Ondas eletromagnéticas, por Paulo Elias Sitoe

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Paulo Elias Sitoe 
 
 
 
 
 
Licenciatura Matemática com habilidades em Ensino de Física 
Ondas Electromagnéticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
Beira 
2019 
 
 
 
 
Paulo Elias Sitoe 
 
 
 
 
Ondas Electromagnéticas 
 
Trabalho a ser entregue e apresentado no 
Departamento de Ciências Naturais e 
Matemática, Delegação da Beira no curso de 
Física, na cadeira de Electricidade e 
Magnetismo para fins avaliativo. 
 
 
 
Docente: MsC. Eduardo Rayce 
Universidade Pedagógica 
Beira 
2019 
 
 
 
Índice 
1. Introdução................................................................................................................................. 3 
1.1. Objectivos ................................................................................................................................. 3 
1.1.1. Objectivo geral ...................................................................................................................... 3 
1.1.2. Objectivos específicos ........................................................................................................... 3 
1.2. Metodologia .............................................................................................................................. 3 
2. Ondas electromagnéticas ............................................................................................................. 4 
2.1. Características das ondas electromagnéticas ............................................................................ 5 
2.2. Espectro electromagnético ........................................................................................................ 6 
2.2.1. As ondas de radiofrequência (RF) ......................................................................................... 7 
2.2.2. As microondas ....................................................................................................................... 9 
2.2.3. Luz visível, infravermelho e ultravioleta ............................................................................. 10 
2.2.4. Raios X e raios 𝛾 ................................................................................................................. 11 
2.3. Descrição Qualitativa e Matemática de uma Onda Electromagnética ................................... 16 
2.3.1. Descrição Qualitativa de uma Onda Electromagnética ....................................................... 16 
2.3.2. Descrição Matemática de uma Onda Electromagnética ...................................................... 17 
2.4. Transporte de Energia e vector de poyting ............................................................................. 22 
2.5. Variação da intensidade com a distância ................................................................................ 24 
2.6. Exercícios sobre ondas electromagnéticas ............................................................................. 25 
3. Conclusão .................................................................................................................................. 26 
4. Bibliografia ................................................................................................................................ 27 
 
 
 
3 
 
 
1. Introdução 
HALLIDAY (2007). A era da informação em que vivemos se baseia quase integralmente na 
física das ondas electromagnéticas. Queiramos ou não, hoje estamos globalmente conectados pela 
televisão, pelo telefone e pela Internet. Além disso, queiramos ou não, estamos imersos em ondas 
electromagnéticas por causa das transmissões de televisão, rádio e telefone. 
Há 20 anos a maior parte dessa rede global de processadores de informação não era imaginada 
nem pelos engenheiros mais visionário. O desafio para os engenheiros de hoje é tentar prever 
como serão as interconexões globais daqui a 20 anos. O ponto de partida para enfrentar esse 
desafio é compreender a física básica das ondas electromagnéticas, que existem em tantas formas 
diferentes que receberam o nome poético de arco-íris de Maxwell. (HALLIDAY. 2007; Pag-3) 
No presente trabalho abordaremos assuntos que diz respeito as ondas electromagnéticas, veremos 
no mesmo trabalho, sobre as propriedades das ondas electromagnéticas, a relação da velocidade 
da luz com as constantes fundamentais da electricidade e do magnetismo, também falaremos 
sobre o espectro electromagnético e finalmente faremos uma descrição qualitativa de uma onda 
electromagnética e a descrição matemática de uma onda electromagnética. 
1.1. Objectivos 
1.1.1. Objectivo geral 
 Esclarecer as ondas electromagnéticas 
1.1.2. Objectivos específicos 
 Apontar as principais propriedades e características das ondas electromagnética; 
 Demostrar as equações de ondas electromagnéticas a partir das leis de Maxwell; 
 Aplicar as equações de onda na resolução de problemas; 
 Relacionar a velocidade de onda electromagnética com as amplitudes do campo 
eléctrico magnético; 
 Sublinhar as formas básicas das ondas em geral. 
1.2. Metodologia 
No presente trabalho iremos utilizar o método bibliográfico que é aquele que se realiza a partir de 
levantamento de materiais com dados já analisados e publicados por meios escritos ou 
electrónicos segundo ARTUR (2010; pag-63) 
4 
 
 
2. Ondas electromagnéticas 
Para descrever perfeitamente uma onda em uma corda ( e o movimento de qualquer elemento da 
corda). Precisamos de uma função que forneça a forma da onda. Isso significa que necessitamos 
de uma relação da forma y=h(x,t). Onde y é o deslocamento transversal de um elemento da corda 
e h é uma função do tempo t e da posição x do elemento na corda. Toda forma senoidal como a 
da onda na Fig 1, pode ser descrita tomando h como uma função seno ou uma função cosseno; 
ambas fornecem a mesma forma para a onda. Neste trabalho usaremos a função seno. 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑚 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
Onde: 𝑦(𝑥, 𝑡) é deslocamento, 𝑦𝑚 é amplitude, sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) é factor oscilante, 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 é fase, k 
é numero de onda, x é posição, 𝜔 é frequência angular e 𝑡 é tempo. 
Na tabela 1, apresentaremos um quadro resumo de equações que usaremos em seguida para 
algumas demostração, sobre ondas electromagnética, porem neste trabalho não demostraremos 
essas equações, pois não é o nosso foco. 
Tabela 1. Resumo de equações pertinente nas demostrações de equações de ondas 
Nome Equações 
Nomenclatura 
Número de onda 
K= 
2𝜋
𝜆
 
Equação A 
Comprimento de onda 
 𝜆= 
2𝜋
𝑘
 
Equação B 
Frequência angular 
 𝜔 =
2𝜋
𝑇
 
Equação C 
Período, Frequência 
 𝑇 =
2𝜋
𝜔
; 𝑓 =
𝜔
2𝜋
 
Equação D 
Velocidade de uma onda 
progressiva 
 𝑐 =
𝜔
𝑘
= 𝜆𝑓 
Equação E 
Densidade de energia associado ao 
campo magnético. 
𝑢𝐵 =
𝐵2
2𝜇0
 
Equação F 
Densidade de energia associado ao 
campo eléctrico. 
𝑢𝐸 = 𝜀0
𝐸2
2
 
Equação G 
 
5 
 
 
Ondas electromagnéticas são aquelas originadas por cargas eléctricas oscilantes, como, por 
exemplo, elétrons oscilando na antena transmissora de uma estacão de rádio ou TV. Elas não 
necessitam obrigatoriamente de um meio material para se propagarem. Assim: A luz emitida por 
uma lanterna, as ondas de rádio, as microondas, os raios X e os raios 𝛾 são exemplos de ondas 
electromagnéticas. (TOLEDO. 2007; Pag-403) 
2.1. Características das ondas electromagnéticas 
No estudo das ondas, verificou-se que elas ocorrem quando uma pertubacao origina em uma 
região pode ser produzida nas regiões adjacentes em um instante posterior, e se caracterizam por 
transpor energia sem o transporte de matéria. 
De acordo com Maxwell, se em um ponto P (figura 1) produzimos um campo eléctrico variável 
�⃗� , este induzira um campo magnético �⃗� que ira variar com o tempo e com a distancia ao ponto 
P. 
Além disso, o vector �⃗� variável induzira um vector �⃗� , que também variará com o tempo e com 
distancia ao campo magnético variável.Essa indução reciproca de campos magnéticos e 
eléctricos, variáveis com o tempo e com a distancia, toma possível a propagação dessa sequencia 
de induções através do espaço. 
Figura 1. As ondas electromagnéticas correspondem à propagação no espaço de campos 
eléctricos e magnéticos variáveis, gerados por cargas eléctricas oscilantes. 
 
Fonte: RAMALHO 2007; página-397 
6 
 
 
Portanto, uma perturbação eléctrica no ponto P, devida à oscilação de cargas eléctricas, por 
exemplo, se propaga a pontos distantes mediante a mútua formação de campos eléctricos e 
magnéticos variáveis. Maxwell estabeleceu equações para a propagação dessa perturbação, 
mostrando que ela apresentava todas características de uma onda: reflexão, refracção, difracção e 
interferência. Por isso, denominou essa propagação ondas ou radiações electromagnéticas. 
Mais tarde, verificou-se que as ondas electromagnéticas poderiam ser polarizadas e que, portanto, 
são ondas transversais. 
Maxwell demostrou que a velocidade de propagação de uma onda electromagnética no vácuo é: 
𝐶 = √
1
𝜀𝑜𝜇𝑜
 
Em que 𝜀𝑜 𝑒 𝜇𝑜 são respectivamente, a permitividade eléctrica e a permeabilidade magnética do 
vácuo. Em unidade do Sistema Internacional: 𝜀𝑜 =
1
4𝜋∗9∗109
 𝑒 𝜇𝑜 = 4𝜋 ∗ 10
−7, que, substituindo 
na formula anterior, resulta: 
𝑐 = 3 ∗ 108𝑚/𝑠 
Igual ao valor da velocidade da luz no vácuo. Maxwell supôs que esse resultado não seria 
simples coincidência e que a luz deveria ser uma onda electromagnética, o que mais tarde foi 
plenamente confirmado. 
2.2. Espectro electromagnético 
Sabemos que existe uma variação ampla e continua nos comprimentos de onda e frequência das 
ondas electromagnéticas. A relação entre a velocidade c de propagação de uma onda 
electromagnética no vácuo, o comprimento de onda 𝜆 e a frequência f correspondentes é dada 
por: 
𝑐 = 𝜆𝑓 
Na figura 2, temos um resumo dos diversos tipos de onda electromagnéticas, chamado espectro 
electromagnético; as frequências estão em hertz e os comprimentos de onda, em metros. 
 
7 
 
 
 
Figura 2. Espectro electromagnético. 
 
Fonte: NICOLAU. (2007 pag-398) 
Analisando esse quadro, observamos que a luz, ondas de rádio, raios X etc. são nomes dados a 
certas faixas de frequência e comprimento de onda do espectro electromagnético. Cada nome 
caracteriza uma faixa, na qual as ondas são emitidas e recebidas de um modo determinado. A luz, 
de comprimento de onda em torno de 10−6𝑚, pode ser percebida por seu efeito sobre a retina, 
provocando a sensação da visão; mas, para detectar, por exemplo, ondas de rádio, cujo 
comprimento de onda varia em torno de 105𝑚 𝑎 10−1𝑚, precisamos de equipamentos 
electrónicos. 
2.2.1. As ondas de radiofrequência (RF) 
As ondas utilizadas para a transmissão de sinais de rádio e televisão costumam ser chamadas de 
ondas de radiofrequência (RF). 
As ondas RF com frequência entre 104𝑚 𝑒 107𝐻𝑧 (ondas curtas de rádio) são muito bem 
reflectidas pelas camadas ionizadas da atmosfera superior (ionosfera). Por isso, podem ser 
captadas a grandes distâncias da emissora, como mostra a figura 3. Até meados do século XX, a 
transmissão com ondas curtas foi de grande utilidade, pois possibilitava a comunicação rápida 
entre países muito afastados. Com o avanço da tecnologia essa importância diminui, pois novos 
meios de comunicação surgiram. No entanto, a utilização das ondas curtas de rádio ainda se 
mantem em algumas situações, especificas, como na rede de radioamadores. 
8 
 
 
Figura 3. As ondas de rádio, devido a reflexões na ionosfera, podem ser transmitidas a grande 
distância. 
 
Fonte: NICOLAU. (2007 pag-398) 
Outra característica das ondas de rádio, que as faz extremamente úteis na transmissão de 
informações, é o facto de apresentarem comprimentos de onda de dezenas a milhares de metros. 
Assim, elas podem se difractar com facilidade ao redor de obstáculos de dimensões da mesma 
ordem de grandeza, como árvores, edifícios e mesmo pequenas elevações. Entretanto, as 
grandezas montanhas podem construir obstáculos intransponíveis. Dai a importância de estacões 
repetidores, que recebem os sinais e os reenviam para pontos que normalmente seriam 
inacessíveis. 
As ondas RF para transmissão de sinais de televisão têm frequências em torno de 108Hz e 
comprimento de onda de cerca de 1 metro. Essas ondas não são reflectidas pela ionosfera. Então, 
para serem captadas a distâncias superiores a 75 km, são necessárias estacões repetidoras entre a 
emissora e os locais de recepção. Entretanto, se as distancias forem muito grandes, como na 
transmissão de um continente a outro, utilizam-se satélites artificiais (figura 4). 
 
 
 
9 
 
 
Figura 4. As ondas de TV podem ser transmitidas de um continente a outro mediante satélites 
artificias. 
 
Fonte: NICOLAU. (2007 pag-399) 
2.2.2. As microondas 
As denominadas microondas são ondas electromagnéticas com frequência entre 109 𝑒 1011Hz, 
aproximadamente, e comprimentos de onda onda entre 1m e 1mm. Existem inúmeras aplicações 
dessas ondas, entre as quais se destacam os telefones celulares, o forno de microondas e o radar. 
Entretanto, as faixas de microondas são específicas para cada uma dessas aplicações. 
As microondas na faixa de 300MHz a 300GHz, denominadas ondas de radar, são utilizadas na 
detecção de aviões, navios e outros veículos. 
O radar é constituído basicamente de uma válvula emissora de microondas (o magnéton) e um 
receptor. Ambos estão no foco de uma superfície parabólica. O magnéton emite um pulso de 
microondas que é reflectido pela superfície e, em seguida, pela aeronave. O receptor capta a onda 
reflectida pelo avião e pela superfície parabólica (figura 5). A medida do intervalo de tempo entre 
a emissão do pulso e sua recepção possibilita a localização da aeronave. 
 
 
10 
 
 
Figura 5. Esquema de funcionamento de radar 
 
Fonte: NICOLAU. (2007 pag-399) 
A história de outra aplicação importante está ligada ao desenvolvimento do radar. Nos primeiros 
anos de sua aplicação, durante a Segunda Guerra Mundial (década de 1940), os operadores de 
radar notaram que alimentos colocados nas proximidades do magnéton ficavam cozidos. 
Cientistas, analisando a ocorrência, tiveram a ideia de utilizar essa propriedade em actividades 
culinárias e lancaram, no inicio da década de 1950, o “forno radar”, que daria origem ao forno de 
microondas na faixa de 2.450MHz, que coincide com a frequência própria de vibração das 
moléculas de água. Essas então entram em ressonância com a radiação e vibram, causado o 
aquecimento do alimento. NICOLAU. (2007 pag-399) 
A telefonia celular é actualmente a mais importante aplicação das microondas, utilizando ondas 
na faixa de 850MHz a 2.200MHz 
2.2.3. Luz visível, infravermelho e ultravioleta 
 A retina do olho humano é sensível à radiação electromagnética de uma pequena faixa de 
comprimento de onda, em torno de 10−6𝑚. O maior comprimento de onda da luz visível 
(aproximadamente 7,5 ∗ 10−7𝑚) dá a sensação de vermelho. à medida que o comprimento de 
onda diminui, a sensação de cor muda para alaranjado, amarelo, verde, azul, anil até atingir o 
violeta, quem tem o menor comprimento de onda (aproximadamente 4,0 ∗ 10−7𝑚). A esses 
comprimentos de onda correspondem aproximadamente as frequências 4,0 ∗ 1014𝐻𝑧 (luz 
vermelha) e 7,5 ∗ 1014𝐻𝑧 (luz violeta). NICOLAU. (2007 pag-399) 
11 
 
 
Sob claridade normal, a sensibilidade visual do olho humano é máxima para a radiação amarelo 
esverdeada, cujo comprimento de onda é de ordem de 5,6 ∗ 10−7𝑚, correspondendo à frequencia 
de 5,4 ∗ 1014𝐻𝑧, aproximadamente. 
A radiação infravermelha tem comprimento de onda intermediário entre o da microonda e o da 
luz vermelha e é assim denominada por ter frequência menor que a da luz vermelha. A radiação 
infravermelha constitui o chamado calor radiante. 
A radiação ultravioleta tem comprimento de onda menor e frequência maior que da luzvioleta, 
daí seu nome. O sol emite grande quantidade de radiação ultravioleta. 
De acordo com o comprimento de onda, a radiação ultravioleta é dividida em três faixas: 
 Ultravioleta longo (UV-A), de comprimento de onda variando entre 4 ∗ 10−7𝑚 𝑒 3 ∗
10−7𝑚, que é menos energética e está associada ao bronzeamento, pois estimula a 
produção de um pigmento chamado melanina, responsável pelo escurecimento da pele; 
 Ultravioleta médio (UV-B), de comprimento de onda variando entre 3 ∗ 10−7𝑚 𝑒 2 ∗
10−7𝑚, é mais energéticoa que anterior, sendo a que provoca vermelhão da pele; 
 Ultravioleta curto (UV-C), de comprimento de onda variando entre 2 ∗ 10−7𝑚 𝑒 4 ∗
10−9𝑚, é altamente energética, sendo em grande parte absorvida, na atmosfera superior, 
pela camada de ozónio que envolve a Terra. 
2.2.4. Raios X e raios 𝜸 
a) Raios X 
Em 1895, Wilhelm Rõntegem descobriu que, quando uma feixe de eléctrons em movimento 
muito rápido atinge um alvo metálico, uma radiação é emitida. Essa radiação é constada por meio 
de inúmeros efeitos, como sensibilizar chapas fotográficas e atravessar corpos opacos à luz. 
Por desconhecer sua natureza, Rõntegem denominou essas radiações de raios X. actualmente 
sabemos que os raios são ondas electromagnéticas com frequências ainda menores do que as da 
radiação ultravioleta. 
Na figura 6, temos uma ampola de raios X, isto é, um tubo de vidro, onde foi provocado alto 
vácuo, contendo um filamento F e um alvo metálico chamado ânodo. O filamento F, ligado ao 
gerador G, é aquecido pela passagem de corrente eléctrica, liberando eléctrons (efeito 
12 
 
 
termiónico). Os eléctrons que saem de F são acelerados pela alta ddp no sentido do ânodo, aí 
chegando com velocidade muito elevada. 
Ao incidirem no ânodo, são desacelerados, seguindo-se a emissão de ondas electromagnéticas 
(raios X) de frequência muito alta. O ânodo é feito de um metal com elevado ponto de fusão, 
geralmente tungsténio, porque grande parte da energia cinética dos eléctrons incidentes se 
converte em calor. 
Os comprimentos de onda de raios X vão de aproximadamente 10−8𝑚 até 10−11𝑚. 
Figura 6. Esquema simplificado de uma ampola de raios X. 
 
Fonte: RAMALHO. (2007 pag-402) 
Quando os raios X passam através de matéria sólida, liquida ou gasosa, ionizam átomos e 
moléculas. Na figura 7, temos um electroscópio electrizado positivamente próximo a uma ampola 
de raios X. quando a ampola é líquida, o electroscópio se descarrega através do ar ambiente. Os 
raios X ionizam o ar, retirando eléctrons de muitas moléculas de oxigénio e nitrogénio. Esses 
eléctrons irão neutralizar as cargas positivas do electroscópio, o que é constado pelo filamento de 
duas folhas. 
 
 
13 
 
 
Figura 7. Os raios X provocam a descarga do electroscópio, cujas folhas então se fecham. 
 
Fonte: RAMALHO. (2007 pag-402) 
Quanto menor for o comprimento de onda dos raios X, maior é o seu poder de penetração (em 
linguagem técnica, diz-se que, nesse caso, são mais duros). O poder de penatracao dos raios X 
depende também do material penetrado. Os raios X são bastante absorvidos pelos ossos humanos, 
que contem cálcio (material da alta densidade), e atravessam especialmente tecidos moles, como 
a pele humana (figura 8). 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
Figura 8. Na medicina, os raios X são utilizados na obtenção de radiografias. 
 
Fonte: RAMALHO. (2007 pag-403) 
Os raios X devem ser utilizados com grande cautela. Os operadores de aparelhos de raios X 
geralmente utilizam aventais de chumbo, metal cuja alta densidade retem eventuais radiações que 
possam atingi-los, além de um crachá que avalia o grau de exposição à radiação em dado 
intervalo de tempo. Algumas espécies de células doentes são destruídas mais facilmente por raios 
X do que células sadias. Portanto, feixes de raios X cuidadosamente controlados podem ser 
usados no tratamento de algumas doenças, como, por exemplo, o câncer. RAMALHO. (2007 
pag-403) 
As radiografias são pouco eficientes na visualização de determinadas estruturas quando há 
superposição de órgãos. É por meio da tomografia computadorizada que se pode obter uma 
imagem melhor de qualquer parte do corpo. Nos tomógrafos, o paciente é deitado sobre uma 
mesa de exame, que desliza lentamente no meio de um anel. Uma fonte de raios X, acoplada ao 
anel, gira ao redor do paciente. A radiação emitida é captada por inúmeros detectores, que 
avaliam a taxa de absorção do feixe em função da espessura e do tipo dos diversos tecidos do 
órgão em estudo (figura 9). Desse modo, são produzidas diversas radiografias transversais, de 
uma série de seções fatiadas da região do corpo a ser examinada. Esses dados, enviados a um 
computador, são processados, e as imagens são visualizadas no monitor. RAMALHO. (2007 pag-
403) 
15 
 
 
Figura 9. O tomógrafo 
 
 
Fonte: RAMALHO. (2007 pag-403) 
b) Raios 𝜸 
Existem ondas electromagnéticas com frequências ainda mais altas do que as dos raios X. são os 
chamados raios γ. A radiação γ é emitida pelos núcleos instáveis dos elementos radioactivos, que 
se desintegram naturalmente ou artificialmente. 
Uma importante aplicação dos raios γ é o mapeamento por radioisótopos, substâncias 
radioactivas como, por exemplo, o iodo-131 e o técnico-99 (m=metaestável). Quando 
administrados aos pacientes, estes se concentram de maneiras diferentes nos diversos órgãos do 
corpo, como o caso do iodo na glândula tireóide. Os raios γ emitidos são detectados por uma 
câmara especial, que gera, em tela de vídeo, uma imagem do órgão em estudo. 
 
 
16 
 
 
2.3. Descrição Qualitativa e Matemática de uma Onda Electromagnética 
2.3.1. Descrição Qualitativa de uma Onda Electromagnética 
Existem várias propriedades importantes das ondas electromagnéticas, elas estão sempre 
presentes, independentemente da forma como as ondas foram criadas. (HALLIDAY 2007; pag-6) 
 Os campos eléctricos e magnéticos �⃗� 𝑒 �⃗� são perpendiculares à direcção de propagação 
da onda. Isso significa que a onda é uma onda transversal. 
 O campo eléctrico é perpendicular ao campo magnético 
 O produto vectorial �⃗� 𝑋 �⃗� aponta no sentido de propagação da onda. 
 Os campos variam senoidalmente. Além disso, os campos variam com a mesma 
frequência e estão em fase. 
De acordo com essas propriedades, podemos dizer que a onda electromagnética está se 
propagando em direcção a P no sentido positivo do eixo x, que o campo eléctrico da figura 10, 
está oscilando paralelamente ao eixo y e que o campo magnético está oscilando paralelamente ao 
eixo z (usando, naturalmente, um sistema de coordenadas dextrogiro). Nesse caso, podemos 
descrever os campo eléctrico e magnético através de funções senoidais da posição x (ao longo do 
percurso da onda) e do tempo t: (HALLIDAY 2007; pag-6) 
𝐸 = 𝐸𝑚 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡), (Eq − 1) 
𝐵 = 𝐵𝑚 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) , (Eq − 2) 
Onde 𝐸𝑚 e 𝐵𝑚 são amplitudes dos campos e, 𝑘 𝑒 𝜔 são frequência angular e o numero de onda, 
respectivamente. Observe que não só os dois campos formam a onda electromagnética, mas 
também cada campo forma sua própria onda. A componente eléctrica da onda electromagnética é 
descrita pela Eq. 1, e a componente magnética é descrita pela Eq. 2, veremos daqui a pouco que 
as duas componentes não podem existir separadamente. (HALLIDAY 2007; pag-6) 
De acordo com a Eq. “E” , a velocidade de propagação é 𝜔 𝑘⁄ . Entretanto, como se trata de uma 
onda electromagnética usamos o símbolo c (e não v) para representar a velocidade. Na descrição 
matemática das ondas veremos que o valor de c é dado por: (HALLIDAY 2007; pag-6) 
𝑐 =
1
√𝜇0𝜀0
 (velocidade da onda) Eq − 3. 
17 
 
 
Que é aproximadamente igual a 3,0 ∗ 108𝑚/𝑠. Em outras palavras, 
Todas as ondas electromagnéticas, incluindo a luz visível, se propagam no vácuo com a mesma 
velocidade c. 
Veremos também que a velocidade c e as amplitudes dos campos eléctrico e magnético estão 
relacionadasatravés da equação. 
𝐸𝑚
𝐵𝑚
= 𝑐 (razão entre as amplitudes) Eq − 4 
Dividindo a Eq-1 pela Eq-2 e levando em conta a Eq-4, descobrimos que os módulos dos campos 
em qualquer instante e em qualquer ponto do espaço estão relacionados pela equação 
𝐸
𝐵
= 𝑐 (razão entre os módulos. Eq − 5) 
2.3.2. Descrição Matemática de uma Onda Electromagnética 
Vamos agora demostrar as Eqs. 3 e 4 e, o que é ainda mais importante, discutir a indução 
reciproca de campos eléctricos e magnéticos que é responsável pelo fenómeno da luz. 
c) A equação 4 e o campo eléctrico induzido 
Figura-10. Figura 12. Rectângulo traceja no ponto P no plano xy 
 
Fonte: HALLIDAY (2007; pag-6) 
O rectângulo tracejado de dimensões dx e h da figura 10, pertence ao plano xy e está parado no 
ponto P do eixo x. Quando a onda electromagnética passa pelo rectângulo, propagando-se da 
esquerda para a direita, o fluxo magnético Φ𝐵 que atravessa o rectângulo varia e, de acordo com 
a lei de indução de Faraday, aparecem campos eléctricos induzidos na região do rectângulo. 
18 
 
 
Tomamos �⃗� 𝑒 �⃗� + 𝑑𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ como sendo os campos induzidos nos dois lados mais compridos do 
rectângulo. Esses campos eléctricos são, na realidade, a componente da onda electromagnética. 
Figura-11. Os campos variam com a mesma frequência e estão em fase. 
 
Fonte: HALLIDAY (2007; pag-5) 
Observe o pequeno trecho vermelho da curva da componente magnética longe do eixo y na 
fig.11. considere o campo eléctrico induzido no instante em que a componente magnética está 
passando pelo rectângulo. Nesse momento o campo magnético que atravessa o rectângulo está 
apontando no sentido positivo do eixo z e seu modulo está diminuindo (o modulo era máximo 
poucos antes de passar pelo rectângulo). Como o campo magnético está diminuindo, o fluxo 
magnético Φ𝐵 que atravessa o rectângulo também está diminuindo. De acordo com a lei de 
Faraday, essa variação de fluxo induz um campo eléctrico que se opõe à variação do campo 
magnético, produzindo um campo magnético �⃗� no sentido positivo do eixo z. 
De acordo com a lei de Lenz, isso por sua vez significa que se imaginarmos o perímetro do 
rectângulo como se fosse uma espira condutora surgiria nessa espira uma corrente eléctrica no 
sentido anti-horário. É óbvio que não existe, na verdade, nenhuma espira, mas essa analise mostra 
que os vectores do campo eléctrico induzido, �⃗� 𝑒 �⃗� + 𝑑𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ têm realmente a orientação mostrada na 
Fig. 10, com o modulo de �⃗� + 𝑑𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ maior que o modulo de �⃗� . Se não fosse assim, o campo 
eléctrico induzido não tenderia a produzir uma corrente no sentido anti-horário. 
Vamos agora aplicar a lei de indução de Faraday, 
19 
 
 
∮�⃗� ∗ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ = −
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
 (Eq − 6) 
Percorrendo o rectângulo da Fig. 10 no sentido anti-horário. A contribuição para a integral dos 
lados do rectângulo paralelos ao eixo x é nula, já que esses trechos �⃗� e 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ são perpendiculares. A 
integral, portanto, tem o valor 
∮ �⃗� ∗ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ = (𝐸 + 𝑑𝐸)ℎ − 𝐸ℎ = ℎ𝑑𝐸 (Eq − 7) 
O fluxo 𝑑Φ𝐵 que atravessa o rectângulo é dado por: 
Φ𝐵 = (𝐵)(ℎ𝑑𝑥) (Eq − 8) 
Onde B é o modulo de �⃗� no interior do rectângulo e hdx é a área do rectângulo. Derivando a Eq-8 
em relação a t, obtemos: 
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
= ℎ𝑑𝑥
𝑑𝐵
𝑑𝑡
 (Eq − 9) 
Substituindo as Eq-7 e 9 na Eq-6, obtemos: 
ℎ𝑑𝐸 = −ℎ𝑑𝑥
𝑑𝐵
𝑑𝑡
 ou 
𝑑𝐸
𝑑𝑥
= −
𝑑𝐵
𝑑𝑡
 
Na verdade, tanto B como E são funções de duas variáveis, x e t, como mostram as Eq 1 e 2. 
Entretanto, ao calcular dE/dx devemos supor que t é constante. Da mesma forma, ao clcular dB/dt 
devemos supor que x é constante. Nessas circunstâncias as derivadas são derivadas parciais, e é 
mais correcto escrever a Eq. 10 na forma 
𝜕𝐸
𝜕𝑋
= −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
 (Eq − 11) 
O sinal negativo nessa equação é apropriado e necessário porque, embora E esteja aumetando 
com x na região onde se encontra o rectângulo da Fig. 10, B está diminuindo com t. 
De acordo com a Eq. 1, temos: 
20 
 
 
𝜕𝐸
𝜕𝑥
= 𝑘𝐸𝑚 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
E de acordo com a Eq. 2 
𝜕𝐵
𝜕𝑡
= −𝜔𝐵𝑚 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
Assim, a Eq. 11 se reduz a 
𝑘𝐸𝑚 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 𝜔𝐵𝑚 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (Eq − 12) 
Para uma onda progressiva a razão 𝜔/𝑘 é a velocidade de onda, que estamos chamando de c. Eq. 
12 se torna, portanto, 
𝐸𝑚
𝐵𝑚
= 𝑐 (razão entre as amplitudes), que exactamente a Eq. 4. 
d) A Equação 3 e o Campo Magnético Induzido 
Figura 12. Rectângulo traceja no ponto P no plano xz 
 
Fonte: HALLIDAY (2007; pag-8) 
A Fig. 12 mostra outro rectângulo tracejado no ponto P da Fig. 11, dessa vez no plano xz. Quando 
a onda electromagnética passa por esse novo rectângulo o fluxo eléctrico Φ𝐸 que atravessa o 
rectângulo varia e, de acordo com a lei de indução de Mxwell, aparece um campo magnético 
induzido na região do rectângulo. Esse campo magnético induzido é, na realidade, a componente 
da onda electromagnética. 
Vemos na Fig. 11 que no instante escolhido para o campo magnético da Fig. 10, assinalado em 
vermelho na curva da componente magnética, o campo eléctrico que atravessa o rectângulo da 
Fig. 12 tem o sentido indicado. Lembre-se de que no momento escolhido o campo magnético da 
21 
 
 
Fig. 10 está diminuindo. Como os dois campos estão em fase o campo eléctrico da Fig. 12 
também está diminuindo e o mesmo ocorre com o fluxo eléctrico Φ𝐸 que atravessa o rectangulo. 
Usando o mesmo raciocino aplicado na Fig. 10, vemos que a variação do fluxo Φ𝐸 induz um 
campo magnético com vectores �⃗� 𝑒 �⃗� + 𝑑𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ orientados como na Fig. 12, com �⃗� + 𝑑𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ maior que 
�⃗� . 
Vamos aplicar a lei de indução de Maxwell, 
∮ �⃗� ∗ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ = 𝜇0𝜀0
𝑑Φ𝐸
𝑑𝑡
 (Eq. 14) 
Percorrendo o rectângulo tracejado na Fig. 12 no sentido anti-horário. Apenas os lados mais 
compridos do rectângulo contribuem a integral, cujo valor é 
∮�⃗� ∗ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ = −(𝐵 + 𝑑𝐵)ℎ + 𝐵ℎ = −ℎ𝑑𝐵 (Eq. 15) 
O fluxo Φ𝐸 que atravessa o rectângulo é 
Φ𝐸 = (𝐸)(ℎ𝑑𝑥) (Eq. 16) 
Onde E é o modulo médio de �⃗� no interior do rectângulo. Derivando a Eq. 16 em relação a t, 
temos: 
𝑑Φ𝐸
𝑑𝑡
= ℎ𝑑𝑥
𝑑𝐸
𝑑𝑡
 
Substituindo essa equação e a Eq. 15 na Eq. 14, obtemos 
−ℎ𝑑𝐵 = 𝜇0𝜀0 (ℎ𝑑𝑥 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
) 
Ou, usando a notação de derivada parcial como fizemos anteriormente para passar da Eq. 10 à 
Eq. 11, 
−
𝜕𝐵
𝜕𝑋
= 𝜇0𝜀0
𝜕𝐸
𝜕𝑡
 (Eq. 17) 
Mais uma vez o sinal negativo nessa equação é necessário porque embora, B esteja aumentando 
com x no ponto P do rectângulo da Fig. 12, E está diminuindo com t. 
22 
 
 
Substituindo as Eq. 1 e Eq. 2 na Eq. 17, temos: 
−𝑘𝐵𝑚 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = −𝜇0𝜀0𝜔𝐸𝑚 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
Que podemos escrever na forma 
𝐸𝑚
𝐵𝑚
=
1
𝜇0𝜀0(𝜔/𝑘)
=
1
𝜇0𝜀0𝑐
, 
Combinando essa equação com a Eq. 13 obtemos: 
𝑐 =
1
√𝜇0𝜀0
 (velocidade da onda Eq. 18) que é exactamente a Eq. 3. 
 
2.4. Transporte de Energia e vector de poyting 
Uma onda electromagnética é capaz de transportar energia e fornece-la a um corpo. A taxa de 
transporte de energia por unidade de área por parte de uma onda electromagnética é descrita por 
um vector �⃗⃗� , denominado vector de poynting em homenagem ao físico John Henry Poynting 
(1852-1914), o primeiro a discutir suas propriedades. O vector de poynting é definido através da 
equação: (HALLIDAY 2007; pag-9) 
 
�⃗⃗� =
1
𝜇0
�⃗� 𝑋�⃗� (vector de poynting. Eq. 19) 
O módulo S depende da rapidez com que a energia é transportada por uma onda através de uma 
área unitária em um dado instante (inst.): 
𝑆 = (
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎/𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
á𝑟𝑒𝑎
)
𝑖𝑛𝑠𝑡
= (
𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎
á𝑟𝑒𝑎
)
𝑖𝑛𝑠𝑡
 (𝐸𝑞. 20) 
Como mostra a Eq. 20, a unidade de �⃗⃗� , no SI é o watt por metro quadrado (𝑊/𝑚2). 
A direcção do vector de poynting �⃗⃗� de uma onda electromagnética em um ponto qualquer indica 
a direcção de propagação da onda e a direcção de transporte de energia nesse ponto. 
23 
 
 
Como �⃗⃗�e �⃗⃗� são mutuamente perpendiculares em uma onda electromagnética, o modulo de �⃗� 𝑋�⃗� 
é EB. Assim, o modulo de 𝑆 é: 
𝑆 =
1
𝜇0
𝐸𝐵, (𝐸𝑞. 21) 
Onde S, E e B são valores instantâneos. Como existe uma relação fixa entre E e B, podemos 
trabalhar com apenas uma dessas grandezas; escolhemos trabalhar com E, já que a maior parte 
dos instrumentos usados para detectar ondas electromagnéticas é sensível à componente eléctrica 
da onda, e não à componente magnética. Usando a relação B=E/c, dada pela Eq. 5, podemos 
escrever a Eq. 21 na forma: 
𝑆 =
1
𝑐𝜇0
𝐸2 (fluxo instantaneo de energia. Eq. 22) 
Fazendo 𝐸 = 𝐸𝑚 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) na Eq. 22 poderíamos obter um equação para o transporte de 
energia em função do tempo. Mais útil na prática. Porem, é a energia média transportada, ou seja, 
a média de S ao longo do tempo, representada como 𝑆𝑚é𝑑 é também conhecida como 
intensidade I da onda. De acordo com a Eq. 20, a intensidade é dada por: 
𝐼 = 𝑆𝑚é𝑑 = (
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎/𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
á𝑟𝑒𝑎
)
𝑚é𝑑
= (
𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎
á𝑟𝑒𝑎
)
𝑚é𝑑
 (𝐸𝑞. 23) 
De acordo com a Eq. 22, temos: 
𝐼 = 𝑆𝑚é𝑑 =
1
𝑐𝜇0
𝐸2 =
1
𝑐𝜇0
[𝐸𝑚
2 sin2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)] =
1
𝑐𝜇0
[𝐸𝑚
2 (
1 − cos 2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
2
)] (𝐸𝑞. 24) 
YOUNG (2009), afirma que a média temporal de cos 2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) é igual a zero, porque em 
qualquer ponto essa função é positiva durante uma metade do ciclo e negativa durante a outra 
metade. Além disso, definimos uma nova grandeza 𝐸𝑟𝑚𝑠, o valor médio quadrático rms do 
campo eléctrico, como 
𝐸𝑟𝑚𝑠 =
𝐸𝑚
√2
. (Eq. 25) 
Nesse caso, a Eq. 24 pode ser escrita na forma: 
24 
 
 
𝐼 =
1
𝑐𝜇0
𝐸𝑟𝑚𝑠
2 . (𝐸𝑞. 26) 
Como E=cB e c é um número muito grande, seria natural concluir que a energia associada ao 
campo eléctrico é muito maior que a associada ao campo magnético. Essa conclusão, porem, não 
estaria correcto; na verdade as duas energias são exactamente iguais. Para mostrar que isso é 
verdade começamos com a Eq. G(𝑢𝐸 =
𝜀0𝐸
2
2
,veja a tabela 1) a que fornece a densidade de energia 
“𝑢𝐸” associada ao campo elctrico, e substituímos E por cB. Nesse caso, podemos escrever: 
𝑢𝐸 =
1
2
𝜀0𝐸
2 =
1
2
𝜀0(𝑐𝐵)
2. Se agora substituirmos c por seu valor dado pela Eq. 3, temos: 
𝑢𝐸 =
1
2
𝜀0
1
𝜇0𝜀0
=
𝐵2
2𝜇0
. 
Como de acordo com Eq-F da tabela-1. a Equação 
𝐵2
2𝜇0
 é a densidade de energia 𝑢𝐵 de um campo 
magnético �⃗� , vemos que 𝑢𝐸 = 𝑢𝐵 para uma onda electromagnética em todos os pontos do 
espaço. 
2.5. Variação da intensidade com a distância 
Suponhamos que a energia da onda seja conservada enquanto se afasta da fonte e imaginemos 
uma superfície esférica de raio r e com centro na fonte. Toda energia emitida pela fonte tem que 
passar pela superfície esférica; assim, a taxa com a qual a energia atravessa a superfície esférica é 
igual à taxa com a qual a energia é emitida pela fonte, ou seja, igual à potência 𝑃𝑠 da fonte. 
Segundo a Eq. 23, a intensidade I da onda na superfície esférica é dada por: 
 𝐼 = (
𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎
á𝑟𝑒𝑎
) =
𝑃𝑠
4𝜋𝑟2
 (Eq. 27) 
Onde 4𝜋𝑟2é área da superfície esférica. De acordo com a Eq. 27, a intensidade da radiação 
electromagnética emitida por uma fonte pontual isotrópica diminui com o quadrado da distância r 
da fonte.
25 
 
 
2.6. Exercícios sobre ondas electromagnéticas 
1. Uma onda electromagnética senoidal com um campo magnético de amplitude 1,25μT e 
um comprimento de onda 4,32nm se deslocando no sentido de +x através do vácuo. (a) Qual é a 
frequência dessa onda? (b) Qual é amplitude do campo eléctrico associado? (c) Escreva as 
equações para os campos eléctrico e magnético em função de x e t na forma das equações 1 e 2. 
(YOUNG & FREEDMAN. 2009; pag-400). 
2. O valor rms da intensidade do vector campo eléctrico de uma onda electromagnética é 
400V/m. Determine (a) a intensidade de rms do campo magnético, (b) a densidade média de 
energia, (c) a intensidade da onda (TIPLER.200; pag-354). 
3. Mostre a partir das Eqs. 11 e 17, que E(x,t) e B(x,t), o campo eléctrico e o campo 
magnético associados a uma onda electromagnética, devem satisfazer as “equações de onda” 
(HALLIDAY. 2007; pag-38). 
𝜕2𝐸
𝜕𝑡2
= 𝑐2
𝜕2𝐸
𝜕𝑥2
 e 
𝜕2𝐵
𝜕𝑡2
= 𝑐2
𝜕2𝐵
𝜕𝑥2
 
4. Mostre que as Eq. 1 e 2 satisfazem as equações de onda do problema anterior (P.2). 
(HALLIDAY. 2007; pag-38). 
5. Um lesar de dióxido de carbono emite ondas electromagnéticas senoidais que se 
propagam no vácuo no sentido negativo do eixo Ox. O comprimento de onda é igual à 10,6 𝜇m, 
o campo �⃗� é paralelo ao eixo Oz e o seu modulo máximo é igual à 1,5MV/m. Escreva as 
equações vectoriais para �⃗� e para �⃗� em função do tempo e da posição. (YOUNG & 
FREEDMAN. 2009; pag-388). 
6. Amplitude do campo eléctrico de uma onda electromagnetica é 400V/m. Determine (a) a 
intensidade rms do campo eléctrico (b) a intensidade rms do campo magnético (c) a intensidade. 
TIPLER. 200; pag-354). 
7. Quando olhamos para a Estrela polar (Polaris) recebemos a luz de uma estrela que está a 
431 anos-luz da Terra e emite energia a uma taxa 2,2 X 103 vezes maior que o sol (𝑃𝑠𝑜𝑙 =
3,90 X 1026 W). Desprezando a absorção da luz pela atmosfera terrestre, determine os valores 
rms do campo eléctrico e do campo magnético da luz que chega até nós. (HALLIDAY. 2007; 
pag-11). 
8. Uma onda electromagnética plana tem um campo eléctrico máximo de 3,20 X 10−4𝑉/𝑚. 
Determine a amplitude do campo magnético. (HALLIDAY. 2007; pag-29). 
9. Em uma onda da rádio plana o valor máximo do campo eléctrico é 5,00V/m. Calcule (a) o 
valor máximo do campo magnético; (b) a intensidade da onda. (HALLIDAY. 2007; pag-29) 
10. Qual é a intensidade de uma onda electromagnética plana se o valor de: 
𝐵𝑚 = 1,0 X 10
−4T? (HALLIDAY. 2007; pag-11). 
11. O campo eléctrico de uma onda eléctrica senoidal obedece à equação E =
− (375
V
m
) sin [(5,97X1015 rad/s)t + (1,99X107
rad
s
)x]. (a) Quais são a frequência, o 
comprimento de onda? Essa luz é visível aos seres humanos? (c) Qual é a velocidade da onda? 
(YOUNG & FREEDMAN. 2009; pag-40). 
26 
 
 
3. Conclusão 
 Após uma busca científica e leitura do presente trabalho (com o tema ondas electromagnéticas) o 
grupo concluiu Quando uma carga eléctrica é acelerada, ocorre a formação de um campo 
eléctrico caracterizado pelo vector �⃗� e de um campo magnético caracterizado pelo vector indução 
magnética �⃗� . Como esses campos são variáveis ao longo do tempo, a variação determina uma 
perturbação electromagnética que se propaga no espaço. 
 É extremamente importante observar também que a base teórica para o entendimento completo 
das ondas electromagnéticas, é necessário a compreensão das equações de maxwell, negar essa 
conjectura é quase um absurdo (para não dizermos que é absurdo), já que vimos no decorrer do 
mesmo trabalho várias demostrações de equações usando exclusivamente as equações de 
Maxwell como um meio para se chegar a um facto. Outro facto interessante é que as ondas 
electromagnéticas surgem como consequência de dois efeitos: um campo magnético variável 
produz um campo eléctrico, e um campo eléctrico variável produz um campo magnético. Esses 
dois campos em constantes e reciprocas induções propagam-se pelo espaço. Deu para perceber no 
desenvolvimento do mesmo trabalho que essas ondas transportam energia, mas sem o transporte 
de matéria. E não podemos deixar escapar também que uma onda polarizada é uma onda que 
passa a apresentar vibrações em único plano. 
E quando se fala do tipo de ondas temos três (3) principais tipos de ondas: Ondas transversais 
são aquelas em que a direcção de propagação da onda é perpendicular à direcção de vibração, 
(como por exemplo, ondas que se propagam numa corda e ondas electromagnéticas); ondas 
longitudinais são aquelas em que a direcção de propagação da onda coincide com a direcção de 
vibração (como por exemplo, o som sepropaga nos gases e nos líquidos por meio de ondas 
longitudinais) e ondas mistas são aquelas em que as partículas do meio vibram transversal e 
longitudinalmente, ao mesmo tempo (como por exemplo, as ondas que se propagam na superfície 
de um liquido são ondas mistas. 
 
 
 
27 
 
 
4. Bibliografia 
ARTUR, Sérgio Daniel, Manual de troco comum: Metodologia de Investigação Científica 1 
CED, 2010. 
RAMALHO, Francisco Junior et all; Os fundamentos da física 3; 9ª edição, Moderna ltd, São 
Paulo, 2006 
RESNICK, R., HALLIDAY, D. WALKER, J., Electricidade e Magnetismo, 8ª edição, Editora 
LTC 
TIPLER, Paulo.; Física – Física para cientista e engenheiros, Vol.2, S.A., Rio de Janeiro, 2000. 
TOLEDO, Paulo Soares et all. Os fundamentos da física 2; 9ª edição, Moderna ltd, São Paulo, 
2006 
YOUNG, D, Hugh & FREEDMAN, A, Roger. Física III Electromagnetismo, 12ª edição, São 
Paulo, 2009.