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Aula II
Lei de Ohm, ddp, corrente elétrica e 
força eletromotriz
Prof. Paulo Vitor de Morais
E-mail: paulovitordmorais91@gmail.com
1
Potencial elétrico
Energia potencial elétrica
• Quando temos uma força que atua sobre uma partícula levando-a do ponto 𝑎 até o 𝑏, o trabalho 
realizado é:
𝑊𝑎→𝑏 = 
𝑎
𝑏
 𝐹. 𝑑𝑙 = 
𝑎
𝑏
𝐹 cos𝜑 𝑑𝑙 (1)
𝑑𝑙 é o deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória;
𝜑 é o ângulo entre 𝐹 e 𝑑𝑙 em cada ponto da trajetória;
• Se 𝐹 é uma força conservativa podemos expressá-la em termos da energia potencial elétrica:
𝑊𝑎→𝑏 = 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 = − 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = −∆𝑈 (2)
 Se 𝑈𝑎 > 𝑈𝑏, 𝑊𝑎→𝑏 será positivo;
 Se 𝑈𝑏 > 𝑈𝑎, 𝑊𝑎→𝑏 será negativo; 3
• Fazendo referência ao campo elétrico, temos:
4
Energia potencial elétrica para um campo elétrico 
uniforme
• Imagine um par de placas metálicas paralelas carregadas, 
produzindo um campo elétrico uniforme orientado de cima para 
baixo;
• O módulo 𝐸 do campo elétrico exerce sobre a partícula (pela Lei de 
Coulomb):
𝐹 = 𝑞0𝐸 (3)
• Sendo 𝑑 a distância entre os pontos 𝑎 e 𝑏, e utilizando a equação 1 
o trabalho realizado sobre a partícula e a energia potencial para a 
força elétrica serão:
𝑊𝑎→𝑏 = 𝐹𝑑 = 𝑞0𝐸𝑑 (4)
𝑈 = 𝑞0𝐸𝑑 (5)
• Poderíamos abordar a energia potencial elétrica para uma ou 
diversas cargas puntiformes, mas esse não é o escopo da aula;
5
Como podemos definir potencial elétrico?
• O potencial elétrico é definido como a energia potencial por unidade de carga;
𝑈 = 𝑞0𝐸𝑑 ⇒ 𝑈 = 𝑞0𝑉 ⇒ 𝑉 =
𝑈
𝑞0
(6)
• A unidade no SI é Volt. Essa unidade é em homenagem ao Alessandro Volta (1745-1827), o qual 
foi pesquisador experimental de eletricidade;
1 𝑉 = 1 𝑣𝑜𝑙𝑡 = 1
𝐽
𝐶
= 1
𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒
𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏
• Se igualarmos o trabalho realizado por uma força elétrica sobre uma partícula do ponto 𝑎 ao 
ponto 𝑏 ao conceito de trabalho por unidade de carga, temos:
𝑊𝑎→𝑏
𝑞0
=
− 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎
𝑞0
(7)
• Como 𝑉 =
𝑈
𝑞0
, temos:
𝑊𝑎→𝑏
𝑞0
= − 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 (8)
• 𝑉𝑎 é o potencial no ponto 𝑎 e 𝑉𝑏 é o potencial no ponto 𝑏; 6
𝑊𝑎→𝑏
𝑞0
= − 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 (9)
• 𝑉𝑎 é o potencial no ponto 𝑎 e 𝑉𝑏 é o potencial no ponto 𝑏;
• O trabalho realizado nesse deslocamento da carga é igual ao potencial no ponto 𝑎 menos o 
potencial do ponto 𝑏;
• Essa relação entre os potenciais dos pontos 𝑎 e 𝑏 é o que chamamos de diferença de potencial 
(ddp);
• A equação 9 pode ser entendida como: o potencial de 𝑎 em relação a 𝑏 é igual ao trabalho 
realizado pela força elétrica quando uma carga unitária se desloca de 𝑎 até 𝑏;
7
Corrente elétrica
• Uma corrente elétrica é qualquer movimento efetivo de cargas de uma região para outra;
• Se não há nenhuma ddp aplicada em um metal, não há corrente;
• Mas isso não quer dizer que os elétrons estejam parados;
• Em metais com alta condutividade, como, cobre ou alumínio os elétrons podem se mover livremente. 
Mas esse é uma movimento caótico;
• Em um movimento caótico não há um fluxo efetivo de cargas em nenhum direção fixa, logo não há 
corrente elétrica;
• Se um campo elétrico estacionário e constante é estabelecido no interior de um condutor, temos 
que a partícula está submetida a:
 𝐹 = 𝑞𝐸 (10)
• Considerando esse sistema no vácuo, a partícula será acelerada na mesma direção da força 𝐹;
8
• Mas como é o movimento da partícula em um condutor quando há 
um campo elétrico sendo aplicado? (Olhe a figura ao lado);
• Além do movimento caótico, há também uma velocidade de arraste 
(movimento muito lento) das partículas, devido a um grupo de cargas 
carregadas na direção da força elétrica;
• A corrente resultante é composta pelo movimento caótico (𝑣𝑚 =
106 𝑚/𝑠) e pelo movimento de arraste (𝑣𝑎 = 10
−4 𝑚/𝑠);
• Mas se a velocidade é “lenta”, por que quando ligamos algum 
eletroeletrônico na tomada ele começa a funcionar quase que 
instantaneamente?
9
Direção e sentido do fluxo da corrente
• Grande parte do trabalho realizado pelo campo elétrico é usado para aquecer o condutor, e não 
para acelerar os elétrons;
• A energia cinética resultante das partículas é transferida para o material do condutor por meio de 
colisões com os íons do condutor;
• Essas colisões aumentam a vibração dos íons do condutor, o que aumenta a temperatura do mesmo;
• Vamos sempre admitir um sentido convencional para a corrente elétrica;
• Não importando se o fluxo de cargas é positivo ou negativo;
10
• Na análise de circuitos é irrelevante se o fluxo de cargas é positivo 
ou negativo;
• Definimos a corrente através da área com secção reta 𝐴 como igual 
ao fluxo das cargas através da área por unidade de tempo (figura 
ao lado);
𝐼 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
(11)
• A unidade no SI é ampère (𝐶/𝑠). Nome dado em homenagem ao 
cientista francês André Marie Ampère (1775-1836);
• Também é muito utilizado o conceito de densidade de corrente;
𝐽 =
𝐼
𝐴
A
m2
(12)
11
Resistividade
• A densidade de corrente 𝐽 em um condutor depende do campo elétrico e das propriedades do 
material;
• Para certos materiais, especialmente os metais, em um dada temperatura, essa dependência de 𝐽
e 𝐸 é quase diretamente proporcional;
• Logo, a razão entre os módulos de 𝐸 e 𝐽 permanece constante;
• Essa relação é conhecida como Lei de Ohm. Definida por Georg Simon Ohm (1787-1854);
• A resistividade de um material é definida como:
𝜌 =
𝐸
𝐽
V
m
/
A
m2
=
V
A
m (13)
12
𝜌 =
𝐸
𝐽
V
m
/
A
m2
=
V
A
m
1
𝑉
𝐴
= 1
• Quanto maior o valor da resistividade, maior terá que ser o campo elétrico necessário para 
produzir um dada densidade de corrente;
• O inverso da resistividade é a condutividade;
• Um material que obedece razoavelmente à lei de Ohm é chamado de condutor ôhmico ou linear;
• Para esses materiais 𝜌 é constante e não depende do valor de 𝐸;
• Materiais que não obedecem à lei de Ohm são chamados de não-ôhmicos ou não-lineares;
13
Resistência
• Para um condutor, temos:
𝐸 = 𝜌 𝐽 (14)
• Para a lei de Ohm, 𝜌 é constante e não depende de 𝐸;
• Para termos práticos, há o interesse de se trabalhar com:
• Corrente 𝐼 ao invés de 𝐽;
• Ddp ao invés de 𝐸;
• Essas medidas são mais fáceis de serem estabelecidas;
• Considere:
• 𝑉 a diferença de potencial entre a extremidade com potencial maior e a de menor, logo 𝑉 é positivo. Podemos 
escrever 𝑉 = 𝐸. 𝐿 ou 𝐸 = 𝑉/𝐿;
• 𝑈 = 𝑞0𝐸𝑑 5 ⇒
𝑈
𝑞0
= 𝑉 ⇒
𝑈
𝑞0
= 𝐸𝑑 ⇒ 𝑉 = 𝐸𝑑
• Supondo que os módulos da densidade de corrente e do campo elétrico sejam uniformes através do condutor, a 
corrente pode ser dada por 𝐼 = 𝐽. 𝐴 (12) ou 𝐽 = 𝐼/𝐴;
• Temos:
𝐸 = 𝜌𝐽 (15)
𝑉
𝐿
=
𝜌𝐼
𝐴
⇒ 𝑉 =
𝜌𝐿
𝐴
𝐼 (16)
14
• Por definição a resistência é:
𝑅 =
𝜌𝐿
𝐴
(17)
• Diretamente proporcional ao comprimento do fio e 
inversamente proporcional à secção reta;
• A resistência também é denominada pela razão:
𝑅 =
𝑉
𝐼
(18)
• Para materiais ôhmicos, 𝑅 será constante;
15
Relato sobre a “invenção” do 
resistor
• Artigo: L. N. Kryzhanovsky. The invention of the resistor, Centaurus, 
vol.32, 1989, pp. 336-339.
• O termo resistir e a descrição de dispositivos com relação a esse 
termo foram encontrados em uma carta de Delaval com data de 15 
de março de 1759.
16
Lei de Ohm
• Essa lei estabelece que a corrente que atravessa um dispositivo é sempre diretamente 
proporcional à diferença de potencial aplicada ao dispositivo (figura da esquerda);
• Entretanto, essa lei não se aplica a todos os casos pois existem os dispositivos não-ôhmicos 
(figura da direita);
17
• Um dispositivo obedece à Lei de Ohm se a resistência do mesmo não 
depende do valor absoluto e nem da polaridade da diferença de 
potencial aplicada;
Trabalho a ser feito junto com o relatório: Por que alguns materiais 
obedecem à Lei de Ohm? Responda a pergunta com a explicação 
conceitual e cite a(s) referência(s);
18
Associação de resistores (dispositivos ôhmicos)
Associação de resistores em série e em paralelo
• Como a tensão secomporta quando ela passa pelos resistores 𝑅1 e 𝑅2?
• Qual o comportamento da corrente ao passar pelas resistências?
• Qual a relação entre seus valores nos pontos a, b e c?
• Qual a relação entre os valores de tensão nos pontos a, b e c?
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• Temos que:
𝑉1 ≠ 𝑉2
• Entretanto, a corrente é a mesma:
𝑖1 = 𝑖2 = 𝑖
• Logo, pela Lei de Ohm:
𝑉1 = 𝑅1𝑖1; 𝑉1 = 𝑅2𝑖2;
𝑉𝑡 = 𝑉1 + 𝑉2
𝑅𝑒𝑞𝑖 = 𝑅1𝑖1 + 𝑅2𝑖2
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 (19)
20
Medidas de tensão em circuitos em série e em paralelo
• Como a tensão se comporta quando ela passa pelos resistores 𝑅1 e 𝑅2;
• Qual a relação entre os valores de tensão nos pontos a e b?
• Qual o comportamento da corrente ao passar pelas resistências?
• Qual a relação entre seus valores nos pontos a, b?
21
𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉
𝑖𝑎 ≠ 𝑖𝑏
𝑉1 = 𝑅1𝑖1; 𝑉2 = 𝑅2𝑖2
𝑖𝑡 = 𝑖1 + 𝑖2
𝑖1 =
𝑉1
𝑅1
; 𝑖2 =
𝑉2
𝑅2
𝑉
𝑅𝑒𝑞
=
𝑉1
𝑅1
+
𝑉2
𝑅2
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
(20)
22
Potência em circuitos elétricos
• A quantidade de carga que atravessa um circuito em um intervalo de tempo é 
dado por: 𝑖 𝑑𝑡;
• Para o circuito fechado, temos que a energia potencial da carga 𝑑𝑞 diminui este 
valor é dado por:
𝑑𝑈 = 𝑑𝑞 𝑉 = 𝑖 𝑑𝑡 𝑉 ⇒
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= 𝑖𝑉 (21)
• Essa redução da energia potencial elétrica deve ser acompanhada por uma 
conservação de energia. Assim a energia potencial elétrica se transforma em 
alguma outra;
• A potência associada a essa conversão é a taxa de transferência de energia 
𝑑𝑈/𝑑𝑡. Assim, pela equação 21 chegamos que:
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= 𝑃 = 𝑖 𝑉 (22)
• 𝑃 é a taxa com a qual a energia é transferida da bateria para o componente 
(algum dispositivo);
23
• A unidade de potência é dada por:
1 𝑉. 𝐴 = 1
𝐽
𝐶
1
𝐶
𝑠
= 1
𝐽
𝑠
= 1𝑊
• Para o caso do componente ser um resistor*:
𝑉 = 𝑅 𝑖; 𝑃 = 𝑖 𝑉 = 𝑖2 𝑅 (22)
Ou
𝑖 =
𝑉
𝑅
; 𝑃 = 𝑖 𝑉 =
𝑉2
𝑅
(23)
24
Força eletromotriz e circuitos
Força eletromotriz
• É o agente que faz a corrente fluir do potencial mais 
baixo para o mais elevado;
• Atenção: a 𝑓𝑒𝑚 não é uma força, logo esse termo não é 
o mais adequado;
• A 𝑓𝑒𝑚 é uma grandeza com dimensão de energia por 
unidade de carga (𝐽/𝐶);
• O trabalho feito por um fonte pode ser representado 
por (figura ao lado):
• Se o circuito for aberto 𝐹𝑛 = 𝐹𝑒, assim não há 
movimento resultante das cargas;
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• 𝑓𝑒𝑚 e ddp são conceitos diferentes;
• 𝑓𝑒𝑚: trabalho não-eletrostático (relacionado com processo interno 
da fonte) por unidade de carga;
• Ddp: diferença de potencial elétrico entre dois pontos, ou, trabalho 
eletrostático por unidade de carga;
• Se a fonte for ideal, temos que:
𝑉𝑎𝑏 = 𝜀
• Para um circuito fechado, temos:
𝑉𝑎𝑏 = 𝜀 = 𝐼𝑅
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Resistência interna de uma fonte
• A ddp entre os terminais de uma fonte real não é igual a 𝑓𝑒𝑚;
• Isso devido à resistência interna da fonte, designada pela letra 𝑟;
• Se essa resistência obedece à lei de Ohm, teremos:
𝑉𝑎𝑏 = 𝜀 − 𝐼𝑟
• A corrente sofre uma queda de potencial igual a 𝐼𝑟;
• Logo, 𝜀 > 𝑉𝑎𝑏;
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Variações de potenciais em torno de um 
circuito
• A variação total de potencial em um circuito 
completo é igual a zero;
𝜀 − 𝐼𝑅 − 𝐼𝑟 = 0
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