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1 ROTEIRO DE PRÁTICA Tema Cálculo da Equação da Reta Tangente ao Gráfico de Uma Função Unidade 01 Disciplina (s) Cálculo Aplicado – Uma Variável Data da última atualização 03/02/2020 I. Instruções e observações LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 1. É importante o conhecimento prévio de derivadas de funções elementares e regras de derivação. 2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 3. Utilize o material de apoio (e-book unidade 1). II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos Descrição Quantidade Roteiro da prática 1 Computador 1 Applets 5 GEOGEBRA 1 Calculadora científica 1 III. Introdução Geometricamente, a derivada da função 𝑓(𝑥), aplicada a um ponto 𝑃, é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva neste ponto. Isso significa que a derivada da função aplicada ao ponto é igual à tangente do ângulo formado por essa reta e o eixo das abscissas. Dessa forma, é possível geometricamente compreender o conceito da função derivadas através da sua definição por limite, que é representa uma taxa de variação instantânea. IV. Objetivos de Aprendizagem ▪ Reconhecer a derivada como medida de taxa de variação, o que pode ser identificada a partir dos coeficientes de uma reta tangente ▪ Aplicar a tabela de derivadas e regras de derivação para derivar operações que envolve as funções elementares Capstone). ▪ Encontrar a equação da reta tangente a uma curva num dado ponto. V. Procedimentos Parte A: ENTENDENDO O CONCEITO DE DERIVADAS ATAVÉS DA RETA TANGENTE À CURVA NUM DADO PONTO. 1. Reconhecimento da reta tangente: Aqui você deve acessar os applets 1, 2 e 3, em arquivo htlm disponibilizados para a prática, através dos links indicados no quadro abaixo. 2 Applet 1: (reta tangente) Link: https://www.geogebra.org/m/qsu3sb57 Acesso em: 22 jan. 2020 Applet 2: (reta tangente local) Link: https://www.geogebra.org/m/cgwm9 6c6 Acesso em: 22 jan. 2020 Applet 3: (reta tangente e derivada) Link: https://www.geogebra.org/m/btm ewm9s Acesso em: 22 jan. 2020 ✓ O applet 1 mostra a reta tangente ao longo da curva 𝑓. Experimente mover o ponto 𝐴 e observar a inclinação da reta tangente e sua equação. ✓ Verifique, através do applet 2, que ao mover o ponto sobre o eixo 𝑥, a reta corta a curva em dois pontos: 𝑇 e 𝑆. No entanto, podemos considerar que localmente a reta é tangente à curva no ponto 𝑇. Ou seja, uma reta pode tangenciar uma curva em um determinado ponto, mesmo sendo secante à essa curva. ✓ O applet 3 mostra que o coeficiente angular da reta no ponto 𝐴 é igual ao valor da derivada da função 𝑓 aplicada ao ponto 𝐴. Ao mover o ponto, verifique que os valores permanecem iguais ao longo do movimento. 2. Definição da derivada: Tomando-se o ponto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) e o ponto arbitrário 𝑄(𝑥0, 𝑦0), o coeficiente angular da reta secante é dado pela taxa média de variação: ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 𝑥−𝑥0 . Você verificou através dos applets, que o coeficiente angular da reta secante tende ao coeficiente angular da reta tangente quando o ponto Q se aproxima do ponto P. Portanto, podemos afirmar que o coeficiente angular da reta tangente é a taxa de variação instantânea dada por: lim 𝑄→𝑃 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim 𝑥−𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 𝑥−𝑥0 , se este limite existir. Nesse caso definimos a derivada da função 𝑓(𝑥) aplicada ao ponto 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) como: 𝑓′(𝑥0) = lim 𝑥−𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 𝑥−𝑥0 , se esse limite existir. https://www.geogebra.org/m/qsu3sb57 https://www.geogebra.org/m/cgwm96c6 https://www.geogebra.org/m/cgwm96c6 https://www.geogebra.org/m/btmewm9s https://www.geogebra.org/m/btmewm9s 3 Aqui você deve acessar os applets 4 e 5, em arquivo htlm disponibilizados para a prática. Applet 4: reta secante Link: https://www.geogebra.org/m/bh4u4xnb Acesso em: 22 jan. de 2020 Applet 5: Limite e derivada Link: https://www.geogebra.org/m/kx2nqfjz Acesso em: 22 jan. de 2020 ✓ Verifique através do applet 4, que ao mover o ponto Q ao longo da curva no sentido do ponto P o ângulo 𝛼 (da reta secante com a reta horizontal) diminui, consequentemente, a taxa média de variação também diminui. ✓ O applet 5, mostra que ao mover o ponto Q no sentido do ponto P, o coeficiente angular da reta secante tende ao coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P. Ou seja, o ângulo beta tende ao ângulo alpha. Parte B: EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE A UMA CURVA É possível encontrar a equação da reta tangente à curva num ponto 𝑃, calculando-se o coeficiente angular através da derivada da função no ponto e, por fim, aplicar a fórmula (𝑦 − 𝑦0) = 𝑓′(𝑥0) (𝑥 − 𝑥0). Atividade 1: Neste contexto, encontre a equação da reta tangente de curva a seguir no ponto indicado. Usando o Geogebra, plote o gráfico da função e a reta obtida, de modo a verificar se sua resposta está correta. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 3𝑥 − 4 ; 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑥 = −1. https://www.geogebra.org/m/bh4u4xnb https://www.geogebra.org/m/kx2nqfjz 4 Ponto de tangencia (-1,1/7) f^' (x)=d/dx ((2x+1)/(3x-4)) f^' (x)=(d/dx (2x+1)*(3x-4)-(2x+1)*d/dx (3x-4))/(3x-4)^2 f^' (x)=(2(3x-4)-(2x+1)x3)/(3x-4)^2 f^' (x)= -11/(3x-4)^2 f^' (x)= -11/(3(-1)-4)^2 =-11/49 f(x)=(2x+1)/(3x-4),x=-1:m= -11/49 A reta com inclinação m=-11/49 que passa por (-1,1/7): f〗^' (x)=-11/49 x-4/49 f(x)=-11/49 x-4/49 Ponto de tangencia (-1,1/7) f^' (x)=d/dx ((2x+1)/(3x-4)) f^' (x)=(d/dx (2x+1)*(3x-4)-(2x+1)*d/dx (3x-4))/(3x-4)^2 f^' (x)=(2(3x-4)-(2x+1)x3)/(3x-4)^2 f^' (x)= -11/(3x-4)^2 f^' (x)= -11/ (3(-1) -4) ^2 =-11/49 f(x)=(2x+1) /(3x-4) x=-1:m= -11/49 A reta com inclinação m=-11/49 que passa por (-1,1/7): f〗^' (x)=-11/49 x-4/49 f(x)=-11/49 x-4/49 5 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥 + 1) ∙ 3𝑥; 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑥 = −2 Ponto de tangencia (-2,1) f^' (x)=d/dx ((x^2-2x+1)*3^x ) f^' (x)=d/dx(x^2*3^x-2x*3^x+3^x) f^' (x)=d/dx (x^2*3^x )+d/dx (-2x*3^x )+d/dx(3^x) f^' (x)=2x*3^x+x^2*ln(3)*3^x+d/dx (-2x*3^x )+d/dx(3^x) f^' (x)=2x*3^x+x^2*ln(3)*3^x-2*3^x-2x*ln(3)*3^x+d/dx(3^x) f^' (x)=2x*3^x+x^2*ln(3)*3^x-2*3^x-2x*ln(3)*3^3+ln(3)*3^x f^' (x)=2x*3^x+ln(3) x^2*3^x-2ln(3)x*3^x+ln(3)*3^x f^' (x)=2x*3^x+ln(3) x^2*3^x-2*3^x-2ln(3)x*3^x+ln(3)*3^x f(x)=(x^2-2x+1) 3^x,x=-2:m=ln(3)-2/3 A reta com inclinação m=ln(3)-2/3 que passa por (-2,1):f(x)=(ln(3)-2/3) f(x)=(ln(3)-2/3)x+2ln(3)-1/3 6 VII. Referências FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limites, derivação e integração - 6ª edição ver.e ampl. Pearson 458 ISBN 9788576051152. STEWART, James. Cálculo, v.1. 3. São Paulo Cengage Learning 2013 1 recurso online ISBN 9788522114610.
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