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Material didático – Profa. Dra. Adriana Barbosa Santos 
 
Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas
 
Modelo Binomial 
 
Definição: Seja a variável aleatória X o número total de sucessos em n 
ensaios de Bernoulli (sucesso ou fracasso). Dizemos que X tem uma 
distribuição binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é 
dada por: 
𝑃(𝑋 = 𝑘) = (
𝑛
𝑘
) 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘; 𝑘 = 0, 1, 2, 3, … , 𝑛 
 
Notação: 𝑋~𝑏(𝑛; 𝑝), onde n e p são os parâmetros da 
distribuição de X. 
 
A média e a variância de uma v.a. binomial, com parâmetros n e p são dadas 
por: 
 
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 e 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) 
 
Exercícios: 
1. A probabilidade de um atirador A acertar um alvo é 1/2. A probabilidade 
de um atirador B acertar o alvo é 1/3. Suponha que cada um deles dispara 
5 tiros. Você concorda que a probabilidade de o atirador A não acertar 
nenhum tiro seja maior que a probabilidade de B não acertar nenhum 
tiro? 
2. Embalagens de café de certa marca são vendidas em caixas contendo 
30 unidades ao preço de R$21,00 cada caixa. Sabe-se que problemas 
no processo de embalagem ocorrem na produção de tal forma que 10% 
das embalagens acabam sendo danificadas e apresentando algum tipo 
de defeito. Um comprador fez a seguinte proposta: sorteia uma amostra 
de 5 embalagem, dependendo do resultado, ele pagará valores 
diferentes por unidade da seguinte forma: 
R$ 22,80, se nenhuma embalagem estiver danificada dentre as 
selecionadas; 
R$ 17,50 se uma ou duas tiverem danificadas; 
R$ 10,00 se três ou mais tiverem danificadas. 
Explique qual é a melhor opção para o fabricante, manter o seu preço de 
R$ 21,00 por caixa ou aceitar a proposta do comprador? 
Em qual das duas situações o desvio padrão é menor, situação 1 (valor 
fixado pelo fabricante) ou situação 2 (valor sugerido pelo comprador)? 
 
Modelo de Poisson 
 
Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro 
>0 se sua função de probabilidade é dada por: 
𝑃(𝑋 = 𝑘) =
𝜆𝑘𝑒−𝜆
𝑘!
, 𝑘 = 0,1,2, … 
 
Com o parâmetro  sendo usualmente referido como a taxa de ocorrência. A 
média e a variância de uma v.a. de Poisson são dadas por: 
𝐸(𝑋) = 𝜆 e 𝑉(𝑋) = 𝜆 
 
Exercícios: 
1. Uma loja vende, em média, 2,5 fogões por dia. Certo dia, ao encerrar o 
expediente, verifica-se existirem três fogões em estoque, e sabe-se que a 
nova remessa só chegará depois de dois dias. Qual a probabilidade de, no 
fim desses dois dias, a loja não ter deixado de atender, por falta de estoque, 
ás pessoas que vierem comprar? 
2. Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de 
email, telefone e Internet. O número de pedidos que chegam por qualquer 
meio (no horário comercial) é uma variável aleatória discreta com 
distribuição de Poisson com taxa de 5 pedidos por hora. a) Calcule a 
probabilidade de mais de 2 pedidos por hora; b) Em um dia de trabalho (8 
horas), qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos? c) Não haver 
nenhum pedido em um dia de trabalho é um evento raro? 
3. Em momentos de pico, a chegada de aviões a um aeroporto se dá segundo 
o modelo de Poisson com taxa de 1 por minuto. 
a) determine a probabilidade de 3 chegadas em um minuto qualquer do 
horário de pico; b) se o aeroporto pode atender 2 aviões por minuto, qual a 
probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato? 
Previsões para os próximos anos indicam que o tráfego deve dobrar nesse 
aeroporto, enquanto que a capacidade de atendimento poderá ser no 
máximo ampliada em 50%. Como ficará a probabilidade de espera por 
atendimento? 
 
Modelo Geométrico 
 
Definição: Seja uma variável aleatória X o número total de ensaios de 
Bernoulli (sucesso ou fracasso) que precedem o primeiro sucesso. Dizemos 
que X tem uma distribuição geométrica com parâmetros p e sua função de 
probabilidade é dada por: 
𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑘; 𝑘 = 0, 1, 2, 3, … 
 
Notação: 𝑋~𝐺(𝑝), onde p é a probabilidade de sucesso é o parâmetro da 
distribuição de X. A média e a variância de uma v.a. geométrica, com 
parâmetro p são dadas por: 
𝐸(𝑋) = 𝑞/𝑝 e 𝑉(𝑋) = 𝑞/𝑝2 
 
Exercícios: 
1. A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 
de 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes, 
para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? Sabendo-se que será 
necessário passar mais que 3 vezes, qual a probabilidade de precisar passar 
mais de 8 vezes pelo local para encontrar o sinal aberto? Em média quantas 
vezes se passa pelo sinal sem encontrá-lo aberto? 
 
2. Mostre que para qualquer X~G(p) e quaisquer números inteiros positivos m 
e n, vale 𝑃(𝑋 > 𝑚 + 𝑛|𝑋 > 𝑚) = 𝑃(𝑋 ≥ 𝑛). 
 
Modelo Hipergeométrico 
 
Considere um conjunto de N objetos, dos quais m são do tipo I e N-m são do 
tipo II. Para um sorteio de n objetos (n<m) feito ao acaso e sem reposição, 
defina X como o número de objetos de tipo I selecionados. Diremos que a v.a. 
Definição: X segue o modelo Hipergeométrico se sua função de probabilidade 
é dada por: 
 
𝑃(𝑋 = 𝑘) =
(
𝑚
𝑘 )(
𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
(𝑁𝑛)
, 𝑘 = 0,1,2,3, … , min (𝑛, 𝑚). 
 
Notação: 𝑋~ℎ𝑖𝑝(𝑁, 𝑚, 𝑛). A média e a variância de uma v.a. 
hipergeométrica são dadas por: 
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 e 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝). (
𝑁−𝑛
𝑁−1
) 
Exercícios: 
1. Um livreiro descuidado mistura 4 exemplares de livros defeituosos junto com 
outros 16 perfeitos de um certo livro didático. Quatro amigas vão a essa 
livraria para comprar seus livros escolares. 
a) Calcule a probabilidade de 3 levarem livros defeituosos 
b) Qual a probabilidade de, após a visita dessas meninas, restarem o mesmo 
número de defeituosos na livraria? E de não restar nenhum? 
2. De vinte xícaras de café, quinze são preparadas começando com água fria 
e cinco começando com água quente. Depois de provar todas as vinte 
xícaras, um provador escolhe cinco que supõe sejam aquelas cujo preparo 
se iniciou com água quente. Qual é a probabilidade de que, se sua seleção 
for feita meramente ao acaso, escolha um grupo contendo quatro ou cinco 
que efetivamente foram preparadas com água quente? 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel_aleat%C3%B3ria
http://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel_aleat%C3%B3ria