Geometria Analitica UERJ lista6 2022-2

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Geometria Anaĺıtica
Exerćıcios suplementares sobre
Quádricas
Uma quádrica é uma superf́ıcie cont́ınua no espaço R3 definida por um dos seguintes
tipos de equações reduzidas e que, quando interceptada por planos, apresenta/comporta
cônicas.
Tipo 1O:
(x− x0)2
r
+
(y − y0)2
s
+
(z − z0)2
t
= 1.
Com r = s = t > 0, a equação reduzida descreve uma esfera, que comporta somente
ćırculos. Exemplo:
(x− 2)2
16
+
(y − 3)2
16
+
(z − 2)2
16
= 1, mais comumente reescrita na
forma (x− 2)2 + (y − 3)2 + (z − 2)2 = 16, é a esfera de centro (2, 3, 2) e raio 4.
Com r, s, t > 0 distintos (dois podem ser iguais), a equação reduzida descreve um
elipsoide, que comporta somente elipses. Exemplo:
(x− 2)2
4
+
(y − 5)2
16
+
(z − 1)2
25
= 1
é o elipsoide de centro (2, 5, 1).
Com um dos números r, s, t negativo, descreve um hiperboloide de uma folha, o
qual comporta elipses, hipérboles e quatro pares de retas concorrentes.
Exemplo:
(x− 4)2
9
+
(y − 1)2
4
− (z + 2)
2
16
= 1 tem centro (4, 1,−2).
Com dois dos números r, s, t negativos, descreve um hiperboloide de duas folhas,
que comporta elipses e hipérboles.
Exemplo: −(x− 7)
2
25
− (y − 3)
2
16
+
(z − 2)2
36
= 1 com centro (7, 3, 2), vértices (7, 3,−4)
e (7, 3, 8).
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 1 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
Tipo 2O: z = z0 +
(x− x0)2
r
+
(y − y0)2
s
.
Com r, s > 0 ou r, s < 0, descreve um paraboloide eĺıptico, o qual comporta elipses
e parábolas. Exemplo: z = 2 +
(x− 3)2
9
+
(y − 5)2
16
com vértice (3, 5, 2).
Com r e s de sinais contrários, descreve um paraboloide hiperbólico, que comporta
hipérboles, parábolas e duas retas concorrentes. Exemplo: z = 5 − (x− 4)
2
9
+
(y − 8)2
25
com ponto de sela (4, 8, 5).
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 2 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
Tipo 3O: a superf́ıcie é formada pelos pontos (x, y, z), tais que (z−z0)2 =
(x− x0)2
r
+
(y − y0)2
s
. É a quádrica cônica, que comporta elipses, hipérboles e retas. Exemplo:
(z − 1)2 = (x− 4)
2
4
+
(y − 2)2
9
com vértice (4, 2, 1).
Tipo 4O: a superf́ıcie é formada de pontos (x, y, z), tais que
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1,
ou
(x− x0)2
a2
− (y − y0)
2
b2
= 1, ou (y − y0)2 = 4p(x − x0). É a quádrica ciĺındrica
eĺıptica, ou hiperbólica, ou parabólica, respectivamente.
Exemplo: (x, y, z) com
(x− 4)2
16
+
(y − 8)2
25
= 1, com
(x− 4)2
9
− (y − 8)
2
4
= 1 e com
(y − 4)2 = 16(x− 3).
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 3 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
Questão 1. Quais os intervalos de definição das variáveis de (x−3)2+(y−4)2+(z−1)2 =
100.
Questão 2. Considere a esfera S de centro (6, 5, 4) e raio 7. Existe número p ∈ R, tal
que [x = p] ∩ S é um ponto?
Questão 3. Verifique se existe uma esfera que contém simultaneamente os ćırculos de
equações (x − 5)2 + (y + 17)2 = 75 (subconjunto de [z = 11]) e (x − 5)2 + (z − 6)2 = 64
(contido em [y = −23]). Em caso afirmativo, determine o centro e o raio dela.
Questão 4. Determine um plano vertical que intercepta (x−6)2+(y+3)2+(z−1)2 = 25
e estabelece um ćırculo de raio 3.
Questão 5. Verifique se o lugar geométrico indicado é uma esfera. Se for, determine o
centro e o raio dela.
1) Pontos X = (x, y, z) ∈ R3, tais que d(X,O) = 2d(X,A), sendo que A = (10, 0, 0).
2) Pontos X ∈ R3, tais que d(X,A) e d(X,B) estão na razão 2 : 3, sendo A =
(−2, 2,−2) e B = (3,−3, 3).
3) Pontos X ∈ R3, tais que a soma dos quadrados de suas distâncias aos eixos coorde-
nados é igual a 30.
4) Pontos X em R3, tais que a soma dos quadrados de suas distâncias aos planos
Π: x− y + 4 = 0, Σ: x+ y − 2 = 0 e ∆: z + 1 = 0 é igual a 20.
5) Pontos X = (x, y, z), tais que
−−→
AX e
−−→
BX são ortogonais, sendo A = (1, 1, 0) e
B = (0, 1, 0).
Questão 6. O que é
(x− 5)2
4
+
(y + 3)2
25
+
(z − 2)2
9
= 1? Quais os intervalos de definição
das variáveis? Determine a interseção com [x = 4], [y = 1] e [z = 4].
Questão 7. Determine a equação reduzida de uma elipse vertical com distância focal 9, 6
contida em
(x+ 1)2
100
+
(y − 3)2
81
+
(z − 2)2
64
= 1.
Questão 8. Determine uma elipse com eixo maior 12 contida em
(x− 6)2
81
+
(y − 1)2
100
+
(z − 1)2
16
= 1 .
Questão 9. O que é
(x− 3)2
9
+
(y − 1)2
81
− (z − 1)
2
4
= 1? Estude os intervalos de definição
das variáveis. Determine a interseção com [x = −1], [y = −8] e [z = 5].
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 4 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
Questão 10. Determine a equação reduzida de uma hipérbole com eixo conjugado me-
dindo 3, 6 contida em
(x− 3)2
25
+
(y − 11)2
9
− (z + 1)
2
25
= 1.
Questão 11. Determine as equações gerais de todas as retas subconjuntos da quádrica
de equação reduzida
(x+ 1)2
9
− (y − 2)2 + (z − 8)
2
4
= 1.
Questão 12. Considere um hiperboloide S de um folha tal que [z = −1]∩S : (x− 1)
2
4
+
(y − 2)2 = 1. Existe número p tal que [x = p] ∩ S é um ponto? E uma reta?
Questão 13. O que é −(x− 1)
2
16
− (y − 7)
2
25
+
(z − 6)2
9
= 1? Quais são os intervalos de
definição das variáveis? Determine a interseção com [x = 6], [y = 7] e [z = 14].
Questão 14. Determine todos os planos que geram hipérboles com um vértice em [x =
−4] e contidas na superf́ıcie definida por (x− 5)
2
9
− (y − 4)2 − (z − 9)
2
4
= 1.
Questão 15. Estabeleça a equação reduzida da superf́ıcie S que é seccionada, resultando
é S ∩[x = 3] : (y + 6)
2
14
+
(z + 4)2
22
= 1,S ∩[y = 1] : x
2
24
− (z + 4)
2
88
= 1 e S ∩[z = 7] : x
2
36
−
(y + 6)2
84
= 1.
Questão 16. Existem retas contidas em −(x+ 5)
2
64
− (y − 1)
2
36
+
(z − 6)2
4
= 1? Quais são
os vértices?
Questão 17. O que é z = 5 +
(x− 3)2
16
+
(y − 4)2
9
? Quais são os intervalos de definição
das variáveis? Qual plano intercepta a quádrica e determina uma parábola, cujo foco tem
cota
15
2
?
Questão 18. Determine o foco e o vértice da parábola gerada pelo corte transversal de
[y = 8] com o paraboloide eĺıptico dado por z = 2 +
(x− 7)2
4
+
(y − 2)2
9
. Existe elipse
com eixo-maior medindo 10?
Questão 19. Qual é a equação reduzida da superf́ıcie que contém as curvas {(x, 3, 40
9
+
(x− 1)2
16
); x ∈ R} e {(6, y, 89
16
+
(y − 5)2
9
); y ∈ R}?
Questão 20. O que é z = 8− (x+ 2)
2
81
+
(y − 2)2
16
? Quais são os intervalos de definição
das variáveis? Calcule as interseções com [x = −11], [y = −6], [z = 0], [z = 8] e [z = 16].
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 5 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
Questão 21. Que conjunto é S se [z = p] ∩ S : (x− 1)
2
36
+
(y − 2)2
16
= (p− 5)2?
Questão 22. Todos os pontos da superf́ıcie S são da forma (x, y, z), em que (x− 3)
2
81
+
(y + 1)2
9
= 1. O que é?
Questão 23. Qualquer que seja o valor da cota, na superf́ıcie fica definida a cônica
(x− 1)2
4
− (y − 8)
2
16
= 1. O que é?
Questão 24. Uma superf́ıcie é interceptada pelos planos [z = p], resultando na cônica
(y − 5)2 = 4(x− 5). O que é?
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 6 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
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R E S P O S T A S
1. Os três termos quadráticos somam 100, portanto, o máximo que pode ocorrer é
(x −3)2 = 100 (quando y = 4, z = 1), logo x − 3 = ±
√
100 e x = 3 ± 10. Estes são os
extremos (mı́nimo e máximo) da abscissa para os pontos desta esfera, então escreve-se
−7 ≤ x ≤ 13 e também x ∈ [−7, 13].
Do mesmo modo, no máximo se tem (y−4)2 = 100, logo y−4 = ±
√
100 e y = 4±10.
Estes são os extremos da ordenada de qualquer ponto da esfera, ou seja, −6 ≤ y ≤ 14 e
y ∈ [−6, 14].
E no máximo ocorre (z − 1)2 = 100, logo z − 1 = ±
√
100 e z = 1 ± 10. Estes são os
extremos da cota de qualquer pontos da esfera, ou seja, −9 ≤ z ≤ 11 e z ∈ [−9, 11].
Portanto, não existe ponto (x, y, z) nesta esfera, de modo que x < −7 ou x > 13, nem
ponto com y < −6 ou y > 14, nem ponto com z < −9 ou z > 11. ⋇
2. Os pontos sobre S têm abscissa no intervalo [−1, 13], portanto [x = −1] ∩ S =
{(−1, 5, 4)} e [x = 13] ∩ S = {(13, 5, 4)}. ⋇
3. Note que [z = 11] indica o plano em que todos os pontos têm cota 11, logo é um
plano horizontal, logo é um plano que admite vetor normal −→e3 = (0, 0, 1). O 1o ćırculo,
subconjunto de [z = 11], tem eixo’1’ X = (5,−17, 11) + a(0, 0, 1). Mesma análise mostra
que o eixo do 2o ćırculo é X = (5,−23, 6) + b(0, 1, 0). Um ponto comum aos dois eixos
é do tipo (5,−17, 11 + a) = (5,−23 + b, 6). Cálculo direto estabelece a = −5, b = 6 e o
ponto é S = (5,−17, 6).
A distância de S a um ponto (x, y, 11) do 1o ćırculo (x − 5)2 + (y + 17)2 = 75 é√
(x− 5)2 + (y − (−17))2 + (11− 6)2 =
√
75 + 25 = 10. Pelo fato de S estar contido no
eixo do ćırculo, segue que 10 é a distância de S ao ćırculo. A mesma coisa ocorre com a
distância de S ao 2o ćırculo.
Conclusão: os dois ćırculos estão contidos na esfera (x−5)2+(y+17)2+(z−6)2 = 100,
de centro (5,−17, 6) e raio 10. ⋇
4. Serve [x = p]. Então, (y + 3)2 + (z − 1)2 = 25 − (p − 6)2 = 9 se e somente se p = 2
ou p = 10. Servem os planos [x = 2] e [x = 10]. Existem também dois planos [y = p],
calcule. ⋇
5. 1)
√
x2 + y2 + z2 = 2
√
(x− 10)2 + y2 + z2 ⇒ x2 + y2 + z2 = 4[(x − 10)2 + y2 +
z2] = 4x2 − 80x + 400 + 4y2 + 4z2 ⇒ 3x2 − 80x + 3y2 + 3z2 + 400 = 0. Completando
quadrados em x, 3x2 − 80x + a = (bx + c)2 = b2x2 + 2bcx + c2 ⇒ b =
√
3, c = − 40√
3
e
a = c2 =
1600
3
⇒ 3x2 − 80x+ 1600
3
= (
√
3 x− 40
√
3
3
)2 = 3(x− 40
3
)2.
Portanto, 3x2−80x+a−a+3y2+3z2+400 = 0 ⇒ (
√
3 x− 40
√
3
3
)2+3y2+3z2− 400
3
=
0 ⇒ (x− 40
3
)2 + y2 + z2 =
400
9
. É a esfera de centro (
40
3
, 0, 0) e raio
20
3
.
1Eixo de ćırculo é o nome dado à reta que contém o centro do ćırculo e é perpendicular ao plano do
ćırculo
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 7 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
2)
√
(x+ 2)2 + (y − 2)2 + (z + 2)2√
(x− 3)2 + (y + 3)2 + (z − 3)2
=
2
3
⇒ 9(x+ 2)2 + 9(y − 2)2 + 9(z + 2)2 = 4(x−
3)2 + 4(y + 3)2 + 4(z − 3)2 ⇒ 5x2 + 60x+ 5y2 − 60y + 5z2 + 60z = 0 ⇒ (
√
5 x+ 6
√
5)2 +
(
√
5 y − 6
√
5)2 + (
√
5 z + 60
√
5)2 − 2700
5
= 0 ⇒ (x+ 6)2 + (y − 6)2 + (z + 6)2 = 108.
É a esfera de centro (−6, 6,−6) e raio 6
√
3.
3) Observa-se primeiro que P = (x, y, z) indica que d(P,Ox) =
√
y2 + z2, d(P,Oy) =√
x2 + z2 e d(P,Oz) =
√
x2 + y2. Portanto, o lugar geométrico em análise é gerado pela
condição y2 + z2 + x2 + z2 + x2 + y2 = 2x2 + 2y2 + 2z2 = 30, ou seja, x2 + y2 + z2 =
√
15.
É a esfera de centro O e raio
√
15.
4) Primeiro as distâncias. Usando P = (1, 4, 3) ∈ Π e −→nΠ = (1,−1, 0), vem d(X,Π) =
|(x− 1, y − 4, z − 3).(1,−1, 0)|
|(1,−1, 0)|
=
|x− y + 3|√
2
.
Usando S = (1, 1, 1) ∈ Σ e −→nΣ = (1, 1, 0), d(X,Σ) =
|(x− 1, y − 1, z − 1).(1, 1, 0)|
|(1,−1, 0)|
=
|x+ y + 2|√
2
.
E usandoD = (1, 1,−1) ∈ ∆ e−→n∆ = (0, 0, 1), d(X,∆) =
|(x− 1, y − 1, z + 1).(0, 0, 1)|
|(0, 0, 1)|
=
|z + 1|.
Portanto, d2(X,Π)+d2(X,Σ)+d2(X,∆) =
(x− y + 3)2
2
+
(x+ y + 2)2
2
+
2(z + 1)2
2
=
20 ⇒ ((x − y) + 3)2 + ((x + y) + 2)2 + 2(z + 1)2 = 40 ⇒ x2 − 2xy + y2 + 6x − 6y + 9 +
x2 +2xy+ y2 +2x+2y+4+2z2 +4z+2 = 40 ⇒ 2x2 +8x+2y2 − 4y+2z2 +4z = 25 ⇒
2(x2+4x+2)−4+2(y2−2y+1)−2+2(z2+2z+1)−2 = 25 ⇒ 2(x+2)2+2(y−1)2+2(z+1)2 =
33 ⇒ (x+ 2)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = 33
2
. É a esfera de centro (−2, 1,−1) e raio
√
66
2
.
5) 0 = (x−1, y−1, z).(x, y−1, z) = x(x−1)+(y−1)2+z2 = (x−1
2
)2+(y−1)2+z2−1
4
⇒
(x− 1
2
)2 + (y − 1)2 + z2 = 1
4
. É a esfera de centro (
1
2
, 1, 0) e raio
1
2
. ⋇
6. Todas as variáveis ao quadrado e todos os denominadores positivos distintos indicam
que se trata de elipsoide. Os três termos quadráticos somam 1, portanto, o máximo que
pode ocorrer é
(x− 5)2
4
= 1 (quando y = −3, z = 2), logo x− 5 = ±2 e x = 5± 2. Então,
x ∈ [3, 7].
Análise semelhante mostra que y ∈ [−8, 2] e z ∈ [−1, 5].
Com [x = 4]:
(4− 5)2
4
+
(y + 3)2
25
+
(z − 2)2
9
= 1,
(y + 3)2
25
+
(z − 2)2
9
=
3
4
e
(y + 3)2
75
4
+
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 8 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
(z − 2)2
27
4
= 1, então a interseção é a elipse de centro (4,−3, 2), parâmetros a = 5
√
3
2
, b =
3
√
3
2
e c = 2
√
3.
Agora atenção, observe que o maior denominador da equação reduzida associado a y
indica que a elipse tem eixo maior e focos em uma reta paralela ao eixo-y, portanto os
focos são (4, y0−c, z0) e (4, y0+c, z0), no presente caso (4,−3−2
√
3, 2) e (4,−3+2
√
3, 2).
Com [y = 1]:
(x− 5)2
4
+
(1 + 3)2
25
+
(z − 2)2
9
= 1 e
(x− 5)2
36
25
+
(z − 2)2
81
25
= 1, então a
interseção é a elipse de centro (5, 1, 2), parâmetros
9
5
,
6
5
e
3
√
5
5
.
O maior denominador associado a z indica que a elipse tem eixo maior e focos em uma
reta paralela ao eixo-z, portanto os focos são (5, 1, 2 +
3
√
5
5
) e (5, 1, 2− 3
√
5
5
).
Com [z = 4]:
(x− 5)2
4
+
(y + 3)2
25
+
(4− 2)2
9
= 1 e
(x− 5)2
20
9
+
(y + 3)2
125
9
= 1, então
a interseção é a elipse de centro (5,−3, 4), parâmetros 5
√
5
3
,
2
√
5
3
,
√
105
3
, focos (5,−3 +
√
105
3
, 4) e (5,−3−
√
105
3
, 4). ⋇
7. Os cortes transversais pelo centro, isto é, [x = −1], [y = 3] e [z = 2], determinam elipses
com as maiores distâncias focais nos respectivos planos. No corte definido por [x = −1],
surge
(y − 3)2
81
+
(z − 2)2
64
= 1 com distância focal 2c = 2
√
a2 − b2 = 2
√
81− 64 = 2
√
17 ≃
8, 2462. Mesma análise leva à distância focal 12 no plano [y = 3] e 2
√
19 ≃ 8, 7178 no
plano [z = 2].
Portanto, é preciso trabalhar em [y = p]:
(x+ 1)2
100
+
(p− 3)2
81
+
(z − 2)2
64
= 1 estabelece
(x+ 1)2
100
81− (p− 3)2
81
+
(z − 2)2
64
81− (p− 3)2
81
= 1 com c2 =
4
9
(81− (p− 3)2).
Isole p e substitua c por 4, 8 (pois 2c = 9, 6), o resultado é p = 3 ± 3
√
36− c2
2
=
3± 3
√
36− 23, 04
2
= 3± 27
5
. Servem os planos [y = 8, 4] e y = [−2, 4]. ⋇
8. Utilize [z = p], cujo corte determina
(x− 6)2
81(1− (p− 1)
2
16
)
+
(y − 1)2
100(1− (p− 1)
2
16
)
= 1.
Visto que se deve ter 2a = 12, segue 100(1 − (p− 1)
2
16
) = a2 = 36 com soluções
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 9 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
p = 1± 16
5
. Servem os planos [z = −2, 2] e [z = 4, 2]. ⋇
9. Todas as variáveis ao quadrado e um dos denominadores negativo indicam que se trata
de hiperboloide de uma folha. Os três termos quadráticos somam 1, mas o termo com
sinal negativo, gerando números negativos, indica que
(x− 3)2
9
+
(y − 1)2
81
≥ 1.
Agora, note que
(x− 3)2
9
≥ 1 ⇒ (x−3)2 ≥ 9 ⇒ (x−3)2−9 ≥ 0 ⇒ ((x−3)−3).((x−
3) + 3) ≥ 0 ⇒ x.(x − 6) ≥ 0. Se x ≥ 0, então x − 6 ≥ 0 e prevalece x ≥ 6. Se x ≤ 0,
então x− 6 ≤ 0 e prevalece x ≤ 0.
Portanto, todos os pontos desta superf́ıcie têm x ≤ 0 ou x ≥ 6, isto é, x ∈ (−∞, 0] ∪
[6,∞).
Analogamente,
(y − 1)2
81
≥ 1 ⇒ y ≤ −8 ou y ≥ 10, isto é, y ∈ (−∞,−8] ∪ [10,∞).
Esta conclusão pode ser ilustrada pelo cilindro eĺıptico (amarelo), gerado por
(x− 3)2
9
+
(y − 1)2
81
= 1.
Por fim,
(x− 3)2
9
+
(y − 1)2
81
= 1 +
(z − 1)2
4
≥ 1 indica que z pode assumir qualquer
valor, ou seja, z ∈ R.
Com [x = −1]: (−1− 3)
2
9
+
(y − 1)2
81
−
(z − 1)2
4
= 1,
(y − 1)2
81
− (z − 1)
2
4
= −7
9
e −(y − 1)
2
63
+
(z − 1)2
28
9
= 1, então a in-
terseção é a hipérbole (vermelho) de centro
(−1,−1,1), parâmetros 2
√
7
3
, 3
√
7 e
√
595
3
.
Observe que o denominador positivo as-
sociado a z indica que a hipérbole tem eixo
transverso e focos em uma reta paralela ao eixo-z, portanto os focos são (−1, 1, 1−
√
595
3
)
e (−1, 1, 1 +
√
595
3
).
Com [y = −8]: (x− 3)
2
9
− (z − 1)
2
4
= 1− (−8− 1)
2
81
= 0 estabelece
x− 3
3
− z − 1
2
= 0
e
x− 3
3
+
z − 1
2
= 0, isto é, a interseção são as retas (roxo) 2x−3z−3 = 0 e 2x+3z−9 = 0.
Com [z = 5]:
(x− 3)2
9
+
(y − 1)2
81
= 1 +
(5− 1)2
4
= 5 e
(x− 3)2
45
+
(y − 1)2
405
= 1,
então a interseção é a elipse (azul) de centro (3, 1, 5), parâmetros 9
√
5, 3
√
5, 6
√
5, focos
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 10 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
(3, 1− 6
√
5, 5) e (3, 1 + 6
√
5, 5). ⋇
10. Vamos procurar pelo plano [x = p]:
(p− 3)2
25
+
(y − 11)2
9
− (z + 1)
2
25
= 1 e
(y − 11)2
9
25− (p− 3)2
25
− (z + 1)
2
25− (p− 3)2
= 1.
Então, 2a = 3, 6 e a2 = 9
25− (p− 3)2
25
.
Isole p e substitua a por 1, 8, então 25−
(p − 3)2 = 25(1, 8)
2
9
, (p − 3)2 = 25 − 9 e
p = 3± 4.
Os planos [x = −1] e [x = 7] inter-
ceptam esse hiperboloide de uma folha se-
gundo uma hipérbole com eixo conjugado medindo 3, 6. ⋇
11. A quádrica é um hiperboloide de uma folha com eixo distinguido {(−1, y, 8); y ∈ R}
(paralelo a Oy). Para o cálculo das equações gerais das retas, a ideia é escrever uma
diferença de quadrados que é igual a zero.
Fixando x = p:
(p+ 1)2
9
− (y − 2)2 +
(z − 8)2
4
= 1 ⇒ −(y − 2)2 + (z − 8)
2
4
=
1− (p+ 1)
2
9
= 0 se e somente se p = −1±3.
Então, −(y − 2) + z − 8
2
= 0 e y − 2 +
z − 8
2
= 0 se reduzem às equações gerais
2y − z − 4 = 0 e 2y + z − 12 = 0.
Fixando z = p:
(x+ 1)2
9
− (y − 2)2 +
(p− 8)2
4
= 1 ⇒ (x+ 1)
2
9
− (y − 2)2 = 1−
(p− 8)2
4
= 0 se e somente se p = 8± 2. Então, x+ 1
3
− (y− 2) = 0 e x+ 1
3
+ (y− 2) = 0
se reduzem a x− 3y + 7 = 0 e x+ 3y − 5 = 0. ⋇
12. O eixo distinguido é {(1, 2, z), z ∈ R} é vertical, logo [x = p]∩ S pode ser hipérbole,
ou um par de retas concorrentes, nunca um ponto. O mesmo vale para [y = p] ∩ S.
A partir do centro (1, 2, z0), o deslocamento de a = 2 (note que a
2 = 4) ao longo do
eixo-x indica os pontos (3, 2, z0) e (−1, 2, z0) de cruzamentos das retas. Portanto, [x = −1]
e [x = 3] determinam um par de retas concorrentes. ⋇
13. Todas as variáveis ao quadrado e dois denominadores com sinal negativo indicam
que se trata de hiperboloide de duas folhas. Os três termos quadráticos somam 1, mas
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 11 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
o termo com sinal positivo, gerando números positivos, indica que
(z − 6)2
9
≥ 1, basta
pensar em x = 1, y = 7.
Então,
(z − 6)2
9
≥ 1 ⇒ (z− 6)2 ≥ 9 ⇒ (z− 6)2− 9 ≥ 0 ⇒ ((z− 6)− 3).((z− 6)+3) ≥
0 ⇒ (z − 9).(z − 3) ≥ 0. Se z − 9 ≥ 0, então z − 3 ≥ 0 e prevalece z ≥ 9. Se z − 9 ≤ 0,
então z− 3 ≤ 0 e prevalece z ≤ 3. Todos os pontos deste hiperboloide de duas folhas têm
z ≤ 3 ou z ≥ 9, ou seja, z ∈ (−∞, 3] ∪ [9,∞).
Por fim,
(x− 1)2
16
+
(y − 7)2
25
=
(z − 6)2
9
− 1 = (z − 6)
2 − 9
9
≥ 0, com z ∈ (−∞, 3] ∪
[9,∞), indica que x e y podem assumir qualquer valor, ou seja, x, y ∈ R.
Para x = 6 : −(6− 1)
2
16
− (y − 7)
2
25
+
(z − 6)2
9
= 1, −(y − 7)
2
25
+
(z − 6)2
9
= 1+
(6− 1)2
16
e −(y − 7)
2
1025
16
+
(z − 6)2
369
16
= 1, então a interseção é a hipérbole (vermelho) de centro (6, 7, 6),
parâmetros
369
16
,
1025
16
e 41.
O denominador positivo associado a z
indica que a hipérbole tem eixo transverso
e focos um uma reta paralela ao eixo-
z, portanto os focos são (6, 7, 6 + 41) =
(6, 7, 47) e (6, 7, 6− 41) = (6, 7,−35).
Com [y = 7] : −(x− 1)
2
16
− (7− 7)
2
25
+
(z − 6)2
9
= 1, −(x− 1)
2
16
+
(z − 6)2
9
= 1 e a
interseção é a hipérbole (laranja) de centro
(1, 7, 6), parâmetros 3, 4 e 5. Os focos são
(1, 7, 6 + 5) = (1, 7, 11) e (1, 7, 6 − 5) =
(1, 7, 1).
Com [z = 14] : −(x− 1)
2
16
− (y − 7)
2
25
+
(14− 6)2
9
= 1,
(x− 1)2
16
+
(y − 7)2
25
=
(14− 6)2
9
−
1 =
55
9
e
(x− 1)2
880
9
+
(y − 7)2
1375
9
= 1, elipse (azul) de centro (1, 7, 14), parâmetros
5
√
55
3
,
4
√
55
3
e
√
55. Os focos são (1, 7 +
√
55, 14) e (1, 7−
√
55, 14). ⋇
14. As hipérboles são geradas por [y = p] e [z = p], pois então as equações resultantes
apresentam diferença de dois quadrados.
Primeiro y = p :
(x− 5)2
9
− (p−4)2− (z − 9)
2
4
= 1,
(x− 5)2
9
− (z − 9)
2
4
= 1+(p−4)2
e
(x− 5)2
9(1 + (p− 4)2)
− (z − 9)
2
4(1 + (p− 4)2)
= 1. O sinal positivo associado à variável x indica que
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 12 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
o centro, os focos e os vértices da hipérbole se encontram em uma reta paralela ao eixo-x.
Note que a2 = 9(1+(p−4)2) e a = 3
√
1 + (p− 4)2. Os vértices são (5+3
√
1 + (p− 4)2,
p, 9) e (5 − 3
√
1 + (p− 4)2, p, 9), assim, 5 − 3
√
1 + (p− 4)2 = −4, 3
√
1 + (p− 4)2 =
9, 1 + (p− 4)2 = 9 e p = 4± 2
√
2. Servem os planos [y = 4 + 2
√
2] (hipérbole vermelha)
e [y = 4− 2
√
2] (hipérbole laranja).
z = p :
(x− 5)2
9
−(y−4)2− (p− 9)
2
4
=
1,
(x− 5)2
9
− (y − 4)2 = 1 + (p− 9)
2
4
e
(x− 5)2
9(1 +
(p− 9)2
4
)
− (y − 4)
2
1 +
(p− 9)2
4
= 1.
Aqui, a =
3
2
√
4 + (p− 9)2 e os vértices
são (5 +
3
2
√
4 + (p− 9)2, 4, p) e (5 −
3
2
√
4 + (p− 9)2, 4, p). Assim, 5 −
3
2
√
4 + (p− 9)2 = −4, 3
2
√
4 + (p− 9)2 =
9, 4 + (p− 9)2 = 36 e p = 9± 4
√
2.
Servem os planos [z = 9+ 4
√
2] (hipérbole azul) e [z = 9− 4
√
2] (hipérbole verde). ⋇
15. Ao analisar os termos quadráticos que se repetem, fica evidente que a superf́ıcie deve
ser definida por
x2
r
+
(y + 6)2
s
+
(z + 4)2
t
= 1.
Substituindo x por 3 :
(y + 6)2
s
+
(z + 4)2
t
= 1 − 9
r
⇒ (y + 6)
2
s(1− 9
r
)
+
(z + 4)2
t(1− 9
r
)
= 1 ⇒
s(1− 9
r
) = 14, t(1− 9
r
) = 22 ⇒ 14
s
=
22
t
⇒ t
s
=
11
7
.
Substituindo y por 1 :
x2
r
+
(z + 4)2
t
= 1 − 49
s
⇒ x
2
r(1− 49
s
)
+
(z + 4)2
t(1− 49
s
)
= 1 ⇒
r(1− 49
s
) = 24, t(1− 49
s
) = −88 ⇒ 24
r
= −88
t
⇒ t
r
= −11
3
.
E a substituição de z por 7 conduz a
x2
r
+
(y + 6)2
s
= 1 − 121
t
⇒ x
2
r(1− 121
t
)
+
(y + 6)2
s(1− 121
t
)
= 1 ⇒ r(1− 121
t
) = 36, s(1− 121
t
) = −84 ⇒ 36
r
= −84
s
⇒ s
r
= −7
3
.
Visto que o termo x2 aparece sempre associado ao sinal positivo, isto sugere tomar
r = 3, s = −7 e t = −11 e a superf́ıcie é o hiperboloide de duas folhas definido por
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 13 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
x2
3
− (y + 6)
2
7
− (z + 4)
2
11
= 1. ⋇
16. Para se obter uma reta é preciso que uma diferença entre quadrados seja igual a
zero, as opções são −(x+ 5)
2
64
+
(z − 6)2
4
= 1 +
(y − 1)2
36
= 0 e −(y − 1)
2
36
+
(z − 6)2
4
=
1 +
(x+ 5)2
64
= 0.
Ocorre que 1 +
(y − 1)2
36
≥ 1 e 1 + (x+ 5)
2
64
≥ 1, portanto, não há retas na superf́ıcie.
Agora,
(z − 6)2
4
= 1 (quando x = −5 e y = 1) leva a z = 6 ± 2 e, então, os vértices
são (−5, 1, 4) e (−5, 1, 8). ⋇
17. Duas das três variáveis ao quadrado e os denominadores com mesmo sinal positivo
indicam que se trata de paraboloide eĺıptico com concavidade para cima.
O fato de
(x− 3)2
16
≥ 0 e (y − 4)
2
9
≥ 0 implicam que z ≥ 5. E x, y ∈ R.
Com [x = p] : z = 5 +
(p− 3)2
16
+
(y − 4)2
9
,
(y − 4)2
9
= z − 5− (p− 3)
2
16
e (y − 4)2 =
9(z − 5− (p− 3)
2
16
), fica evidente que o vértice é (p, 4, 5 +
(p− 3)2
16
). Visto que p =
9
4
e a
concavidade é para cima, o foco tem que ser (p, 4, 5 +
(p− 3)2
16
) +
9
4
).
Então, 5 +
(p− 3)2
16
+
9
4
=
15
2
e
(p− 3)2
16
=
1
4
tem soluções p = 3± 2. Servem [x = 1]
e [x = 5].
Agora com [y = p] : z = 5 +
(x− 3)2
16
+
(p− 4)2
9
,
(x− 3)2
16
= z − 5 − (p− 4)
2
9
e
(x − 3)2 = 16(z − 5 − (p− 4)
2
9
), fica claro que o vértice é (3, p, 5 +
(p− 4)2
9
). Visto que
p = 4 e a com concavidade é para cima, o foco tem que ser (3, p, 5 +
(p− 4)2
9
+ 4).
Então, 5 +
(p− 4)2
9
+ 4 =
15
2
e
(p− 4)2
9
= −3
2
, o que indica que não hásolução. ⋇
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 14 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
18. Com y = 8, surge z = 2 +
(x− 7)2
4
+
(8− 2)2
9
e (x − 7)2 = 4(z − 6). O vértice
da parábola (verde) é (7, 8, 6) e o foco é
(7, 8, 6 + 1) = (7, 8, 7).
Fixando z = p :
(x− 7)2
4
+
(y − 2)2
9
=
p− 2 e (x− 7)
2
4(p− 2)
+
(y − 2)2
9(p− 2)
= 1.
Então, a = 3
√
p− 2 e 10 = 2a =
6
√
p− 2 indicam p = 43
9
. O plano [z =
43
9
]
determina elipse (azul) com eixo-maior me-
dindo 10. ⋇
19. Note que z =
40
9
+
(x− 1)2
16
indica que a 1a curva é uma parábola com concavidade
para cima no plano [y = 3]. E z =
89
16
+
(y − 5)2
9
indica que a 2a curva é uma parábola com
concavidade para cima no plano [x = 6]. Só pode ser um paraboloide eĺıptico determinado
por z = z0 +
(x− 1)2
16
+
(y − 5)2
9
.
Aplicando y = 3, tem-se z = z0 +
4
9
+
(x− 1)2
16
=
40
9
+
(x− 1)2
16
e z0 +
4
9
=
40
9
.
E aplicando x = 6, tem-se z = z0 +
25
16
+
(y − 5)2
9
=
89
16
+
(y − 5)2
9
e z0 +
25
16
=
89
16
.
Em ambos os caso a resposta é z0 = 4 e a equação reduzida é z = 4 +
(x− 1)2
16
+
(y − 5)2
9
. ⋇
20. Duas das três variáveis ao quadrado e os denominadores com sinais contrários indicam
que se trata de paraboloide hiperbólico. Visto que −(x+ 2)
2
81
≤ 0 e (y − 2)
2
16
≥ 0 podem
assumir quaisquer valores, tem-se z ∈ R. E x, y ∈ R também.
Com [x = −11], ocorre z = 8 − (−11 + 2)
2
81
+
(y − 2)2
16
e (y − 2)2 = 16(z − 7),
claramente a parábola (azul) de concavidade para cima, vértice (−11, 2, 7), parâmetro 4
e foco (−11, 2, 7 + 4) = (−11, 2, 11).
Com [y = −6], ocorre z = 8 − (x+ 2)
2
81
+
(−6− 2)2
16
e (x + 2)2 = −81(z − 12), a
parábola (amarelo) de convavidade para baixo, vértice (−2, 6, 9), parâmetro −81
4
e foco
(−2, 6, 9− 81
4
) = (−2, 6,−45
4
).
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 15 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2
Para [z = 0], é a hipérbole (preto)
(x+ 2)2
648
− (y − 2)
2
128
= 1 de centro
(−2, 2, 0), parâmetros 18
√
2, 8
√
2 e 2
√
194,
focos (−2−2
√
194, 2, 0) e (−2+2
√
194, 2, 0)
com eixo transverso paralelo ao eixo-x .
Com [z = 8], a equação da superf́ıcie se
reduz a −(x+ 2)
2
81
+
(y − 2)2
16
= 0,
que pode ser reescrita na forma
(−x+ 2
9
+
y − 2
4
)(
x+ 2
9
+
y − 2
4
) = 0.
A interseção é formada pelas retas (ver-
melho) 4x−9y+26 = 0 e 4x+9y−10 = 0.
E com [z = 16], tem-se −(x+ 2)
2
648
+
(y − 2)2
128
= 1, que é a hipérbole (laranja) de
centro (−2, 2, 12), parâmetros 18
√
2, 8
√
2 e 2
√
194, focos (−2, 2− 2
√
194, 16) e (−2, 2 +
2
√
194, 16). ⋇
21. Para p ̸= 5, temos a equação
(x− 1)2
36(p− 5)2
+
(y − 2)2
16(p− 5)2
= 1 de uma elipse
de centro (1, 2, p), eixo maior paralelo
a Ox e parâmetros 6
√
p− 5, 4
√
p− 5 e√
2(p− 5).
À medida que p > 5 aumenta de valor,
os parâmetros a = 6(p − 5) e b = 4(p − 5)
também aumentam, indicando que os focos
se afastam um do outro.
O mesmo vale para p < 5 que aumenta
de valor em módulo.
Para p = 5, tem-se x = 1 e y = 2, ou seja, o ponto (1, 2, 5). Consequentemente, S é a
quádrica cônica de vértice (1, 2, 5) e diretriz {(1, 2, z); z ∈ R}. ⋇
22. Para qualquer plano [z = p], a interseção é sempre a mesma elipse, portanto trata-se
da quádrica ciĺındrica eĺıptica com eixo de simetria {(3,−1, z), z ∈ R}. ⋇
23. Em qualquer plano horizontal fica definida a mesma hipérbole, só pode ser a quádrica
ciĺındrica hiperbólica com eixo de simetria {(1, 8, z), z ∈ R}. ⋇
24. É a quádrica ciĺındrica parabólica com eixo de simetria {(5, 5, z), z ∈ R}. ⋇
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 16 Lista de exerćıcios suplementares 2022-2