capitulo-1--nocoes-gerais-de-ondas-loe-2s-2021

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Universidade Estadual Paulista – UNESP
Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira - FEIS
Departamento de Engenharia Elétrica - DEE
Ondas e Linhas de Comunicação:
Noções Gerais de Ondas (1D)
Ilha Solteira 2021
1 - Introdução: Ondas Unidimensionais
• Ondas mecânicas longitudinais: mola
Onda longitudinal: tanto o movimento 
das partículas da mola quanto o 
movimento da onda ocorrem na mesma 
direção.
repouso
compressão
expansão
Existe uma relação entre a oscilação e uma senoide.
♣
u(z,t)
expansão
compressão
repouso
Movimento da energia
Movimento da mão e seções da mola
u(z,t), metros
♣
u(z,t) = onda na mola, m.
U = amplitude da onda, m.
vp = velocidade da onda, m/s.
λ = comprimento de onda, m.
λ
u(z,t) 
vp
z 
U
λ
U
p
p
p
p
p
Onda Harmônica: o distúrbio é senoidal
u
compressão
rarefação
compressão
rarefação
♣
Onda - não há movimento físico do meio, mas 
somente de suas partículas:
Particle
♣
• Ondas mecânicas longitudinais: corpo rígido
Onda - não há movimento físico do meio, mas 
somente de suas partículas:
êmbolo
♣
Onda - não há movimento físico do meio, mas 
somente de suas partículas:
♣
• Ondas mecânicas transversais: mola
Onda transversal: o movimento das partículas da mola ocorre numa direção, 
porém o movimento da onda ocorre na direção perpendicular (ou transversal).
Onda - não há movimento físico do meio, mas 
somente de suas partículas:
♣
• Ondas mecânicas transversais: Corda
♣
Onda - não há movimento físico do meio, mas 
somente de suas partículas:
• Ondas mecânicas transversais: ‘Ola wave’
Onda - não há movimento físico das pessoas na direção de 
propagação da onda.
♣
• Ondas mecânicas transversais: corpo rígido
Onda - não há movimento físico do meio, mas 
somente de suas partículas.
♣
• Water drop splashing
• Ondas mecânicas acústicas: monopolo
Onda - não há movimento físico do meio, mas 
somente de suas partículas:
• Ondas mecânicas transversais: corpo rígido
Onda - não há movimento físico do meio, mas 
somente de suas partículas:
• Ondas mecânicas acústicas: monopolo
• Ondas mecânicas: ondas de Rayleigh no mar
Onda - não há movimento físico do meio (líquido invíscido), 
mas somente de suas partículas.
Onda de Rayleigh - não há movimento físico do meio, 
(líquido invíscido) mas somente de suas partículas:
Onda de Rayleigh - não há movimento físico do meio 
(líquido invíscido), mas somente de suas partículas:
John William Strutt, 3º Barão de Rayleigh de Terling Place, Witham, condado de Essex – Lord Rayleigh 
(1842 Langford Grove, Maldon, Essex, England - 1919 Terling Place, Witham, Essex), Nobel de Física, 
em 1904.
Onda - não há movimento físico do meio (líquido 
invíscido), mas somente de suas partículas:
A onda não desloca a boia 
do anzol na sua direção; a 
boia apenas oscila, para 
cima e para baixo, na 
mesma posição. 
Uma onda propagando-se em 
meio sem perdas não carrega 
matéria, mas sim energia. 
Onda - não há movimento físico do meio (líquido 
invíscido), mas somente de suas partículas:
A onda não desloca a boia 
do anzol na sua direção; a 
boia apenas oscila, para 
cima e para baixo, na 
mesma posição. 
Uma onda propagando-se em 
meio sem perdas não carrega 
matéria, mas sim energia. 
• Ondas mecânicas: ondas de Rayleigh em terra
Seismic waves
Onda de Rayleigh (corpo rígido) - não há movimento físico 
do meio, mas somente de suas partículas:
O movimento das partículas tem amplitudes muito menores 
que a espessura/profundidade do meio).
♣
Ondas harmônicas unidimensionais
u(z,t) = U0 cos(ω t− k z), ω =2πf, f = 1/ T
k = constante de fase, rad/m
Ponto de vista de 
um observador 
externo a medida 
que o tempo passa.
u(z,t)/ U0= 
u(z,t)/ U0= 
u(z,t)/ U0= 
u(z,t)/ U0= 
u(z,t)/ U0= 
k = constante de fase ou número de onda, rad/m
Ponto de vista de 
um observador 
externo a medida 
que o tempo passa.
♣
Fase instantânea 
Ponto de vista de 
um observador 
fixo no espaço e 
que ‘sente’ a onda 
atravessá-lo, a 
medida que o 
tempo passa.
♣
Fase instantânea 
Fase instantânea 
Velocidade de fase: 
velocidade de um ponto 
de fase instantânea 
constante: φi(z,t)=cte.
Pode ser interpretada 
como a velocidade da 
‘crista da onda’.
Velocidade das cristas:
♣
Velocidade de fase, vp
Distância entre cristas:
♣
Comprimento de onda (período espacial), λ
♣
Correspondência entre K e ω
♣
Relações decorrentes 
No vácuo: vp = c e λ = λ0
c = 299 792 458 m/s ≈ 3×108 m/s
c = λ0 f
2 - Espectro Eletromagnético
8c = 3×10 m / s
♣
♣
Magnetic resonance imaging (MRI)
3 - Equações de Maxwell
James Clerk Maxwell (Edimburgo, 13 de junho de 1831 —
Cambridge, 5 de novembro de 1879) 
Grandezas elétrica importantes:
♣
fluxo
___________________________________________
* Trata-se de um recurso matemático, útil no equacionamento de alguns tipos de antenas.
Não confundir com momento magnético. 
*
ε0=(1/36π) × 10-9, F/m μ0=4π×10-7, H/m
Meios materiais: 
ε0=(1/36π) × 10-9, F/m μ0=4π×10-7, H/m
♣
Lei de ohm pontual (perdas por efeito Joule)
♣
Curiosidade:
Relações constitutivas (meio linear, isotrópico)
c
e
b
e
b j
b
e
e
b
e
b
Equações de Maxwell: microscópicas × macroscópicas
(no vácuo)
2 2 2
2
2 2 2
ˆ ˆ ˆ, gradient
, divergence (dot)
ˆ ˆ ˆ
/ / / , rotational (curl)
, Laplacian
yx z
x y z
f f ff x y z
x y z
FF FF
x y z
x y z
F x y z
F F F
f f ff
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
∂∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
∇× = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂



Operadores:
André-Marie Ampère (Lyon, 
1775 — Marselha, 1836)
Johann Carl Friedrich Gauss 
(Braunschweig, 1777 — Göttingen, 1855)
Michael Faraday (Newington, Surrey, 
1791 — Hampton Court, 1867)
Lei de Faraday
Lei de Gauss elétrica
Lei de Gauss magnética
Lei de Ampére
(forma diferencial ou pontual)
Corrente de condução, A/m2
Corrente de deslocamento, A/m2
- m
Neste texto não será considerada a corrente magnética: m = 0.
e, V/m
d, C/m2 ρ, C/m3
b, Wb/m2
h, V/m
♣
c
4 - Introdução a Ondas no Espaço 3D
: geração de onda eletromagnética
electric
field
magnetic
field
current
h=h(x,y,z,t)
Ampére law Faraday law
Distribuição de h 
♣
ˆ ˆ ˆ
/ / /
x y z
x y z
h x y z
h h h
∇× = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

h e
Função de (x,y,z)
e=e(x,y,z,t)
d=d(x,y,z,t)
h=h(x,y,z,t)
b=b(x,y,z,t)
c
jc=jc(x,y,z,t)
: geração de onda eletromagnética
electric
field
magnetic
field
direction
h=h(x,y,z,t)
e=e(x,y,z,t)
h=h(x,y,z,t) h=h(x,y,z,t)
e=e(x,y,z,t) e=e(x,y,z,t)
Ampére law Faraday law
current
de e de e de e
Distribuição de h de h de h
♣
h e e=e(x,y,z,t)
d=d(x,y,z,t)
h=h(x,y,z,t)
b=b(x,y,z,t)
c
jc=jc(x,y,z,t)
Lines of field cannot crossing each other!
Zoom:
Lines of field cannot crossing each other!
Princípio de funcionamento da antena dipolo curto
O campo elétrico ganha protagonismo
dipolo curto
Linhas de 
campo 
elétrico
num
plano
Diagrama de irradiação do dipolo:
Figura 3D: 
donuts
Campo elétrico de um dipolo curto:
Lóbulo
de
irradiação
Lóbulo
de
irradiação
Lóbulo
de
irradiação
Antena dipolo-curto: isotrópica/omnidirecional
dipolo
dipolo
Alta
frequência
Baixa
frequência
Donuts
dipolo
refletor
diretor
refletor
dipolo
dobrado
diretores
Antena Yagi-Uda: diretiva
Diagrama de irradiação: direcionalidade
Antena 
transmissora 
isotrópica
Antena 
receptora 
diretiva
Antena 
receptora 
diretiva
Antena 
receptora 
diretiva Diretividade: aumenta o ganho da antena receptora
Antena: dispositivo recíproco
Ganho
Ganho
Ganho
A partir das equações de Maxwell:
Onda plana em meio ilimitado:
(solução da equação de onda):
Existe onda plana?
Em geral, ondas eletromagnéticas são irradiadas para o espaço na 
forma não plana. Por exemplo, na forma de onda esférica:
Contudo, na região de campo distante, o raio de curvatura da onda 
torna-se tão grande que é possível aproximar a frente de onda por 
uma superfície plana.5 – Equações de Maxwell na forma fasorial
ADENDO:
Nos próximos itens será apresentado o conceito de fasor. Antes, 
porém, torna-se importante estabelecer algumas convenções.
Convenções:
i) Na análise a seguir, a variável independente é f (em vez de ω)
Uma dada frequência específica (particular) é denotada por subscrito: f0, f1, etc.
ii) Ângulos de fase são medidos com relação à função cosseno, i.e., em relação ao eixo real 
positivo do diagrama fasorial.
Se, inicialmente, for usado o seno, este precisa ser convertido em cosseno:
iii) Considera-se a amplitude como sendo sempre positiva.
Quando o sinal negativo aparecer, deve ser absorvido pela fase:
Fim do ADENDO.
φ
f
♣
( ) cos( )a t A tω φ= +
♣
Revisão do Eletromagnetismo 
• Notação fasorial
Notação de Kennelly
max( ) cos( )Aa t A tω φ= +

max( ) cos( )Bb t B tω φ= +
 
sistema
linear
max
AjA A e φ=
 
max
BjB B e φ=
 
( ) Re{ }j tb t B e ω=
 
Domínio da frequência 
(espaço complexo)
Domínio do tempo
(espaço físico)Sinal de entrada
Sinal de saídaResumo:
♣
, para α real
♣
Propriedades do operador Re{.}
fasor girante
♣
( )
( )
( ) ( )
Derivada no tempo de função harmônica
AMAX
.
AMAX cos(ωt+φ)
Fasor girante:
fasor girante
Real axis
Imaginary axis
V
A projeção do fasor girante sobre o eixo real permite recuperar o sinal real .( )a t
AMAX ( )a t
.
a (t)=AMAX cos(ωt+φ)
.
( )a t
})Re{(}Re{ tjtj eEeE ωω

×∇=×∇
})Re{(}Re{ tjtj eEeE ωω

•• ∇=∇
Re{ } Re{ ( )}j t j t j tE e M e B e
t
ω ω ω∂∇ × = − −
∂
  
Re{( ) } Re{ }j t j t j tE e M e j B eω ω ωω∇× = − −
  
Equações de Maxwell fasoriais:
Exercício: Mostrar que
be m
t
∂∇× = − −
∂

  ( ) Re{ }j te t E e ω=

↔ - M
, , 
∴
♣
( )( )
})Re{(}Re{ tjtj eEeE ωω

×∇=×∇
})Re{(}Re{ tjtj eEeE ωω

•• ∇=∇
Re{ } Re{ ( )}j t j t j tE e M e B e
t
ω ω ω∂∇× = − −
∂
  
Re{( ) } Re{ }j t j t j tE e M e j B eω ω ωω∇× = − −
  
Equações de Maxwell fasoriais:
Exercício: Mostrar que
be m
t
∂∇× = − −
∂

  ( ) Re{ }j te t E e ω=

↔ - M
, , 
∴
♣
( )( )
Equações de Maxwell fasoriais ( ): M=0
(Ρ ??)
♣
c c
♣
Relações constitutivas (meio linear, isotrópico)
c c
(produto vetorial)
♣
Produto de funções harmônicas
♣
=0
Valor médio de funções harmônicas 
(average)
: fluxo de potência, W/m2=J/s/m2
♣
♣
John Henry Poynting (Manchester, 1852 — Birmingham, 
1914) Poynting theorem published in 1884.
gerador
carga
campo
elétrico
linha
bifilar
gerador
carga
campo
magnético
linha
bifilar
gerador
carga
campo
eletro-
magnético
linha
bifilar
Vetor de Poynting: fluxo de potência numa linha de transmissão
Vetor de Poynting: fluxo de potência num
circuito elétrico (linha de transmissão):
Campo elétrico
Campo magnético
Vetor de Poynting
J=σ E
Gerador: campo elétrico 
contrário à voltagem
Bipolo
Campo magnético: regra da mão 
direita, polegar no sentido da 
corrente 
Resistor: campo elétrico –
lei de Ohm
Guia de ondas
Fim do 
Capítulo 1
Ondas e Linhas de Comunicações