[Portfolio] Cálculo 3 - Testes de Convergência e Séries de Potência

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a)
A afirmação é falsa. Sabe-se que toda sequência convergente é limitada, mas nem toda sequência limitada é convergente, uma vez que, por exemplo, sequências alternadas tais quais xn = (-1)n ou yn = sen(πx) são limitadas, porém não convergem.
b)
Podemos calcular o raio de convergência pelo teste da razão:
Portanto:
O primeiro limite se torna:
E o segundo:
Portanto:
Pelo teste da razão, a série converge se
Ou seja:
Resolvendo:
Precisamos agora testar os extremos.
Em x=4 temos:
Podemos comparar esta série com a série p alternada para p=2, isto é:
Ou seja:
Como a série p alternada é convergente para qualquer valor de p>0, temos que a série da direita é convergente, então se a série da esquerda é sempre menor que a série da direita, esta também deve ser convergente para que essa desigualdade seja satisfeita. Portanto a série de potência converge em x=4.
Em x=6 temos:
Podemos comparar esta série com a série p para p=2, isto é:
Como a série p (agora não-alternada) é convergente para qualquer valor de p>1, temos que a série da direita é convergente, então de forma similar ao que foi feito anteriormente podemos concluir que a série da esquerda também é convergente. Portanto a série de potência converge em x=6.
Sendo assim, podemos concluir que a série é absolutamente convergente no intervalo [4,6].
a)
A sequência é convergente se existir
Portanto, se encontrarmos o valor do limite e este for um número real, a sequência converge
Podemos começar fazendo uma mudança de variáveis:
Então quando n tende ao infinito, u tende a zero. Assim:
Podemos resolver agora o limite resultante usando a Regra de L'Hôspital:
Portanto:
Como o limite existe, a sequência é convergente.
b)
Podemos escrever a sequência yn como
Portanto, se a sequência zn for convergente, teremos um produto de duas sequências convergentes e valerá a igualdade:
E, portanto, a sequência yn será também convergente.
Analisando zn:
Portanto zn é convergente, então temos:
Ou seja, a sequência yn também é convergente.
Usando o teste da integral, sabemos que a série será convergente se a integral imprópria abaixo for convergente e vice-versa:
A integral indefinida pode ser calculada através da mudança de variáveis:
Ou seja:
Como estamos calculando uma integral definida, podemos ignorar a constante de integração. Assim, temos:
Portanto:
O exponencial de um número muito grande com sinal negativo tende a zero, por isso:
Como a integral imprópria converge, podemos dizer que a série também converge.
a)
Como temos a=0, trata-se de uma série de Maclaurin. Podemos também aplicar uma identidade trigonométrica para simplificar f(x), isto é:
Agora, basta encontrarmos a série de Maclaurin para cos(2x) , dividir esta expressão por 2 e somar ½ e teremos a série de Maclaurin para f(x).
Em vez de encontrar a série de Maclaurin para cos(2x), encontraremos para g(x)=cos(x) e depois faremos substituição.
Série de Maclaurin para g(x):
Obtendo as primeiras derivadas de forma a tentar encontrar uma fórmula geral:
Se fôssemos calcular g(4)(0) obteríamos o mesmo valor de g(0)(0) uma vez que retornamos para sen(x). Podemos perceber, então que esta série só terá os termos pares, uma vez que os termos ímpares serão todos nulos. E esses termos pares terão sinais alternados, uma vez que g(2n)(0) = 1 ou g(2n)(0) = -1.
Portanto, podemos escrever a série de Maclaurin de g(x) como:
Portanto:
Então, podemos escrever:
b)
Ao obter a derivada de f, devemos ter em mente que o termo ½ somando a série é tratado como uma constante, assim como o primeiro termo da série, que terá a potência x0. Como a derivada de constantes é igual a zero, a série de potência que representa f’(x) deverá começar em n=1 e aplicaremos a regra da potência para x2n, ou seja:
 
a)
 
A afirmação é falsa. S
abe
-
se que toda sequência convergente é limitada, mas 
nem toda sequência limitada é convergente, uma vez que, por exemplo, 
sequências alternadas tais quais x
n
 
= (
-
1)
n
 
ou y
n
 
= sen(πx) s
ão limitadas, porém 
não convergem.
 
 
b)
 
Podemos calcular o raio de convergência pelo teste da razão:
 
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-
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2
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Portanto:
 
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O primeiro limite se torna:
 
lim
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8
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-
5
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=
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??
-
5
?
 
E o segundo:
 
 
a) 
A afirmação é falsa. Sabe-se que toda sequência convergente é limitada, mas 
nem toda sequência limitada é convergente, uma vez que, por exemplo, 
sequências alternadas tais quais xn = (-1)
n
 ou yn = sen(πx) são limitadas, porém 
não convergem. 
 
b) 
Podemos calcular o raio de convergência pelo teste da razão: 
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2
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Portanto: 
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2
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2
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???8
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2
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2
+2??+2
 
O primeiro limite se torna: 
lim
???8
??-5=??-5 
E o segundo: