Apostila nivelamento Matemática(2)

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UNIPAC ON-LINE
Nivelamento
Matemática
UNIVERSIDADE PRESIDENTE ANTÔNIO CARLOS – UNIPAC
UNIPAC ON-LINE
 
PROFª. GRACE MARISA MIRANDA DE PAULA 
NIVELAMENTO: MATEMÁTICA
BARBACENA 
2016
UNIPAC
 M672n 
 Miranda de Paula, Grace Marisa
 Nivelamento: matemática. / Grace Marisa Miranda de Paula. 
 Barbacena:
 UNIPAC, 2016. 
 15 p.
 ISBN:
1. Matemática – Disciplina on-line I. Título II. Universidade 
Presidente Antônio Carlos - UNIPAC
Copyright © 2016
Todos os direitos reservados a:
Universidade Presidente Antônio Carlos – UNIPAC.
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Equipe EaD
Catalogação na fonte elaborada por Rosy Mara Oliveira – CRB 6/2083
CONHEÇA A AUTORA
Grace Marisa Miranda de Paula é professora de Matemática na Rede Municipal de Ouro 
Branco, professora de Cálculo e Álgebra Linear na Fundação Presidente Antônio Carlos- 
Conselheiro Lafaiete. Licenciada em Ciências Físicas e Biológicas pela PUC –MG e em 
Matemática pela UNINCOR – Três Corações, Mestre em Educação Matemática pela UNINCOR 
- Betim.
Link do Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/0542883953244902'
Conteúdos abordados:
1. Propriedades da Potenciação
2. Propriedades da Radiciação
3. Operações com radicais
4. Produtos Notáveis
5. Fatoração de polinômios.
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
SUMÁRIO
RECORDANDO OS SÍMBOLOS UTILIZADOS NA MATEMÁTICA..............................................9
PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO........................................................................................,..10
OPERAÇÕES COM RADICAIS................................................................................................,..10
PRODUTOS NOTÁVEIS..............................................................................................................11
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS.................................................................................................12
TRINÔMIO DO QUADRADO PERFEITO....................................................................................13
REFERENCIAS...........................................................................................................................15
9
RECORDANDO OS SÍMBOLOS 
UTILIZADOS NA MATEMÁTICA
DIFERENÇA
IGUAL
CONTÉM
CONTIDO
FATORIAL
MENOR QUE
MAIOR QUE
MENOR OU IGUAL
MAIOR OU IGUAL
ADIÇÃO
SUBTRAÇÃO
DIVISÃO
MULTIPLICAÇÃO
PROPORCIONAL
APROXIMADO
SE E SOMENTE SE
IMPLICAÇÃO
EXISTE
PERTENCE
NÃO PERTENCE
QUALQUER
PORTANTO
ORTOGONAL
E
OU
IMAGINÁRIO
SOMATÓRIA
UNIÃO
INTERSEÇÃO
NABLA
DIFERENÇA
LAPLACIANO
INTEGRAL
VETOR
PRO. ESCALAR
PROD. VETORIAL
LIMITE
COMPLEXO
CONJUGADO
TAL QUE
FUNÇÃO GAMA
FUNÇÃO BETA
CONJUNTOS NUMÉRICOS.
Conjunto dos números naturais 
Podemos contar os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, ... Observamos que os números nunca terminam, 
isto é, sempre existirá um número maior do que o pre-
cedente. 
Este conjunto infinito de números é chamado de 
conjunto dos números naturais, pois podemos contá-
-los naturalmente, somando e multiplicando, como (1 
+ 2 = 3), está no conjunto, ( 3 x 2 = 6), continua no 
conjunto, 
IN = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8: 9, 10, ...}
São os números os quais utilizamos para contar 
quantidades inteiras:
Ex: 3 alunos, 20 carros, etc
Quando o zero é excluído, temos: 
IN* ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} IN* (IN asterisco) ; 
Agora (2 – 3 = -1), opa, não está no conjunto dos 
números naturais, então houve a necessidade de criar 
o conjuntos dos números inteiros Z.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, já podemos somar, 
multiplicar, subtrair normalmente.
São números relativos que estão ligados as tro-
cas, ou seja, transações de coisas, depende de um 
referencial.
Ex: Temperatura negativa, dívida em banco, etc
Agora (4 ÷ 2= 2), está no conjunto Z, (3 ÷ 2 = 1,5) 
não está no conjunto de números inteiros, então hou-
ve a necessidade de se criar o conjunto dos números 
racionais Q 
Q = {... -3, -2,5 , -2 , -1,5 , -1 ,-0,5 , 0 , 0,5, 1, 
1,5 , 2, 2,5 , 3...}
São os números que representam partes inteiras 
ou divisões. Em alguns casos temos números com de-
cimais infinitos os quais não possuem período.
Ex:
Agora, podemos somar, subtrair, multiplicar e di-
vidir, mas a reta real ainda não está completa, ainda 
existem espaços entre os números, aí entram os nú-
meros para completar os espaços e então são cria-
dos os números irracionais. Números irracionais são 
aqueles que não podem ser escritos na forma de fra-
ção. Ou seja, as raízes não exatas, dízimas não perió-
dicas, o próprio número PI ( )
Ex: 3,14567890..., 3,586790465..., etc
Assim temos o conjuntos dos números reais!R
10
REGRAS DE OPERAÇÕES
Regra da soma de sinais:
5 + 3 = 8
-6 – 7 = -13
7 – 3 = 5
5 – 11 = -6
* se os sinais são iguais, soma-se à parte numéri-
ca e mantém-se o sinal;
* se os sinais são opostos, subtrai-se à parte nu-
mérica e mantém-se o sinal do número de maior 
módulo.
Regra da multiplicação de sinais:
(+).(+) = (+)
(-).(-) = (+)
(-).(+) = (-)
(+).(-) = (-)
* multiplicação de sinais iguais o sinal resultante é 
positivo;
* multiplicação de sinais opostos o sinal resultante 
é negativo.
Soma de Números Fracionários:
Ex.:
* para somar frações é necessário deixar as fra-
ções com os mesmos denominadores.
Mínimo Múltiplo Comum: 
MMC significa mínimo múltiplo comum. Minimiza-
ção, que é a operação e o menor múltiplo comum é o 
resultado dessa operação.
 O mmc de dois ou mais números inteiros é o me-
nor número que é múltiplos dos dois ao mesmo tempo. 
Com exceção com zero.
Exemplo, o MMC de 4 e 6 = 12,
2 , 3 2
1 , 3 3
1 , 1_________ 
mmc = 2.3 = 6
1
2
+ 1
3
3 + 2
6
5
6
Encontrar o menor múltiplo comum é útil quando 
fazemos operações com frações para que o denomi-
nador seja comum durante o processo.
Vamos calcular o mmc: MMC (4; 6; 8)
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS 
FRACIONÁRIOS:
A multiplicação de frações é muito simples, basta 
multiplicarmos numerador por numerador e denomina-
dor por denominador, respeitando suas posições.
DIVISÃO DE NÚMEROS 
FRACIONÁRIOS:
A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra 
prática e de fácil assimilação, que diz: “repetir a primei-
ra fração e multiplicar pelo inverso da segunda”.
11
DIVISÃO EM DECIMAL
O algoritmo para realizar a divisão é conhecido 
como “método da chave”. Para realizar a divisão por 
meio desse algoritmo, devemos dispor os elementos 
da seguinte maneira:
O quociente será um número que, multiplicado 
pelo divisor, terá como resultado o dividendo, isto é,
q·d = D
Caso essa divisão tenha resto, escreve-se:
r + q·d = D
Portanto, para realizar uma divisão pelo método 
da chave, temos como pré-requisito saber toda a tabu-
ada de multiplicação.
APLICANDO O ALGORITMO
DA DIVISÃO
Exemplo 1 - Observe a divisão de 8 por 2:
Nesse caso, observamos: 
Dividendo = 8, divisor = 2, quociente = 4 e resto = 0. 
Podemos escrever a seguinte expressão:
r + q·d = D
0 + 4·2 = 8
A divisão de 92 por 2. Nesse caso, em um primeiro 
momento, divida 9 por 2 e coloque o resto 1. Observe 
que 4·2 +1 = 9, logo, colocamos 4 no quociente, o re-
sultado de 4·2 abaixo do 9 (que é o número que esta-
mos dividindo nesse primeiro momento) e diminuímos 
9 por esse resultado. O resto é 1.
Ao lado do resto 1, “desça” o próximo algarismo 
do dividendo:
Agora repita o processo para o número 12, forma-
do pelo resto e pelo próximo número do dividendo ini-
cial:
O resultado dessa divisão é 46. Podemos escrever, 
portanto,a seguinte expressão:
r+ q·d = D
DIVISÃO COM NÚMEROS 
DECIMAIS
Para dividir números decimais, é necessário co-
nhecer o procedimento adequado quando o divisor é 
maior que 10.
O procedimento adequado para divisão com nú-
meros decimais é feito com os seguintes passos:
• Passo 1: Contar as casas decimais do divisor e do 
dividendo e escolher o maior entre esses núme-
ros;
• Passo 2: Calcular a potência 10n, sendo n o nú-
mero escolhido no passo anterior;
• Passo 3: Multiplicar divisor e dividendo pelo resul-
tado dessa potência;
• Passo 4: Realizar a divisão propriamente dita.
Calcule a divisão de 3,82 por 0,2
Vamos seguir os passos apresentados anterior-
mente:
• Passo 1: O divisor possui uma casa decimal, e o 
dividendo, duas. Portanto, escolheremos o núme-
ro 2 para o passo seguinte;
12
• Passo 2: Para cumprir esse passo, faremos 102 = 
100;
• Passo 3: Basta calcular 3,82·100 = 382 e 0,2·100 
= 20.
• Passo 4: Observe que não existem mais vírgulas 
no resultado. Como ambos foram multiplicados 
pelo mesmo número, seus resultados serão iguais. 
Desse modo, realizando a divisão de 382 por 20, 
obteremos o mesmo resultado que na divisão de 
3,82 por 0,2. Portanto:
POTÊNCIAS
• o expoente está indicando quantas vezes deve-
mos multilicar a base:
• a potenciação é distributiva para a multiplicação e 
a divisão:
• multiplicação de mesma base coma os expoentes:
• Potência de potência multiplica os expoentes:
n
Para resolver uma potência, basta multiplicar a 
base por ela mesma a quantidade de vezes indicada 
pelo expoente. Se temos, por exemplo, a potência, 
basta multiplicar o 3 por ele mesmo 5 vezes:
Potência com número negativo, basta aplicar a po-
tência no inverso do número:
FRAÇÃO NO EXPOENTE 
OU UM NÚMERO DECIMAL
Transformar a potência em uma raiz. 
Resolver uma potência em que o expoente é uma 
fração:
Dada uma potência em que a é real, bem como 
x e y são inteiros:
Para entender melhor essa definição, veja a reso-
lução de alguns exemplos:
13
RADICIAÇÃO
É uma operação matemática e possui proprieda-
des que podem ser aplicadas para facilitar os cálculos. 
 
1ª propriedade - raiz enésima de um número ele-
vado a n. O resultado é esse próprio número, isto é, 
sempre que o índice do radical for igual ao expoente 
do radicando, o resultado da raiz será o próprio radi-
cando sem expoente. Observe o exemplo:
2ª propriedade - índice do radical e o expoen-
te do radicando sejam multiplicados ou divididos pelo 
mesmo número. Se a ideia for simplificar os cálculos e 
ambos forem múltiplos de um mesmo número, basta 
dividi-los por esse número. Observe:
Observe que 28 é obtido por meio da decomposi-
ção em fatores primos de 256.
3ª propriedade – Um “caminho de ida” e um 
“caminho de volta”. No caminho de ida, é possível de-
compor um número em fatores quaisquer (ou primos, 
dependendo da situação) e reescrever uma raiz única 
como produto das raízes dos fatores. Esse caso é o 
mais utilizado na simplificação de radicais.
Muitas vezes essa propriedade é usada em con-
junto com a propriedade anterior para unir dois ou mais 
radicais. Para tanto, multiplique índice e expoente dos 
radicais a serem unidos de modo que os índices fiquem 
iguais. Em seguida, aplique a terceira propriedade.
4ª propriedade - o item anterior para divisão.
5ª propriedade - Qualquer raiz elevada a alguma 
potência pode ter a potência introduzida em seu radi-
cal, de modo que ela se torna expoente do radicando.
6ª propriedade - As raízes de raízes podem ser 
reescritas utilizando apenas um radical. :
7º propriedade - O índice do radical e o expoente 
do radicando podem ser vistos como uma fração a fim 
de eliminar o radicando ou de simplificá-lo.
JOGO DE SINAIS E
ORDEM DE CÁLCULO
Existem duas regras diferentes para calcular os si-
nais dos resultados das operações matemáticas: uma 
para adição e outra para multiplicação.
A regra utilizada para adição é a seguinte: a adição 
de dois números com sinais iguais tem como resulta-
do um número com esse mesmo sinal. Na adição de 
dois números com sinais diferentes, subtrai-se esses 
números e o resultado ficará com o sinal daquele que 
possui o maior módulo.
Resumindo:
Na adição: 
Sinais iguais, repete o sinal.
Sinais diferentes, subtrai e dá, ao resultado, o sinal 
do maior.
A regra usada para multiplicação é a seguinte: 
A multiplicação de dois números com sinais iguais 
resulta em um número positivo.
A multiplicação de dois números com sinais dife-
rentes resulta em um número negativo.
14
Resumindo: 
Na multiplicação:
Sinais iguais: ( + )
Sinais diferentes: ( - )
As expressões numéricas devem ser resolvidas 
seguindo a seguinte ordem:
• resolver as operações no interior de parênteses,
• depois no interior de colchetes
• e, por fim, no interior de chaves.
Já a ordem de resolução das operações em si é a 
seguinte:
• primeiro, calcular raízes ou potências,
• depois, multiplicações ou divisões
• e, por fim, adições e subtrações.
PRODUTOS NOTÁVEIS
Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois ter-
mos.
• Quadrado = expoente 2;
• Soma de dois termos = a + b;
• Logo, o quadrado da soma de dois termos é: 
 
Efetuando o produto do quadrado da soma, obte-
mos:
 
Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o 
produto notável, que é dado por:
 
Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos 
é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas ve-
zes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado 
do segundo termo.
Exemplos:
Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois 
termos.
• Quadrado = expoente 2;
• Diferença de dois termos = a – b;
• Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: 
Vamos efetuar os produtos por meio da proprieda-
de distributiva:
Reduzindo essa expressão, obtemos o produto 
notável:
Temos, então, que o quadrado da diferença de 
dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, me-
nos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o 
quadrado do segundo termo.
Exemplos:
Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença 
de dois termos.
• Produto = operação de multiplicação;
• Soma de dois termos = a + b;
• Diferença de dois termos = a – b;
• O produto da soma pela diferença de dois 
 termos é: (a + b) . (a – b)
Resolvendo o produto de (a + b) . (a – b), obtemos:
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:
15
Podemos concluir, portanto, que o produto da 
soma pela diferença de dois termos é igual ao quadra-
do do primeiro termo menos o quadrado do segundo 
termo.
Exemplos:
Quarto caso: Cubo da soma de dois termos
• Cubo = expoente 3;
• Soma de dois termos = a + b;
• Logo, o cubo da soma de dois termos é:
Efetuando o produto por meio da propriedade dis-
tributiva, obtemos:
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:
O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo 
do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao qua-
drado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro 
termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do se-
gundo termo.
Exemplos:
Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos
• Cubo = expoente 3;
• Diferença de dois termos = a – b;
• Logo, o cubo da diferença de dois termos é: 
Efetuando os produtos, obtemos:
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:
O cubo da diferença de dois termos é dado pelo 
cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo 
ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o 
primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o 
cubo do segundo termo.
Exemplo:
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
São sete os casos diferentes utilizados na fatora-
ção de expressões algébricas. 
Fatoração
Fatorar significa transformar a soma e a subtração 
de expressões algébricas ou equações em um produ-
to com fatores. Podemos entender a fatoração como 
sendo a simplificação das sentenças matemáticas. 
Existem sete casos de fatoração.
Os métodos de fatoração de expressões algébri-
cas são:
1º caso - Fator comum (coloca-se o fator comum 
em evidência);
 podemos dizer que o monômio x é co-
mum a todos os termos,então vamos colocá-lo em 
evidência e dividir cada termo do polinômio 
por x.
Temos: x (x + 2)
Concluímos que x (x + 2) é a forma fatorada do 
polinômio
Para termos certeza dos cálculos, podemos apli-
car a distribuição na expressão x (x + 2) voltando 
ao polinômio
2º caso - Agrupamento de fatores comuns
Agrupamento é o método pelo qual simplificamos 
uma expressão algébrica, agrupando os termos seme-
lhantes (termos em comum).
16
Ao usarmos o método do agrupamento, necessi-
tamos fazer uso da fatoração: termo comum em evi-
dência.
Observe no exemplo a seguir:
Termo comum em evidência em cada agrupamento:
Colocamos novamente em evidência, pois os ter-
mos 4x e 6y possuem termos em comum.
3º caso - Trinômio Quadrado Perfeito
Trinômio do quadrado perfeito é o 3º caso de fa-
toração de expressão algébrica. Ele só pode ser uti-
lizado quando a expressão algébrica for um trinômio 
(polinômio com três monômios) e esse trinômio formar 
um quadrado perfeito.
Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele 
deve ter algumas características:
• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser 
quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro 
das raízes quadradas dos dois outros termos.
Veja um exemplo:
Veja se o trinômio é um quadra-
do perfeito, para isso siga as regras acima:
Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e 
o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio
 é quadrado perfeito.
4x² + 8x + 6xy + 12y
Então, a forma fatorada do trinômio é: 
Pois é a soma das raízes ao quadrado.
Exemplos:
4º caso - Trinômio: 
Sempre devemos observar os coeficientes dos 
dois últimos termos, veja: 
Os números 12 e 20 são os coeficientes dos dois 
últimos termos, agora devemos achar dois números 
que quando somamos o valor será igual a + 12 e quan-
do multiplicamos o resultado será igual a + 20, chega-
remos a esses números através de tentativas.
Os números somados e multiplicados que dão 
como valor 12 e 20, respectivamente, é 2 e 10. 
2 + 10 = 12 
2 . 10 = 20 
Então, fatoramos utilizando os números encontra-
dos que no exemplo é 2 e 10, portanto a forma fatorada 
de 
5º caso - Diferença de dois quadrados 
Exemplo
17
6º caso - Soma de dois cubos.
Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos 
os dois obteremos x + y, se montarmos uma expres-
são algébrica com os dois números teremos x²-xy+ y², 
agora devemos multiplicar as duas expressões encon-
tradas.
(x + y) (x² - xy + y²) utilize a propriedade distributiva;
x² - x²y + xy² + x²y –xy³ + y³ una os termos 
semelhantes;
x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois termos 
onde os dois estão elevados ao cubo e somados.
Assim, podemos concluir que x³ + y³ é uma forma 
geral da soma de dois cubos onde x e y poderão as-
sumir qualquer valor real.
A forma fatorada de x² + y³ será (x + y) (x² - xy 
+ y²).
Exemplo
8 x³ + y³ é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:
(2x)³ + y³ assim: x = 2x e y = y
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as 
substituições.
(x + y) (x² - xy + y²)
(2x + y) ((2x)² – 2xy + y²)
(2x + y) (4x² – 2xy + y²)
7º caso - Diferença de dois cubos.
Dado dois números quaisquer x e y. Se subtrair-
mos ficará: x-y, se montarmos uma expressão algé-
brica com os dois números obteremos: x2 + xy + y2, 
assim, devemos multiplicar as duas expressões en-
contradas. 
(x - y) (x² + xy + y²) é necessário utilizar a pro-
priedade distributiva; 
x³ + x²y + xy² - x²y - xy² - y³ unir os termos 
semelhantes; 
x³ - y³ é uma expressão algébrica de dois termos, 
os dois estão elevados ao cubo e subtraídos. 
Assim, podemos concluir que x³ - y³ é uma forma 
geral da soma de dois cubos onde 
x e y podem assumir qualquer valor real. 
A forma fatorada de x³ - y³ será: 
(x - y) (x² + xy + y²). 
Exemplo
27x³ – y³
 Os dois termos estão ao cubo e entre eles há uma 
subtração, devemos fatorar da seguinte forma: 
(x - y) (x² + xy + y²). 
Ao tirar as raízes cúbicas dos dois termos, temos: 
27x3 – y3. 
A raiz cúbica de 27x³ é 3x e a raiz cúbica de y³ é 
y. Agora, basta substituir valores, no lugar de x colo-
caremos 2x e no lugar de y colocaremos 3 na forma 
fatorada (x - y) (x² + xy + y²) , ficando assim: 
(3x – y) ((3x)² + 3x . y + y²) 
(3x – y) (9x² + 3xy + y²) 
Então, (2x – 3) (4x² + 6x + 9) é a forma fatorada 
da expressão algébrica 8x3 – 27.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
Exemplo:
Como no exemplo 1, vamos calcular o MMC, mas, 
nesse caso, os denominadores não são múltiplos entre 
si. Vejamos:
18
Vamos então resolver a expressão:
Exemplo:
 a – 1 
 a² – b² a + b
Vamos calcular o MMC dos denominadores, mas antes lembremos a propriedade de fatoração “Produto da 
soma pela diferença” e, em vez de usarmos o denominador a² - b²², usaremos (a + b) * (a – b). Enfim, calculemos 
o MMC:
19
LISTA DE EXERCÍCIOS
Faça as atividades, consultando o material quando 
necessário.
1- Calcule: Sem o uso da calculadora:
2- Calcule:
3- Efetue:
20
4- Resolva as potências:
5- Simplifique os radicais:
21
22
 REFERÊNCIAS
SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática: para os 
cursos de economia, administração e ciências contábeis. 5.ed. São Paulo: Atlas, 1999. v.1. 309 p. il. ISBN 
85-224-2208-7.
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar: sequências, matrizes, determi-
nantes e sistemas. 6.ed. São Paulo: Atual, 1993. v.4. 229 p. il. ISBN 85-7056-267-5
IEZZI, Gilson et al. Matemática - 3ª série - 2ºgrau. 7.ed (rev.). São Paulo: Atual, 1980. 292 p. il.
Site: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/