1 Avaliação - Cálculo I - 2017 2

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Turma: Engenharia Mecânica - 2017.2 
Cálculo I 
Prof. Pablo Guimarães 
 
Aluno (a): _____________________________________________ 
Data: 10/10/2017 
 
1º Exercício Avaliativo 
 
 Não é permitido o uso de calculadora, nem qualquer tipo de consulta; 
 A interpretação da questão faz parte do processo avaliativo; 
 As respostas somente serão aceitas com justificativas. 
 
1. (2,0 pontos) Calcule os seguintes limites (não é permitido utilizar a regra de l’Hôspital). 
 
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
 
√2 + 𝑥 − √2 − 𝑥
𝑥
 
 
b) lim 
 𝑥→0
𝑡𝑔 (5𝑥)
𝑡𝑔 (15𝑥)
 
 
 
 
𝒄) lim
𝑥→∞
(
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑥2 + 2
) 
 
 
2. (1,0 ponto) Utilize a definição de derivada (via limite) para encontrar 𝑓′(𝑥). 
 
𝑓(𝑥) = 
6
√2 − 𝑥
 
 
 
 
3. (3,0 pontos) Use as regras de derivação para calcular a função derivada em cada caso. 
 
 
𝑎) ℎ(𝑥) = (3𝑥5 + 2𝑥4 − 2𝑥 + 1000) . 𝑠𝑒𝑛34𝑥 
 
 
 
 
 
 
𝑏) 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − √𝑥7
𝟑
 
 
 
 
𝑐) 𝑓(𝑥) = 
𝑒𝑥
2
cos(−𝑥)
 
 
 
 
 
4. (1,5 Pontos) Encontre a equação da reta tangente no ponto (0, 0) da curva 𝑦 = 3𝑥𝑒𝑥 
 
 
 
 
 
5. (0,5 ponto) Demonstre que 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 (𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
 
 
 
 
6. (1,0 ponto) Encontre as assíntotas horizontais e verticais, se existirem, da curva a seguir. 
 
𝐲 =
2𝑥2 + 𝑥
𝑥2 + 𝑥 − 2
 
 
 
 
7. (1,0 Ponto) A função 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| é contínua e diferenciável no ponto 𝑥 = 2? Faça o esboço 
do gráfico e justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 Bom Exercício! 
 
GABARITO 
 
1. 
a) 
 
 
√2
2
 
 
𝑏) 
1
3
 
 
 
𝑐) 0 
 
 
 
2. 
 
𝑓′(𝑎) = 
3
(2 − 𝑥)
3
2
 
 
 
 
3. 
ℎ′(𝑥) = (3𝑥5 + 2𝑥4 − 2𝑥 + 1000) ∙ 12 𝑠𝑒𝑛24𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑠𝑒𝑛34𝑥 ∙ (15𝑥4 + 8𝑥3 − 2) 
 
𝑔′(𝑥) = 2𝑥 ∙ 𝑙𝑛2 −
7
3
𝑥4/3 
𝑓′(𝑥) =
𝑒𝑥
2
(2𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
𝑐𝑜𝑠2𝑥
 
 
 
4. 𝑦 = 3x 
 
 
 
 
 
6. 
 Assíntota horizontal: 
𝒚 = 𝟐 
 
 Assíntotas verticais: 
𝒙 = −𝟐 𝒆 𝒙 = 𝟏 
 
 
7. A função é contínua*, porém não é diferenciável em 𝑥 = 2 devido a curva mudar abruptamente de direção 
neste ponto (quina). 
 
*𝑓(2) 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝟐
 𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒 𝑓(2) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝟐
 𝑓(𝑥) = 0