Caderno de Química dos Sólidos

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Caderno de Química 
dos Sólidos 
Aula 1: Introdução a Química do Estado Sólido 
→ O que estuda? 
A Química do Estado Sólido ou Ciência dos Materiais é baseada em quatro pilares 
principais que são interligados com um tetraedro. 
 
Um deles é a síntese e o processamento desse material, então é importante 
entendermos como que esse material é produzido e processado, porque materiais 
processados de forma diferente podem ter propriedades diferentes. O tipo de 
processamento é muito importante, porque ele vai alterar a composição e a estrutura 
do material, portanto é importante conhecer a composição e a estrutura que o 
material apresenta. Então, se alterarmos a estrutura e a composição, nós estaremos 
alterando as propriedades. E, alterando as propriedades do material, conseguimos 
melhorar o desempenho desses materiais para diferentes aplicações. 
Esses 4 parâmetros estão interligados e são extremamente importantes no 
desenvolvimento de novos materiais. 
Hoje em dia, quando se fala de novos materiais, é pensado principalmente em 
nanomateriais, em materiais nanotecnológicos que além da composição e da 
estrutura, a morfologia desse material vai ser muito importante, o tamanho, a forma e 
também a característica da sua superfície. Então, alterando o tamanho e a forma dos 
nanocristais, a gente consegue alterar drasticamente as suas propriedades e seu 
desempenho, mas para isso precisamos entender a síntese e o processamento desse 
material. E quando falamos de superfície dos nanomateriais, é extremamente 
importante a gente conseguir manipular a superfície, porque os nanomateriais têm 
uma área superficial extremamente elevada. Então, quando a gente fala de um 
material macroscópico (material Bulk), como, por exemplo, um cubo com cada lado de 
1 centímetro, logo temos uma área superficial de 6 cm2, dividindo esse cubo em 
cubinhos menores de 1 nanômetro de lado, temos agora uma área superficial de 60 
milhões de cm2. 
 
Então, a maioria dos átomos vai estar na superfície, sendo determinante para 
propriedade química desse material, principalmente como que esse material vai 
interagir com o meio vai ser determinado pelas propriedades da sua superfície. 
E quando a gente fala das propriedades pensamos em como os elétrons e os átomos 
daquele material se comporta, então a gente tenta entender toda a parte de teoria de 
ligação entre os átomos que compõem o material em ligações intermoleculares das 
espécies que formam seu sólido para entender como que os níveis de energia daquele 
material vão ser alterados e como que vão influenciar nas propriedades. 
Classificação de Materiais 
A gente tem basicamente três classificações: os materiais metálicos, cerâmicos e os 
polímeros e uma quarta classe que são os compósitos (misturas de duas ou mais 
diferentes classes de materiais). 
1. Densidade 
→ No geral, materiais metálicos têm uma densidade mais elevada, porque eles têm 
uma estrutura atômica muito empacotada, então eles têm mais átomos no mesmo 
volume, aumentando assim a densidade dos metais (mas depende do metal). 
→ As cerâmicas já são matérias com densidades intermediárias e são formadas por 
óxidos, nitretos, carbenos, vidros, concretos, são diferentes materiais, na sua maioria, 
inorgânicos. São compostos de dois ou mais átomos diferentes, portanto possuindo 
tamanhos diferentes e o empacotamento não consegue ser tão denso quanto em um 
metal. Logo, as cerâmicas costumam ter densidades menores do que as dos metais. 
→ Os polímeros são materiais bem menos densos e normalmente são materiais 
orgânicos formados, principalmente, por carbono, então a densidade deles é muito 
mais baixa. Eles não têm uma estrutura cristalina tão definida quanto as cerâmicas e os 
metais, então isso também faz com que o empacotamento não seja tão denso. Então, 
a gente consegue fazer materiais extremamente leves de polímeros, mas que podem 
ser extremamente resistentes. 
→ Os compósitos a gente tenta misturar diferentes classes dos materiais para ter um 
material com uma densidade que interesse para determinada aplicação. 
2. Rigidez: qual a dificuldade de deformar esses materiais, qual a força que é 
necessária aplicar para começar a deformar esses materiais? 
→ Os metais são extremamente duros, a gente tem que aplicar uma força muito alta 
para começar a deformá-los, o mesmo para as cerâmicas. Isso está ligado ao tipo de 
ligação que ocorre nesses materiais que faz com que eles sejam extremamente duros. 
→ Já os polímeros tendem a ter uma rigidez menor, eles aguentam menos força até 
começarem a se deformar. 
→ Os compósitos a gente tenta manipular as propriedades deles através da mistura de 
diferentes classes de materiais para conseguir aumentar a rigidez deles, tendo uma 
rigidez muito maior do que a dos polímeros e tem uma densidade muito mais baixa. Os 
compósitos são muito interessantes em transportes terrestres e aéreos para diminuir o 
peso do transporte, mantendo a rigidez. 
3. Resistência a Fratura: qual é o valor de força onde esse material se rompe? 
→ Os metais têm uma resistência a fratura muito alta, que devido ao tipo de ligação, 
eles se tornam extremamente maleáveis, ou seja, a gente consegue manipular a forma 
do metal sem que ele tenha uma fratura, sendo chamados de dúcteis. 
→ Já as cerâmicas, apesar de serem muito duras e resistentes a deformação, elas têm 
uma baixa resistência a fratura, sendo materiais mais frágeis. 
→ Os polímeros também tendem a ter uma resistência a fratura baixa, mas eles 
conseguem ser mais maleáveis ainda do que as cerâmicas, então eles deformam muito 
mais antes de fraturar. 
→ Os compósitos a gente consegue melhorar suas propriedades, essa resistência a 
fratura através da junção de diferentes tipos de materiais. 
4. Condutividade 
→ Os metais são extremamente condutíveis, têm uma alta condutividade e essa 
condutividade tende a diminuir com o aumento da temperatura; isso devido ao tipo de 
ligação. 
→ Já as cerâmicas e os polímeros são materiais isolantes, têm uma condutividade 
extremamente baixa devido ao tipo de ligação, que são normalmente ligações 
covalentes ou ligações iônicas. 
→ Os materiais semicondutores têm uma condutividade intermediária e eles tendem a 
aumentar a condutividade conforme a temperatura aumenta. 
Materiais Avançados: hoje em dia, tem surgidos novos materiais, chamados de 
materiais avançados, sendo novos semicondutores, biomateriais, materiais 
inteligentes e nanomateriais. 
- Exemplo: roupa que controla calor e odor e repelem insetos, roupas impermeáveis; 
Aula 2: Estrutura Cristalina – Tipos de sólidos 
Ligação Química: uma ligação química forma-se entre dois átomos se o arranjo 
resultante de seus dois núcleos e seus elétrons possuem energia mais baixa que a 
energia total dos seus átomos separados. Essa ligação química pode ser iônica, 
covalente e metálica, o que leva a formação de sólidos com características diferentes. 
TIPOS DE LIGAÇÃO 
→ Ligação iônica: ligações do tipo íon-íon, então são ligações, forças atrativas entre 
cargas de sinais opostos, formando a rede cristalina. Essas forças não são tão 
direcionais, mas possuem certa direcionalidade, então os átomos têm que estar em 
posições específicas para que as energias de atração entre os íons sejam maximizadas, 
diminuindo a energia potencial do sistema. 
→ Ligação metálica: consiste em um mar de elétrons livres se movimentando sobre os 
núcleos positivos, então tem uma matriz de núcleos positivos que está praticamente 
fixa. Tem um caráter de não direcionalidade, ou seja, ela ocorre em igual extensão 
para qualquer das direções que a gente olhar a partir de um átomo, então por isso que 
os metais são facilmente deformados. 
→ Ligação covalente: são ligações extremamente direcionais; a interação dos orbitais 
só ocorre em simetrias bem definidas e são orbitais atômicos que vão interagir, eles 
têm que ter uma simetria igual para poder formaro orbital molecular e para que eles 
tenham a mesma simetria, a geometria da molécula tem que sem bem definida e as 
ligações são bem direcionais. 
TRIÂNGULO DE KETELAAR 
Ainda olhando para o caráter da ligação, a gente consegue saber se a ligação vai ter um 
caráter metálico, iônico ou covalente a partir da diferença de eletronegatividade entre 
os átomos que compõem o seu composto. Podemos ver isso através do triângulo de 
Ketelaar. 
 
Quando temos átomos com baixa eletronegatividade, com uma diferença pequena 
nessa eletronegatividade ou é praticamente zero, então estamos considerando a 
interação entre dois átomos iguais ou até mesmo se a média de eletronegatividade 
dos átomos é baixa, temos a ligação metálica. 
Quando temos uma média alta de eletronegatividade, ou seja, na média os átomos 
que formam o seu composto têm alta eletronegatividade ou então eles não têm uma 
tendência de perder elétrons, só que a diferença de eletronegatividade entre os 
átomos é baixa, fazendo com que ele tenha igual probabilidade de compartilhar os 
elétrons da ligação, formando a ligação covalente. 
Quando a eletronegatividade é média, só que a diferença de eletronegatividade entre 
os átomos é muito grande e isso faz com que a carga fique concentrada no átomo de 
maior eletronegatividade. Então se você forma íons bem definidos, o seu sólido vai ter 
um caráter mais iônico. 
Há sólidos que apresentam um caráter mais de van der Waals, que são interações 
intermoleculares fracas e isso dá propriedades diferentes aos sólidos, como, por 
exemplo, sólidos lamelares. 
Os sólidos podem ter um caráter intermediário, apresentando um caráter tanto 
metálico quanto iônico, e assim por diante. 
 Os polímeros têm 
maior caráter 
covalente. Já as 
cerâmicas, têm 
maior caráter 
iônico. 
 
ENERGIA E EMPACOTAMENTO 
• Empacotamento não denso: onde os átomos se distribuem de maneira 
aleatória, apresentando várias regiões vazias. Ao contabilizar todas as energias 
potenciais entre os átomos, a gente vai ter uma superfície de energia potencial 
que vai dar onde que é o mínimo de energia, mas nesse caso não estamos no 
mínimo de energia, porque os átomos não estão fazendo o máximo de 
interações possíveis. Só que esse ponto pode ser um ponto mínimo local 
daquela superfície de energia potencial e ainda gerar um sólido estável, que 
normalmente são sólidos que chamamos de amorfo, como exemplo, o vidro. 
 
• Empacotamento denso: onde os átomos estão fazendo o maior número de 
ligação possível. Neste caso, estamos no mínimo da superfície de energia 
potencial, então esse sólido tende a ser um sólido mais estável. Por exemplo, o 
dióxido de silício cristalino que é o quartzo. 
→ O quartzo tem uma temperatura de fusão maior do que a do vidro, ele aguenta 
temperaturas maiores justamente porque os átomos nesse empacotamento denso do 
material estão formando o maior número de ligações possíveis. As propriedades 
ópticas do quartzo são bem diferentes das do vidro, o índice de refração é diferente, a 
faixa de absorção do comprimento de onda é diferente. 
 
→ Mudando a estrutura cristalina, o empacotamento desses átomos, a gente pode cair 
em mínimos de energia, onde a gente vai ter uma estrutura mais estável ou a gente 
pode cair em mínimos locais, no caso de estruturas amorfas, vão ter uma estabilidade 
menor, mas podem ter propriedades interessantes, como é o caso do vidro. 
LIGAÇÕES INTERMOLECULARES 
→ Alguns sólidos podem ser formados por ligações intermoleculares. 
→ Ligação de van der Waals: são ligações entre dipolo induzido-dipolo induzido. 
→ Ligações dipolo-dipolo: como as pontes de hidrogênio na água, então a água tem 
uma estrutura muito peculiar, tem várias fases possíveis justamente devido à 
possibilidade de formação de diferentes geometrias de ligações de hidrogênio. 
→ Dipolo-Dipolo induzido: são importantes em alguns tipos de sólidos, mas 
geralmente, a gente tem interações de van der Waals no caso de moléculas apolares e 
quando temos moléculas polares, o sólido vai ser mantido por ligações dipolo-dipolo. 
Normalmente, compostos iônicos com interação fortemente covalente têm uma 
temperatura de ebulição muito alta, porque a gente tem que quebrar essa forte 
interação iônica para fundir o sólido. Compostos covalentes têm uma faixa de variação 
grande de temperatura de ebulição e de fusão, dependendo do tipo da força da 
ligação entre o tipo de interações intermoleculares que ocorre. Então, é importante 
avaliarmos tanto a ligação primária entre os átomos assim como a força das ligações 
intermoleculares. 
Aula 3: Estrutura Cristalina – Sólidos Cristalinos e Retículos de Bravais 
Empacotamento não denso → sólido amorfo 
Empacotamento mais denso → sólido cristalino 
• ESTRUTURA DE CRISTAIS → Como maximizar as interações entre os átomos? 
RETÍCULO CRISTALINO 
→ Quando a gente fala de estrutura cristalina, a gente precisa entender o que é o 
retículo cristalino, como que aqueles átomos estão organizados no retículo que se 
repete periodicamente. 
• Cristal ideal: repetição infinita de grupos de átomos. 
• Grupo de átomos: base; define a célula unitária; são os átomos que a gente vai 
colocar no retículo sobre os pontos matemáticos para formar o cristal. 
• Retículo: conjunto de pontos matemáticos sobre os quais as bases estão 
ligadas; abstração matemática que a gente faz para organizar a estrutura 
cristalina dos materiais em retículos que se repetem em diferentes tipos de 
materiais. 
• Célula primitiva: contém apenas um ponto do retículo e o menor volume; é a 
unidade básica que vai se repetir ao longo do cristal, mas muitas vezes essa 
célula não é fácil de enxergar. 
• Célula unitária: menor volume que contém toda simetria do cristal. 
• a, b, c → vetores de translação primitiva; isso vai definir o formato da célula 
primitiva, o tamanho e como que ela vai se repetir. 
→ Então, a primeira coisa que a gente precisa ver é quais são os tipos de retículos, 
onde a gente vai colocar nossas bases para formar a célula unitária do nosso cristal. 
 
RETÍCULO DE BRAVAIS 
→ Para sólidos tridimensionais, os retículos têm um nome especial que é Retículo de 
Bravais (7 tipos de retículos diferentes). 
 
O retículo triclínico é o de mais baixa simetria, porque todos os ângulos e todos os 
vetores são diferentes. Já o cúbico é o de maior simetria, porque tem todos os ângulos 
iguais a 90° e todos os vetores primitivos são iguais. 
→ A partir desses retículos, a gente pode ter 4 tipos de preenchimento diferentes. 
 
7 tipos de retículos + 4 tipos de preenchimento → 14 retículos de Bravais 
 
Os motivos para que haja apenas 14 retículos de Bravais e não 28 são as redundâncias 
e restrições de simetria. 
Aula 4: Estrutura Cristalina – Fatores de Empacotamento 
ESTRUTURA CÚBICA SIMPLES (CS) 
• Baixa densidade de empacotamento → Po (polônio) 
• Átomos nos cantos do cubo (vértices) 
• Número de coordenação (n° de vizinhos próximos a cada átomo, n° de átomos 
que interage com o átomo central) = 6 (estrutura octaédrica) 
FATOR DE EMPACOTAMENTO ATÔMICO (FEA) 
𝐹𝐸𝐴 = 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜𝑠 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑎 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎 ∗
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎
 
*assume o modelo de esferas rígidas 
 
→ Em sólidos cúbicos simples, cerca de metade da célula unitária é preenchida pelos 
átomos, a outra metade fica vazia, então a gente pode ver que é uma estrutura que 
tem um baixo fator de empacotamento. 
 
ESTRUTURA CÚBICA DE CORPO CENTRADO (CCC) 
• Átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo (exemplos: Cr, W, Fe) 
• Número de coordenação = 8 
• 2 átomos/célula: 1 no centro + (8 x 1/8 dos cantos) 
• FEA para estrutura CCC = 0,68 
 
→ Estruturas cúbicas de corpo centrado tende a ter um fator de empacotamento 
maior do que a cúbica simples, então os átomos formam um número de ligações 
maiores, e isso vai impactar na densidade do material. 
→ Quantomaior o fator de empacotamento, maior a densidade do material. 
ESTRUTURA CÚBICA DE FACE CENTRADA (CFC) 
• Os átomos se tocam ao longo da diagonal da face do cubo (exemplo: Al, Cu, 
Au, Pb, Ni, Pt, Ag) → praticamente a maioria dos metais adota essa estrutura 
• Número de coordenação = 12 
• 4 átomos/célula unitária: (6 das faces x ½) + (8 dos cantos x 1/8) 
• FEA para estrutura CFC = 0,74 
→ Conforme 
aumenta o empacotamento, aumenta também o número de coordenação. 
 
SEQUÊNCIA DE EMPILHAMENTO 
• Empilhamento ABCABC... 
• Projeção 2D 
→ Se pensarmos que a gente consegue fatiar a célula unitária e olhar em cada 
projeção 2D, em cada plano e no plano acima, a gente consegue definir a sequência de 
empilhamento dos átomos que vão dar origem a célula unitária. 
 
→ Se a gente tem esse tipo de empilhamento ABC, a gente chega a uma estrutura que 
a gente chama de estrutura cúbica de face centrada. 
→ ESTRUTURA HEXAGONAL EMPACOTADA (HCP): (exemplo: Cd, Mg, Ti, Zn) 
• Sequência de empilhamento ABAB... 
• Projeção 3D 
• Número de coordenação = 12 
• FEA = 0,74 
• 6 átomos/célula unitária = (12 x 1/6) + (2 x ½) + 3 
 
Empilhamento A: 1T (todas as camadas coincidem) → metálica 
Empilhamento AB: 2H → semicondutora 
Empilhamento ABC: 3R → isolante 
→ O tipo de empacotamento tem um efeito grande nas propriedades dos materiais. 
DENSIDADE TEÓRICA (ƿ) 
→ A partir dessas estruturas, a gente consegue montar qualquer sólido e a partir dos 
fatores de empacotamento, a gente consegue calcular a densidade teórica desses 
materiais. 
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = ƿ =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜𝑠 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑎 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎
= 
𝑛 × 𝐴
𝑉𝐶 × 𝑁𝐴
 
n = número de átomos 
A = peso atômico 
VC = volume da célula 
NA = número de Avogrado 
 
 
Em geral: ƿ (metais) > ƿ (cerâmicas) > ƿ (polímeros) 
A razão da maioria dos metais terem uma densidade alta é justamente devido a maior 
parte formarem estruturas altamente empacotadas, como as estruturas cúbica de face 
centrada e a hexagonal compacta. 
 
 
 
Aula 5: Direções Cristalográficas em sistemas cúbicos 
COORDENADAS CRISTALOGRÁFICAS 
→ Quando a gente trabalha com cristais é conveniente definir coordenadas 
cristalográficas para a gente se localizar dentro do cristal, além disso, várias 
propriedades dos cristais vão ser definidas através dessas coordenadas cristalográficas 
em direções definidas ou em planos de átomos definidos. 
 
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
→ A partir dessas coordenadas cristalográficas, como que conseguimos definir as 
direções cristalográficas? 
Então, as direções vão ser vetores que a gente define dentro da nossa célula unitária 
para indicar a direção que a gente está analisando no cristal. Essas direções são 
chamadas de Índices de Miller. 
 
→ Na representação do índice de Miller entre colchetes, os números negativos são 
indicados com um traço horizontal acima deles. 
 
Se a gente deslocar algum 
ponto, temos que chegar 
a um ponto equivalente. 
Então, podemos definir 
esses pontos equivalentes 
através do deslocamento 
de múltiplos inteiros das 
coordenadas (vetores u). 
DENSIDADE LINEAR 
→ Qual é a importância de analisar essas direções cristalográficas? 
É fato de podermos estudar a densidade de átomos que a gente tem ao longo de uma 
direção. Isso pode definir, por exemplo, a estabilidade dos átomos nessa direção, o 
que pode interferir na reatividade desses átomos. 
• Densidade Linear de Átomos: 
𝐷𝐿 = 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜
 
 
Aula 6: Direções Cristalográficas em sistemas hexagonais 
→ No caso da estrutura hexagonal, a gente tem que usar um quarto vetor para 
determinar as direções cristalográficas, sendo: a1, a2, a3 e z. 
Coordenadas de Miller-Bravais → [uvtw] → [a1a2a3z] 
• Como construir o vetor a partir das coordenadas de Miller-Bravais: 
 
 
 
O comprimento do vetor é a 
diagonal do quadrado, ou seja, 
√2 × 𝑎, onde: 
a = parâmetro de rede 
• Como determinar as coordenadas de Miller-Bravais: 
 
Aula 7: Planos Cristalográficos 
→ São planos que vão conter diferentes números de átomos dentro da nossa célula 
unitária. 
→ Como conseguimos achar os índices desses planos? A gente vai usar o sistema 
proposto para os índices de Miller. 
• Para determinar os índices de Miller no sistema cúbico: 
→ A gente tem que achar as intersecções do plano com os eixos, fazer o recíproco das 
três intersecções do plano com os eixos, e também normalizar para chegar ao menor 
múltiplo comum. 
→ Todos os planos paralelos apresentam os mesmos índices de Miller! 
→ Algorítimo: 
1. Determine a intersecção do plano com os eixos em termos de a, b, c; 
2. Use o recíproco; 
3. Utilize o menor múltiplo comum inteiro; 
4. Coloque em parênteses, sem vírgulas → (hkl); 
ℎ = 
𝑛𝑎
𝐴
 , onde a = parâmetro de rede; A = posição que esse plano vai cruzar com o 
eixo cristalográfico; n = múltiplo inteiro 
𝑘 = 
𝑛𝑏
𝐵
 e 𝑙 = 
𝑛𝑐
𝐶
 
 
 
(∞ indica que o plano não faz intersecção com o eixo!) 
→ Família de Planos {hkl}: são planos equivalentes, que vão ter propriedades 
equivalentes, como exemplo, o empacotamento do átomo, a densidade de átomos, 
energia, número de coordenação dos átomos nesse plano, energia dos átomos nesse 
plano. 
 
O interessante para sistemas cúbicos é que nessas famílias de planos, o vetor que tem 
os mesmos valores de (hkl) será perpendicular a todos os planos da família {hkl}. Se a 
gente pegar o vetor na direção 111, esse vetor vai ser perpendicular a todos os planos 
da família 111. Dessa forma, podemos usar as relações trigonométricas nestes planos 
e vetores para determinar a distância entre esses planos. 
 
• Ângulos 
Interplanares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Planos Cristalográficos em uma célula hexagonal: 
→ Em células unitárias hexagonais, usa-se a mesma ideia. 
 
Aula 8: Densidade de átomos em planos cristalográficos 
→ Qual a importância de estudar esses planos cristalográficos? 
1. Analisar o empacotamento atômico dos planos cristalográficos; 
2. O empacotamento atômico de planos expostos determina a energia superficial 
do plano; 
(Planos com diferentes índices de Miller vão ter diferentes números de átomos 
expostos na superfície, então essa superfície vai ter uma energia diferente, porque 
esses átomos vão ter um número de ligações diferentes) 
EXEMPLO: Fe → Cúbica de Corpo Centrado 
a) Desenhar os planos cristalográficos (100) e (111) para o Fe; 
b) Calcular densidade de átomos em cada plano; 
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
𝑎2
 
 
 
 
→ Para uma célula cúbica de corpo centrado, os planos (100) tem um fator de 
empacotamento maior do que o plano (111), então quer dizer que os átomos neste 
plano (100) fazem maior número de ligação do que os átomos dispostos no plano 
(111). A consequência disso é a alteração da energia superficial. 
 
ENERGIA SUPERFICIAL 
• Cristais metálicos → exemplo: Al, Cu, Pb, Au, Ni, Pt, Ag (NC = 12) 
Energia superficial → 𝛾 = 
1
2
𝑁𝑏𝜀𝜌𝑎 
Nb = número de ligações que um átomo em um determinado plano vai fazer; 
𝜌𝑎 = densidade 
𝜀 = parâmetro de energia 
 
→ O que é a energia superficial? É a energia que um átomo ganha, por exemplo, se 
ele entrar em uma das faces. 
 
→ Os átomos na face (111) têm uma energia menor, ou seja, eles são mais 
estáveis. É uma face do cristal que é mais estável. Essa face tende a ficar exposta 
durante a síntese do cristal. 
Aula 9: Simetria e Grupos de espaço – Simetria Pontual 
 
ELEMENTOS E OPERAÇÕES DE SIMETRIA 
• Elementos de simetria: são entidades geométricas tais como uma linha, um 
plano ou um ponto sobre as quais se efetuam as operações de simetria. 
• Operações de simetria: são operações geométricas envolvendo os elementos 
de simetria, que conduzemum objeto a uma situação equivalente a inicial. O 
conjunto de operações de simetria define o grupo de ponto. 
• Operações próprias: rotações puras sobre um eixo; 
a) Identidade (E): rotação de 360° introduzida por razões matemáticas; 
b) Eixo de rotação de ordem n (Cn): rotação de 360°/n ou 2π/n. 
• Operações impróprias: roto-reflexão; 
c) Plano de simetria (σ): reflexão no plano; 
d) Centro de simetria ou inversão (i): inversão de todas coordenadas; 
e) Eixo de rotação-reflexão (Sn): rotação sobre um eixo de 2π/n ou 360° 
seguida por uma reflexão em um plano perpendicular ao eixo de rotação. 
 
→ Elementos e Operações de Simetria: Cúbica Simples 
1. Célula unitária: menor volume que contém toda simetria do cristal; então ela 
tem que conter tanto a simetria pontual do grupo de ponto quanto a simetria 
translacional do cristal. 
 
Então, com esse conjunto de operações de simetria, a gente sabe que um sistema 
cúbico simples é um sistema de ALTA simetria, no qual encontra-se muitos 
elementos e operações de simetria. 
Pela tabela de caracteres, pode-se observar que essa célula cúbica simples vai ter 
um grupo de ponto Oh. 
→ Elementos e Operações de Simetria: CCC (célula cúbica de corpo centrado) 
 
Então, esse átomo no centro da célula unitária permanece invariante em respeito a 
qualquer operação de simetria. Portanto, também é uma célula de grupo de ponto Oh. 
Aula 10: Nomenclaturas de Schoenfile e Hermann-Mauguin 
→ Para as moléculas, usa-se a nomenclatura de Schoenfiles. 
→ Para os cristais, usa-se a nomenclatura de Hermann-Mauguin, também chamada de 
nomenclatura internacional. 
 
 
→ Não conseguimos ter um cristal com ordem de simetria, ordem de rotação 5 
simplesmente translacionando uma possível célula unitária pentagonal. Mas podemos 
criar estruturas organizadas, mudando a orientação dos pentágonos, repetindo-os, o 
que leva a formação dos QuasiCristais (chamados assim por terem uma estrutura 
organizada, mas não é uma estrutura periódica). 
→ No entanto, a base pode ter eixos de simetria C5! 
NOMENCLATURA HERMANN-MAUGUIN 
(uma diferença é que temos que considerar as direções cristalográficas) 
1. Encontrar os elementos de simetria; 
2. Considerar os elementos de simetria únicos, que não são gerados a partir de 
outros; 
 
Deve-se olhar para direções cristalográficas que não sejam equivalentes, que não 
tenham empacotamento de átomos equivalentes, porque assim a gente vai olhar 
para direções que vão trazer diferentes elementos de simetria. 
O sistema triclínico não tem direção de observação, porque ele só tem um 
elemento de simetria, a identidade. 
Aula 11: Determinando as Classes Cristalinas 
CLASSIFICAÇÃO DE CRISTAIS EM CLASSES 
 
 
 
 
 
Aula 12: Simetria Translacional 
→ Grupos de Espaço: conjunto de operações de simetria dos grupos de ponto e 
translacional que deixam o retículo invariante. 
 
Grupos simples ou simórficos → onde o grupo de ponto vai coincidir com o grupo de 
espaço; não envolve translação; 
Grupos não-simórficos → vão conter uma simetria translacional; 
OPERAÇÕES E ELEMENTOS TRANSLACIONAIS 
→ Translação pura: somar o vetor, o múltiplo do vetor primitivo do retículo; 
→ Planos de deslizamento (glide planes); 
→ Eixos parafusos (screw axes); 
 
Para ser um plano de 
deslizamento ou uma operação de 
translação composta, o elemento 
de translação não pode ser um 
múltiplo inteiro do vetor 
primitivo. 
Elemento de simetria: plano de deslizamento → operação de simetria: reflexão 
deslizante. 
Planos de deslizamento: podemos ter diferentes tipos de planos (a, b, c, n, d, e), que 
vai variar a indicação de direção da translação. 
 
 
 
 
 
Quando a tem uma translação de 
½, dentro da célula unitária a 
gente só chega a uma posição 
equivalente. A próxima operação 
de translação já leva a outra 
célula unitária. 
AA 
Plano e → ocorrem duas reflexões e duas translações 
→ Eixos parafusos: objetos com simetria helicoidal; 
 
Podemos ter duas simetrias de hélice: horária (R) e anti-horário (L); 
 
 Os eixos enantiomorfos são imagens especulares dos 
eixos normais. Um é rotação horária e outro é rotação anti-horária. 
 
 
Aula 13: Determinando o Grupo de Espaço 
→ Grupo de ponto são definidos por siglas, como exemplo: 
 
CORRELAÇÃO DE GRUPOS DE PONTO E GRUPOS DE ESPAÇO 
Derivação da classe cristalina a partir do grupo de espaço 
→ Algorítimo: 
1. Remover a indicação de Retículo; 
2. Converter os elementos de simetria translacional em seus respectivos 
elementos pontuais; 
Plano de deslizamento = plano de reflexão 
Eixo parafuso = eixo de rotação 
3. Elementos de simetria pontual permanecem inalterados; 
P63/mcm → 6/mmm → D6h 
 
 
 
 
GRUPOS DE ESPAÇO 
 
Cúbica primitiva – Grupo de espaço: Pm3̅m Classe – 4/mmm – D4h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATÉRIA PARA O TESTE 2 
Teorias de Ligação em sólidos 
TÓPICO 1: Cristais de Gases Nobres (Aula 14) 
→ Por que estudar os cristais de gases nobres? Primeiro, porque eles são átomos que 
têm uma configuração eletrônica de camada preenchida. Então no estado gasoso ou 
sólido, eles vão ter configuração eletrônicas e propriedades muito parecidas, e as 
propriedades desses átomos por eles terem essa configuração eletrônica de camada 
fechada não vão variar tanto conforme a gente muda o estado físico. 
→ Eles vão formar sólidos transparentes, isolantes e com baixo ponto de fusão. 
→ A ligação entre esses gases nobres por eles terem essa camada eletrônica 
preenchida vai ser ligação do tipo van der Waals. 
 
Vamos pensar que a gente tem um átomo de gás nobre com o núcleo positivo e a 
nuvem eletrônica carregada negativamente. E a gente tem uma série de átomos do 
mesmo gás formando uma rede, tendo uma distância r entre eles. Por esses átomos 
terem camada fechada, eles têm uma simetria esférica e termicamente eles não 
deveriam interagir entre si devido a essa neutralidade e essa simetria esférica. Só que 
isso funciona no mundo clássico, então quanticamente o que a gente tem é essa 
distribuição da nuvem eletrônica, ela dá uma probabilidade de encontrar o elétron em 
determinados lugares. Mas a gente pode ter probabilidade de encontrar o elétron em 
diferentes posições e em um determinado momento a gente pode criar, pode ter um 
certo momento de dipolo, uma certa polarização do átomo. Então, essa configuração 
tem uma certa probabilidade de ocorrer e quando ela ocorre, ela cria um momento de 
dipolo nesse átomo, que vai criar um campo elétrico associado a esse momento de 
dipolo. E, quando ele interagir com um átomo do lado, ele vai acabar polarizando esse 
outro átomo, induzindo um momento de dipolo, que vai ser inverso ao momento de 
dipolo do primeiro átomo, e cria um campo elétrico associado a esse momento de 
dipolo. 
 
A gente sabe que esse momento de dipolo vai ser dado devido a interação da nuvem 
eletrônica desse átomo 2 com o campo elétrico gerado pelo momento de dipolo 
instantâneo do átomo 1. E esse momento de dipolo p2 vai estar relacionada com esse 
campo elétrico pelo alfa, que é a polarizabilidade. 
Agora para entender a interação de van der Waals entre dois gases, dois átomos de 
gases nobres, tem-se que calcular o potencial de atração entre esses dois momentos 
de dipolo instantâneo. 
𝑈(𝑟) 𝛼 
−(𝑝1𝑝2)
𝑟3
 → 𝑈(𝑟) ∝ 
−(𝑝1
2∝)
𝑟6
 
Então, a gente vê que é uma interação de curtíssimo alcance, que depende do potencial 
de interação, e este decai com 1/r6, logo para átomos muito longe: quanto maior o r, 
menor vai ser o potencial de interação entre esses momentos de dipolo induzido. 
Além do potencial de interação, a gente tem forças de repulsão entre esses átomos. 
Basicamente, quando a gente olha esses dois átomos de gases nobres e olha para as 
funções de ondas deles, a distribuição de elétrons na função de onda, conforme a gente 
começa aproximaresses átomos e diminuir a distância entre eles, as funções de onda 
dos elétrons começam a se sobrepor. Então, isso faz com que os elétrons do átomo A 
tendam a ocupar regiões do átomo B, logo eles tendem a ter números quânticos iguais. 
Só que pelo Princípio da Exclusão de Pauli, um elétron não pode ter os mesmos 
números quânticos do outro. Portanto, isso gera uma interação de repulsão. 
 
Então, combinando o potencial de atração com essa força de repulsão, a gente 
consegue descrever a interação entre os gases nobres, a interação de van der Waals 
entre esses gases nobres. Portanto, teremos uma contribuição tanto da repulsão 
quanto da atração. 
 
 
 
Potencial de Lenard-Jones 
Um dos potenciais empíricos que descreve bem essas duas contribuições para as 
interações de van der Waals é o potencial de Lenard-Jones. Então, a gente tem o 
potencial que vai ser função da distância r entre os átomos. 
 
O potencial de repulsão será sempre positivo, enquanto o potencial de atração é 
sempre negativo, então somando os dois a gente tem o potencial de Lenard-Jones. A 
gente tem uma região de mínimo de potencial, que vai definir a distância de equilíbrio, 
a distância de ligação entre os átomos, onde o cristal de gás nobre é estável. 
 
O ε está relacionado com a energia que 
o sistema ganha devido a interações 
desses átomos, quanto de energia o 
sistema vai ganhar nessa posição de 
equilíbrio. E, o σ está relacionado com o 
volume que esse átomo vai ocupar na 
célula cristalina unitária. Ele está 
relacionado com compressibilidade do 
cristal e ele tem uma diminuição de 
tamanho do átomo na rede cristalina. 
 
Equação de estado de van der Waals 
Equação de gases real: 
Essa correção na pressão tem a ver com 
atração dos átomos, o quanto esses átomos se 
estabilizam devido a essa atração de van der 
Waals e quanto isso irá impactar na pressão do 
gás nobre. A correção no volume tem a ver com o tamanho do átomo, o volume que 
esse átomo pode ocupar e onde não tem uma interação repulsiva muito alta. 
Essa é uma das aplicações do potencial de Lenard-Jones para entender a equação de 
van der Waals, então ele tem uma importância histórica grande. Mas, aqui vamos 
aplicar esse potencial para entender os parâmetros dos cristais, como que a gente 
consegue definir alguns parâmetros de equilíbrio de um cristal de gás nobre. 
 
Parâmetro de rede de equilíbrio 
Um dos parâmetros importantes é o parâmetro de rede, que é definido para cada 
célula unitária. Então, a gente pode usar esse parâmetro de rede e o potencial de 
Lenard-Jones para definir qual vai ser o parâmetro de rede de equilíbrio para os 
diferentes gases nobres. 
Usando esse potencial e calculando a energia total do sistema, ou seja, se o potencial é 
dado pela interação de dois pares de átomos e calcularmos todas as interações 
possíveis entre n átomos no cristal, a gente consegue calcular a energia total do 
sistema. Para isso, temos que levar em consideração o número de átomos (N). O fator 
½ é porque estamos considerando as interações entre os pares de átomos, então para 
não contar duas vezes cada par de átomo, introduz-se esse fator. 
Como os gases nobres têm essa 
distribuição eletrônica esférica, eles 
formam cristais com estrutura cúbica de 
face centrada, mais empacotada possível. 
É a estrutura com o maior fator de 
empacotamento. Nessa estrutura, cada 
átomo tem o número de coordenação igual 
a 12. 
Então, esses átomos que estão 
diretamente ligados a esse átomo de 
referência, a gente chama de primeiros vizinhos, e os átomos seguintes de segundo, 
terceiro e assim por diante. 
Como vimos que o potencial, tanto a parte atrativa quanto a repulsiva, tem uma forte 
dependência com a distância, as forças atrativas vão cair com 1/r6 e as forças 
repulsivas com 1/r12, a gente pode desconsiderar as interações com os segundos 
vizinhos e considerar SOMENTE as interações de curta distância com os primeiros 
vizinhos. 
Em uma estrutura cúbica de face centrada, o número de coordenação de cada átomo é 
12, então a gente pode considerar essas 12 interações com os átomos vizinhos. 
Considerando isso e avaliando o somatório, a gente vai ter o valor de 12,12188 para a 
parte repulsiva e 14,45392 para a parte atrativa. 
 
Para descobrir o parâmetro de rede de equilíbrio, onde a energia potencial é mínima, 
no poço do potencial, a gente simplesmente faz a derivada do potencial em relação a a 
e iguala a zero. Fazendo isso, obtém-se: 
 
 Esse valor de a0/σ deveria ser igual para 
todos os gases nobre, só que 
experimentalmente o que se observa são 
alguns desvios. 
Conforme o gás nobre fica mais leve, o 
desvio desse parâmetro de rede de equilíbrio aumenta. Isso tem a ver com efeitos 
quânticos e um desses efeitos é o que a gente chama de energia do ponto zero. 
 
Energia de Coesão 
É a energia que o átomo, que o cristal ganha formando a ligação entre os átomos. 
Então, a energia de coesão vai ser a energia com a distância de equilíbrio, quando 
todos os átomos têm o parâmetro de rede de equilíbrio. Logo substituindo o a0 na 
energia total, obtemos a energia de coesão. 
 
O ε é proporcional a energia total. Então, quanto maior o valor de ε, mais negativa 
vai ser a energia total, ou seja, mais estável tende a ser o sólido formado pelo gás 
nobre. 
 
Módulo de compressibilidade 
Este é outro parâmetro importante, do inglês: módulo de bulk (B0), que é o quanto a 
gente consegue comprimir ou quanto o cristal resiste a compressão. Se a gente lembrar 
do perfil do poço de potencial, que se a gente comprime o cristal, a gente diminui a 
distância entre os átomos, aumentando as forças repulsivas, então a gente vai 
desestabilizar o cristal. Mas se a gente conseguisse aplicar uma pressão de expansão, 
expandindo o cristal, o cristal também não “gostaria”, porque a gente estaria 
diminuindo as interações atrativas entre os átomos e aumentado a energia total. 
Então, o módulo de compressibilidade daria essa noção de quanto que a gente poderia 
comprimir ou expandir o cristal em relação à distância, ao parâmetro de rede de 
equilíbrio. 
Antes de definir o módulo de Bulk, a gente tem que usar o conceito de volume ocupado 
pelo átomo. Então, temos que escrever o volume ocupado pelos átomos em função do 
parâmetro da célula unitária, fazendo isso a gente consegue definir o modo de 
compressibilidade. 
Então, se a gente substituir e escrever a energia potencial em função do volume (e não 
em função de a), a gente pode definir a pressão. Fazendo isso, a segunda derivada da 
energia potencial em função do volume vai nos dar o módulo de compressibilidade. 
Quanto maior o módulo de compressibilidade, mais difícil vai ser comprimir o 
material. E isso também tem relação com a velocidade de propagação do som em 
cristais. Quanto maior o módulo de compressibilidade, maior vai ser a velocidade de 
propagação do som, ou seja, quanto menos o material se deformar em função da 
propagação do som, mais rápido o som vai se propagar por esse material. 
 
 
Parâmetros estruturais de sólidos de gases nobres 
 
Quanto maior o ε, maior a energia de coesão por átomo. 
O He a 0K e pressão nula ainda é líquido, por que isso ocorre? Se a gente olhar o 
potencial de Lenard-Jones, o que acontece no caso do Hélio é que os efeitos quânticos 
começam a ser muito preponderantes, o que faz com que as correções de energia 
sejam muito grandes e o sistema não é estável na forma sólida nessa temperatura e 
com pressão nula. Uma das causas disso é a energia do ponto zero. 
 
Essa diferença de energia entre o primeiro nível vibracional e o fundo do poço é o que a 
gente chama de energia do ponto zero. Então, no caso do Hélio por ele ser um átomo 
muito leve, a vibração desses átomos tem uma amplitude muito grande, isso faz com 
que a energia do ponto zero seja muito grande, sendo maior do que a energia de 
coesão. 
Quanto mais leveo átomo, maior será essa correção de energia do ponto zero. 
Quanto maior a energia de ligação, maior (menos negativo) o ponto de fusão. 
[Qual a razão do aumento da energia de coesão????]