Quatro Maneiras de Representar uma Função

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EXERCÍCIOS – QUATRO MANEIRAS DE REPRESENTAR UMA FUNÇÃO1 
 
1. Se 𝑓(𝑥) = 𝑥 + √2 − 𝑥 e 𝑔(𝑢) = 𝑢 + √2 − 𝑢, é verdadeiro que 𝑓 = 𝑔? 
Seja 𝑥 = 𝑢: 
𝑓(𝑢) = 𝑢 + √2 − 𝑢 = 𝑔(𝑢) e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + √2 − 𝑥 = 𝑓(𝑥) 
Logo, se 𝑥 = 𝑢, então 𝑓 = 𝑔. 
 
2. Se 𝑓(𝑥) = e 𝑔(𝑥) = 𝑥, é verdadeiro que 𝑓 = 𝑔? 
𝑓(𝑥) =
𝑥 − 𝑥
𝑥 − 1
=
𝑥(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
= 𝑥 = 𝑔(𝑥) 
Sim, é verdadeiro. 
 
3. O gráfico de uma função 𝑓é dado: 
 
 
 
(𝑎) Diga o valor de 𝑓(1). 𝑓(1) = 3 
(𝑏) Estime o valor de 𝑓(−1). 𝑓(−1) ≈ −0,3 
(𝑐) Para quais valores de 𝑥 é 𝑓(𝑥) = 1? 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 3 
(𝑑) Estime os valores de 𝑥 tais que 𝑓(𝑥) = 0. 𝑥 ≈ −0,7 
(𝑒) Diga qual é o domínio e a imagem de 𝑓. 𝐷 = [−2, 4] e 𝐼 = [−1, 3] 
(𝑓) Em qual intervalo 𝑓 é crescente? 𝑥 ∈ [−2, 1] 
 
4. Os gráficos de 𝑓 e 𝑔 são dados. 
 
 
 
(𝑎) Diga o valor de 𝑓(−4) e 𝑔(3). 𝑓(−4) = −2 e 𝑔(3) = 4 
(𝑏) Para quais valores de 𝑥 é 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)? (−2, 1) e (2, 2) 
(𝑐) Estime a solução da equação 𝑓(𝑥) = −1. 𝑥 = −3 ou 𝑥 = 4 
(𝑑) Em qual intervalo 𝑓 é decrescente? 𝑥 ∈ [0, 4] 
(𝑒) Diga qual é o domínio e a imagem de 𝑓. 𝐷 = [−4, 4] e 𝐼 = [−2, 3] 
(𝑓) Obtenha o domínio e a imagem de 𝑔. 𝐷 = [−4, 3] e 𝐼 ≈ [0,5; 4] 
 
 
1 STEWART, James. Cálculo. Tradução: EZ2 Translate. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 1. p. 19-22. 
5. A Figura abaixo foi registrada por um instrumento monitorado pelo Departamento de 
Minas e Geologia da Califórnia pertencente ao Hospital Universitário do Sul da Califórnia, 
em Los Angeles. Use-a para estimar a imagem da função da aceleração vertical do solo na 
USC durante o terremoto de Northridge. 
 
 
A imagem da função é aproximadamente [−90, 140]. 
 
6. Determine se a curva é o gráfico de uma função de 𝑥. Se o for, determine o domínio e 
a imagem da função. 
 
(𝑎) 
Não é função, pois (0; −1,3), (0; −0,1) e 
(0; 1,5) fazem parte do gráfico 
(𝑏) 
É função, pois nenhum valor de 𝑥 possui 
mais de uma imagem 
(𝑐) 
É função, pois nenhum valor de 𝑥 possui 
mais de uma imagem 
(𝑑) 
Não é função, pois neste gráfico em 
forma de “escada”, cada valor inteiro de 
𝑥 possui várias imagens 
 
7. Três corredores competem em uma corrida de 100 metros. O gráfico representa a 
distância da corrida como uma função de tempo para cada corredor. Descreva o que o 
gráfico diz sobre esta corrida. Quem ganhou? Todos os corredores finalizaram a prova? 
 
 
Todos iniciaram a corrida a partir do 
mesmo ponto, percorrendo 100m até o 
ponto de chegada, portanto, pode-se 
dizer que todos finalizaram a prova. 
Apesar de ter acelerado por último, o 
vencedor é o corredor A. 
 
8. O gráfico mostra o consumo de energia por um dia em setembro em São Francisco. (𝑃 
é medido em megawatts; 𝑡 é medido em horas a partir da meia-noite.) 
 
 
 
(𝑎) O que acontece com o consumo de energia às 6 da manhã? E às 6 da tarde? 
A partir das 6 da manhã, percebe-se o crescimento expressivo do consumo; antes das 6 
da tarde, ocorre o fenômeno inverso, porém a partir das 6hrs nota-se um leve aumento 
do consumo e depois uma queda expressiva. 
(𝑏) Quando houve o menor consumo de energia? E quando foi o maior? Esses horários 
parecem razoáveis? 
O menor consumo foi registrado entre as 3 e 4hrs da manhã e o maior consumo foi 
registrado por volta de meio-dia. Sim, parecem razoáveis, pois na madrugada é esperado 
que a maioria da população esteja dormindo e ao meio dia é esperado que todos estejam 
envolvidos em suas atividades rotineiras. 
 
9. Esboce um gráfico do valor de mercado de um carro novo como função do tempo por 
um período de 20 anos. Suponha que ele esteja bem conservado. 
 
O gráfico mostra a evolução temporal do valor de mercado dos carros seminovos de 
jan./1997 a jan./2023. Seja 𝑣 o valor do carro no ano 𝑡, cada ponto no gráfico é 𝑣 𝑣⁄ . 
Este cálculo mostra o quanto o valor do ano corrente variou em relação a um ano-base, 
escolhido aleatoriamente conforme a conveniência do analista. Neste caso, optou-se pelo 
ano-base 1997, para que se avalie a evolução no longo prazo. Percebe-se que o valor 
nunca caiu abaixo do nível de 1997; embora com leves oscilações até 2020, experimentou 
uma queda forte em 2008 (provavelmente fruto da crise econômica mundial), uma 
segunda queda vertiginosa e um aumento explosivo durante a pandemia do coronavírus. 
Embora, a partir do final de 2022, pareça cair, voltou a experimentar crescimento no início 
de 2023. 
 
Fonte: https://publish.manheim.com/en/services/consulting/used-vehicle-value-
index.html 
 
10. Esboce o gráfico da quantidade de uma marca particular de café vendida por uma loja 
como função do preço do café. 
O Instituto Brasileiro do Café possui dados que remontam a 1821 acerca da exportação 
de café. Percebe-se uma ligeira proporcionalidade direta entre os preços e as 
quantidades, a partir de 1940: 
 
 
 
9.724
11.525
15.288
12.053
14.835
16.819 17.085
1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970
Qtde. sacas de 60 kgs (em milhares)
$13,36 $17,08 $13,10 $7,93
$58,34
$42,37
$57,46
1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970
Preço (US$) de 1 saca de café 60 kg
 
 
O gráfico mostra uma queda expressiva na década de 30, fruto da Grande Depressão. No 
entanto, também há um aumento vertiginoso na década de 40, a melhor performance do 
setor em toda a série histórica, desde que o café internacional passou a ser cotado em 
dólar. Fonte: LAPA, José Roberto do Amaral. A economia cafeeira. São Paulo: Brasiliense, 
1983. (Coleção Tudo é História, v. 72). 
 
11. Uma estimativa anual do número N (em milhões) de assinantes de telefones celulares 
nos Estados Unidos é mostrada na tabela. (Estimativas dadas para meados do ano.) 
 
𝑡 1996 1998 2000 2002 2004 2006 
𝑁 44 69 109 141 182 233 
 
(𝑎) Use os dados da tabela para esboçar o gráfico de 𝑁 como uma função 𝑡. 
 
 
 
(𝑏) Use seu gráfico para estimar o número de assinantes de telefones celulares nos anos 
de 2001 e 2005. 
 
Entre os pontos (2.000, 109) e (2.002, 141) passa uma reta: 
𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥
=
141 − 109
2.002 − 2.000
=
32
2
= 16 
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
$0,00
$10,00
$20,00
$30,00
$40,00
$50,00
$60,00
$70,00
8.000 9.000 10.000 11.000 12.000 13.000 14.000 15.000 16.000 17.000 18.000
Pr
eç
o 
(U
S$
)
Qtde. sacas de 60 kg (em milhares)
Evolução do Mercado Cafeeiro (1910 - 1970)
0
50
100
150
200
250
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
N
𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥 ) + 𝑦 = 16(𝑥 − 2.000) + 109 = 16𝑥 − 16 × 2.000 + 109 = 
= 16𝑥 − 32.000 + 109 ⇒ 𝑦 = 16𝑥 − 31.891 
𝑦(2.001) = 16 × 2001 − 31.891 = 32.016 − 31.891 = 125 
Entre os pontos (2.004, 182) e (2.006, 233) passa uma reta: 
𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥
=
233 − 182
2.006 − 2.004
=
51
2
= 25,5 
𝑦 = 25,5(𝑥 − 2.004) + 182 = 25,5𝑥 − 25,5 × 2.004 + 182 = 25,5𝑥 − 51.102 + 182 
𝑦 = 25,5𝑥 − 50.920 
𝑦(2.005) = 25,5 × 2.005 − 50.920 = 51.127,5 − 50.920 = 207,5 
 
12. Os registros de temperatura 𝑇 (em °𝐶) foram tomados de três em três horas a partir 
da meia-noite até às 15 horas em Montreal, em 13 de julho de 2004. O tempo foi medido 
em horas a partir da meia-noite. 
 
𝑡 0 3 6 9 12 15 
𝑇 21,5 19,8 20 22,2 24,8 25,8 
 
(𝑎) Use os registros para esboçar o gráfico de 𝑇 como uma função de 𝑡. 
 
 
(𝑏) Use seu gráfico para estimar a temperatura às 11 horas da manhã. 
Entre os pontos (9; 22,2) e (12; 24,8) passa uma reta: 
𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥
=
24,8 − 22,2
12 − 9
=
2,6
3
=
13
15
= 0,86 
𝑦 = 0,86𝑥 − 0,86 × 9 + 22,2 = 0,86𝑥 − 7,8 + 22,2 ⇒ 𝑦 = 0,86𝑥 + 14,4 
𝑦(11) = 0,86 × 11 + 14,4 =
13
15
× 11 +
72
5
=
143
15
+
216
15
=
359
15
= 23,93 
 
13. Se 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥 + 2, ache 𝑓(2), 𝑓(−2), 𝑓(𝑎), 𝑓(−𝑎), 𝑓(𝑎 + 1), 2𝑓(𝑎), 𝑓(2𝑎), 
𝑓(𝑎 ), [𝑓(𝑎)] e 𝑓(𝑎 + ℎ). 
𝑓(2) = 3 × 2 − 2 + 2 = 3 × 4 + 0 = 12 
𝑓(−2) = 3 × (−2) − (−2) + 2 = 3 × 4 + 2 + 2 = 12 + 4 = 16 
𝑓(𝑎) = 3𝑎 − 𝑎 + 2 
𝑓(−𝑎) = 3(−𝑎) − (−𝑎) + 2 = 3𝑎 + 𝑎 + 2 
𝑓(𝑎 + 1) = 3(𝑎 + 1) − (𝑎 + 1) + 2 = 3(𝑎 + 2𝑎 + 1) − 𝑎 − 1 + 2 = 
= 3𝑎 + 6𝑎 + 3 − 𝑎 + 1 = 3𝑎 + 5𝑎 + 4 
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 1214 16
T
2𝑓(𝑎) = 2(3𝑎 − 𝑎 + 2) = 6𝑎 − 2𝑎 + 4 
𝑓(2𝑎) = 3(2𝑎) − 2𝑎 + 2 = 3 × 4 × 𝑎 − 2𝑎 + 2 = 12𝑎 − 2𝑎 + 2 
𝑓(𝑎 ) = 3(𝑎 ) − 𝑎 + 2 = 3𝑎 − 𝑎 + 2 
[𝑓(𝑎)] = (3𝑎 − 𝑎 + 2) = (3𝑎 ) − 3𝑎 + 6𝑎 − 3𝑎 + 𝑎 − 2𝑎 + 6𝑎 − 2𝑎 + 4 = 
= 9𝑎 − 3𝑎 − 3𝑎 + 6𝑎 + 𝑎 + 6𝑎 − 2𝑎 − 2𝑎 + 4 = 9𝑎 − 6𝑎 + 13𝑎 − 4𝑎 + 4 
𝑓(𝑎 + ℎ) = 3(𝑎 + ℎ) − (𝑎 + ℎ) + 2 = 3(𝑎 + 2𝑎ℎ + ℎ ) − 𝑎 − ℎ + 2 = 
= 3𝑎 + 6𝑎ℎ + 3ℎ − 𝑎 − ℎ + 2 
 
14. Um balão esférico com raio de 𝑟 polegadas tem o volume 𝑉(𝑟) = 𝜋𝑟 . Encontre uma 
função que represente a quantidade de ar necessária para inflar o balão de um raio de 
𝑟 polegadas até um raio de 𝑟 + 1 polegadas. 
 
𝑉(𝑟) =
4
3
𝜋𝑟 ⇒ 𝑉(𝑟 + 1) =
4
3
𝜋(𝑟 + 1) =
4
3
𝜋(𝑟 + 3𝑟 + 3𝑟 + 1) 
A quantidade de ar necessária é dada pela diferença entre os volumes dos balões de raio 
𝑟 e 𝑟 + 1: 
𝑓(𝑟) = 𝑉(𝑟 + 1) − 𝑉(𝑟) =
4
3
𝜋(𝑟 + 3𝑟 + 3𝑟 + 1) −
4
3
𝜋𝑟 = 
=
4
3
𝜋(𝑟 + 3𝑟 + 3𝑟 + 1 − 𝑟 ) =
4
3
𝜋(3𝑟 + 3𝑟 + 1) 
 
15. Calcule o quociente das diferenças para a função dada. Simplifique sua resposta. 
 
(𝑎) 𝑓(𝑥) = 4 + 3𝑥 − 𝑥 ,
𝑓(3 + ℎ) − 𝑓(3)
ℎ
 
𝑓(3) = 4 + 3 × 3 − 3 = 4 + 9 − 9 = 4 + 0 = 4 
𝑓(ℎ + 3) = 4 + 3(ℎ + 3) − (ℎ + 3) = 4 + 3ℎ + 9 − ℎ − 6ℎ − 9 = 
= −ℎ + 3ℎ − 6ℎ + 4 + 9 − 9 = −ℎ − 3ℎ + 4 
𝑓(3 + ℎ) − 𝑓(3)
ℎ
=
−ℎ − 3ℎ + 4 − 4
ℎ
=
−ℎ − 3ℎ
ℎ
=
−ℎ(ℎ + 3)
ℎ
= −(ℎ + 3) 
(𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ,
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
 
𝑓(𝑎) = 𝑎 ∴ 𝑓(𝑎 + ℎ) = (𝑎 + ℎ) = 𝑎 + 3𝑎 ℎ + 3𝑎ℎ + ℎ 
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
=
𝑎 + 3𝑎 ℎ + 3𝑎ℎ + ℎ − 𝑎
ℎ
=
ℎ(3𝑎 + 3𝑎ℎ + ℎ )
ℎ
 
= 3𝑎 + 3𝑎ℎ + ℎ 
(𝑐) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
,
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
 
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
=
1
𝑥
−
1
𝑎
𝑥 − 𝑎
=
𝑎
𝑎𝑥
−
𝑥
𝑎𝑥
𝑥 − 𝑎
=
𝑎 − 𝑥
𝑎𝑥(𝑥 − 𝑎)
=
−(𝑥 − 𝑎)
𝑎𝑥(𝑥 − 𝑎)
= −
1
𝑎𝑥
 
(𝑑) 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 3
𝑥 + 1
,
𝑓(𝑥) − 𝑓(1)
𝑥 − 1
 𝑓(1) =
1 + 3
1 + 1
=
4
2
= 2 
 
𝑓(𝑥) − 𝑓(1)
𝑥 − 1
=
𝑥 + 3
𝑥 + 1
− 2
𝑥 − 1
=
𝑥 + 3
𝑥 + 1
− 2
𝑥 + 1
𝑥 + 1
𝑥 − 1
=
𝑥 + 3 − 2𝑥 − 2
𝑥 + 1
𝑥 − 1
=
−𝑥 + 1
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
= 
=
−(𝑥 − 1)
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
= −
1
𝑥 + 1
 
 
16. Encontre o domínio da função. 
 
(𝑎) 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 4
𝑥 − 9
=
𝑥 + 4
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
 
𝑥 + 3 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −3 ∴ 𝑥 − 3 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ 3 
𝒟 = {𝑥 ∈ ℛ | 𝑥 ≠ −3 𝑒 𝑥 ≠ 3} 
(𝑏) 𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 5
𝑥 + 𝑥 − 6
=
2𝑥 − 5
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
 
𝑥 + 𝑥 − 6 ≠ 0 ⇒ ∆= 1 − 4 × 1 × (−6) = 1 + 24 = 25 
𝑥 ≠
−1 ± √25
2 × 1
=
−1 ± 5
2
⇒
𝑥 ≠
−1 + 5
2
=
4
2
= 2
𝑥 ≠
−1 − 5
2
=
−6
2
= −3
 
𝒟 = {𝑥 ∈ ℛ | 𝑥 ≠ −3 𝑒 𝑥 ≠ 2} 
(𝑐) 𝑓(𝑡) = √2𝑡 − 1 ∴ 𝒟 = {𝑡 | 𝑡 ∈ ℛ } 
𝑡 pode assumir qualquer valor real, pois 𝑎 = 𝑏 ⇒ (𝑎 > 0 ∧ 𝑏 > 0) ∨ (𝑎 < 0 ∧ 𝑏 < 0) 
(𝑑) 𝑓(𝑡) = √3 − 𝑡 − √2 + 𝑡 
3 − 𝑡 ≥ 0 ⇒ 𝑡 ≤ 3 
2 + 𝑡 ≥ 0 ⇒ 𝑡 ≥ −2 
𝒟 = {𝑡 ∈ ℛ | − 2 ≤ 𝑡 ≤ 3} 
(𝑒) ℎ(𝑥) =
1
𝑥2 − 5𝑥
4
 
𝑥 − 5𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑥(𝑥 − 5) ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑥 − 5 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 5 
0 < 𝑥 < 5 ⇒ 𝑥 − 5 < 0 ⇒ 𝑥(𝑥 − 5) < 0 
𝒟 = {𝑥 ∈ ℛ | 𝑥 ≥ 5} 
(𝑓) 𝑓(𝑢) =
𝑢 + 1
1 +
1
𝑢 + 1
=
𝑢 + 1
𝑢 + 1
𝑢 + 1
+
1
𝑢 + 1
=
𝑢 + 1
𝑢 + 2
𝑢 + 1
= 𝑢 + 1 ×
𝑢 + 1
𝑢 + 2
=
(𝑢 + 1)
𝑢 + 2
 
𝑢 + 1 ≠ 0
𝑢 + 2 ≠ 0
⇒ 𝑢 ≠ −1
𝑢 ≠ −2
 
𝒟 = {𝑢 ∈ ℛ | 𝑢 ≠ −2 𝑒 𝑢 ≠ −1} 
(𝑔) 𝐹(𝑝) = 2 − 𝑝 
2 − 𝑝 ≥ 0 ⇒ 𝑝 ≤ 2 ⇒ 𝑝
2
≤ 22 ⇒ 𝑝 ≤ 4 𝑒 𝑝 ≥ 0 
𝒟 = {𝑝 ∈ ℛ | 0 ≤ 𝑝 ≤ 4} 
 
17. Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico da função ℎ(𝑥) = √4 − 𝑥 . 
 
 
4 − 𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≤ 4 ⇒ 𝑥 ≤ 2 𝑒 𝑥 ≥ −2 
𝒟 = {𝑥 ∈ ℛ | − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2} 
ℐ = {ℎ ∈ ℛ | ℎ ≥ 0} 
 
 
 
 
 
 
18. Encontre o domínio e esboce o gráfico da função. 
 
(𝑎) 𝑓(𝑥) = 2 − 0,4𝑥 ∴ 𝒟 = {𝑥 | 𝑥 ∈ ℛ} 
 
𝑓(0) = 2 − 0,4 × 0 = 2 − 0 = 2 ⇒ (0, 2) 
𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 2 − 0,4𝑥 = 0 ⇒ 0,4𝑥 = 2 
⇒ 𝑥 =
2
0,4
=
20
4
= 5 ⇒ (5, 0) 
 
 
(𝑏) 𝐹(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 1 ∴ 𝒟 = {𝑥 | 𝑥 ∈ ℛ} 
 
 
𝐹(0) = 0 − 2 × 0 + 1 = 0 − 0 + 1 = 1 ⇒ (0, 1) 
𝐹(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 − 2𝑥 + 1 = 0 
∆= (−2) − 4 × 1 × 1 = 4 − 4 = 0 
𝑥 =
−(−2)
2 × 1
=
2
2
= 1 ⇒ (1, 0) 
 
 
(𝑐) 𝑓(𝑡) = 2𝑡 + 𝑡 ∴ 𝒟 = {𝑡 | 𝑡 ∈ ℛ} 
 
 
𝑓(0) = 2 × 0 + 0 = 0 + 0 = 0 ⇒ (0, 0) 
𝑓(𝑡) = 0 ⇒ 𝑡 + 2𝑡 = 0 ⇒ 𝑡(𝑡 + 2) = 0 
⇒
𝑡 = 0
𝑡 + 2 = 0
⇒
𝑡 = 0
𝑡 = −2
 
(−2, 0) 𝑒 (0, 0) 
 
 
(𝑑) 𝐻(𝑡) =
4 − 𝑡
2 − 𝑡
∴ 𝒟 = {𝑡 | 𝑡 ∈ ℛ} 
 
𝐻(𝑡) =
4 − 𝑡
2 − 𝑡
=
(2 − 𝑡)(2 + 𝑡)
2 − 𝑡
= 𝑡 + 2 
𝐻(0) = 0 + 2 = 2 ⇒ (0, 2) 
𝐻(𝑡) = 0 ⇒ 𝑡 + 2 = 0 ⇒ 𝑡 = −2 ⇒ (−2, 0) 
 
 
(𝑒) 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 5 
𝑥 − 5 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 5 
𝒟 = {𝑥 ∈ ℛ | 𝑥 ≥ 5} 
𝑥 = 5 ⇒ 𝑔(5) = √5 − 5 = √0 = 0 
(5, 0) 
 
 
 
 
(𝑓) 𝐹(𝑥) = |2𝑥 + 1| 
 
𝐹(0) = |2 × 0 + 1| = |0 + 1| = |1| = 1 
2𝑥 + 1 = 0 ⇒ 2𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = −
1
2
 
|2𝑥 + 1| =
2𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −
1
2
−(2𝑥 + 1) 𝑠𝑒 𝑥 < −
1
2
 
𝐹(𝑥) = 0 ⇒ |2𝑥 + 1| = 0 ⇒ 𝑥 = −
1
2
 
 
(𝑔) 𝐺(𝑥) =
3𝑥 + |𝑥|
𝑥
∴ 𝒟 = {𝑥 ∈ ℛ | 𝑥 ≠ 0} 
 
𝑥 ≥ 0 ⇒
3𝑥 + |𝑥|
𝑥
=
3𝑥 + 𝑥
𝑥
=
4𝑥
𝑥
= 4 
𝑥 < 0 ⇒
3𝑥 + |𝑥|
𝑥
=
3𝑥 − 𝑥
𝑥
=
2𝑥
𝑥
= 2 
 
 
(ℎ) 𝑔(𝑥) = |𝑥| − 𝑥 ∴ 𝒟 = {𝑥 | 𝑥 ∈ ℛ} 
 
𝑔(0) = |0| − 0 = 0 − 0 = 0 ⇒ (0, 0) 
𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑔(𝑥) = |𝑥| − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 0 
𝑥 < 0 ⇒ 𝑔(𝑥) = |𝑥| − 𝑥 = −𝑥 − 𝑥 = −2𝑥 
 
 
(𝑖) 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2, 𝑥 < 0
1 − 𝑥, 𝑥 ≥ 0
 
𝑓(0) = 1 − 0 = 1 
𝑓(𝑥) = 0 ⇒
𝑥 + 2 = 0
1 − 𝑥 = 0
⇒
𝑥 = −2
𝑥 = 1
 
𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 + 2 = 0 + 2 = 2 
Função: (−2, 0), (0, 1) e (1, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(𝑗) 𝑓(𝑥) = 3 −
1
2
𝑥, 𝑥 ≤ 2
2𝑥 − 5, 𝑥 > 2
 
 
𝑓(0) = 3 −
1
2
× 0 = 3 − 0 = 3 
𝑓(2) = 3 −
1
2
× 2 = 3 − 1 = 2 
𝑥 = 2 ⇒ 2 × 2 − 5 = 4 − 5 = −1 
𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 2𝑥 − 5 = 0 ⇒ 2𝑥 = 5 ⇒ 𝑥 = 2,5 
3 −
1
2
𝑥 = 0 ⇒ 3 =
1
2
𝑥 ⇒ 𝑥 = 6 
Função: (0, 3), (2, 2) e (2,5; 0) 
 
 
 
(𝑘) 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2, 𝑥 ≤ −1
𝑥 , 𝑥 > −1
 
 
𝑓(0) = 0 = 0 
𝑓(−1) = −1 + 2 = 1 
𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = (−1) = 1 
𝑓(𝑥) = 0 ⇒
𝑥 + 2 = 0
𝑥 = 0
⇒
𝑥 = −2
𝑥 = 0
 
Função: (−2, 0), (−1, 1) e (0, 0) 
 
 
(𝑙) 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 9 𝑠𝑒 𝑥 < −3
−2𝑥 𝑠𝑒 |𝑥| ≤ 3
−6 𝑠𝑒 𝑥 > 3
 
 
𝑓(𝑥) = 0 ⇒
𝑥 + 9 = 0
−2𝑥 = 0
⇒
𝑥 = −9
𝑥 = 0
 
𝑥 = −3 ⇒ −3 + 9 = 6 
𝑓(−3) = (−2) × (−3) = 6 
𝑓(3) = (−2) × 3 = −6 
Função: (−9, 0), (−3, 6), (0, 0) e (3, −6) 
 
 
19. Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada. 
 
(𝑎) O segmento de reta unido os pontos (1, −3) e (5, 7). 
 
𝑚 =
7 − (−3)
5 − 1
=
7 + 3
5 − 1
=
10
4
=
5
2
= 2,5 
𝑦 = 2,5(𝑥 − 5) + 7 = 2,5𝑥 − 12,5 + 7 
𝑦 = 2,5𝑥 − 5,5 
 
 
 
(𝑏) O segmento de reta unido os pontos (−5, 10) e (7, −10). 
 
𝑚 =
(−10) − 10
7 − (−5)
=
−10 − 10
7 + 5
= 
= −
20
12
= −
5
3
= −1, 6 
𝑦 = −1, 6(𝑥 − 7) + (−10) = 
= −
5
3
𝑥 +
5
3
× 7 − 10 = 
= −
5
3
𝑥 +
35
3
−
30
3
 
𝑦 = −
5
3
𝑥 +
5
3
 
 
 
(𝑐) A metade inferior da parábola 𝑥 + (𝑦 − 1) = 0. 
Sabendo que ∀𝑧(𝑧 ≥ 0), temos 𝑥 ≤ 0 nesta parábola, pois: 
𝑥 + (𝑦 − 1) = 0 ⇒ (𝑦 − 1) = −𝑥 
Encontrando o vértice da parábola: 
𝑥 + (𝑦 − 1) = 0 ⇒ 𝑥 = −(𝑦 − 1) = −𝑦 + 2𝑦 − 1 
𝑦 = −
𝑏
2𝑎
=
−2
2 × (−1)
=
−2
−2
= 1 
∆= 𝑏 − 4𝑎𝑐 = 2 − 4 × (−1) × (−1) = 4 − 4 = 0 
𝑥 = −
∆
4𝑎
= −
0
4 × (−1)
=
−0
−4
=
0
4
= 0 
Encontrando 𝑦(𝑥): 
𝑥 + (𝑦 − 1) = 0 ⇒ 𝑦 − 2𝑦 + 1 + 𝑥 = 0 
Encontrando as raízes de 𝑦(𝑥): 
∆= 𝑏 − 4𝑎𝑐 = (−2) − 4 × 1 × (𝑥 + 1) = 4 − 4(𝑥 + 1) = 4 − 4𝑥 − 4 = −4𝑥 
𝑦 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
−(−2) ± √−4𝑥
2 × 1
=
2 ± 2√−𝑥
2
= 1 ± √−𝑥 
A metade inferior da parábola ocorre quando 𝑦 ≤ 𝑦 : 
𝑦 ≤ 𝑦 ⇒ 1 ± √−𝑥 ≤ 1 ⇒
1 + √−𝑥 ≤ 1
1 − √−𝑥 ≤ 1
⇒ √
−𝑥 ≤ 0
√−𝑥 ≥ 0
 
Sabendo que 𝑥 ≤ 0: 
𝑥 ≤ 0 ⇒ −𝑥 ≥ 0 ⇒ (−𝑥) , ≥ 0 , ⇒ √−𝑥 ≥ 0 
A metade inferior da parábola é dada por 𝑦 = 1 − √−𝑥. 
 
 
 
(𝑑) A metade superior do círculo 𝑥 + (𝑦 − 2) = 4. 
Encontrando o centro do círculo: 
(𝑥 − 𝑥 ) + (𝑦 − 𝑦 ) = 𝑟 ∴ (𝑥 − 0) + (𝑦 − 2) = 2 ⇒ 𝐶(0, 2) e 𝑟 = 2 
Encontrando 𝑦(𝑥): 
𝑥 + (𝑦 − 2) = 4 ⇒ 𝑥 + 𝑦 − 4𝑦 + 4 = 4 ⇒ 𝑦 − 4𝑦 + 𝑥 = 0 
∆= (−4) − 4 × 1 × 𝑥 = 16 − 4𝑥 = 4(4 − 𝑥 ) = 2 (2 + 𝑥)(2 − 𝑥) 
𝑦 =
−(−4) ± √16 − 4𝑥
2 × 1
=
4 ± 2√4 − 𝑥
2
= 2 ± 4 − 𝑥 
A metade superior do círculo ocorre quando 𝑦 ≥ 𝑦 : 
 
𝑦 ≥ 𝑦 ⇒ 2 ± 4 − 𝑥 ≥ 2 ⇒ ± 4 − 𝑥 ≥ 0 ⇒ 
⇒
4 − 𝑥 ≥ 0
4 − 𝑥 ≤ 0
⇒
4 − 𝑥 ≥ 0
4 − 𝑥 ≤ 0
⇒ 
⇒
4 − 𝑥 ≥ 0
4 − 𝑥 ≤ 0
⇒
𝑥 ≤ 4
𝑥 ≥ 4
⇒ 
⇒
𝑥 ≤ √4
𝑥 ≥ √4
⇒
−2≤ 𝑥 ≤ 2
2 ≤ 𝑥 ≤ −2
 
 
 
Os valores máximo e mínimo que 𝑥 pode assumir tal que 𝑥 pertença ao círculo é: 
�̅� = 𝑥 + 𝑟 = 0 + 2 = 2 e 𝑥 = 𝑥 − 𝑟 = 0 − 2 = −2 
A metade superior do círculo é dada por 𝑦 = 2 + √4 − 𝑥 . 
 
 
 
(𝑒) (0, 3), (3, 0), (5, 4) 
Trata-se de uma função definida por retas: 
𝑚 =
0 − 3
3 − 0
=
−3
3
= −1 𝑒 𝑚 =
4 − 0
5 − 3
=
4
2
= 2 
𝑦 = (−1)(𝑥 − 0) + 3 = −𝑥 + 3 𝑒 𝑦 = 2(𝑥 − 3) + 0 = 2𝑥 − 6 
𝑓(𝑥) =
−𝑥 + 3, 𝑥 < 3
2𝑥 − 6, 𝑥 ≥ 3
 
(𝑓) (−4, 3), (−2, 0), (0, 2), (2, 0), (4,3) 
Trata-se de uma função definida por duas retas e uma parábola: 
𝑚 =
0 − 3
(−2) − (−4)
=
−3
−2 + 4
= −
3
2
= −1,5 𝑒 𝑚 =
3 − 0
4 − 2
=
3
2
= 1,5 
𝑦 = (−1,5)[𝑥 − (−2)] + 0 = (−1,5)(𝑥 + 2) = −1,5𝑥 − 3 
Usando o ponto (0, 2) na equação da parábola 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐: 
𝑎 × 0 + 𝑏 × 0 + 𝑐 = 2 ⇒ 𝑐 = 2 
Usando os demais pontos pertencentes à parábola: 
𝑎(−2) + 𝑏(−2) + 2 = 0
𝑎 × 2 + 𝑏 × 2 + 2 = 0
⇒
4𝑎 − 2𝑏 = −2
4𝑎 + 2𝑏 = −2
 
Somando as equações: 
4𝑎 − 2𝑏 = −2
4𝑎 + 2𝑏 = −2
8𝑎 = −4
⇒ 𝑎 = −
4
8
= −
1
2
= −0,5 
4(−0,5) − 2𝑏 = −2 ⇒ −2 − 2𝑏 = −2 ⇒ −2𝑏 = −2 + 2 = 0 ⇒ 𝑏 = 0 
4(−0,5) + 2𝑏 = −2 ⇒ −2 + 2𝑏 = −2 ⇒ 2𝑏 = −2 + 2 = 0 ⇒ 𝑏 = 0 
𝑦 = −0,5𝑥 + 2 
𝑦 = 1,5(𝑥 − 2) + 0 = 1,5𝑥 − 3 
𝑓(𝑥) =
−1,5𝑥 − 3, 𝑥 ≤ −2
−0,5𝑥 + 2, −2 < 𝑥 ≤ 2
1,5𝑥 − 3, 𝑥 > 2
 
 
20. Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio. 
 
(𝑎) Um retângulo tem um perímetro de 20 𝑚. Expresse a área do retângulo como uma função do 
comprimento de um de seus lados. 
O perímetro é a soma dos lados do polígono. Como o retângulo tem quatro lados, sendo 2 iguais 
entre si, o perímetro 𝑃 é o dobro do lado menor 𝑥 somado ao dobro do lado maior 𝑦: 
𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦 ⇒ 2(𝑥 + 𝑦) = 20 ⇒ 𝑥 + 𝑦 =
20
2
= 10 ⇒ 𝑦 = 10 − 𝑥 
Sabendo que a área do retângulo é o produto dos lados: 
𝐴 = 𝑥𝑦 = 𝑥(10 − 𝑥) ⇒ 𝐴 = 10𝑥 − 𝑥 
(𝑏) Um retângulo tem área de 16 𝑚 . Expresse o perímetro do retângulo como uma função do 
comprimento de um de seus lados. 
𝐴 = 𝑥𝑦 ⇒ 𝑥𝑦 = 16 ⇒ 𝑦 =
16
𝑥
∴ 𝑃 = 2(𝑥 + 𝑦) = 2 𝑥 +
16
𝑥
 
(𝑐) Expresse a área de um triângulo equilátero como uma função do comprimento de um lado. 
Todos os lados do triângulo equilátero tem o mesmo comprimento 𝑙 e a altura ℎ divide qualquer 
lado em duas partes iguais. Pelo teorema de Pitágoras: 
𝑙 =
𝑙
2
+ ℎ ⇒ ℎ = 𝑙 −
𝑙
4
=
4𝑙
𝑙
−
𝑙
4
=
3𝑙
4
⇒ ℎ =
3𝑙
4
=
𝑙√3
2
 
A área do triângulo é a metade da área do retângulo: 
𝐴 =
𝑥𝑦
2
=
𝑙ℎ
2
=
𝑙
𝑙√3
2
2
=
𝑙 √3
2
×
1
2
=
𝑙 √3
4
 
(𝑑) Expresse a área da superfície de um cubo como uma função de seu volume. 
Um cubo é um poliedro cujas arestas possuem o mesmo comprimento 𝑥. 
𝐴 = 𝑥𝑥 = 𝑥 𝑒 𝑉 = 𝑥𝑥𝑥 = 𝑥 ∴ 𝑉 = 𝑥 𝑥 = 𝐴𝑥 ⇒ 𝐴 =
𝑉
𝑥
 
(𝑒) Uma caixa retangular aberta com volume de 2 𝑚 tem uma base quadrada. Expresse a área 
da superfície da caixa como uma função do comprimento de um lado da base. 
𝐴 = 𝑥𝑥 = 𝑥 
 
 
21. Uma janela normanda tem o formato de um retângulo em cima do qual se coloca um 
semicírculo. Se o perímetro da janela for de 10 𝑚, expresse a área A da janela como uma função 
de sua largura 𝑥. 
 
 
A área do semicírculo é a metade da área da circunferência, onde a 
largura 𝑥 é o seu diâmetro: 
𝐴 =
𝜋𝑟
2
=
𝜋
𝑥
2
2
=
𝜋
2
×
𝑥
4
=
𝜋𝑥
8
∴ 𝑃 =
2𝜋𝑟
2
= 𝜋𝑟 = 𝜋
𝑥
2
 
A altura ℎ da janela é dada a partir do perímetro: 
10 = 𝑥 + 2ℎ + 𝜋
𝑥
2
⇒ 2ℎ = 10 − 𝑥 − 𝜋
𝑥
2
⇒ ℎ = 5 −
𝑥
2
− 𝜋
𝑥
4
 
A área da janela é dada por: 
𝐴 = 𝐴 + 𝐴 = 𝑥ℎ +
𝜋𝑥
8
= 𝑥 5 −
𝑥
2
− 𝜋
𝑥
4
+ 𝜋
𝑥
8
 
𝐴 = 𝑥 5 −
𝑥
2
− 𝜋
𝑥
4
+ 𝜋
𝑥
8
= 𝑥 5 +
𝜋
8
−
1
2
−
𝜋
4
𝑥 
𝐴 = 𝑥 5 + −
1
2
−
𝜋
8
𝑥 = 𝑥 5 −
1
2
+
𝜋
8
𝑥 
 
22. Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com 
dimensões 12 𝑐𝑚 por 20 𝑐𝑚. Para isso, devem-se cortar quadrados de lados 𝑥 de cada canto e 
depois dobrar, conforme mostra a figura. Expresse o volume 𝑉 da caixa como uma função de 𝑥. 
 
 
𝑉 = (12 − 2𝑥)(20 − 2𝑥)𝑥 = 2(6 − 𝑥)2(10 − 𝑥)𝑥 
𝑉 = 4𝑥(60 − 6𝑥 − 10𝑥 + 𝑥 ) 
𝑉 = 4𝑥(𝑥 − 16𝑥 + 60) 
𝑉 = 4𝑥 − 64𝑥 + 240𝑥 
 
23. Um plano de telefone celular tem uma taxa de 𝑈𝑆$ 35 mensais. O plano inclui 400 minutos 
gratuitos e taxa de 10 centavos para cada minuto adicional utilizado. Expresse o custo mensal 𝐶 
como uma função do número de minutos utilizados e esboce o gráfico 𝐶 como uma função de 𝑥 
para 0 ≤ 𝑥 ≤ 600. 
 
Se o consumidor não 
consume o serviço, ele 
paga a taxa de 𝑈𝑆$ 35, 
logo o gráfico contem o 
ponto (0, 35); o valor 
permanece o mesmo até 
esgotar a franquia de 
400 𝑚𝑖𝑛, ou seja, o gráfico 
é uma função constante 
até o ponto (400, 35). A 
partir daí, haverá a 
cobrança de 𝑈𝑆$ 0,10 por 
minuto adicional utilizado, 
ou seja, 𝑥 𝑚𝑖𝑛 − 400 𝑚𝑖𝑛. 
Assim, a função custo é 
dada por: 
𝐶(𝑥) =
35, 0 ≤ 𝑥 ≤ 400
35 + 0,1(𝑥 − 400), 400 < 𝑥 ≤ 600
 
 R$-
 R$10,00
 R$20,00
 R$30,00
 R$40,00
 R$50,00
 R$60,00
0 100 200 300 400 500 600 700
Custo
 
24. Em uma certa província a velocidade máxima permitida em estradas é de 100 𝑘𝑚/ℎ e a 
velocidade mínima é de 50 𝑘𝑚/ℎ. A multa por violar esses limites é de 𝑈𝑆$ 10 para cada 
quilômetro por hora acima da velocidade máxima ou abaixo da velocidade mínima. Expresse a 
quantidade de multa 𝐹 como uma função de velocidade de condução 𝑥 e esboce o gráfico 𝐹(𝑥) 
para 0 ≤ 𝑥 ≤ 180. 
 
No intervalo 50 ≤
𝑥 ≤ 100, não há 
cobrança de multa. 
Para 𝑥 < 50, à 
medida que a 
velocidade se 
aproxima de 
50 𝑘𝑚/ℎ, a multa 
diminui; para 𝑥 >
100, à medida que 
a velocidade 
aumenta, a multa 
também aumenta 
de valor. 
𝐹(𝑥) =
10(50 − 𝑥), 0 < 𝑥 < 50
0, 50 ≤ 𝑥 ≤ 100
10(𝑥 − 100) 100 < 𝑥 ≤ 180
 
 
 
25. Uma empresa de eletricidade cobra de seus clientes uma taxa-base de US$ 10 mensais, mais 
6 centavos por quilowatt-hora (𝑘𝑊ℎ) para os primeiros 1.200 𝑘𝑊ℎ e 7 centavos para todo o uso 
acima de 1.200 𝑘𝑊ℎ. Expresse o custo mensal 𝐸 como uma função da quantidade utilizada 𝑥 de 
eletricidade. Então, faça um gráfico da função 𝐸 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2.000. 
A função Custo Mensal da Eletricidade é dada por: 
𝐸(𝑥) =
10 + 0,06𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.200
10 + 0,07𝑥, 1.200 < 𝑥 ≤ 2.000
 
Por todo o domínio da função, há a cobrança do valor de US$ 10. Até 1.200 𝑘𝑊ℎ, cobra-se 
US$ 0,06 por cada unidade de 𝑘𝑊ℎ. A partir de então, o preço unitário sobe para US$ 0,07. Isto 
significa um aumento súbito de valor no gasto. 
 
 
 R$(200,00)
 R$-
 R$200,00
 R$400,00
 R$600,00
 R$800,00
 R$1.000,00
0 50 100 150 200
Multa
 R$-
 R$20,00
 R$40,00
 R$60,00
 R$80,00
 R$100,00
 R$120,00
 R$140,00
 R$160,00
0 500 1000 1500 2000 2500
Energia Elétrica
 
26. Em um certo país, o imposto de renda é taxado da maneira a seguir: não existe nenhuma taxa 
para rendimentos de até US$ 10.000,00. Qualquer renda acima de US$ 10.000,00 e abaixo de 
US$ 20.000,00 tem uma taxa de 10%. Qualquer renda acima de US$ 20.000,00 é taxada a 15%. 
 
(𝑎) Esboce o gráfico da taxa de impostos 𝑅 como uma função da renda 𝐼. 
 
 
 
(𝑏) Qual o imposto cobrado sobre um rendimento de US$ 14.000,00? E sobre US$ 26.000,00? 
𝑇(14.000) = 0,1 × 14.000 = US$ 1.400 
𝑇(26.000) = 0,15 × 26.000 = US$ 3.900 
(𝑐) Esboce o gráfico do imposto total cobrado 𝑇 como uma função da renda 𝐼. 
𝑇(𝐼) =
0, 𝐼 ≤ 10.000
0,1𝐼, 10.000 < 𝐼 ≤ 20.000
0,15𝐼, 𝐼 > 20.0000
 
 
 
 
 
27. Os gráficos de 𝑓 e 𝑔 são mostrados a seguir. Verifique se cada função é par, ímpar ou nem par 
nem ímpar. Explique seu raciocínio. 
 
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
 R$- R$5.000,00 R$10.000,00 R$15.000,00 R$20.000,00 R$25.000,00 R$30.000,00 R$35.000,00
Alíquotas tributárias
 R$-
 R$500,00
 R$1.000,00
 R$1.500,00
 R$2.000,00
 R$2.500,00
 R$3.000,00
 R$3.500,00
 R$4.000,00
 R$4.500,00
 R$5.000,00
 R$- R$5.000,00 R$10.000,00 R$15.000,00 R$20.000,00 R$25.000,00 R$30.000,00 R$35.000,00
Impostos
(𝑎) 
A função 𝑓 não é par, pois para valores muito negativos ou muitopositivos não ocorre que a mesma imagem tenha dois domínios 
diferentes. Ela é ímpar, pois para cada valor de 𝑥 e sua respectiva 
imagem, a imagem de −𝑥 também tem o sinal oposto a 𝑦(𝑥). 
A função 𝑔 é par, pois para cada reta horizontal que corta o gráfico 
é possível ter duas intersecções diferentes com a mesma imagem, 
exceto quando 𝑥 = 0, o que não a descaracteriza como função 
par. Ela não é ímpar, pois toda a sua imagem é positiva. 
(𝑏) 
A função 𝑓 não é par, pois, embora ela possua para a mesma 
imagem domínios diferentes, os domínios que possuem a mesma 
imagem não tem o mesmo módulo. 
A função 𝑔 é par, pois para cada reta horizontal que corta o gráfico 
é possível ter duas intersecções diferentes com a mesma imagem, 
exceto quando 𝑥 = 0, o que não a descaracteriza como função 
par. Ela não é ímpar, pois toda a sua imagem é positiva. 
As duas funções não são ímpares, pois valores pequenos de 𝑥 tem 
suas respectivas imagens todas do mesmo sinal. 
 
28. Sobre funções pares e ímpares: 
 
(𝑎) Se o ponto (5, 3) estiver no gráfico de uma função par, que outro ponto também deverá estar 
no gráfico? 
Uma função é par se 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥). Logo 𝑓(5) = 𝑓(−5) implica que o gráfico contém o ponto 
(−5, 3). 
 
(𝑏) Se o ponto (5, 3) estiver no gráfico de uma função ímpar, que outro ponto também deverá 
estar no gráfico? 
Uma função é ímpar se 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). Logo 𝑓(−5) = −𝑓(5) implica que o gráfico contém o 
ponto (−5, −3). 
 
 
29. Uma função 𝑓 tem o domínio [−5, 5] e é mostrada uma parte do seu gráfico. 
 
 
(𝑎) Complete o gráfico de 𝑓 sabendo que 𝑓 é uma 
função par. 
(𝑏) Complete o gráfico de 𝑓 sabendo que 𝑓 é uma 
função ímpar. 
(𝑎) (𝑏) 
 
 
 
 
 
 
30. Determine se 𝑓 é par, ímpar ou nenhum dos dois. 
 
(𝑎) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥 + 1
 
 
𝑓(−𝑥) =
(−𝑥)
(−𝑥) + 1
= −
𝑥
𝑥 + 1
= −𝑓(𝑥) 
Função ímpar 
(𝑑) 𝑓(𝑥) = 𝑥|𝑥| 
 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)|−𝑥| = (−1)𝑥|𝑥| = −𝑓(𝑥) 
Função ímpar 
(𝑏) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥 + 1
 
 
𝑓(−𝑥) =
(−𝑥)
(−𝑥) + 1
=
𝑥
𝑥 + 1
= 𝑓(𝑥) 
Função par 
(𝑒) 𝑓(𝑥) = 1 + 3𝑥 − 𝑥 
 
𝑓(−𝑥) = 1 + 3(−𝑥) − (−𝑥) = 1 + 3𝑥 − 𝑥 
= 𝑓(𝑥) 
Função par 
(𝑐) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥 + 1
 
 
𝑓(−𝑥) =
−𝑥
−𝑥 + 1
= −
𝑥
1 − 𝑥
 
Nem par nem ímpar 
 
(𝑓) 𝑓(𝑥) = 1 + 3𝑥 − 𝑥 
 
𝑓(−𝑥) = 1 + 3(−𝑥) − (−𝑥) 
= 1 + 3(−1) 𝑥 − (−1) 𝑥 
= 1 + 3(−1)𝑥 − (−1)𝑥 = 
= 1 − 3𝑥 + 𝑥 
Nem par nem ímpar 
 
 
31. Se 𝑓 e 𝑔 são funções pares, 𝑓 + 𝑔 é par? Se 𝑓 e 𝑔 são funções ímpares, 𝑓 + 𝑔 é ímpar? O que 
se pode dizer se 𝑓 for par e 𝑔 for ímpar? Justifique suas respostas. 
 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) e 𝑔(𝑥) = 𝑔(−𝑥), então 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑓(−𝑥) + 𝑔(−𝑥). Logo, Se 𝑓 e 𝑔 são 
funções pares, 𝑓 + 𝑔 é par. 
 
Se 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) e 𝑔(−𝑥) = −𝑔(𝑥), então 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) e 𝑔(𝑥) = −𝑔(−𝑥). Isto significa 
que 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = −𝑓(−𝑥) − 𝑔(−𝑥) = − 𝑓(−𝑥) + 𝑔(−𝑥) . Assim, 𝑓(−𝑥) + 𝑔(−𝑥) =
− 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) . Logo, se 𝑓 e 𝑔 são funções ímpares, 𝑓 + 𝑔 é ímpar. 
 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) e 𝑔(−𝑥) = −𝑔(𝑥), que implica em 𝑔(𝑥) = −𝑔(−𝑥), então 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) =
𝑓(−𝑥) − 𝑔(−𝑥). Logo 𝑓 + 𝑔 não é par nem ímpar. 
 
32. Se 𝑓 e 𝑔 são funções pares, 𝑓𝑔 é par? Se 𝑓 e 𝑔 são funções ímpares, 𝑓𝑔 é ímpar? O que se 
pode dizer se 𝑓 for par e 𝑔 for ímpar? Justifique suas respostas. 
 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) e 𝑔(𝑥) = 𝑔(−𝑥), então 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) = 𝑓(−𝑥) × 𝑔(−𝑥). Logo, Se 𝑓 e 𝑔 são 
funções pares, 𝑓 × 𝑔 é par. 
 
Se 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) e 𝑔(−𝑥) = −𝑔(𝑥), então 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) e 𝑔(𝑥) = −𝑔(−𝑥). Isto significa 
que 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) = −𝑓(−𝑥) × −𝑔(−𝑥) = 𝑓(−𝑥) × 𝑔(−𝑥). Logo, se 𝑓 e 𝑔 são funções 
ímpares, 𝑓 × 𝑔 é par. 
 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) e 𝑔(−𝑥) = −𝑔(𝑥), que implica em 𝑔(𝑥) = −𝑔(−𝑥), então 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) =
𝑓(−𝑥) × −𝑔(−𝑥) = (−1) × 𝑓(−𝑥) × 𝑔(−𝑥). Assim, 𝑓(−𝑥) × 𝑔(−𝑥) = − 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) . 
Logo 𝑓 × 𝑔 é ímpar.