentos (T1, 
T2, T3 ) no ganho de peso de ovelhas . Antes do inicio do experimento as 
 
Estatística Experimental 
22 
ovelhas foram pesadas e ordenadas de acordo com o peso e atribuídas a 4 
blocos. Em cada bloco tinham 3 animais aos quais os tratamentos foram 
sorteados. Portanto, 12 animais foram usados. 
 
Repetição 
Repetição significa que o mesmo tratamento é aplicado sobre duas ou 
mais unidades experimentais. Sua função é fornecer uma estimativa do “erro 
experimental” e dar uma medida mais precisa dos efeitos dos tratamentos. O 
número de repetições requeridas em um particular experimento depende da 
magnitude das diferenças que o pesquisador deseja testar e da variabilidade 
da variável dependente em que se esta trabalhando. 
 
Estatística Experimental 
23 
1º EXERCÍCIO PRÁTICO ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
1) Em um estudo genético, uma alimentação regular era colocada em 20 frascos e o 
número moscas de um determinado genótipo era contado em cada frasco. O número de 
moscas também era contado em outros 20 frascos que continham suco de uva. O 
número de moscas contados foram: 
Número de moscas 
Comida regular Suco de uva 
15 20 31 16 22 22 23 33 38 28 
25 20 21 23 29 26 40 20 19 31 
6 19 0 2 11 12 13 12 5 16 
2 7 13 20 18 19 19 9 9 9 
(a) Calcule a média amostral, a variância amostral, o desvio padrão amostral e o 
coeficiente de variação de cada conjunto de dados. Comente. Qual destes dois 
conjuntos de dados tem maior variabilidade? 
(b) Calcule a média amostral, a variância amostral, o desvio padrão amostral de cada 
conjunto de dados utilizando os recursos imediatos de sua calculadora. 
(c) Para cada conjunto de dados utilize o R para calcular a média, a mediana, o Q1, o 
Q3, a observações mínima e máxima, construa os gráficos do Histograma, do Box-
Plot, e o gráfico de barras com os desvio-padrões para cada tipo de comida. 
Comente os resultados. 
2) Demonstre sua familiaridade com a notação da somatória, desdobrando-as e 
calculando as seguintes expressões com 
x1 = 1, x2 = -2, x3 = 4, e x4 = 5: 
Dica para o item (a) 


4
1
4321 854)2(1
i
i xxxxx 
(a) 

4
1i
ix (b) 

4
1
4
i
ix (c) 


4
1
)3(
i
ix (d) 


4
2
)4(
i
ix (e) 


3
1
2)4(
i
ix 
(f) 

4
1
2
i
ix (g) 


4
1
2)2(
i
ix (h) 


4
1
2 )44(
i
ii xx 
3) Uma observação qualquer do conjunto de dados abaixo pode ser representada por yij , 
com o índice i=1, 2, 3 controlando as linhas e j=1, 2, 3, 4, 5, 6 controlando as colunas. 
Por exemplo, y23 = 100. Calcule as seguintes expressões (fazendo o desdobramento): 
a) 

3
1
2
i
iy b) 

6
1
2
j
jy c) 
 
3
1
6
1i j
ijy d) 
 
3
1
6
1
2
i j
ijy e) 
2
3
1
6
1








 i j
ijy 
 
 
 
 
 
 
4) Os dados a seguir referem-se ao nível de glicose em sangue de 10 cães 
56 62 63 65 65 65 65 68 70 72 
Calcule manualmente e depois utilize o R para calcular: a) média; b) a mediana; c) mínimo e 
máximo; d) os quartis Q1 e Q3. Construa o histograma e gráfico tipo Box – Plot. Comente a 
respeito da dispersão dos dados. 
7) Determinações de açúcar no sangue ( mg/ 100ml ) foram feitas em 5 raças de animais 
experimentais, sendo 10 amostras por raça. Os resultados foram: 
Raças 
A B C D E 
124 111 117 104 142 
116 101 142 128 139 
101 130 121 130 133 
118 108 123 103 120 
118 127 121 121 127 
120 129 148 119 149 
110 122 141 106 150 
127 103 122 107 149 
106 122 139 107 120 
130 127 125 115 116 
 C1 C2 C3 C4 C5 C6 
L1 550 950 950 750 650 700 
L2 350 500 100 550 350 350 
L3 600 450 150 500 100 250 
 
 
Estatística Experimental 
24 
Utilize o R para calcular para cada raça: a) média; b) a mediana; c) desvio padrão; 
d) o erro padrão; e) mínimo e máximo; f) os quartis Q1 e Q3. Construa o histograma, o 
gráfico tipo Box-Plot e o gráfico de barras para cada raça. Comente a respeito da dispersão 
dos dados em cada raça. 
 
Somatório e Algebrismo 
c) Seja Y a variável tempo de recuperação da anestesia de tilápias, com 10 observações: 
 
Y = { 17,0; 8,9; 28,7; 20,5; 8,9; 26,1; 43,9 } 
Calcular passo-a-passo: 
a) 

7
1i
iy b) 
7
7
1

i
iy
 c) Quadrado da Soma 
2
7
1







i
iy ; 
d) Soma de Quadrados 

7
1
2
i
iy ; e) Suponha k = 15, calcule

7
1i
iky ; 
f) Considerando-se Y como uma constante, desenvolva algebricamente o seguinte quadrado: 



n
i
i yy
1
2)( , lembre-se que n
y
y
n
i
i
 1 
g) Reescreva a expressão 




n
i
i yy
n
s
1
22 )(
1
1
 em função do desenvolvimento do item f. 
h) Considere a variável X tempo (segundos) de indução da anestesia para as mesmas 7 
tilápias, respectivamente: 
X = {165; 183; 161; 147; 146; 152; 174} 
 Calcule: i
i
i yx

7
1
 
 
Estatística Experimental 
25 
Aula 2 – Testes de significância 
1 Introdução 
Um dos principais objetivos da estatística é a tomada de decisões a respeito de 
parâmetros da população com base nas observações de amostras. 
 
AMOSTRAGEM 
 
 
 
 
 
 
 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 POPULAÇÃO AMOSTRA 
 
 
Ao tomarmos decisões, é conveniente a formulação de Hipóteses 
relativas às populações, as quais podem ser ou não verdadeiras. 
 
Exemplo: Um veterinário está interessado em estudar o efeito de 4 tipos 
de rações que diferem pela quantidade de potássio no aumento de peso de 
coelhos. 
 
osdistpesosdeaumentospropiciamraçõesAsH
scontrolado nãofatores adevidas são observadas diferenças quaisquer
 seja,ou rações,as entrediferençaexisteNãoH
1
0
int:
:
 
 
H0 é denominada de hipótese de nulidade, a qual assume que não existe 
efeito dos tratamentos e H1 é a contra hipótese. 
 
Testes de hipóteses ou testes de significância 
São os processos que nos permitem decidir se aceitamos ou rejeitamos 
uma determinada hipótese, ou se os valores observados na amostra diferem 
significativamente dos valores esperados (População) 
2 Tipos de erros nos testes de significância 
QUADRO RESUMO: condições sobre as quais os erros Tipo I e Tipo II 
podem ser cometidas 
 Condição da Hi pótese nula 
 H0 Verdadeiro H0 Falsa 
Rejeição de H0 Erro Tipo I () Decisão correta 
Não rejeição de H0 Decisão correta Erro Tipo II () 
 
Erro Tipo I: é o erro cometido ao rejeitar H0, quando H0 é verdadeira. 
Erro Tipo II: é o erro cometido ao aceitar H0, quando ela é falsa. E 
   IITipoErroPeITipoErroP   ; 
  
 
MÉDIA 
POPULACIONAL 
 x 
 
MÉDIA 
AMOSTRAL 
Possível 
ação 
 
Estatística Experimental 
26 
Esses dois erros estão de tal forma associados que, se diminuirmos a 
probabilidade de ocorrência de um deles, automaticamente aumentamos a 
probabilidade de ocorrência do outro. Em geral, controlamos somente o Erro 
Tipo I, por meio do nível de significância (daí vem a denominação de Testes 
de Significância) do teste representado por  , o qual é a probabilidade máxima 
com que nos sujeitamos a correr um risco de cometer um erro do Tipo I, ao 
testar a hipótese. Dado que rejeitar uma hipótese nula, (H0), verdadeira 
constitui um erro, parece razoável fixarmos esta probabilidade de rejeitar uma 
hipótese nula, (H0), verdadeira pequena, e de fato, é isto que é feito. Na prática 
é comum fixarmos  = 0,05 (5%) ou  = 0,01 (1%). 
Se, por exemplo, foi escolhido  = 0,05, isto indica que temos 5 
possibilidades em 100 de rejeitarmos a hipótese de nulidade (H0), quando na 
verdade ela deveria ser aceita, ou seja, existe uma confiança de 95% de que 
tenhamos tomado uma decisão correta, esta confiabilidade é denominada grau 
de confiança do teste e é representada por 1 -  e expressa em porcentagem. 
Nós nunca saberemos qual tipo de erro estamos cometendo ao rejeitarmos ou 
ao não rejeitarmos uma hipótese nula (H0), dado que a verdadeira condição é 
desconhecida. Se o teste nos leva à decisão de rejeitar H0, podemos ficar 
tranqüilos pelo fato de que fizemos  pequeno e, portanto, a probabilidade de 
cometer o erro Tipo I é bem pequena. 
 
3 Teste F para a Análise de Variância (ANOVA) 
O teste F é a razão entre duas variâncias e é usado para determinar se 
duas estimativas independentes da variância podem ser assumidas como 
estimativas da mesma variância. Na análise de variância, o teste F é usado 
para testar a igualdade de médias, isto é, para responder a seguinte questão, é 
razoável supor que as médias dos tratamentos são amostras provenientes de 
populações com médias iguais? Considere o seguinte exemplo de cálculo da 
estatística F; vamos supor que de uma população normal ),( 2N  foram 
retiradas, aleatoriamente, 5 (n=5) amostras de tamanho 9 (r=9). 
 Calcule as médias das 5 amostras e 
)19(
)(
9
1
2
2




i
i
i
yy
s 
 Estime 2 por meio da fórmula 
5
)...( 25
2
12 sss

 , a qual é uma 
média das variâncias das amostras e será denominada de 
variabilidade dentro das amostras ( 2Ds ). 
 Estime a variância populacional das médias 
2
y , por meio das 
médias das 5 amostras: 
15
)(
5
1
22
2






i
i
y
yy
s 
 De 
2
ys , estime novamente 
2 , usando a relação 
22
2
2 , yy rssou
r
s
s  , denominada de variabilidade entre as 
amostras ( 2Es ). 
 
Estatística Experimental 
27 
 Calcule 
2
2
D
E
c
s
s
F  
A estimativa de 2Es do numerador foi feita com base em n - 1 = 4 graus 
de liberdade (n é o número de amostras) e a estimativa de 2Ds do denominador 
foi feita com base em n(r – 1) = 5(9-1) = 40. A repetição deste procedimento 
amostral muitas vezes gera uma população de valores de F, os quais quando 
colocados em um gráfico de distribuição de freqüência tem o seguinte formato 
 
 
O valor de F = 2,61 é o valor acima do qual, 5% dos valores de F 
calculados têm valor acima dele. Este é o valor para um nível de 5% 
encontrado na Tabela F para 4 e 40 graus de liberdade (veja Tabela F). Dado 
que as estimativasda variância utilizadas no cálculo da estatística F são 
estimativas da mesma variância 2 , espera-se que o valor de F seja bem 
próximo de 1, a menos que um conjunto de amostras não usual foi retirado. 
Para qualquer conjunto de amostras retiradas de n = 5 e r = 9 a probabilidade 
(ou a chance) de um valor de F calculado ser maior ou igual a 2,61 é 0,05 (5%) 
)05,0]61,2[( FP . 
As hipóteses estatísticas que testamos quando aplicamos o teste F são 
2
2
2
11
2
2
2
10
:
:




H
H
 
A hipótese H0 estabelece que as duas variâncias populacionais são 
iguais, o que equivale a admitir que as amostras foram retiradas da mesma 
população. A hipótese H1 (contra hipótese, ou hipótese alternativa) estabelece 
que as variâncias são provenientes de populações diferentes e, mais ainda, a 
variância da primeira é maior que a variância da segunda. Os valores de F são 
tabelados em função dos graus de liberdade das estimativas de s2 do 
numerador (n1) e do denominador (n2) no cálculo da estatística F e para 
diferentes valores de níveis de significância (5%, 1%, etc.). Também podem ser 
fornecidos por comandos do programa R. 
0 1 2 3 4
0
.0
0
.1
0
.2
0
.3
0
.4
0
.5
0
.6
0
.7
Distribuição F(4,40,0.05)
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
95% 5% 
2,61 
 
Estatística Experimental 
28 
Regra de decisão para o teste da estatística F 
Todos os possíveis valores que o teste estatístico pode assumir são pontos no 
eixo horizontal do gráfico da distribuição do teste estatístico e é dividido em 
duas regiões; uma região constitui o que denominamos de região de rejeição e 
a outra região constitui o que denominamos de região de não rejeição. Os 
valores do teste estatístico que formam a região de rejeição são aqueles 
valores menos prováveis de ocorrer se a hipótese nula é verdadeira, enquanto 
que os valores da região de aceitação são os mais prováveis de ocorrer se a 
hipótese nula é verdadeira. A regra de decisão nos diz para rejeitar H0 se o 
valor do teste estatístico calculado da amostra é um dos valores que está na 
região de rejeição e para não rejeitar H0 se o valor calculado do teste 
estatístico é um dos valores que está na região de não rejeição. O 
procedimento usual de teste de hipóteses é baseado na adoção de um critério 
ou regra de decisão, de tal modo que  = P(Erro tipo I) não exceda um valor 
pré-fixado. Porém, na maioria das vezes, a escolha de  é arbitrária. Um 
procedimento alternativo consiste em calcular o “menor nível de significância 
para o qual a hipótese H0 é rejeitada, com base nos resultados amostrais”. Este 
valor, denominado de nível descritivo do teste ou nível mínimo de significância 
do teste, será denotado por valor de p ( “p-value”). Todos os modernos 
programas computacionais fornecem este valor nos testes estatísticos. 
A representação gráfica a seguir mostra uma ilustração da regra de 
decisão do teste F, visto anteriormente, 
 
 
 
Exemplo: Amostras aleatórias simples e independentes, após dois tipos 
de esforços, do nível de glicose no plasma de ratos após uma experiência 
traumática forneceram os seguintes resultados: 
Esforço 1: 54 99 105 46 70 87 55 58 139 91 
Esforço 2: 93 91 93 150 80 104 128 83 88 95 94 97 
Estes dados fornecem suficiente evidência para indicar que a variância é 
maior na população de ratos submetidos ao esforço 1 do que nos ratos 
submetidos ao esforço 2. Quais as suposições necessárias para se aplicar o 
teste? 
0 1 2 3 4
0
.0
0
.1
0
.2
0
.3
0
.4
0
.5
0
.6
0
.7
Distribuição F(4,40,0.05)
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
Região de não rejeição Região de rejeição 
2,61 
95% 5% 
 
Estatística Experimental 
29 
Solução: 
 As variâncias amostrais são 9333852s21 , e 2424398s
2
2 , , 
respectivamente. 
 Suposições: Os dados constituem amostras aleatórias 
independentes retiradas, cada uma, de uma população com 
distribuição normal. (Esta é a suposição geral que deve ser 
encontrada para que o teste seja válido). 
 Hipóteses estatísticas 
 
2
2
2
11
2
2
2
10
:
:




H
H
 
 Cálculo do Teste Estatístico 
 
1417,2
2424,398
9333,852
2
2
2
1 
s
s
Fc 
 Distribuição do Teste Estatístico: quando H0 é verdadeira a 
estatística F tem distribuição F com n1 – 1 e n2 – 1 graus de 
liberdade, ou seja, )05,0,11,9(F . 
 Regra de Decisão: fazendo %5 , o valor crítico de 
896,2)05,0,11,9( F , então, rejeita-se H0 se 896,2cF . A ilustração 
gráfica desta regra de decisão é mostrada a seguir, 
 
 
 
 Decisão estatística: não podemos rejeitar H0, dado que 
2,1417<2,896; isto é, o Fc calculado caiu na região de não rejeição. 
 Conclusão: não podemos concluir que as variâncias dos esforços 1 e 
2 são diferentes, o nível mínimo de significância do teste é p=0,1168 
(p>0.05) 
Script no R para o teste F 
 
0 1 2 3 4
0
.0
0
.1
0
.2
0
.3
0
.4
0
.5
0
.6
0
.7
Distribuição F(4,40,0.05)
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
Região de não rejeição Região de rejeição 
2,896 
2,1417 
 
Estatística Experimental 
30 
# definição das variâncias das amostras e do nível de significância (alfa) 
alfa<-0.05 
v.y1<-852.933;v.y2<-398.2424;n.y1<-10;n.y2<-12 
 
# calculo da estatística F 
fc<-v.y1/v.y2 
fc 
 
# valor teórico desta distribuição para alfa=0,05 
ft<-qf(1-alfa,n.y1-1,n.y2-1) 
ft 
 
# valor de p associado a estatística calculada fc 
valor.p<-1-pf(fc,n.y1-1,n.y2-1) 
 
Exemplo da construção do gráfico de uma distribuição F com graus de 
liberdade 5 e 6 e a 5%. 
#valor tabelado da distribuição F(5, 6.,0,05) junto com o gráfico 
ft=qf(0.95,5,6) 
 
# valor tabelado 
ft 
 
 # gráfico da distribuição 
xv<-seq(0,4,0.01) # gerando uma sequência de números de 0 a 4 
yv<-df(xv,4,40) # gerando os valores de 
 # distr. F(4,40) com a sequencia xv 
plot(xv,yv,type="l",main="Distribuição F(4,40,0.05)", 
ylab="Probabilidade",xlab="",lwd=3) # gráfico da distribuição F 
fcr=qf(0.95,4,40);fcr # valor crítico para alfa=5% 
lines(c(fcr,fcr),c(0,0.6), 
col=2,lwd=2,pch=2) # linha sinalizando o valor crítico 
# preenchimento da área sob a curva acima do valor crítico 
polygon(c(xv1[xv1>=2.605975],2.605975), 
c(yv1[xv1>=2.60975],yv1[xv1==4]),col="red") 
 
4 Análise de variância 
Embora o teste F possa ser aplicado independentemente, a sua maior 
aplicação é na análise de variância dos Delineamentos Experimentais. Vamos 
considerar os seguintes dados de Delineamento Inteiramente Casualizado, 
(DIC). 
 
Tratamentos 
Repetições 
1 2 3 4 
A 12,4 15,2 14,3 12,6 
B 13,2 16,2 14,8 12,9 
C 12,1 11,3 10,8 11,4 
D 10,9 9,8 9,4 8,3 
 
 22 Te   
Dentro de um mesmo tratamento o valor observado nas diferentes 
repetições não é o mesmo, pois estes valores estão sujeitos à variação ao 
2
e
 
 
Estatística Experimental 
31 
acaso ( e
2 ). Quando passamos de um tratamento para outro, os dados também 
não são iguais, pois estes estão sujeitos a uma variação do acaso acrescida de 
uma variação devida ao efeito do tratamento, i.é, 22 Te   
 
Quadro da análise de variância do DIC 
Considere os dados do exemplo anterior, onde tínhamos 4 tratamentos 
(k=4) e 4 repetições. A Tabela da Análise de variância fica sendo 
 
Fonte de variação G.L. Soma de Quadrados Quadrado médio Estatística F 
 Entre k - 1 
kr
y
r
yk
i
i
2
1
2 )( 

  1
...
k
TratQS 
.Re..
...
sMQ
TratMQ 
 Dentro n - k 
 
  

k
i
r
j
k
i
i
ij
r
y
y
1 1 1
2
2 )( 
kkr
sQS

.Re.. 
 Total n - 1 

 

k
i
r
j
ij
kr
y
y
1 1
2
2 )( 
 
Deste quadro notamos que o Quadrado médio do resíduo estima a 
variação casual (do resíduo) 2e . Enquanto que o quadrado médio dos 
tratamentos estima a variação casual (resíduo) acrescida de uma possível 
variância devido ao efeitodos tratamentos ( 22 Te   ), então 
2
22
e
TeF

 
 
Se não houver efeito dos tratamentos os dois quadrados médios 
(Quadrado médio dos tratamentos e quadrado médio do resíduo) estimam a 
mesma variância, o que implica o valor de F  1,0, e qualquer diferença que 
ocorra entre os valores médios dos tratamentos é meramente casual. 
 
5 Teste t – Student. 
Considere uma outra retirada de amostras repetidas de um determinado 
tamanho, por exemplo, r = 5 de uma população normal. Para cada amostra 
calcule a média y o desvio padrão, s , o erro padrão da média ys e uma outra 
estatística 
y
c
s
y
t

 
Graficamente temos 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
.0
0
.1
0
.2
0
.3
0
.4
População Normal
x
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 
Estatística Experimental 
32 
1
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
;
5
;
15
)(
...........................................................2
;
5
;
15
)(
1
y
my
i
m
y
y
i
s
y
t
s
s
yy
smamostra
amostra
s
y
t
s
s
yy
samostra
m














 
Organizando estes milhares de valores da estatística t em distribuição 
de freqüência. Esta distribuição de freqüência tem a seguinte forma 
 
Existe uma única distribuição t para cada tamanho de amostra. Neste 
exemplo em que r = 5 (repetições = 5), 2,5 % dos valores de t serão maiores ou 
iguais do que 2,776 e 2,5% serão menores ou iguais do que -2,776. Os valores 
da estatística t – student são apresentados em tabelas (ver Tabela da 
distribuição t ). Por exemplo, para 10 graus de liberdade, o valor tabelado 
esperado para t com probabilidade de 0,01 (1%) é 3,169. A distribuição t – 
student converge rapidamente para a distribuição normal. Quanto maior for a 
amostra maior é aproximação da distribuição t – student com a distribuição 
normal. Quando os valores de t são calculados em amostras de tamanho r = 
60, estes são bem próximos dos valores da distribuição normal. 
Script no R para a obtenção dos valores teóricos da distribuição t-
student 
#valor teórico da distribuição t-student pela função qt( ) para alfa=0.01 e 10 
#graus de liberdade 
alfa<-0.01 
qt(1-alfa/2,10) 
 
#valor teórico da distribuição t-student para alfa=0.05 e 10 graus de liberdade 
alfa<-0.05 
qt(1-alfa/2,10) 
 
Regra de decisão para a estatística t-student 
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
.0
0
.1
0
.2
0
.3
Distribuição t-student com 4 graus de liberdade
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
Valor cr’tico: -2,77 Valor crítico: 2,77 
área 95% 
área 2,5% área 2,5% 
 
Estatística Experimental 
33 
 
Todos os possíveis valores que o teste estatístico pode assumir são 
pontos no eixo horizontal do gráfico da distribuição do teste estatístico e é 
dividido em duas regiões; uma região constitui o que denominamos de região 
de rejeição e a outra região constitui o que denominamos de região de 
aceitação. Os valores do teste estatístico que formam a região de rejeição são 
aqueles valores menos prováveis de ocorrer se a hipótese nula é verdadeira, 
enquanto que os valores da região de aceitação são os mais prováveis de 
ocorrer se a hipótese nula é verdadeira. A regra de decisão nos diz para 
rejeitar H0 se o valor do teste estatístico calculado da amostra (tc) é um valor 
que está na região de rejeição e para não rejeitar H0 se o valor calculado do 
teste estatístico é um dos valores que está na região de aceitação. Em 
particular, no caso do teste t – student a regra de decisão fica sendo: rejeita-se 
H0 se 
)
2
,1(



n
c tt . Outra forma de se tomar decisão sobre rejeitar ou não 
rejeitar H0 é pelo valor de p associado ao valor calculado da estatística tc . Se 
050p , não se rejeita H0 , caso contrário ( 050p , ) rejeita-se H0 . Neste caso 
não há necessidade de se consultar a Tabela teórica da distribuição t-student. 
Exemplo: Em um hospital veterinário amostras de soro de amilase de 15 
animais sadios e 22 animais hospitalizados foram colhidas. Os resultados da 
média e dos desvios-padrões foram os seguintes: 
mlunidades35smlunidades96y
mlunidades40smlunidades120y
22
11
/,/
/,/


 
Neste exemplo, o erro padrão amostral ys da fórmula da estatística t, 
será substituído pelo erro padrão da média “pooled”, ou seja, 
)1()1(
)1()1(
21
2
22
2
112



rr
srsr
sP 
Cálculos: 
 Suposições: os dados constituem duas amostras independentes, 
cada uma, retirada de uma população normal. As variâncias 
populacionais são desconhecidas e assumidas iguais; 
 Hipóteses: 
211
210
:
:




H
H
; 
 Teste estatístico: 
2
2
1
2
2121 )()(
r
s
r
s
yy
t
pp
c




; 
 
Estatística Experimental 
34 
 Distribuição do teste estatístico: quando H0 for verdadeira, o teste 
segue uma distribuição t – Student com r1 + r2 – 2 graus de liberdade; 
 Regra de decisão: Rejeita-se H0 se 
)
2
;2( 21



rr
c tt , neste exemplo, 
030,2ct ; 
 Cálculo do teste estatístico: primeiro o cálculo da variância amostral 
93,1
42,12
24
22
1375
15
1375
0)96120(
1375
2114
)35(21)40(14 222








c
p
t
es
 
 Decisão estatística: não se rejeita H0, visto que 
- 030,288,1030,2  , ou seja, 1,88 está na região de não rejeição; 
 Conclusão: com base nestes dados não podemos concluir que as 
médias das duas populações são diferentes. Neste teste o nível 
mínimo de significância do teste é p= 0,069 (p>0,05). 
Script no R para resolver o exemplo acima 
# definição das médias, dos desvio padrões e do tamanho das amostras 
m.y1<-120;m.y2<-96;sd.y1<-40;sd.y2<-35;n.y1<-15;n.y2<-22 
 
# calculo da variância “pooled” 
v.pool<-((n.y1-1)*sd.y1^2+(n.y2-1)*sd.y2^2)/((n.y1-1)+(n.y2-1)) 
v.pool 
 
# calculo da estatistica t 
tc<-(m.y1-m.y2)/sqrt(v.pool/n.y1+v.pool/n.y2) 
tc 
# valor de t tabelado a 5% e 35 graus de liberdade 
alfa<-0.05 
t.tab <- qt(1-alfa/2,35) 
t.tab 
 
# valor de p correspondente a este valor de t 
# multiplica-se o valor de p por 2 pois o teste é bi-lateral 
valor.p <- 2*(1-pt(tc,35)) 
valor.p 
 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
35 
2º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
1- A tabela abaixo mostra a porcentagem de gordural corporal para vários homens e mulheres. 
Estas pessoas participaram de um programa de controle de peso de três vezes por semana por 
um ano. As medidas referem-se a porcentagem de gordura de seus corpos. 
Homens 13,3 19,0 20,0 8,0 18,06 22,0 20,0 31,0 21,0 
12,0 16,0 12,0 24,0 
Mulheres 22,0 26,0 16,0 12,0 21,7 23,2 21,0 28,0 30,0 
23,0 
a) Faça um gráfico de barras e um gráfico boxplot para cada grupo 
a) Quais as suposições sob as quais o teste F pode ser aplicado. 
b) Podemos concluir que a variabilidade do grupo das mulheres seja maior que o do grupo 
homens. (Use 010e050 ,, ). 
 
2- Em um estudo, a seguintes contagens de linfócitos foi obtido em vacas de dois anos da raça 
Holstein e de vacas de dois anos da raça Guernseys. Os resultados estão na Tabela abaixo: 
Holstein 5166 6080 7290 7031 6700 8908 4214 5135 5002 
4900 8043 6205 3800 
Guernseys 6310 6295 4497 5182 4273 6591 6425 4600 5407 
5509 
Calcular: 
a)- a média geral, um gráfico de barras, um gráfico boxplot para cada raça, a média de cada 
raça, a variância amostral e o desvio-padrão de cada raça; 
b)- declare as suposições sob as quais o teste t –student, para amostras independentes, pode 
ser aplicado; 
c)- teste se as variâncias das duas populações são iguais. (Teste F) 
d)- em função do resultado do teste do item c) podemos concluir que a contagem de linfócitos 
nas duas raças diferem assumindo que as variâncias são desconhecidas e iguais? Considere 
%5 . 
 
3- Retirou-se 5 amostras de tamanho 5 de uma população N( , 
2
). Para cada amostra foi 
aplicado um antiparasitário (tratamentos). Em seguida os pesos dos animais foram analisados 
para cada tratamento. Teste se existe efeitode antiparasitário no peso dos animais, ou seja, 
teste a hipótese estatística, 
jiparaH
H
ji 



1
5210 ...
 
Os tratamentos (antiparasitários) e os pesos, em quilogramas, dos animais estão dados na 
tabela abaixo: 
 Tratamentos 
 Neguvon Methiridim TH Haloxon Controle 
 330 315 298 286 279 
 314 304 289 273 240 
 331 307 273 269 266 
 311 320 240 278 269 
 320 305 121 274 250 
(Média) ( jy  ) 
(Variância)
2
iS 
 
(Desvio padrão) iS 
Roteiro dos cálculos: 
a)- Faça uma estimativa da 
2 
 através de: 
15
)(
,
5
...
5
1
2
222
2
5
2
2
2
12








i
j
yyED
yy
ssendorssdee
sss
s 
 
Estatística Experimental 
36 
Calcule a estatística 
2
2
D
E
s
s
F  e compare com o valor teórico da distribuição F a 5%, sendo SD 
= variância dentro dos tratamentos e SE = variância entre os tratamentos. 
 
4- Obter por meio das tabelas das distribuições F e t os valores de 
 a)- )01,0,12,11()05,0,12,11()01,0,15,10()05,0,15,10()01,0,6,5()05,0,6,5( ;;;;; FFFFFF . 
 b)- ;;;;;; )20,0,18()10,0,10()05,0,16()025,0,15()01,0,7()05,0,7( tttttt 
(faça os desenhos das distribuições com os respectivos valores). Finalmente, obtenha os 
mesmos valores e os mesmos gráficos no R 
 
Estatística Experimental 
37 
Aula 3- Delineamento inteiramente casualizado (DIC) 
1 Introdução 
O DIC é mais simples dos delineamentos. Os tratamentos se distribuem 
ao acaso em todas as unidades experimentais e o número de repetições por 
tratamento pode ser igual ou diferente. O DIC é muito utilizado para estudos 
de métodos, técnicas de trabalhos em laboratório, ensaios de vegetação e em 
experimentos com animais. Para sua aplicação, há necessidade que o meio 
atue de forma uniforme em todas as unidades experimentais e que estas sejam 
facilmente identificadas para receber o tratamento. 
Vamos começar com um exemplo: 
 Em um estudo do efeito da glicose na liberação de insulina, 12 
espécies de tecido pancreático idênticas foram subdivididas em três 
grupos de 4 espécies cada uma. Três níveis (baixo - tratamento 1, 
médio tratamento - 2 e alto tratamento - 3) de concentrações de 
glicose foram aleatoriamente designados aos três grupos, e cada 
espécie dentro de cada grupo foi tratado com o nível de 
concentração de glicose sorteado a eles. A quantidade de insulina 
liberada pelos tecidos pancreáticos amostrados são as seguintes: 
33 
 
 
Tratamento Repetições 
 1 2 3 4 
 
ri 
Total 
 
Média 
 
Variância 
 
T1 
T2 
T3 
1,59 
3,36 
3,92 
1,73 
4,01 
4,82 
3,64 
3,49 
3,87 
1,97 
2,89 
5,39 
4 
4 
4 
8,93 
13,75 
18,00 
2,23 
3,44 
4,50 
0,91 
0,21 
0,54 
Total 12 40,68 
Este é um estudo experimental com 12 unidades experimentais (amostras de 
tecido pancreático) e k=3 tratamentos. Cada tratamento é um nível de fator 
simples: concentração de glicose. Existem 4 repetições para cada tratamento. 
Os dados, quantidade de insulina liberada pelo tecido pancreático podem ser 
considerados como três amostras aleatórias, cada uma com r=4 repetições, ou 
de tamanho r=4 sorteadas de três populações. 
 
Estatística Experimental 
38 
Dado que os tratamentos são designados às unidades experimentais 
completamente ao acaso, este delineamento é denominado de 
DELINEAMENTO INTEIRAMENTE AO ACASO (DIC). Em geral, em um DIC, 
um número fixo de k tratamentos são sorteados às N unidades experimentais 
de tal forma que o i-ésimo tratamento é sorteado a exatamente ri unidades 
experimentais. Assim, ri é o número de repetições do i-ésimo tratamento e 
Nrrrr k  ...321 . No caso em que ri são iguais, i.é., rrrrr k  ...321 , 
então rkN  e o delineamento é balanceado. 
Notação: 
 Repetições 
Tratamento 
1 2 3 ... j ... r Total Média 
1 y11 y12 y13 ... ... ... y1r 
1y 1y 
2 y21 y22 y23 ... ... ... y2r 
2y 2y 
3 y31 y32 y33 ... ... ... y3r 
2y 2y 
. 
. 
. 
i 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
... 
... 
... 
yij 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
k yk1 yk2 yk3 ... ... ... ykr 
ky ky 
 
N=rk 
y y 
Convenções: 
  ii yey representam, respectivamente, o total e a média do i-
ésimo tratamento, respectivamente, 
  yey representam, respectivamente, o total geral (soma de 
todas as observações) e a média geral de todas as observações. 
 
2 Quadro da Análise de Variância (ANOVA) 
O método da análise de variância pode ser visto como uma extensão do 
teste t de student para amostras independentes. Como no teste t de amostras 
independentes, o método da ANOVA compara uma medida da magnitude da 
variabilidade observada dentro das k amostras com uma medida da 
variabilidade entre as médias das k amostras. 
 
3 Modelo matemático do DIC com efeitos de tratamentos fixos 
O modelo associado ao DIC com efeitos fixos é 
ijiij ey   , 
sendo, 
 ijy é a observação na unidade experimental que recebeu o i-ésimo 
tratamento na j-ésima repetição; 
  é a média geral comum a todas as observações definida como 
,1
N
r
k
i
ii


 com i a média populacional do i-ésimo tratamento; 
 
Estatística Experimental 
39 
 i o efeito do i-ésimo tratamento na variável dependente Y e mede 
o afastamento da média i em relação a  , isto é,   ii ; e 
 i je é um erro casual não observável. 
Pela definição de  e i acima, temos que este modelo possui a 
restrição


k
i
ii i
n
1
,0 pois, 0)(
111
 

 ii
k
i
ii
k
i
ii
k
i
i nnnn . 
 
4 Suposições associadas ao modelo 
As suposições usualmente associadas aos componentes do modelo do 
DIC são que os i je são variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas com distribuição ),( 20N  . Como os ijy são funções lineares dos 
i je , das suposições sobre os erros decorre que: 
 iiijyE  )( ; 
 ;)( 2ijyVar  
 ijy são normalmente distribuídos e independentes, ou, 
resumidamente que ),(~ 2iij Ny  . 
Portanto, estamos supondo que as observações do experimento a ser 
analisado correspondem a amostras aleatórias de k populações normais com a 
mesma variância e que podem ou não ter médias diferentes. A figura abaixo 
representa graficamente esse fato, considerando, no caso, três tratamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2  3 
 
Figura: Ilustrações das suposições do modelo matemático associado ao 
DIC com um fator fixo. 
 
5 Hipóteses estatísticas 
A Hipótese geral é: 
0H k210   ...: , 
ou seja, vamos testar a não existência de efeito do fator (tratamento). 
 
6 Partição da soma de quadrados 
Voltemos ao quadro de representação das observações no DIC na 
página 30 
 
Podemos identificar os seguintes desvios: 
1 
2 
3 
 
Estatística Experimental 
40 
 
 yy ij , como o desvio de uma observação em relação a média 
amostral geral; 
 
 iij yy , como o desvio da observação em relação à média de seu 
grupo ou do i-ésimo tratamento; 
   yy i , como o desvio da média do i-ésimo tratamento em 
relação á média geral. 
Consideremos a identidade 
 
)()()(   yyyyyy iiijij , 
a qual diz que a “ a variação de uma observações em relação à média geral 
amostral é igual à soma variação desta observação em relação à média de 
seu grupo com a variação da média do i-ésimo tratamento em que se encontra 
esta observação em relação à média geral amostral “. Elevando-se ao 
quadrado os dois membros da identidade acima e somando em relação aos 
índices i e j, obtemos: 
2
1
2
1 1 11
2 )()()( 
   
    yyryyyy i
k
i
i
k
i
r
j
k
i
r
j
iijij
i i
, 
os duplos produtos são nulos. 
O termo 

 

k
i
r
j
ij
i
yy
1 1
2)( , 
é denominado de Soma de Quadrados Total e vamos denotá-lo por SQT.O 
número de graus de liberdade associado à SQT é kr - 1, ou N – 1, pois temos N 
observações e a restrição 

 
 
k
1i
r
1j
ij
i
0yy )( . 
A componente: 

 

k
i
r
j
iij
i
yy
1 1
)( , 
é denominada de Soma de Quadrados Residual, representada por SQR, e é 
uma medida da homogeneidade interna dos tratamentos. Quanto mais 
próximas estiverem as observações dentro de cada grupo (tratamento), menor 
é a SQR. Notem que a magnitude da SQR não depende da diferença entre as 
médias dos tratamentos. Considerando apenas o i-ésimo tratamento, temos 
que 



ir
j
iij yy
1
2)( 
possui ri – 1 graus de liberdade. Assim, o número de graus de liberdade 
associado à SQR é: 



k
i
i kNkkrr
1
)1( . 
A componente 2
1
)( 

 yyr i
k
i
i , mede a variabilidade entre as médias 
dos tratamentos e por isso é denominada de Soma de Quadrados Entre 
Tratamentos, representada por SQTr. Quanto mais diferentes entre si forem 
 
Estatística Experimental 
41 
as médias dos tratamentos, maior será a SQTr. Desde que temos k 
tratamentos e a restrição de que 
0)(
1
 

 yyr i
k
i
i , 
A SQTr possui k - 1 graus de liberdade. Com esta notação, podemos 
escrever que: 
SQT = SQR + SQTr. 
 
6 Quadrados médios 
Dividindo a SQR e SQTr pelos seus correspondentes graus de 
liberdade, obtemos, respectivamente o Quadrado Médio Residual (QMR) e o 
Quadrado Médio Entre Tratamentos (QMTr), isto é, 
1



k
SQTr
QMTre
kN
SQR
QMR 
 
7 Estatística e região crítica do teste 
A estatística para o teste é 
QMR
QMTr
Fc  , 
a qual, deve ser próximo de 1 se H0 for verdadeira, enquanto que valores 
grandes dessa estatística são uma indicação de que H0 é falsa. A teoria nos 
assegura que Fc tem, sob H0 distribuição F – Snedecor com (k -1) e (N – k) 
graus de liberdade. Resumidamente, indicamos: 
0),1( ,~ HsobFF KNkc  . 
Rejeitamos H0 para o nível de significância  se 
,),,1( KNkc FF  
sendo, ),,( KN1kF  o quantil de ordem )( 1 da distribuição F-Snedecor com 
(k -1) e (N – k) graus de liberdade. Graficamente temos: 
 
 
 
8 Quadro da análise de variância (ANOVA) 
 
Dispomos as expressões necessárias ao teste na Tabela abaixo 
denominada de Quadro de Análise de Variância (ANOVA). 
 
Estatística Experimental 
42 
 Fonte de variação g.l. SQ QM Fc 
 
Tratamentos (Entre) 
 
k - 1 N
Y
r
Yir
i i
i
2
1
2 )( 

  1

k
SQTr
QMTr 
QMR
QMTr
 
 
 Resíduo (dentro dos trat.) 
 
N - k  
  

k
i
r
j
k
i
i
ij
r
Y
Y
1 1 1
2
2 )( 
kN
SQR
QMR

 
 
 
 TOTAL 
 
N - 1 
 

k
i
r
j
ij
N
Y
Y
1 1
2
2 )( 
 
Pode-se provar que: 
 2)( QMRE , ou seja, QMR é um estimador não viesado da 
variância 2 ; 
 


k
i
i
k
r
QMTrE
1
2
)1(
)(  , ou seja, QMTr é um estimador não 
viesado da variância 2 se a hipótese 0...: 210  kH  é 
verdadeira. 
 
9 Detalhes dos cálculos 
Apresentaremos alguns passos que facilitam os cálculos das somas de 
quadrados da ANOVA. 
 Calcule a correção para a média 
N
y
CM
2)(  ; 
 Calcule a Soma de Quadrados dos Totais (SQT) 
CMySQT
k
i
r
j
ij
i

 1 1
2 ; 
 Calcule a Soma de Quadrados Entre os Tratamentos (SQTr) 
CM
r
Y
SQTr
ir
i i
i 


1
2
; 
 Calcule a Soma de Quadrados Residual (SQR) pela diferença, isto 
é, SQTrSQTSQR  ; 
 Calcule os Quadrados Médios Entre os Tratamentos (QMTr) e o 
Quadrado Médio Residual (QMR) 
kN
SQR
QMRe
k
SQTr
QMTr




1
 
 Calcule Fc para tratamentos 
QMR
QMTr
Fc  
Notem que estas fórmulas computacionais assumem que existe ri 
repetições para o i-ésimo tratamento; consequentemente, para um experimento 
balanceado com r repetições para cada tratamento, ri deve ser substituído por 
r. Estas várias soma de quadrados obtidas nestes cinco passos podem ser 
resumidas no quadro da ANOVA apresentado no item 8. 
10 Exemplo 1 
Vamos considerar os dados apresentados no item 1. Desejamos testar a 
hipótese nula 
 
jiparummenospeloparaH
H
ji 



:
:
1
3210
 
 
Estatística Experimental 
43 
Os cálculos para montarmos o quadro da ANOVA são: temos k = 3, r = 
4, e N = 3 x 4 =12. Então 
 Graus de liberdade: 
9312kNsiduo
2131kTrat111121NTotal


Re
.;
 
 91,137
12
)68,40( 2
CM 
 28,1518,13718,153)39,5(...)73,1()59,1( 222  CMSQT 
 30109113720148CM
4
0018
4
7513
4
938
SQTr
222
,,,
),(),(),(

 
 98430102815SQTrSQTSQR ,,,  
 550
9
984
QMRe155
2
3010
QMTr ,
,
,
,
 
 319
550
984
QMR
QMTr
Fc ,
,
,
 
O quadro da ANOVA para a variável insulina liberada é o seguinte: 
 
Das tabelas das distribuições F, temos que 
0228Fe2574F 0109205092 ,, ),,,(),,,(  . O valor Fc=9,31 é maior do que estes 
valores tabelados, então rejeitamos a hipótese nula H0 para %,, 1ou010 
de probabilidade (se é significativo a 1%, logo também é significativo a 5%). 
 
Podemos concluir que, para um nível de %,, 1ou010 , que a quantidade de 
insulina liberada é diferente para pelo menos dois níveis de glicose. 
Script da resolução do exemplo 1 no R 
# 
# exemplo 1 da Aula 3 (DIC) pg 36 
# 
 
# entrando com o número de repetições 
r <- 4 
 Fonte de var. g.l. SQ QM Fc 
Tratamentos (Entre) 2 10,30 5,15 9,31 
Resíduo (dentro dos tratamentos) 9 4,98 0,55 
 TOTAL 11 15,28 
 
Estatística Experimental 
44 
# entrando com os dados 
insulina <- c(1.59, 1.73, 3.64, 1.97, 3.36, 4.01, 3.49, 2.89, 3.92, 4.82, 3.87, 
5.39) 
 
# entrando com os níveis da insulina (Tratamentos) 
trat <- c(rep("Baixo", r), rep("Medio", r), rep("Alto", r)) 
m.geral<- mean(insulina) # calculando a média geral 
 
# estabelecendo o objeto trat com fator e guardando no próprio objeto trat 
trat <- factor(trat) 
trat 
 
# armazenando os nomes dos níveis dos fatores 
n.trat <- levels(trat) 
 
# aplicando o comando tapply ao objeto insulina para o cálculo dos 
# totais dos tratamentos 
t.trat <- tapply(insulina, trat, sum) 
t.trat 
 
# aplicando o comando tapply ao objeto insulina para o cálculo das 
# médias dos tratamentos 
m.trat <- tapply(insulina, trat, mean) 
m.trat 
 
# aplicando o comando tapply ao objeto insulina para o cálculo dos 
# desvio-padrões dos tratamentos 
sd.trat <- tapply(insulina, trat, sd) 
sd.trat 
 
# mostrando o s gráficos box plot para cada tratamento 
boxplot(insulina~trat, horizontal=T,xlab="Quantidade de 
insulina",col="blue") 
 
boxplot(insulina~trat, vertical=T,ylab="Quantidade de 
insulina",col="green") 
 
# fazendo a análise de variância 
insulina.av <- aov(insulina~trat) 
 
#imprimindo o quadro da anova 
summary(insulina.av) 
 
Quadro da anova fornecido pelos comandos básicos do R 
 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
trat 2 10.2967 5.1483 9.3054 0.006445 ** 
Residuals 9 4.9794 0.5533 
--- 
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 
 
Estatística Experimental 
45 
Notem que os comandos do script acima não fornecem os resultados do 
da fonte de variação do Total e por outro lado fornecem uma coluna a mais 
referente a Pr(>Fr) com o valor de p (p-value) da estatística F. 
Outra forma de obter o quadro da ANOVA é pela função crd( ) do pacote 
ExpDes. Pacotes (packages) ou bibliotecas (library) são os nomes mais 
usados para designar conjuntos de funções, exemplos, e documentações 
desenvolvidas para determinadas tarefas. Os comandos básicos doR, por 
exemplo, estão em uma biblioteca chamada base. Existem inúmeras 
bibliotecas, algumas já inclusas na instalação do R. No R podem-se encontrar 
pacotes desenvolvidos pelos responsáveis pelo R ou implementados por 
usuários. 
# instalando o pacote ExpDes (Experimental Designs) 
# 
install.packages("ExpDes") 
 
# requerendo o ExpDes 
require(ExpDes) 
 
# sintaxe do comando que faz a ANOVA no ExpDes 
# crd(treat, resp, quali = TRUE, mcomp = "tukey", sigT = 0.05, sigF = 0.05) 
crd(trat,insulina,mcomp=F) 
Resultados da anova pelo comando da pacote ExpDes 
------------------------------------------------------------------------ 
Analysis of Variance Table 
------------------------------------------------------------------------ 
 DF SS MS Fc Pr>Fc 
Treatament 2 10.2967 5.1483 9.3054 0.0064452 
Residuals 9 4.9794 0.5533 
Total 11 15.2760 
------------------------------------------------------------------------ 
CV = 21.94 % 
Podemos chegar a mesma conclusão anteriormente, simplesmente analisando 
o valor de p (Pr>Fc, (p=0,006445)), o qual é bem menor que 0,01. Assim, sem 
recorrer à tabela F, concluímos que o teste F é significativo pelo valor de p 
(p=0,006445) fornecido pela função crd() do ExpDes, rejeitamos H0 e 
concluímos que a quantidade de insulina liberada é diferente para pelo menos 
dois níveis de glicose. 
O R, por meio do comando aov( ) armazena os valores da tabela da 
anova acima na forma matricial (2 x 5), ou seja, para obtermos, por exemplo, o 
valor da soma de quadrados dos tratamentos (SQTr), definimos o seguinte 
objeto 
sqtr <- anova(insulina.av)[1,2]. 
A soma de quadrados do resíduo é obtida definindo o objeto 
sqr <- anova(insulina.av)[2,2]. 
Reparem que insulina.av é o objeto que recebeu os resultados do 
quadro da análise de variância no script R listado anteriormente. 
O esquema das posições de armazenamento dos resultados do quadro 
da anova do DIC no R é 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
46 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
trat [1,1] [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] 
Residuals [2,1] [2,2] [2,3] 
 
Para obter o valor do quadrado médio de resíduo basta digitar e 
executar o comando anova(insulina.av)[2,3] 
Uma forma de se obter ajuda de alguma função no R é por meio da 
execução do comando ??nome da função(). Por exemplo, para se obter uma 
ajuda da sintaxe da função mean deve-se executar o comando ??mean(). 
Informações sobre o pacote ExpDes(), basta executar o comando ??ExpDes(), 
e clicar nos passos indicados abaixo 
 
ExpDes::ExpDes-package/ 
Index/ 
Documentation for package ‘ExpDes’ version 1.1.2/ExpDes-package/ 
crd 
 Onde aparecerá a explicação 
 
crd(treat,resp,quali=TRUE,mcomp="tukey",sigT=0.05,sigF=0.05) 
 
sendo: 
treat Vetor numeric contendo os tratamentos; 
resp Vetor numeric contendo a variável resposta; 
quali Logico. Se TRUE (default), os tratamentos são assumidos qualitativos, se 
FALSE, quantitativos; 
mcomp Permite a escolha do teste de comparação múltiplo; o “default”é o teste de 
Tukey, entretanto, as optções são: o teste LSD ('lsd'), o teste LSD com a 
proteção de Bonferroni ('lsdb'), o teste de Duncan ('duncan'), o teste de 
Student-Newman-Keuls ('snk'), o teste de Scott-Knott ('sk') e o teste de 
comparação múltipla bootstrap ('ccboot'); 
sigT A significância a ser usada para o teste de comparação múltipla; o “default” é 
5%; 
sigF A significância a ser usada no teste F da ANOVA; o “default” é 5%, 
 
os argumentos desta função. 
 
 
11 Exemplo 2 
Em um experimento em que se mediu o peso corporal (kg), 19 porcos 
foram distribuídos aleatoriamente a 4 grupos. Cada grupo foi alimentado com 
dietas diferentes. Deseja-se testar se oos pesos dos porcos são os mesmos 
para as 4 dietas. 
Desejamos testar a hipótese nula 
jiparummenospeloparaH
H
ji1
43210




:
:
 
As observações obtidas foram: 
Tratamento Repetições 
 1 2 3 4 5 
Dieta 1 60,8 57,7 65,0 58,6 61,7 
Dieta 2 68,7 67,7 74,0 66,3 69,8 
Dieta 3 102,6 102,1 100,2 96,5 * 
Dieta 4 87,9 84,2 83,1 85,7 90,3 
http://127.0.0.1:15067/library/ExpDes/html/ExpDes-package.html
 
Estatística Experimental 
47 
Temos um experimento desbalanceado com número de repetições 
desigual para os tratamentos. Então, os cálculos para montarmos o quadro da 
ANOVA são: 
 Graus de liberdade: 
15419kNs
3141kTrat181191NTotal


Re
.;
 
 44115736
19
91482
CM
2
,
),(
 
 
754325
4411573619120062CM390860SQT 22
,
,,),(...),(


 
 
0742024411573652119938
CM
5
2431
4
4401
5
5346
5
8303
SQTr
2222
,,,
),(),(),(),(


 
 67123074202754325SQTrSQTSQR .,,  
 24,8
15
67,123
69,1400
3
07,4202
 QMReQMTr 
 89169
248
691400
QmR
QMTr
Fc ,
,
,
 
O quadro da ANOVA para a variável peso (kg) é o seguinte: 
 
 Fonte de var. g.l. SQ QM Fc 
 Tratamentos 3 4202,07 1400,69 169,89 
 Resíduo 15 123,67 8,24 
 TOTAL 18 4325,75 
 Script no R para resolver o exemplo 2 
 Atenção, antes de rodar este script é necessário remover todos os 
objetos definidos no script do exemplo 1 com o comando 
rm(list=ls(all=TRUE)), ou pelo atalho na aba do menu da janela da console 
clicar em Misc/Remover todos os objetos 
 
# exemplo 2 da Aula 3 (DIC) pg 46 
 
# entrando com os dados de peso corporal 
pc <- c( 60.8, 57.7, 65.0, 58.6, 61.7, 
 68.7, 67.7 , 74.0, 66.3, 69.8, 
 102.6, 102.1, 100.2, 96.5, 
 81.9, 84.2, 83.1, 85.7, 90.3) 
 
# entrando com os níveis dos tratamentos 
trat <- c(rep("Dieta1", 5), rep("Dieta2", 5), rep("Dieta3", 4), rep( "Dieta4",5)) 
 
# estabelecendo o objeto trat como fator e guardando no próprio objeto trat 
trat <- factor(trat) 
trat 
 
# imprimindo os niveis do fator trat 
 
Estatística Experimental 
48 
n.trat<-levels(trat) 
n.trat 
 
# calcula a soma da cada tratamento e guarda em um objeto t.trat 
t.trat <- tapply(pc, trat, sum) 
t.trat 
 
# calcula a média da cada tratamento e guarda em um objeto m.trat 
m.trat <- tapply(pc, trat, mean) 
m.trat 
# calcula o desvio padrão de cada tratamento e guarda em um objeto sd.trat 
sd.trat <- tapply(pc, trat, sd) 
sd.trat 
 
# mostrando os gráficos box plot para cada nivel de glicose na horizontal 
boxplot(pc~trat, horizontal=T,xlab="Peso corporal (Kg)",col="blue") 
 
# mostrando os gráficos box plot para cada nivel de glicose na vertical 
# boxplot(pc~trat, vertical=T,ylab="Peso corporal (Kg)",col="green") 
 
# fazendo a análise de variância pela função aov( ) 
pc.av <- aov(pc~trat) 
summary(pc.av) # imprimindo o quadro da anova 
 
Quadro da anova fornecido pelos comandos básicos do R 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
trat 3 4202 1400.7 169.9 8.45e-12 *** 
Residuals 15 124 8.2 
--- 
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 
O símbolo *** na frente do valor de p (p=8.45e-12) é o código de 
significância fornecido pelo R. No caso indica que o teste é significativo para 
um valor de  muito pequeno em torno de 0,01%. 
Obtendo o quadro da ANOVA pela função crd( ) do pacote ExpDes 
Atenção! Dado que o pacote ExpDes já foi instalado em seu computador, não 
há necessidade de se instalá-lo novamente, basta requerê-lo pelos comandos 
require(nome do pacote ) ou library(nome do pacote ). 
 
# requrendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
 
# comando que faz a ANOVA no ExpDes 
# crd( ) – (completely random design) 
crd(trat,pc,mcomp=F)Quadro da anova fornecido pela função crd( ) do pacote ExpDes 
 
Estatística Experimental 
49 
------------------------------------------------------------------------------- 
Analysis of Variance Table 
------------------------------------------------------------------------------- 
 DF SS MS Fc Pr>Fc 
Treatament 3 4202.1 1400.69 169.88 8.4501e-12 
Residuals 15 123.7 8.24 
Total 18 4325.7 
-------------------------------------------------------------------------------- 
CV = 3.68 % 
 
A forma tradicional de interpretar o resultado do teste F da anova é 
consultar as tabelas das distribuições F. Desta consulta, temos que 
4175Fe2873F 010153050153 ,, ),,,(),,,(  . O valor da estatística Fc=169,89 é bem 
superior que estes valores tabelados, assim, o valor desta estatística fornecida 
pelos dados esta na região de rejeição de H0 , logo rejeitamos a hipótese nula 
H0 a um nível %,, 1ou010 de probabilidade (se é significativo a 1%, logo 
também é significativo a 5%). 
Atenção! Pode-se chegar a esta mesma conclusão analisando somente 
pelo valor de p associado à estatística F calculada, o qual é apresentado na 
forma exponecial p=8,45 e-12 ou p=8,45 x 10-12, bem menor que 0,001, 
portanto significativo a 0,1%. 
Graficamente a regra de decisão fica 
 
Evidentemente que o valor 189,88 esta bem a direita do valor crítico 
5,417, assim podemos concluir que, para um nível de 
%,,, 010ou0010 , que os pesos dos porcos são diferentes para pelo 
menos duas dietas. 
 
12 Estimadores de mínimos quadrados. 
Nesta seção mostraremos os estimadores dos termos do modelo 
matemático do DIC ijiij ey   , os quais são obtidos minimizando-se a 
expressão do erro deste modelo 

 

k
i
r
j
ijij
i
yy
1 1
2)ˆ( , 
 
Estatística Experimental 
50 
em relação a ie  , i=1, 2, ...k, sujeito a restrição 


k
i
iir
1
0 . Assim 
procedendo, obtemos os estimadores de ii e  , , dados por 
  yyy ii ˆ,ˆ e de kiy iii ...,,2,1,ˆˆˆ   . 
Para construir um intervalo de confiança para a média de cada 
tratamento, devemos notar que a estatística: 
)(~ kn
i
ii t
r
QMR
y

   , 
i.é., tem distribuição t – Student com (n – k) graus de liberdade. Um intervalo de 
confiança para i com um coeficiente de confiança )( 1 é dado pela 
expressão 
r
sQM
tyIC
kN
ii
Re
)1;(
);
2
( 
   , 
sendo, 
),( kN
2
t


 o quantil de ordem )(
2
1

 da distribuição t – Student com (n – 
k) graus de liberdade, os mesmos graus de liberdade do resíduo da ANOVA. 
Como exemplo, vamos considerar os dados do experimento 
apresentado no item 1, cujos cálculos foram mostrados no item 10. As médias 
destes dados são: 
 
39,3
50,4
4
00,18
y ;44,3
4
75,13
y ; 23,2
4
8,93
321




y
ey
; 
 do quadro da ANOVA temos os valores de SQR para calcular 
372,0
4
553,0

r
QMR
; 
 o valor de 262,2)9,025,0( t . 
Assim, os intervalos são dados por: 
841,0
4
553,0
262,2%)95;(   iii yyIC  
Resumindo temos o quadro a seguir 
 Nível baixo 
de glicose 
Nível médio 
de glicose 
Nível alto 
de glicose 
iy 
2,23 3,44 4,50 
%),( 95IC i 
(1,389; 3,071) (2,599; 4,281) (3,659; 5,341) 
 
Problema: identificar quais os níveis de glicose (tratamentos) que 
tiveram efeitos não nulos sobre a liberação de insulina dos tecidos. 
Script no R para o calculo dos intervalos de confiança do exemplo 1. 
Atenção! É necessário executar novamente o script das páginas 39 e 40. 
 
# definindo os objetos para o cálculo dos IC´s 
# obtenção dos gl do residuo no quadro da anova 
glr <- anova(insulina.av)[2,1] 
glr 
 
Estatística Experimental 
51 
 
# obtenção da QMR no quadro da anova 
qmr <- anova(insulina.av)[2,3] 
qmr 
 
# intervalo de confiança para o nível baixo de glicose 
ic.baixo <- m.trat[1] + qt(c(0.025, 0.975), df = glr) * sqrt(qmr/r) 
ic.baixo 
 
# intervalo de confiança para o nível médio de glicose 
ic.medio <- m.trat[2] + qt(c(0.025, 0.975), df = glr) * sqrt(qmr/r) 
ic.medio 
 
# intervalo de confiança para o nível baixo de glicose 
ic.alto <- m.trat[3] + qt(c(0.025, 0.975), df = glr) * sqrt(qmr/r) 
ic.alto 
 
Como segundo exemplo, vamos considerar os dados do experimento 
apresentado no item 11. As médias destes dados são: 
 
13,7924,86
5
2,431
y
;35,100
4
4,401
y ;30,69
5
50,346
y ; 76,60
5
303,8
4
321




yégeralmédiaaee
y
 
 do quadro da ANOVA temos o valor do QMR para calcular desvio 
padrão médio para os tratamentos 1, 2 e 4 é 
31,1
5
557,8

ir
QMR
. Para o terceiro tratamento o erro padrão 
médio é 46,1
4
557,8

ir
QMR
 
 o valor de 13142t 150250 ,);,(  . 
Assim, os intervalos são dados por: 
3,46,1
4
557,8
1314,2%)95;(
4,2,1,31,1
5
557,8
1314,2%)95;(




iparayyICe
eiparayyIC
iii
iii


 
Resumindo temos o quadro abaixo 
 Dieta 1 Dieta 2 Dieta 3 Dieta 4 
iy 
60,76 69,30 100,35 86,24 
%),( 95IC i 
(58,02; 63,48) (66,56; 72,04) (97,29; 103,41) (83,50; 88,98) 
Problema: identificar quais as Dietas (tratamentos) que tiveram efeitos 
não nulos sobre o peso dos suínos. 
 
Script no R para calcular os IC´s do exemplo 2. Antes porém execute 
novamente o script do R descritos na página 40 e 42. 
 
 
# definindo os objetos para o cálculo dos IC´s 
 
Estatística Experimental 
52 
# definindo o vetor de repetições dos tratamentos 
r<- c(5,5,4,5) 
 
# obtenção dos gl do residuo no quadro da anova 
glr <- anova(pc.av)[2,1] 
glr 
 
# obtenção da QMR no quadro da anova 
qmr <- anova(pc.av)[2,3] 
qmr 
 
# intervalo de confiança para a Dieta1 
ic.dieta1 <- m.trat[1] + qt(c(0.025, 0.975), df = glr) * sqrt(qmr/r[1]) 
ic.dieta1 
 
# intervalo de confiança para a Dieta2 
ic.dieta2 <- m.trat[2] + qt(c(0.025, 0.975), df = glr) * sqrt(qmr/r[2]) 
ic.dieta2 
 
# intervalo de confiança para a Dieta3 
ic.dieta3 <- m.trat[3] + qt(c(0.025, 0.975), df = glr) * sqrt(qmr/r[3]) 
ic.dieta3 
 
# intervalo de confiança para a Dieta4 
ic.dieta4 <- m.trat[4] + qt(c(0.025, 0.975), df = glr) * sqrt(qmr/r[4]) 
ic.dieta4 
 
13 Coeficientes de determinação (R2) e de variação (CV) 
A parte da Soma de Quadrados Total (SQT), a variação total nas 
observações , que pode ser explicada pelo modelo matemático do DIC, é 
denominada de coeficiente de determinação. Assim, o coeficiente de 
determinação para modelo do DIC, ijiij ey   , é definido como 
%1002 x
SQT
SQTr
R  . 
Pode ser verificado que 1000 2 R e que %1002 R quando toda 
variabilidade nas observações esta sendo explicada pelo modelo matemático 
do DIC. 
A variabilidade entre as unidades experimentais de experimentos 
envolvendo diferentes unidades de medidas e/ou tamanhos de parcelas pode 
ser comparada pelos coeficientes de variação, os quais expressam o desvio 
padrão por unidade experimental como uma porcentagem da média geral do 
experimento, ou seja, 
%100x
y
S
CV

 . 
Da ANOVA sabemos que QMRS  , daí resulta que 
100*


y
QMR
CV . 
 
Estatística Experimental 
53 
Como exemplo vamos considerar os dados do experimento apresentado 
no item 1, cujos cálculos foram mostrados no item 10. Neste exemplo temos: 
 
%4,67100
28,15
30,10
,30,1028,15
2 

x
SQT
SQTr
R
entãoSQTreSQT
 
 %88,21100*
39,3
55,0
100* 
y
QMR
CV 
Concluímos que 67,4% da variabilidade que existe nas observações 
deste experimento em torno de seu valor médio é explicada pelo modelo 
matemático do DIC e este experimento apresenta um coeficiente de variação 
de aproximadamente 22%. 
Script no R para calcular os coeficientes de determinação (R2 ) e de 
variação (CV) 
# calculo do CV 
cv <- sqrt(qmr)/mean(pc)*100 
cv 
 
sqtr <- anova(pc.av)[1,2] # obtenção da SQTr da anova 
sqtr 
sqr <- anova(pc.av)[2,2] # obtenção da SQR da anova 
sqr 
 
# cálculo do R2 
r2 <- sqtr/(sqtr+sqr)*100 
r2 
 
14 Checandoas violações das suposições de normalidade dos dados e 
da homogeneidade das variâncias dos tratamentos Anova 
De um modo geral, o teste F da ANOVA não é muito sensível às 
violações da suposição de distribuição normal. Ele também é moderadamente 
insensível às violações de variâncias iguais, se os tamanhos das amostras são 
iguais e não muito pequenas em cada tratamento. Entretanto, variâncias 
desiguais podem ter um efeito marcante no nível do teste, especialmente se 
amostras pequenas estão associadas com tratamentos que têm as maiores 
variâncias. Existe uma série de procedimentos para se testar se as suposições 
da ANOVA são violadas. Entre estes temos o teste de Anderson-Darling, teste 
de Shapiro-Wilks e teste de Kolmogorov-Smirnov, que testam a normalidade da 
população. A igualdade das variâncias (homocedasticidade) pode ser testada 
pelo teste de Bartlett. Com o advento dos modernos computadores, métodos 
gráficos são ferramentas muito populares para a visualização das violações 
das suposições teóricas da ANOVA. Alguns destes métodos gráficos mais 
comumente usados para checar as suposições da ANOVA são baseados em 
gráficos dos resíduos. 
Resíduos. O resíduo correspondente a uma observação ijy é definido 
como: 
 iijiijijijij yyyyye  ˆˆˆ , 
ou seja, o resíduo corresponde á parte da observação que não foi explicada 
pelo modelo. Calculando os resíduos correspondentes a todas as observações 
de um experimento e analisando-os descritivamente de forma apropriada, 
 
Estatística Experimental 
54 
podemos ter alguma indicação, graficamente, se as suposições da ANOVA 
estão sendo satisfeitas. 
Gráfico dos resíduos para testar a normalidade. Técnicas gráficas 
para checar se uma amostra de resíduos é provenientes de uma população 
normal incluem os gráficos do Histograma, do Box – Plot, etc. Outra importante 
técnica é o gráfico q-q normal (quantile-quantile normal plot). O gráfico q-q 
normal, é um gráfico entre os resíduos e um conjunto de percentis 
devidamente escolhidos da normal padronizada. Sob a hipótese de 
normalidade este gráfico q-q normal deve se aproximar de uma reta. Se o 
gráfico é sigmóide é uma indicação de que a população tem as caudas 
pesadas ou leves. A assimetria é indicada por gráficos côncavos (assimetria a 
esquerda) e convexos (assimetria a direita). 
O primeiro passo na construção de um gráfico q-q normal é o cálculo de 
,
1
º



N
eresíduosden
p ijij a qual é denominada de probabilidade empírica 
acumulada, e está associada a todo i je , de tal forma que 
1

N
edeposto
p
ij
ij . 
Como exemplo, a probabilidade empírica acumulada associada ao resíduo, 
cujo posto é o sexto (seu rank=6) em um conjunto de N=10 resíduos é p=6/11 
= 0.545. O gráfico q-q normal de um conjunto de resíduos é obtido com o 
gráfico dos resíduos i je vs ,)1( ijij pzq   sendo que: z é o valor critico de 
nível  de uma distribuição normal padronizada 
Vamos considerar os dados apresentados no item 1 e construir um 
gráfico q-q normal para ver se a suposição de normalidade parece razoável 
para a quantidade de insulina liberada do exemplo 1. 
O Quadro abaixo apresenta os dados, o valor estimado pelo modelo, os 
resíduos e os percentis associados: 
i j Yij Yest eij R(eij) Pij Qij 
1 1 1.59 2.23 -0.64 1 0.077 -1.426 
1 2 1.73 2.23 -0.50 5 0.385 -0.293 
1 3 3.64 2.23 1.41 12 0.923 1.426 
1 4 1.97 2.23 -0.26 6 0.462 -0.097 
2 1 3.36 3.44 -0.08 7 0.538 0.097 
2 2 4.01 3.44 0.57 10 0.769 0.736 
2 3 3.49 3.44 0.05 8 0.615 0.293 
2 4 2.89 3.44 -0.55 4 0.308 -0.502 
3 1 3.92 4.50 -0.58 3 0.231 -0.736 
3 2 4.82 4.50 0.32 9 0.692 0.502 
3 3 3.87 4.50 -0.63 2 0.154 -1.020 
3 4 5.39 4.50 0.89 11 0.846 1.020 
e o gráfico q-q normal ( )ijij qxe fica sendo: 
 
Estatística Experimental 
55 
 
e os gráficos do Histograma e do Box – Plot dos resíduos ficam: 
 
 
Pelo gráfico qq normal, pelo histograma e pelo Box-Plot é razoável 
supor a normalidade para os dados de liberação de insulina. 
O script do R que fornece os resultados acima são: 
# extraindo os resíduos do objeto pc.av 
residuo <-insulina.av$res 
resíduo 
 
# fazendo o gráfico q-q plot 
qqnorm(residuo, ylab ="Resíduos",main="Gráfico normal de 
probabilidade") 
qqline(residuo,lwd=2) 
 
# dividindo a tela gráfica em 2 colunas e uma linha 
par(mfrow=c(1,2)) 
 
# histograma dos resíduos 
hist(residuo, main="Histograma dos Resíduos",lwd=2,col="green") 
 
# gráfico boxplot dos resíduos 
boxplot(residuo, horizontal=T,main="Boxplot dos resíduos", 
col="blue",lwd=2) 
Estes recursos gráficos não são quantitativos, é necessário um teste. O 
script no R que fornece o teste de normalidade de Shapiro-Wilks , o qual testa 
as hipóteses: 
 
 
Estatística Experimental 
56 
normaldistruiçãotemnãoamostradapopulaçãoaH
normaldistruiçãotemamostradapopulaçãoaH
1
0
:
:
 
),0(:
),0(~:
2
1
2
0


NtemnãoeH
NeH
ou
ij
ij 
é dado a seguir 
 
# teste de normalidade de Shapiro-Wilks dos dados do exemplo 1 
shapiro.test(residuo) 
 
Cujos resultados são: 
 
Shapiro-Wilk normality test 
 
data: res 
W = 0.8796, p-value = 0.08657. 
 
No resultado fornecido pelo R e pelo valor de p (p=0,08657) associado a 
estatística W=0,8796 do teste de Shapiro-Wilks, não rejeitamos 0H , logo é 
razoável supor a normalidade para os dados de liberação de insulina. O teste 
de Bartlett testa as hipóteses 
jiH
H
2
j
2
i1
2
3
2
2
2
10




:
:
, 
ou seja, a homogeneidade das variâncias dos tratamentos. 
O script no R que fornece este teste é 
 
# teste de homogeneidade das variâncias dos tratamentos dos dados do 
#exemplo 1 (Teste de Bartlett) 
 
# teste de Bartlett para a homogeneidade das variâncias 
bartlett.test(insulina ~ trat) 
 
com a seguinte saída 
 
Bartlett test of homogeneity of variances 
 
data: insulina by trat 
Bartlett's K-squared = 1.27, df = 2, p-value = 0.5299 
 
Pelos resultados destes testes não rejeitamos 0H , o nível mínimo de 
significância do teste é p=0,5299 (p>0,05). O teste é não significativo. 
Concluímos, então, que a homogeneidade das variâncias é uma suposição 
plausível para os dados da liberação da insulina. Assim é razoável supor que 
este conjunto de dados suporta as suposições básicas de normalidade e 
homogeneidade da variância para a correta aplicação da ANOVA. 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
57 
14 Vantagens e desvantagens do DIC 
 As principais vantagens do DIC são: 
 é fácil de ser planejado e é flexível quanto ao número de 
tratamento e de repetições tendo como única limitação o número 
de unidades experimentais disponíveis para o experimento; 
 o número de repetições pode variar de tratamento para tratamento, 
embora o desejável é ter o mesmo número de unidades 
experimentais em todos os tratamentos; 
 o DIC proporciona o número máximo de graus de liberdade para o 
resíduo; 
 a análise estatística é simples mesmo que se perca algumas 
unidades experimentais. 
 
Algumas desvantagens são: 
 é mais apropriado para um pequeno número de tratamentos e para 
um material experimental homogêneo; 
 todas as fontes de variação não associadas aos tratamentos farão 
parte do resíduo, podendo comprometer a precisão das análises; 
 super-estima a variância residual. 
 
15 Resumo 
O DIC é mais útil onde não existe nenhuma fonte de variação 
identificável entre as unidades experimentais, exceto às dos efeitos dos 
tratamentos. É o mais flexível com respeito ao arranjo físico das unidades 
experimentais. Ele maximiza os graus de liberdade para a estimação da 
variância por unidade experimental (erro experimental ou erro residual) e 
minimiza o valor da estatística F requerida para a significância estatística. 
 
Estatística Experimental 
58 
3º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
1- Para avaliar o efeito de altos níveis de cobre na alimentação de pintinhos, seis 
pintinhos foram alimentados com uma dieta basal padrão às quais foram 
adicionadas três níveis de cobre (0, 400, e 800 ppm). Os dadosabaixo mostram 
a razão da eficiência da dieta (g dieta/ g ganho de peso) ao final de 3 semanas 
Use o R para apresentar os resultados. 
Tratamentos 
(nível de cobre) 
Pintinhos 
 1 2 3 4 5 6 
0 1,57 1,54 1,65 1,57 1,59 1,58 
400 1,91 1,71 1,55 1,67 1,64 1,67 
800 1,88 1,62 1,75 1,97 1,78 2,20 
(extraído de Statistical Research Methods in the Life Science, P. V. Rao, pg. 287). 
 (a) Calcular os totais dos tratamentos yi+ , i=1,2,3, as médias dos tratamentos 
iy , os desvios padrões dos tratamentos is , i=1,2,3, o total geral y++, e a média 
geral y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Estabelecer as hipóteses estatísticas H0 e H1 e as suposições básicas para 
se testar estas hipóteses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Monte o quadro da anova 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
59 
(d) Com base nos resultados do teste F da anova faça as conclusões pertinentes 
sobre as hipóteses do item (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(e) Calcular os intervalos de confiança das médias dos tratamentos IC(µi ; 95%). 
Apresente os resultados. (Siga o modelo tabela pg 42 da apostila). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(f) Calcular os coeficientes: de determinação R
2
 e o de variação do experimento 
(CV). Comente os resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
60 
(g) Verifique as suposições básicas da ANOVA. Apresente e comente os resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Num experimento inteiramente casualizado com 5 tratamentos e 4 repetições, estudou-se o 
efeito de 5 carrapaticidas (tratamentos) no controle de carrapatos em bovinos. 
Analisando- se o número de carrapatos que cairam por animal, obtiveram-se as 
seguintes somas de quadrados: 
S.Q. Tratamentos = 41,08 
S.Q. Total = 57,46 
Estabelecer as hipóteses estatísticas H0 e H1, montar o quadro de análise de variância, concluir 
e calcular o coeficiente de determinação R
2
 
 
3- Cite as vantagens e as desvantagens do delineamento inteiramente casualizado. 
4- Escreva o modelo matemático do delineamento inteiramente casualizado para os dados 
apresentados na 2ª questão. 
5- Descreva os procedimentos de um experimento cego, e dos experimentos duplamente 
cego. 
6- Quando um experimento será considerado planejado (Descreva as etapas). 
7- Quais os princípios básicos da experimentação. 
 
Estatística Experimental 
61 
Aula 4 Teste de comparações múltiplas 
1 Introdução 
Os testes de comparações múltiplas também conhecidos como testes de 
comparações de médias servem como um complemento ao teste F da análise 
de variância quando este é significativo e são usados para detectar diferença 
entre médias. Considere o exemplo a seguir 
 
Exemplo 1. Em um experimento de alimentação de porcos, foram 
utilizados quatro rações (A, B, C e D), cada uma fornecida a 5 animais. Os 
ganhos de peso, kg, foram: 
Rações 
A B C D 
35 40 39 27 
19 35 27 12 
31 46 20 13 
15 41 29 28 
30 33 45 30 
Calculando-se as somas de quadrados podemos construir o seguinte 
quadro de análise de variância: 
 F.V. g.l. S.Q. QM Fc 
Rações 3 823,75 274,58 3,99 
Resíduo 16 1100,00 68,75 
 Total 19 1923,75 
 Das tabelas das distribuições F, temos que 
295Fe243F 010163050163 ,, ),,,(),,,(  . O valor Fc=3,99 é maior que 
o valor do F tabelado a 5%, então, rejeitamos a hipótese nula H0 a
%5 de probabilidade. 
 Dúvida: Qual é a ração que tem o melhor desempenho no ganho 
de peso? 
Para responder a questão, conheceremos alguns PROCEDIMENTOS 
DE COMPARAÇÕES DE MÚLTIPLAS ou MÉTODOS DE COMPARAÇÕES 
DE MÉDIAS, como por exemplo, os testes t-Student , Scheffé, Tukey, Duncan, 
Dunnett e Bonferroni, dentre outros. 
 
2 Definições básicas 
Consideremos um experimento com k tratamentos, cujas médias 
populacionais são K ...,,, 21 e seus estimadores kyyy ...,,, 21 foram obtidas 
de amostras de tamanhos r1, r2, ..., rK. 
 
Definição 1 Um contraste de médias é qualquer função do tipo 
kkcccY   ...2211 , 
com 


k
i
ki cccc
1
21 0... e i , é a média do tratamento i = 1, 2, ..., k 
 
 
Estatística Experimental 
62 
Definição 2 Dizemos que dois contrastes são ortogonais se 


k
i i
ii
r
ba
1
0
. Quando o experimento é balanceado (ri = r) a condição de ortogonalidade é 
que a soma dos produtos de seus coeficientes é nula, i.é., 


k
i
ii ba
1
0 . 
 Quando um experimento envolve k tratamentos, podemos definir 
diversas comparações entre as k médias, mas somente (k – 1) são 
ortogonais; 
 Nos contrastes envolvendo duas médias podemos definir 
2
)1( kk
 
contrastes possíveis, os quais não são ortogonais. 
 
Supondo que os tratamentos têm variância constante 2 e que uma 
estimativa não viesada desta variância é o QMR da ANOVA, tem-se que: 
 kn xcxcxcxcY  332211ˆ é um estimador não viesado do 
contraste kkcccY   ...2211 ; 
 
i
n
i
i
i
n
r
c
r
cccYV
2
1
2
2
22
2
2
1 )()
ˆ(



  e um estimador não 
viesado é dado por 
i
n
i
i
i
n
r
QMR
c
r
QMR
cccYV 


1
222
2
2
1 )()
ˆ(̂  , 
se o experimento é balanceado r1= r2 = ...= rK =r, as expressões 
acima ficam, respectivamente, 
r
c
r
cccYV
n
i
in
2
1
2
2
22
2
2
1 )()
ˆ(



  e 
r
QMR
c
r
QMR
cccYV
n
i
in 


1
222
2
2
1 )()
ˆ(̂  
Exemplo 1. Em um experimento dois antibióticos em duas dosagens cada um 
para a cura da mastite em bovinos. A variável resposta é tempo de cura em 
dias 
Tratamento Descrição 
T1 Dose baixa da droga A 
T2 Dose alta da droga A 
T3 Dose baixa da droga B 
T4 Dose alta da droga B 
Podemos definir os seguintes contrastes: 
 43211  Y : compara as doses da droga A com as doses 
da droga B; 
 212  Y : compara as doses da droga A; 
 433  Y : compara as doses da droga B. 
A afirmação de que o contraste Y1 é nulo (Y1 = 0) é o mesmo que afirmar 
que: 
22
,, 43214321





 queou , ou ainda, que a média dos 
tratamentos 1 e 2 é igual à média dos tratamentos 3 e 4. 
 
 
Estatística Experimental 
63 
Para verificarmos se estes contrastes são ortogonais é aconselhável 
uma tabela com os coeficientes dos (k – 1) contrastes e a partir daí, verificar 
que a soma dos produtos dos coeficientes, aos pares, é nula. 
 
Contraste 
1 2 3 4 
1Y 
+1 +1 -1 -1 
2Y 
+1 -1 0 0 
3Y 
0 0 +1 -1 
Portanto estes contrastes são ortogonais 2 a dois e ortogonais entre si. 
 
3 Teste t - student O teste t – student pode ser utilizado para comparar 
médias de tratamentos. Os requisitos básicos para sua utilização são: 
 as comparações devem ser determinadas a priori, ou seja, antes 
de serem examinados os dados. 
 não existe limite para o número de contrastes envolvendo as 
médias de tratamentos, porém, o número de contrastes ortogonais 
é, no máximo, igual ao número de graus de liberdade dos 
tratamentos. 
 A ortogonalidade entre os contrastes de médias garante 
independência entre as conclusões. 
O objetivo é testar a hipótese 
0:
0:
1
0


i
i
YH
YH
, 
Usamos a estatística 
),(
1
2
~
ˆ
)ˆ(̂
ˆ
resglk
i
i
ii t
c
r
QMR
Y
YV
Y
t


 , a qual sob H0 
verdadeira tem distribuição t-student com o mesmo número de graus de 
liberdade do resíduo, no DIC é ( n-k ). Para um valor fixado de nível de 
significância  , devemos buscar o valor de t tabelado (arquivo Tab_tstudent, 
disponibilizado na página ou nos livros indicados na bibliografia) e compará-lo 
com o valor da estatística tc , calculada para o contraste Yi e aplicar a regra de 
decisão: 
 Se Tabeladoc tt  rejeitamos H0 para um determinado valor de  , 
geralmente 5% ou 1%, caso contrário ( Tabeladoc tt  ), não rejeitamos 
H0. 
(veja o esquema gráfico desta regra de decisão apresentadono item 6 
da 2ª Aula). 
 
Exemplo 2: Num experimento inteiramente casualizado com 4 tratamentos e 4 
repetições, estudaram-se os efeitos de Bacitracina de zinco(BDZ) e Anti-stress 
sobre frangos de corte alimentados com rações à base de sorgo, desde a fase 
inicial até a final. A resposta medida foi conversão alimentar. Foram utilizados 
os seguintes tratamentos: 
 
Tratamento Descrição Média(kg) 
1 Concentrado Comercial + Milho 2,03 
2 Concentrado Comercial + Sorgo 2,24 
 
Estatística Experimental 
64 
3 Concentrado Comercial + Sorgo + BDZ 2,04 
4 Concentrado Comercial + Sorgo + Anti-stress 2,22 
Sabendo-se que da ANOVA o valor do 00443750QMR , , com 12 
graus de liberdade. Pode - se estabelecer os contrastes de médias dos 
tratamentos para cada componente do desdobramento: 
 Milho vs. sorgos, o qual é expresso pela combinação linear 
4321143211 yyyy3Yporestimado3Y 
ˆ, ; 
 Sorgo vs. Sorgo + Aditivos, o qual é expresso pela combinação 
linear 43224322 yyy2Yporestimado2Y 
ˆ, ; 
 Bacitracina vs. Anti-stress, o qual é expresso por 
433433 yyYporetimadoY  , ; 
A verificação se os contrastes são ortogonais pode ser feita facilmente 
no quadro abaixo: 
 
Contraste 
1 2 3 4 IŶ 

4
1I
2
ic 
ct 
1Y 
+3 -1 -1 -1 -0,41 12 -3,55 (p=0,00198) 
2Y 
0 +2 -1 -1 0,22 6 2,70 (p=0,0097) 
3Y 
0 0 +1 -1 -0,18 2 -3,82 (p=0,0012) 
p< 0,01 significativo a 1% e a 5%; p< 0,05 significativo a 5% e p> 0,05 não-significativo a 5%. 
O objetivo é testar a hipótese 
0:
0:
1
0


i
i
YH
YH
, para i = 1,2,3. 
 Assim, para o contraste 1Y , temos que: 
 
0:
0:
11
10


YH
YH
 
 
0133,012
4
0044375,0
)ˆ(̂
41,0)22,2()04,2()24,2()03,2(3ˆ
4
1
2
1
1



i
ic
r
QMR
YV
eY
 
 55,3
0133,0
41,0ˆ
4
1
2
1 



i
i
c
c
r
QMR
Y
t 
 179,2)025,0,12( t . Como Tabc tt  , então rejeitamos H0 
(0,005<p<0,001). (Repetir estes passos para os contrastes Y2 e Y3 ). 
Script do R para o cálculo dos resultados apresentados acima 
 
# como não foram fornecidos os dados deste exemplo 
# é necessário fornecer os valores 
# definindo o número de repetições 
r <- 4 
 
# definindo os graus de liberdade do resíduo 
glr <- 12 
 
# quadrado médio do resíduo 
 
Estatística Experimental 
65 
qmr <- 0.0044375 
 
# definindo as médias dos tratamentos 
m.trat <- c( 2.03, 2.24, 2.04, 2.22) 
 
# definindo os coeficientes do contraste 
c <- c( 3, -1,-1,-1) 
 
#calculo da variância do contraste 
var.c<- qmr/r*sum(c1^2) 
 
# cálculo da estatística tc da estatística t-student 
tc <- sum(c*m.trat)/sqrt(qmr/r*sum(c^2)) 
tc 
 
# cálculo do valor de p associado à estatistica t calculada anteriormente 
valor.p<- 1-pt(abs(tc),glr) 
valor.p 
 (repita este procedimento adaptando-o aos demais contrastes) 
 
Com base nos resultados dos testes de hipóteses, concluímos que: 
 os animais tratados com o concentrado comercial + milho têm uma 
conversão alimentar melhor do que os animais tratados com 
concentrado comercial + sorgo; 
 os animais tratados com o concentrado comercial + sorgo+aditivos 
têm uma conversão alimentar melhor do que os animais tratados 
com concentrado comercial + sorgo, ou seja, os aditivos BDZ e 
anti-stress quando adicionados ao concentrado comercial não 
melhoram a conversão alimentar; 
 os animais tratados com o concentrado comercial + sorgo+BDZ têm 
uma conversão alimentar melhor do que os animais tratados com 
concentrado comercial + sorgo+anti-stress. 
 
4 Teste de Scheffé 
O teste de Scheffé pode testar qualquer contraste envolvendo 
médias de tratamentos do tipo kk2211 cccY   ... definido a priori ou 
não, sendo baseado na estatística S, definida como: 
itodopararri  (Experimento balanceado) 
;)1(
)ˆ(̂)1(
1
2
),,1(
),,1(






k
i
i
resglk
iresglk
r
c
QMRFk
YVFkS


 
jipararr ji  (Experimento desbalanceado) 
;)1(
1
2
),,1( 


k
i i
i
resglk
r
c
QMRFkS  
Sendo: k – 1 o número de graus de liberdade de tratamentos; 
),,1( resglkF  é o valor crítico da Tabela F-Snedecor, a qual depende dos graus de 
liberdade de tratamentos e do resíduo; ci são os coeficientes do contraste e ri é 
o número de repetições do i-ésimo tratamento. A Regra de Decisão do teste de 
Scheffé para rejeitarmos ou não se o contraste é diferente de zero é comparar 
a estimativa do contraste Ŷ com o valor de S: 
 
Estatística Experimental 
66 
 se SYi  , rejeitamos a hipótese 0YH i0 : , e concluímos que o 
contraste de médias é diferente de zero; 
 se SYi  , não rejeitamos a hipótese 0YH i0 : , e concluímos que 
o contraste de médias não é diferente de zero 
Aplicando o teste de Scheffé ao exemplo anterior do teste de t-student, 
temos 
 
Contraste 
1 2 3 4 IŶ 

4
1
2
I
ic 
S 
1Y 
+3 -1 -1 -1 -0,41 12 0,3733 * 
2Y 
0 +2 -1 -1 0,22 6 0,2640 * 
3Y 
0 0 +1 -1 -0,18 2 0,1524 ns 
* significativo a 5%; ns não significativo a 5%. 
O objetivo é testar a hipótese 
0:
0:
1
0


i
i
YH
YH
, para i = 1,2,3. 
 Assim, para o contraste 1Y , temos que: 
 
0:
0:
11
10


YH
YH
 
 
0133,012
4
0044375,0
)ˆ(̂
41,0)22,2()04,2()24,2()03,2(3ˆ
4
1
2
1
1



i
ic
r
QMR
YV
eY
 
 
3733,01394,0)12)(
4
0044375,0
)(49,3)(14(
)111)3((
4
0044375,0
)14( 2222)05,0,12,3(

 FS
 
 Pela regra de decisão SYi  , logo rejeitamos H0 a 5% de 
probabilidade e concluímos que a ração comercial com milho tem 
uma conversão alimentar melhor do que a que a ração comercial 
com sorgo. 
O script no R para o cálculo da estatística de Scheffé é 
 
# como não foram fornecidos os dados deste exemplo 
# é necessário fornecer os valores 
# definindo o número de repetições 
r <- 4 
 
# definindo os graus de liberdade dos tratamentos 
gltr<- 3 
# definindo os graus de liberdade do resíduo 
glr <- 12 
 
# quadrado médio do resíduo 
qmr <- 0.0044375 
 
# definindo as médias dos tratamentos 
 
Estatística Experimental 
67 
m.trat <- c( 2.03, 2.24, 2.04, 2.22) 
 
# definindo os coeficientes do contraste 
c <- c( 3, -1,-1,-1) 
 
# cálculo da variância do contraste 
var.c<- qmr/r*sum(c1^2) 
 
# cálculo da estatística S de Scheffé 
s<- sqrt(gltr*q(0.95,gltr,glr)*var.c) 
s 
(Repetir esse procedimento para os contrastes Y2 e Y3 e tirar as conclusões). 
 
5 Teste de Tukey 
O Teste de Tukey é baseado na amplitude total “estudentizada” 
(studentized range) e pode ser usado para comparar todo contraste entre duas 
médias de tratamentos do tipo 
 Hipóteses: 
0:
0:
1
0


jii
jii
YH
jiparaYH


 
 Calcular o valor da diferença mínima significativa (d.m.s): 
 
itodopararri  (Experimento 
balanceado) 
r
QMR
qdms resglk ),;(  
jipararr ji  (Experimento desbalanceado) 
)
11
(
2
),;(
ji
resglk
rr
QMR
qdms   
 
sendo: ),,( resglkq é o valor da amplitude total “estudentizada” e é obtido 
de tabela própria, e depende do número de tratamentos (k) e do número de 
graus de liberdade para o resíduo, o qual neste exemplo é (n - k). Após calcular 
o d.m.s., calculamos a estimativa dos contrastes entre os pares de médias 
jii xxY 
ˆ e comparamos esses valores com o valor do d.m.s., aplicando a 
seguinte regra de decisão: 
 se ...ˆ smdYi  rejeitamos H0, ao nível a de significância, e 
concluímos que as médias dos tratamentos envolvidos são 
diferentes; 
 se ...ˆ smdYi  não rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos 
tratamentos envolvidos são iguais. 
 
Exemplo 3: usaremos os dados do exemplo 1 apresentado no início desta 
aula, o quadro da anova fornece 
 
 k = 4, 7568QMR , com 16 graus de liberdade e 0464q 050165 ,),,,(  
e 00,15
5
75,68
046,4),;(  
r
QMR
qdms knk  
Assim, toda estimativa de contraste do tipo jii yyY 
ˆ que exceder o 
valor do d.m.s.= 15,00 é significativo a 5%. 
 
Estatística Experimental 
68 
 
Estimativa do contraste 
ns132639yyY AB1 
ˆ 
ns62632yyY AC2 
ˆns42622yyY AD3 
ˆ 
ns73239yyY CB4 
ˆ 
*ˆ 172239yyY DB5  
ns102232yyY DC6 
ˆ 
* - significativo a 5%; ns – não significativo a 5% 
Script no R para o cálculo da anova e o teste de Tukey 
# entrando com os dados de ganho de peso 
gp <- c(35,19,31,15,30, 
 40,35,46,41,33, 
 39,27,20,29,45, 
 27,12,13,28,30) 
 
# entrando com o número de repetições dos tratamentos 
r <- 5 
 
# entrando com os níveis dos tratamentos 
trat <- c(rep("A",r),rep("B",r),rep("C",r),rep("D",r)) 
trat 
 
# cálculo das medias dos tratamentos 
m.trat <- tapply(gp,trat,mean) 
m.trat 
 
# Gráfico Box-Plot 
boxplot(gp~trat, vertical=T,ylab="ganho de peso",col="green") 
 
# análise da variância - ANOVA 
gp.av <- aov(gp~factor(trat)) 
summary(gp.av) 
 
 
# obtendo os residuos 
residuo <- aov(gp.av)$res 
residuo 
 
# gerando o gráfico normal de probabilidade 
qqnorm(residuo,ylab="Residuos", main=NULL,pch=16,col=2) 
 
# colocando a reta da distribuição teórica normal 
qqline(resíduo,lwd=2,main="Gráfico Normal de Probabilidade dos 
Resíduos") 
 
# testando a normalidade dos resíduos "Teste de Shapiro-Wilks" 
shapiro.test(residuo) 
 
Estatística Experimental 
69 
 
# teste da homogeneidade das variâncias "Teste de Bartllet" 
bartlett.test(gp ~ trat) 
 
# Teste de Tukey 
compara.tu <- TukeyHSD(gp.av) 
compara.tu 
 
# grafico do teste de Tukey 
plot(compara.tu,main="Teste de Tukey") 
 
Saída proporcionada por este script 
 
Média dos tratamentos 
 A B C D 
26 39 32 22 
gráfico box-plot para cada tratamento 
 
Quadro da anova fornecido pela função aov( ) 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
trat 3 823.7 274.58 3.994 0.0267 * 
Residuals 16 1100.0 68.75 
--- 
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
Conclusão: o teste F é significativo (p=0,0267), rejeitamos H0. Assim existe 
pelo menos dois tratamentos que diferem entre si. 
 
teste de Shapiro-Wilks de normalidade 
 Shapiro-Wilk normality test 
data: residuo 
A B C D
1
5
2
0
2
5
3
0
3
5
4
0
4
5
g
a
n
h
o
 d
e
 p
e
s
o
-2 -1 0 1 2
-1
0
-5
0
5
1
0
Gráfico da normalidade
Quantis teóricos
R
e
s
id
u
o
s
 
Estatística Experimental 
70 
W = 0.9387, p-value = 0.227 
Conclusão: o teste é não significativo (p=0,227), não rejeitamos H0 e 
concluímos que os dados deste experimento suportam a suposição de 
normalidade. 
 
Teste de Bartlett da homogeneidade das variâncias populacionais dos 
tratamentos 
 
 Bartlett test of homogeneity of variances 
data: gp by trat 
Bartlett's K-squared = 1.5284, df = 3, p-value = 0.6757 
 
Conclusão: o teste é não significativo (p=0,6757), não rejeitamos H0 e 
concluímos que os dados deste experimento suportam a suposição de 
homogeneidade das variâncias populacionais dos tratamentos. 
 
 Tukey multiple comparisons of means 
 95% family-wise confidence level 
 Fit: aov(formula = gp ~ trat) 
 $trat 
 diff lwr upr p adj 
 B-A 13 -2.003315 28.003315 0.1018285 
 C-A 6 -9.003315 21.003315 0.6687032 
D-A -4 -19.003315 11.003315 0.8698923 
C-B -7 -22.003315 8.003315 0.5553529 
D-B -17 -32.003315 -1.996685 0.0237354 
D-C -10 -25.003315 5.003315 0.2640642 
 
Conclusão: o teste de Tukey é significativo (p=0,0237) para o contraste entre 
as médias dos tratamentos D e B. Os outras comparações de pares de médias 
populacionais dos tratamentos não são significativas. 
Uma forma simples de apresentação destes resultados é a seguinte: 
 coloque as médias em ordem decrescente; 
 una as médias que não diferem entre si por meio de uma linha 
No exemplo temos: 
*BCAD yyyy 
 22 26 32 39 
 
 
 * médias seguidas pela mesma linha não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% de probabilidade. 
Outra forma, muito utilizada pelos pesquisadores é a que substitui a 
linha por letras, ou seja, 
BCAD yyyy 
 22a 26ab 32ab 39b, 
 médias seguidas pela mesma letra minúscula não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% de probabilidade 
ou ainda, 
Tratamentos Médias 
D 22 a 
A 26 ab 
C 32 ab 
B 39 b 
 médias seguidas pela mesma letra minúscula nas colunas não 
 diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% de probabilidade. 
 
A saída do pacote ExpDes para o teste de Tukey já contempla esta 
facilidade das médias seguidas pelas letras. 
O script do R usando os recursos deste pacote é dado por: 
 
Estatística Experimental 
71 
# usando ao função crd( ) do ExpDes 
# requerendo o ExpDes 
library(ExpDes) 
crd(trat,gp,quali=T,mcomp="tukey") 
 
 a saída fornecida por este script é: 
------------------------------------------------------------------------ 
 Analysis of Variance Table 
------------------------------------------------------------------------ 
 DF SS MS Fc Pr>Fc 
Treatament 3 823.75 274.58 3.9939 0.026711 
Residuals 16 1100.00 68.75 
Total 19 1923.75 
------------------------------------------------------------------------ 
CV = 27.87 % 
------------------------------------------------------------------------ 
 Shapiro-Wilk normality test 
p-value: 0.2270063 
According to Shapiro-Wilk normality test at 5% of significance, residuals can be considered 
normal. 
------------------------------------------------------------------------ 
Tukey's test 
------------------------------------------------------------------------ 
Groups Treatments Means 
a B 39 
ab C 32 
ab A 26 
 b D 22 
------------------------------------------------------------------------ 
 
6 Teste de Dunnet 
É um teste utilizado no qual as únicas comparações de interesse são 
aquelas entre os tratamentos e um determinado tratamento padrão, geralmente 
a testemunha (controle), e cada um dos demais tratamentos, não havendo 
interesse na comparação dos demais tratamentos entre si. Para testarmos o 
contraste ci0H  : , o qual envolve a média do tratamento “i” e do 
tratamento controle “c”, usamos a estatística: 
QMR
rr
dD
ci
resglk )
11
(),,(   , 
sendo: “ ),,( resglkd ” o valor tabelado para  fixado freqüentemente em 5%, que 
depende do número total de tratamentos (k), do número de graus de liberdade 
do resíduo (gl res), o qual neste exemplo é (n-k) e de  ; ri e rc correspondem 
ao número de repetições dos tratamentos “i” e “c”. A seguir, calculamos uma 
estimativa para cada um dos contrastes cii yyY 
ˆ e comparamos o valor da 
estatística D' e aplicamos a seguinte regra de decisão: 
 se DY i 
ˆ rejeitamos H0 e concluímos que a média do tratamento 
“i” difere significativamente da média do tratamento “c” o padrão; 
 se DY i 
ˆ não rejeitamos H0 e concluímos que a média do 
tratamento “i” é igual ao do tratamento padrão “c”. 
Como exemplo, considere as médias de um experimento, apresentados 
na tabela abaixo, em que um médico veterinário, comparou o efeito de cinco 
 
Estatística Experimental 
72 
drogas na diminuição da pressão arterial de animais experimentais. Para tanto 
o pesquisador tomou 30 animais e dividiu ao acaso em seis grupos: o grupo 
controle recebeu um placebo e os outros receberam, cada um, uma das 
drogas. 
 
Tratamentos 
(Drogas) 
Médias 
A 21 a 
B 8 b 
C 10 b 
D 29 a 
E 13 a 
Controle 2 b 
 Médiascom a mesma letra do controle nao diferem deste pelo teste de Dunnett a 5% de probabilidade. 
A verificação destes resultados pode ser feita por meio dos resultados 
da ANOVA, onde QMR= 36, os graus de liberdade do resíduo é 24 e vamos 
fixar %5 . 
Procedimentos: 
 consultando a Tabela do Teste de Dunnett (VIEIRA, S. pg 183 e 
184) a 5% de probabilidade, temos que 762d 050246 ,),,,(  e a 
estatística 47,10
5
)36(2
76,2´ D 
 é fácil verificar que as drogas A, D e E diferem significativamente 
do controle, ou seja, apresentam resultados melhores que os do 
controle. 
O teste de Dunnett no R está implementado no pacote multcomp. Um 
exemplo de sua utilização para os dados do exemplo 1 desta aula, 
considerando o tratamento A como controle, é dado pelo script abaixo 
 
# instalando o pacote multicomp 
install.packages("multcomp") 
 
# requerendo o pacote multcomp 
require(multcomp) 
 
# teste de Dunnett 
gp.dunnett <- glht(gp.av, linfct = mcp(trat = "Dunnett")) 
summary(gp.dunnett) 
 
A saída fornecida por este script é: 
Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses 
Multiple Comparisons of Means: Dunnett Contrasts 
 
Fit: aov(formula = gp ~ trat) 
Linear Hypotheses: 
 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
B - A == 0 13.000 5.244 2.479 0.062 
C - A == 0 6.000 5.244 1.144 0.540 
D - A == 0 -4.000 5.244 -0.763 0.788 
--- 
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 
Estatística Experimental 
73 
(Adjusted p values reported -- single-step method) 
Conclusão: todos os valores de p do teste t-student são superiores a 0,05 (p > 
0,05) logo nenhum dos tratamentos B, C e D diferem do controle A. 
 
7 Teste de Duncan 
A aplicação do teste de Duncan é bem mais trabalhosa que o teste de 
Tukey, mas chega-se a resultados mais detalhados e se discrimina com mais 
facilidade entre os tratamentos. Geralmente, o Teste de Duncan indica 
resultados significativos em casos em que o Teste de Tukey não permite obter 
significância estatística. Para a aplicação do teste é importante ordenarmos as 
médias dos tratamentos em ordem crescente ou decrescente de tamanho. A 
seguir, calculamos o valor da amplitude total mínima significativa (shortest 
significant range) para o contraste entre a maior e a menor das médias dos 
tratamentos, usando a fórmula: 
r
QMR
zsmd resglp ),,(...  , 
sendo: p=i-j+1 ( nº de médias abrangidas pelo intervalo delimitado pelas 
médias comparadas), ),,( resglpz é o nível  da amplitude mínima estudentizada 
de Duncan (obtido da Tabela de Duncan – arquivo Tab_Duncan_5%.pdf), neste 
exemplo os graus de liberdade do resíduo é n-k. 
A regra de decisão é: 
 se ...ˆ smdYi  rejeita-se H0 , ou seja, se o valor absoluto da 
diferença entre as médias em comparação é igual ou maior que a 
d.m.s. 
 se ...ˆ smdYi  não rejeitamos H0 
Considere os dados do item 6 desta aula. A ordem dos tratamentos, 
segundo a grandeza das médias, é: 
 
Tratamentos Controle B C E A D 
Médias (2) (8) (10) (13) (21) (29) 
 
O valor do d.m.s. para comparar a média do Controle com a média da 
Droga D é: 
79,8
5
36
276,3... smd , 
Sendo que o valor de p = 6-1+1 = 6, o valor dos graus de liberdade 
neste exemplo é n-k=24 e %5 Daí que o valor Tabelado é 
2763z 050246 ,),,,(  . O valor 2727292
ˆ
1  DCont yyY , o que pela 
regra de decisão nos leva a rejeitar a 0YH 10 : e concluímos que a média da 
Droga D é significativamente maior que a média do controle, a 5% de 
probabilidade. As comparações entre o controle e a Droga A, e entre as Drogas 
B e D, envolvem intervalos de cinco médias e o calculo do d.m.s. do teste de 
Duncan fica: 
 
 os contrastes são DB3ACont2 YeY   e seus valores de 
suas estimativas em módulo são 
 
Estatística Experimental 
74 
2129819212ˆ 32  YeY e o valor da 
66,8
5
36
226,3... smd . Neste caso 226,3)05,0,24,5( z , 
 portanto, rejeitamos as hipóteses 
0:0: 3020  DBACont YHeYH  e concluímos que 
estes contrastes são significativos a 5% de probabilidade. 
 
Da mesma forma para comparar o controle e a Droga E, as Drogas B e 
A, e as Drogas C e D, todas elas envolvendo quatro médias, temos, 
 
 os contrastes DCABECont YeYY   654 , e seus 
valores de suas estimativas em módulo são 
19291013218,11132ˆ 654  YeYY e o valor da 
48,8
5
36
160,3... smd . Neste caso 160,3)05,0,24,4( z . 
 Portanto rejeitamos as hipóteses 
0:0:;0: 605040  DCDBECont YHeYHYH 
e concluímos que estes contrastes são significativos a 5% de 
probabilidade. 
Este mesmo procedimento pode ser feito para comparar médias de 
tratamentos correspondendo a intervalos que abrangem três médias, sendo 
que neste caso, 066,3)05,0,24,3( z e duas a duas com 9192z 050242 ,),,,(  . (ver 
detalhes destes cálculos no livro da Vieira, S. Estatística experimental 
p. 66). 
O resultado da aplicação do teste de Duncan é representado da seguinte 
maneira: 
 
Tratamentos Controle B C E A D 
médias (2)a (8)ab (10)ab (13)b (21)c (29)d 
 Médias seguidas pela mesma letra minúscula não diferem entre si pelo teste de Duncan a 5% de 
probabilidade. 
 
# usando ao função crd( ) do ExpDes 
# requerendo o ExpDes (atenção !!! se o ExpDes já foi requerido não é 
# necessário requerê-lo novamente 
library(ExpDes) # 
crd(trat,gp,quali=T,mcomp="duncan") 
 
A saída fornecida por este script é 
Analysis of Variance Table 
------------------------------------------------------------------------ 
 DF SS MS Fc Pr>Fc 
Treatament 3 823.75 274.58 3.9939 0.026711 
Residuals 16 1100.00 68.75 
Total 19 1923.75 
------------------------------------------------------------------------ 
CV = 27.87 % 
------------------------------------------------------------------------ 
Shapiro-Wilk normality test 
 
Estatística Experimental 
75 
p-value: 0.2270063 
According to Shapiro-Wilk normality test at 5% of significance, residuals can be 
considered normal. 
------------------------------------------------------------------------ 
Duncan's test 
------------------------------------------------------------------------ 
Groups Treatments Means 
a B 39 
ab C 32 
 b A 26 
 b D 22 
------------------------------------------------------------------------ 
Conclusão (somente para o teste de Duncan): O tratamento B difere 
significativamente dos tratamentos A e D. Reparem que o teste de Duncan 
indicou uma diferença a mais, entre os tratamentos B e A, a qual não foi 
indicada pelo teste de Tukey. 
A função crd( ) do pacote ExpDes fornece outras opções de testes de 
comparações múltiplas para serem colocadas no comando mcomp = " ". O 
teste default é o teste de Tukey ("tukey"). As outras opções são o teste LSD 
equivalente ao teste t-student ("lsd"); o teste LSD com proteção Bonferroni 
("lsdb"); o teste de Duncan ("duncan"); o teste de Student-Newman-Kews 
("snk") e o teste de Scott-Knott ("sk"). 
 
8 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE O USO DE PROCEDIMENTOS DE 
COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS. 
Quando desejamos comparar os diversos tratamentos com um 
tratamento controle ou padrão (testemunha), o teste de Dunnett é o mais 
indicado. Os testes de Duncan e de Tukey têm fundamentos muito 
semelhantes, mas o teste de Duncan é menos conservador e menos exigente 
que o teste de Tukey, isto é, indica diferenças significativas com mais 
facilidade. Vale lembrar também que o teste de Duncan é um teste seqüencial 
e a sua aplicação é mais trabalhosa. Ambos os testes são exatos quando os 
números de repetições por tratamento forem iguais; caso contrário os testes 
são apenas aproximados. O teste t-Sudent é pouco rigoroso quando usado 
indiscriminadamente,devendo ser usado com cautela para testar contrastes 
ortogonais definidos a priori. Já o teste de Scheffé é bastante rigoroso e seu 
uso é desaconselhável (como o teste t-Student) para a comparação entre duas 
médias de tratamentos, sendo mais indicado para testar contrastes que 
envolvem mais de duas médias. 
O pacote "agricolae " também pode ser a utilizado para as 
comparações múltiplas. A seguir é fornecido um script utilizando este pacote 
# instatlando o pacote "agricolae" 
install.packages("agricolae") 
 
# requerendo o pacote “agricolae” 
require("agricolae") 
 
# teste de Tukey 
compara.tukey <- HSD.test(gp.av,"trat") 
# gráfico de barras das médias com as letras segundo com o teste de Tukey 
bar.group(compara.tukey,main="Teste de Tukey", ylim=c(0,50), 
 xlab="Tratamentos (Rações)") 
 
Estatística Experimental 
76 
 
# teste de Duncan 
compara.duncan <- duncan.test(gp.av,"trat") 
 
# gráfico de barras das médias com as letras segundo o teste de Duncan 
bar.group(compara.duncan,main="Teste de Duncan",ylim=c(0,50), 
 xlab="Tratamentos (Rações)") 
 
# teste de Scheffé 
compara.scheffe <- scheffe.test(gp.av,"trat") 
 
# gráfico de barras das médias com as letras segundo o teste de Scheffé 
bar.group(compara.scheffe, main="Teste de Scheffé",ylim=c(0,50), 
 xlab="Tratamentos (Rações)") 
Este script fornece a seguinte saída 
HSD Test for gp 
Mean Square Error: 68.75 
trat, means gp std.err replication 
 A 26 3.820995 5 
 B 39 2.302173 5 
 C 32 4.449719 5 
 D 22 3.911521 5 
alpha: 0.05 ; Df Error: 16 
Critical Value of Studentized Range: 4.046093 
Honestly Significant Difference: 15.00331 
 
Means with the same letter are not significantly different. 
Groups, Treatments and means 
a B 39 
ab C 32 
ab A 26 
 b D 22 
 
 Saída do teste de Duncan 
Duncan's new multiple range test for gp 
Mean Square Error: 68.75 
B C A D
Teste de Tukey
Tratamentos (Rações)
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
a
ab
ab
b
 
Estatística Experimental 
77 
 
trat, means gp std.err replication 
A 26 3.820995 5 
B 39 2.302173 5 
C 32 4.449719 5 
D 22 3.911521 5 
 
alpha: 0.05 ; Df Error: 16 
 
Critical Range 
 2 3 4 
11.11688 11.65753 11.99550 
 
Means with the same letter are not significantly different. 
Groups, Treatments and means 
a B 39 
ab C 32 
 b A 26 
 b D 22 
 
Saída do teste Scheffé 
Scheffe Test for gp 
Mean Square Error : 68.75 
trat, means gp std.err replication 
A 26 3.820995 5 
B 39 2.302173 5 
C 32 4.449719 5 
D 22 3.911521 5 
 
alpha: 0.05 ; Df Error: 16 
Critical Value of F: 3.238872 
Minimum Significant Difference: 16.34646 
 
Means with the same letter are not significantly different. 
Groups, Treatments and means 
A B 39 
ab C 32 
ab A 26 
 b D 22 
B C A D
Teste de Duncan
Tratamentos (Rações)
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
a
ab
b
b
 
Estatística Experimental 
78 
 
B C A D
Teste de Scheffé
Tratamentos (Rações)
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
a
ab
ab
b
 
Estatística Experimental 
79 
4º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
1. Três extratos de origem vegetal foram fornecidos a 20 cães por via oral com a finalidade de testar 
o possível efeito sobre a pressão arterial sistólica desses animais. Os cães foram divididos em grupos 
de cinco animais, recebendo cada grupo um tipo de extrato, ao acaso, B, C ou D, além de um grupo 
controle – A, tratado com placebo. Os dados obtidos foram: 
 
Trat.(extratos) 
 Cães Totais Médias is 
(Controle) A 74,0 71,0 73,0 79,0 68,0 
B 99,0 91,0 94,0 101,0 97,0 
C 100,0 95,0 97,0 99,0 98,0 
D 78,0 74,0 75,0 86,0 72,0 
 Total Geral 
 
(a) Escreva o script da linguagem R para ler os dados da tabela acima e calcular os totais dos 
tratamentos, as médias dos tratamentos, os desvios padrões dos tratamentos, o total geral, 
e a média geral. Apresente os resultados na mesma tabela acima. 
(b) Escrever o modelo matemático do experimento, estabelecer as hipóteses estatísticas H0 e 
H1 e as suposições básicas para se testar estas hipóteses. 
(c) Escreva o script para os cálculos do quadro da análise de variância e apresente monte o 
quadro da anova. Apresente as conclusões. 
(d) Aplique o teste de Tukey para comparar as médias 2 a 2. Apresente um quadro e um 
gráfico de barras das médias juntamente com as letras explicando as diferenças. Tire as 
conclusões. 
(e) Aplique o teste de Duncan para comparar as médias 2 a 2. Apresente um quadro e um 
gráfico de barras das médias juntamente com as letras explicando as diferenças. Tire as 
conclusões. 
(f) Aplique o teste de Dunnett para comparar as médias com o controle A. Comente os 
resultados. 
 
2- A redução da pressão sangüínea sistólica (RPS) depois da administração de drogas para 
hipertensão é um dos indicadores de como os pacientes estão respondendo às drogas. No 
tratamento da hipertensão, os efeitos colaterais associados com as drogas têm um particular 
interesse. Neste estudo, duas drogas X e Y para a redução dos efeitos colaterais de uma droga 
padrão (P) de hipertensão foi avaliada. O estudo foi conduzido em um delineamento inteiramente 
casualizado com cinco tratamentos, assim definidos: 
 
 T1 – Droga padrão (P) 
 T2 – P combinada com uma dose baixa de X (P+DBX) 
 T3 – P combinada com uma dose alta de X (P+DAX) 
 T4 – P combinada com uma dose baixa de Y (P+DBY) 
 T5 – P combinada com uma dose alta de Y (P+DAY) 
 
A redução na pressão sangüínea (mm Hg) em um período de quatro semanas observadas em cães 
experimentais está tabulada abaixo: 
 
Tratamentos 
 
 Repetição 
 1 2 3 4 Total Média 
T1 27 26 21 26 
T2 19 13 15 16 
T3 15 10 10 11 
T4 22 15 21 18 
T5 20 18 17 16 
 
Pede-se: 
a) A análise de variância para testar a hipótese geral de igualdade das médias dos tratamentos; 
b) Aplique os testes t-student e Scheffé nos contrates abaixo: 
 b.1 Existe efeito das drogas combinadas (T2 T3 T4 T5 ) na RPS?. 
 b.2 Existe diferença entre os efeitos médios das doses baixa e alta da droga Y?. 
 b.3 Existe diferença entre a resposta média esperada das duas doses de X?. 
(extraído de Statistical Research Methods in the Life Science, P. V. Rao, pg. 327). 
 
Estatística Experimental 
80 
Aula 5 Testes F planejados 
 No planejamento de um experimento, frequentemente pode-se utilizar o 
teste F para responder algumas questões mais específicas. Isto implica na 
decomposição dos graus de liberdade e da soma de quadrados do efeito dos 
tratamentos em componentes de comparações. Estes componentes podem ser 
classes de comparações ou tendência das respostas. Eles podem ser testados 
pela partição dos graus de liberdade e da soma de quadrados dos efeitos dos 
tratamentos em contrastes simples e específicos e suas soma de quadrados 
associadas. O número de contrastes independentes e ortogonais que podem 
ser definidos é igual ao número de graus de liberdade do efeito do tratamento. 
O poder e a simplicidade deste método não são muito apreciadose 
compreendidos pelos pesquisadores com deveria ser. Esta metodologia 
envolve a definição de contrastes ortogonais, e talvez este termo, cria a 
impressão de que ele é complicado e difícil. Isto esta longe de ser verdade. 
Atualmente este método tem três grandes vantagens: 
 permite responder a questões específicas e importantes a respeito 
dos efeitos dos tratamentos; 
 os cálculos são simples; e, 
 proporciona uma checagem útil da soma de quadrados dos 
tratamentos. 
Esta metodologia também é denominada de “desdobramento, ou a 
decomposição dos graus de liberdade de tratamentos”. 
2 Soma de quadrados de um contraste. 
Quando utilizamos contrastes na decomposição dos graus de liberdade 
dos efeitos dos tratamentos usamos a seguinte definição para o cálculo da 
soma de quadrados: 
 Definição: a soma de quadrados de um contraste é calculada pela 
fórmula 






k
i
i
i
ik
i
i
k
i
ii
i
cr
Y
YSQou
cr
Yc
YSQ
1
2
2
1
2
1
2
)ˆ(
)(
)(
)( , sendo: ic os 
coeficientes do contraste; iY os totais dos tratamentos e r o 
numero de repetições (neste caso r = r1 = . . . = rk ) e 



k
i
iii YcY
1
2)(ˆ é uma estimativa do contraste com base nos totais. 
Observações importantes: 
 todo contraste tem sempre 1 grau de liberdade, assim QM(Yi) = 
SQ(Yi). 
 geralmente, testamos H0: Yi = 0 vs. H1: Yi  0 e para tanto 
usamos a estatística F-Snedecor tendo como denominador o 
quadrado médio do erro experimental (QMR). 
 os contrastes devem ser planejados a priori e podem ser tão 
numerosos quanto acharmos necessário. 
 o número de contrastes ortogonais entre os totais dos tratamentos 
é igual ao número de graus de liberdade associados a essa fonte 
de variação, isto é, se o fator tratamento tem k níveis então 
conseguiremos definir somente (k-1) contrastes ortogonais. 
 
Estatística Experimental 
81 
 se 121 .,..,, kYYY são contrastes ortogonais envolvendo os totais dos 
k níveis do fator, então SQTrYSQYSQYSQ k   )(...)()( 121 
 a ortogonalidade dos contrastes garante a independência entre as 
conclusões. 
Exemplo 1: Foram comparados os efeitos de cinco tratamentos no crescimento 
de alevinos de carpas (mediu-se o comprimento em cm aos dois meses de 
idade) em um DIC. 
T1 – ração comum. (rc) 
T2 – ração comum + esterco. (rce) 
T3 – ração comum + esterco de porco + vitamina B12. (rceB12) 
T4 – ração comum + farinha de osso. (rcfo) 
T5 – ração comum + farinha de osso + vitamina B12. (rcfoB12) 
Dados 
 
Trat. 
Repetições 
1 2 3 4 
T1 4,6 5,1 5,8 5,5 
T2 6,0 7,1 7,2 6,8 
T3 5,8 7,2 6,9 6,7 
T4 5,6 4,9 5,9 5,7 
T5 5,8 6,4 6,8 6,8 
Análise de variância usual. 
Causas da Variação G.L. S.Q. Q.M. F 
Tratamentos 4 7,72 1,91 7,19 
Resíduo 15 4,03 0,27 
Total 19 11,75 
894Fe063F 010154050154 ,, ),;,(),;,(  
Conclusão: o teste é significativo a 1% de probabilidade, portanto 
rejeitamos H0, os tratamentos apresentam efeitos distintos sobre o crescimento 
de alevinos de carpas. Esta é uma informação geral sobre os efeitos dos 
tratamentos. Para obtermos informações detalhadas devemos decompor os 4 
graus de liberdade dos efeitos dos tratamentos em quatro contrastes 
ortogonais. 
Comparações objetivas: 
 rc vs demais. 
   4321543211 44
ˆ YYYYTTTTTY 
 rce vs rcfo 
   543254322
ˆ YYYYTTTTY 
 rce vs rceB12. 
   32323
ˆ YYTTY 
 rcfo vs rcfoB12 
   54544
ˆ YYTTY 
 
Estatística Experimental 
82 
Contraste 
1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 
Y1 4 -1 -1 -1 -1 
Y2 0 +1 +1 -1 -1 
Y3 0 +1 -1 0 0 
Y4 0 0 0 +1 -1 
Usando a fórmula definida acima para o cálculo da soma de quadrados 
dos contrastes temos: 
1) rc vs demais. 
 cmY 6,176,251,226,261,27)0,21(4ˆ1  
78,3
)20(4
)4,17()ˆ(
)ˆ.(.
20)1()1()1()1()4(
2
5
1
2
2
1
1
22222
5
1
2







i
i
i
cr
Y
YQS
c
 
(A obtenção das S.Q. dos outros contrastes são deixadas como exercícios) 
A anova com os testes F planejados ou com os desdobramentos dos 
graus de liberdade do efeito dos tratamentos fica: 
Causas da Variação G.L. S.Q. Q.M. F Pr(>F) 
rc vs demais (Y1) 1 3,87 3,87 14,43 0.00175 
rce vs rcfo (Y2) 1 2,10 2,10 7,83 0.55014 
rce vs rceB12 (Y3) 1 0,03 0,03 0,12 0.00200 
Rcfo vs rcfoB12 (Y4) 1 1,72 1,72 6,38 0.87434 
Tratamentos (4) (7,72) 1,91 7,19 0.00193 
Resíduo 15 4,03 0,27 
Total 19 11,75 
688Fe544F894F063F 050151050151010154050154 ,,;,;, ),;,(),;,(),;,(),;,( 
Conclusões: 
 rc vs demais – o contraste é significativo (p<0,01) e pelo resultado 
do contraste devemos utilizar rce ou rceB12, ou ainda, rcfo ou 
rcfoB12, quando comparada com a rc. 
 rce vs rcfo – o contraste é significativo (p<0,05) e pelo resultado 
do contraste verificamos que rce tem um efeito superior no 
crescimento dos alevinos, quando comparada com rcfo. 
 rce vs rceB12 - o contraste é não significativo (p>0,05), portanto o 
acréscimo de vitamina B12 à rce (rceB12) não afeta 
significativamente, o crescimento dos alevinos, quando comparada 
com a rce. 
 rcfo vs rcfoB12 – o contraste é significativo (p<0,05) e pelo 
resultado do contraste devemos adicionar vitamina B12 à ração 
comum com farinha de osso,quando comparada com a rcfo. 
Script no R para os cálculos descritos acima 
# entrando com o número de repetições 
r <- 4 
 
Estatística Experimental 
83 
 
# criando os níveis dos tratamentos 
trat <- c(rep("T1",r),rep("T2",r),rep("T3",r),rep("T4",r),rep("T5",r)) 
trat 
 
# entrando com os valores 
comp <- c(4.6,5.1,5.8,5.5, # observações do tratamento T1 
 6.0,7.1,7.2,6.8, # observações do tratamento T2 
 5.8,7.2,6.9,6.7, # observações do tratamento T3 
 5.6,4.9,5.9,5.7, # observações do tratamento T4 
 5.8,6.4,6.8,6.8) # observações do tratamento T5 
comp 
 
# fazendo a análise da variância - ANOVA 
comp.av <- aov(comp~factor(trat)) 
 
# imprimindo o quadro da ANOVA 
summary(comp.av) 
 
# Definição do contraste 
c <- c(4,-1,-1,-1,-1) # contraste rc vs demais 
 
# obtenção do QMR no quadro da anova 
qmr <- anova(comp.av)[2,3] 
qmr 
 
# obtenção dos gl do residuo no quadro da anova 
glr <- anova(comp.av)[2,1] 
glr 
 
# cálculo dos totais por tratamento 
t.trat <- tapply(comp,trat,sum) 
t.trat 
 
# estimativa do contraste Y com base nos totais 
y.est <-sum(c*t.trat) 
y.est 
# cálculo da soma de quadrados 
sqy <- (y.est^2)/(r*sum(c^2)) 
sqy 
 
# Cálculo da estatística F 
fc <- sqy/qmr 
fc 
# Cálculo do valor de p associado à estatística fc 
valor.p <- 1-pf(fc,1,glr) 
valor.p 
Para obter os resultados referentes aos outros contrastes basta 
substituir o objeto c na linha # Definição do contraste pelo contraste 
correspondente definido abaixo e executar todo o script novamente 
 
Estatística Experimental 
84 
#c <- c(0, 1, 1,-1,-1) # contraste rce vs rcfo 
#c <- c(0, 1,-1, 0, 0) # contraste rce vs rceB12 
#c <- c(0, 0, 0, 1,-1) # contraste rcfo vs rcfoB12 
Estes resultados podem ser obtidos facilmente com o pacote gmodels 
# instalando o pacote gmodels 
install.packages("gmodels") 
 
# requerendo o pacote para o ambiente R 
require(gmodels) 
 
# juntando os 4 contrastes no objeto cte 
cte <-rbind(c(4,-1,-1,-1,-1), c(0, 1, 1,-1,-1), 
 c(0, 1,-1, 0, 0), c(0, 0, 0, 1,-1)) 
 
# calculando a anova com desdobramento dos gl dos tratamentos 
comp.av <- aov(comp ~ trat,contrast = list(trat = make.contrasts(cte))) 
 
# imprimindo o quadro da ANOVA 
summary(comp.av, split = list(trat = 1:4)) 
Quando os tratamentos e/ou fatores utilizados num experimento são de 
natureza qualitativa (raça, sexo, cultivares, tratos culturais etc.) os testes de 
comparações de médias (testet-Student, testes de Tukey, Duncan, Scheffé 
etc.) se aplicam sem restrições. A esses casos se equiparam os fatores ou 
tratamentos quantitativos (doses de uma droga, tempo, etc.) quando há só 
dois níveis (presença e ausência, por exemplo). O mesmo não acontece, 
porém, quando o tratamento ou fator quantitativo tem mais de dois níveis, por 
exemplo: 
 doses crescentes de cobre na alimentação de galinhas (0, 400 e 
800 ppm); 
 doses crescentes de uma droga; 
 0%, 20%, 40% e 60% de substituição de um ingrediente da ração 
por farelo de soja. 
Em tais situações é essencial avaliar o comportamento da variável resposta ao 
longo dos níveis do fator, através de uma equação de regressão. Por exemplo: 
a equação que associa a freqüência cardíaca em função de doses de uma 
droga é quase sempre desconhecida, mas em geral, pode ser bem estimada 
por meio de uma equação polinomial do tipo: 
... 33
2
210 xaxaxaaY , 
sendo Y, a resposta avaliada e x os níveis quantitativos do fator (tratamentos). 
O ajuste e a interpretação da equação de regressão quando o polinômio 
é de grau muito elevado são tarefas bastante complexas. Porém, quando os 
níveis do fator quantitativo são igualmente espaçados, o estudo do 
comportamento das médias pode ser feito utilizando o método dos polinômios 
ortogonais, que será apresentado a seguir através de um exemplo. 
Exemplo: os efeitos de quatro tratamentos no ganho de peso (g) de 
alevinos de carpas foram comparados em um DIC. 
T1 – ração comum. 
T2 – ração comum + 10 mg de B12. 
 
Estatística Experimental 
85 
T3 – ração comum + 20 mg de B12. 
T4 – ração comum + 30 mg de B12. 
Dados 
 
Trat. 
Repetições 
1 2 3 4 
0 6,80 6,50 6,40 6,50 
10 7,90 6,60 6,80 6,20 
20 8,30 8,40 8,60 9,20 
30 9,50 9,80 10,00 10,70 
 


médiasduasmenospeloH
H
1
43210
:
: 
 
 
Análise de variância usual. 
 
955F493F 010123050123 ,, ),;,(),;,(  
O teste F é significativo a 1% de probabilidade, portanto rejeita-se Ho, os 
tratamentos apresentam efeitos distintos sobre o crescimento dos alevinos de 
carpas. Como os níveis são eqüidistantes, 0, 10, 20 e 30 mg a decomposição 
dos graus de liberdade pode ser feita com uso de polinômios ortogonais, 
usando-se os coeficientes dos contrastes encontrados em tabelas. As tabelas 
são construídas em função do número de tratamentos, denominados níveis. 
Assim, como temos 4 tratamentos, temos 4 níveis e o polinômio máximo é o de 
grau 3. Consultando as tabelas dos coeficientes dos polinômios ortogonais 
(Gomes P., 1966, p. 314, Sampaio, I.B.M, 1998, p. 215) , podemos montar a 
seguinte tabela 
 
 
Assim, para o efeito linear temos: 
 
40,48
)00,40)(3()50,34)(1()50,27)(1()20,26)(3(
)3()1()1()3(ˆ 4321


 TTTTYLinear
28,29
)20)(4(
)40,48(
).(.
2
LinearYQS 
(A obtenção das SQ dos efeitos quadráticos e cúbicos são deixados como exercício) 
 
 
Causas da Variação G.L. S.Q. Q.M. F 
Tratamentos 3 31,03 10,02 41,3 
Resíduo 12 2,95 0,25 
Total 15 33,98 
Tratamentos 
(Totais) 
Coeficientes para 4 níveis 
1º grau 2º grau 3º grau 
T1=26,20 -3 +1 -1 
T2=27,50 -1 -1 +3 
T3=34,50 +1 -1 -3 
T4=40,00 +3 +1 +1 

I
Ic
2
 
20 4 20 
 
Estatística Experimental 
86 
A análise de variância com desdobramento dos graus de liberdade dos 
tratamentos por polinômios ortogonais. 
Causas da Variação G.L. S.Q. Q.M. F 
Regressão linear 1 29,28 29,28 119,32 
Regressão Quadrática 1 1,10 1,10 4,49 
Regressão Cúbica 1 0,65 0,65 2,64 
Tratamentos (3) (31,03) 10,34 42,15 
Resíduo 12 2,95 0,25 
Total 15 33,98 
339Fe754F955F493F 010121050121010123050123 ,,;,;, ),;,(),;,(),;,(),;,(  
Conclusão: somente a componente do 1º grau foi significativa (p<0,01), 
ou seja, a diferença entre os valores médios dos tratamentos está sendo 
explicada por uma equação linear, bxaY  , cujos parâmetros a e b são 
estimados por: 
 



 



 



k
i
k
i
i
i
k
i
k
i
k
i
ii
ii
k
X
X
k
YX
YX
b
1
1
2
2
1
1 1
)(
ˆ e XbYa  ˆˆ , 
sendo: aeb ˆˆ , os estimadores de mínimos – quadrados de b e a, 
respectivamente, xi = 0, 10, 20 e 30 as doses de vitamina B12; iy = 6,55, 6,80, 
8,63 e 10,00 são os comprimentos médios dos alevinos, para i = 1, 2, 3, 4. 
Utilizando essas fórmulas, obtemos a equação 
 X12201686Y ,,ˆ  
Script no R para os cálculos acima 
# entrando com o número de repetições 
r <- 4 
 
# criando os níveis dos tratamentos 
trat <- c(rep(0,r),rep(10,r),rep(20,r),rep(30,r)) 
trat 
 
# entrando com os valores 
g.peso <- c(6.80, 6.50, 6.40, 6.50, # observações do tratamento 1 
 7.90, 6.60, 6.80, 6.20, # observações do tratamento 2 
 8.30, 8.40, 8.60, 9.20, # observações do tratamento 3 
 9.50, 9.80, 10.00, 10.70) # observações do tratamento 4 
 
#imprimindo o resumo do arquivo 
head(g.peso) 
 
# calculando o quadro da ANOVA 
gpeso.av <- aov(comp~factor(trat)) 
 
# imprimindo o quadro da anova 
anova(comp.av) 
# obtenção do QMR no quadro da anova 
qmr <- anova(comp.av)[2,3] 
 
Estatística Experimental 
87 
qmr 
 
# obtenção dos gl do residuo no quadro da anova 
glr <- anova(comp.av)[2,1] 
glr 
 
# cálculo dos totais por tratamento 
t.trat <- tapply(g.peso,trat,sum) 
t.trat 
 
# Definição do contraste 
c <- c(-3,-1,1,3) # efeito linear 
 
# estimativa do contraste linear com base nos totais 
y.est <-sum(c*t.trat) 
y.est 
 
# cálculo da soma de quadrados 
sqy<- (y.est^2)/(r*sum(c^2)) 
sqy 
 
# calculo da estatística F 
fc <- sqy/qmr 
fc 
 
# calculo do valor de p da estatística fc 
valor.p <- 1-pf(fc,1,glr) 
valor.p 
 
Para obter os resultados referentes aos outros contrastes basta 
substituir o objeto c na linha # Definição do contraste pelo contraste 
correspondente definido abaixo e executar todo o script novamente 
#c <- c(1,-1,-1,1) # efeito quadrático 
#c <- c(-1,3,-3,1) # efeito cúbico 
 
Este quadro da anova pode ser obtido facilmente com o pacote gmodels. 
Não há necessidade de instalar o pacote gmodels novamente, dado que ele já 
foi instalado no script anterior. Basta requerê-lo. 
Script no R utilizando o pacote gmodels 
# requerendo o pacote para o ambiente R 
require(gmodels) 
 
# juntando os 3 contrastes no objeto cte 
cte<-rbind(c(-3, -1, 1, 3), c(1, -1, -1, 1), c(-1, 3, -3, 1)) 
 
# cálculando a anova com desdobramento dos gl dos tratamentos 
gpeso.av <- aov(g.peso ~ trat,contrast = list(trat = make.contrasts(cte))) 
# imprimindo o quadro da ANOVA 
summary(gpeso.av, split = list(trat = 1:4)) 
 
Estatística Experimental 
88 
Este quadro da anova com os desdobramentos dos graus de liberdade 
dos tratamentos junto com as equações linear, quadrática e cúbica são 
facilmente obtidos com o pacote ExpDes. 
Script no R utilizando o pacote ExpDes 
 
#requrendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
 
#quadro da anova com o desdobramento dos graus de liberdade dos trat 
crd(trat,g.peso,quali=F) 
 
Fazendo o gráfico da reta de regressão 
 
# entrando com os valores da dose (x) 
dose<-c(0,10,20,30) 
# cálculo das médias dos tratamentos (y) 
m.trat<-tapply(g.peso,trat,mean) 
m.trat 
 
# gráfico de dispersão (dose x ganho de peso) 
plot(dose,m.trat,pch=16, col="black",ylab="ganho de peso (g)") 
 
# ajustando a reta de regressão 
reg.lin<-lm(m.trat~dose) 
 
#imprimindo os resultados do ajuste 
summary(reg.lin) 
 
# colocando a reta estimada no gráfico de dispersão 
abline(reg.lin,col="blue",lwd=2) 
 
Estatística Experimental 
89 
5º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
1) Num experimento estudou-se a adição de triguilho, a uma dieta básica de milho e farelo de 
soja na alimentação se suínos, mestiços ( Landrace x Large White), com peso inicial de 10,5 kg 
duranteum período experimental de 40 dias, mantidos em gaiolas metálicas de 1,90 x 0,74 m. 
O delineamento experimental foi o inteiramente casualizado com 5 tratamentos e 8 repetições 
e a parcela experimental representada por 4 animais (dois machos castrados e duas fêmeas). 
Os tratamentos consistiram na inclusão de 0; 7,5; 15,0; 22,5; e 30% de triguilho em dietas à 
base de milho e soja. 
Os ganhos de peso médio diário em gramas (média dos 4 animais na parcela) foram: 
Tratamentos Repetições Total 
% de triguilho 1 2 3 4 5 6 7 8 
 0,0 340 320 310 350 320 340 330 340 2650 
 7,5 360 350 350 360 370 380 340 350 2860 
15,0 370 370 380 390 360 370 360 380 2980 
22,5 380 390 380 390 360 360 360 390 3010 
30,0 400 390 410 420 380 390 410 420 3220 
 14720 
A análise de variância preliminar é a seguinte: 
Causa da variação GL S. Quadrados Q. M F 
Tratamentos 4 21915.00 5478,55 31,30** 
Resíduo 35 6125,00 175,00 
Total 39 
** Significativo p<0,01 
a- Escrever o script na linguagem do R para reproduzir o quadro da anova acima. 
b- Escrever também o script para montar a tabela de análise de variância com desdobramento 
dos graus de liberdade de tratamentos por polinômios ortogonais. 
Causa da variação GL S. Q. Q. M. F Vapor de p 
Tratamentos 21915.00 5478,55 31,30** 
Y1 (Linear) 
Y2 (Quadrático) 
Y3 (Cúbico) 
Y4 (4ª grau) 
Resíduo 6125,00 175,00 
Total 0,3426 
c- Tirar as conclusões práticas possíveis para este experimento. 
d- Calcular as médias e os erros padrões das médias dos tratamentos e o coeficiente de 
determinação e de variação do experimento. 
Coeficientes dos polinômios ortogonais para 5 tratamentos: 
 Linear: -2 -1 0 1 2 
 Quadrático. : 2 -1 -2 -1 2 
 Cúbico: -1 2 0 -2 1 
 4º Grau : 1 -4 6 -4 1 
 2) Num experimento inteiramente casualizado de competição de linhagens de aves visando o 
ganho de peso aos 60 dias de idade, foram utilizados 4 tratamentos e 6 repetições. Os 
tratamentos, com as respectivas médias de ganho de peso foram as seguintes: 
 1- ARBOR ACRES kg 81,11 y 
 2- KIMBER 44 kg 59,12 y 
 3- PILCH kgy 61,13  
 4- COBBS kg 71,14 y 
Para a análise de variância dos ganhos de peso, obteve-se: S.Q. Tratamentos = 0,2266 e 
S.Q. Total = 0,3426 
a) Sejam os contrastes: 
43211  y ; 212  y ; 433  y 
Verificar se estes contrastes são ortogonais entre si. 
 
 
 
b) Preencher o quadro da anova abaixo: 
 
Estatística Experimental 
90 
F.V. GL S. Q. Q. M. F Vapor de p 
Tratamentos 0,2266 
Y1 
Y2 
Y3 
Resíduo 
Total 0,3426 
c) Apresente as conclusões destes testes. 
d) Calcular R
2
 e o C.V. deste experimento e concluir. 
3- Num experimento inteiramente casualizado, com 5 tratamentos e 6 repetições, estudou-se o 
efeito da infestação de ovinos e caprinos por larvas de Gaigeria pachyscelis (Nematoda: 
Ancylostomatoidea). 
Os tratamentos aplicados foram: 
T1 - infestação com 150 larvas por animal 
T2 - infestação com 300 larvas por animal 
T3 - infestação com 600 larvas por animal 
T4 - infestação com 1200 larvas por animal 
T5 - infestação com 2400 larvas por animal. 
A análise de variância do número de semanas decorridas até a morte do animal 
apresentou os seguintes resultados. 
S.Q. Tratamentos = 5,7204 
S.Q. Total =13,1829 
Sabendo-se, também que as médias do número de semanas, decorridas até a morte do 
animal, por tratamento foram: 
 2,71=y 3,22=y 3,55=y 16,4y 28,4 54321  y 
Pede-se: 
a) Montar a análise de variância e concluir. 
F.V. GL S. Q. Q. M. F Vapor de p 
Tratamentos 5,7204 
Resíduo 
Total 13,1829 
b) Verificar pelo teste de “Tukey”, “Duncan” e “Scheffé” ao nível de 5% de probabilidade, quais 
as médias de tratamentos que estão diferindo significantemente entre si. 
 
Estatística Experimental 
91 
Aula 6 Delineamento em blocos casualizados (DBC) 
Suponha que um experimentador esteja interessado em estudar os 
efeitos de 3 diferentes dietas. A primeira providência do pesquisador foi a de se 
inteirar a respeito da natureza do material experimental disponível. Feito isto, 
constatou que ele disporia de 12 animais com aproximadamente o mesmo 
peso. Entretanto, estes 12 animais eram provenientes de 4 ninhadas, cada 
uma contendo três animais. Dentro de uma ninhada, os três animais foram 
sorteados às três dietas. Os animais foram colocados em 12 baias idênticas e 
alimentados com as dietas sorteadas, em idênticas condições. Mediu-se, 
então, o ganho de peso desses animais depois de 12 semanas. Os dados 
obtidos são apresentados no quadro abaixo: 
Dieta Ninhada 
 1 2 3 4 
 
Total 
A 28,7 29,3 28,2 28,6 114,8 
B 30,7 34,9 32,6 34,4 132,6 
C 31,9 34,2 34,9 35,3 136,3 
Total 91,3 98,4 95,7 98,3 383,7 
Organizando as observações em arquivos com extensão .xls ou .txt 
 dieta.xls dieta.txt 
dieta ninhada gpeso 
A Ninhada1 28.7 
A Ninhada2 29.3 
A Ninhada3 28.2 
A Ninhada4 28.6 
B Ninhada1 30.7 
B Ninhada2 34.9 
B Ninhada3 32.6 
B Ninhada4 34.4 
C Ninhada1 31.9 
C Ninhada2 34.2 
C Ninhada3 34.9 
C Ninhada4 35.3 
 
dieta ninhada gpeso 
A Ninhada1 28.7 
A Ninhada2 29.3 
A Ninhada3 28.2 
A Ninhada4 28.6 
B Ninhada1 30.7 
B Ninhada2 34.9 
B Ninhada3 32.6 
B Ninhada4 34.4 
C Ninhada1 31.9 
C Ninhada2 34.2 
C Ninhada3 34.9 
C Ninhada4 35.3 
 (Dica: primeiro digite os dados no excel, para depois colocá-lo no bloco de notas) 
 
O delineamento experimental para este ensaio de dietas é um exemplo 
de um Delineamento em Blocos Casualizados com três tratamentos e quatro 
blocos. Os tratamentos são níveis de um fator experimental, as três dietas; os 
blocos são os níveis do fator confundido, as ninhadas. Dado que os animais em 
diferentes ninhadas respondem diferentemente a uma dada dieta, a ninhada é 
considerada, um fator de confundimento. As 12 unidades experimentais 
(animais) são agrupados em 4 blocos, de tal forma que, dentro de cada grupo, 
três unidades são afetadas pelo mesmo nível do fator de confundimento. Por 
causa da porção das características inerentes aos animais dentro de uma 
mesma ninhada (bloco), suas respostas serão muito similares, enquanto que 
as respostas dos animais pertencentes a diferentes ninhadas irão variar muito; 
isto é, as unidades experimentais são mais homogêneas dentro dos blocos do 
que entre os blocos. Assim, resumidamente, podemos definir que um DBC é 
um delineamento no qual as unidades (unidades experimentais) às quais os 
tratamentos são aplicados são subdivididos em grupos homogêneos, 
denominados de blocos, tal que o número de unidades experimentais em um 
bloco é igual ao número (ou algum múltiplo do número) de tratamentos 
estudados. Os tratamentos são então sorteados às unidades experimentais 
 
Estatística Experimental 
92 
dentro de cada bloco. Deve-se ressaltar que cada tratamento aparece em cada 
bloco, e todo bloco recebe todos os tratamentos. Quando se usa o DBC, o 
objetivo é isolar e remover do termo de erro (resíduo) a variação atribuída ao 
bloco, garantindo assim, que as médias dos tratamentos estão livres do efeito 
dos blocos. A efetividade deste delineamento depende da habilidade em se 
obter blocos homogêneos de unidades experimentais. A habilidade para formar 
blocos homogêneos depende do conhecimento que o pesquisador tem do 
material experimental. Quando os blocos são usados adequadamente, oQMR 
(quadrado médio do resíduo) no quadro da ANOVA será reduzido, a estatística 
F aumentará, e a chance de se rejeitar H0 (hipótese de nulidade) será maior. 
Em experimentos com animais, quando suspeita-se que diferentes raças 
de animais responderá diferentemente ao mesmo tratamento, a raça do animal 
pode ser usada como um fator a ser considerado na formação dos blocos. O 
DBC pode, também, ser empregado efetivamente quando um experimento 
deve ser conduzido em mais de um laboratório (bloco) ou quando vários dias 
(blocos) são requeridos para a realização do experimento. No DBC temos os 
três princípios básicos da experimentação: repetição, casualização e 
controle local. 
Vantagens do DBC 
 Com o agrupamento das parcelas, geralmente se obtém resultados 
mais precisos que aqueles obtidos num DIC. 
 Desde exista material experimental suficiente, o delineamento será 
sempre balanceado, podendo-se incluir qualquer número de 
tratamentos. 
 A análise estatística é bastante simples. 
 Se a variância do erro experimental é maior para alguns 
tratamentos que para outros, pode-se obter um erro não viesado 
para testar qualquer combinação específica das médias dos 
tratamentos. 
 
Principal desvantagem 
Ocorre quando da perda de parcela(s) em algum tratamento. Apesar de 
existir um método apropriado de estimação desses valores, há a perda de 
eficiência na comparação de médias envolvendo esses tratamentos. 
 
 Esquematicamente para um DBC com 4 tratamentos e 3 
blocos (classes de idade) temos: 
 
 
 
 
 
1) Unidades experimentais heterogêneas (Fonte: Vieira, 2006, pag. 15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
93 
2) Constituição dos 3 blocos. ( 3 classes de idades ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Delineamento de um experimento em blocos casualizados. 
 
 
2 Organização dos dados no DBC. 
Vamos considerar k -tratamentos; r – blocos e ijy é o valor observado na 
parcela que recebeu o tratamento i e se encontra no bloco j. Assim, um quadro 
para representar os valores amostrais de um DBC pode ser da forma abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
94 
 Blocos 
Trat. 
1 2 3 ... j ... r Total Média 
1 Y11 Y12 Y13 ... ... ... Y1r Y1+ 
1Y 
2 Y21 Y22 Y23 ... ... ... Y2r Y2+ 
.2Y 
3 Y31 Y32 Y33 ... ... ... Y3r Y3+ 
3Y 
. 
. 
. 
i 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
... 
... 
... 
Yij 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
k Yk1 Yk2 Yk3 ... ... ... Ykr Yk+ 
kY 
TOTAL Y+1 Y+2 Y+3 ... Y+j ... Y+r Y++ 
3 Modelo matemático 
rjekiY ijijij ,,2,1,,2,1    
 sendo: 
.
;0
;0,
;
;
1
1
aleatórioerrodoefeitooé
comtratamentoésimoidoefeitoé
comblocoésimojdoefeitooé
sobservaçõeastodasacomumgeralmédiaé
blocoésimojnotratamentoésimoiorecebeuqueobservaçãoay
ij
r
j
ii
r
j
jj
ij











 
4 Suposições do modelo. Neste modelo, 
 cada ijy observado constitui uma amostra aleatória independente 
de tamanho 1 de cada uma das kr populações 
 os i j são independentes e normalmente distribuídos com média 0 
e variância 2 , ou seja, ),(~
2
ij 0N  . Isto implica em que as kr 
populações são normalmente distribuídas com média ij e a 
mesma variância 2 , ou seja, ),(~
2
ijij Ny  ; 
 os efeitos de blocos e tratamentos são aditivos. Esta suposição 
pode ser interpretada como não existe interação entre tratamentos 
e blocos. Em outras palavras, uma particular combinação bloco-
tratamento não produz um efeito que é maior que ou menor que a 
soma dos efeitos individuais. 
 
 
4 Hipótese estatística 
 
Podemos testar 
0:
...,,2,1,0:
1
0


i
i
ostodosnemH
kicomH


 ou 
jiH
H
ji
k




:
0...:
1
210
 
 
Estatística Experimental 
95 
Geralmente o teste de hipótese com relação aos efeitos de blocos não é 
feito por dois motivos: primeiro o interesse principal é testar os efeitos de 
tratamento, o propósito usual dos blocos é eliminar fontes estranhas de 
variação. Segundo, embora as unidades experimentais sejam distribuídas 
aleatoriamente aos tratamentos, os blocos são obtidos de uma maneira não 
aleatória. 
 
6 Partição da soma de quadrados 
Voltemos ao quadro de representação das observações no DBC no item 
2 
Podemos identificar os seguintes desvios: 
  yy ij , como o desvio de uma observação em relação a média 
amostral geral; 
  iij yy , como o desvio da observação em relação à média de seu 
grupo ou do i-ésimo tratamento; 
   yy i , como o desvio da média do i-ésimo tratamento em 
relação á média geral. 
   yy j como o desvio da média do j-ésimo bloco em relação á 
média geral. 
Consideremos a identidade 
)()()()(   yyyyyyyyyy jiijjiij , 
a qual representa a “ a variação de uma observações em relação à média 
geral amostral como uma soma da variação desta observação em relação à 
média de seu grupo, com a variação desta observaçãoem relação à média do j-
ésimo bloco em que se encontra esta observação, com a variação do erro 
experimental “. Elevando-se ao quadrado os dois membros da identidade 
acima e somando em relação aos índices i e j, obtemos: 
,)(
)()()(
1 1
2
1 1
22
1 1 1 1
2

 
 

 

   



k
i
r
j
jiij
k
i
r
j
j
k
i
r
j
k
i
r
j
iijij
yyyy
yyyyyy
 
Descrição de cada termo da expressão acima. O termo 

 

k
i
r
j
ij
i
yy
1 1
2)( , 
é denominado de Soma de Quadrados Total e vamos denotá-lo por SQT.O 
número de graus de liberdade associado à SQT é kr - 1, ou N – 1, pois temos N 
observações e a restrição 

 
 
k
i
r
j
ij
i
yy
1 1
0)( . 
O termo: 
 

 
 
k
i
r
j
i
i
yy
1 1
2)( , 
é denominado de Soma de quadrados de tratamentos, representada por 
SQTr, e é uma medida da variabilidade entre os tratamentos. Quanto mais 
 
Estatística Experimental 
96 
diferentes entre si forem as médias dos tratamentos, maior será a SQTr. Desde 
que temos k tratamentos e a restrição de que 
0yy
k
1i
i 

 )( , 
a SQTr está associada a k-1 graus de liberdade. 
O termo 

 
 
k
1i
r
1j
2
j
i
yy )( , 
é denominado de Soma de quadrados de blocos, representada por SQB, e é 
uma medida da variabilidade entre os blocos. Quanto mais diferentes entre si 
forem as médias dos blocos, maior será a SQB, justificando assim, a utilização 
do delineamento em blocos. Desde que temos r blocos e a restrição 
0)(
1



r
j
j yy , 
a SQB está associada a r-1 graus de liberdade. 
Finalmente, o termo 
,)(
1 1
2
 
 
k
i
r
j
jiij yyyy 
 
é denominado SQR. Notem que a magnitude da SQR não depende da 
diferença entre as médias dos tratamentos. Os graus de liberdade associada à 
SQR é (k-1)(r-1), isto é, o produto dos graus de liberdade dos tratamentos e 
blocos. Assim, 
SQRSQTrSQBSQT  , 
e os graus de liberdade associados a cada membro da equação acima fica 
total blocos tratamentos resíduo 
 kr-1 = (r-1) + (k-1) + (k-1)(r-1) 
 
7 Quadrado médios. 
Dividindo a SQB, SQTr e SQR pelos correspondentes graus de 
liberdade, obtemos, respectivamente o Quadrado Médio Blocos (QMB), o 
Quadrado Médio Entre Tratamentos (QMTr) e o Quadrado Médio Resíduo, 
isto é, 
)1)(1(11 





rk
SQR
QMRe
k
SQTr
QMTre
r
SQB
QMB 
 
8 Estatística e região crítica do teste 
A estatística para o teste é 
QMR
QMTr
Fc  , 
a qual, deve ser próximo de 1 se H0 for verdadeira, enquanto que valores 
grandes dessa estatística são uma indicação de que H0 é falsa. A teoria nos 
assegura que Fc tem, sob H0 distribuição F – Snedecor com (k -1) e (k-1)(r-1) 
graus de liberdade no numerador e no denominador, respectivamente. 
Resumidamente,indicamos: 
0)),1)(1(,1( ,~ HsobFF rkkc  . 
Rejeitamos H0 para o nível de significância  se 
 
Estatística Experimental 
97 
)),1)(1(,1(  rkkc FF , 
sendo, )),)((,( 1r1k1kF  o quantil de ordem )( 1 da distribuição F-Snedecor 
com (k -1) e (k-1)(r-1) graus de liberdade no numerador e no denominador. 
 
9 Quadro de análise de variância (anova) 
Dispomos as expressões necessárias ao teste na Tabela abaixo, 
denominada de Quadro de Análise de Variância (ANOVA). 
Fonte de variação gl SQ QM F 
 
Blocos 
 
r – 1 kr
Y
k
Yr
j
j
2
1
2
)( 


 
1r
SQB

 
 
 
 Tratamentos 
 
k - 1 kr
Y
r
Yk
i
i
2
1
2 )( 

  
 
1k
SQTr

 
QMR
QMTr 
 
Resíduo 
 
(k-1)(r-1) 
 
  
))(( 1r1k
SQR

 
 
TOTAL 
 
kr – 1 

 

k
i
r
J
ij
kr
Y
Y
1 1
2
2 )( 
Pode-se provar que: 
 2QMRE )( , ou seja, QMR é um estimador não viesado da 
variância 2 ; 
 


k
i
i
k
r
QMTrE
1
2
)1(
)(  , ou seja, QMTr é um estimador não 
viesado da variância 2 se a hipótese 0H k210   ...: é 
verdadeira. 
 


r
1j
j
2
1r
k
QMBE 
)(
)( 
 
10 Detalhes computacionais 
Apresentaremos alguns passos que facilitam os cálculos das somas de 
quadrados da ANOVA. 
 Calcule a correção para a média 
N
y
CM
2)(  ; 
 Calcule a Soma de Quadrados dos Totais (SQT) 
CMySQT
k
1i
r
1j
2
ij 
 
; 
 Calcule a Soma de Quadrados Entre os Tratamentos (SQTr) 
CM
r
Y
SQTr
r
1i
2
i 

 ; 
 Calcule a Soma de Quadrados de blocos (SQB) 
CM
k
Y
SQB
r
1j
2
j



; 
 Calcule a Soma de Quadrados Residual (SQR) pela diferença, isto 
é, SQBSQTrSQTSQR  ; 
 
Estatística Experimental 
98 
 Calcule o Quadrado Médio entre os Tratamentos (QMTr) e o 
Quadrado Médio Residual (QMR) 
))((
,
1r1k
SQR
QMRe
1k
SQTr
QMTr
1r
SQB
QMB





 
 Calcule Fc para tratamentos 
QMR
QMB
Fe
QMR
QMTr
F cBlcTr  
11 Exemplo 1 
Vamos considerar os dados apresentados no item1. 
Os cálculos para montar-mos o quadro da ANOVA são: 
k = 3, r = 4, e kr = N =(3)(4) =12. Então 
 Graus de liberdade: 
6231r1kse3141rBlo
2131kTrat111121431N1krTotal


))(())((Recos
.;))((
2012275
12
80383
CM
2
,
),(
 
 
548481122683512353
CM335329728SQT 222
,,,
),(...),(),(


 
 
066681122688712334
CM
4
3136
4
6132
4
8114
SQTr
222
,,,
),(),(),(


 
 
071181122688812279
CM
3
398
3
795
3
498
3
391
SQB
2222
,,,
),(),(),(),(


 
 417071106665484SQBSQTrSQTSQR ,,,,  
 241
6
417
QMRe693
3
0711
QMB0333
2
0666
QMTr ,
,
,
,
,,
,

992
241
693
QMR
QMB
Fe6426
241
0333
QMR
QMTr
F cBlcTr ,
,
,
,
,
,
 
Organizando estes resultados no Quadro da ANOVA, temos: 
Fonte de variação g.l. SQ QM Fc 
Dietas 2 66,06 33,03 26,75 
Ninhadas 3 11,07 3,69 2,99 
Resíduo 6 7,41 1,235 
Total 11 84,54 
Das tabelas das distribuições F, temos que 
9210Fe145F 0106205062 ,, ),,,(),,,(  . O valor FcTr = 26,75 é maior do que estes 
valores tabelados, então rejeitamos a hipótese nula H0 para um nível 
%,, 1ou010 de probabilidade (se é significativo a 1%, também é 
significativo a 5%), e concluímos que existe uma diferença entre as três dietas. 
As conclusões sobre as diferenças entre os efeitos de ninhadas (blocos) 
podem ser baseadas no Fc para blocos (FcBl = 2,98 com p=0,118). Os 
resultados indicam que não existe uma variação significativa entre as ninhadas 
nos ganhos de peso. 
 
Estatística Experimental 
99 
O teste F da ANOVA para os blocos é um teste aproximado mesmo 
quando as suposições são satisfeitas. Alguns pesquisadores sugerem que não 
se considere o efeito colocado nos blocos em futuros estudos similares, 
somente se o valor mínimo significativo (valor de p) associado à estatística 
calculada for maior ou igual a 0,25 ),( 250p  . Para estes dados, FcBl = 2,99 
tem um p = 0,118. Portanto, mesmo que existe insuficientes evidências para 
rejeitar 0H j0 : , ou seja, não existe efeito de ninhada, não é uma boa idéia 
ignorar os efeitos de ninhada em futuros estudos. 
O script no R para obter os resultados acima é apresentado abaixo 
# lendo o arquivo dieta.txt e armazenando no objeto dados 
dados.ex1 <- read.table("dieta.txt",h=T) 
head(dados.ex1) 
 
Se quisermos calcular a média de gpeso e digitarmos o comando 
mean(gpeso) 
 
o programa dará como resposta: 
Erro em mean(gpeso) : objeto 'gpeso' não encontrado 
 
É necessário mostrar o caminho de procura dos objetos. Ou seja, quando voce 
usa um nome do objeto o R vai procurar este objeto no caminho indicado, na 
ordem apresentada. Pois bem, podemos “adicionar” um novo local neste 
caminho de procura e este novo local pode ser o objeto dados.ex1. Digite o 
seguinte comndo e compare com o anterior: 
 
# anexando o objeto dados.ex1 no caminho de procura 
attach(dados.ex1) 
 
# cálculo da média da coluna com dados de ganho de peso (gpeso) 
mean(gpeso) 
 
# mostra o caminho agora com o objeto dados.ex1 incluído 
search() 
 
# gráficos box-plot para cada dieta com a cor 5 
boxplot(gpeso~dieta,col=5) 
 
# estatisticas descritivas do box-plot de cada dieta 
e.des<- tapply(gpeso,dieta,summary) 
e.des 
 
# média do ganho de peso de cada dieta 
m.gpeso <- tapply(gpeso,dieta,mean) 
m.gpeso 
 
# desvio padrão do ganho de peso de cada dieta 
sd.gpeso <- tapply(gpeso,dieta,sd) 
sd.gpeso 
 
# análise de variância 
 
Estatística Experimental 
100 
gpeso.av <- aov(gpeso~factor(ninhada) + factor(dieta)) 
summary(gpeso.av) 
 
# outra forma de se obter as médias do gpeso das dietas e das ninhadas 
model.tables(gpeso.av,type="means") 
 
# efeitos das dietas e das ninhadas 
model.tables(gpeso.av,type="effects") 
 
# obtendo os resíduos de cada observação 
residuos <- resid(gpeso.av) 
residuos 
 
# gráfico Q-Q da normalidade 
qqnorm(residuos,pch=16,col=1) 
qqline(residuos,lwd=2,col=2) 
 
# teste de normalidade de Shapiro-Wilks para os resíduos 
shapiro.test(residuos) 
 
# teste de Bartlett para a igualdade das variância populacionais das dietas 
bartlett.test(gpeso~factor(dieta)+factor(ninhada)) 
 
Outra forma de se obter estes resultados é pelo pacote ExpDes com a 
função rbd( ) 
# requerendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
 
# anova pelo ExpDes 
rbd(dieta,ninhada,gpeso,quali=T,mcomp="tukey") 
 
Atenção! Para retirar o objeto do caminho de procura basta digitar 
detach(dados.ex1) 
# mostra o caminho agora com o objeto dados.ex1 excluído 
search() 
NOTA IMPORTANTE: Sempre use detach () antes de anexar um novo arquivo 
de dados, especialmente se as colunas dos dois arquivos tem nomes idênticos, 
se não haverá problemas! 
 
12 Estimação de uma parcela perdida 
Um problema relativamente sério deste tipo de delineamento ocorre 
quando perdemos uma (ou mais) parcela(s) durante o desenvolvimento do 
experimento. Vamos considerar o seguinte exemplo: 
Exemplo: 
 Classe de idade (Blocos) 
Trat. 1 2 3 4 Total 
A 15 11 20 18 64 
B 22 31 45 26 124 
C 33 37 * 30 100 
D 44 31 49 34 158 
E 37 30 36 21 124 
Total 151 140 150 129 570 
 
Estatística Experimental 
101 
 
A generalização destes dados pode ser representada no quadro abaixo 
 Blocos 
Trat. 1 2 3 ... j ... r Total 
1 Y11 Y12 Y13 ... ... ... Y1r 
1Y 
2 Y21 Y22 Y23 ... ... ... Y2r 
2Y 
. 
. 
. 
i 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
... 
... 
... 
i jŶ 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
´
iY 
 
. 
. 
K Yk1 Yk2 Yk3 ... ... ... Ykr 
iY 
Total 
1Y 2Y ... 
´
jY ... rY 
´
Y 
 
sendo: 
.tan
;tan
;
cos;
;ˆ
´
´
´
perdidaparcelaaocorreuondebloconotesresparcelasdastotaloYperdidaparcelaaocorreuondetratamentonotesresparcelasdastotaloY
sdisponíveiparcelasdastotaloY
blodenúmeroorestratamentodenúmerook
perdidaparceladaestimativaaY
j
I
ij



 Uma solução interessante para o caso da perda de uma parcela consiste 
em estimar seu valor usando a fórmula: 
)1)(1(
ˆ
´´´




rk
YrYkY
Y jIij 
No exemplo acima, temos uma parcela perdida no tratamento C no 
bloco 3 (classe de idade). Nestes dados temos: 
 ;570100,150,4,5 ´´3
´
3   YeYYrk 
 a estimativa da parcela é dado por 
17,44
)14)(15(
570)150(4)100(5ˆ 


ijY 
Este valor deve ser substituído no lugar do dado perdido e a análise é 
feita como anteriormente. A única diferença é que se perde um grau de 
liberdade no resíduo, obtendo-se o seguinte quadro de análise de variância: 
 
 
Fonte de Variação g.l. SQ QM Fc 
Blocos 3 488,56 162,86 
Tratamentos 4 1289,00 322,25 10,21 
Resíduo 11 347,18 31,56 
Total 18 2124,75 
F(4; 11; 0,05) = 3,36; F(4; 11; 0,01) = 5,67; F(3; 11; 0,05) = 3,59 ; F(3; 11; 0,01) = 6,62 
 
 
Estatística Experimental 
102 
 
Observação: Nessa última análise, o quadrado médio do resíduo está 
corretamente estimado, mas aquele correspondente a tratamento está 
ligeiramente exagerado. Para corrigi-lo, basta subtrair da SQTr a seguinte 
quantidade: 
2)
1
ˆ(
1





k
Y
Y
k
k
U jij 
Então, temos: 59,35)
15
150
17,44(
5
15 2 



U , logo a SQTr 
correta fica igual a SQTr = 1289,00 – 35,59 = 1253,41 e a QMTr = 313,35. 
Fc = 9,93. Como o valor de ),:,( 050114c FF  a conclusão sobre a presença 
de pelo menos um efeito de tratamento não nulo, continua valendo. 
OBS: Muitas vezes, dispensa-se o uso dessa correção, já que nem 
sempre ela altera os resultados. Entretanto, na dúvida, devemos aplicar 
essa correção. 
Fazendo esta mesma análise no MiniTab, com asterisco no lugar da 
parcela perdida temos o seguinte resultado 
 
General Linear Model: Y versus Bloco; Trat 
Factor Type Levels Values 
Bloco fixed 4 1 2 3 4 
Trat fixed 5 A B C D E 
 
Analysis of Variance for Y, using Adjusted SS for Tests 
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P 
Bloco 3 333.40 400.48 133.49 4.23 0.032 
Trat 4 1253.42 1253.42 313.35 9.93 0.001 
Error 11 347.18 347.18 31.56 
Total 18 1934.00 
 
Reparem que a SQTr já esta corrigida, ou seja, quando se usa o 
MiniTab ou o SAS não é necessário estimar a parcela e depois substituí-la nos 
dados e fazer a ANOVA. Nestes programas a correção da SQTr é feita 
automaticamente. No MiniTab é necessário seguir os seguintes passos: 
 Stat/ANOVA/General Linear Models e nesta janela colocar os 
termos do modelo em “Model” na ordem apresentada. 
 
 
Estatística Experimental 
103 
 
 Antes de acionar o OK nesta janela vá à janela “General Model – 
Options” marcar na Sum of Square a opção Adjusted (Type III) e 
OK 
 
 
 
 
13 Análise de variância de medidas repetidas 
Um delineamento experimental de medidas repetidas é aquele, no qual 
várias medidas são feitas na mesma unidade experimental (geralmente 
animal), e estas medidas repetidas constituem as repetições. Para ilustrar 
melhor esta característica vamos considerar o exemplo 2, item 11 da Aula 3 , 
pg 38. Neste exemplo tínhamos 4 amostras independentes de animais e todos 
os animais de cada grupo foram alimentados, depois do sorteio, com uma das 
4 dietas. Nos delineamentos de medidas repetidas não existe amostras 
independentes de animais, ao contrário, cada um dos 5 animais terão seus 
pesos medidos depois que foram submetidos a uma determinada dieta, depois 
de um certo período de tempo, os mesmos cinco animais terão seus pesos 
avaliados depois de terem sidos submetidos a outra dieta, e assim 
sucessivamente, até serem submetidos a todas as dietas. A tabulação dos 
dados pode ser bem parecida com a representação dos dados do DBC. Neste 
exemplo podemos ter: 
 
 Dietas 
Animais 1 2 3 4 Total 
1 Y11 Y12 Y13 Y14 Y1+ 
2 Y21 Y22 Y23 Y24 Y2+ 
3 Y31 Y32 Y33 Y34 Y3+ 
4 Y41 Y42 Y43 Y44 Y4+ 
5 Y51 Y52 Y53 Y54 Y5+ 
Total Y+1 Y+2 Y+3 Y+4 Y++ 
 
Os resultados dos cálculos da ANOVA de um delineamento de medidas 
repetidas são os mesmos de uma análise de um DBC. A grande vantagem 
deste tipo de delineamento é o seu econômico requerimento de unidades 
experimentais (animais). Este delineamento tem desvantagens se existe um 
efeito por causa da seqüência em que os tratamentos são administrados 
(dietas no presente exemplo) aos animais. Outra desvantagem surge se o 
tempo entre a aplicação de diferentes tratamentos é insuficiente para evitar a 
sobreposição de efeitos do tratamento anterior. 
 
Estatística Experimental 
104 
Exemplo 3 Considere o conjunto de dados abaixo os quais se referem a níveis 
de concentração de colesterol (mg/dl) em sangue de 7 animais experimentais, 
depois que foram tratados cada um com uma das três drogas, com suficiente 
tempo entre as aplicações das drogas para que seu efeito desaparecesse do 
animal. 
 Drogas 
Animal A B C Total 
1 164 152 178 494 
2 202 181 222 605 
3 143 136 132 411 
4 210 194 216 620 
5 228 219 245 692 
6 173 159 182 514 
7 161 157 165 483 
Total 1281 1198 1340 3819 
A hipótese de interesse é que a média do nível de colesterol no sangue 
é a mesma independente da droga (tratamento). (Extraído de ZAR, J. H. 
Biostatistical Analysis, pg. 255, 1999) 
diferentesmédiasduasmenospeloH
H
1
3210


:
: 
 
Script no R para obter os resultados do exemplo 3 
Analysis of Variance for N_C, using Sequential SS for Tests 
 
Source DF Seq SS Adj SS Seq MS F P 
Animal 6 18731.2 18731.2 3121.9 53.88 0.000 
Droga 2 1454.0 1454.0 727.0 12.55 0.001 
Error 12 695.3 695.3 57.9 
Total 20 20880.6 
 
Conclusão: rejeita-se H0 
# removendo todos os objetos definidos anteriormente 
rm(list=ls(all=TRUE)) 
 
# Entrando com os dados pelo comando read.table( ) 
dados.ex3 <- read.table("ex3dbc.txt",h=T) 
head(dados.ex3) 
 
# anexando o objeto dados.ex3 no caminho de procura 
attach(dados.ex3) 
 
# definindo o objeto animal como um fator 
animal<-factor(animal) 
 
# quadro da anova pela função aov( ) 
colesterol.av <- aov(colesterol~animal+droga) 
summary(colesterol.av) 
 
model.tables(colesterol.av) 
 
residuos<-resid(colesterol.av) 
residuos 
 
qqnorm(resíduos,pch=16,col=1) 
 
Estatística Experimental 
105 
qqline(residuos,lwd=2,col=2) 
 
shapiro.test(residuos) 
 
bartlett.test(colesterol~animal+droga) 
 
Utilizando os recursos do pacote agricolae 
 
# requerendo o pacote agricolae 
require(agricolae) 
 
colesterol.tu<- HSD.test(colesterol.av ,"droga") 
colesterol.tu 
 
# gráfico de barras das médias com o desvio padrão pelo agricolae 
bar.err(colesterol.tu ,ylim=c(0,250),std=TRUE,density=10, 
col="brown",main="Média +/- Desvio Padrão") 
bar.err(colesterol.tu,ylim=c(0,250),std=FALSE,density=2,col="brown",mai
n="Média +/- erro padrão") 
 
# gráfico de barras das médias com o erro padrão pelo agricolae 
bar.group(colesterol.tu,ylim=c(0,250),std=FALSE,density=2, 
col="brown", xlab="Drogas",main="Teste de Tukey") 
 
Utilizando os recursos do pacote ExpDes 
# requerendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
 
# anova pelo ExpDes 
rbd(droga,animal,colesterol,quali=T,mcomp="tukey") 
 
# retirando o objeto dados.ex3 do caminho de procura 
detach(dados.ex3) 
 
 
Estatística Experimental 
106 
6º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
1 - Contagens médias de linfócitos de células de ratos (1000/mm
3
) foram comparadas dando 
uma de duas drogas ou um placebo (controle). Ninhadas de ratos do mesmo sexo foram 
usadas para formar blocos homogêneos de 3 ratos cada; dentro de cada bloco, 3 tratamentos 
foram sorteados ao acaso. Parece razoável assumir queos efeitos dos três tratamentos deve 
ser relativamente constante para vários genótipos de ratos para diferentes ninhadas. 
 
Tratamentos 
Blocos 
I II III IV V VI VII 
Placebo 5,4 4,0 7,0 5,8 3,5 7,6 5,5 
Droga 1 6,0 4,8 6,9 6,4 5,5 9,0 6,8 
Droga 2 5,1 3,9 6,5 5,6 3,9 7,0 5,4 
a) Escrever o modelo matemático deste experimento e estabelecer as hipóteses 
estatísticas H0 e H1 para testar os efeitos dos tratamentos. 
b) Montar o quadro da análise de variância para testar as hipóteses do item a). 
c) Fazer o gráfico de barras das médias dos tratamentos com o desvio padrão. 
d) Calcular as médias dos tratamentos e o erro padrão das médias com base na variância 
conjunta do experimento (QMR da ANOVA). 
e) Faça um gráfico dos itens c) e d). 
f) Verificar pelo teste de Dunnett se os efeitos de cada droga diferem do controle (trat1). 
g) Calcular os coeficientes de variação (CV) e de determinação (R
2
.) do experimento. 
 
2- A Tabela abaixo mostra os dados da produção de leite, de vacas da raça Gir, filhas de 3 
touros, na 1ª, 2ª e 3ª parições, em 305 dias de lactação, delineados segundo um DBC. com 
amostragem na parcela. 
Touros Parições (Blocos) Total 
 I II III 
1 1750 1650 1600 2250 2200 2220 2400 2650 2610 19330 
2 1250 1150 1120 1750 1600 1350 1800 1900 1710 13630 
3 1600 1700 1900 2300 2400 2200 2700 2750 2680 20230 
Total 13720 18270 21200 53190 
Pede-se: 
a) Escrever o modelo matemático deste experimento e estabelecer as hipóteses estatísticas H0 
e H1 
b) Montar o quadro da análise de variância e testar as hipóteses do item a). 
c) Calcular as médias dos tratamentos e o erro padrão das médias com base na variância 
comum (QMR da ANOVA). 
d) Fazer o gráfico de barras das médias dos tratamentos com o erro padrão. 
e) Verificar, pelo teste de Tukey, se existem diferenças entre as médias dos touros. 
f) Calcular o coeficiente de variação e de determinação do experimento R
2
 do experimento. 
 
3 - Num experimento objetivando verificar a influência da suplementação concentrada de 
enzimas amilolíticas, celulolíticas e proeolíticas sobre o ganho de peso em ovinos da raça ideal 
(POLWARTH), criados a pasto, foram utilizados os seguintes tratamentos: 
1 - Pasto de Cynodon dactylon + ração concentrada 
2 - Pasto de Cynodon dactylon + ração concentrada + BIOVITASE 
3 - Pasto de Cynodon dactylon + ração concentrada + PANASE-S 
4 - Pasto de Cynodon dactylon ( Testemunha) 
O experimento foi em blocos ao acaso, com 5 blocos e 4 tratamentos, e os resultados 
obtidos para o ganho de peso médio, em kg, durante o experimento foram: 
 Blocos 
Tratamentos I II III IV V 
1- Cynodon dactilon (testemunha) 6,10 5,80 3,60 5,30 6,30 
2- Ração Concentrada (RC) 10,90 13,75 14,50 11,70 13,10 
3- RC + BIOVITASE 11,70 16,28 14,40 15,50 11,60 
4- RC + PANASE-S 16,80 14,10 8,60 16,10 14,30 
Pede-se: 
 
Estatística Experimental 
107 
a) Estabelecer as hipóteses estatísticas H0 e H1 
b) Montar o quadro da análise de variância e testar as hipóteses do item a). 
c) Calcular as médias dos tratamentos e erros padrões das médias. 
d) Use o teste de Dunnett para testar os tratamentos que diferem da testemunha (RC). 
e) Definir 3 contrastes ortogonais de interesse entre as médias dos tratamentos e testá-los 
através da análise de variância. (decomposição dos graus de liberdade). 
f) Calcular os coeficientes de variação e de determinação do experimento. 
 
4 - Num experimento estudou-se o efeito do farelo de arroz desengordurado (FAD) ) como 
fatores de retardamento da maturidade sexual de frangas. O ensaio, organizado em blocos 
completos casualizados, abrangeu duas fases distintas e foi constituído de 5 tratamentos e 5 
repetições com 8 aves por unidade experimental. 
A 1ª fase iniciada quando as aves atingiram 9 semanas de idade, teve duração de 12 semanas. 
As pesagens eram efetuadas com intervalos de duas semanas, e o consumo de ração era 
registrado também com intervalo de duas semanas. 
Os tratamentos, na 1ª fase eram formados por rações que continham 0, 15, 30, 45, 60 % de 
FAD em substituição ao milho. Os resultados obtidos na 1ª fase do ensaio, para conversão 
alimentar foram os seguintes: 
Tratamentos 1º Bloco 2º Bloco 3º Bloco 4º Bloco 5º Bloco 
A - 0% de FAD 6,5 6,4 6,2 5,8 7,3 
B - 15% de FAD 7,1 7,4 6,9 7,3 7,0 
C - 30% de FAD 7,5 8,1 6,7 7,4 7,7 
D - 45% de FAD 8,4 8,5 8,7 8,3 7,9 
E - 60% de FAD 9,3 9,9 9,5 8,5 8,9 
Fazer a análise de variância e caso haja significância entre os tratamentos fazer a 
decomposição dos graus de liberdade dos tratamentos por meio da técnica dos polinômios 
ortogonais (regressão linear, quadrática, etc.). Ajuste a equação de regressão linear às médias 
dos tratamentos. 
 
5 - No estudo do ganho de peso de porcos guinea, quatro dietas foram testadas. Vinte animais 
foram usados neste experimento, 5 animais para cada dieta. Entretanto o pesquisador 
acreditou que alguns fatores ambientais podem afetar o ganho de peso. Não foi possível reunir 
os 20 animais em uma mesma condição ambiental. Portanto, foram estabelecidos 5 blocos de 
unidades experimentais sob idênticas condições de temperatura, luz, etc. 
 Dietas 
Blocos 1 2 3 4 
1 7,0 5,3 4,9 8,8 
2 9,9 5,7 7,6 8,9 
3 8,5 4,7 5,5 8,1 
4 5,1 3,5 2,8 3,3 
5 10,3 7,7 8,4 9,1 
a) Estabelecer as hipóteses estatísticas H0 e H1 
b) Montar o quadro da análise de variância e testar as hipóteses do item a). 
c) Fazer o gráfico de barras das médias dos tratamentos com o erro padrão. 
d) Verificar, pelo teste de Tukey, se existem diferenças entre as médias das dietas. Qual foi a 
dieta que proporcionou o melhor ganho de peso? 
e) Calcular o coeficiente de variação e de determinação do experimento R
2
 do experimento. 
 
6- Os resultados apresentados pelo programa R a uma análise de dados de um experimento 
foram: 
Response: dados 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
blocos 3 37.35 12.45 2.7978 0.08549 . 
tratamentos 4 2530.20 632.55 142.1461 5.361e-10 *** 
Residuals 12 53.40 4.45 
--- 
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 
Estatística Experimental 
108 
a) Interprete estes resultados 
b) As médias dos tratamentos são apresentadas abaixo: 
Trat A Trat B Trat C Trat D Trat E 
12.75 23.50 37.00 45.00 34.50 
 
Analisando os resultados da saída do Teste de Tukey preencha a tabela abaixo com as médias 
seguidas das letras. 
$tratamentos 
 diff lwr upr p adj 
Trat B-Trat A 10.75 5.995488 15.504512 0.0000864 
Trat C-Trat A 24.25 19.495488 29.004512 0.0000000 
Trat D-Trat A 32.25 27.495488 37.004512 0.0000000 
Trat E-Trat A 21.75 16.995488 26.504512 0.0000000 
Trat C-Trat B 13.50 8.745488 18.254512 0.0000085 
Trat D-Trat B 21.50 16.745488 26.254512 0.0000001 
Trat E-Trat B 11.00 6.245488 15.754512 0.0000689 
Trat D-Trat C 8.00 3.245488 12.754512 0.0012997 
Trat E-Trat C -2.50 -7.254512 2.254512 0.4820549 
Trat E-Trat D -10.50 -15.254512 -5.745488 0.0001086 
 
Tratamentos Médias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
109 
Aula 7 Delineamento Quadrado Latino (DQL). 
1 Introdução 
No delineamento Quadrado Latino os tratamentos são designados aos 
blocos de duas maneiras diferentes, geralmente designados por colunas e 
linhas. Cada coluna e cada linha é um bloco completo de todos os tratamentos. 
Portanto, em um DQL, três fontes de variação explicáveis são identificáveis: 
linhas, colunas e tratamentos. Um particular tratamento é designado somente 
uma vez em cada linha e cada coluna. Geralmente um dos blocos corresponde 
aos animais eo outro ao período. Cada animal receberá todos os tratamentos 
em diferentes períodos. O número de tratamentos (k) é igual ao número de 
linhas e colunas. O número total de observações é igual k2. Se os tratamentos 
são designados por letras maiúsculas (A, B, C e D, etc.), então exemplos de 
Quadrados Latinos 3 x 3 e 4 x 4 são: 
A C B C A B A B D C C D B A 
B A C A B C C A B D D B A C 
C B A B C A B D C A B A C D 
 D C A B A C D B 
Considere a seguinte situação (baseado em VIEIRA, 2006, pág. 18): Um 
veterinário pretende comparar o efeito de três drogas no combate a uma 
doença em suínos. Os animais disponíveis são, no entanto, diferentes em 
raças e em pesos. Para fazer o experimento, o veterinário deve, primeiro 
organizar blocos de animais de mesma raça (em coluna) e depois organizar em 
peso (em linha). Na Figura abaixo: a raça está representada pela tonalidade da 
cor preta e o peso pelo tamanho. Então foram construídos blocos em “colunas” 
e “linhas” 
 
Construído o quadrado latino, sorteiam-se os tratamentos, mas cada 
tratamento só deve aparecer uma vez em cada “coluna” e uma vez em cada 
“linha”. Assim o sorteio dos tratamentos tem duas restrições: “dentro” de linhas 
e dentro de “colunas” 
 
Os DQL não são comuns na prática devido às restrições do 
delineamento. Notem, por exemplo, que linhas, colunas e tratamentos são, 
necessariamente, iguais em números. Mais ainda, o nº de observações é igual 
ao quadrado do nº de tratamentos. 
Considere este outro exemplo, extraído de Rao, P.V. Statistical research 
methods in the life science, pg 727: Em um estudo para comparar as 
tolerâncias de gatos a quatro substâncias cardíacas (A, B, C, D) foi conduzida 
 
Estatística Experimental 
110 
utilizando-se um DQL, no qual as linhas representavam quatro combinações de 
dois períodos (A.M. , P.M.) e duas técnicas (I e II) e as colunas representam os 
dias nos quais as medidas foram feitas. A cada um dos 16 gatos foi 
administrada uma substância cardíaca a uma taxa fixada e a dose (taxa de 
infusão x tempo) na qual o efeito especificado foi observado foi anotado. 
Abaixo temos que mostra as respostas medidas em 10log(dose em μg). 
 
 
 1 2 3 4 
..iY iY 
I,AM )(11 DY 
3,26 
)(12 BY 
4,15 
)(13 AY 
3,02 
)(14 CY 
3,67 
1Y 
14,10 
1Y 
 
I,PM )(21 BY 
2,73 
)(22 DY 
3,38 
)(23 CY 
3,29 
)(24 AY 
4,50 
2Y 
13,90 
2Y 
 
 II,AM )(31 AY 
3,45 
)(32 CY 
4,09 
)(33 BY 
2,66 
)(34 DY 
3,51 
3Y 
13,71 
3Y 
 
II,PM )(41 CY 
3,20 
)(42 AY 
3,14 
)(43 DY 
3,48 
)(44 BY 
3,40 
4Y 
13,22 
4Y 
 
 jY 1Y 
12,64 
2Y 
14,76 
3Y 
12,45 
4Y 
15,08 
Y 
54,93 
 
 jY 1Y 
 
2Y 
 
3Y 
 
4Y 
 
 
Y 
 
Totais dos tratamentos: 
11,1414,345,350,402,3)()()()()( 42312413  AYAYAYAYAY
94,1240,366,273,215,4)()()()()( 44332112  BYBYBYBYBY
25,1420,309,429,367,3)()()()()( 41322314  CYCYCYCYCY
63,1348,351,338,326,3)()()()()( 43342211  DYDYDYDYDY 
Notação: 
 iY = soma das observações da i-ésima linha (i = 1, 2,..., k); 
  iY = soma das observações da j-ésima coluna (j=1,2, ..., k); 
 )( tY  = soma das observações do t-ésimo tratamento 
Organização dos arquivos: 
 No excel: ex1.xls No bloco de notas: ex1.txt 
Linha coluna trat tx.inf 
TI_AM DIA1 D 3.26 
TI_AM DIA2 B 4.15 
TI_AM DIA3 A 3.02 
TI_AM DIA4 C 3.67 
TI_PM DIA1 B 2.73 
TI_PM DIA2 D 3.38 
TI_PM DIA3 C 3.29 
TI_PM DIA4 A 4.50 
TII_AM DIA1 A 3.45 
TII_AM DIA2 C 4.09 
TII_AM DIA3 B 2.66 
TII_AM DIA4 D 3.51 
TII_PM DIA1 C 3.20 
TII_PM DIA2 A 3.14 
TII_PM DIA3 D 3.48 
TII_PM DIA4 B 3.40 
 
 
linha coluna trat tx.Inf 
TI_AM DIA1 D 3,26 
TI_AM DIA2 B 4,15 
TI_AM DIA3 A 3,02 
TI_AM DIA4 C 3,67 
TI_PM DIA1 B 2,73 
TI_PM DIA2 D 3,38 
TI_PM DIA3 C 3,29 
TI_PM DIA4 A 4,50 
TII_AM DIA1 A 3,45 
TII_AM DIA2 C 4,09 
TII_AM DIA3 B 2,66 
TII_AM DIA4 D 3,51 
TII_PM DIA1 C 3,20 
TII_PM DIA2 A 3,14 
TII_PM DIA3 D 3,48 
TII_PM DIA4 B 3,40 
2 Modelo matemático 
Dias 
Combinações 
de tempo e 
técnicas 
 
Estatística Experimental 
111 
colunaésimajelinhaésimaina
usadotratamentodoçãoidentificadeindiceoét
kjekiCLY ijtkjiijt

 ,,,2,1,,2,1 
 
sendo: 
.
;0,
;
;
;
;
,
aleatórioerrodoefeitooé
etratamentoésimotdofixoefeitoé
colunaésimajdaefeitoéC
linhaésimaidaefeitooéL
sobservaçõeastodasacomumgeralmédiaé
colunaésimajnae
linhaésimainatratamentoésimokorecebeuqueobservaçãoay
ijt
t
tt
j
j
ijk









 
3 Suposições do modelo 
 Neste modelo, supõem-se que: 
 );,0( 2Lj NtesindependensãoL  
 ;),0( 2Cj NtesindependensãoC  
 ),0( 2 Ntesindependensãoit 
 jiijt CeL ,, são mutuamente independentes. 
 
4 Hipótese estatística 
Podemos testar 
0:
,0:
1
0


t
t
ostodosnemH
H


, ou 
jiparaH
H
ji
t




:
...:
1
210
 
Geralmente os testes de hipóteses com relação aos efeitos de linhas e 
colunas não são feitos por dois motivos: primeiro o interesse principal é testar 
os efeitos de tratamento, e o propósito usual de linhas e colunas é eliminar 
fontes estranhas de variação. 
 
5 Participação da soma de quadrados 
Do quadro de representação das observações no DQL, podemos notar os 
seguintes desvios: 
Podemos identificar os seguintes desvios: 
  yy ijt , como o desvio de uma observação em relação à média 
geral; 
  yy ijt , como o desvio da média do t-ésimo tratamento em 
relação à média geral; 
   yy i , como o desvio da média da i-ésimo linha em relação á 
média geral; 
   yy j como o desvio da média da j-ésima coluna em relação 
á média geral; 
Então, podemos escrever a igualdade: 
)2()()()()( .   YYYYYYYYYYYYY ijjiijttjiijt a 
qual representa a “ a variação de uma observação em relação à média geral 
 
Estatística Experimental 
112 
amostral como uma soma da variação da média da i-ésima linha em relação à 
média geral, com a variação da média da j-ésima coluna em relação à média 
geral, com a variação da média da j-ésima coluna em relação à média geral, 
com a variação da média do k-ésima tratamento em relação à média geral, e 
com a variação do erro experimental “. Elevando-se ao quadrado os dois 
membros da identidade acima e somando em relação aos índices i e j, 
obtemos: 
,)2(
)()()()(
1 1 1
2
.
1
2
1
2
1
2
1 1
2


  







 



k
i
k
j
k
t
ijjiijk
k
t
k
k
j
j
k
i
i
k
i
k
j
ijk
YYYYY
YYYYYYYY
 
ou seja, a Soma de Quadrados do Total (SQT) é igual à Soma de Quadrados 
do efeito colocado nas linhas (SQL), mais a Soma de Quadrados do efeito 
colocado nas colunas (SQC), mais a Soma de Quadrados dos Tratamentos 
(SQTr), mais a Soma de Quadrados dos resíduos (SQR). Notem que existem 
k2 observações, então a SQT tem (k2 -1) graus de liberdade. Existe k – linhas, k 
– colunas e k – tratamentos, tal que cada uma das três soma de quadrados 
SQL, SQC e SQTr tem k-1 graus de liberdade. Finalmente, os graus de 
liberdade para SQR pode ser calculado pela diferença entre os graus de 
liberdade entre a SQT e soma dos graus de liberdade para linhas, colunas e 
tratamentos. ((k2-1)-(k-1)-k-1)-(k-1)=(k-1)(k-2)). 
Assim, os graus de liberdade associados a cada membro da equação 
acima fica: 
 Total Linhas Colunas Tratamentos Resíduo 
 ( k2 -1) = (k-1) + (k-1) + (k-1) + (k-1)(k-2) 
 
6 Quadrados médios 
Dividindo a SQL, SQC, SQTr e SQR pelos correspondentes graus de 
liberdade, obtemos,respectivamente o Quadrado Médio das Linhas (QML), o 
Quadrado Médio das Colunas (QMC) , o Quadrado Médio de Tratamentos 
(QMTr) e o Quadrado Médio Resíduo (QMR), isto é, 
)2)(1(11
,
1 







kk
SQR
QMRe
k
SQTr
QMTre
k
SQC
QMC
k
SQL
QML 
7 Estatística e região crítica do teste 
A estatística para o teste é 
QMR
QMTr
Fc  , 
a qual, deve ser próximo de 1 se H0 for verdadeira, enquanto que valores 
grandes dessa estatística são uma indicação de que H0 é falsa. A teoria nos 
assegura que Fc tem, sob H0 distribuição F – Snedecor com (k -1) e (k-1)(k-2) 
graus de liberdade no numerador e no denominador, respectivamente. 
Resumidamente, indicamos: 
0)),2)(1(,1( ,~ HsobFF kkkc  . 
Rejeitamos H0 para o nível de significância  se 
)),)((,( 2k1k1kc FF  , 
sendo, )),)((,( 2k1k1kF  o quantil de ordem )( 1 da distribuição F-Snedecor 
com (k -1) e (k-1)(k-2) graus de liberdade no numerador e no denominador. 
 
 
Estatística Experimental 
113 
8 Quadro da análise de variância (ANOVA) 
Dispomos as expressões necessárias ao teste na Tabela abaixo, 
denominada de Quadro de Análise de Variância (ANOVA). 
 Fonte de variação gl SQ QM F 
 
Linhas 
 
k - 1 2
2
1
2 )(
k
Y
k
Yk
i
i 

  1k
SQL
 
 
 
Colunas 
 
k – 1 2
2
1
2
)(
k
Y
k
Yk
j
j 


 1k
SQC
 
 
 
 Tratamentos 
 
k - 1 2
2
1
2 )(
k
Y
r
Yk
t
t 

  1k
SQTr
 
QMR
QMTr
 
 
Resíduo 
 
(k-1)(k-2) 
 
 )2)(1(  kk
SQR
 
 
 
TOTAL 
 
K
2
 – 1 
 

k
i
k
J
ijt
k
Y
Y
1 1
2
2
2 )( 
 
Pode-se provar que: 
 2QMRE )( , ou seja, QMR é um estimador não viesado da 
variância 2 ; 
 


k
i
i
k
r
QMTrE
1
2
)1(
)(  , ou seja, QMTr é um estimador não 
viesado da variância 2 se a hipótese 0H k210   ...: é 
verdadeira. 
 
9 Detalhes computacionais 
Apresentaremos alguns passos que facilitam os cálculos das somas de 
quadrados da ANOVA. 
 Calcule a correção para a média 
2
2
k
y
CM
)(  ; 
 Calcule a Soma de Quadrados dos Totais (SQT) 
CMySQT
k
i
k
j
ijt 
 1 1
2 ; 
 Calcule a Soma de Quadrados Entre os Tratamentos (SQTr) 
CM
k
Y
SQTr
k
t
t 


1
2
; 
 Calcule a Soma de Quadrados das Linhas (SQL) 
CM
k
Y
SQL
k
j
i 


1
2
; 
 Calcule a Soma de Quadrados de Colunas (SQC) 
CM
k
Y
SQC
k
j
j



1
2
; 
 
Estatística Experimental 
114 
 Calcule a Soma de Quadrados Residual (SQR) pela diferença, isto 
é, SQTrSQCSQLSQTSQR  ; 
 Calcule os Quadrados Médios Entre os Tratamentos (QMTr) e o 
Quadrado Médio Residual (QMR) 
)2)(1(1
,
1
,
1 







kk
SQR
QMRe
k
SQTr
QMTr
k
SQC
QMC
k
SQL
QML 
Calcule Fc para tratamentos, linhas e colunas, ou seja, 
QMR
QMC
Fe
QMR
QML
F
QMR
QMTr
F CLcTr  , 
10 Exemplo 1: Vamos considerar os dados do exemplo apresentado no item1. 
Os cálculos para montar-mos o quadro da ANOVA são: 
k = 4, e k2 = N =16. Então 
 Graus de liberdade: 
8242k1ks
e3141kColunas3141kLinhas
3141kTrat151161N1kTotal 2



))(())((Re
,
.;
 
 5816,188
16
)94,54( 2
CM 
 
6055,35816,1881871,192
)40,3(...)15,4()26,3( 222

 CMSQT
 
 
2331,05816,1888147,188
4
)63,13(
4
)25,14(
4
)94,12(
4
)11,14( 2222

 CMSQTr
 
 
1065,05816,1886881,188
4
)22,13(
4
)71,13(
4
)90,13(
4
)10,14( 2222

 CMSQL
 
 
4274,15816,1880090,190
4
)08,15(
4
)45,12(
4
)76,14(
4
)64,12( 2222

 CMSQC
 
 8384,14274,11065,02331,06055,3  SQCSQLSQTrSQTSQR
 
 
3015,0
6
8094,1
4758,0
3
4274,1
,0355,0
3
1065,0
,0771,0
3
2331,0


QMRe
QMCQMLQMTr
5530,1
3064,0
4758,0
1159,0
3016,0
0355,0
2899,0
3064,0
08741,0


QMR
QMC
F
QMR
QML
Fe
QMR
QMTr
F
cC
cLcTr
 
 
 
 
 
Organizando estes resultados no Quadro da ANOVA, temos: 
 
 
Estatística Experimental 
115 
Fonte de variação gl SQ QM F 
Linhas 3 0,1065 0,0355 
Colunas 3 1,4274 0,4758 
Tratamentos 3 0,2331 0,08741 0,2899 
Resíduo 6 1,8384 0,3015 
TOTAL 15 3,6055 
Das tabelas das distribuições F, temos que 
789Fe764F 0106305063 ,, ),,,(),,,(  . O valor FcTr = 0,2899 é menor do que estes 
valores tabelados, então não rejeitamos a hipótese nula H0 para um nível 
%,, 5ou050 de probabilidade e concluímos que os dados não evidenciam 
uma diferença significativa entre as quatros drogas. Os dados também não 
evidenciam uma variação significativa entre os efeitos colocados nas linhas 
(p=0,946) e nas colunas (p=0,290). Seguindo o que alguns pesquisadores 
sugerem não consideraríamos os efeitos de linhas e colunas em futuros 
experimentos, tendo em vista que o valor do nível de significância para linhas e 
colunas é superior a 0,25. 
Script no R para a obtenção dos resultados acima 
# entrando com os dados pelo comando read.table( ) 
dados.ex1 <- read.table("ex1dql.txt",header=TRUE,dec=",") 
 
# imprimindo as 6 primeiras linhas do arquivo 
head(dados.ex1) 
 
# anexando o objeto dados.ex1 no caminho de procura 
attach(dados. ex1) 
 
# estatísticas resumo de cada nível dos tratamentos 
e.desc<- tapply(tx.inf,trat,summary) 
e.desc 
 
# tornando linha coluna e tratamentos como fatores 
linha<- factor(linha); coluna<- factor(coluna); trat <- factor(trat) 
 
# gráfico Box-plot para cada nível de trat 
boxplot(tx.inf~trat,col=2,xlab="Tratamentos") 
 
# quadro da anova 
tx.inf.av<-aov(tx.inf~linha+coluna+trat) 
summary(tx.inf) 
 
# obtendo o residuo 
residuo <- resid(tx.inf.av) 
 
# teste de normalidade dos resíduos 
shapiro.test(residuo) 
 
# teste de homogeneidade das variâncias 
bartlett.test(tx.inf~linha+coluna+trat) 
 
 
Estatística Experimental 
116 
Utilizando os recursos do pacote ExpDes 
# requerendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
 
# quadro da anova pelo ExpDes 
latsd(trat,linha,coluna,tx.inf,quali=T) 
 
# retirando o objeto dados.ex1 do camnho de procura 
detach(dados.ex1) 
 
Exemplo 2. Com o objetivo de estudar o efeito da idade da castração no 
desenvolvimento e produção de suínos, foi utilizado um delineamento em 
quadrado latino com 4 tratamentos envolvendo a castração aos 7 dias (C); aos 
21 dias (D); aos 56 dias (A) e suínos inteiros (B). A variação existente entre as 
leitegadas foi controlada pelas linhas do quadrado e a variação dos pesos dos 
leitões dentro das leitegadas foi isolada pelas colunas. Os ganhos de peso, em 
kg, ao final do experimento (252 dias) estão apresentados no quadro a seguir: 
 
Leitegada Classe de pesos dos leitões dentro das leitegadas 
1 2 3 4 Totais 
1 93,0 (A) 108,6 (B) 118,9 (C) 102 (D) 412,5 
2 115,4 (B) 96,5 (D) 77,9 (A) 120,2 (C) 390,0 
3 122,1 (C) 90,9 (A) 116,9 (D) 106,0 (B) 409,9 
4 117,6 (D) 124,1 (C) 118,7 (B) 95,6 (A) 448,0 
Totais 428,1 414,1 422,4 395,8 1660,4 
 
Quadro da ANOVA 
 Fonte de variação gl SQ QM F 
Leitegadas 3 436,55 49,65 0,72 
Classe 3 148,95 145,52 2,11 
Tratamentos 3 913,57 304,52 4,42 
Resíduo 6 413,00 68,83 
TOTAL 15 1912,07 
 
Das tabelas das distribuições F, temos que 
789Fe764F 0106305063 ,, ),,,(),,,(  . O valor FcTr = 4,42 é menor do que estes 
valores tabelados, então não rejeitamos a hipótese nula H0 para um nível 
%,, 5ou050 de probabilidade e concluímos que a hipótese de que os 
efeitos de tratamento são todos nulos não é rejeitada, ou seja, os ganhos de 
peso dos leitões submetidos às diferentes idades de castração são todos iguais 
a 103,78. 
Script no R para a obtenção destes resultados 
# leitura dos dados pelo read.table 
dados.ex2 <- read.table("ex2dql.txt",header=TRUE) 
# imprimindo as 6 linhas iniciais do arquivo 
head(dados.ex2) 
 
# anexandoo objeto dados.ex3 no caminho de procura 
 
Estatística Experimental 
117 
attach(dados.ex2) 
 
# estatísticas resumo dos dados do arquivo dados.ex2 
e.desc<- tapply(peso,trat,summary) 
e.desc 
 
# gráfico Box-plot para cada nível de trat 
boxplot(peso~trat,col=2,xlab="Tratamentos") 
 
# fazendo a análise diretamente pelo ExpDes 
# requerendo o ExpDes 
require(ExpDes) 
 
# quadro da anova 
latsd(trat,leitegada,classe,peso,quali=T,mcomp="tukey") 
 
# retirando o objeto dados.ex2 do caminho de procura 
detach(dados.ex2) 
 
11 Como contornar o problema do pequeno número de graus de liberdade 
do resíduo? 
Um problema que surge quando usamos o delineamento em quadrado 
latino com um número pequeno de tratamentos, é que o resíduo passa a ser 
estimado com um número pequeno de graus de liberdade. No quadro a seguir, 
apresentamos o número de graus de liberdade do resíduo no DQL para 
diferentes números de tratamentos: 
Número de tratamentos g.l. do resíduo 
3 2 
4 6 
5 12 
6 20 
7 30 
8 42 
 
RESPOSTA: Planejar mais de uma repetição do quadrado latino para 
conseguir um número satisfatório de graus de liberdade para o resíduo. Por 
exemplo, se k = 4 tratamentos e queremos um número de g.l. para o resíduo 
superior a 12, devemos fazer pelo menos r = 2 repetições do Q.L. original. 
Solução 1: usar as mesmas linhas e mesmas colunas; 
QL1 C1 C2 C3 C4 
 
 
 
 
 
QL2 C1 C2 C3 C4 
L1 A B C D L1 D A B C 
L2 B C D A L2 C D A B 
L3 C D A B L3 B C D A 
L4 D A B C L4 A B C D 
 
 
 
Quadro da ANOVA resultante 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
118 
Causas de variação gl 
QL r – 1 = 1 
Tratamentos k – 1 = 3 
Linhas k – 1 = 3 
Colunas k – 1 = 3 
Resíduo (k – 1)[ r (k + 1) – 3] = 21 
Total r k
2 
– 1 = 31 
 
Solução 2: usar as mesmas linhas com as colunas diferentes (ou 
mesmas colunas com linhas diferentes); 
QL1 C1 C2 C3 C4 
 
 
 
 
 
QL2 C5 C6 C7 C8 
L1 A B C D L1 D A B C 
L2 B C D A L2 C D A B 
L3 C D A B L3 B C D A 
L4 D A B C L4 A B C D 
 
Quadro da ANOVA resultante 
Causas de variação gl 
QL r – 1 = 1 
Tratamentos k – 1 = 3 
Linhas k – 1 = 3 
Colunas (QL) r ( k – 1 ) = 6 
Resíduo (k – 1)(r k – 2 )= 18 
Total r k
2 
– 1 = 31 
 
Solução 3: usar linhas e colunas diferentes. 
QL1 C1 C2 C3 C4 
 
 
 
 
 
QL2 C5 C6 C7 C8 
L1 A B C D L5 D A B C 
L2 B C D A L6 C D A B 
L3 C D A B L7 B C D A 
L4 D A B C L8 A B C D 
 
Quadro da ANOVA resultante 
Causas de variação gl 
QL r – 1 = 1 
Tratamentos k – 1 = 3 
Linhas (QL)* r ( k - 1) = 6 
Colunas (QL)** r ( k - 1) = 6 
Resíduo (k – 1) [ k (k – 1) –1]=15 
Total r k
2 
– 1 = 31 
(*) lê-se “Efeito de linhas dentro de quadrado latino” 
(**) lê-se “Efeito de colunas dentro de quadrado latino” 
 
Suponha que um experimentador esteja interessado em estudar os 
efeitos da atividade da estimulação hormonal folicular (follicle-stimulation 
hormone - FSH). Em vacas é medido em bio ensaios pesando-se o ovário (mg) 
de ratos imaturos. Duas variáveis conhecidas que influenciam no peso de 
ovários de ratos são: a constituição genética e o peso corporal. Acredita-se que 
o peso corporal é independente das diferenças genéticas, assim o 
delineamento quadrado latino (DQL) é adequado. Dois quadrados latinos 4 x 4 
foram usados com as linhas = ninhadas de ratos e colunas = classes de peso 
corporal. O pesquisador considerou a diferença nos pesos corporais nos dois 
 
Estatística Experimental 
119 
quadrados para preservar os graus de liberdade do erro experimental, dado 
que a amplitude do peso corporal era consistente de ninhada para ninhada, ou 
seja, o pesquisador repetiu o experimento considerando as mesmas classes de 
peso corporal. 
 
(Solução 2). 
QL1 C1 C2 C3 C4 
Totais 
 
 
 
 
 
QL2 C1 C2 C3 C4 
Totais 
L1 (D) 44 (C) 39 (B) 52 (A) 73 
208 L5 (B) 51 (C) 74 (A) 74 (D) 82 
281 
L2 (B) 26 (A) 45 (D) 49 (C) 58 
178 L6 (D) 62 (A) 74 (C) 75 (B) 79 
290 
L3 (C) 67 (D) 71 (A) 81 (B) 76 
295 L7 (A) 71 (D) 67 (B) 60 (C) 74 
272 
L4 (A) 77 (B) 74 (C) 88 (D) 100 
339 L8 (C) 49 (B) 47 (D) 58 (A) 68 
222 
Totais 214 229 270 307 1020 233 251 267 303 1065 
Totais dos tratamentos: 563 (A), 465 (B), 524 (C), 533 (D) 
Cálculos: 
 694891
32
10651020
4
222178208
SQL
2222
,
)(...




 ; 
 ;,
)()(...)(
091819
32
10651020
8
303307233214
SQC
222




 
 ;,
)(...
59631
32
10651020
8
533563
SQTr
222




 
 ;,
)(
... 227788
32
10651020
6844SQT
2
22 

 
 ;,56382SQLSQCSQTrSQTSQR  
O quadro da ANOVA fica 
Causas de variação gl SQ QM F P 
QL 1 63,28 63,28 
Tratamentos 3 631,59 210,53 9,91 0,0004 
Linhas (QL) 6 4891,69 815,28 38,26 
Colunas 3 1819,09 606,36 28,53 
Resíduo 18 292 16,22 
Total 31 7730 
Das tabelas das distribuições F, temos que 
095Fe163F 010186050183 ,, ),,,(),,,(  . O valor Fctr = 9,91 é maior que estes 
valores tabelados, então rejeitamos a hipótese nula H0 para um nível 
%,, 1ou010 de probabilidade e concluímos que a hipótese de que os 
efeitos de tratamento são todos nulos é rejeitada, ou seja, nos pesos dos 
ovários de ratos imaturos (bio-ensaio para vacas) existe pelo menos dois 
tratamentos que diferem entre si quanto ao peso de ovários. 
Podemos usar o teste de Tukey para compararmos as médias dos 
tratamentos (note que temos 4 tratamentos e cada um deles aparece 8 vezes). 
Então, 
 
 
51,6
8
25,21
997,3... )05,0,18,4( 
rk
QMR
qsmd 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
120 
Drogas 
Peso médio* 
(mg) 
A 70,37 a 
D 66,63 a 
C 65,50 a 
B 58,13 b 
(* Médias seguidas pelas mesmas letras na coluna não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5%). 
Com base nos resultados apresentados na tabela anterior pode-se 
afirmar que os pesos de ovários tratados com as drogas A, D e C não diferem 
entre si e os pesos dos ovários tratados com as drogas C e B também não 
diferem entre si. As diferenças nos pesos de ovários estão entre as drogas A, D 
e C quando comparadas, individualmente, com a droga B. 
Organizando o arquivo de dados no Excel e no bloco de notas 
Arquivo de dados .xls (peso.xls) Arquivo de dados . txt (peso.txt) 
ql linha coluna trat put 
q1 l1 c1 D 44 
q1 l2 c1 B 26 
q1 l3 c1 C 67 
q1 l4 c1 A 77 
q1 l1 c2 C 39 
q1 l2 c2 A 45 
q1 l3 c2 D 71 
q1 l4 c2 B 74 
q1 l1 c3 B 52 
q1 l2 c3 D 49 
q1 l3 c3 A 81 
q1 l4 c3 C 88 
q1 l1 c4 A 73 
q1 l2 c4 C 58 
q1 l3 c4 B 76 
q1 l4 c4 D 100 
q2 l5 c1 B 51 
q2 l6 c1 D 62 
q2 l7 c1 A 71 
q2 l8 c1 C 49 
q2 l5 c2 C 74 
q2 l6 c2 A 74 
q2 l7 c2 D 67 
q2 l8 c2 B 47 
q2 l5 c3 A 74 
q2 l6 c3 C 75 
q2 l7 c3 B 60 
q2 l8 c3 D 58 
q2 l5 c4 D 82 
q2 l6 c4 B 79 
q2 l7 c4 C 74 
q2 l8 c4 A 68 
 
ql linha coluna trat put 
q1 l1 c1 D 44 
q1 l2 c1 B 26 
q1 l3 c1 C 67 
q1 l4 c1 A 77 
q1 l1 c2 C 39 
q1 l2 c2 A 45 
q1 l3 c2 D 71 
q1 l4 c2 B 74 
q1 l1 c3 B 52 
q1 l2 c3 D 49 
q1 l3 c3 A 81 
q1 l4 c3 C 88 
q1 l1 c4 A 73 
q1 l2 c4 C 58 
q1 l3 c4 B 76 
q1 l4 c4 D 100 
q2 l5 c1 B 51 
q2 l6 c1 D 62 
q2 l7 c1 A 71 
q2 l8 c1 C 49 
q2 l5 c2 C 74 
q2 l6 c2 A 74 
q2 l7 c2 D 67 
q2 l8 c2 B 47 
q2 l5 c3 A 74 
q2 l6 c3 C 75 
q2 l7 c3 B 60 
q2 l8 c3 D 58 
q2 l5 c4 D 82 
q2 l6 c4 B 79 
q2 l7 c4 C 74 
q2 l8 c4 A 68 
Script no R para a obgtenção dos resultados acima 
# leitura dos dados pelo read.table 
dados.ex3 <- read.table("ex2dql.txt",header=TRUE) 
 
# imprimindo as 6 linhas iniciais do arquivo 
head(dados.ex3) 
# anexando o objeto dados.ex3 no caminho de procura 
 
Estatística Experimental 
121 
attach(dados.ex3) 
 
# gráfico Box-plot para cada nível de trat 
boxplot(peso~trat,col=2,xlab="Tratamentos") 
 
# quadro da anova 
put.av <-aov(put~ql+linha+coluna+trat) 
anova(put.av) 
 
# usando os recursos do pacote agricolae 
require(agricolae) 
put.tu <-HSD.test(put.av,"trat") 
 
# gráfico de barras com as letras do teste de Tukey 
bar.group(put.tu,ylim=c(0,90),density=20, 
col="brown", xlab="Tratamentos",ylab="Peso do Utero", 
main="Teste de Tukey") 
 
# retirandoo objeto dados.ex3 do caminho de procura 
detach(dados.ex3) 
 
12 Casualização dos tratamentos 
Suponha que queremos dispor os tratamentos A, B, C, e D sobre um 
quadrado latino 4 x 4 
 escolhemos aleatoriamente um dos quadrados padrões de 
tamanho 4. suponha 
 1 2 3 4 
1 A B C D 
2 B C D A 
3 C D A B 
4 D A B C 
 selecionemos uma das permutações de 1, 2, 3, e 4. suponha 2, 4, 
1, 3. então 
 1 2 3 4 
2 B C D A 
4 D A B C 
1 A B C D 
3 C D A B 
 selecionemos uma outra das permutações de 1, 2, 3, e 4. suponha 
1, 3, 4, 2. então 
 1 3 4 2 
2 B D A C 
4 D B C A 
1 A C D B 
3 C A B D 
Este é o delineamento escolhido. 
 
 
13 Exemplos em qua as unidades experimentais são animais 
 
Estatística Experimental 
122 
Neste tipo de experimento os próprios animais servem como um critério 
de classificação (linhas) e o tempo (colunas) é o outro, ou seja, medidas 
repetidas não aleatórias são obtidas de cada animal (pessoa) distribuídos a 
uma seqüência de tratamentos. 
Exemplo 4 O objetivo deste experimento foi testar o efeito de quatro diferentes 
suplementos (A, B, C, D) adicionados ao feno na engorda de novilhos. O 
experimento foi delineado em um experimento Quadrado Latino com quatro 
animais em quatro períodos de 20 dias. As ovelhas foram mantidas isoladas 
individualmente. Cada período consistia de 10 dias de adaptação e de 10 de 
medidas. Os dados apresentados abaixo são as médias de 10 dias. 
 Novilhos 
Período N1 N2 N3 N4 
1 10,0 (B) 10,2 (C) 8,5 (D) 11,8 (A) 
2 9,0 (C) 11,3 (A) 11,2 (B) 11,4 (C) 
3 11,1 (C) 11,2 (B) 12,8 (A) 11,7 (D) 
4 10,8 (A) 11,0(D) 11,0 (C) 11,0 (B) 
Script no R para resolver este exemplo 
# leitura dos dados pelo read.table 
dados.ex4 <- read.table("ex4dql.txt",header=TRUE) 
 
# imprimindo as 6 linhas iniciais do arquivo 
head(dados.ex4) 
 
# anexando o objeto dados.ex4 no caminho de procura 
attach(dados.ex4) 
 
# estatísticas resumo dos tratamentos do arquivo dados.ex4 
e.desc<- tapply(peso,trat,summary) 
e.desc 
 
# gráfico Box-plot para cada nível de trat 
boxplot(peso~trat,col=2,xlab="Tratamentos") 
 
# fazendo a análise diretamente pelo ExpDes 
# requerendo o ExpDes 
require(ExpDes) 
 
# quadro da anova 
latsd(trat,periodo,novilho,peso,quali=T,mcomp="tukey") 
 
# retirando o objeto dados.ex4 do caminho de procura 
detach(dados.ex4) 
 
 
 
RESUMO: 
 
Estatística Experimental 
123 
 
 
Estatística Experimental 
124 
7º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
1) Nos experimentos que tratam da produção de vacas leiteiras, a enorme variação entre os 
indivíduos exige um grande número de animais para a avaliação de diferenças moderadas. 
Qualquer esforço de aplicar vários tratamentos sucessivamente numa mesma vaca se complica 
pela diminuição do fluxo de leite, pela forma da curva de lactação e por uma correlação entre 
os erros eijk. Estas dificuldades são controladas com o uso de vários pares de quadrados 
latinos ortogonais onde as colunas representam as vacas e as linhas os períodos sucessivos 
da lactação, e os tratamentos são aplicados as vacas nos vários estágios. Num experimento 
procurou-se verificar o efeito de diferentes tipos de tratamentos, e é apresentado somente um 
quadrado latino, sem nos preocuparmos com os efeitos correlacionados. 
Os tratamentos (1,0 kg para cada 3,0 kg de leite produzido) foram os seguintes: 
A = Ração comum 
B = 75% de ração comum + 25% de rolão de milho. 
C = 50% de ração comum + 50% de rolão de milho. 
D = 75% de ração comum + 25% de farelo de soja. 
E = 25% de ração comum + 75% de farelo de soja. 
Os valores da tabela correspondem a produção de leite (kg) por um período de seis semanas. 
Linhas Colunas (Vacas) Total 
(Período) 1 2 3 4 5 
1 B 318 E 416 A 420 C 424 D 330 1908 
2 D 325 A 435 E 418 B 438 C 333 1949 
3 E 342 B 441 C 395 D 418 A 380 1976 
4 A 353 C 403 D 410 E 395 B 375 1936 
5 C 310 D 381 B 422 A 432 E 314 1859 
Total 1648 2076 2065 2107 1732 9628 
a) Formule as hipóteses estatísticas para os tratamentos e monte o quadro da análise de 
variância de acordo com um delineamento quadrado latino e conclua 
b) Aplique o teste de Tukey para localizar as diferenças entre as médias dos tratamentos. 
Represente as diferenças com as médias (média±se), seguidas de letras. 
d) Teste a normalidade dos erros e a homogeneidade das variâncias dos tratamentos. 
e) Defina os contrastes abaixo e teste-os através da técnica de decomposição dos graus de 
liberdade dos tratamentos (teste F planejado) e complemente o quadro da anova do item b) 
com estes contrastes: 
c1) Existe efeito dos complementos adicionados à ração comum?; 
c2) Qual complemento adicionado à ração comum é melhor: rolão de milho ou farelo de 
soja?; 
c3) Qual percentual de rolão de milho é melhor ?; 
c4) Qual percentual de farelo de soja é melhor ?; 
f) Calcular e interpretar os coeficiente de variação (CV) do experimento e o de determinação R
2
 
do experimento. 
g) Com base nestas observações e nos resultados do item a) a utilização do delineamento em 
DQL é plenamente justificada? 
 
 
 
Estatística Experimental 
125 
 
2) Avaliação do efeito de anestésicos sobre o metabolismo animal é imprescindível ao 
cirurgião. Neste experimento são considerados 5 anestésicos e analisar variáveis como: 
frequência cardíaca,respiratória, pressão sanguínea, tempo efetivo de anestesia. Estas 
variáveis são muito instáveis com c.v. > 35,0 %. Existe uma reação muito diferente de animal 
para animal o que exigiria um número muito grande destes ( de 13 a 49 animais) para cada 
anestésico. Por outro lado estas respostas são de fluxo contínuo. Podemos testar todos os 
anestésicos, em ocasiões diferentes com intervalos de 2 a 3 dias, no mesmo animal. Se um 
animal recebe todos os anestésicos, em sequência controlada, todos os demais deverão 
também recebê-los, mas cada um dos cachorros deverá estar submetido a um anestésico 
diferente, de modo que, em um mesmo dia, todos os cães e todos os anestésicos estejam 
sendo testados. Com este procedimento, o eventual efeito de dia poderá estar controlado. 
A maneira mais simples de se controlar o efeito de dia de experimentação (ou período) e o 
efeito de cães, é o efeito de controle local (blocos). Uma solução prática que leva em conta os 
dois tipos de blocagem (período e animal) é o croqui do delineamento quadrado latino (DQL) 
onde as letras representam um anestésico específico com os seguintes resultados sobre tempo 
efetivo de anestesia: 
Período 
Animal I II III IV 
1 A(4,92) E(4,77) B(7,29) D(9,99) C(6,93) 
2 D(4,88) B(8,53) A(8,29) C(8,95) E(8,51) 
3 C(7,32) A(6,16) E(8,50) B(5,83) D(7,08) 
4 E(6,67) C(5,00) D(5,40) A(7,54) B(9,62) 
5 B(5,40) D(7,15) C(8,95) E(7,85) A(9,68) 
Aplique os mesmos itens da questão anterior. 
 
Estatística Experimental 
126 
Aula 8 Experimentos fatoriais 
1 Introdução 
Nos experimentos mais simples comparamos tratamentos ou níveis de 
um único fator, considerando que todos os demais fatores que possam interferir 
nos resultados obtidos se mantenham constantes. Por exemplo: quando 
comparamos tipos de drogas em animais experimentais, os demais fatores, 
como raça, idade, sexo etc., se mantêm constantes, isto é, devem ser os 
mesmos para todas as drogas estudadas. Entretanto, existem diversos casos 
em que vários fatores devem ser estudados simultaneamente. Nesses casos, 
utilizamo-nos dos experimentos fatoriais, que “são aqueles nos quais são 
estudados, ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais tipos de fatores ou 
tratamentos”. Entenda-se por fator “uma variável independente cujos valores 
(níveis do fator) são controlados pelo experimentador”. Cada subdivisão de um 
fator é denominada de nível do fator e os tratamentos nos experimentos 
fatoriais consistem de todas as combinações possíveis entre os diversos 
fatores nos seus diferentes níveis. 
Por exemplo: num experimento fatorial podemos combinar 2 doses de 
um antibiótico com 3 diferentesníveis de vitamina B12. Neste caso teremos um 
fatorial 2 x 3, com os fatores Antibióticos (A) e Vitamina (V), que ocorrem em 
2 níveis (A1 e A2) e 3 níveis (V1, V2 e V3), respectivamente, e os 2 x 3 = 6 
tratamentos são: 
A1V1 A1V2 A1V3 
A2V1 A2V2 A2V3 
Outro exemplo: num experimento fatorial 3 x 2 podemos combinar 3 
Doses de uma droga (D1, D2 e D3), 2 Idades (I1 e I2) e teremos 3x2 = 6 
tratamentos, que resultam de todas as combinações possíveis dos níveis dos 3 
fatores, ou seja, 
D1I1 D1I2 
D2I1 D2I2 
D3I1 D3I2 
Os experimentos fatoriais não constituem um delineamento experimental 
e sim um esquema orientado de desdobramento de graus de liberdade de 
tratamentos e podem ser instalados em qualquer um dos delineamentos 
experimentais já estudados (DIC, DBC e DQL, por exemplo). 
Em um experimento fatorial nos podemos estudar não somente os 
efeitos dos fatores individuais, mas também, se o experimento foi bem 
conduzido, a interação entre os fatores. Para ilustrar o conceito de interação 
vamos considerar os seguintes exemplos: 
Suponha que as médias dos 3 x 2 = 6 tratamentos deste último exemplo 
são apresentadas na tabela abaixo: 
 
 Fator B - Idade 
Fator A-(Dose da Droga) I0 I1 
D0 5 10 
D1 10 15 
D2 15 25 
 
 
 
Estatística Experimental 
127 
 
Os seguintes aspectos importantes dos dados na Tabela acima devem 
ser destacados: 
 Para ambos os níveis do fator B, a diferença entre as médias para 
quaisquer níveis do fator A é a mesma; 
 Para todos os níveis do fator A, a diferença entre as médias para 
os dois níveis de B é a mesma; 
 Uma terceira característica é notada por meio do gráfico. Notamos 
que as curvas correspondentes aos diferentes níveis de um fator 
são todas paralelas. 
Quando os dados da população possuem estas três características 
listadas acima, dizemos que não existe interação presente entre os fatores. A 
presença de interação entre os fatores pode afetar as características dos dados 
de várias formas dependendo da natureza da interação. Vamos ilustrar o efeito 
de um tipo de interação modificando os dados da tabela apresentada 
anteriormente 
 Fator B: Idade 
Fator A: Dose da Droga I0 I1 
D0 5 15 
D1 10 10 
D2 20 5 
Os seguintes aspectos importantes dos dados na Tabela acima devem 
ser destacados: 
 A diferença entre as médias para qualquer dos dois níveis de A não 
é a mesma para ambos os níveis de B; 
 A diferença entre as médias para ambos os níveis do fator B não é 
o mesmo nos níveis do fator A; 
 As curvas dos fatores não são paralelas, como é mostrado nos 
gráficos abaixo; 
 
 
 
Estatística Experimental 
128 
Quando os dados da população exibem as características acima, 
dizemos que existe interação entre os dois fatores. Enfatizamos que o tipo de 
interação ilustrada acima é somente uma das dos muitos tipos de interação que 
podem ocorrer entre dois fatores. 
Em resumo, podemos afirmar que “existe interação entre dois fatores se 
uma modificação em um dos fatores produz uma modificação na resposta em 
um dos níveis do outro fator diferente dos produzidos nos outros níveis deste 
fator”. 
As vantagens de um experimento fatorial são: 
 A interação dos fatores pode ser estudada; 
 Existe uma economia de tempo e de esforço. Nos experimentos 
fatoriais todas as observações podem ser usadas para estudar o 
efeito de cada um dos fatores investigados. A alternativa, quando 
dois fatores são investigados, seria o de conduzir dois diferentes 
experimentos, cada um para estudar cada um dos dois fatores. Se 
isto é feito, as observações somente produzirão informações sobre 
um dos fatores, e o outro experimento somente fornecerá 
informação sobre o outro fator. Para se obter o nível de precisão 
dos experimentos fatoriais, mais unidades experimentais seriam 
necessárias se os fatores fossem estudados por meio de dois 
experimentos. Isto mostra que 1 experimento com dois fatores é 
mais econômico que 2 experimentos com 1 fator cada um. 
 Visto que os vários fatores são combinados em um experimento, os 
resultados têm uma grande amplitude de aplicação. 
 
2 Definições iniciais 
Vamos considerar um experimento fatorial 2x2, com os fatores 
Antibiótico (A) e Vitamina B12 (B) nos níveis: a0 (sem antibiótico) e a1 (com 
antibiótico); b0 (sem Vitamina B12) e b1 (com vitamina B12), respectivamente, 
adicionados a uma dieta básica e os seguintes valores médios de ganho de 
peso (g) para os 2x2 = 4 tratamentos: 
 
 Fator B: Vitamina B12 
Fator A: Dose do antibiótico b0 b1 Médias 
a0 14 23 18,5 
a1 32 53 42,5 
Médias 23,0 38,0 30,5 
A representação gráfica fica: 
 
Definições: 
 
Estatística Experimental 
129 
 Efeito simples de um fator: como a medida da variação que 
ocorre com a característica em estudo (ganho de peso, neste 
exemplo) correspondente às variações nos níveis desse fator, em 
cada um dos níveis do outro fator. 
 Efeito simples do antibiótico no nível 0 de vitamina B12 : 
1814320001)( 0  babaA bdedentro 
 Efeito simples do antibiótico no nível 1 de vitamina B12: 
3023531011)( 1  babaA bdedentro 
 Efeito simples da vitamina B12 no nível 0 de antibiótico : 
1914230010)( 0  babaB adedentro 
 Efeito simples da vitamina B12 no nível 1 de antibiótico : 
2132530011)( 1  babaB adedentro 
 
 Efeito principal de um fator: é uma medida da variação que 
ocorre com a característica em estudo, correspondente às 
variações nos níveis desse fator, em média, de todos os níveis do 
outro fator. 
15
2
219
2
BB
BdeprincipalEfeito
24
2
3018
2
AA
AdeprincipalEfeito
10
10
adedentroadedentro
bdedentrobdedentro










)()(
)()(
 
 
 Efeito da interação entre os dois fatores: é uma medida da 
variação média que ocorre com a característica em estudo, 
correspondente às variações nos níveis de um fator, ao passar de 
um nível a outro do outro fator. 
,6
2
921
2
int
,,6
2
1830
2
int
)()(
)()(
01
01










adedentroadedentro
bdedentrobdedentro
BB
AxBdeeraçãodaEfeito
aindaou
AA
BxAeraçãodaEfeito
 
isto é, tanto faz calcular a interação A x B como a interação B x A 
As principais desvantagens dos experimentos fatoriais são: 
 O número de tratamentos aumenta muito com o aumento do 
número de níveis e de fatores, tornando praticamente impossível 
distribuí-los em blocos casualizados, devido à exigência de 
homogeneidade das parcelas dentro de cada bloco. 
 A análise estatística é mais trabalhosa (efeitos principais e 
interação de todos os fatores) e a interpretação dos resultados se 
torna mais difícil à medida que aumentamos o número de níveis e 
de fatores no experimento. 
 
3 O modelo matemático 
O modelo de um experimento fatorial com dois fatores, num 
delineamento inteiramente casualizado com r repetições, pode ser escrito 
como: 
ijkijjiijky   )( 
Sendo: 
 
Estatística Experimental 
130 
 
;

fatordonível
ésimojoefatordonívelésimoiorecebeuquerespostaésimakaéyikj 
;)(tan sobservaçõeastodasacomummédiateconsumaé 
 ;..,., a1icomfatordonívelésimoidoefeitooéi   
 ;...,,1 bjcomfatordonívelésimojdoefeitooéj   
 
;
int


fatordonívelésimoj
doefeitoocomfatordonívelésimoidoeraçãodaefeitooéij


r1kcomyobservaçãoàassociadoerimentalerrooé ijkijk ...,,exp 
 
4 Suposições do modelo 
As suposições associadas ao modelo; 
 As observações de cada célula ab constituem uma amostra 
aleatória de tamanho r retirada de uma população definida pela 
particular combinação dos níveis dos dois fatores; 
 Cada uma das ab populações é normalmente distribuída; 
 Todas as populações têm a mesma variância; 
 ),(~ 2ijk oN  ; 
 
.0)()(0
)(,
1111
 

b
j
ij
a
i
ij
b
j
j
a
i
i
ijji
e
condiçõesassatisfazemeparâmetrosose


 
Vale observar que “a” é o número de níveis do fator A, “b” é o número de 
níveis do fator B e “r” é o número de repetições de cada um dos “ab” 
tratamentos. No total temos “abr” unidades experimentais.5 Hipóteses estatísticas 
As seguintes hipóteses podem ser testadas nos experimentos fatoriais. 
 A hipótese de que não existe ou existe interação AB é equivalente 
às hipóteses 
b1jea1icom0Hvs0H ijAB1ijAB0 ...,,...,,)(:)(:   ; 
 De maneira análoga as hipóteses de que não existe efeito principal 
do fator A e B é a mesma que as hipóteses 
b1jcom0Hvs0H
a1icom0Hvs0H
jB1jB0
iA1iA0
...,,::
...,,::




, 
 respectivamente. 
 
6 Detalhes computacionais 
Apresentaremos alguns passos que facilitam os cálculos das somas de 
quadrados da ANOVA. 
O quadro abaixo mostra um possível arranjo dos dados de um 
experimento com os tratamentos em um arranjo fatorial 2 x 2 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
131 
a1 a2 
b1 b2 b1 b2 
111y 121y 
 
211y 221y 
112y 122y 
 
212y 222y 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
 . 
. 
. 
. 
. 
. 
r11y r12y 
 
r21y r22y 
 
Pode-se montar o seguinte quadro auxiliar dos totais 
(r) b1 b2 Totais 
a1 11Y 12Y 1Y 
a2 21Y 22Y 2Y 
TOTAL 
1Y 2Y Y 
 
Assim os cálculos do quadro da análise de variância são dados pelas 
seguintes expressões: 
 
 Soma de Quadrados do Total (SQT) 
;,
)(
,
)(
2be2asendo
abr
Y
CMsendo
abr
Y
YSQT
22r
1k
a
1i
b
1j
2
ijk 

  
 
 Soma de Quadrados do fator A, SQ(A) CMY
br
ASQ
a
i
i  


1
21)( ; 
 Soma de Quadrados do fator, B SQ(B) CMY
ar
BSQ
b
j
j  


1
21)( ; 
 Soma de Quadrados da interação AxB, SQ(AxB)=SQ(A,B)-SQ(A)-
SQ(B) ou CMY
r
1
AxBSQ
a
1i
b
11j
2
ij   
 
)( , sendo a SQ(A,B) a soma de 
quadrado conjunta, que nos fatoriais com dois fatores é igual à 
SQTr; 
 Soma de Quadrados do Resíduo (SQR) SQR=SQT-SQ(A)-SQ(B)-
SQ(AxB) ou 


  

r
1k
2
ij
r
1k
a
1i
b
1j
2
ijk YYSQR 
7 Quadro da anova 
Calculadas as SQ podemos montar o seguinte Quadro da ANOVA: 
 
 Fonte de Variação g.l. SQ QM F 
Fator A a-1 SQ(A) QM(A)=SQ(A)/(a-1) QM(A)/QMR 
Fator B b-1 SQ(B) QM(B)=SQ(B)/(b-1) QM(B)/QMR 
Int A xB (a-1)(b-1) SQ(AxB) QM(A)=SQ(AxB)/(a-1)(b-1) QM(AxB)/QMR 
Tratamentos ab-1 SQTr QMTr=SQTr/(ab-1) QMTr/QMR 
Resíduo ab(r-1) SQR QMR+SQR/ab(r-1) 
TOTAL abr-1 SQT 
 
8 Estatística e região crítica do teste 
 
Estatística Experimental 
132 
As estatísticas para os testes F da ANOVA são 
QMR
AxBQM
Fe
QMR
BQM
F
QMR
AQM
F cABcBcA
)()(
,
)(
 , 
a qual, deve ser próximo de 1 se H0 for verdadeira, enquanto que valores 
grandes dessa estatística são uma indicação de que H0 é falsa. A teoria nos 
assegura que FcA tem, sob H0 distribuição F – Snedecor com (a -1) e ab(r-1)) 
graus de liberdade no numerador e no denominador, respectivamente. 
Resumidamente, indicamos: 
01rab1acA HsobFF ,~ )),(,(  . 
Rejeitamos H0 para o nível de significância  se 
)),(,( 1rab1acA FF  , 
sendo, )),(,( 1rab1aF  o quantil de ordem )( 1 da distribuição F-Snedecor 
com (a -1) e ab(r-1) graus de liberdade no numerador e no denominador. 
De modo análogo temos FcB . Para a interação A x B a 
01rab1b1acAB HsobFF ,~ )),(,))(((  
e rejeitamos H0 para o nível de significância  se 
,)),(,))((( 1rab1b1acAB FF  , 
sendo, )),(,))((( 1rab1b1aF  o quantil de ordem )( 1 da distribuição F-
Snedecor com (a -1)(b-1) e ab(r-1) graus de liberdade no numerador e no 
denominador respectivamente. 
 
9 Exemplo 1 Considere o esquema fatorial 2 x 2 ( dois níveis de antibiótico, 
dois níveis de vitamina B12) para estudar o aumento de peso (Kg) diário em 
suínos. 
a0 – sem antibiótico; a1 – com 40 g de antibiótico 
b0 – sem vitamina B12 ; b1 – com 5 mg de vitamina B12 
Repetição 
a0 a1 
b0 b1 b0 b1 
1 1,30 1,26 1,05 1,52 
2 1,19 1,21 1,00 1,56 
3 1,08 1,19 1,05 1,55 
Totais 3,57 3,66 3,10 4,63 
 
Formato do arquivo .txt Formato no Excel 
anti vitb12 trat g.peso 
ao b0 t1 1.30 
ao b0 t1 1.19 
ao b0 t1 1.08 
ao b1 t2 1.26 
ao b1 t2 1.21 
ao b1 t2 1.19 
a1 b0 t3 1.05 
a1 b0 t3 1.00 
a1 b0 t3 1.05 
a1 b1 t4 1.52 
a1 b1 t4 1.56 
a1 b1 t4 1.55 
anti vitb12 trat g.peso 
ao b0 t1 1.30 
ao b0 t1 1.19 
ao b0 t1 1.08 
ao b1 t2 1.26 
ao b1 t2 1.21 
ao b1 t2 1.19 
a1 b0 t3 1.05 
a1 b0 t3 1.00 
a1 b0 t3 1.05 
a1 b1 t4 1.52 
a1 b1 t4 1.56 
a1 b1 t4 1.55 
 
Notem que neste caso o delineamento experimental foi o inteiramente 
casualizado com os tratamentos num esquema fatorial 2 x 2, com 3 repetições 
 
Estatística Experimental 
133 
Outra forma de apresentação dos dados 
Trat. Repetição Totais 
a0b0 1,30 1,19 1,08 3,57 
a0b1 1,26 1,21 1,19 3,66 
a1b0 1,05 1,00 1,05 3,10 
a2b2 1,52 1,56 1,55 4,63 
Calculo das Soma de Quadrados: 
e então, podemos construir um primeiro quadro de análise de variância: 
 
Fonte de variação gl SQ QM F 
Tratamentos 3 0,4124 0,1398 38,13 
Resíduo 8 0,0293 0,003667 
TOTAL 11 0,4417 
Como 597F 01083 ,).;,(  podemos concluir que pelo menos duas médias 
de tratamentos diferem significativamente (p<0,01) entre si quanto ao ganho de 
peso diário de suínos. A continuação da análise pode envolver a comparação 
das médias dos tratamentos por meio de um dos procedimentos de 
comparações múltiplas conhecidos, como os testes de Tukey, Duncan, t-
Student, Scheffé etc. 
Uma alternativa de análise mais simples e mais informativa, está 
baseada no esquema fatorial dos tratamentos. Utilizando o quadro com os 
totais das combinações dos níveis dos fatores A e B e as fórmulas 
apresentadas anteriormente, podemos construir um novo quadro de análise de 
variância que permitirá testar se existe interação entre os dois fatores e se 
cada um dos fatores tem efeito significativo sobre o desenvolvimento dos 
suínos. 
Quadro auxiliar com os totais das combinações dos níveis de 
antibióticos (a0, a1)e vitamina B12 
 b0 b1 Totais 
a0 3.57 3,66 7,23 
a1 3,10 4,63 7,73 
Totais 6,67 8,29 14,96 
Assim, 
.1728,02187,00208,04124,0)(
;2187,0
)3(4
96,14
)3(2
29,8
)3(2
67,6
)(
;0208,0
)3.(4
96,14
)3.(2
73,7
)3.(2
23,7
)(
22
222



AxBSQ
BSQ
ASQ
 
 
Notem que SQTr = SQ(A) + SQ(B) + SQ(AxB) e que as somas de 
quadrados associadas ao total e ao resíduo permanecem inalteradas. 
O novo quadro da ANOVA fica: 
,,,,
;,
))()((
),(,,,,
;,
),(
))()((
),...,(
),...,(
029304124044180SQTrSQTSQR
41240
322
9614
3
634
3
103
3
613
3
573
SQTr
44170
12
9614
322
551301
551301SQT
22222
22
22





 
Estatística Experimental 
134 
 Fonte de variação gl SQ QM F 
Antibótico (A) 1 0,0208 0,0208 5,68
 
Vitamina B12 (B) 1 0,2187 0,2187 59,65
 
Int. AxB 1 0,1728 0,1728 47,13
 
Tratamentos (3) 0,4124 0,137 37,33 
Resíduo 8 0,0293 0,00367 
TOTAL 11 0,4417 
Da tabela apropriada, temos F(3, 8; 0,01) = 7,59; F(1, 8, 0,05) = 5,32 ; F(1, 8 ; 
0,01) = 11,26 Comparando os valores calculados das estatísticas F, podemos 
concluir que: 
 o teste para a interação AxB foi significativo (p < 0,01), indicando 
que o efeito da vitamina B12 na presença ou ausência de antibiótico 
é significativamente diferente. 
 
Como a interação AxB resultou significativa (veja o gráfico apresentado 
acima), as interpretações da significância dos testes dos efeitos simples de 
Antibiótico (A) e de Vitamina B12 (B) perdem o significado. Precisamos estudar 
a interação fazendo os seguintes desdobramentos: 
a) Desdobramento da interação AxB para estudar o comportamento dos 
fator A dentro de cada nível de vitamina B12 (b0 e b1) : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, monta-se a seguinte análise de variância do desdobramento dos 
graus de liberdade da interação A x B para se estudar o efeito do antibiótico 
no ganho de peso diário de suínos na ausência e na presença da vitamina B12. 
1568,0
)3(2
)29,8(
)63,466,3(
3
1
)(2
)(
1
)(
,0368,0
)3(2
)67,6(
)10,357,3(
3
1
)(2
)(
1
)(2
22
2
22
22
2
12
2
22
2
12
21
2
11
1
0








r
Y
YY
r
ASQ
r
Y
YY
r
ASQ
bdedentro
bdedentro
 
Estatística Experimental 
135 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F Pr.Fc 
0bdedentro
A 1 0,0368 0,0368 10,04 0.0132 
1bdedentro
A 1 0,1568 0,1568 42,76 2e-04 
Residuo 8 0,0293 0,00367 
A linha do resíduo é a mesma da ANOVA anterior. 
Comparando os valores calculados da estatística F com o valor tabelado 
311Fe325F 0108105081 ,, ),;,(),;,(  , conclui-se que o efeito do fator antibiótico no 
peso diário de suínos no nível b0 de vitamina B12 é significativo (p<0,05) e 
significativo (p<0,01) no nível b1 da vitamina B12. Ou então, que: 
 Quando se utiliza a dose b0 de vitamina B12 existe uma diferença 
no peso diário dos suínos. A estimativa desta diferença é dado por 
KgbabaA bdedentro 16,019,103,10001)( 0  , e ela é 
significativa pelo teste F da ANOVA do desdobramento, indicando 
que somente o efeito do antibiótico prejudica o peso diário dos 
suínos, em média de 0,16 kg. 
 Quando se utiliza a dose b1 de vitamina B12 existe uma diferença 
no peso diário dos suínos. A estimativa desta diferença é dada por 
KgbabaA bdedentro 32,022,154,11011)( 1  
é significativa pelo teste F da ANOVA do desdobramento, indicando 
que a combinação dos níveis a1 do antibiótico e b1 da vitamina B12, 
favorece em média 0,32 kg o peso diário dos suínos. 
 
b) Desdobramento da interação AxB para estudar o comportamento dos 
fator B dentro de cada nível de antibiótico A (a0 e a1) (como exercício 
preencher os espaços) 

 
2
2
12
12
2
11adedentro
3
1
r2
Y
YY
r
1
BSQ
0
)(
)(
)(
)()(
 

 
2
2
22
22
2
21adedentro
3
1
r2
Y
YY
r
1
BSQ
1
)(
)(
)(
)()(
 
Assim, monta-se a seguinte análise de variância do desdobramento dos 
graus de liberdade da interação A x B para se estudar o efeito da vitamina B12 
no ganho de peso diário de suínos na ausência e na presença de antibiótico: 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F 
0adedentro
B 1 0,00135 0,00135 0,3682 
1adedentro
B 1 0,39015 0,39015 106,4045 
Residuo 8 0,0293 0,00367 
 
(Concluir como no desdobramento anterior) 
Podemos comparar as médias de peso diário de suínos dos antibióticos, 
para cada uma dos níveis de vitamina B12, utilizando o Teste de Tukey (5%). 
Para tanto, calculamos: 
 
Estatística Experimental 
136 
11400
3
0,00367 
263
3
QMR
q
r
QMR
qdms 05082050resíduodogla ,,),;,(),:,(  
Quadro auxiliar com as médias dos antibióticos para cada um dos níveis 
da vitamina B12, 
 b0 b1 
a0 1,19 A 1,22 A 
a1 1,03 B 1,54 B 
Obs.: médias seguidas pelas mesmas letras maiúsculas, nas colunas, não diferem entre si a 5% de 
probabilidade, pelo Teste de Tukey 
(fazer como exercício o teste de Tukey a 5%, para as linhas) 
Notação geral dos totais de um esquema fatorial 2 x 2 organizados em 
uma tabela 2x2, do tipo: 
(r) b0 b1 Totais 
a0 11Y 12Y 1Y 
a1 21Y 22Y 2Y 
TOTAL 
1Y 2Y Y 
As fórmulas das Somas de Quadrados podem ser escritas de uma forma 
geral: 
)()()(
;
))()((
)(
)()(
))()((
)(
)()(
;
))()((
)(
)(
))()((
)...(
BSQASQSQTrBxASQ
rba
Y
YY
r2
1
BSQ
rba
Y
YY
r2
1
ASQ
rba
Y
YYYY
r
1
SQTr
rba
Y
YYSQT
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
22
2
21
2
12
2
11
2
2
222
2
111












 
Script no r para obter os resultados acima 
# entrada dos dados pelo comando read.table( ) 
dados.ex1 <- read.table("ex1fat.txt", header=T) 
 
# imprimindo as 6 primeiras linhas do arquivo dados.ex1 
head(dados.ex1) 
 
# anexando o objeto dados.ex1 no caminho de procura 
attach(dados.ex1) 
 
# calculo das interações - Quadros dos totais 
int.total <- tapply(g.peso, list(anti, vitb12), sum) 
int.total 
 
# calculo dos totais marginais do fator vitamina B12 
total.vitb12<- tapply(g.peso,vitb12,sum) 
total.vitb12 
 
# calculo dos totais marginais do fator antibiótico 
total.anti<- tapply(g.peso,anti,sum) 
 
Estatística Experimental 
137 
total.anti 
 
# calculo das interações - Quadros das médias 
int.media <- tapply(g.peso, list(anti, vitb12), mean) 
int.media 
 
# calculo das médias marginais do fator vitamina B12 
media.vitb12<- tapply(g.peso,vitb12,mean)# calculo das médias do fator 
vitamina b12ibiótico 
media.vitb12 
 
# calculo das médias marginais do fator antibiótico 
media.anti<- tapply(g.peso,anti,mean)# calculo das médias do fator vitb12 
media.anti 
 
# anova sem o desdobramento do fatorial 
gpeso.av <- aov(g.peso~trat) 
summary(gpeso.av) 
 
# quadro da anova no esquema fatorial 
gpesofat.av <- aov(g.peso~anti+vitb12+anti*vitb12) 
summary(gpesofat.av) 
 
# gráfico da interação 
interaction.plot(vitb12, anti, g.peso,col=2,lwd=2, 
ylab="médias",xlab="Vitamina B12", 
main="Gráfico da Interação") 
 
# requerendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
fat2.crd(anti, vitb12, g.peso, quali = c(TRUE, TRUE), mcomp = "tukey", 
fac.names = c("Antibiótico", "Vitamina B12")) 
 
# dms do teste de tukey para antibiótico dentro de cada nível da vitamina 
dms<- qtukey(0.95,2,8)*sqrt(anova(gpesofat.av)[4,3]/3) 
dms 
 
# retirando o objeto dados.ex1 do caminho de procura 
detach(dados.ex1) 
 
Estatística Experimental 
138 
 8º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
1) Num experimento fatorial 2
2
 ou 2 x 2, no delineamento inteiramente casualizado, com 6 
repetições, foram estudadas as influências de 2 fatores (A: Antibiótico e B: Vitamina B12) sobre 
o ganho de peso diário em suínos. 
Os tratamentos utilizados foram: 
1- a0v0 - Testemunha = sem antibiótico e sem vitamina B12 
2- a1v0 - 40 

g de antibiótico 
3- a0v1 - 5 mg de vitamina B12 
4- a1v1 - 40  g de antibiótico + 5 mg de vitamina B12. 
Os resultados do ganho de peso diários, em gramas, foram os seguintes: 
Tratamentos 1ª Rep. 2ª Rep. 3ª Rep. 4ª Rep. 5ª Rep. 6ª Rep. 
a0v0 590 540 491 532 545 544 
a1v0 476 454 476 481 464 463 
a0v1 572 549 540 558 563 562 
a1v1 690 708 703 712 691 721 
Usando o programa R, pede-se: 
a) Escreva o modelo matemático deste experimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quadro dos Totais Quadro das Médias 
 b0 b1 Totais b0 b1 Médias 
 a0 a0 
a1 a1 
Totais Médias 
b) Formule as hipóteses estatísticas para os fatores do fatorial e monte o quadro da análise de 
variância com desdobramento dos graus de liberdade dos tratamentos de acordo com o 
esquema fatorial 2 x 2 e preencha os espaços das fórmulas abaixo: 
 
 
 
 
 
 











 
  
 22
2
2
1i
2
j
6
1k
ijk
abr
Y
abr
y
CM
)...()(
 
 
  

abr
y
ySQT
2r
1k
a
1i
b
1j
2
ijk
)(
 
     222i CMy
br
1
ASQ )()()(
 
 
Estatística Experimental 
139 
     222 )()(
1
)( CMy
ar
BSQ j
 
   



22
2
22
2
21
2
12
2
11
...)(
)(
1
),()()(
CMyyy
r
SQTr
sendoBSQASQSQTrBxASQ
 
 )(AxBSQSQBSQASQTSQR 
 








)1)(1(
)(
)(;
1
;
1
ba
AxBSQ
AxBQM
b
SQB
QMB
a
SQA
QMA
 




pdevalor
QMR
QMA
F
ababr
SQR
QMR
A
 
 pdevalor
QMR
QMB
FB 
 
 pdevalor
QMR
AxBQM
FAB
)(
 
Complete o quadro da anova abaixo: 
 F. V. gl SQ QM F p 
Antibótico (A) 
 
Vitamina B12 (B) 
 
Int. AxB 
 
Tratamentos 
Resíduo 
TOTAL 
Conclusões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
140 
c) Caso a interação seja significativa, fazer o desdobramento da interação, estimando testando 
os efeitos simples dos efeitos dos antibióticos dentro de vitaminas e da vitamina dentro de 
antibióticos (teste da análise de variância), ou seja, preencha as fórmulas abaixo e o quadro da 
anova 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F p 
0bdedentro
A 
1bdedentro
A 
Resíduo 
Conclusões:Escrever as fórmulas para o desdobramento de Bdentro de ao e Bdentro de a1, monte o quadro da 
anova abaixo 

 
2
2
12
12
2
11
)(
)(
)(
)(
1
)(
0 ra
y
yy
r
BSQ adedentro
 

 
2
2
12
22
2
211
)(
)(
)(
)(
1
)(
ra
y
yy
r
BSQ adedentro
 
 
 
  
 
)(
)(
)()(
)(
)(
1
)(
2
22
2
12
21
2
110 rb
y
yy
r
ASQ bdedentro
  




)(
)(
)(
)(
)()(
)(
2
2
2
22
22
2
12bdedentro
2
1 r2
y
yy
r
1
ASQ
 
Estatística Experimental 
141 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F p 
0adedentro
B 
1adedentro
B 
Residuo 
Conclusões: 
 
 
 
 
 
 
 
d) Ainda com relação ao item c), dê uma estimativa dos efeitos simples de antibióticos e de 
vitaminas e conclua se eles são significativos. Aplique o teste de Tukey para localizar as 
diferenças entre as médias dos antibióticos dentro de vitaminas e das médias das vitaminas 
dentro de antibióticos Represente as diferenças com as médias, seguidas de letras. Tire as 
conclusões práticas para este ensaio. Esboce o gráfico da interação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

r
QMR
qdms resíduodogla )05,0:,( 
 b0 b1 Médias 
a0 
a1 
Médias 
Conclusões: 
 
 
 
 
d) Dê uma estimativa dos efeitos simples de antibióticos e de vitaminas. 
 
 
 
e) Teste a normalidade dos erros e a homogeneidade das variâncias dos tratamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
142 
g) Calcular os coeficientes de determinação (R
2
) e o de variação do experimento (CV). 
 
 
 
 
 
 
 
 
(escrever um script no R para resolver esta questão) 
 
2) Num experimento fatorial 2 x 4 , no delineamento em blocos casualizados, com 2 repetições 
(2 Blocos), foram estudadas as influências da primeira alimentação de colostro no nível de 
imunoglobulina em vacas leiteiras. O fator A foi a quantidade de comida (0,5 e 1,5 kg) e o fator 
B foi o tempo da primeira alimentação (1, 2, 6, ou 12 horas depois do nascimento). Os valores 
observados são unidades de “turbidimetric” relativas ao sulfato de bário padrão de 20 quando o 
sangue foi amostrado 48 horas após o nascimento. O colostro foi misturado para eliminar a 
variação entre as vacas. 
 Tempo da 1ª alimentação 
Bloco Quantidade 
de comida 
(kg) 
 
1 
 
2 
 
6 
 
12 
I 0,5 7,9 10,2 6,1 2,3 
1,5 11,7 10,7 9,9 5,4 
II 0,5 9,5 6,0 7,8 7,1 
1,5 15,0 11,7 9,4 7,2 
Responder aos mesmos itens do exercício 1) (Atenção este é um fatorial 2 x 3) 
 
3) Um experimento foi realizado para estudar a influência no tempo de hemorragia do período, 
fator A, e um composto estrogênio, fator B , em plasma de sangue em ovelhas. Cinco ovelhas 
foram sorteadas para cada um dos quatros tratamentos: a1b1 – de manhã e sem estrogênio; 
a1b2 – de manhã com estrogênio; a2b1 – de tarde e sem estrogênio; a2b2 – de tarde com 
estrogênio 
 
Tratamentos Rep. 1 Rep. 2 Rep. 3 Rep. 4 Rep. 5 
a0 b0 8,53 20,53 12,53 14,00 10,80 
a0 b1 17,53 21,07 20,80 17,33 20,07 
a1 b0 39,14 26,20 31,33 45,80 40,20 
a1 b1 32,00 23,80 28,87 25,06 29,33 
Responder aos mesmos itens do ecercício 1) 
 
4) Um experimento para verificar o peso aos 180 dias de suínos com as raças Landrace e 
Large White, utilizou-se de 480 suínos, machos e fêmeas, sendo estes distribuídos em três 
suínoculturas. a) Quais os fatores que podem influenciar a resposta medida. b) Estabeleça um 
modelo matemático para o experimento. c) Faça um esquema da análise de variância (F.V. e 
g.l.) para o experimento. 
 
5) Em um experimento realizado na Fazenda Experimental Iguatemi da Fundação Universidade 
Estadual de Maringá, para verificar o efeito de diferentes tipos de instalações durante o inverno 
e verão sobre o ganho de peso e conversão alimentar de coelhos da raça Nova Zelândia, aos 
40 e 70 dias de idade, foram utilizados 3 tipos de instalações, gaiolas ao ar livre, gaiolas de 
arame galvanizado em galpão aberto e gaiolas de arame galvanizado em galpão fechado. 
Utilizou-se 178 animais machos e fêmeas para a obtenção dos dados. a) Quais os fatores que 
podem influenciar a resposta medida. b) Estabeleça um modelo matemático para o 
experimento. c) Faça um esquema de análise de variância para o experimento. 
 
Estatística Experimental 
143 
Aula 9 Experimentos fatoriais: analisando um fatorial A x B 
O método de análise de um experimento fatorial 2 x 2 pode, de uma 
maneira geral, ser estendido a qualquer experimento fatorial A x B. A 
estratégia para analisar um experimento fatorial a x b é a mesma utilizada 
para os experimentos fatoriais 2 x 2. 
 teste a interação entre os dois fatores. 
 se a interação é significativa, então analisamos os efeitos simples 
dos dois fatores. 
 se a interação é não significativa, então analisamos os efeitos 
principais de cada fator 
 
Exemplo 1 Casualização dos tratamentos de um esquema fatorial 2 x 3 em 
DBC com 4 repetições: 
 
 Tratamentos 
 b1 a1b1 
a1 b2 a1b2 
 b3 a1b3 
 
 b1 a2b1 
a2 b2 a2b2 
 b3 a2b3 
 
Com o seguinte esquema da ANOVA 
Fonte de Variação g l 
Fator A a - 1 
Fator B b - 1 
Int. A x B (a – 1)(b – 1) 
Tratamentos ab - 1 
Blocos r -1 
Resíduo (ab -1)(r – 1) 
Total abr - 1 
 
De uma maneira geral as somas de quadrados são dadas por: 
)()()(),()(),()(
;...)(
;...)(
;...
)...(
2
.
22
2
2
1
222
2
2
1
222
12
2
11
2
22
111
BSQASQSQTrAxBSQouBSQASQBASQAxBSQ
abr
Y
ar
Y
ar
Y
ar
Y
BSQ
abr
Y
br
Y
br
Y
br
Y
ASQ
abr
Y
r
Y
r
Y
r
Y
SQTr
abr
Y
YYSQT
j
i
ab
abk









 
Bloco I Bloco II Bloco III Bloco IV 
a2b1 a2b3 a1b2 a1b1 
a1b2 a2b2 a2b1 a1b3 
a2b2 a1b1 a2b2 a2b1 
a2b3 a2b1 a1b3 a2b2 
a1b1 a1b2 a2b3 a1b2 
a1b3 a1b3 a1b1 a2b3 
 
 
Estatística Experimental 
144 
Como dissemos na aula passada: nos fatoriais A x B a Soma de 
Quadrados Conjunta SQ(A,B) é igual à Soma de Quadrados dos Tratamentos 
SQTr. 
Quadro da ANOVA no DIC 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F 
A a-1 S.Q.(A) Q.M.(A) FA 
B b-1 S.Q.(B) Q.M.(B) FB 
Interação A x B (a-1)(b-1) S.Q.(AB) Q.M.(AB) FAB 
Tratamentos ab-1 S.Q. Trat. Q.M. Trat. FTr 
Resíduo ab (r-1) S.Q. Res. Q.M. Res. 
Total abr-1 S.Q. Total 
Exemplo 1. Fatorial 2 x 3 (com interação não significativa): 
O crescimento do conteúdo de água em tecidos de lesmas sob 6 
diferentes condições experimentais foi avaliada. As 6 condições foram obtidas 
combinado-se os dois níveis de temperatura (fator A) com três níveis de 
umidade (fator B) com. Foram feitas 4 repetições para cada combinação de 
tratamento. Os resultados, em porcentagem, foram : 
Fator A 
(Temperatura ºC) 
Fator B – Umidade (%) 
45 75 100 
 
20 
76 64 72 82 100 96 
79 71 86 86 92 100 
 
30 
72 72 72 75 100 94 
64 70 82 84 98 99 
 Formato no Excel (.xls) Formato no Bloco de notas (.txt) 
Temp umi trat ca 
20 45 t1 76 
20 45 t1 64 
20 45 t1 79 
20 45 t1 71 
20 75 t2 72 
20 75 t2 82 
20 75 t2 86 
20 75 t2 86 
20 100 t3 100 
20 100 t3 96 
20 100 t3 92 
20 100 t3 100 
30 45 t4 72 
30 45 t4 72 
30 45 t4 64 
30 45 t4 70 
30 75 t5 72 
30 75 t5 75 
30 75 t5 82 
30 75 t5 84 
30 100 t6 100 
30 100 t6 94 
30 100 t6 98 
30 100 t6 99 
 
temp umi trat ca 
20 45 t1 76 
20 45 t1 64 
20 45 t1 79 
20 45 t1 71 
20 75 t2 72 
20 75 t2 82 
20 75 t2 86 
20 75 t2 86 
20 100 t3 100 
20 100 t3 96 
20 100 t3 92 
20 100 t3 100 
30 45 t4 72 
30 45 t4 72 
30 45 t4 64 
30 45 t4 70 
30 75 t5 72 
30 75 t5 75 
30 75 t5 82 
30 75 t5 84 
30 100 t6 100 
30 100 t6 94 
30 100 t6 98 
30 100 t6 99 
 
Os totais das 4 repetições para o fatorial A x B = (2)(3)= 6 tratamentos 
são os seguintes: 
 
Estatística Experimental 
145 
(4) 
Níveis de A 
(Temperatura ºC)) 
 
Níveis de B (Umidade (%)) 
 
b1 = 45 % b2 = 75 % b3 = 100 % Total 
a1 = 20 ºC 290 326 388 1004a2 = 30 ºC 278 313 391 982 
Total 568 639 779 1986 
Cálculos das soma de quadrados: 
08,2075,288117,200,2922
)()()*(
;75,2881
)4)(3)(2(
1986
)4)(2(
779
...
)4)(2(
568
)(
;17,20
)4)(3)(2(
1986
)4)(3(
982
)4)(3(
1004
)(
;0,2922
)4)(3)(2(
1986
4
491
...
4
326
4
290
5,3386
)4)(3)(2(
1986
)99...76(
222
222
2222
2
22






BSQASQSQTrBASQ
BSQ
ASQ
SQTr
SQT
 
Quadro da anova 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F Pr>(Fc) 
Temperatura (A) 1 20,17 20,17 0,78
ns 
 0.388 
Umidade (B) 2 2881,75 1440,88 55,85
** 
1.91e-08 
Interação A x B 2 20,08 10,04 0,39
ns 
0.683 
Tratamentos (5) 2922,0 584,40 22,65
* 
3.48e-07 
Resíduo 18 464,5 25,81 
Total 23 3386,5 
F(1, 18; 0,05) = 4,41 ; F(1, 18, 0,01)= 8,29; F(2, 18; 0,05)= 3,55; F(2, 18, 0,01)= 6,01 
F(5, 18; 0,05) = 2,77; F(5, 18, 0,01)= 4,25 
Do quadro acima, observamos que o teste da interação entre a 
temperatura e umidade não é significativa (p>0,05), e concluímos que os dados 
não suportam a hipótese de uma interação entre temperatura e umidade. Dado 
que a interação não foi significativa, a análise prossegue analisando-se os 
efeitos principais da temperatura e da umidade isoladamente. Isto pode ser 
feito analisando-se os dois tipos de diferenças: 
 as diferenças entre os conteúdos médios da água nos tecidos nos 
dois níveis de A (temperatura). 
 as diferenças entre os conteúdos médios da água nos tecidos nos 
três níveis de B (umidade). 
O teste F para o efeito principal A é não significativo (p>0,05), e portanto 
não existe evidências suficientes para concluir que os valores médios do 
conteúdo da água nos tecidos são diferentes nos dois níveis de temperatura, 
entretanto, o teste F para o efeito principal da umidade é altamente significativo 
(p<0,01), o que implica que os dados suportam a conclusão de que os valores 
médios do conteúdo da água nos tecidos não são os mesmos nos três níveis 
da umidade. 
Isto pode ser visualizado na tabela de médias abaixo (última linha): 
 
 
Estatística Experimental 
146 
Quadro de médias dos tratamentos 
(4) 
(Temperatura ºC)) 
Níveis de B ( Umidade (%) ) 
b1 = 45 % b2 = 75 % b3 = 100 % Médias 
a1 = 20 ºC 72,50 81,50 97,00 83,67 A 
a2 = 30 ºC 69,50 78,25 97,75 81,83 A 
Médias 71,00 c 79,88 b 97,38 a 82,75 
Médias com a mesma letra maiúscula nas colunas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% 
Médias com a mesma letra minúscula nas linhas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% 
Fazendo o gráfico da interação (níveis de b no eixo x e níveis de a em y) 
 
Cálculos do teste de Tukey: 
 para o efeito principal A (temperatura): 
 
364
12
8125
972dms
972q
A
050182
,
,
,
,),;,(


 
 para o efeito principal de B (Umidade): 
 
486
8
8125
9o63dms
6093q
B
050183
,
,
,
,),;,(


 
Gráfico das médias dos tratamentos
Interação A x B
Umidade (%)
Média 
observa
da do c
onteúdo
 da águ
a (%)
66
72
78
84
90
96
102
45 75 100
 20 º C
 30 º
 Média
 
 
O gráfico das médias dos tratamentos fornece um conveniente método 
de mostrar os resultados. As linhas sólidas no gráfico da interação são 
 
Estatística Experimental 
147 
praticamente paralelas, isto confirma o resultado do teste F para a interação 
entre temperatura e umidade. Mais ainda, a proximidade das duas linhas 
sólidas indica que as diferenças entre as respostas médias observadas nas 
duas temperaturas são não significativas; esta conclusão é confirmada pelo 
teste F do efeito principal da temperatura. Uma checagem gráfica para 
presença do efeito principal da umidade é dada pela orientação da linha 
pontilhada. Se o efeito principal de tal efeito não estivesse presente, então a 
linha pontilhada deveria estar paralela ao eixo x. O gráfico mostra que não é 
este o caso. O teste F para o efeito principal de B (umidade) suporta esta 
conclusão. 
Outra forma de explicar a significância do fator B é por meio da 
regressão polinomial, ou seja, as diferenças entre as médias do fator umidade 
são explicadas por equação do segundo grau 
Gráfico das médias do fator B
Equação ajustada
y=82.471-0.585*x+0.007*x̂2+eps
Umidade (%)
Médias 
dos con
teúdo d
a água 
(%)
68
72
76
80
84
88
92
96
100
40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
 
Script no R para obter os resultados do exemplo 1 
# entrada dos dados pelo comando read.table( ) 
dados.ex1_9 <- read.table("ex1fat_9.txt", header=T) 
 
# imprimindo as 6 primeiras linhas do arquivo dados.ex1_9 
head(dados.ex1_9) 
 
# anexando o objeto dados.ex1_9 no caminho de procura 
attach(dados.ex1_9) 
 
# calculo das interações - Quadros dos totais 
int.total <- tapply(ca, list(temp, umi), sum) 
int.total 
 
# calculo dos totais marginais do fator temperatura 
total.temp<- tapply(ca,temp,sum) 
total.temp 
 
# calculo dos totais marginais do fator umidade 
total.umi<- tapply(ca,umi,sum) 
total.umi 
 
# calculo das interações - Quadros das médias 
int.media <- tapply(ca, list(temp, umi), mean) 
 
Estatística Experimental 
148 
int.media 
 
# calculo das médias marginais do fator temp 
media.temp<- tapply(ca,temp,mean) 
media.temp 
 
# calculo das médias marginais do fator antibiótico 
media.umi<- tapply(ca,umi,mean) 
media.umi 
 
# anova sem o desdobramento do fatorial 
ca.av <- aov(ca~trat) 
summary(ca.av) 
 
# quadro da anova no esquema fatorial 
cafat.av <- aov(ca~factor(temp)+factor(umi)+factor(temp)*factor(umi)) 
summary(cafat.av) 
 
# gráfico da interação 
interaction.plot(umi, temp, ca,col=2,lwd=2, 
ylab="médias de ca",xlab="níveis da umidade", 
main="Gráfico da Interação") 
 
# requerendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
fat2.crd(factor(temp), factor(umi), ca, quali = c(TRUE, TRUE), mcomp = 
"tukey", 
fac.names = c("Temperatura", "Umidade")) 
 
# dms do teste de tukey para fator temperatura 
dmsa<- qtukey(0.95,2,18)*sqrt(anova(cafat.av)[4,3]/12) 
dmsa 
 
# dms do teste de tukey para fator umidade 
dmsb<- qtukey(0.95,3,18)*sqrt(anova(cafat.av)[4,3]/8) 
dmsb 
 
# Regressão Linear 
# Definição de x e y 
x <- c(45,75,100) 
ca.media <- tapply(ca,umi,mean) #c(71.0, 79.88, 97.38) 
ca.media 
 
#ajuste da equação linear 
reg.lin <- lm(ca.media~um ) 
reg.lin 
plot(um,ca.media,pch=16,xlab="umidade") 
abline(reg.lin,col=2,lwd=2) 
 
# análise de variância para testar se o coef angular é significativo 
anova(reg.lin) 
 
Estatística Experimental 
149 
# ajuste de uma equação quadrática 
reg.quad <- lm(ca.media ~ um + I(um^2)) 
reg.quad 
 
# desenhando a curva ajustada e adicionado ao gráfico 
curve(82.488636 -0.585985*x+0.007348*x*x, 40,100, lwd=2,col=4,add=T) 
 
# retirando o objeto dados.ex1_9 do caminho de procura 
detach(dados.ex1_9) 
 
Exemplo 2: Análise e interpretação de um experimento fatorial com três fatores 
Esquema fatorial 2 x 2 x 2 = 23 em um delineamento em blocos 
casualizados (DBC)para estudar a produção de leite de vacas holandezas 
arranjadas em 6 lotes com a mesma idade. 
idade) de classes 6 ( Blocos 6
B vitamina de mg 5 : c2
B vitamina de mg 0 : c1
milho de rolão de kg 1,0 : b2
milho de rolão de kg 0,5 : b1
B tipo ração de kg 0,5 : a2
 Atipo ração de kg 0,5 : a1
:.
12
12







































2222
1221
2
2122
1221
1
2
2212
1211
2
2112
1111
1
1
cbac
cbac
b
cbac
cbac
b
a
cbac
cbac
b
cbac
cbac
b
a
sendoTrat
 
Dados 
Níveis dos 
fatores 
BLOCOS 
A B C I II III IV V VI Total 
1 1 1 3,029 3,857 2,448 2,448 3,543 4,314 19,639 
1 1 2 2,438 3,086 3,771 4,657 1,962 3,210 19,124 
1 2 1 3,448 3,600 3,895 4,267 3,086 3,657 21,953 
1 2 2 3,533 5,048 3,467 4,095 1,876 2,895 20,914 
2 1 1 3,362 3,714 3,429 3,190 2,686 4,038 20,419 
2 1 2 4,905 6,295 4,924 4,952 5,381 5,543 32,000 
2 2 1 4,171 3,114 4,124 3,981 3,038 3,590 22,018 
2 2 2 4,476 4,752 4,848 4,676 6,829 3,771 29,352 
Total 29,362 33,466 30,906 32,266 28,401 31,018 185,419 
 Para calcular as somas de quadrados dosefeitos A, B e C, inicialmente 
devemos organizar quadros auxiliares, que relacionam os níveis dos fatores 2 
a 2, o que dá 3 quadros A com B, A com C e B com C. 
Exemplo: Quadro I (A x B) totais de : 
 
a1b1 = a1b1c1 + a1b1c2 = 19,639 + 19,124 = 38,763 
a1b2 = a1b2c1 + a1b2c2 = 21,953 + 20,914 = 42,867 
a2b1 = a2b1c1 + a2b1c2 = 20,419 + 32,000 = 52,419 
a2b2 = a2b2c1 + a2b2c2 = 22,018 + 29,352 = 51,370 
 
Quadro I (totais da interação A x B) 
 
 
Estatística Experimental 
150 
(12) 
Níveis de A 
(Qtde de ração) 
 
 Níveis de B (Rolão de milho kg) 
b1 = 0,5 kg b2 = 1,0 kg Total 
a1 = 0,5 kg de A 38,763 42,867 81,630 
a2 = 0,5 kg de B 52,419 51,370 103,789 
Total 91,182 94,237 185,419 
 
Quadro II (totais da interação A x C) 
(12) 
Níveis de A 
(Qtde de ração) 
 
Níveis de C (Dose de vit. B12 mg) 
c1 = 0,0 mg c2 = 5,0 mg Total 
a1 = 0,5 kg de A 41,592 40,038 81,630 
a2 = 0,5 kg de B 42,437 61,352 103,789 
Total 84,029 101,390 185,419 
 
Quadro III (totais da interação B x C) 
(12) 
Níveis de B 
 Níveis de C (Dose de vit. B12 mg) 
c1 = 0,0 mg c2 = 5,0 mg Total 
b1 = 0,5 kg 40,058 51,124 91,182 
b2 = 1,0 kg 43,971 50,266 94,237 
Total 84,029 101,390 185,419 
 
Somas de quadrados da ANOVA preliminar: 
;,
))()()((
,
))((
,
))((
,
)(
;,
))()()((
,
))((
,
))((
,
)(
;,
))()()(())((
,
))((
,
)(
,
;,
))()()((
,
),...,(
;,
))()()((
,,
...
,
;,
))()()((
,
),...,(
2796
6222
419185
122
390101
122
02984
CSQ
1940
6222
419185
122
23794
122
18291
BSQ
23010
6222
185419
122
789103
122
63081
ASQ
96320SQBlSQTrSQTSQR
1342
6222
419185
0183136229
8
1
SQBl
74826
6222
419185
6
35229
6
45919
SQTr
84549
6222
419185
31440293SQT
222
222
222
2
22
222
2
22








 
Para o cálculo das soma de quadrados das interações precisamos 
calcular as somas de quadrados conjuntas. Para a interação AxB, temos: 
568019402301019210BSQASQBASQAxBQS
99210
6222
419185
3705176338
12
1
BASQ
2
22
,,,,)()(),()(.
,
))()()((
,
),...,(),(


 
 
Para a interação AxC, temos: 
 
Estatística Experimental 
151 
729,8279,6230,10238,25)(
358,25
)6)(2)(2)(2(
419,185
)352,61...592,41(
12
1
),(
2
22


AxCSQ
CASQ
 
 
Para a interação BxC, temos: 
4750279619409486BxCSQ
9486
6222
419185
2665005840
12
1
CBSQ
2
22
,,,,)(
,
))()()((
,
),...,(),(


 
 
2890BxCSQAxCSQAxBSQ
CSQBSQASQSQTrAxBxCSQ
,)()()(
)()()()(


 
Fonte de variação Gl S.Q. Q.M. F 
Ração (A) 1 10,230 10,230 17,078
** 
Rolão (B) 1 0,194 0,194 0,324
ns 
Vitamina B12 (C) 1 6,279 6,279 10,482
** 
Int.( AxB) 1 0,568 0,568 0,948
ns 
Int. (AxC) 1 8,729 8,729 14,573
** 
Int. ( BxC) 1 0,475 0,475 0,793
ns 
Int. (AxBxC) 1 0,289 0,289 0,482
ns 
Tratamentos (7) 26,748 3,821 6,380
** 
Blocos 5 2,134 0,427 0,713
ns 
Resíduo 35 20,963 0,599 
Total 47 48,845 
F(5, 35; 0,05) = 2,49 F(3, 35; 0,01) = 3,61 F(1, 35; 0,05) = 4,13 F(1, 35; 0,01) = 7,44 
 
Conclusões: 
 a interação AxBxC é não significativa (p>0,05), indicando a 
possibilidade de independência entre os fatores conjuntamente. 
 os testes F das interações duplas indicam que somente a interação 
AxC é significativa (p<0,01), ou seja, os dados suportam uma 
conclusão de que os tipos de rações interagem com a dose de 
vitamina B12 na produção de leite. 
 
Desdobramento da interação AxC: estudo dos efeitos simples do fator 
ração (A) nos níveis das doses de vitamina B12 (C) 
 Cálculo da SQ do efeito da ração na ausência da vitamina B12 
0300
24
02984
4374259241
12
1
ASQ
2
22
Cdentro 1
,
,
),,()(  
 Cálculo da SQ do efeito da ração na presença da vitamina B12 
92918
24
390101
3526103840
12
1
ASQ
2
22
Cdedentro 2
,
,
),,()(  
Quadro da ANOVA do desdobramento: 
 
Fonte de variação gl. SQ QM F 
1Cdedentro
A 1 0,030 0,030 0,0497*
 
2deCdentro
A 1 18,929 18,929 31,601** 
Resíduo 35 20,963 0,599 
 
 
Estatística Experimental 
152 
Conclusão: as rações produzem efeito significativo (p<0,05) na ausência 
da vitamina B12, enquanto que na presença da vitamina B12 as rações têm 
efeito significativo (p<0,01) diferenciado. 
Desdobramento da interação AxC: estudo dos efeitos simples do fator 
vitamina (C) nos níveis das Rações (A) 
 Cálculo da SQ do efeito da vitamina no nível a1 da ração 
1026,0
24
029,84
)038,40592,41(
12
1
)(
2
22
1 adentroCSQ 
 Cálculo da SQ do efeito da vitamina no nível a2 da ração 
9074,14
24
789,103
)352,61437,42(
12
1
)(
2
22
2
adedentroCSQ 
Quadro da ANOVA do desdobramento: 
Fonte de variação gl. SQ QM F 
1adedentro
C 1 0,1006 0,1006 0,168
NS 
2deadentro
C 1 14,9074 14,9074 24,88
** 
Resíduo 35 20,963 0,599 
Conclusão: as vitaminas não produzem efeito significativo (p>0,05) na 
ração tipo A, enquanto que na ração tipo B a vitamina B12 tem efeito 
significativo (p<0,01) diferenciado. 
 
Exemplo 4 Análise de um fatorial 3 x 4 : experimento sobre a qualidade do 
ovo, em unidades Haugh, segundo 3 embalagens e 4 tempos de 
armazenamento de estocagem. 
Embalagem Tempo Blocos 
Ai Bj I II III IV 
1 1 66 52 57 68 
1 2 47 47 32 43 
1 3 43 50 39 40 
1 4 20 23 43 41 
2 1 81 68 60 55 
2 2 62 34 44 45 
2 3 43 41 47 54 
2 4 51 32 29 34 
3 1 81 82 80 78 
3 2 84 68 66 65 
3 3 58 43 37 57 
3 4 75 45 59 48 
Quadro da anova 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F 
Embalagem (A) 2 3427,125 1713,562 24,586
** 
Tempo (B) 3 5186,229 1728,748 24,803
** 
Interação A x B 6 768,708 128,118 1,838
ns 
Tratamentos (11) 9382,06 852,91 12,24
** 
Blocos 3 829,729 276,576 3,968
* 
Resíduo 33 2300,021 69,697 
Total 47 12511,812 
 
Conclusões: 
 o efeito da interação A x B é não significativo (p>0,05), ou seja, 
existe uma independência entre os fatores. 
 efeito do fator embalagem (A) é significativo (p<0,05). 
 
Estatística Experimental 
153 
 efeito do fator tempo (B) é significativo (p<0,05). 
Teste de Tukey para o fator A 
287
16
69769
493dms
493q
A
050333
,
,
,
,),,,(


 
Teste de Tukey para o fator B 
289
12
69769
853dms
853q
B
050334
,
,
,
,),,,(


 
Quadro dos valores médios observados 
 
(4) B1 B2 B3 B4 
iY 
A1 60,75 42,25 43,00 31,75 44,44 B 
A2 66,00 46,25 46,25 36,50 48,75 B 
A3 80,25 70,75 48,75 56,75 64,12 A 
 jY 
69,00 a 53,08 b 46,00 bc 41,67 c 52,44 
Médias com a mesma letra minúscula nas linhas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% 
Médias com a mesma letra maiúscula nas colunas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% 
 
Exemplo 5 Em um experimento de substituição do farelo de soja pelo farelo de 
girassol na ração de suínos, montou-se um experimento fatorial 2x5, com os 
fatores Sexo (machos e fêmeas) e Ração com substituição de farelo de soja 
por farelo de girassol (0%, 25%, 50%, 75% e 100%), utilizando-se 30 suínos 
(15 machos e 15 fêmeas) castrados da raça Duroc-Jersey, num delineamento 
em blocos casualizados com 3 repetições, de acordo com os grupos de pesos 
iniciais. Os resultados de ganho de peso dos animais aos 112 dias de 
experimento estão apresentados na tabela a seguir: 
 
Bloco 
Machos Fêmeas 
G0 G25 G50 G75 G100 G0 G25 G50 G75 G100 
1 85,0 94,5 99,5 93,0 83,0 77,9 71,5 67,5 71,5 89,5 
2 86,0 96,0 98,0 96,0 80,0 83,2 73,5 63,5 70,8 91,8 
3 84,0 95,8 104,0 90,5 78,5 83,5 70,5 65,0 72,5 92,9 
 Total 255,0 286,3 301,5 279,5 241,5 244,6 215,5 196,0 214,8 274,2 
Pede-se: 
 Montar o esquema da Análise de Variância e fazer os testes 
convenientes; 
 Comparar as médias dos níveis do fator G dentro de cada um dos 
níveis do fator S; 
 Construir gráficos para estudar o comportamento das respostas 
médias dos níveis de G para cada um dos níveis de S. 
 
 
 
 
Estatística Experimental 
154 
 
Quadros auxiliares 
Sexo 
Ração 
Total G0 G25 G50 G75 G100 
1 255,0 286,3 301,5 279,5 241,5 1363,8 
2 244,6 215,5 196,0 214,8 274,2 1145,1 
Total 499,6 501,8 497,5 494,3 515,72508,9 
 
Bloco B1 B2 B3 Total 
Total 832,9 838,8 837,2 2508,9 
 
 
(Resolver os exemplos 4) e 5) no R) 
 
Estatística Experimental 
155 
9º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
1) Num experimento fatorial 3
2
 = 3 x 3, com os fatores A e B, no delineamento em blocos ao 
acaso, com 4 repetições, para se estudar uma determinada característica, foram obtidos os 
seguintes resultados 
Tratamentos 1º Bloco 2º Bloco 3º Bloco 4º Bloco 
a0b0 25,3 24,2 24,3 33.0 
a0 b1 31,6 29,7 30,6 32,2 
a0 b2 19,7 18,2 16,0 17,0 
a1 b0 24,7 34,7 28,9 27,6 
a1 b1 28,4 44,4 41,1 38,4 
a1 b2 30,8 42,4 33,6 35,1 
a2 b0 37,2 47,6 38,6 40,6 
a2 b1 42,6 45,8 38,4 43,4 
a2 b2 56,0 58,8 57,0 55,0 
Os resultados da análise de variância preliminar foram: 
FV G.L. S. Q. Q. M. F P 
Blocos 3 150,3 50,1 4,2 0,016 
Tratamentos 8 3967,3 495,9 
41,8 0,000 
Resíduo 24 284,3 11,8 
 Total 35 4401,9 
 
a) Checar os resultados do quadro da ANOVA acima e concluir, em seguida fazer a análise de 
variância com o desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos, segundo o 
esquema fatorial e concluir. 
b) No desdobramento da interação fazer a análise de variância do desdobramento e aplicar o 
teste de Tukey (5%) valores médios do fator A nos níveis do fator B e vice versa. 
c) Calcular os coeficientes de determinação e de variação do experimento. 
 
2) Um experimento fatorial 2 x 5, com os fatores Sexo (A) e Ração (B) , em um delineamento 
em blocos ao acaso, com 3 repetições, foi realizado para se estudar a “Substituição do farelo 
de soja pelo farelo de girassol em ração de suínos” (Kronka,1969)- BIA, n.26 pg 147-154. Os 
dados abaixo referem-se ao ganho de peso (kg) em 112 dias de experimento. 
Descrição dos fatores : Sexo a1 : Machos; a2 : Fêmeas 
Rações: 
b1 : Ração Básica (RB) + farelo de soja (100%); 
b2 : RB + farelo de soja (75%) + farelo de girassol (25%); 
b3 : RB + farelo de soja (50%) + farelo de girassol (50%); 
b4 : RB + farelo de soja (25%) + farelo de girassol (75%); 
b5 : RB + farelo de girassol (100%); 
Tratamentos 1º Bloco 2º Bloco 3º Bloco 
a1 b1 95,0 86,0 94,0 
a1 b2 91.5 99,0 94,0 
a1 b3 94,5 93,0 94,0 
a1 b4 89,0 86,0 90,5 
a1 b5 93,0 80,0 78,0 
a2 b1 87,0 79,0 84,0 
a2 b2 91,0 93,5 103,5 
a2 b3 77,5 68,5 70,0 
a2 b4 82,5 80,5 82,5 
a2 b5 64,5 65,5 60,5 
 
Resultados da anava preliminar 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F 
Blocos 2 60,02 30,01 1,56
ns 
Trat. 9 2994,54 332,73 17,34
** 
Res. 18 345,48 19,19 
Total 29 3400,04 
 
Estatística Experimental 
156 
a) Checar os resultados do quadro da ANOVA acima e concluir, em seguida fazer a análise de 
variância com o desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos, segundo o esquema 
fatorial e concluir. 
b) Fazer a análise de variância com o desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos, 
segundo o esquema fatorial e teste a significância da interação entre os efeitos. Se a interação 
for significativa teste a diferença média dos ganhos de peso do efeito de sexo para cada ração 
e as diferenças entre os valores médios das rações para cada sexo. 
c) Calcular os coeficientes de determinação e de variação do experimento. 
 
Estatística Experimental 
157 
Aula 10 Experimentos em parcela subdividida 
1 Introdução 
Nos experimentos fatoriais ou esquemas fatoriais os tratamentos 
gerados pelas combinações dos níveis dos fatores são designados às unidades 
experimentais de acordo com o procedimento de aleatorização do 
delineamento inteiramente casualizado (DIC), ou do delineamento em blocos 
casualizados (DBC), ou do delineamento em quadrado latino (DQL). 
Entretanto, outros tipos de aleatorização são possíveis. Uma dessas 
aleatorizações alternativas dá origem aos experimentos em parcelas 
subdivididas, os quais são um caso especial de blocos incompletos. O 
princípio básico deste delineamento é que parcelas principais que recebem 
níveis de um fator são subdivididas em subparcelas ou subunidades, as quais 
recebem os níveis de um outro fator. Assim cada parcela funciona como um 
bloco para as subparcelas. Os níveis do fator sorteado nas parcelas são 
denominados de tratamentos principais e os níveis do fator sorteados nas 
subparcelas são denominados de tratamentos secundários. O delineamento 
em parcela subdividida teve sua origem na experimentação agronômica, com 
as parcelas, quase sempre, sendo grandes áreas de solo e as subparcelas 
sendo áreas menores de solo dentro das grandes áreas. Os tratamentos 
principais são distribuídos às parcelas de acordo com um delineamento 
especificado (DIC, DBC, DQL etc.) e os tratamentos secundários são 
distribuídos aleatoriamente às subparcelas dentro de cada parcela. 
A seguir apresentamos um possível croqui de um experimento em 
parcelas subdivididas com o Fator A, com 2 níveis (tratamentos principais) 
aplicados às parcelas de acordo com um delineamento em blocos casualizados 
com 3 repetições e o Fator B, com 3 níveis (tratamentos secundários) aplicados 
às subparcelas. Vale notar que os níveis de A são sorteados entre as duas 
parcelas de cada bloco e os níveis de B são sorteados entre as três 
subparcelas de cada parcela. 
 BLOCO 1 BLOCO 2 BLOCO 3 
 
Parcelas A1 A2 A2 A1 A2 A1 
 
Subparcelas 
 B1 B2 B3 B2 B1 B2 
B3 B3 B2 B3 B3 B3 
B2 B1 B1 B1 B2 B1 
 
Se os tratamentos estivessem num esquema fatorial, o croqui poderia 
ser: 
BLOCO 1 BLOCO 2 BLOCO 3 
A1B1 A1B2 A1B3 A2B2 A1B1 A2B2 
A2B3 A1B3 A2B2 A1B3 A2B3 A1B3 
A2B2 A2B1 A2B1 A1B1 A1B2 A2B1 
ou seja, o delineamento em parcelas subdivididas representa uma restrição à 
casualização completa existente em um ensaio fatorial envolvendo o mesmo 
número de fatores e de níveis. 
Na análise estatística desses experimentos, as Fontes de Variação que 
fazem parte da variação entre as parcelas (Fator-A e Blocos, por exemplo) são 
usualmente agrupadas separadamente daquelas que fazem parte da variação 
dentro das parcelas ou entre as subparcelas (Fator-B e interação AxB). Neste 
caso, temos dois resíduos distintos: um referente às parcelas e outro referente 
às subparcelas. 
 
Estatística Experimental 
158 
 
2 Análise de variância 
No quadro a seguir, apresentaremos a partição dos graus de liberdade 
de um experimento em parcelas subdivididas com “a” tratamentos primários, 
“b” tratamentos secundários, “r” repetições em diferentes delineamentos para 
os tratamentos aplicados às parcelas. 
 
3 Modelo matemático e suposições 
Considerando um experimento em parcelas subdivididas envolvendo “a” 
tratamentos primários arranjados em um DIC com “r” repetições e “b” 
tratamentos secundários, o modelo pode ser descrito como: 
b1ja1ir1k
comY ijkijjikiijk
,...,;,...,;,...,
,)(

 
 
 ).(),(~
);)((),(~
;)(
;
;
:
berro0Naleatórioerrodoefeito
aerro0NAdenívelésimoiorecebendoparcelaésimakdaefeito
BdenívelésimojeAdenívelésimoidoconjuntoefeitooe
subparcelanaBdenívelésimojdoefeitoo
principalparcelanaAdenívelésimoidoefeitoogeralmédiaa
sendo
2
ijk
2
ik
ij
j
i










Um esquema de análise de variância para este modelo é 
Parcelas Sub-divididas no D.I.C. (“r” repetições) 
Fonte de Variação g.l. 
A (a-1) 
Resíduo (a) a(r-1) 
(Parcelas) (ar-1) 
B (b-1) 
AxB (a-1)(b-1) 
Resíduo (b) a(r-1)(b-1) 
Total abr-1 
 
Considerando agora, um experimento em parcelas subdivididas 
envolvendo “a” tratamentos primários arranjados em “r” blocos casualizados e 
“b” tratamentos secundários, o modelo pode ser escrito como: 
 
b1ja1ir1k
comY ijkijjikikijk
,...,;,...,;,...,
,)(

 
 
 
 
Estatística Experimental 
159 
),(~
);,(~
;
;
)(;,
,;
:
2
ijk
2
ik
ik
k
ijj
i
0Naleatórioerrodoefeito
0Ne
blocoésimoknoprincipalparcelanaAdenívelésimoidoconjuntoefeitoo
blocoésimokdoefeitoo
BdenívelésimojeAdenívelésimoi
deconjuntoefeitooesubparcelanaBdenívelésimojdoefeitoo
principalparcelanaAdenívelésimoidoefeitoogeralmédiaa
sendo












 Um esquema de análise de variância para este modelo é 
 
Parcela Subdivida no D.B.C.(“r” blocos) 
Fonte de Variação g.l. 
Blocos (r-1) 
A (a-1) 
Resíduo (a) (a-1)(r-1) 
(Parcelas) (ar-1) 
B (b-1) 
AxB (a-1)(b-1) 
Resíduo (b) a(r-1)(b-1) 
Total abr-1 
 
4 Hipótese estatística 
As seguintes hipóteses podem ser testadas nos experimentos em 
parcelas subdivididas. 
 A hipótese de que não existe ou existe interação AB é equivalente 
às hipóteses estatísticas 
b1jea1icom0H
0H
ij11
ij01
...,,...,,)(:
)(:




 
e para testá-las, usamos a estatística 
 ;);Re..;int..(~
)(Re
bsdolgeraçãodalg01 F
bsQM
QMAB
F  , 
a qual sob H0, tem distribuição F-Snedecor com graus de liberdade 
da interação no numerador e graus de liberdade do resíduo (b) no 
denominador. 
No DIC temos ));)(();)((( 1b1ra1b1aF  , no DBC temos ));)(();)((( 1b1ra1b1aF  . 
 A hipótese de que não existe ou existe efeito principal do fator A é 
a1icom0H
0H
i12
i02
...,,:
:




, 
e para testá-las, usamos a estatística 
 ;);Re..;..(~
)(Re
asdolgAfatordolg02 F
asQM
QMA
F  , 
a qual sob H0, tem distribuição F-Snedecor com graus de liberdade 
do fator A no numerador e graus de liberdade do resíduo (a) no 
denominador. 
 
Estatística Experimental 
160 
 No DIC temos ));1();1((  raaF , no DBC temos ));1)(1();1((  raaF . 
 as hipóteses de que não existe ou existe efeito principal do fator B 
é 
bjcomH
H
j
j
...,,10:
0:
13
03




, 
e para testá-las, usamos a estatística 
 ;);Re..;..(03 ~
)(Re
bsdolgBfatordolgF
bsQM
QMB
F  . 
que sob H0, tem distribuição F-Snedecor com graus de liberdade do 
fator B no numerador e graus de liberdade do resíduo (b) no 
denominador. 
No DIC temos ));)(();(( 1b1ra1bF  , no DBC temos ));)((();(( 1b1ra1bF  . 
 
5 Detalhes computacionais 
Apresentaremos alguns passos que facilitam os cálculos das somas de 
quadrados da ANOVA. 
No DIC: 
 Soma de Quadrados do Total (SQT) 
;
)(
,
)(
abr
Y
Csendo
abr
Y
YSQT
22r
1k
a
1i
b
1j
2
ijk

  
 
 Soma de Quadrados do fator A, SQ(A) CY
br
1
ASQ
a
1i
2
i  

)( ; 
 Soma de Quadrados da Parcelas, SQ(Parc) 
CY
b
1
ParcSQ
ba
ji
2
ij   
,
,
)( ; 
 SQRes(a) = SQ(Parc) – SQ(A); 
 Soma de Quadrados do fator B, SQ(B) CY
ar
1
BSQ
b
1j
2
j  

)( ; 
 Soma de Quadrados da interação AxB, SQ(AxB)=SQ(A,B)-SQ(A)-
SQ(B) ou CY
r
1
AxBSQ
a
1i
b
1j
2
ij  
 
)( , sendo a SQ(A,B) a soma de 
quadrado conjunta, a qual nos fatoriais a x b é igual à soma de 
quadrados dos tratamentos (SQTr). 
 
 SQRes(b) = SQ(Parc) – SQ(B)-SQ(AB); 
 
Para calcular os coeficientes de variação para as parcelas e para as 
subparcelas usamos, respectivamente: 
100x
Y
asQM
aCV


)(Re
)( 100x
Y
bsQM
bCV


)(Re
)( 
)()()(, AxBSQBSQParcSQSQModeloquesendo100x
SQT
SQModelo
R2  
Dos testes de hipóteses sugeridos anteriormente, se ocorrer interação 
AxB significativa, torna-se imprescindível fazer o desdobramento 
)(
iAdedentro
BSQ , para i = 1, 2, ..., a ou )(
jBdedentro
ASQ , para j = 1, 2, ..., b. Para 
 
Estatística Experimental 
161 
testar se “as médias de B são iguais, dentro de cada nível de A” usaremos 
como denominador da estatística F, bE = QMRes(b), com seus a(r-1)(b-1) 
graus de liberdade. 
Comparações de duas médias de A, no mesmo ou em diferentes níveis 
de B, envolve o efeito principal de A e a interação AB, ou seja, elas são ambas, 
comparações das parcelas e das subparcelas. Neste caso é apropriado usar 
uma média ponderada dos erros Ea e Eb , definida como: 
 ba EbE
b
sQM )1((
1
(*)Re  
Para tais comparações a razão da diferença dos tratamentos pelo seu 
erro padrão não segue uma distribuição t-student . Uma aproximação 
para testar se “as médias de A são iguais, dentro de cada nível de B” usaremos 
como denominador da estatística t, o valor obtido de 
 ba E1bE
b
1
sQM )(((*)Re  , que tem n* graus de liberdade, o qual é 
calculado pela Fórmula de Sattertwait: 
 
   
.
),(Re),(Re,
)(
)(*
subparceladaliberdadedegrausosn
eparceladaerrodoliberdadedegrausosn
bsQMEasQMEsendo
n
E1b
n
E
E1bE
n
b
a
ba
b
2
b
a
2
a
2
ba





 
 
6 Comparações múltiplas entre médias de tratamentos 
Após tirarmos as conclusões sobre os testes de hipóteses da Análise de 
Variância, poderemos estar interessados em comparar as médias dos 
tratamentos primários (A), dos secundários (B) ou da interação (AxB). Daí, o 
problema consiste em usar a estimativa da variância (2) apropriada. A seguir, 
apresentaremos esses problemas para os casos mais freqüentes. Aqui 
consideraremos a notação )(Re),(Re bsQMEasQME ba  
1º Caso: entre médias do tratamento primário 
 
 Para testar um contraste escolhido a priori, 
aa2211 cccY   ... , sendo )...,,,( a21ii  as médias dos 
tratamentos primários, ou seja, 0YH0 : , usamos a estatística 
)(
2
i
~
c 
r
ˆ
aEdogl
i
a
i t
E
Y
t

 , sendo 
)( aEdogl
t o quantil de ordem )
2
1(

 da distribuição t-student com 
graus de liberdade do Ea. 
 Para testar um contraste entre duas médias de A, ,iiY   , ou 
seja, 0YH0 : usamos a estatística 
 
Estatística Experimental 
162 
)(~
ˆ
aEdogl
a
t
br
E2
Y
t  , sendo 
)( aEdogl
t o quantil de ordem )(
2
1

 da distribuição t-student com 
graus de liberdade do Res(a). 
 Para os testes de Tukey e de Duncan usamos, respectivamente, 
br
E
qdms aEdoglaA a );( e br
E
zdms aEdoglaA a );( 
Sendo, que “q” e “z” correspondem aos valores tabelados da 
distribuição de Tukey e Duncan. 
 
2o Caso: entre médias do tratamento secundário 
 Para testar um contraste escolhido a priori, 
bb2211 cccY   ... , sendo )...,,,( b21jj  as médias dos 
tratamentos secundários, ou seja, 0YH0 : , usamos a estatística 
)(
2
i
~
c 
ar
ˆ
bEdogl
i
b
i t
E
Y
t

 , sendo 
)( bEdogl
t o quantil de ordem )(
2
1

 da distribuição t-student com 
graus de liberdade do Eb. 
Para testar um contraste entre duas médias de B, ,iiY   , 
usamos a estatística 
)(~
ˆ
bEdogl
b
t
E
ar
2
Y
t  , sendo 
)( bEdogl
t o quantil de ordem )(
2
1

 da distribuição t-student com 
graus de liberdade do Eb. 
 Para os testes de Tukey e de Duncan usamos, respectivamente, 
ar
E
qdms bdoEglbB b );( ar
E
zdms bEglbB b );( 
Sendo que “q” e “z” correspondem aos valores tabelados da 
distribuição de Tukey e Duncan. 
 
3o Caso: entre médias do tratamento secundário num mesmo nível 
de i de A 
 Para testar um contraste escolhido a priori, 
ibb2i21i1 cccY   ... , sendo )...,,,( b21jij  as médias dos 
tratamentos secundários num mesmo nível “i” de A, ou seja, 
0YH0 : , usamos a estatística 
 
Estatística Experimental 
163 
)(
2
i
~
c 
r
ˆ
bEdogl
i
b
i t
E
Y
t

 , sendo 
)( bEdogl
t o quantil de ordem )(
2
1

 da distribuição t-student com graus 
de liberdade do Eb. 
 Para testar um contraste entre duas médias de B num mesmo nível 
de A, ,ijijY   , usamos a estatística 
 
)(~
ˆ
bEdogl
b
t
r
E2
Y
t  , sendo 
)( bEdogl
t o quantil de ordem )(
2
1

 da distribuição t-student com 
graus de liberdade do Eb. 
 Para os testes de Tukey e de Duncan usamos, respectivamente 
r
E
qdms bEglb b );( r
E
zdms bEdoglb b );( 
Sendo que “q” e “z” correspondem aos valores tabelados da 
distribuição de Tukey e Duncan. 
 
4o Caso: entre médias do tratamento primário num mesmo nível de 
B 
 Para testar um contraste escolhido a priori, 
ajaj22j11l cccY   ... , sendo a21iij ...,,, as médias dos 
tratamentos primários num mesmo nível “j” de B, usamos a 
estatística 
)(
2
i
ba
*
*
c 
br
1)E-(b E
ˆ
n
i
i tmenteaproximada
Y
t


 , 
Sendo n* os graus de liberdade calculados pela Fórmula de 
Sattertwait (o asterisco indica que esta razão não tem uma 
distribuição t-student). Para testar um contraste entre duas médias de A num mesmo nível 
de B, ,ijijlY   , usamos a estatística aproximada 
 
*
 1)E-(b E
br
ˆ
ba
*
n
i tmenteaproximada
2
Y
t

 
 
com n* os graus de liberdade calculados pela Fórmula de 
Sattertwait 
 
 
 
Estatística Experimental 
164 
 Correspondentemente uma aproximação para o teste de Tukey 
temos: 
  s(b) (b-1)QMReQMRes(a) 
br
1
qdms
nb

),( *
 e , 
sendo os valores de “q” e “z” correspondem a “b” tratamentos e n* 
graus de liberdade para o resíduo (calculados pela Fórmula de 
Sattertwait) e são encontrados em tabelas próprias. 
EXEMPLO 1: Supor um experimento com três rações A, B e C em seis blocos 
casualizados, sendo cada parcela constituída de dois bovinos de corte. Em 
uma determinada fase do experimento, os bovinos dentro de cada parcela, 
passaram a receber, por sorteio, um dos dois tipos de suplementos minerais M 
e P. A variável dependente é o ganho de peso no final do experimento. 
Um possível croqui deste experimento em parcelas subdivididas no 
delineamento em blocos casualizados: 
B A C 
P M M P P M 
 
A C B 
P M M P P M 
 
B C A 
P M M P M P 
 
A B C 
M P M P P M 
 
C A B 
P M M P P M 
 
C B A 
M P M P P M 
 
1ª letra fator ração e 2ª letra fator suplemento mineral 
BLOCOS 
I II III IV V VI 
BP AM BP AM CP CM 
BM AP BM AP CM CP 
AM CM CM BM AM BM 
AP CP CP BP AP BP 
CP BP AM CP BP AP 
CM BM AP CM BM AM 
 
 
 
 
Bloco I 
Bloco III 
Bloco IV 
Bloco V 
Bloco VI 
Bloco II 
 
Estatística Experimental 
165 
Esquema da análise de variância 
Causas da variação g.l. 
Blocos 5 
Ração (Trat. principal) A 2 
Erro (a) 10 
Parcelas (17) 
Suplemento mineral (Trat. Secundário) B 1 
Ração x Suplemento 2 
Erro (b) 15 
Total 35 
Os ganhos individuais ao final do experimento foram: 
Blocos Ração A Ração B Ração C Total 
 M P M P M P 
I 107 89 116 101 90 96 599 
II 117 101 136 110 112 89 665 
III 122 98 130 104 99 92 645 
IV 111 101 122 91 105 78 608 
V 90 95 117 100 110 90 602 
VI 116 90 114 94 114 93 621 
Total 663 574 735 600 630 538 3.740 
 (Veja estrutura do arquivo na última página) 
Quadro de Totais I 
Blocos ( 2 )* Ração A Ração B Ração C Total 
I 196 217 186 599 
II 218 246 201 665 
II 220 234 191 645 
IV 212 213 183 608 
V 185 217 200 602 
VI 206 208 207 621 
Total 1.237 (12) 1.335 (12) 1.168 (12) 3.740 
(*) Os números entre parênteses representam o total de parcelas somadas para se obter os valores 
observados da tabela. 
Cálculos para montar o quadro da anova: 
44388544
623
3740
9389107SQT
2
222 ,
))()((
)...(  
22582
623
3740
621665599
6
1
SQBl
2
222 ,
))()((
)...(  
Para obtermos a soma de quadrados das parcelas usamos o quadro 
auxiliar I com os totais de cada parcela. Como temos duas subparcelas em 
cada parcela a soma de quadrados das parcelas fica 
562377
623
3740
207217196
2
1
SQParcelas
2
222 ,
))()((
)...(  
Para as demais SQ, organizamos o seguinte quadro de totais II que 
relaciona os níveis dos dois fatores entre si: 
(6) 
SUPLEMENTOS 
RAÇÃO 
Totais A B C 
M 663 735 630 2028 
P 574 600 538 1712 
Totais 1237 1335 1168 3740 
Cálculos do quadro da ANOVA 
 
Estatística Experimental 
166 
731173
623
3740
116813351237
12
1
SQRações
2
222 ,
))()((
)(  
6162173117322582562377
SQRaçõesSQBlSQParcelasasSQ
,,,,
)(Re


 
782773
623
3740
17122028
18
1
SQSupl
2
22 ,
))()((
)(  
894057
623
3740
538574663
6
1
SRSQ
2
222 ,
))()((
)...(),(  
38110782773731173894057
SSQRSQSRSQRxSSQ
,,,,
)()(),()(


 
84799
RxCSQSQSuplSQParcelasSQTbsSQ
,
)()(Re


 
Quadro da anova 
Causas da variação g.l. S.Q. QM F 
Blocos 5 582,22 116,44 1,87
ns 
Ração (Trat. Principal) A 2 1173,73 586,86 9,44
** 
Erro (a) 10 621,61 62,16 
Parcelas (17) 2377,56 
Suplemento (Trat. Secundário) B 1 2773,78 2773,78 52,02
** 
Ração x Suplemento 2 110,38 55,19 1,04
ns 
Erro (b) 15 799,84 53,32 
Total 35 6061,56 
Obs. Os efeitos das rações e dos blocos são testados usando o resíduo (a). Os efeitos dos suplementos e da 
interação são testados usando o resíduo b. 
F(5,10; 0,05)=3,33 ; F(5,10; 0,01)= 5,64; F(2,10; 0,05)= 4,10; F(2,10; 0,01)= 7,56; F(1,15; 0,05)= 4,54 
F(1,15; 0,01)= 8,86; F(2,15; 0,05)= 3,68; F(2,15; 0,01)= 6,36 
 
Conclusão: como a interação não foi significativa (p>0,05) devemos 
interpretar as diferenças significativas dos efeitos principais da ração e do 
suplemento. 
Teste de Tukey: 
 duas médias de A )(Re,).;..,( asQMEsendo
rb
E2
qdms A
A
ElgaA a
 
4412
12
32124
883dmsA ,
,
,  
 duas médias de B )(Re,).;..,( bsQMEsendo
ra
E2
qdms b
b
ElgbB b
 
337
18
64106
013dmsB ,
,
,  
 
Quadro de médias 
(6) 
SUPLEMENTOS 
RAÇÃO 
Totais A B C 
 
Estatística Experimental 
167 
M 110,5 122,5 105,0 112,7 A 
P 95,7 100,0 89,7 95,1 B 
Totais 103,1 ab 111,3 a 97,3 b 103,9 
Médias seguidas pela mesma letra minúsculas na linha não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% 
Médias seguidas pela mesma letra maiúsculas na coluna não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% 
Coeficientes de variações 
%,
,
,)(Re..
)( 597
89103
1662
Y
asMQ
CV a  
%,
,
,)(Re..
)( 037
89103
3253
Y
bsMQ
CV b  
Script no R para obter os resultados acima 
# entrada dos dados pelo comando read.table( ) 
dados.ex1_10 <- read.table("ex1ps_10.txt", header=T) 
 
# imprimindo as 6 primeiras linhas do arquivo dados.ex1_10 
head(dados.ex1_10) 
 
# anexando o objeto dados.ex1_10 no caminho de procura 
attach(dados.ex1_10) 
 
# calculo das interações - Quadros dos totais 
int.total <- tapply(gp, list(suplemento, racao), sum) 
int.total 
 
# calculo dos totais marginais do fator suplemento 
total.supl<- tapply(gp,suplemento,sum) 
total.supl 
 
# calculo dos totais marginais do fator racao 
total.racao<- tapply(gp,racao,sum) 
total.racao 
 
# calculo das interações - Quadros das médias 
int.media <- tapply(gp, list(suplemento, racao), mean) 
round(int.media,1) 
 
# calculo das médias marginais do fator suplemento 
media.supl<- tapply(gp,suplemento,mean) 
round(media.supl,1) 
 
# calculo das médias marginais do fator antibiótico 
media.racao<- tapply(gp,racao,mean) 
round(media.racao,1) 
 
# quadro da anova no esquema pelo comando aov() 
gpps.av <- aov(gp~factor(bloco)+factor(racao)+factor(suplemento)+ 
factor(racao):factor(suplemento)+Error(bloco/racao)) 
summary(gpps.av) 
# gráfico da interação 
interaction.plot(racao,suplemento,gp,col=2,lwd=2, 
 
Estatística Experimental 
168 
ylab="médias de ganho de peso",xlab="rações", 
main="Gráfico da Interação") 
 
# requerendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
split2.rbd(racao, suplemento, bloco, gp, quali = c(TRUE, TRUE), 
 mcomp = "tukey", fac.names = c("Ração", "Suplemento")) 
 
# retirando o objeto dados.ex1_10 do caminho de procura 
detach(dados.ex1_10) 
 
O uso do delineamento em parcelas subdivididas é desejável quando: 
 O experimento pode ser usado quando um fator adicional tem de 
ser incorporado em um experimento para aumentar a sua 
amplitude. 
 Pode-se saber que as maiores diferenças podem ser esperadas de 
ocorrer entre os níveis de um fator do que nos níveis do outro fator. 
Neste caso, as combinações dos tratamentos em que as grandes 
diferenças são esperadas podem ser atribuídas aleatoriamente às 
parcelas principais simplesmente por conveniência. 
 O experimento é usado quando grande precisão é desejada para 
comparações entre os níveis de um fator do que em níveis do outro 
fator. 
Em resumo, dado que nos experimentos em parcelas subdivididas a 
variação entre as subparcelas é esperada ser menor do que a variação entre 
as parcelas principais, o fator que requerer menor quantidade de material 
experimental, ou que é mais importante, ou que é esperado apresentar 
menores diferenças, ou sobre o qual é desejado maior precisãopor qualquer 
motivo, são atribuídos ás subparcelas. 
 
Estatística Experimental 
169 
10º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
Num experimento em parcelas subdivididas para se estudar o ganho de peso médio diário em 
suínos foram utilizados quatro tratamentos principais ( A ) e dois secundários ( B ), no 
delineamento em blocos casualizados com cinco repetições. Os tratamentos principais, rações 
A1, A2, A3, e A4 foram aplicadas as parcelas constituídas de seis suínos cada uma logo após a 
desmama. Decorridos trinta dias, três suínos de cada parcela passaram a receber por sorteio 
uma suplementação alimentar, com dois tipos de vitaminas B1 e B2 . 
Ao final do experimento os aumentos de peso médio dos três animais por subparcela em 
quilogramas estão dados na tabela abaixo: 
Tratamentos 1º Bloco 2º Bloco 3º Bloco 4º Bloco 5º Bloco Total 
A1 B1 1,30 1,35 1,28 1,25 1,32 6,50 
 B2 1,32 1,35 1,29 1,31 1,35 6,62 
A2 B1 1,10 1,15 1,12 1,18 1,11 5,66 
 B2 1,20 1,21 1,15 1,18 1,20 5,94 
A3 B1 1,45 1,48 1,45 1,44 1,46 7,28 
 B2 1,48 1,45 1,47 1,50 1,41 7,31 
A4 B1 1,22 1,24 1,24 1,30 1,22 6,22 
 B2 1,24 1,23 1,25 1,28 1,26 6,26 
Total 10,31 10,46 10,25 10,44 10,33 51,79 
Obs. 
 
4
1i
2
1j
2
ijy 67.56730 Usar 5 casas decimais para os cálculos. 
a) Estabelecer as hipóteses estatísticas, reproduza os resultados do quadro abaixo, o gráfico 
da interação, fazer a análise de variância e concluir. Caso haja interação fazer os 
desdobramentos necessários e os testes de comparações múltiplas. 
b) Calcule as médias dos tratamentos principais, os erros padrões e compare-as pelo teste de 
Tukey a 5% de probabilidade. 
c) Calcule os coeficientes de variação ( C.V. ) e de determinação ( R
2
 ) do experimento. 
Quadros auxiliares: 
1) 
(2) I II III IV V Total 
A1 2,62 2,70 2,57 2,56 2,67 13,12 
A2 2,30 2,36 2,27 2,36 2,31 11,60 
A3 2,93 2,93 2,92 2,94 2,87 14,59 
A4 2,46 2,47 2,49 2,58 2,48 12,48 
Total 10,31 10,46 10,25 10,44 10,33 51,79 
2) 
(5) A1 A1 A1 A1 Total 
B1 6,50 5,66 7,28 6,22 25,66 
B2 6,62 5,29 7,31 6,26 26,13 
Total 13,12 11,60 14,59 12,48 
 
2) Cinco jumentos foram utilizados, dentro do manejo regular de colheita de sêmem com o 
qual já estavam acostumados, para testar sobre o primeiro ejaculado, três diferentes diluentes 
e após as diluições, três diferentes tempo de conservação do material (5ºC). A resposta medida 
foi a motilidade observada no sêmem em função daqueles fatores. Para cada jumento, o 
primeiro ejaculado foi divido em três alíquotas, diluídas cada uma em um dos diluentes e este 
volume novamente dividido em outras três alíquotas, uma para cada tempo de conservação. 
Percebe-se que a parcela é definida pelo diluente e dentro dele, as três subparcelas 
correspondentes aos tempos. Trata-se portanto de um delineamento em parcelas subdivididas 
, em que cada jumento assume o papel de um bloco, já que pela utilização de alíquotas todos 
os tratamentos (diluentes) provêm de um mesmo ejaculado. 
 
 
 
 
 
DILUENTE 
 
Estatística Experimental 
170 
 A B C 
ANIMAL T1 T2 T3 T1 T2 T3 T1 T2 T3 
1 75 73 66 214 81 75 62 218 68 61 50 179 
2 65 60 61 186 69 62 51 182 60 55 50 165 
3 78 83 70 231 79 76 60 215 72 68 61 201 
4 68 61 51 180 76 66 51 193 61 57 53 171 
5 44 43 37 124 55 51 41 147 34 24 21 79 
Total 330 320 285 935 360 330 265 955 295 265 235 795 
3I2I1IiLinear
3
1I
3
1j
ij
3
1I
3
1j
2
ij 101Y2685Y169173Y  )()()(; )(  
  
 
a) Checar os resultados das fórmulas acima e preencher os quadros auxiliares abaixo. 
b) Estabelecer as hipóteses estatísticas e fazer a análise de variância e concluir. 
c) No gráfico abaixo teste a significância da tendência linear dos valores médios da motilidade 
em cada diluente. 
d) Calcule os coeficientes de variação do experimento. 
Quadros auxiliares: 1) 
 Jumentos (Blocos) 
( ) I II III IV V Total 
A 
B 
C 
Total 
2) 
( ) T1 T2 T3 Média 
A 
B 
C 
Média 
A
B
C
Motilidade observada em sêmem de jumentos segundo o diluidor e o tempo
Tempo
Motilid
ade
44
50
56
62
68
74
6 10 14 18 22 26 30 34 38
 
 
 
Estatística Experimental 
171 
Aula 11 Experimentos em parcelas subdivididas - Análise de medidas 
repetidas no tempo. 
Como nos experimentos em parcelas subdvididas, experimentos 
utilizando delineamentos de medidas repetidas no tempo têm estruturas que 
envolvem mais de um tamanho de unidade experimental. Por exemplo, um 
animal pode ser observado durante certo período de tempo, onde tempo é um 
dos fatores na estrutura de tratamentos do experimento. Tais dados são 
análogos aos dados de um experimento em parcela subdividida em muitos 
aspectos e sua análise é frequentemente conduzida tal como um experimento 
em parcela subdividida e denominado como parcela subdividida no tempo, ou 
análise de medidas repetidas no tempo. 
Exemplo: um experimento envolvendo 3 drogas foi conduzido para 
estudar cada efeito de droga no batimento cardíaco dos animais. Depois que 
cada droga era administrada, o batimento cardíaco era medido de 5 em 5 
minutos durante 20 minutos. 
 DA DB DC 
Animais T5 T10 T15 T20 T5 T10 T15 T20 T5 T10 T15 T20 
1 78 86 81 77 85 86 83 80 69 73 72 74 
2 71 83 88 81 82 86 80 84 66 62 67 73 
3 72 82 81 75 71 78 70 75 84 90 88 87 
4 72 83 83 69 83 88 79 81 80 81 77 72 
5 66 79 77 66 86 85 76 76 72 72 69 70 
6 74 83 84 77 85 82 83 80 65 62 65 61 
7 62 73 78 70 79 83 80 81 75 69 69 68 
8 69 75 76 70 83 84 78 81 71 70 65 65 
Quadro auxiliar 1) Totais das parcelas 
 Animais Total 
DA 322 323 310 307 288 318 283 290 2441 
DB 334 332 294 331 323 330 323 326 2593 
DC 288 268 349 310 283 253 281 271 2303 
Total 944 923 953 948 894 901 887 887 7337 
Quadro auxiliar 2) Totais dos fatores 
 T5 T10 T15 T20 Total 
DA 564 644 648 585 2441 
DB 654 672 629 638 2593 
DC 582 579 572 570 2303 
Total 1800 1895 1849 1793 7337 
 
Cálculo das somas de quadrados do quadro da ANOVA: 

))()((
)...(
843
7337
658678SQT
2
222 
Do QUADRO I, temos 
243604
843
7337
271323322
4
1
SQ
2
222
Parcelas ,
))()((
)...(  
081315
843
7337
23032441
32
1
SQ
2
22
Droga ,
))()((
)...(  
162289081315243604DrogaQSparcelasQSSQ aErro ,,,....)(  
 
Do QUADRO II, temos 
61282
543
7337
179318951800
24
1
SQ
2
222
Tempo ,
))()((
)...(  
 
Estatística Experimental 
172 
862128
843
7337
570644564
8
1
SQ
2
222
Conjunta ,
))()((
)...(  
 
17531
61282081315862128
SQSQSQTempoxDrogaSQ TempoDrogaConjunta
,
,,,
)(



 
474891753161282243604494907
TempoxDrogaSQSQSQSQTSQ TempoParcelasbErro
,,,,,
)()(


 
Quadro da ANOVA 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F p 
DROGA 2 1315,08 657,54 6,03
**
 0.008512 
Erro(a) 21 2289,16 109,01 
PARCELAS 23 3604,24 156,71 20,15
**
 
TEMPO 3 282,81 94,27 12,12
**
 2.315e-06 
DROGA x TEMPO 6 531,17 88,53 11,39
**
 1.381e-08 
Erro(b) 63 489,47 7,78 
TOTAL 95 4907,49 
F(2, 21; 0,05) = 3,47 F(2, 21; 0,01) = 5,78 F(3, 63; 0,05) = 2,76 F(3, 63; 0,01) = 4,13 
F(6, 63; 0,05) = 2,25 F(6, 63; 0,01) = 3,12 
Conclusão: existe uma interação tempo*droga significativa (p<0,01); 
então devemos comparar os tempos em cada droga e drogas em cada tempo. 
Script no R para os cálculos acima 
# entrada dos dados pelo comando read.table( ) 
dados.ex1_11 <- read.table("ex1mr_11.txt", header=T) 
 
# imprimindo as 6 primeiras linhas do arquivo dados.ex1_10 
head(dados.ex1_11) 
 
# anexando o objeto dados.ex1_11 no caminho de procura 
attach(dados.ex1_11) 
 
# calculo das interações - Quadros dos totais 
int.total <- tapply(fc, list(droga,tempo), sum) 
int.total 
 
# calculo dos totais marginais do fator suplemento 
total.droga<- tapply(fc,droga,sum) 
total.droga 
 
# calculo dos totais marginais do fator racao 
total.tempo<- tapply(fc,tempo,sum) 
total.tempo 
 
# calculo das interações- Quadros das médias 
int.media <- tapply(fc, list(droga, tempo), mean) 
round(int.media,1) 
 
# calculo das médias marginais do fator suplemento 
media.droga<- tapply(fc,droga,mean) 
round(media.droga,1) 
 
Estatística Experimental 
173 
# calculo das médias marginais do fator antibiótico 
media.tempo<- tapply(fc,tempo,mean) 
round(media.tempo,1) 
 
# quadro da anova no esquema pelo comando aov() 
fc.av <- aov(fc~factor(droga)+factor(tempo)+ 
factor(droga):factor(tempo)+Error(droga:animal)) 
summary(fc.av) 
 
# gráfico da interação 
interaction.plot(tempo,droga,fc,col=2,lwd=2, 
ylab="médias da frequência cardíaca",xlab="tempo", 
main="Gráfico da Interação") 
 
# requerendo o pacote ExpDes 
require(ExpDes) 
split2.crd(droga, tempo, animal, fc, quali = c(TRUE, TRUE), 
 mcomp = "tukey", fac.names = c("Droga", "Tempo")) 
 
# retirando o objeto dados.ex1_11 do caminho de procura 
detach(dados.ex1_11) 
 
Para comparar tempo em cada droga, o erro padrão da diferença de 
duas médias é 
391
8
7872
r
E2
YYES
b
ilij ,
),(
).(.
)(
..  , 
e o teste de tukey é dado por 
734391393YYESqdms ilij050633 .),)(,().(. ..),;,(  
Do quadro auxiliar das médias temos, 
 T5 T10 T15 T20 
DA 70,50b 80,50ª 81,00a 73,13b 
DB 81,75a 84,00a 78,63a 79,75a 
DC 72,75b 72,38b 71,50b 71,25b 
Médias com a mesma letra minúscula nas linhas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5%. 
Assim do quadro auxiliar das médias temos, 
 T5 T10 T15 T20 
DA 70,50bB 80,50aA 81,00aA 73,13abB 
DB 81,75aA 84,00aA 78,63aA 79,75aA 
DC 72,75aB 72,38aB 71,50aB 71,25aB 
Médias com a mesma letra minúscula nas colunas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5%. 
Médias com a mesma letra maiúscula nas colunas não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5%. 
Dado que os níveis do fator tempo são quantitativos e igualmente 
espaçados, polinômios ortogonais podem ser usados para checar a tendência 
linear e quadrática na resposta de cada droga 
 
Estatística Experimental 
174 
 
A tendência linear para a Droga B (DB) é definida pelo contraste 
371175793637810084175813
Y3Y1Y1Y3Y 24232221Linear
,),)((),)((),)((),)((
ˆ

  
com erro padrão do contraste dado por: 
414
8
787
3113S 2222
YLinear
,
,
))()((ˆ  
A estatística t-student correspondente é 
582
414
3711
S
Y
t
LinearY
Linear
Calc ,
,
,ˆ
ˆ
. 

 , 
o valor tabelado é t(63; 0,05) = 2,00. Concluímos, então, que a tendência linear 
negativa observada no gráfico para a Droga B (DB) é significativa (p<0,05) pelo 
teste t-student. 
A tendência quadrática para a Droga a (DA) pode ser definida pelo 
contraste 
14131211Quad 1111Y  . 
o qual é estimado por 
8717Y1Y1Y1Y1Y 14131211Quad ,
ˆ   
com erro padrão do contraste dada por: 
971
8
787
1111S 2222Yuad ,
,
))()((
.
 
a estatística t-student correspondente é 
079
971
8717
YES
Y
t
Quad
Quad
Calc ,
,
,
)ˆ.(.
ˆ
.
.  
o valor tabelado é t(63; 0,05) = 2,00. Concluímos, então que a forte tendência 
quadrática observada no gráfico para a Droga A (DA) é significativa (p<0,05) 
pelo teste t-student. 
 
Estatística Experimental 
175 
Aula 12 Transformação de dados 
 
1 Introdução 
Existem duas maneiras nas quais as hipóteses da ANOVA podem ser 
violadas. Primeiro, os dados podem consistir de medidas em uma escala 
ordinal ou nominal; neste caso métodos mais apropriados para dados ordinais 
e nominais são necessários. Segundo, os dados, embora medidos em escala 
contínua, podem não satisfazer pelo menos uma das três hipóteses requeridas 
pela análise de variância: 
Como vimos anteriormente, as hipóteses da análise de variância são: 
 os termos dos erros são aleatóriamente, independentemente e 
normalmente distribuídos ),(~ 2ij 0Ne  
 a variância de diferentes amostras são homogêneas; variâncias e 
médias de diferentes amostras não são correlacionadas; 
 os efeitos dos tratamentos são aditivos. 
 
Nestes casos, duas opções se oferecem para analisar os dados. Uma é 
reduzir o intervalo dos dados para dados medidos em uma escala nominal ou 
ordinal apropiada e fazer uma análise para este tipo de dado. A outra 
possibilidade é ver se os dados podem ser transformados para satisfazer as 
hipóteses da ANOVA. Se tal transformação é encontrada, os dados 
transformados podem então serem analisados pelos métodos da ANOVA. A 
hipótese de variâncias iguais é essencial para a realização da análise de 
variância. Em muitos casos a transformação que torna as variâncias mais 
homogêneas, também tornam os dados mais próximos de uma distribuição 
normal. 
Considere o exemplo, no qual os pesos, em pounds, de animais, em um 
DBC, foram observados. Os tratamentos estão em um esquema fatorial 3 x 2, 
três espécies de animais e dois grupos, um tratado com uma nova vitamina e 
outro contrôle, em 4 blocos 
 
 Bloco 
Tratamentos I II III IV 
mice contrôle 0.18 0.30 0.28 0.44 
mice vitamina 0.32 0.40 0.42 0.46 
galinha controle 2.0 3.0 1.8 2.8 
galinha vitamina 2.5 3.3 2.5 3.3 
ovelha controle 108.0 140.0 135.0 165.0 
ovelha vitamina 127.0 153.0 148.0 176.0 
 
O quadro da anova dos dados deste experimento mostra os seguintes 
resultados 
 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
factor(bloco) 3 984 328 2.631 0.0881 . 
factor(fatorA) 2 108321 54161 434.507 5.28e-14 *** 
factor(fatorB) 1 142 142 1.140 0.3025 
factor(fatorA):factor(fatorB) 2 250 125 1.004 0.3896 
Residuals 15 1870 125 
--- 
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 
 
Estatística Experimental 
176 
A alta significância entre as espécies (fatorA) não é surpreendente para 
o pesquisador. O que parece estranho é que não foi detectada diferença 
significativa devido a vitamina (fatorB), tendo em vista que todo animal em 
todas as replicações que receberam vitamina mostraram um peso maior do que 
o correspondente animal contrôle. Parece estranho também que não foi 
encontrado evidências de interação entre os efeitos de vitamina e espécies, 
dado que a resposta aparente a vitamina é tão diferente nas diferentes 
espécies. Tudo que podemos concluir é que mice, galinhas e ovelhas diferem 
em peso. 
Vamos olhar estes dados com as supsições da anova em mente e ver o 
que podemos fazer se uma das suposições não é atendida. 
 
O gráfico de resíduos vs valores preditos mostra claramente uma 
heterogeneidade de variâncias e o QQ-plot mostra um comportamento dos 
dados que não é muito convicente da distribuição normal. A menssagem 
parece clara, entretanto, podemos ainda fazer testes para verificar o desvio dos 
pressupostos. 
Teste de normalidade de normalidade de Shapiro-Wilk no R 
 
# teste de normalidade 
shapiro.test(pesotrat.av$res) 
Saída fornecida pelo R: 
 
Shapiro-Wilk normality test 
 
data: pesotrat.av$res 
W = 0.9536, p-value = 0.3236 
Este teste mostra o teste é não significativo (p=0,3236), portanto não 
rejeitamos ),(~: 2ij0 0NH  , ou seja, os resíduos e por conseguinte os dados 
deste experimento suportam a suposição de normalidade. Assim, a primeira 
suposição é prenchida. 
 
Estatística Experimental 
177 
Agora vamos examinar a suposição de homogeneidade das variâncias. 
Vamos aplicar o teste de Bartlett usando o R. 
 
# teste da homogeneidade das variâncias dos tratamentos 
bartlett.test(peso~factor(trat)) 
 
 Saída do teste de Bartlett no R: 
Bartlett test of homogeneity of variances 
 
data: peso by factor(trat) 
Bartlett's K-squared = 81.8698, df = 5, p-value = 3.408e-16 
 
O teste é significativo (p=3.408e-16), rejeitamos 26
210H   ...: , ou 
seja, as variâncias dos tratamentos não são homocedásticas (homogêneas). 
Logo, a segunda suposição não é observada nos dados deste 
experimento. Para tentar contornar o problema vamos usar a transformação 
Box-Cox, que consiste em transformar os dados de acordo com a expressão 
 
 
 
 
sendo um parâmetro a ser estimado dos dados. Se a equação 
acima se reduz a 
 
sendo ln é o logaritmo neperiano. Uma vez obtido o valor de encontramos 
os valores dos dados transformados conforme a equação acima e utilizamos 
estes dados transformados para efetuar as análises. A função boxcox() do 
pacote MASS calcula a verossimilhanca perfilhada deste parâmetro. Devemos 
escolher o valor que maximiza esta função. Nos comandos a seguir 
começamos carregando o pacote MASS e depois obtemos o gráfico da 
verossimilhanca perfilhada no R: 
 
# requerendo o pacote MASS 
require(MASS) 
boxcox(peso ~ factor(trat),plotit = T) 
 Estes comandos fornecem o gráfico da verossimilhança perfilada 
 
Como estamos interessados no máximo da função vamos dar um zoom 
no gráfico com o comando 
# zoom no gráfico par maiores detalhes do valor do parâmetro 

 1y
y

'
 0
)ln(' yy 

 
Estatística Experimental 
178 
boxcox(a_peso ~ racoes, lam = seq(1,2, 1/10)) 
 
O gráfico mostra que o valor que maximiza a função é aproximadamente 
0,1. Assim, próximo passo é obter os dados transformados e depois fazer as 
analise utilizando estes novos dados. 
 
# obtenção dos dados transformados 
lambda<-0.1 
peso.trans <- (peso^(lambda) - 1)/lambda 
 
# fazendo a análise de variância dos dados transformados 
peso.avtrans <- aov(peso.trans ~ factor(trat) 
summary(peso.avtrans) 
plot(peso.avt) 
 
O quadro da anova dos dados transformados mostra o seguinte quadro 
da anova 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
factor(bloco) 3 0.85 0.28 18.244 2.88e-05 *** 
factor(fatorA) 2 237.35 118.68 7678.808 < 2e-16 *** 
factor(fatorB) 1 0.31 0.31 19.879 0.00046 *** 
factor(fatorA):factor(fatorB) 2 0.02 0.01 0.502 0.61518 
Residuals 15 0.23 0.02 
--- 
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 
Este quadro mostra um resultado mais satisfatório do que a análise dos 
dados sem transformação. Nesta análise, também é mostrado uma 
significância do fator B (p=0,00046). Mesmo assim, o resultado do teste da 
significância da interação (p = 0,61518) permaneceu não significativo. 
NOTA: No gráfico da verossimilhança perfilhada notamos que é mostrado um 
intervalo de confiança para  e que o valor 0 está contido neste intervalo. Isto 
indica que podemos utilizar a transformação logaritímica dos dados e os 
resultados da anova serão bem próximos dos obtidos com a transformação 
com 10, , préviamente adotada. 
 
 
# quadro da anova dos dados transformados 
 
Estatística Experimental 
179 
pesolog.av <- 
aov(log(peso+1)~factor(bloco)+factor(fatorA)+factor(fatorB)+ 
factor(fatorA):factor(fatorB)) 
summary(pesolog.av) 
 
 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
factor(bloco) 3 0.22 0.07 12.85 0.000201 *** 
factor(fatorA) 2 96.89 48.44 8573.72 < 2e-16 *** 
factor(fatorB) 1 0.07 0.07 12.11 0.003361 ** 
factor(fatorA):factor(fatorB) 2 0.00 0.00 0.41 0.670832 
Residuals 15 0.08 0.01 
--- 
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 
Reparem que os resultados desta anova estão bem próximos dos 
resultados da anova dos dados originais. 
Teste de normalidade de Shapiro-Wilk nos resíduos dos dados 
transformados 
 
# teste da normalidade 
shapiro.test(pesolog.av$res) 
 
Shapiro-Wilk normality test 
data: pesofattrans.av$res 
W = 0.9803, p-value = 0.9014 
 
Teste de da homogeneidade das variâncias dos tratamentos 
# teste de bartlett 
bartlett.test(log(peso+1)~factor(trat)) 
O resultado do teste de Bartlett para os dados transformados é 
 
Bartlett test of homogeneity of variances 
data: log(peso + 1) by factor(trat) 
Bartlett's K-squared = 5.5714, df = 5, p-value = 0.3502 
 
Agora temos confiança de que a nova análise de variância é válida, dado 
que dados transformados satisfazem as duas suposições da análise de 
variância. Com os dados originais a homogeneidade das variâncias não era 
atendida.