Luiz-Gonzaga-Aplicacao-do-Programa-Peise-para-a-Avaliacao-do-efeito-Tschebotarioff

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LUIZ GONZAGA DE SOUSA CONGUÊ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DO PROGRAMA PEISE PARA A AVALIAÇÃO DO EFE ITO 
TSCHEBOTARIOFF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORTALEZA 
2011 
 ii
 
LUIZ GONZAGA DE SOUSA CONGUÊ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DO PROGRAMA PEISE PARA A AVALIAÇÃO DO EFEITO 
TSCHEBOTARIOFF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Monografia submetida à Coordenação do 
Curso de Engenharia Civil da Universidade 
Federal do Ceará, como requisito parcial para 
obtenção do grau de Engenheiro Civil, em 
novembro de 2011. 
 
Orientador: Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORTALEZA 
2011 
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 iv
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico esta monografia aos meus pais, 
 
Sebastião de Souza Conguê e Maria da Conceição de Sousa Conguê. 
 
 v
AGRADECIMENTOS 
 
 
Os agradecimentos são em primeiro lugar a Deus, que permitiu e me deu 
disposição para terminar este curso e fazer o coroamento do mesmo com a elaboração desta 
monografia. 
 
Aos meus pais, Sr. Sebastião de Souza Conguê e a Sr.ª Maria da Conceição de 
Sousa Conguê, que mesmo não estando presentes no dia a dia da produção da monografia, me 
deram apoio nos momentos mais complicados. 
 
Aos Professores Joaquim Eduardo Mota e Magnólia Maria Campêlo Mota, o 
primeiro na condição de orientador da monografia e a Professora Magnólia pela assistência 
quando necessária, e também por compor a banca examinadora juntamente com o Professor 
Francisco Chagas da Silva Filho do Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental da 
Universidade Federal do Ceará. 
 
Agradeço ainda, a todos meus amigos que estiverem próximos a mim neste 
período de conclusão do curso. Quero enfatizar que eles foram pessoas fundamentais na 
produção deste trabalho com diálogos motivadores e construtivos. Não entrarei no mérito de 
agradecer nominalmente cada um deles, porque correria o risco de deixar alguém preterido. 
 
No mais, também concedo meus agradecimentos a todos os docentes da 
Universidade Federal do Ceará que foram meus professores nestes cinco anos e todas aquelas 
pessoas que contribuíram de forma direta ou indireta para a obtenção do título de Engenheiro 
Civil. 
 
 
 
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"Uma pessoa inteligente resolve um problema, um sábio o previne." 
 
Albert Einstein 
 
 vii
RESUMO 
 
Atualmente as fundações profundas do tipo estacas tem sido utilizadas em escala 
aumentada nas mais diversas situações, logo, a previsão do desempenho das mesmas em 
condições adversas deve ser realizada, justificando dessa forma, uma modelagem adequada 
conforme a situação. Uma variável que deve ser sempre considerada para o dimensionamento 
destes elementos estruturais é a interação solo-estrutura (ISE), que se trata de um item difícil 
de ser definido e mais ainda de ser explicado de forma concisa. Sob condições específicas de 
carregamento e imersas em solos moles, as estacas podem sofrer uma ação solicitante 
transversal proveniente da tendência de deslocamento do solo muito deformável no qual está 
inserida. Este fenômeno recebe o nome de Efeito Tschebotarioff, devendo ser considerado 
para o dimensionamento nas condições supracitadas, uma vez que a literatura registra 
episódios de estruturas que entraram em colapso total ou parcial devido a esta situação 
particular de interação solo-estrutura. Visando uma modelagem inovadora para a interação 
solo-estrutura, Mota (2009), desenvolveu, em seu doutorado, o código computacional PEISE 
(Pórtico Espacial com Interação Solo-Estrutura), capaz de considerar a superestrutura e 
infraestrutura como um todo sem abrir mão da interação solo-estrutura. Esta monografia é 
desenvolvida no contexto de verificar a capacidade do PEISE para a modelagem de situações 
nas quais pode ocorrer o Efeito Tschebotarioff. 
 
 
Palavras-chaves: Estacas,Interação solo-estrutura, Solos moles, Efeito Tschebotarioff, PEISE. 
 
 
 viii 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1.1 - Ilustração que mostra a situação típica de ocorrência do Efeito Tschebotarioff. .. 2 
Figura 2.1 - Outras situações do Efeito Tschebotarioff. Fonte: VELLOSO, 2010. ................. 11 
Figura 2.2 - OAE com fundações em estaca raiz na obra da Ferrovia Transnordestina (Serra 
Talhada – PE) com aterro a ser executado. .............................................................................. 12 
Figura 2.3 - Modelagem de uma estaca usada por Souza (2003). ............................................ 14 
Figura 3.1 - Modelo de equilíbrio da estrutura e maciço de solos (AOKI, 2004) apud (MOTA, 
2009). ........................................................................................................................................ 18 
Figura 3.2 - Deslocamentos de um elemento de barra nos sistemas global e local (MOTA, 
2009). ........................................................................................................................................ 18 
Figura 3.3 - Fluxograma de alimentação do sistema para a análise da interação solo-estrutura.
 .................................................................................................................................................. 19 
Figura 3.4 - Procedimento de Steinbrenner (1934) para solos estratificados. (Iwamoto, 2000) 
apud Mota (2009). .................................................................................................................... 23 
Figura 3.5 - Discretização da força unitária nos nós da estaca. (MOTA, 2009). ..................... 24 
Figura 3.6 - Esquema de transferência de carga da estaca para o solo. (CINTRA &AOKI, 
2010). ........................................................................................................................................ 25 
Figura 4.1 -Propostas de modelagem para esforços nas estacas segundo Tschebotarioff. Fonte: 
VELLOSO & LOPES, 2010. .................................................................................................... 28 
Figura 4.2 - Modelo para solução analítica das solicitações transversais sobre estacas imersas 
em solos moles. ........................................................................................................................ 29 
Figura 5.1–Corte esquemático da geometria do exemplo 1 para a consideração do 
EfeitoTschebotarioff. Cotas em metros. ................................................................................... 34 
Figura 5.2 - Representação da vista em planta com a disposição das estacas. ......................... 34 
Figura 5.3 - Modelagem proposta para análise do PEISE. Cotas em metros. .......................... 35 
Figura 5.4 - Diagramas de momento fletor, esforço cortante e deformada da estaca de acordo 
com a solução analítica proposta (da esquerda para a direita). ................................................ 36 
Figura 5.5 - Estaqueamento gerado pelo G-INFRA em perspectiva. ....................................... 39 
Figura 5.6 - Modelo de análise no PEISE do exemplo 2. Cotas em metros. ............................ 41 
Figura 5.7 - Vista em planta do estaqueamento do exemplo 2 com a numeraçãodas estacas. 42 
Figura 5.8 - Exemplo 2 em perspectiva com enumeração dos nós da estaca principal. ........... 43 
Figura 5.9 - Gráfico Nós da estaca X Deslocamentos dos nós para as soluções analítica e do 
PEISE. ...................................................................................................................................... 44 
Figura 5.10 - Maciço de solo usado para a consideração de estacas auxiliares com 8 metros de 
comprimento. Cotas em metros. ............................................................................................... 46 
 
 ix
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 5.1 - Módulo de Elasticidade (E) segundo Bowles (1977). (Fonte: FILHO, 2008). .... 31 
Tabela 5.2 - Valores para o Coeficiente de Poisson (µ) segundo Bowles (1977). (Fonte: 
FILHO, 2008). .......................................................................................................................... 31 
Tabela 5.3 - Resultados obtidos com a solução analítica de acordo com a modelagem proposta 
(l = 7m). .................................................................................................................................... 36 
Tabela 5.4 - Resultados obtidos com a solução analítica de acordo com a modelagem proposta 
(l = 4m). .................................................................................................................................... 37 
Tabela 5.5 - Valores de forças dissipadas em kN para o solo pelo fuste de cinco estacas 
auxiliares. .................................................................................................................................. 43 
Tabela 5.6 - Comparativo entre as soluções analíticas e do PEISE em termos de momentos 
fletores e deslocamentos transversais da estaca principal. ....................................................... 44 
 
 x
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1 
1.1 Justificativa .................................................................................................................. 2 
1.2 Hipótese ....................................................................................................................... 3 
1.3 Objetivos ...................................................................................................................... 3 
1.3.1 Objetivo geral ..................................................................................................... 3 
1.3.2 Objetivos específicos .......................................................................................... 3 
1.4 Metodologia ................................................................................................................. 4 
1.5 Estrutura da Monografia .............................................................................................. 4 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ..................................................................................... 6 
3 MODELAGEM DO PROBLEMA ................................................................................... 17 
3.1 Geometria do modelo ................................................................................................. 19 
3.1.1 G-SUPER ......................................................................................................... 19 
3.1.2 G-INFRA .......................................................................................................... 20 
3.2 Matriz de flexibilidade ............................................................................................... 20 
3.2.1 MINDLIN ......................................................................................................... 21 
3.3 Interação Solo-Estrutura (ISE) ................................................................................... 23 
3.3.1 PEISE ............................................................................................................... 25 
4 SOLUÇÃO ANALÍTICA DO PROBLEMA ................................................................... 27 
4.1 Carregamento ............................................................................................................. 27 
4.2 Solução ....................................................................................................................... 29 
5 EXEMPLOS ANALISADOS NO PEISE ........................................................................ 31 
5.1 Exemplo 1 .................................................................................................................. 32 
5.1.1 Solução Analítica .............................................................................................. 35 
5.1.2 Solução do PEISE ............................................................................................. 38 
5.2 Exemplo 2 .................................................................................................................. 40 
5.2.1 Solução Analítica .............................................................................................. 41 
5.2.2 Solução do PEISE ............................................................................................. 42 
5.2.3 Considerações da modelagem .......................................................................... 45 
6 CONCLUSÃO .................................................................................................................. 47 
6.1 Comentários ............................................................................................................... 47 
6.2 Sugestões ................................................................................................................... 49 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 50 
ANEXO A – Equações de Mindlin (1936) ............................................................................... 51 
 
 
 
 1
1 INTRODUÇÃO 
 
Qualquer conjunto estrutural necessita de elementos com a função de transmitir as 
cargas para o solo de maneira segura. Estes elementos são as fundações, que podem ser: 
diretas (superficiais) ou profundas, que são os termos usados frequentemente na literatura da 
engenharia estrutural/geotécnica. 
A prática em fundações profundas tem mostrado, ao longo dos anos, que sempre 
pode haver problemas que surpreendem a comunidade de engenheiros civis projetistas; na 
maioria das vezes o fator que pode levar a uma análise ou modelo equivocado, pode ser o não 
entendimento da situação e do assunto, acarretando um modelo não satisfatório do ponto de 
vista de desempenho, ou ainda mesmo por falta de dados coerentes que são decisivos para 
uma análise de qualidade e escolha da solução mais adequada. 
Estacas cravadas em maciços de solos moles, ou mesmo naqueles que possuírem 
solo de natureza estratificada, sendo pelo menos uma camada constituída por um solo com 
características mais deformáveis, podem apresentar um comportamento especialmente 
particular sob a ação de um carregamento assimétrico. 
Uma vez solicitado, o solo como outro material qualquer, tente a deformar-se. Em 
consequência da deformação, sobretudo daquelas camadas mais deformáveis, o solo tende a 
provocar um deslocamento de sua massa, logo as estacas podem funcionar como um 
empecilho ao deslocamento dessa massa de solo quando comprimida, em consequência 
submeterá as estacas a um carregamento transversal em profundidade. 
É importante entender que esse tipo de situação é usual quando o carregamento é 
assimétrico além do solo possuir propriedades físicas que o caracterizam como um material 
muito deformável. 
Visto que é conhecida a ação de tais esforços nestes elementos estruturais, deve-se 
levá-los em consideração quando do dimensionamento dos mesmos, de forma diferente do 
que acontece usualmente na prática: considerando apenas forças axiais para o 
dimensionamento de estacas.A referida problemática foi estudada de forma minuciosa, pela primeira vez, por 
Tschebotarioff, em 1962, devido a este fato, este fenômeno ficou conhecido, no meio 
geotécnico, como o efeito Tschebotarioff. A ilustração que segue, mostra um esquema que 
representa justamente a ideia de Tschebotarioff: 
 2
 
 
Figura 1.1 - Ilustração que mostra a situação típica de ocorrência do Efeito Tschebotarioff. 
 
1.1 Justificativa 
 
Devidos aos avanços tecnológicos das últimas décadas, tornou-se cada vez mais 
fácil usar os recursos computacionais para auxiliar a resolução de problemas, e mais 
particularmente no caso das engenharias, modelar o comportamento dos diversos sistemas 
estruturais existentes de um modo geral. Para o caso do presente estudo, e de posse de um 
programa computacional capaz de considerar a interação solo-estrutura (ISE), como é o caso 
do PEISE, a proposta de validar o desempenho do mesmo para um caso de solicitação 
específica, é o motivo fundamental que norteia e justifica plausivelmente o desenvolvimento 
desta monografia. 
 
 3
1.2 Hipótese 
 
Como o programa PEISE é concebido para representar o comportamento elástico 
de um maciço de solo estratificado quando submetido a ações verticais e horizontais 
transmitidas por estacas, acredita-se que o mesmo seja capaz de avaliar o comportamento de 
estacas submetidas a forças horizontais provenientes da aplicação de sobrecargas que tendem 
a deslocar maciços de solos moles. Em outras palavras, a hipótese é a de que o programa 
PEISE possa ser utilizado para avaliar o efeito Tschebotarioff. 
 
1.3 Objetivos 
 
Os objetivos desta monografia são subdivididos em Objetivo Geral e Objetivos 
Específicos. 
 
1.3.1 Objetivo geral 
 
O objetivo geral desta monografia é conhecer a capacidade que o programa PEISE 
tem em modelar o comportamento de estacas imersas em solos moles e submetidas a 
carregamentos transversais, a partir de um comparativo entre valores encontrados para 
esforços e deslocamentos segundo o PEISE, e os valores das soluções analíticas conhecidas 
na literatura. 
 
1.3.2 Objetivos específicos 
 
As etapas necessárias para o desenvolvimento desta monografia foram definidas 
como objetivos específicos a serem realizados: 
 
Realizar uma modelagem da problemática abordada com o auxílio do PEISE. 
Obter valores para esforços e deslocamentos com o auxílio do PEISE e compará-
los com os valores conhecidos na literatura. 
 
 4
1.4 Metodologia 
 
O presente trabalho tem fundamentação teórica em pesquisa bibliográfica. De 
posse deste estudo e com a visão da interação solo-estrutura, será feita uma modelagem para o 
caso específico de carregamento que estacas imersas em solos moles podem ser submetidas. 
A modelagem será feita com o auxílio do programa computacional PEISE 
(Pórtico Espacial com Interação Solo-Estrutura). Este programa foi desenvolvido pela Prof.ª 
Dr.ª Maria Magnólia Campelo Mota, vinculada ao Departamento de Engenharia Estrutural e 
Construção Civil – DEECC da UFC visando a obtenção do título de Doutora em Engenharia 
de estruturas no ano de 2009, na Escola de Engenharia de São Carlos. 
No código computacional desenvolvido, a estrutura é todo o conjunto formado 
pela superestrutura e pela estrutura de fundação. Na modelagem, é considerado o método dos 
elementos finitos e, na análise, é levada em conta a compatibilização geotécnica (MOTA, 
2009, p.26). 
O PEISE foi implementado inicialmente para o projeto de estruturas de concreto 
de edifícios de múltiplos andares, com fundação profunda, levando-se em conta a interação 
solo-estrutura. Neste modelo o maciço de solo é representado por um modelo geotécnico 
proposto por Aoki e Lopes, em 1975 (MOTA, 2009). No entanto, não foi feita a verificação 
do desempenho do programa para uma situação de solicitações transversais nos elementos de 
fundações profundas provenientes de sobrecargas adversas. 
A sequência do desenvolvimento do trabalho é simples e prática. O PEISE faz 
apenas análise de tensões e deformações, para a obtenção da geometria do problema, inserção 
das características dos solos no qual a estrutura está imersa e outros cálculos matemáticos 
necessários, serão usados os programas G-INFRA e MINDLIN, que serão posteriormente 
apresentados nesta monografia. 
 
1.5 Estrutura da Monografia 
 
Esta monografia apresenta-se dividida em 6 capítulos, sendo o primeiro capítulo 
com caráter introdutório, no qual a temática de desenvolvimento da monografia é 
devidamente apresentado. Justificativa, hipótese, objetivos e metodologia de 
desenvolvimento, são apresentados nesta ordem. 
 5
O segundo capítulo, que recebe o nome de Fundamentação Teórica, é onde a 
problemática da monografia começa a ser explorada de maneira mais profunda e científica, o 
texto deste capítulo apresenta como característica principal a presença constante de 
referências bibliográficas. 
O capítulo terceiro possui ainda fundamentação teórica, já que se mostrou 
necessária, mas neste capítulo, o ambiente de desenvolvimento do texto são os códigos 
computacionais a serem usados nas etapas da modelagem, com enfoque na explicação e 
funcionalidades de cada programa auxiliar. 
O quarto capítulo é relacionado com a solução analítica do modelo proposto para 
a obtenção de esforços e/ou deslocamentos máximos da estaca de acordo com suas 
propriedades de material e de geometria do problema. 
O quinto capítulo é o desenvolvimento da monografia propriamente dito, é neste 
capítulo que serão apresentados os exemplos que serão analisados com a consideração da 
interação solo-estrutura imposta pelo PEISE. 
O último capítulo é reservado aos comentários finais a respeito dos resultados 
obtidos com os exemplos feitos no capítulo quinto e, por último, sugestões de trabalhos 
futuros a serem desenvolvidos relacionados com o assunto abordado nesta monografia. 
 
 
 6
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
Qualquer estrutura por mais simples que seja, necessita de elementos que possuam 
a função de transmitir as cargas acumuladas para o solo. Estas estruturas especiais com a 
função de realizar esta transferência das cargas são chamadas de fundações. 
A literatura faz uma classificação bem clara para os tipos de fundações: 
superficiais e profundas. A diferença principal entre estes dois tipos de fundações é 
relacionada à profundidade que os mesmos ficam assentes ou ainda quanto mecanismo de 
transferência das cargas para o solo. 
A própria NBR 6122 (ABNT, 2010) – Projeto e execução de fundações, não deixa 
bem claro uma distinção entre os tipos de fundações profundas, apenas define o que é estaca, 
tubulão e caixão. O foco será mantido nas fundações do tipo profundas, sobretudo nas estacas, 
como será visto adiante. 
Para Velloso e Lopes (2010), as estacas podem ser divididas ou classificadas 
segundo diferentes critérios. Usualmente faz-se uma classificação quanto ao seu processo 
executivo ou ainda quanto ao seu material constituinte, que é também uma abordagem para 
este assunto muito parecida com a referenciada na NBR 6122 (ABNT, 2010) – Projeto e 
execução de fundações. 
Para o processo executivo, há duas possibilidades: estacas “de deslocamento” ou 
de “substituição”. Na categoria estacas de deslocamentos encaixam-se aquelas estacas 
também conhecidas como cravadas, pois há um deslocamento da massa de solo para a 
acomodação do corpo da estaca. Por outro lado, as estacas de substituição são também 
denominadas de escavadas, já que o solo presente no espaço que a estaca ocupará é escavado 
e em seguida removido, para que seja feita a substituição do solo original pela estaca. Não se 
deve esquecer que neste método executivo, em consequência do desconfinamento do solo, há 
uma redução nas tensões horizontais geostáticas, portanto uma resistência mínima do solo é 
desejável para que o procedimento seja bem sucedido. 
Dentre os materiais empregados nestes elementos estruturais,pode-se citar: 
madeira, aço, concreto ou estacas compostas por mais de um destes materiais (mistas). O 
material concreto lidera o ranking entre as possibilidades de pré-moldado ou moldado in situ. 
Uma vez conhecidas as possíveis soluções para um projeto de fundações, deve-se 
escolher a mais apropriada para o caso. Variáveis como a necessidade de ganho de tempo 
 7
operacional, espaço disponível em campo para a execução, soluções oferecidas no mercado 
local e até mesmo custos são fatores que podem decidir qual o tipo de solução a ser adotada, 
obviamente sempre levando em consideração o fator segurança como condicionador maior. 
No entanto, a escolha do tipo de fundação correta não é algo tão fácil como se 
pensa em alguns casos. O material com o qual se trabalha em obras de geotecnia é o solo; 
material que possui uma incrível variabilidade de suas propriedades em todas as direções 
devido ao seu mecanismo de formação ao longo da evolução do nosso planeta. 
Há ainda muitos outros agravantes em um projeto de fundações, dentre estes, um 
para o qual merece ser dada ênfase, é o elo que há entre os projetos Estrutural e Geotécnico. 
Segundo Velloso e Lopes (1997), em geral a estrutura é calculada assumindo a hipótese de 
apoios indeslocáveis, no entanto esta consideração pode não ser satisfatória ao longo da vida 
útil da estrutura, uma vez que o solo quando solicitado sofre deformações e em consequência, 
submeterá o conjunto estrutural a possíveis recalques diferenciais, dessa forma impondo a 
estrutura uma condição de equilíbrio não esperada que sequer foi concebida inicialmente no 
projeto estrutural. 
Uma nova configuração de equilíbrio para qualquer estrutura é uma situação 
indesejável, já que a partir da mesma, haverá mudanças no encaminhamento dos esforços no 
corpo de todo o conjunto estrutural. Na pior das hipóteses, um elemento estrutural 
dimensionado para um carregamento pode não resistir aos novos esforços adicionais e levar a 
estrutura a um colapso localizado ou mesmo generalizado. Para problemas deste tipo em 
fundações, as consequências são percebidas em toda a estrutura. 
Velloso e Lopes (1997 p. 2) destacam ainda, que o profissional que optar por 
trabalhar no desenvolvimento de projetos de fundações deve possuir uma vasta gama de 
conhecimentos em assuntos como origem e formação dos solos, classificação dos mesmos, 
percolação e resistência ao cisalhamento. O engenheiro geotécnico deve também, ainda que 
em um segundo plano, possuir entendimento de Cálculo Estrutural da mesma forma que o 
engenheiro calculista deve conhecer as premissas básicas de um projeto geotécnico. 
Ambos os autores afirmam que o alinhamento do profissional com esta área da 
engenharia é importante, pois o mesmo deve ser detentor de conhecimentos para dimensionar 
as estruturas de fundações e ainda ter a capacidade de avaliar o desempenho das mesmas em 
termos de deslocamento do maciço de solo, que é um fenômeno inevitável. 
 8
Seguindo este roteiro de considerações que devem ser feitas inicialmente para o 
entendimento da situação e uma possível concepção de modelo estrutural, tem-se que tanto as 
alternativas estruturais quanto o princípio das deformações do solo foram contempladas. O 
próximo passo, e não menos importante, é o estudo das características do solo, já que este será 
o agente receptor e distribuidor das forças para as camadas inferiores. 
Naturalmente deve-se possuir o máximo de informações acerca das propriedades 
do solo no qual as fundações serão inseridas, para tanto há a norma NBR 8036 (ABNT, 1983) 
– Programação de sondagens de simples reconhecimento dos solos para fundações de 
edifícios. Nesta norma há toda uma descrição de como deve ser feito a programação de 
sondagens com as exigências necessárias. Nesta programação estão incluídos o número, a 
localização e a profundidade das sondagens a serem executadas. 
Para obras civis de grande porte como no caso de pontes ou viadutos, por 
exemplo, profissionais que trabalham na área sugerem que sejam realizadas sondagens abaixo 
dos locais onde estacas ou se for o caso, os tubulões serão alocados. Acredita-se que desta 
forma, é possível obter-se uma precisão melhor das características do solo pontualmente, é 
claro, sem deixar áreas adjacentes sem sondagens, já que o conhecimento do solo nas 
vizinhanças é de grande importância para a previsão do comportamento do conjunto. 
Toda essa rotina de sondagens tem um objetivo único: conhecer o material solo. A 
justificativa para o motivo de tanta precaução para o estudo de fundações é mais bem 
entendida quando se pensa da seguinte forma: 
 
[...] o cumprimento dos formalismos da garantia da qualidade não significa que o 
desempenho esteja assegurado, pois um aspecto que diferencia um projeto de 
estrutura de um projeto de fundações é que, no primeiro, as características dos 
materiais de construção são definidas pelo projetista e, no segundo, se trabalha com 
o solo, que é um material não fabricado pelo homem. (VELLOSO, 1990 apud 
ALONSO, 1991, p. 3). 
 
Uma última consideração que deve ser feita para que um projeto de fundações seja 
bem sucedido, segundo Alonso (1991, p.5), é a relação harmoniosa que deve haver entre 
projeto, controle e execução, definida pelo mesmo como o tripé da boa fundação. 
Deve ser feito ainda, o acompanhamento de recalques da estrutura, sobretudo se 
houver alguma escavação de grandes proporções nas vizinhanças das fundações, por exemplo. 
Bauer, (1986) apud Souza & Ripper, (1988), enfatiza que tanto a resistência como a 
deformabilidade do terreno não são propriedades constantes, podendo vir a sofrer variações 
 9
apreciáveis ao longo do tempo em virtude da variação da umidade, de vibrações ou ainda ou 
ainda em construções executadas em sua vizinhança. 
Sendo sabido que o comportamento dos maciços de solos não é uma variável 
simples, modelar uma estrutura satisfatoriamente para resistir de forma segura a todos os 
esforços aos quais deve ser submetida ao longo de sua vida útil, pode tornar-se uma 
problemática difícil. Mas o sucesso do funcionamento idealizado do conjunto estrutural está 
intimamente relacionado com a concepção de projeto e esta depende ainda mais de 
amostragens colhidas em campo ainda com o objetivo de caracterização do solo. 
Alonso (1991, p. 3), relata que pouco adianta realizar ensaios e métodos de 
cálculo sofisticados, se as amostras utilizadas foram retiradas sem os necessários cuidados. 
Há historicamente, muitos relatos de obras de engenharia que foram mal 
sucedidas com problemas de patologia nas suas fundações, seja por falhas no processo 
executivo, erros na modelagem ou ainda ensaios realizados que obtiveram algum resultado 
viciado. Como exemplo pode-se citar a famoso caso da Torre de Pisa na Itália, a Catedral 
Metropolitana do México e, no Brasil, a construção de vários prédios sobre um solo bastante 
deformável na cidade de Santos em São Paulo. 
Todos estes exemplos que foram citados são devidos a sobrecargas em solos que 
possuem elevada capacidade de deformabilidade, portanto submetendo estruturas assentes 
sobre os mesmos a recalques diferenciais muitas vezes exagerados, podendo prejudicar o 
desempenho de uma estrutura em serviço ou ainda passar a ideia de insegurança. 
Outro tipo de solicitação recorrente entre obras de engenharia que possuem 
fundações do tipo profundas são aquelas provenientes de ações de tendência de deslocamento 
de uma massa de solo abaixo do nível do terreno natural. 
Da mecânica dos solos básica, sabe-se que quando há a aplicação de um 
carregamento vertical sobre uma massa de solo, esta tem a capacidade de transmitir tensões na 
direção ortogonal àquela do carregamento, provocando, dessa forma, uma tendência de 
deslocamento dessa massa de solo, uma vez que o solo além de confinado está também 
comprimido. 
 
Toda sobrecarga aplicada diretamente sobre um solo de fundação induz a tensõese 
deslocamentos no interior da massa de solo [...]. No caso de haver estacas nas 
proximidades da área carregada, estas se constituirão num impedimento à 
deformação do solo e, consequentemente ficarão sujeitas aos esforços dessa restrição 
(VELLOSO & LOPES, 2010, p.514). 
 
 10
A ideia de solicitações transversais em estacas é um aspecto que deve ser avaliado 
cautelosamente em alguns projetos específicos. O problema reside justamente no fato de esses 
esforços serem desprezados quando há grandes possibilidades de ocorrência. A presença de 
forças transversais agindo em estacas, por exemplo, implicam o aparecimento de esforços de 
flexão. A partir deste momento, percebe-se que a compreensão do funcionamento do conjunto 
estrutural como um todo, é necessária, sendo obrigatoriamente, a partir de agora, incluir a 
variável interação solo-estrutura no dimensionamento. 
O fato de esforços de flexão estarem presentes em elementos de fundações 
profundas do tipo estacas é algo indesejável, já que as estacas são projetadas concebendo a 
segurança estrutural e geotécnica levando em conta a capacidade de carga axial da estaca 
agindo com o solo, no sentido de transferir a carga ao solo por atrito lateral na interface de 
contato e depois quando a mesma começa a mobilizar a resistência de ponta. 
Com esta consideração, além da segurança que provém da capacidade de carga da 
estaca, esta também deve ser calculada para resistir a um possível esforço de flexão. A 
questão a ser levantada a partir deste momento é como se pode obter o valor desse momento 
fletor que possivelmente solicitará uma estaca ou um grupo de estacas. 
Com este raciocínio, em 1962, foi estudado pelo engenheiro civil russo 
Tschebotarioff, pela primeira vez, com um enfoque mais aprofundado, o efeito das ações 
horizontais sobre elementos de fundações profundas. Devido ao desenvolvimento dessa linha 
de estudo geotécnico, esta ação sobre elementos de fundações é conhecida na literatura como 
Efeito Tschebotarioff. 
No seu estudo, Tschebotarioff destacou a condição limite para a avaliação de 
esforços de flexão provenientes de uma sobrecarga assimétrica. 
Para esta condição, tem-se uma estaca cravada através de uma camada de argila 
mole e com elevada capacidade de deformação. No momento da cravação das estacas ou 
mesmo pouco tempo depois, esta camada de argila, não está em nenhuma hipótese 
comprimida, apenas deslocada e amolgada para que o corpo da estaca seja inserido. 
Em um segundo momento, que pode ser considerado como sendo a vida útil de 
uma obra, esta camada provavelmente sofrerá efeito de sobrecargas de uso. Como já foi 
observado antes, esta argila possui elevada capacidade de deformabilidade, o que acarretará, 
em consequência da aplicação da sobrecarga, um adensamento à medida que a água for 
 
expulsa dos seus vazios, no caso de ser uma argila saturada ou acomodação das partículas 
constituintes com redução do índice de vazios se for um solo não saturado.
A etapa de adensamento do depósito argiloso oca
vertical, que pode ser entendido na prática como uma redução na espessura da camada 
argilosa. Este fenômeno por fim, causará efeitos de flexão nas estacas ou linhas de estacas, 
uma vez que estas funcionarão como uma restrição ou uma contenção para a tendência de 
deslocamento que a camada de argila sofrerá.
De posse do histórico de sinistros em obras de engenharia que vieram à 
pode-se prever onde a possibilidade de ocorrência do fenômeno é recorrente.
Velloso e Lopes (2010) fazem uma lista das situações de projeto nos quai
dependendo do perfil geotécnico obtido em ensaios de sondagens, deve
para fins práticos. É válido destacar ainda que no caso de estacas muito próximas de áreas 
carregadas, além dos esforços horizontais, deve ser considerado também
negativo. 
Figura 2.1 - Outras situações do Efeito Tschebotarioff. Fonte: VELLOSO, 2010.
xpulsa dos seus vazios, no caso de ser uma argila saturada ou acomodação das partículas 
constituintes com redução do índice de vazios se for um solo não saturado.
A etapa de adensamento do depósito argiloso ocasionará um deslocamento 
entendido na prática como uma redução na espessura da camada 
argilosa. Este fenômeno por fim, causará efeitos de flexão nas estacas ou linhas de estacas, 
uma vez que estas funcionarão como uma restrição ou uma contenção para a tendência de 
e a camada de argila sofrerá. 
De posse do histórico de sinistros em obras de engenharia que vieram à 
se prever onde a possibilidade de ocorrência do fenômeno é recorrente.
Velloso e Lopes (2010) fazem uma lista das situações de projeto nos quai
dependendo do perfil geotécnico obtido em ensaios de sondagens, deve
para fins práticos. É válido destacar ainda que no caso de estacas muito próximas de áreas 
carregadas, além dos esforços horizontais, deve ser considerado também
Outras situações do Efeito Tschebotarioff. Fonte: VELLOSO, 2010.
11
xpulsa dos seus vazios, no caso de ser uma argila saturada ou acomodação das partículas 
constituintes com redução do índice de vazios se for um solo não saturado. 
sionará um deslocamento 
entendido na prática como uma redução na espessura da camada 
argilosa. Este fenômeno por fim, causará efeitos de flexão nas estacas ou linhas de estacas, 
uma vez que estas funcionarão como uma restrição ou uma contenção para a tendência de 
De posse do histórico de sinistros em obras de engenharia que vieram à ruína, 
se prever onde a possibilidade de ocorrência do fenômeno é recorrente. 
Velloso e Lopes (2010) fazem uma lista das situações de projeto nos quais, 
dependendo do perfil geotécnico obtido em ensaios de sondagens, deve-se considerar o efeito 
para fins práticos. É válido destacar ainda que no caso de estacas muito próximas de áreas 
carregadas, além dos esforços horizontais, deve ser considerado também o fenômeno do atrito 
 
 
Outras situações do Efeito Tschebotarioff. Fonte: VELLOSO, 2010. 
 12
A Figura 2.1 mostra situações clássicas de ocorrência do Efeito Tschebotarioff. 
a) armazém estaqueado apenas na periferia, o material armazenado é uma 
sobrecarga que é transmitida através das camadas de solo até a camada 
compressível, que se desloca lateralmente e pressiona as estacas 
periféricas; 
b) tanque de armazenamento de fluidos assim como o caso anterior com 
estacas dispostas apenas perifericamente; 
c) muros de arrimo sobre estacas ou encontro de pontes; 
d) aterro de acesso a pontes. 
A Figura 2.2 mostra uma situação prática, que dependendo do maciço de solo no 
qual a fundação está inserida, é passível de ocorrência do Efeito Tschebotarioff. 
 
Figura 2.2 - OAE com fundações em estaca raiz na obra da Ferrovia Transnordestina (Serra Talhada – PE) com 
aterro a ser executado. 
Segundo Aoki (1970), para este tipo de solicitação em estacas, é possível elencar 
uma série de fatores que são variáveis a serem consideradas quando da obtenção dos esforços 
em uma modelagem para a problemática. Entre outros fatores, a distribuição das pressões 
laterais em estacas é função de: 
a) altura do aterro e peso específico do material utilizado (para o caso de 
aterros), para o caso geral referencia-se a intensidade da sobrecarga; 
b) características da argila; 
c) rigidez das estacas; 
 13
d) geometria do estaqueamento; 
e) distância das estacas ao pé do aterro; 
f) interação das sucessivas linhas de estacas e o terreno; 
g) variação ao longo do tempo. 
Com relação ao fator tempo, convém ressaltar que a situação logo após a atuação 
da sobrecarga pode não ser a pior. Não é possível estabelecer, a priori, qual dessas influências 
irá ditar o dimensionamento do conjunto. É possível que a fundação seja capaz de resistir 
durante certo tempo e que, após algum período, apresente problemas. (DE BEER & 
WALLAYS, 1972 apud VELLOSO & LOPES, 2010). 
Muitos trabalhos foram publicados com o objetivo de explicar este tipo de 
solicitação e a forma mais adequada de modelar a mesma.A grande maioria dos interessados 
no assunto não tinha, na maioria das vezes, uma bibliografia para recorrer em termos de 
embasamento científico ou especificações normatizadas, o que levou uma série de 
pesquisadores a fazerem ensaios práticos e muito parecidos com situações recorrentes desse 
tipo de carregamento. 
O trabalho de Tschebotarioff foi sem dúvida, um marco nas pesquisas para esta 
área específica, pois a partir daí muitos outros pesquisadores mostraram interesse em modelar 
esta situação de carregamento para estacas, e uma primeira conclusão que pode ser tirada para 
os que se iniciam em pesquisas nessa área, é que este não é um problema fácil de ser 
resolvido. 
 
Tschebotarioff (1962) levantou vários casos de muros de arrimo sobre estacas que 
apresentaram problemas de flexão e até ruptura das estacas. O autor admitiu que a 
magnitude e a distribuição de pressões laterais provenientes de uma sobrecarga 
unilateral em estacas que atravessam camadas de argila mole eram difíceis de 
determinar, uma vez que não dispunha ainda de resultados de instrumentação. 
(VELLOSO & LOPES, 2010 p. 517). 
 
Quanto às condições de apoio, espera-se que o projetista tenha em mente qual o 
modelo que mais se aproxime da realidade, dado que o mesmo possui informações a respeito 
de parâmetros de resistência do solo com embasamento em ensaios de campo ou de 
laboratório. 
Mesmo com as sugestões de Tschebotarioff, é possível que mudanças no modelo 
sejam inseridas conforme a situação em questão. Souza (2003) sugeriu uma modelagem 
modificada (Figura 2.3) para o estudo da ruptura de estacas de um prédio de quatro andares 
 14
mais térreo construído em alvenaria estrutural localizado no litoral norte do estado de São 
Paulo. 
 O modelo adotado para o cálculo considerou a estaca engastada na base e 
apoiada em base elástica (K = 3000 kN/m) à meia altura do aterro (SOUZA, 2003 p. 65). 
 
Figura 2.3 - Modelagem de uma estaca usada por Souza (2003). 
Supõe-se que para estas modificações, Souza possuía pleno conhecimento das 
condições anteriores ao colapso da estrutura. Provavelmente a sugestão de um apoio elástico 
ao invés do engaste como sugerido por Tschebotarioff em sua proposta, seja devido à viga 
baldrame, onde as estacas encontravam-se ligadas, não serem suficientemente rígidas ao 
ponto de garantir o engaste hipotético e a estaca possuir uma extensão dentro de um aterro, 
quanto à ponta da estaca, a mesma deveria ser passante além do topo rochoso para que a 
hipótese de engaste seja garantida. 
No entanto, outros autores também deram sua contribuição para o 
desenvolvimento deste problema, e tal como Tschebotarioff, tem suas formulações para 
obtenção dos esforços transversais nas estacas. 
Outro autor que também possui uma série de publicações com outros 
colaboradores relacionadas com a problemática abordada é De Beer. Em sua proposta, De 
Beer procura associar a carga solicitante de estacas com a sobrecarga aplicada. Este autor faz 
referências às tensões de cisalhamento na massa de solo e ainda ao fator de segurança global. 
Segundo De Beer & Wallays (1972), apud Velloso & Lopes (2010), quando a 
sobrecarga (�) é uniforme, a pressão horizontal (�) nas estacas é igual à sobrecarga atuante 
equação (2.1); por outro lado se a sobrecarga lateral não for uniforme, mas definida por um 
talude, um fator de redução pode ser introduzido, conforme mostra a equação (2.2). 
 
 15
qp= (2.1) 
 
2'2
2'
ϕπ
ϕα
−
−
=f (2.2) 
 
De forma que a equação para obtenção da carga horizontal solicitante é ponderada 
pelo fator f : 
 
fqp = (2.3) 
 
Na formulação do fator de redução, α é o ângulo de um talude fictício proposto 
pelo autor e φ� é o ângulo de atrito do solo. A pressão obtida pode ser multiplicada pela 
largura ou diâmetro da estaca. 
Vários outros engenheiros e pesquisadores, com o objetivo de possuírem dados 
experimentais para um dimensionamento seguro, fizeram ensaios de cravação de estacas em 
solos com o comportamento tendencioso a deformações de adensamento quando submetidos a 
uma sobrecarga assimétrica. Pode-se destacar o trabalho experimental realizado pela empresa 
Pieux Franki em 1963 em Zezalte, Bélgica, e o estudo de Ratton em 1985. 
O grupo Estacas Franki estava interessado em saber qual a influência da 
sobrecarga oriunda do armazenamento de placas de aço nas fundações próximas da obra de 
uma Siderúrgica. Para tanto, cravou estacas de diferentes materiais e características 
geométricas a uma distância de 1,30 m de uma estrutura de arrimo capaz de conter um aterro 
de areia com 16 metros de altura. O objetivo da construção deste aterro foi simular a carga das 
placas que seriam armazenadas nos galpões da siderúrgica em breve. O trabalho do grupo 
consistiu em fazer o monitoramento do comportamento de uma linha de estacas cravadas nas 
proximidades da estrutura de arrimo. 
Ratton (1985), apud Velloso & Lopes (2010), usou um modelo tridimensional 
com fundamentação no Método dos Elementos Finitos, portanto tende naturalmente a ser uma 
modelagem mais refinada em termos de aproximação com a realidade. Além de 
tridimensional, o estudo de Ratton levou em consideração a presença de mais de uma linha de 
 16
estacas e propôs um maciço de solo estratificado com três camadas de solo com propriedades 
distintas, sendo a camada intermediária a mais deformável. 
Mais informações acerca do modelo escolhido para análise dos esforços e dos 
deslocamentos em fundações profundas submetidas e este tipo de solicitação, serão 
apresentadas e discutidas nos capítulos quarto e quinto deste trabalho. No capítulo quarto 
também é apresentada a solução analítica para o problema. 
 
 17
3 MODELAGEM DO PROBLEMA 
 
Os problemas de engenharia, de um modo geral, sempre envolvem, na maioria dos 
casos, muitas variáveis complexas. Com o objetivo de conseguir prever ou estimar o 
comportamento de um determinado conjunto sujeito à condições específicas, existe a 
modelagem. 
O problema que segue, a partir do momento em que a modelagem é escolhida, é 
verificar se o modelo é conveniente e tem capacidade de expressar os efeitos sobre o sistema. 
O número de variáveis, os tipos de variáveis e seus domínios de valores possíveis de assumir, 
podem ser decisivos para uma sugestão de análise de um modelo estudado. 
Tem-se ainda como fator decisivo para o sucesso de uma modelagem, a escolha 
das variáveis a serem consideradas. Como foi dito anteriormente, há muitas variáveis 
complexas, nem sempre é possível a consideração do efeito de todas. A dualidade do 
problema volta-se agora, para além da escolha das variáveis a serem consideradas, também 
para os efeitos que desprezar um parâmetro de análise pode influenciar. Deve-se interpretar a 
expressão “desprezar um parâmetro”, como fazer uma simplificação. 
Para esta tomada de decisão deseja-se que o profissional possua conhecimento ou 
experiência prática, ou mesmo ainda que pesquise na literatura a respeito da problemática. Se 
não for possível uma fundamentação com referências bibliográficas consagradas, deseja-se 
que o pesquisador faça um comparativo entre as possíveis combinações e até mesmo 
calibragens para o melhoramento do modelo. 
Segundo Aoki & Cintra (2004), apud Mota (2009), há alguns modelos possíveis 
para a análise da interação solo-estrutura. A diferença entre estes modelos diferem entre si na 
concepção de contorno dos mesmos. 
O PEISE adota para o estudo da interação solo-estrutura, o modelo que concebe 
dois corpos em equilíbrio: a estrutura reticulada incluindo a infraestrutura, possuindo 
contorno limitado pela superfície dos elementos estruturais de fundação, que recebe o nome 
de estrutura, e o maciço de solo, cujo contorno é a superfície dos elementos estruturais de 
fundações e o maciço indeslocável. A Figura 3.1mostra como o modelo pode ser melhor 
entendido. 
 18
 
 
Figura 3.1 - Modelo de equilíbrio da estrutura e maciçode solos (AOKI, 2004) apud (MOTA, 2009). 
O modelo é entendido como um pórtico espacial, e discretizado em elementos de 
barra, portanto, cada elemento apresentará seis graus de liberdade por nó, sendo três 
translações e três rotações. 
A figura seguinte representa, de forma genérica, os deslocamentos associados com 
um elemento de barra tridimensional do pórtico. 
 
Figura 3.2 - Deslocamentos de um elemento de barra nos sistemas global e local (MOTA, 2009). 
 19
3.1 Geometria do modelo 
 
A modelagem de uma determinada situação requer algumas etapas. A primeira 
destas etapas é a montagem da geometria do problema dada uma situação prática de interesse. 
Para a obtenção da geometria, é necessário criar um arquivo de dados que pode 
ser editado no programa mais simples de texto (no caso do Windows, o bloco de notas), com 
as extensões adequadas e compatíveis com o sistema desenvolvido. 
O objetivo deste arquivo de texto é alimentar os programas G-INFRA e G-
SUPER, de acordo com a complexidade do problema em análise. 
A base para o entendimento da forma que o sistema desenvolvido funciona, segue 
uma rotina constante segundo o fluxograma abaixo: 
 
Figura 3.3 - Fluxograma de alimentação do sistema para a análise da interação solo-estrutura. 
 
3.1.1 G-SUPER 
 
Nesta modelagem, toda a estrutura reticulada que fica aparente acima da cota do 
terreno natural ou aterrado, por exemplo, lajes, vigas e pilares de um prédio, é entendida como 
superestrutura. O G-SUPER visa realizar uma modelagem adequada da geometria do 
problema. 
 20
Implementado para realizar a leitura de um arquivo inicial, que é feito pelo 
próprio usuário, o G-SUPER proporciona três arquivos de saída. Falando de um modo geral, 
estes arquivos são relacionados com a geometria do problema, no que diz respeito a nós e 
elementos da estrutura, outro arquivo relacionado com material empregado e tipos de seções e 
um arquivo do tipo .dxf. Este arquivo contém um desenho esquemático da geometria do 
problema e pode ser visualizado no Auto Cad, tornando dessa forma, a modelagem mais 
didática. 
 
3.1.2 G-INFRA 
 
O programa G-INFRA segue as mesmas diretrizes do G-SUPER, a diferença entre 
ambos, é a parte da edificação, se for o caso, que cada um dos programas modela. O G-
INFRA gera exclusivamente geometria para elementos estruturais de fundação (estacas) e 
blocos de coroamento. 
Para o caso específico de blocos de coroamento, serão definidos por um reticulado 
plano, composto por barras rígidas interligando o topo das estacas e o pilar correspondente. 
(MOTA, 2009 p. 54). 
Os arquivos gerados pelo G-INFRA são correspondentes aos gerados pelo G-
SUPER, a única diferença, é que o G-INGRA gera informações relacionadas com a 
infraestrutura ou subestrutura, ou seja, com a fundação propriamente dita. Oarquivo .dxf 
gerado, possui o esquema do estaqueamento. 
 
3.2 Matriz de flexibilidade 
 
O modelo adotado, que tem como fundamento básico a discretização da estrutura, 
que é por definição, uma aplicação direta do consagrado Método dos Deslocamentos. Neste 
método, a obtenção das matrizes de rigidezes de cada elemento é necessária para que a 
montagem da matriz de rigidez global da estrutura seja possível. 
Seguindo os princípios do método, a equação (3.1) deve ser obedecida. 
 
���	
� � 	
� (3.1) 
 21
 
Onde: 
�K� é a matriz de rigidez global da estrutura; 
	u� é o vetor de deslocamentos nodais no sistema global da estrutura; 
	F� é o vetor das forças nodais externas aplicadas. 
A consideração do maciço de solos como um material elástico linear, permite que 
uma matriz de rigidez que associe deslocamentos e forças no seu interior seja determinada. 
A matriz de rigidez do solo é obtida com a inversão de matriz de flexibilidade do 
solo (MOTA, 2009). Para a obtenção da matriz de flexibilidade, são usadas as equações de 
Mindlin, para meio contínuo, homogêneo, isótropo e semi - infinito. 
 
3.2.1 MINDLIN 
 
De forma resumida, os estudos de Mindlin (1936), apud Mota (2009), permitem o 
cálculo de deslocamentos provocados em qualquer ponto de um meio semi-infinito 
considerado, provocados devido a uma aplicação de uma carga pontual vertical e horizontal 
em outro ponto do mesmo meio, desde que seja possível fazer a localização relativa entre 
estes pontos no mesmo meio. 
Os deslocamentos são obtidos por equações matemáticas analíticas em função da 
disposição geométrica do ponto de interesse de cálculo do deslocamento, e o ponto de 
aplicação das cargas. As equações matemáticas usadas para a obtenção dos deslocamentos do 
maciço de solo para a montagem da matriz de flexibilidade do solo são apresentadas no 
Anexo A. 
Para esta etapa do processo de modelagem, é usado o programa MINDLIN, cujo 
objetivo é a obtenção da matriz de flexibilidade do solo, admitidas as hipóteses mencionadas. 
Nesta etapa, as propriedades e características dos solos (no caso de mais de uma camada de 
solo) são dados de entrada para o MINDLIN, já que haverá cálculos de deslocamentos no 
interior do maciço. 
A matriz de flexibilidade obtida com este programa, que possui o mesmo nome do 
idaelizador das equações, é armazenada em um arquivo de texto, para posteriormente ser 
invertida no PEISE. 
 
 22
A matriz de flexibilidade é montada percorrendo-se todos os nós da discretização da 
estrutura, comuns ao solo e às estacas, e na sequência de numeração global dada aos 
nós das estacas. Para cada nó da estaca são considerados três graus de liberdade, 
correspondentes aos deslocamentos nas direções x, y e z. Os graus de liberdade 
correspondentes às rotações não foram considerados na montagem da matriz de 
flexibilidade do solo. (MOTA, 2009, p. 72-73). 
 
Como dito anteriormente, as equações de Mindlin calculam os deslocamentos em 
qualquer ponto de um maciço de solo sendo quando aplicada uma carga em um segundo 
ponto para coordenadas conhecidas, no entanto, não se deve esquecer que Mindlin parte do 
princípio que o meio estudado, para este caso o maciço de solo, trata-se de um meio semi-
infinito. 
Para o caso de maciços com mais de uma camada de solo diferentes entre si, Aoki 
e Lopes (1975) apud Mota (2009), sugerem adotar o processo de Steinbrenner (1934). Neste 
processo, o recalque pode ser obtido a partir da consideração de espessura infinita, obtendo-se 
o recalque pela diferença entre os recalques calculados no ponto em estudo e no ponto onde a 
superfície é considerada indeslocável. A Figura 3.4, mostra esquematicamente o raciocínio de 
Steinbrenner (1934), para o cálculo do recalque nas estacas imersas em maciços 
estratificados. 
Para a disposição de camadas de solo apresentada na Figura 3.4, primeiro calcula-
se o recalque no nível do indeslocável e depois no topo da camada 2, admitindo-se que todo o 
solo do indeslocável para cima seja do mesmo material da camada 2. O recalque dessa 
camada será a diferença entre os valores calculados, uma vez que do topo da camada 2 para 
cima inicia-se a camada 1. 
Faz-se necessário então, o cálculo do recalque da camada 1. Fazendo do topo da 
camada 2, já com seu recalque calculado, como superfície indeslocável para a camada 1, 
aplica-se o procedimento feito anteriormente na camada 2, obtendo-se dessa forma o recalque 
devido a camada 1. 
 23
 
Figura 3.4 - Procedimento de Steinbrenner (1934) para solos estratificados. (Iwamoto, 2000) apud Mota (2009). 
O recalque devido às camadas de solo no nível de aplicação do carregamento é 
obtido superpondo-se os recalques calculados para cada uma das camadas. Este raciocínio 
pode ser estendido para o caso em que existam várias camadas de solo antes do indeslocável. 
Por último vale salientar que a deformação axial da estaca também é considerada, 
de forma que trata-se de uma deformação elástica, podendo ser calculada pela equação de 
Hooke a partir do diagrama de esforço normal da estaca considerada. 
Para o recalque da camada 2, considera-se que todoo material sobrejacente à 
mesma é de mesma natureza que a sua, quando na verdade, trata-se de uma camada de solo 
diferente (camada 1), este artifício é empregado para que as equações de Mindlin possam ser 
aplicadas no maciço, já que as mesmas consideram o solo como material elástico, homogêneo 
e isotrópico. 
Outra simplificação para tornar o modelo compatível com as equações de 
Mindlin, e tornar possível o cálculo dos deslocamentos em cada nó de aplicação das forças 
unitária horizontal e vertical, ambas foram consideradas divididas em quatro partes iguais de 
0,25. Cada fração da força unitária foi aplicada segundo a Figura 3.5. 
 
3.3 Interação Solo-Estrutura (ISE) 
 
A interação solo-estrutura não é um assunto fácil de ser entendido tampouco 
modelado. Deve-se entender que o comportamento que há na interface maciço-estrutura, não 
 24
é constante, e varia ao longo dos anos e em função de parâmetros externos ao conjunto, por 
exemplo, interferências da vizinhança. 
Dado que o processo de formação dos maciços de solos nos quais as fundações 
encontram-se imersas, data desde o início da formação do planeta, ao longo de milhões de 
anos e a partir da ação de intempéries, justifica-se que um estudo com maior significância seja 
feito no sentido de considerar as particularidades que podem aparecer na vida útil de uma 
fundação. 
A compreensão do mecanismo de transferência de carga para o solo de uma estaca 
vertical isolada sujeita a uma carga axial de compressão estática, atravessando as diferentes 
camadas de solos que compõe o maciço, é o primeiro passo para o estudo do caso geral de 
interação estrutura - maciço de solos. (AOKI, 1997). 
Situações práticas muitos exploradas no campo da recente engenharia geotécnica 
são os casos de ocorrência do Atrito Negativo e das solicitações transversais em estacas, este 
último tópico, objeto específico de estudo desta monografia. 
 
Figura 3.5 - Discretização da força unitária nos nós da estaca. (MOTA, 2009). 
 
 
 
 25
3.3.1 PEISE 
 
No âmbito da consideração da interação solo-estrutura dita, é apresentado o 
PEISE. Como já foi dito anteriormente, já que o caso solicitações transversais sobre estacas 
imersas em solos moles ou Efeito Tschebotarioff, trata-se de um caso de interação solo-
estrutura, o código computacional desenvolvido pela Prof.ª Magnólia, deve se mostrar capaz 
de modelar tal situação, conforme hipótese norteadora deste trabalho. 
No mesmo contexto, Cintra & Aoki (2010), relataram uma simplificação que pode 
ser considerada no mecanismo de transferência de carga vertical da estaca para o maciço: 
primeiro todo o atrito lateral é mobilizado no fuste da estaca, para que, somente em seguida, 
haja mobilização da resistência de ponta. 
Imaginando uma estaca subdividida em segmentos verticais, em cada um deles 
atua um atrito lateral local, de valor variável ao longo da estaca, em função das características 
geotécnicas das diferentes camadas e sua profundidade. (CINTRA &AOKI, 2010). 
 
Figura 3.6 - Esquema de transferência de carga da estaca para o solo. (CINTRA &AOKI, 2010). 
AFigura 3.6, mostra de forma explicada, que após a mobilização do todas as 
parcelas de atrito lateral (rL), ao longo da estaca, será dado início a mobilização da resistência 
de ponta do elemento estrutural (rP), de forma que P2 > P1. 
 26
Para esta etapa final de análise da modelagem, o material a ser usado na estrutura 
deve ser escolhido assim como suas propriedades geométricas de cada elemento. Dados 
obtidos a partir de todos os programas utilizados até o momento se fazem necessários. 
De posse dos arquivos que contem toda a geometria do problema, desde as 
fundações até o reticulado da superestrutura, se for o caso, das propriedades de todas as 
camadas de solo e do material escolhido para a estrutura, o PEISE pode ser alimentado. 
A resposta do problema então é obtida em termos de deslocamentos e esforços 
para cada um dos nós do modelo empregado. Faz-se necessário, a partir deste ponto, a 
interpretação correta dos valores calculados e assimilar os valores de cada nó com o auxílio 
do desenho do tipo .dxf gerado nas etapas anteriores da modelagem. 
 
 27
4 SOLUÇÃO ANALÍTICA DO PROBLEMA 
 
4.1 Carregamento 
 
Em seu modelo de determinação de esforços provenientes de solicitações 
transversais em estacas, Tschebotarioff recomenda a utilização de um diagrama triangular de 
pressões agindo na estaca do lado de aplicação da sobrecarga (ALONSO, 1989 p. 107). 
Nesse modelo, há solicitações transversais apenas na parte correspondente a 
espessura da camada de solo compressível, sendo que a máxima intensidade deste 
carregamento ocorre na metade da espessura da camada de argila. Este valor pode ser obtido a 
partir da equação: 
 
 H.B.K.=h γP (4.1) 
 
Onde: 
B é a largura ou diâmetro da estaca; 
K é o coeficiente de empuxo; 
γ é o peso específico do material do aterro; 
H é a altura da camada de aterro. 
O coeficiente de empuxo, �, para um depósito normalmente adensado e não 
amolgado pode ser tomado como 0,4 ou 0,5 (VELLOSO & LOPES, 2010 p. 517). 
Velloso e Lopes (2010) recomendam o uso de 2B ao invés de B, como está na 
equação (4.1), considerando que a faixa de solo envolvida no empuxo da estaca tem uma 
largura de duas vezes a largura da estaca. A equação a ser usada, segundo Velloso e Lopes 
(2010), passaria a ser então: 
 
 H.2.B.K.=h γP (4.2) 
 
Além do carregamento, que segundo vários autores, é a parte mais complexa deste 
problema, tem-se ainda por definir as condições de apoio para as estacas. Tschebotarioff apud 
Velloso e Lopes (2010) sugeriu duas condições de apoios distintas: uma primeira seria a 
hipótese de a estaca engastar-se no bloco; na segunda hipótese, a estaca não poderia ser 
 28
engastada no bloco, estando, em ambas as situações, a estaca rotulada na parte inferior. A 
figura 4.1 mostra a idéia de Tschebotarioff em termos de modelagem: 
 
 
Figura 4.1 -Propostas de modelagem para esforços nas estacas segundo Tschebotarioff. Fonte: VELLOSO & 
LOPES, 2010. 
Com os valores de cargas calculados, segundo as propostas de Tschebotarioff 
apud Velloso e Lopes (2010), a próxima etapa para uma análise dos esforços, deve ser a 
imposição das condições de apoio. Este assunto, já foi abordado no capítulo segundo desta 
monografia. 
Visto que duas possibilidades são possíveis, sendo a diferença entre ambas apenas 
a consideração de engaste perfeito da estaca no bloco, algumas observações qualitativas 
podem ser feitas. 
Ao se considerar a estaca engastada no bloco, aparecerá momento negativo na 
parte superior da estaca, ao passo que se esta hipótese for descartada, este momento não 
existirá. Também é possível afirmar que a consideração de engaste na parte superior, levará 
ao cálculo de momentos fletores com valores menores, no trecho em contato com o solo, do 
que os momentos fletores que seriam calculados considerando a estaca birrotulada. 
Para este trabalho, a rigidez do bloco de fundação ou de coroamento será 
considerada, de forma que a mesma será interpretada no modelo da análise através de uma 
vinculação na qual a rotação é impedida, mas o deslocamento na direção de ação do 
carregamento transversal à estaca é livre. 
Outra consideração que poderia ser feita, quanto à modelagem a ser adotada, seria 
considerar, na ligação bloco-estaca, a existência de um apoio elástico, tal como fez Souza 
(2003). Tal hipótese justifica-se, quando se imagina que o bloco não é tão rígido ao ponto de 
 29
garantir o engaste perfeito, tampouco tão flexível para ser considerada, neste ponto, uma 
vinculação incapaz de absorver qualquer parcela de carga transversal. 
Analisando o problema por este lado, a etapa seguinte seria obter o valor da 
constante de deformação para este apoio elástico. 
 
4.2 Solução 
 
Dentre as possibilidades para as vinculações de apoio para a estaca, o modelo com 
o qual foi trabalhado, para soluçãoanalítica da mesma, em termos de obtenção de momentos 
fletores e deslocamentos, é apresentado conforme Figura 4.2. 
 
Figura 4.2 - Modelo para solução analítica das solicitações transversais sobre estacas imersas em solos moles. 
Nesta sugestão de modelagem, L é a espessura da camada de solo mole e p é o 
valor da força no ponto médio de L segundo a equação 4.2. 
A solução analítica para quaisquer valores de L e p, com a geometria segundo a 
Figura 4.2, fornece os seguintes valores para as reações de apoio: 
 
)(
2
pL
=H B kN (4.3) 
 30
 
)(
4
pL
=M
2
A kNxm (4.4) 
 
O valor para a reação vertical (VB) é, neste caso, o próprio valor da reação 
proveniente do pilar associado com o bloco de fundação, enquanto que o apoio A, é incapaz 
de absorver qualquer esforço transversal em relação ao eixo da estaca, sendo ainda, o mesmo, 
livre para deslocar-se horizontalmente. A rigidez do bloco é considerada com a restrição da 
rotação no apoio A. 
Para esta geometria, o valor do momento máximo ocorre em A e é o valor da 
própria reação MA. O deslocamento máximo da estaca ocorre também neste ponto, e vale: 
 
)(
EI
0,109375pL
=
4
max. mδ (4.5) 
 
Na equação 4.5, EI é a rigidez à flexão da estaca considerando o eixo no qual a 
mesma atua. 
Para situações em que a camada de solo mole possui uma localização diferente do 
proposto no modelo, considerações específicas devem ser feitas e a análise deve ser pensada 
de modo a ficar condizente à situação de interesse. 
 
 
 
 31
5 EXEMPLOS ANALISADOS NO PEISE 
 
Com o objetivo de ter conhecimento da capacidade do PEISE de modelar a 
situação de estacas submetidas a esforços transversais oriundos de sobrecargas assimétricas, 
serão analisados dois exemplos. Cada exemplo será apresentado detalhadamente no 
desenvolvimento deste capítulo. 
Para a consideração da interação solo-estrutura, valores para o Módulo de 
Elasticidade do solo (E) e Coeficiente de Poisson (µ) foram adotados conforme sugere Bowles 
(1977) apud Filho (2008) de acordo com o tipo de solo. 
Tabela 5.1 - Módulo de Elasticidade (E) segundo Bowles (1977). (Fonte: FILHO, 2008). 
TIPO DE MATERIAL 
Es em kg/cm2 
Bowles (1977) 
Argila muito mole 3- 30 
Argila mole 20- 40 
Argila média 45- 90 
Argila dura 70- 200 
Argila arenosa 300- 425 
Silte 20- 200 
Areia siltosa 50- 200 
Areia fofa 100- 250 
Areia compacta 500- 1000 
Areia e pedregulho fofo 500- 1400 
Areia e pedregulho compacto 800- 2000 
 
 
Tabela 5.2 - Valores para o Coeficiente de Poisson (µ) segundo Bowles (1977). (Fonte: FILHO, 2008). 
TIPO DE MATERIAL µ 
Argila saturada 0,40- 0,50 
Argila não saturada 0,10- 0,30 
Argila arenosa 0,20- 0,30 
Silte 0,30- 0,35 
Areia densa 0,20- 0,40 
Areia grossa 0,15 
Areia fina misturada 0,25 
Rocha, dependendo do tipo 0,10- 0,40 
Concreto 0,15 
 
 
Filho (2008), afirma que a obtenção dos referidos parâmetros de resistência dos 
solos são, na maioria das vezes, é fundamentada a partir de correlações que tem como base os 
 32
ensaios triaxiais ou de sondagens a percussão, por exemplo. Mas o uso destas correlações 
exige o bom senso do projetista. 
Os valores do Módulo elasticidade (Ec) e do Módulo de cisalhamento transversal 
(Gc) do concreto usado nas estacas também são necessários, além das propriedades 
geométricas da seção da estaca: área, momentos de inércias nas duas direções e o momento de 
inércia à torção, sendo este último considerado com valor desprezível, uma vez que o material 
concreto é frágil, portanto, incapaz de resistir a qualquer esforço de torção. 
O valor do módulo de elasticidade da estaca foi calculado conforme prevê a NBR 
6118 (ABNT, 2003) – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, usando o módulo 
secante que vale: 
 
)(*5600*85,0Ecs MPaf ck= (5.1) 
 
De acordo com a NBR 6122 (ABNT, 2010), estacas de concreto moldadas in loco, 
do tipo raiz, não devem ter resistência característica à compressão (fck) maior que 20 MPa, 
para efeitos de dimensionamento, possivelmente devido as condições nas quais as mesmas são 
moldadas, que nem sempre são as condições ideais. Para os exemplos avaliados nesta 
monografia, o concreto usado hipoteticamente nas estacas, assume o valor máximo segundo a 
norma. 
Também foi calculado o valor do Módulo de cisalhamento transversal do solo, 
para tanto foi utilizada a equação 5.2 que é a equação constitutiva dos materiais que relaciona 
o Módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson e Módulo de cisalhamento transversal de um 
material qualquer. 
 
( )µ+12
E
=G (5.2) 
 
5.1 Exemplo 1 
 
Para os valores de Módulo de Elasticidade empregados no maciço de solo tem-se: 
para a argila da primeira camada Eargila = 30 kg/cm², ou 3.000 kPa; para a segunda camada 
 33
(areia compacta) Eareia = 1.000 kg/cm², ou 100.000 kPa, valores adotados de acordo com a 
Tabela 5.1. 
Para as duas camadas usou-se o valor 0,3 para o coeficiente de Poisson (µ), 
considerando que areia da segunda camada é correspondente a uma areia densa segundo a 
Tabela 5.2. 
O concreto usado nas estacas possui resistência característica à compressão de 20 
MPa. Os valores dos parâmetros de resistência do concreto usado na estaca valem, 
portanto: Ec = 21,28 GPa e Gc= 8,87 GPa, valores obtidos com a aplicação das equações 5.1 e 
5.2 respectivamente, considerando um fck = 20MPa para as estacas. 
Neste primeiro exemplo a ser apresentado, será analisada apenas uma estaca 
quanto aos efeitos de uma sobrecarga assimétrica e 30 estacas auxiliares para aplicação da 
sobrecarga. Para a modelagem deste exemplo, será considera uma estaca raiz de 410 mm de 
diâmetro com 13m de comprimento. A distância do eixo da estaca em que se deseja fazer a 
análise para o eixo das estacas mais próxima dentre as auxiliares, vale dois metros. 
Esta estaca encontra-se, na parte superior, vinculada a um bloco de fundação 
rígido. O maciço de solo no qual a mesma está imersa possui duas camadas. A primeira 
camada trata-se de uma argila mole com 7 metros de espessura e a segunda camada é 
constituída de uma areia compacta que possui 25 metros de espessura até o indeslocável. 
Destes 25 metros da camada de areia, a estaca será passante apenas 6 metros, completando, 
portanto, seus 13 metros de comprimento. 
A sobrecarga assimétrica para este exemplo pode ser imaginada que tenha origem 
de um aterro que foi supostamente executado apenas de um dos lados da fundação em estudo. 
A Figura 5.1 e 5.2 mostram, respectivamente, a situação hipotética para a 
consideração do efeito Tschebotarioff e a vista em planta do exemplo 1: 
 34
 
Figura 5.1–Corte esquemático da geometria do exemplo 1 para a consideração do EfeitoTschebotarioff. Cotas 
em metros. 
 
A vista em planta do mesmo exemplo é apresentada na Figura 5.2, cada estaca 
auxiliar absorve a carga de uma coluna de aterro de 1 m². 
 
Figura 5.2 - Representação da vista em planta com a disposição das estacas. 
 
Na modelagem deste exemplo, o aterro foi transformado em cargas concentradas 
calculadas em função do peso específico do material usado no aterro e também da altura do 
mesmo. O valor do peso específico considerado para a camada de aterro, que tem 6 metros de 
espessura, vale 18 kN/m³. A Figura 5.3 mostra a modelagem adotada: 
 35
 
Figura 5.3 - Modelagem proposta para análise do PEISE. Cotas em metros. 
 
Neste exemplo, o aterro foi dividido em colunas de área de 1 m². Com altura de 6 
metros, o peso da coluna de solo vale 108 kN. Nas Figuras 5.1 e 5.3, a espessura da camada 
de solo mole aparece representada por l cotada na parte superior. 
 
5.1.1 Solução Analítica 
 
Os resultados para a solução analítica são apresentados na forma de tabelas, 
também são apresentados as características geométricas do exemplo, propriedades do maciço 
de solo, reações de apoio e o máximo deslocamento esperado no topo da estaca segundo a 
solução analítica. 
Para a geometria apresentada, este exemplofoi formulado para duas espessuras de 
argila mole (l) diferentes, 4 e 7 metros. 
 36
Os diagramas de esforços internos e a deformada da estaca obtidos com a solução 
analítica são apresentados na Figura 5.4: 
 
Figura 5.4 - Diagramas de momento fletor, esforço cortante e deformada da estaca de acordo com a solução 
analítica proposta (da esquerda para a direita). 
Tabela 5.3 - Resultados obtidos com a solução analítica de acordo com a modelagem proposta (l = 7m). 
Características geométricas: 
fck = 20 MPa 
Ecs = 21,29 GPa 
l = 7 m 
D = 0,41 m 
I = 1,387E-03 m4 
 = 18 kN/m3 
H = 6 m 
K = 0,4 
p = 35,42 kN/m 
Reações de apoio: 
HB = 123,98 kN 
MA = 433,94 kNxm 
Deslocamento máximo: 
δmáx.= 31,51 cm 
 
 
 37
 
Tabela 5.4 - Resultados obtidos com a solução analítica de acordo com a modelagem proposta (l = 4m). 
Características geométricas: 
fck = 20 MPa 
Ecs = 21,29 GPa 
l = 4 m 
D = 0,41 m 
I = 1,387E-03 m4 
 = 18 kN/m3 
H = 6 m 
K = 0,4 
p = 35,42 kN/m 
Reações de apoio: 
HB = 70,85 kN 
MA = 141,70 kNxm 
Deslocamento máximo: 
δmáx.= 3,36 cm 
 
 
Observou-se que para a consideração de uma espessura de 7 metros para a camada 
de argila, foi obtido um valor muito elevado para o momento fletor a ser resistido na ligação 
do bloco de fundação com a estaca. O equilíbrio de forças da seção foi feito com o valor do 
momento característico calculado e a quantidade de aço necessária para garantir a integridade 
do conjunto à ruptura foi obtida. 
Deve-se deixar claro que para a obtenção da área de aço necessária, foi necessário 
estimar o valor para uma força normal que porventura venha a solicitar a estaca, dessa forma 
compondo o par conjugado força-momento. O valor adotado hipoteticamente da força normal 
característica a ser resistida pela estava seria 80 tf ou 800 kN. 
A área de aço obtida para l = 7m (200 cm²), não tem como ser arranjada na seção 
da estaca de 410 mm obedecendo às especificações da NBR 6118 (ABNT, 2003), devido ao 
seu valor muito elevado. Partiu-se dessa forma para uma situação no qual o valor de l 
apresentasse valores satisfatórios para a segurança estrutural do conjunto analisado, de forma 
que para l = 4m apresentou valores razoáveis. 
 
 
 38
5.1.2 Solução do PEISE 
 
 
O PEISE não reconhece a aplicação de força por unidade de área (kN/m2 por 
exemplo), para este fim, foi sugerida também uma modelagem especial para a aplicação desta 
sobrecarga. Com o intuito de representar a sobrecarga, usaram-se estacas auxiliares de 0,5 m 
de comprimento com a única função de aplicar a carga proveniente do aterro sobre o maciço 
de solo. 
O programa G-INFRA, conforme foi apresentado no capítulo terceiro, gera um 
arquivo com a extensão .dxf, que pode ser visualizado no Auto Cad, este arquivo contém a 
geometria do estaqueamento que se deseja fazer a análise. A Figura 5.5, foi obtida a partir do 
arquivo ESTACAS.dxf gerado pelo G-INFRA, nesta figura aparece apenas a numeração dos 
nós da estaca maior, estaca em que será feita a análise de esforços e deslocamentos. 
As estacas auxiliares estão representadas no lado direito superior da Figura 5.5, de 
forma que as suas discretizações foram retiradas, pois estas estacas possuem apenas 0,50 m de 
comprimento e os números dos nós não podiam ser visualizados satisfatoriamente devido ao 
espaço reduzido. 
Os deslocamentos calculados pelo programa MINDLIN, para a montagem da 
matriz de flexibilidade do solo, possuem valores com a ordem de grandeza no intervalo 
compreendido entre 10-4 e 10-8 com a presença massiva de deslocamentos nulos. 
Em termos numéricos, as respostas obtidas para este exemplo não foram 
satisfatórias. 
O arquivo de saída gerado pelo PEISE, que deveria possuir as respostas de 
esforços e deslocamentos para cada um dos nós do modelo, não apresentou quaisquer valores 
numéricos para as reações de apoio, segundo as vinculações impostas, nem para os esforços 
de cada um dos elementos em que a estrutura foi discretizada. 
Pode-se salientar ainda, que este exemplo foi executado no PEISE considerando 
duas vinculações distintas para as estacas auxiliares. Após o exemplo ter sido executado a 
primeira vez com as estacas auxiliares restringidas apenas à rotação em torno de seus próprios 
eixos, observou-se que os valores para os resultados eram inconsistentes. 
Uma segunda proposta de vinculação para as estacas auxiliares foi sugerida. 
Anteriormente a vinculação das estacas auxiliares foi imposta apenas para que cada uma das 
mesmas não ficasse configurada hipostaticamente quanto à condição de apoio. Nesta segunda 
 39
proposta, além das estacas auxiliares permanecerem restringidas quanto à rotação e torno de 
seus eixos, foram fixados os seus deslocamentos no plano. 
 
 
Figura 5.5 - Estaqueamento gerado pelo G-INFRA em perspectiva. 
Para esta nova configuração do modelo proposto, o PEISE apresentou respostas 
similares àquelas obtidas considerando as estacas auxiliares restringidas à rotação em torno de 
seus eixos. 
Tratando-se da transferência de forças para o maciço de solo, a primeira 
vinculação das estacas auxiliares levou a valores de forças dissipadas no maciço de solo pelo 
fuste das estacas com a ordem de grandeza maior que a grandeza das cargas aplicadas, ao 
passo que a segunda vinculação, apresentou valores das forças transferidas para o solo, 
contidos em um intervalo próximo dos valores obtidos com a primeira consideração de 
vinculação, além da presença de nós sem qualquer valor numérico para análise. 
Por último, deve-se ser observado ainda, que o PEISE, em uma de suas etapas 
para a solução do problema, inverte a matriz de flexibilidade do solo para encontrar sua 
 40
matriz de rigidez e então resolver o sistema linear de equações relacionado com o problema. 
Durante o processo de inversão da matriz de flexibilidade, o mesmo apresentou uma 
mensagem na qual afirma que a matriz de flexibilidade não estaria adequada para inversão. 
 
5.2 Exemplo 2 
 
Neste exemplo, a estaca para avaliação do Efeito Tschebotarioff possui as mesma 
características constitutivas do concreto empregado no exemplo anterior, estacas do tipo raiz 
de 410 mm com fck = 20MPa, seguindo as recomendações de NBR 6122 (ABNT, 2010) – 
Projeto e Execução de Fundações. 
Por outro lado, o comprimento das estacas auxiliares será de quatro metros e não 
apenas meio metro como no primeiro exemplo. A mudança do comprimento das estacas 
auxiliares foi motivada quando se pensou na possibilidade de o PEISE não ter apresentado 
valores consistentes para o primeiro exemplo, devido ao tamanho reduzido das mesmas. 
O número de estacas será significativamente reduzido, serão usadas no total, dez 
estacas, sendo nove estacas auxiliares para aplicação da sobrecarga assimétrica, mais uma na 
qual será feita analise dos esforços mediante o carregamento sobre as primeiras. A distância 
entre eixos da estaca principal para a mais próxima vale dois metros. 
O maciço de solo no qual este conjunto está inserido possui três camadas de solo. 
Há duas camadas de solos mais resistentes intercaladas por uma camada de argila muito 
deformável com espessura de quatro metros. 
A primeira e a última camada, para efeito de simplificação, são tratadas como o 
mesmo material (areia compacta); a camada que fica entre estas duas camadas de areia, trata-
se de uma argila muito mole. Bowles (1977) apud Filho (2008), afirma que os valores: Eargila 
= 30 kg/cm² e Eareia = 1.000 kg/cm² são usuais para estes tipos de solos, e a relação de Poisson 
(µ) vale 0,3. O maciço de solo com a indicação de maiores detalhes do exemplo pode ser 
observado na Figura 5.6. 
A mesma hipótese que foi adotada para a obtenção de uma sobrecarga assimétrica 
no primeiro exemplo, que seria a execução de um aterro em apenas um dos lados da fundação, 
foi adotada para o concebimento da sobrecarga deste exemplo, de forma que o valor da 
sobrecarga sobre a massa de argila mole vale