Regras de Derivação e Diferenciais

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MATEMÁTICA I 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
CONTINUAÇÃO... 
 
Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Regra 8. Se 𝑦 = log𝑎 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função 
diferenciável em 𝑥, então: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
log𝑎 𝑢 =
log𝑎 𝑒
𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑕 𝑥 e 𝑕 𝑥 = log
𝑥
𝑥+1
. 
𝑕′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
log
𝑥
𝑥 + 1
=
log 𝑒
𝑥
𝑥 + 1
∙
𝑥 + 1 − 𝑥
𝑥 + 1 2
 
= log 𝑒
𝑥 + 1
𝑥
∙
1
𝑥 + 1 2
=
log 𝑒
𝑥 𝑥 + 1
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Regra 9. Se 𝑦 = 𝑎𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função 
diferenciável em 𝑥, então: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
 
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑕 𝑥 e 𝑕 𝑥 = 2−𝑥. 
𝑕′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
2−𝑥 = 2−𝑥 ln 2
𝑑
𝑑𝑥
−𝑥 
= 2−𝑥 ln 2 −1 = −2−𝑥 ln 2 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Regra 10. Se 𝑦 = 𝑢𝑣 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) e 𝑣 = 𝑔(𝑥) funções 
diferenciáveis em 𝑥, então: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑢𝑣 = 𝑣𝑢𝑣−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢𝑣 ln 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
 
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑕 𝑥 e 𝑕 𝑥 = 𝑥𝑥
2
. 
Note que: 𝑢 = 𝑥 e 𝑣 = 𝑥2, então: 
𝑕′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑥
2
= 𝑥2𝑥𝑥
2−1
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑥𝑥
2
ln 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 
= 𝑥2𝑥𝑥
2−1 ∙ 1 + 𝑥𝑥
2
ln 𝑥 2𝑥 = 𝑥𝑥
2−1+2 + 𝑥𝑥
2+1 ln 𝑥 2 
= 𝑥𝑥
2+1 + 𝑥𝑥
2+1 ln 𝑥 2 = 𝑥𝑥
2+1 1 + 2 ln 𝑥 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Regra 11. Se 𝑦 = sen 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função 
diferenciável em 𝑥, então: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
sen 𝑢 = cos 𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑕 𝑥 e 𝑕 𝑥 = sen 𝑥2 + 𝜃 . 
Note que: 𝑢 = 𝑥2 + 𝜃, então: 
𝑕′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
sen 𝑥2 + 𝜃 = cos 𝑥2 + 𝜃
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝜃 
= cos 𝑥2 + 𝜃
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 +
𝑑
𝑑𝑥
𝜃 = cos 𝑥2 + 𝜃 2𝑥 + 0 
= 2𝑥 cos 𝑥2 + 𝜃 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Regra 12. Se 𝑦 = cos 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função 
diferenciável em 𝑥, então: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
cos 𝑢 = −sen 𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑕 𝑥 e 𝑕 𝑥 = cos 𝑥2 − 𝜃 . 
Note que: 𝑢 = 𝑥2 − 𝜃, então: 
𝑕′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
cos 𝑥2 − 𝜃 = −sen 𝑥2 − 𝜃
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 − 𝜃 
= −sen 𝑥2 − 𝜃
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 −
𝑑
𝑑𝑥
𝜃 = −sen 𝑥2 − 𝜃 2𝑥 − 0 
= −2𝑥 sen 𝑥2 − 𝜃 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Regra 13. Se 𝑦 = tg 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função 
diferenciável em 𝑥, então: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
tg 𝑢 = sec2 𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
Regra 14. Se 𝑦 = cossec 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função 
diferenciável em 𝑥, então: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
cossec 𝑢 = cossec 𝑢 ∙ cotg 𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Regra 15. Se 𝑦 = sec 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função 
diferenciável em 𝑥, então: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
sec 𝑢 = sec 𝑢 ∙ tg 𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
Regra 16. Se 𝑦 = cotg 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função 
diferenciável em 𝑥, então: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
cotg 𝑢 = −cossec2 𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 Regra 17. A derivada da inversa de uma função é igual à 
recíproca da derivada da função. 
• Se 𝑦 = 𝑓 𝑥 e 𝑥 = 𝑔 𝑦 são funções diferenciáveis 
inversas, então: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
1
𝑑𝑔 𝑦
𝑑𝑦
 
 
• Exemplo. Seja 𝑥 = 𝑦 +
1
3
𝑦3 +
1
5
𝑦5. Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
Note que: 
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 1 + 𝑦2 + 𝑦4, então: 
𝑕′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
1
1 + 𝑦2 + 𝑦4
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Regra 18. (REGRA DA CADEIA) Se 𝑦 = 𝑔 𝑢 e 𝑢 = 𝑓 𝑥 , 
então: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑢
2
3 e 𝑢 = 𝑥2 + 1, determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
𝑕′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑢
𝑢
2
3 ∙
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 + 1 =
2
3
𝑢
2
3
−1 ∙ 2𝑥 + 0 
𝑕′ 𝑥 =
2
3
𝑢
−1
3 ∙ 2𝑥 + 0 =
2
3𝑢
1
3
∙ 2𝑥 =
4𝑥
3 𝑥2+1
1
3
 
MATEMÁTICA I 
 
DIFERENCIAIS 
 
Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari 
INTRODUÇÃO 
Sabemos que 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
Δ𝑥→0
𝑓 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥
Δ𝑥
 
 
• Em alguns problemas, é útil interpretar 𝑑𝑦 
e 𝑑𝑥 separadamente. 
• 𝑑𝑦 é considerado diferencial de 𝑦 
• 𝑑𝑥 é considerado diferencial de 𝑥 
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INTRODUÇÃO 
• Se um incremento da variável 
independente 𝑥 para um ponto 
𝑃 𝑥, 𝑦 sobre a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 é 
denotado por 𝑑𝑥, então: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′ 𝑥 = tg 𝜃 
• 𝑑𝑦 denota o incremento da ordenada da tangente em 𝑃. 
• Observe que a diferencial 𝑑𝑦 e o incremento Δ𝑦 da 
função, correspondentes ao mesmo valor de 𝑑𝑥 = Δ𝑥, não 
são, em geral, iguais. 
Δ𝑦 
𝑦 = 𝑓 𝑥 
𝑑𝑥 = Δ𝑥 
𝑥 𝑥 + Δ𝑥 
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INTRODUÇÃO 
Seja 
• 𝑓′ 𝑥 a derivada de 𝑦 = 𝑓 𝑥 para um valor 
particular de 𝑥; 
• Δ𝑥 um incremento de 𝑥 escolhido 
arbitrariamente; 
 
então a diferencial de 𝑦, denotada por 𝑑𝑓 𝑥 ou 𝑑𝑦, é: 
𝑑𝑦 = 𝑑𝑓 𝑥
Δ𝑥
Δ𝑥
=
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 
e a diferencial de 𝑥, denotada por 𝑑𝑥, é: 
𝑑𝑥 = Δ𝑥 
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EXEMPLO 
Suponha que 𝐶 = 5 + 0,6𝑥 + 0,2 𝑥, onde 𝐶 é o consumo total 
(em bilhões de dólares) e 𝑥 a renda disponível total (em bilhões de 
dólares). Se 𝑥 = 25 com um erro máximo de 0,3, determine o erro 
máximo aproximado do consumo. 
𝑑𝐶 = 0 + 0,6 +
2
10
∙
1
2
∙
1
𝑥
 𝑑𝑥 
𝑑𝐶 = 0,6 +
0,1
25
 0,3 = 0,6 +
0,1
5
 0,3 
𝑑𝐶 = 0,62 0,3 = 0,186 
Se 𝒅𝒖 é o erro em 𝒖, então 
𝒅𝒖
𝒖
 é o erro relativo em 𝒖. Assim, o erro relativo 
máximo aproximado do consumo é: 
𝑑𝐶
𝐶
=
0,186
21
= 0,008 
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DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE 
Se 𝑦 = 𝑓 𝑥 tem uma derivada finita 
𝑓′ 𝑐 = lim
Δ𝑥→0
𝑓 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑐
Δ𝑥
 
em 𝑥 = 𝑐, então 𝑓(𝑥) é contínua em 𝑥 = 𝑐. 
 
Continuidade em um ponto não implica na 
existência de uma derivada neste ponto. 
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DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE 
Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 . Verifique: 
(a) Se a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0. 
(b) Se a função 𝑓 possui derivada em 𝑥 = 0. 
Solução: Note que 𝑓 𝑥 = 
 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
(a) Vamos verificar a continuidade da função 
lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0−
−𝑥 = 0, lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0+
𝑥 = 0 e 𝑓 0 = 0 
Como lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 = 𝑓 0 temos que a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0. 
(b) Note que 𝑓′ 𝑥 = 
 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
, logo a função 𝑓 não 
possui derivada em 𝑥 = 0. 
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DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE 
Considere a função 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2. Verifique: 
(a) Se a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0. 
(b) Se a função 𝑓 possui derivada em 𝑥 = 0. 
 
Solução: 
(a) Vamos verificar a continuidade da função 
lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0−
1 − 𝑥2 = 1, lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0+
1 − 𝑥2 = 1 e 𝑓 0 = 1 
Como lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 = 𝑓 1 temos que a função 𝑓 é contínua em 
𝑥 = 0. 
(b) Note que 𝑓′ 𝑥 = −2𝑥, logo a função 𝑓 possui derivada em 
𝑥 = 0. 
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DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE 
Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥
1
3. Verifique: 
(a) Se a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0. 
(b) Se a função 𝑓 possui derivada em 𝑥 = 0. 
Solução: 
(a) Vamos verificar a continuidade da função 
lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0−
𝑥
1
3 = 0, lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0+
𝑥
1
3 = 0 e 𝑓 0 = 0 
Como lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 = 𝑓 0 temos que a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0. 
(b) Note que 𝑓′ 𝑥 =
1
3
𝑥−
2
3, logo a função 𝑓 
não possui derivada em 𝑥 = 0. 
𝑓′ 𝑥 =
1
3
𝑥−
2
3 
𝑓 𝑥 = 𝑥
1
3 
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Lista de Exercícios 
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