2. Encontre o raio de convergência das seguintes séries e o domínio de f, escreva a série de potências que define a função f' e ache seu raio de co...

Para encontrar o raio de convergência das séries e o domínio da função f, é necessário utilizar o critério de convergência de séries de potências. Vou analisar cada uma das séries fornecidas: (a) f(x) = ∑+∞ n=1 xn/n^2 Para encontrar o raio de convergência dessa série, podemos utilizar o critério de convergência de Cauchy-Hadamard. Calculamos o limite: lim |xn/n^2|^(1/n) = lim |x/n|^(1/n^2) = |x|^(1/n^2) Quando n tende ao infinito, o limite é igual a 1 para qualquer valor de x. Portanto, o raio de convergência dessa série é R = 1. O domínio da função f é o intervalo aberto (-1, 1). Para escrever a série de potências que define a função f', basta derivar termo a termo a série original. A série de potências que define f' é: f'(x) = ∑+∞ n=1 x^(n-1)/n (b) f(x) = ∑+∞ n=1 xn√n Para encontrar o raio de convergência dessa série, novamente utilizamos o critério de Cauchy-Hadamard: lim |xn√n|^(1/n) = lim |x√n|^(1/n) = |x|^(1/n) Quando n tende ao infinito, o limite é igual a 0 para qualquer valor de x. Portanto, o raio de convergência dessa série é R = ∞, ou seja, a série converge para todos os valores de x. O domínio da função f é o conjunto dos números reais (-∞, ∞). A série de potências que define f' é: f'(x) = ∑+∞ n=1 √n xn√n-1 (c) f(x) = ∑+∞ n=1 (-1)^(n-1) xn/n Para encontrar o raio de convergência dessa série, mais uma vez utilizamos o critério de Cauchy-Hadamard: lim |(-1)^(n-1) xn/n|^(1/n) = lim |x/n|^(1/n) = |x|^(1/n) Quando n tende ao infinito, o limite é igual a 1 para qualquer valor de x. Portanto, o raio de convergência dessa série é R = 1. O domínio da função f é o intervalo aberto (-1, 1]. A série de potências que define f' é: f'(x) = ∑+∞ n=1 (-1)^(n-1) x^(n-1) Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.