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IBILCE 
 
 
 
 
FRANCIÉLI PEREIRA FERNANDES 
 
 
 
 
O ERRO DOS ALUNOS COMO INSTRUMENTO DIDÁTICO NO 
PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA 
POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
São José do Rio Preto 
2012 
 
 
 
 
 
FRANCIÉLI PEREIRA FERNANDES 
 
 
O ERRO DOS ALUNOS COMO INSTRUMENTO DIDÁTICO NO 
PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA 
POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
 
 
 
Monografia apresentada à Universidade Estadual Paulista 
“Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e 
Ciências Exatas, Curso de Graduação em Matemática, 
como requisito para a obtenção do título de Licenciado em 
Matemática, sob a orientação da Profa. Dra. Ana Paula 
dos Santos Malheiros. 
 
 
 
 
São José do Rio Preto 
2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico este trabalho aos meus pais Maria Ines e José, que me apoiaram em 
todos os momentos de minha formação e me deram forças para continuar, 
mesmo diante das dificuldades. 
 
 
 
 
Agradecimentos 
 
Agradeço primeiramente a Deus por ter me permitido vivenciar mais esta 
realização, à minha família, aos meus professores e a meus grandes amigos, 
principalmente àqueles que sempre estiveram dispostos a me ajudar, que 
compartilharam comigo as vivências diárias, os obstáculos e as vitórias. 
Obrigada por terem feito parte desta etapa tão importante em minha vida! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Posso, tudo posso, Naquele que me 
fortalece; nada e ninguém no mundo vai 
me fazer desistir.” 
Celina Borges, 2008. 
 
 
 
RESUMO 
 
Nessa monografia, baseada em textos de alguns autores da área de Educação 
Matemática, é feito o aprofundamento teórico nos estudos da Resolução de 
Problemas e da Análise de Erros e a partir de então, é realizada a relação entre 
tais metodologias de ensino à experiência obtida em sala de aula, durante o 
Estágio Supervisionado. Discuto como é possível o uso combinado destas 
duas metodologias de forma que uma complemente a outra no processo de 
ensino-aprendizagem de Matemática, e apresento os resultados obtidos que 
foram favoráveis à utilização do erro dos alunos como instrumento didático no 
processo de ensino-aprendizagem por meio da Resolução de Problemas. 
 
Palavras-chave: Matemática, Resolução de Problemas, Análise de Erros, 
Educação Matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
 
 
Figura 1 – Enunciado do Problema...................................................................25 
Figura 2 - Desenvolvimento das ideias de resolução – alternativa a................26 
Figura 3 - Desenvolvimento das ideias de resolução – alternativa b................28 
Figura 4 - Fórmula do termo geral deduzida na alternativa b............................29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. Introdução.......................................................................................................9 
2. Resolução de Problemas e Análise de Erros: possibilidades para o Ensino 
da Matemática...................................................................................................11 
2.1. Resolução de Problemas...........................................................................11 
2.1.1. Ensinar Matemática Através da Resolução de Problemas.....................16 
2.2. Análise de Erros no Ensino da Matemática...............................................18 
3. Contexto e Desenvolvimento do Estudo.......................................................24 
3.1. Ensino da Matemática através da Resolução de Problemas.....................24 
3.1.1. Resultados obtidos com a utilização da Metodologia da Resolução de 
Problemas.........................................................................................................29 
3.2. Erro como Instrumento Didático no Ensino da Matemática.......................30 
3.2.1. Resultados obtidos com a utilização da Análise dos Erros dos Alunos..33 
4. Considerações Finais....................................................................................35 
5. Referências...................................................................................................38 
6. Anexos..........................................................................................................39 
 
 
 
 
 
9 
 
1. INTRODUÇÃO 
Não há só um caminho a ser seguido quando se deseja ensinar 
Matemática e diversos são os estudos sobre como os professores devem 
realizar o planejamento de suas aulas, quais metodologias de ensino devem 
seguir, quais livros didáticos devem adotar, enfim, de quais maneiras devem 
proceder para que as aulas tornem-se mais produtivas e surtam os efeitos 
esperados no que diz respeito ao processo de construção do saber de cada 
aluno. 
Preocupados em melhorar a realidade do ensino da Matemática nas 
escolas, os professores são orientados a procurar formas e metodologias de 
ensino diferenciadas; algumas delas utilizam-se de Jogos para o trabalho da 
Matemática em sala de aula; outras levam os professores a seguir etapas que 
relacionam-se entre si e com o todo, trabalhando as fases da aula, conforme 
ocorre na Metodologia da Mediação Dialética; outros professores ainda, 
preferem trabalhar a Matemática do modo tradicional de ensino, no qual a aula 
é estritamente expositiva, e ocorre em sua maior parte, sem contar com a 
participação ativa dos alunos. 
Nós também, futuros professores de Matemática, tivemos a 
oportunidade de conhecer diversas metodologias em nosso curso de 
Licenciatura, e mais ainda, de realizar nossas escolhas, aperfeiçoando nossos 
métodos de ensino por meio do estágio de regência. 
É em minha experiência de regência, na qual tive a oportunidade de 
trabalhar com a Metodologia da Resolução de Problemas em Matemática 
(ALLEVATO, 2005), em diversos momentos, aplicando-a juntamente com a 
estratégia metodológica da Análise de Erros (CURY, 2007), nas quais baseio 
este trabalho. 
Nas seções que seguem irei aprofundar os estudos nas duas 
Metodologias acima citadas. 
No primeiro capítulo, com base na teoria de diversos estudiosos da área 
de Resolução de Problemas, apresento de que forma ocorreu o 
aperfeiçoamento da aplicação desta Metodologia no ensino de Matemática, 
10 
 
quais foram as concepções que apareceram durante estes anos de pesquisas 
e mais adiante apresento qual delas utilizo como fonte para minhas aulas. 
Sendo assim, discorreremos sobre as vantagens de utilizá-la no processo de 
ensino-aprendizagem e quais podem ser os empecilhos quando da 
implementação da mesma. 
Logo após, também sob o embasamento teórico de alguns 
pesquisadores, apresento-lhes os estudos sobre a utilização da Análise de 
Erros no processo de ensino-aprendizagem de Matemática, ressaltando como 
pode ocorrer o uso dos erros no ato do ensino desta ciência, já que ele fornece 
subsídios para o desenvolvimento da aula/problema, funcionando como 
instrumento didático para o ensino. Ao tratar deste assunto, comento sobre 
suas vantagens e formas de aplicação. 
No segundo capítulo, descrevo em que contexto foram desenvolvidas 
duas de minhas aulas. Em uma delas, pude utilizar-me única e inteiramente do 
Ensino da Matemática Através da Resolução de Problemas, e na outra aula, 
iniciada também por meio desta metodologia, ao perceber que o erro dos 
alunos no processo de resolução do problema, estava diretamente relacionado 
ao assunto que seria desenvolvido na aula e funcionaria como ferramenta para 
a construção do novo conhecimento, pude aplicar também a Metodologia da 
Análise de Erros. Sendo assim, a utilização do Erro como instrumento didático 
ocorreu, complementando o desenvolvimento da aula através da Metodologia 
da Resolução de Problemas. 
Logo em seguidada descrição de cada aula, analisando os dados de 
ambas reflito sobre os resultados obtidos no que diz respeito ao entendimento 
do novo conceito por parte dos alunos. 
 No ultimo capítulo, portanto, após analisar a aplicação das aulas em 
contextos diferentes, trago as considerações finais, relacionando como 
podemos utilizar-nos dos diversos recursos metodológicos existentes, e de que 
forma eles podem funcionar quando combinados. 
 
11 
 
2. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E ANÁLISE DE ERROS: 
POSSIBILIDADES PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA 
Para que entendamos como ocorre o Ensino da Matemática por meio 
destas duas metodologias de ensino e com base nos textos de alguns 
estudiosos da área da Educação Matemática, apresento a seguir a 
fundamentação teórica na qual aprofundei meus conhecimentos para a 
produção deste trabalho. 
 
2.1. Resolução de Problemas 
 Os estudos sobre a aplicação da Metodologia da Resolução de 
Problemas tiveram início no século XX diante da necessidade de mudança no 
processo ensino-aprendizagem da época. As reformas sociais deste século 
provocaram muitos movimentos de mudança na Educação Matemática 
mundial. 
No início do século XX, o ensino da Matemática foi caracterizado pelos 
recursos da repetição e da memorização dos fatos mais importantes. Anos 
depois surgiu uma outra orientação de forma de ensino, que indicava que os 
alunos deviam aprender com compreensão, entendendo o que faziam. Porém, 
sem muitos resultados frutíferos, nas décadas de 1960 e 1970, o ensino da 
Matemática, no Brasil e em outros países do mundo, foi influenciado por um 
movimento de renovação conhecido como o Movimento da Matemática 
Moderna (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004). 
Essa reforma que, como as outras, não contou com a 
participação de professores de sala de aula, deixava de lado as 
anteriores. Ela apresentava uma Matemática estruturada, 
apoiada em estrutura lógica, algébrica, topológica e de ordem, 
e enfatizava a teoria dos conjuntos. Realçava muitas 
propriedades, tinha preocupações excessivas com abstrações 
Matemáticas e utilizava uma linguagem universal, precisa e 
concisa. (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004, p.214). 
Onuchic e Allevato (2004), afirmam ainda que o Movimento da 
Matemática Moderna trouxe consigo a acentuação do ensino de símbolos e 
utilizava-se de uma terminologia complexa, comprometendo o aprendizado. 
12 
 
Nessa reforma, trabalhava-se o ensino de uma maneira extremamente formal, 
o que distanciava o aprendizado das questões práticas. 
Todas as reformas mencionadas anteriormente não tiveram o sucesso 
esperado; ainda era necessário que houvesse mudanças. Na década de 1970, 
então, tiveram início as investigações sobre a Resolução de Problemas como 
uma metodologia para o ensino de Matemática. Nessa época, os educadores 
matemáticos passaram a aceitar a ideia de que o desenvolvimento da 
capacidade de resolver problemas merecia mais atenção (ONUCHIC; 
ALLEVATO, 2004). 
Durante a década de 1980 surgiram muitos recursos visando o trabalho 
em sala de aula, sugestões de atividades e orientações para avaliar o 
desempenho em Resolução de Problemas, ajudando os professores a fazê-la o 
ponto central de seu trabalho. Mesmo assim, ainda muitos não conseguiam 
chegar a uma concordância (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004). 
No início da década de 1970, nos Estados Unidos, o NCTM - National 
Council of Teachers of Mathematics (Conselho Nacional de Professores de 
Matemática) - procurando adequar o trabalho escolar às novas tendências de 
ensinar e aprender matemática recomendava que, para aquela época, resolver 
problemas deveria ser o foco do ensino da Matemática. Assim muitos recursos 
foram desenvolvidos, visando ao trabalho de sala de aula, com sugestões para 
avaliar o desempenho em Resolução de Problemas. 
No fim da década de 1980, o NCTM publicou documentos conhecidos 
como Standards que ilustravam caminhos pelos quais os professores podiam 
estruturar as atividades em sala de aula, contendo também os princípios em 
que deveriam se apoiar na avaliação e no desenvolvimento da Matemática; 
porém, não diziam passo a passo como trabalhar com essa nova concepção. 
Em 1990, surge então, uma nova geração de currículos alinhados com os 
Standards, contendo a característica do “uso de contextos na Resolução de 
Problemas como um meio de desenvolver os conteúdos matemáticos e fazer 
conexões com outras áreas” (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004, p.217). 
13 
 
Em 1995, devido as criticas sobre as mudanças propostas pelos 
Standards, começou nos Estados Unidos uma “verdadeira guerra Matemática” 
(ONUCHIC; ALLEVATO, 2004, p. 217). Diante de tantos problemas, este 
documento foi revisado, as criticas foram trabalhadas e uma nova publicação 
foi produzida. Esta nova versão foi lançada em abril de 2000, e ficou conhecida 
como Standards 2000 que refinam e elaboram as mensagens dos documentos 
originais anteriormente lançados, porém conservando intacta sua visão básica 
que contém os princípios em que professores e educadores, deveriam se 
apoiar para construir práticas de avaliação, sempre visando o desenvolvimento 
de uma Matemática forte para todos. 
Os Standards 2000 afirmam de uma maneira convincente que 
Resolução de Problemas não é só um objetivo da 
aprendizagem Matemática mas, também, um meio importante 
para se fazer Matemática. (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004, 
p.222) 
Sendo assim, daremos início a nossos estudos sobre Resolução de 
Problemas partindo da ideia descrita pelas publicações do NCTM, e levando 
também como base as pesquisas de Schroeder e Lester (1989) (apud 
ONUCHIC, ALLEVATO; 2004), que apresentam três caminhos possíveis para 
abordar a Resolução de Problemas em sala de aula, permitindo uma melhora 
considerável no entendimento da metodologia: 
- Ensinar sobre a Resolução de Problemas; 
- Ensinar para a Resolução de Problemas; 
- Ensinar Matemática através da Resolução de Problemas. 
Na pratica as três teorias se sobrepõem e podem acontecer com várias 
combinações. Porém, nesta primeira parte vamos nos ater ao estudo do ensino 
da Matemática através da Resolução de Problemas, já que nas próximas 
seções apresentarei minha vivência com esta concepção mais atual da 
metodologia. 
Mesmo com todas as mudanças e evoluções, as primeiras concepções 
da Metodologia de Resolução de Problemas, tornaram-se um pouco 
ultrapassadas à medida que novas necessidades iam surgindo no processo 
14 
 
ensino-aprendizagem. Sendo assim, Ensinar Matemática Através da Resolução 
de Problemas tornou-se tema fundamental nos estudos e pesquisas realizadas 
no século XXI, já que engloba de certa forma, as duas outras concepções, isto 
é, “ensinar para” e o “ensinar sobre”, complementando-as. 
Já sob o foco da Resolução de Problemas, os objetivos do uso desta 
metodologia foram sendo delineados, e diferentes ideais surgiram visando a 
compreensão de suas finalidades e implicações. Dessa forma, Dante (2000 
apud ALLEVATO; 2005) apresenta alguns dos objetivos da resolução de 
problemas: 
- levar o aluno a pensar produtivamente e desenvolver o raciocínio; 
- muni-lo de estratégias para resolver problemas; 
- dar-lhe oportunidade de se envolver com aplicações da Matemática, 
enfrentando novas situações que levem ao desenvolvimento da ideia 
Matemática. 
Van de Walle (2001 apud ALLEVATO; 2005) trata a Resolução de 
Problemas como estratégia de ensino e valoriza, também, o potencial avaliativo 
dessa metodologia, já que permite ao professor, entre outras coisas, planejar 
as próximas aulas, ajudar os estudantes individualmente e avaliar seu 
progresso. 
Complementando, Van de Walle (2001 apud ONUCHIC, ALLEVATO; 
2004) pontua que, não somente a metodologia aplicada deve ser repensada 
sob a ótica atual; ao mesmo tempo, os professores de Matemática, para serem 
realmente eficientes, devem envolver quatro componentes básicos em suas 
atividades: 
- gostar da disciplina Matemática; 
- compreender como os alunos aprendeme constroem suas ideias; 
- ter habilidades em planejar e selecionar tarefas e, assim, fazer com 
que os alunos aprendam Matemática num ambiente de Resolução de 
Problemas; 
15 
 
- ter habilidades em integrar diariamente a avaliação com o processo de 
ensino a fim de melhorar esse processo e aumentar a aprendizagem. 
Ao tratarem da formação das ideias por parte dos alunos, Onuchic e 
Allevato (2004) defendem que 
Os conceitos matemáticos que os alunos criam, num processo 
de construção, não são as ideias bem formadas concebidas 
pelos adultos. Novas ideias são formadas pouco a pouco, ao 
longo do tempo, quando os alunos refletem ativamente sobre 
elas e as testam através dos muitos diferentes caminhos que o 
professor pode lhes oferecer. (p.220) 
Também Santos (2002 apud ALLEVATO; 2005) analisa as tendência 
atuais do ensino por meio da resolução de problemas baseada no 
construtivismo que, de certa forma, se apoia no processo histórico de 
construção do conhecimento científico, onde os conhecimentos foram sendo 
criados como respostas a problemas específicos. Sobre tal questão, Allevato 
(2005, p. 39) destaca que 
Não se pode negar que a resolução de tais problemas 
matemáticos exige, também, algum domínio anterior da 
linguagem matemática, o conhecimento de fatos e a 
compreensão de algumas estruturas e relações que sustentam 
a Matemática como área de conhecimento. 
Antes de continuar minha apresentação sobre o ensino de matemática 
baseado na metodologia da resolução de problemas, quero, sob a ótica de 
alguns estudiosos, definir mais claramente o que é um problema. 
Para Dante (2000, apud ALLEVATO; 2005, p.40), um problema deve ser 
“qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la”, e diz que 
um problema matemático “é qualquer situação que exija a maneira matemática 
de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la”. 
Também Van de Walle (2001 apud ALLEVATO; 2005), em sua 
conceituação, afirma que um problema a ser proposto aos alunos para orientar 
a aprendizagem da Matemática deve ter três características: 
- começar onde os alunos estão, isto é, deve levar em consideração o 
entendimento e os conhecimentos que o aluno já possui; 
16 
 
- o aspecto mais envolvente do problema deve estar relacionado com o 
conteúdo matemático que se pretende que eles aprendam, de modo que as 
questões secundárias não desviem o foco do trabalho de resolução de 
problemas; 
- deve exigir justificativa e explicações para as respostas e métodos 
apresentados. 
Para Alevatto (2005, p. 41) “uma questão será um problema se o aluno 
ainda não conhece os meios necessários à resolução, mas está interessado 
em resolvê-la”. 
Mesmo estando correlacionadas, as definições de problema acima 
apresentadas não são equivalentes e, cada uma somente fará sentido de 
acordo com o contexto em que é inserida. Levando em consideração assim, a 
realidade de meu trabalho, gostaria de neste momento, conceituar problema 
como peça importantíssima no processo de ensino-aprendizagem já que 
representa o ponto de partida para se ensinar matemática sob o enfoque da 
Metodologia da Resolução de Problemas, e neste contexto, levo como base a 
conceituação apresentada por Van de Walle (2001 apud ALLEVATO; 2005). 
 
2.1.1. Ensinar Matemática Através da Resolução de P roblemas 
Conforme apresentado anteriormente, todo o trabalho desenvolvido com 
Resolução de Problemas na década de 1980, não alcançou a melhora 
esperada e apresentou incoerências. É possível, que isso tenha ocorrido 
“devido a uma falta de concordância entre as diferentes concepções que 
pessoas e grupos tinham sobre o significado de Resolução de Problemas ser o 
foco da Matemática escolar” (ONUCHIC, ALLEVATO; 2004, p. 216). 
Surgiram então, ideias sobre as possibilidades de utilizar a Resolução de 
Problemas como um meio de ensinar Matemática. Segundo essas ideias, 
relacionadas ao construtivismo: 
[...] os estudantes não mais são considerados como recipientes 
vazios a serem preenchidos, através da aprendizagem, com 
informações fragmentadas e desconexas. Antes, são seres 
17 
 
pensantes aos quais deve-se proporcionar, através do ensino, 
oportunidades de interpretar situações ou problemas e de 
relembrar conhecimentos anteriores a fim de construir novos 
conhecimentos. (ALLEVATO, 2005, p.55) 
 Isto significa que, através dos conhecimentos já existentes, são 
formados novos conceitos, construídos passo a passo. Dessa forma, os alunos 
passam por ricas experiências de aprendizagem da Matemática, pois ela é 
“autogerada em vez de ser imposta pelo professor ou pelo livro texto.” 
(ALLEVATO, 2005, p.59). 
 Nesses moldes, Santos (2002 apud ALLEVATO; 2005, p.56) afirma que 
a Resolução de Problemas como modelo de construção do conhecimento, 
coloca o aluno na situação de alguém que precisa resolver um certo problema 
mas que não possui a ferramenta necessária para fazê-lo. Diante desse fato, 
sente-se “obrigado” a construir essa ferramenta a fim de permitir a resolução de 
seu problema, formando o próprio conceito, assim como ocorre na construção 
dos conceitos científicos no construtivismo. 
No ensino de Matemática através da Resolução de Problemas, as 
habilidades e conceitos matemáticos devem ser aprendidos neste próprio 
contexto, o desenvolvimento de processos de pensamento de ordem superior 
deve ser estimulado através de experiências em resolução de problemas e, 
consequentemente, o ensino deve ocorrer via investigação orientada, num 
ambiente que favoreça a resolução de problemas (SCHROEDER; 
LESTER,1989 apud ALLEVATO; 2005). 
Completando, Onuchic (1999 apud ALLEVATO; 2005) defende que o 
ensino da matemática deve ocorrer em um ambiente caracterizado pela 
investigação orientada pela resolução de problemas, fazendo com que essa 
metodologia não seja apenas uma atividade a ser desenvolvida em paralelo ou 
como aplicação da aprendizagem, mas sim, como orientação para a 
aprendizagem. 
Nesse enfoque Allevatto (2005, p.60) afirma que “o ponto de partida das 
atividades matemáticas deixa de ser a definição e passa a ser o problema”. 
18 
 
Desta forma, percebemos que a investigação é papel fundamental nesta 
metodologia, visto que a curiosidade, a necessidade de se obter novos 
conceitos, formas e maneiras de chegar ao esperado, faz com que o raciocínio 
seja constante, tornando-se quase automático. 
Infelizmente, algumas dificuldades surgem quando da implementação do 
ensino através da Resolução de Problemas. Estas dificuldades podem ser 
causadas por diversos fatos, entre eles podemos citar as restrições de tempo, 
a mudança de rotina e metodologia, a diversidade dos alunos, com diferentes 
tipos de habilidades, além da pouca experiência matemática de professores 
(ALLEVATO,2005). 
Como afirma Van de Walle (2001 apud ALLEVATO, 2005), não é fácil 
ensinar através da Resolução de Problemas. Porém, o autor apresenta razões 
para utilizar este método de ensino, tais como: a resolução de problemas 
coloca o foco da atenção dos estudantes sobre o “dar sentido”, envolvendo os 
alunos nos processos de resolução, raciocínio e prova, comunicação, 
conexões, e representação do problema; a resolução de problemas torna os 
estudantes capazes de fazer Matemática, e eles percebem que ela faz sentido, 
aumentando sua confiança e autoestima, ao poderem utilizar seu próprio 
raciocínio. Além disso, a resolução de problemas nesta concepção do ensinar 
“através”, fornece ao professor, dados da avaliação, que o permitem tomar 
decisões sobre o ensino e ajudar os estudantes no processo de aprendizagem. 
Com base no que foi apresentado, introduzirei nos próximos capítulos 
minha experiência na aplicação da metodologia estudada nestas seções. 
 
2.2. Análise de Erros no Ensino da Matemática 
Quando utilizada em sala de aula, a Análise de Erros, associada às 
respostas e produções dos alunos, pode ser considerada uma metodologia de 
pesquisa ouaté mesmo, aplicada como metodologia de ensino. Assim, partindo 
dos erros detectados e levando os alunos a questionarem suas respostas, a 
Análise de Erros funcionará como “trampolim para a aprendizagem” (BORASI; 
19 
 
1985 apud CURY; 2007) na construção do próprio conhecimento (CURY, 
2007). 
As maneiras de avaliar os erros variam de professor para professor: 
alguns estão preocupados apenas em detectar os erros, sem discuti-los com os 
alunos; outros aproveitam os erros encontrados e retomam o conteúdo em 
questão, permitindo que os alunos identifiquem suas dificuldades e tentem 
superá-las; outros, ainda, exploram os erros com os alunos, questionando os 
limites de validade da resposta dada, ou mesmo, tentando entender como os 
alunos raciocinam ao resolver a questão. 
Enxergar os erros dos alunos, como oportunidades para a aprendizagem 
dependendo do contexto e realidade em que é inserido, facilita 
consideravelmente o processo de ensino, visto que, fica mais claro para o 
professor visualizar onde se encontram as maiores dificuldades, os defeitos 
nas definições de conceitos anteriores que já deveriam ser claros aos alunos, 
além de outras melhoras, que o trabalho com a análise de erros proporciona e 
que vamos estudar nestas linhas. É o “aproveitamento didático dos erros” 
(LOPES apud CURY; 2007, p.11). 
Há uma diversidade de pesquisas sobre temas relacionados aos erros, 
visando valorizá-los, utilizando-os como oportunidades de melhora, de 
evolução, de construção do saber. Alguns trabalhos realizados e a visão de 
novas possibilidades apontadas por estudiosos desta área serão introduzidas a 
seguir, para que nos situemos. 
As pesquisas em Análise de Erros na Educação Matemática vêm 
sofrendo influências em diversas épocas tanto na Pedagogia quanto na 
Psicologia, as diferentes perspectivas estão embasadas em concepções, 
pensamentos e hipóteses (CURY, 1995). 
Uma delas é a concepção absolutista da Matemática: os professores 
parecem assumi-la vendo-a como domínio do conhecimento incontestável e 
das verdades absolutas; buscam a eliminação dos erros, alertando os alunos 
quanto à sua ocorrência, para que não haja repetição futura. 
20 
 
Uma segunda fase na análise de erros aconteceu a partir dos anos 
1950, sob o enfoque do processamento da informação. Hutcherson (1975) 
incorporou a solicitação deste procedimento “pensar em voz alta”, 
procedimento que é empregado, até hoje, em muitas investigações sobre erros 
(CURY, 2007, p.40). Assim, todas as informações fornecidas pelos alunos 
enquanto resolviam um problema, eram analisadas e as diversas estratégias e 
os padrões de erros, detectados. 
“Tanto na perspectiva do behaviorismo1, como do processamento da 
informação, a análise de erros em Matemática tem-se restringido a uma função 
diagnóstica e reparadora” (CURY, 1995, p.42). Parece vigorar então, a visão 
absolutista da Matemática, onde os professores procuram proporcionar aos 
alunos meios de alcançarem a verdade absoluta, evitando os erros. 
Não com o intuito de quantificar os erros, Kent (1978 apud CURY; 2007) 
preocupou-se em discutir com os estudantes as razões pelas quais os erros 
foram cometidos. 
Diante das necessidades, faz-se necessária então, uma concepção 
sobre os erros dos alunos que não somente buscasse sua eliminação, mas 
levasse em conta o papel da cultura e do inter-relacionamento humano na 
ocorrência dos erros. Surge a abordagem construtivista, a partir da obra de 
Piaget, com uma nova visão do erro; nela, o ato de corrigir o erro pode ser mais 
fecundo para a aprendizagem do que o acerto imediato, já que permite 
comparar a hipótese falsa com suas consequências, chegando a correção por 
ele mesmo, o que favorece a construção de novas ideias (CURY, 2007). 
Cury (1995, p.44) destaca que “a perspectiva construtivista, portanto, 
apresenta uma visão bem mais aberta, aceitando os erros cometidos pelos 
alunos e até estimulando a sua ocorrência”. 
O que distingue as pesquisas do behaviorismo e do processamento de 
informação, das pesquisas de caráter construtivista, é a ênfase na eliminação 
 
1
behaviorismo | s. m. Teoria ou conjunto de métodos de investigação na área da Psicologia que pretende 
estudar o comportamento com base na observação e análise de estímulos e .reações, em detrimento da 
.introspecção e da consciência. 
21 
 
ou na exploração do erro e as consequências do estudo para o processo de 
ensino-aprendizagem de Matemática. 
Cury (2007) cita sobre os trabalhos de aplicação de entrevistas de 
Pochulu (2004) assim como os de Guilllermo (1992) que visavam o estudo dos 
erros em diversos conteúdos, com alunos de diferentes faixas e níveis de 
escolaridade. Por meio do estudo destes e de outros trabalhos, pode-se 
concluir que corrigir sistematicamente o erro, não irá favorecer sua eliminação. 
Sua proposta coincide com a de Borasi (1989), de usar estratégias em sala de 
aula em que os erros podem ser discutidos (CURY, 2007). 
Borasi (1989 apud CURY; 2007) coloca em segundo plano a 
preocupação com a eliminação dos erros e procura usá-los para (re)construir o 
conhecimento, evidenciando uma concepção construtivista. A autora procura 
utilizar o erro para questionar se o resultado obtido pode ser verificado. 
[...] “partindo da regra incorreta e elaborando situações 
didáticas motivadoras, é possível fazer uso do erro como 
‘trampolim para aprendizagem’, expressão usada por Borasi 
(1985), ao introduzir uma coletânea de artigos sobre erros.” 
(CURY, 2007, p.37) 
Ainda Borasi (1989 apud CURY; 2007), em seu estudo de taxionomia do 
uso dos erros, chama os professores a abandonarem forma de ensino dita 
“tradicional”, no qual ele é o transmissor e não há um processo de troca de 
informações com os alunos e nem de construção do conhecimento. Ela indica o 
desenvolvimento de ambientes de aprendizagem, em que é possível 
encaminhar os alunos para atividades de exploração. Assim eles são 
“encorajados a expor suas próprias ideias, a organizar o pensamento, a tecer 
hipóteses e a descobrir que algumas questões matemáticas podem ser 
resolvidas de maneiras diferentes; em síntese, a investigar” (CURY, 2007, p. 
79). 
Baseados nestas ideias somos convidados a enxergar que o aluno não é 
um recipiente vazio, e que ao ser colocado diante de um ambiente motivador, 
utilizará todo o conhecimento que já possui para tentar resolver o que ainda 
não sabe, o até então desconhecido. Dessa forma, exposto sim, a erros, o 
aluno dá ao professor a oportunidade de conhecê-lo e de ajudá-lo a elaborar 
22 
 
seu conhecimento, levando-o a um questionamento sobre suas respostas, 
enquanto o professor proporciona ao aluno a oportunidade de construir seu 
próprio conhecimento. 
Cury (2007) orienta que, quando há a participação de mais de um aluno, 
seja numa resolução de problema, ou outro momento qualquer, o professor 
deve, ao mesmo tempo em que observa quais são os erros presentes, ainda 
distinguir se eles estão presentes em toda turma ou se são especificamente de 
um aluno. 
Após o erro ser verificado, é o momento de “sugerir novos dados para o 
problema, de modo que a insistência no erro leve a um absurdo” (CURY, 2007, 
p.81). 
Essa é uma estratégia ad hoc, porque o erro surge em uma intervenção 
oral do aluno na sala de aula. Dessa forma, primeiramente os erros são 
aceitos, e em seguida o aluno analisa suas próprias respostas 
participativamente (LOPES, 1988 apud CURY; 2007). 
Segundo Lorenzato (2010), muitas escolas atualmente adotaram uma 
concepção diferente de erro, principalmente na educação infantil. Nesta ‘nova’ 
concepção, assim chamada por trazer o trabalho com erros sob uma visão 
repleta de autonomia e livre do medo, o erro “é interpretado como parte natural, 
inevitável e indispensável ao processo de aprendizagem” (LORENZATO, 2010, 
p.49). 
Somos levados então a pensar sobre algumascaracterísticas da 
utilização da Análise de Erros no ensino-aprendizagem de Matemática, tanto 
no momento da introdução de novos conceitos por meio de problemas 
(resolução de problemas), tanto quanto nas avaliações escritas, onde o aluno 
coloca no papel aquilo que pensa sobre o assunto abordado (LORENZATO, 
2010). Sendo assim: 
- o erro é pista ⁄ dica para a realização de sondagem às suas possíveis 
causas. 
23 
 
- os erros dos alunos podem ser interpretados como verdadeiras 
amostragens dos diferentes modos que eles podem utilizar para pensar, 
escrever e agir. 
- “é errando que se aprende”. Mas é extremamente importante corrigir o 
erro. 
- os erros podem ter distintas causas e detectá-las na maioria das vezes 
não é fácil. 
- convém ao professor “propor ao aluno uma ou mais situações com as 
quais ele possa perceber a incoerência de suas respostas ou posições” 
(LORENZATO, 2010, p.50). 
 
É com base nesta concepção de análise de erros que pretendo 
desenvolver o ensino de Matemática. Apresento na próxima seção uma 
experiência que tive a oportunidade de vivenciar em meu Estágio de Regência, 
a qual despertou-me o interesse sobre o assunto que abordei nestas linhas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
3. CONTEXTO E DESENVOLVIMENTO DO ESTUDO 
Feito o estudo sobre a parte teórica das metodologias apresentadas, 
enuncio a seguir minha experiência no ensino da Matemática utilizando a 
Metodologia da Resolução de Problemas e a Análise de Erros, apresentando 
também os resultados obtidos com a utilização das mesmas. 
 
3.1. Ensino da Matemática através da Resolução de P roblemas 
Em meu estágio de regência realizado com alunos da 1ª série do Ensino 
Médio da Escola Estadual Capitão Horácio Antonio do Nascimento, situada em 
Tabapuã – SP, pude aplicar a Resolução de Problemas como metodologia em 
várias de minhas aulas. Escolhi uma delas para que pudesse mostrar como é 
possível, com a participação dos alunos, desenvolver novos conceitos tendo 
como ponto de partida um problema. 
Dando continuidade ao ensino das Progressões, após já termos 
estudado Sequências e Progressão Aritmética (P.A.), introduzi o estudo da 
Progressão Geométrica (P.G.). Sendo assim, já admitiremos que os alunos 
conheciam e sabiam lidar com sequências numéricas, razões, termos, número 
de termos e cálculo do termo geral, tanto por meio da fórmula enunciada em 
aulas anteriores, quanto sem aplicá-la. Após enunciar o problema e escrevê-lo 
na lousa para que os estudantes o copiassem e, depois, resolvêssemos, dividi 
a lousa em duas partes e separei as duas sequências: uma em cada lado da 
lousa. 
No anexo I está presente a resolução elaborada por uma das alunas. 
O problema, que trazia duas sequências em seu enunciado, exigia que 
os alunos dominassem o cálculo de termos específicos, e num primeiro 
momento que soubessem como deduzir a fórmula do termo geral, como podem 
25 
 
observar:
 
 
Figura 1: Enunciado do Problema 
Pedi então que me dissessem aos poucos o que viam, como achavam 
que devíamos resolver para chegar ao resultado que o problema pedia; como a 
primeira sequência era uma progressão aritmética, e a turma já havia até este 
momento estudado tal assunto, a determinação do 6º termo e até mesmo da 
fórmula do termo geral foram encontrados rapidamente. 
Alguns alunos respondiam de forma direta quais eram os resultados, 
pois já haviam observado que a sequência era caracterizada pela soma da 
razão 3 em cada termo, para a obtenção de seu sucessor. Dessa forma, 
disseram que o 6º termo seria o número 17, e que a fórmula do termo geral 
desta P.A. era 
an = 2 + 3 (n-1) 
Mas simplesmente encontrar os resultados não era exatamente o que eu 
esperava que acontecesse naquele momento. O objetivo daquela parte do 
exercício era que, ao resolvessem-na passo a passo, mais tarde pudessem 
relacionar o que já conheciam com o novo conceito que seria estudado. 
Neste momento, expliquei a eles que gostaria que me dissessem quais 
eram os dados que podíamos extrair do problema para escrever passo a passo 
a resolução da Progressão da alternativa a). Com a participação de boa parte 
da turma, fomos escrevendo quem eram os termos da sequência, mesmo os 
26 
 
conhecidos, e ainda, deduzindo como eles eram obtidos. Por exemplo: o termo 
a2, era obtido somando-se a razão 3 ao primeiro termo; o termo a3 era obtido 
através da soma da razão 3 ao resultado do segundo termo. A partir daí, 
fizemos a relação do terceiro termo com o primeiro (já que a3 = a2 + 3 e a2 = a1 
+ 3, temos a3 = a1 + 3 + 3), e assim sucessivamente até o 6º termo. 
Vejamos: 
 
Figura 2: Desenvolvimento das ideias de resolução – alternativa a. 
Seguindo o mesmo raciocínio, fizemos a dedução da fórmula para o 
cálculo do n-ésimo termo como era pedido. Neste processo de montagem e 
resolução da primeira parte do problema pude contar com a participação de 
vários alunos, e posso dizer que, aparentemente, no que diz respeito ao 
raciocínio dos mesmos, a ideia de P. A. já estava bem definida. 
Num segundo momento, olhando para a sequência apresentada na 
alternativa b) do problema (que é, com a finalidade de introduzir o novo 
conceito, Progressão Geométrica), pedi que desenvolvessem o mesmo 
processo que construíram na alternativa anterior, sem dizer a eles que tipo de 
progressão era aquela. 
27 
 
Num primeiro impacto alguns alunos disseram que a razão daquela 
sequência era 8; ao mesmo tempo, outros alunos, pouco mais atentos, 
responderam que não pois a próxima razão (diferença entre o terceiro e 
segundo termos) seria 40. Disseram, então, que não era P. A., pois as razões 
não eram as mesmas quando subtraiamos os termos; por exemplo, ao 
realizarem a subtração de a2 por a1, obtinham o valor 8; o subtraírem a3 por a2, 
obtinham 40, e de acordo com alguns exercícios resolvidos quando estudavam 
progressão aritmética, quando não encontravam as mesmas razões realizando 
as subtrações entre termos de uma sequência, concluíam que aquela então, 
não era P. A.. 
Eles estavam corretos, aquela sequência não era uma Progressão 
Aritmética. Mas então, qual seria outra característica que podiam encontrar 
observando os termos? – perguntei. 
Alguns alunos responderam que a “cada termo estava sendo 
multiplicado por 5”, e em um diálogo muito rico, foram aos poucos relacionando 
cada termo com o anterior, e concluíram que neste caso, a razão sempre 
multiplicava. 
Tiveram um pouco de dificuldade quando pedi que fizessem como 
tinham realizado com os termos da primeira sequência, quando indicavam 
quantas vezes estávamos somando cada razão em cada termo. Me disseram: 
“mas nessa sequência não estamos somando, como vamos fazer?”. Pedi que 
me dissessem como poderíamos estar escrevendo cada termo, em função do 
anterior e também do a1, agrupando as razões que multiplicavam. 
Começaram a “pensar em voz alta” e fui fazendo como me orientavam. 
Escrevi então, o a1 que já tínhamos e o a2 como a1.5, isto é, a2 = a1.5; depois, 
ainda sob o comando deles, escrevi o a3 como a3 = a1.5.5, e assim 
sucessivamente, até o termo a6. 
No meio do processo de construção dos termos, um dos alunos 
respondeu que deveríamos “elevar” a razão ao número de vezes que ela 
aparecia no termo. O desenvolvimento dos termos ficou da seguinte forma: 
28 
 
 
Figura 3: Desenvolvimento das ideias de resolução – alternativa b. 
Partindo dos raciocínios descritos e ilustrados acima, a turma encontrou 
o 6º termo pedido, e inclusive, pôde construir a ideia do cálculo do n-ésimo 
termo da sequência que, já sabiam não ser progressão aritmética, mas que 
ainda não sabiam o que era. 
A parte de dedução da fórmula do termo geral para esta sequência 
despertou dúvidas em alguns alunos; eles sabiam que a fórmula deveria ficar 
da “forma ‘an = a duas vezes alguma coisa’, mas quem seria essa coisa?”, 
questionaram. Perguntei a eles o que acontecia com as razões, me disseramque multiplicavam; perguntei então que, ao agruparem-nas o que observavam? 
Responderam que estavam sempre elevadas a um número, que era crescente 
se comparássemos os termos. Então, indaguei como poderíamos relacionar 
cada número do expoente com a posição do termo; logo visualizaram que o 
expoente era o antecessor do número que indicava a posição do termo. Por 
exemplo, no termo a4, tínhamos o 5 (razão), elevado a 3. 
Assim, conseguiram deduzir a fórmula para esta sequência, que ficou da 
seguinte forma: 
29 
 
 
Figura 4: Fórmula do termo geral deduzida na alternativa b. 
Após o término dos raciocínios já descritos, e a montagem da resolução 
do problema na lousa conforme mostrado acima, retomei o que tínhamos feito 
desde a primeira sequência, e através das palavras ditas pelos próprios alunos, 
pudemos concluir o que era cada uma das sequências, quem eram as razões e 
os termos pedidos. 
No fim, ao perceber que a maioria da turma havia acompanhado com 
clareza o desenvolvimento da resolução do problema inicial e melhor ainda, 
compreendido as diferenças entre as sequências, e suas características 
principais, coloquei de forma escrita o que podíamos concluir sobre cada 
progressão, e enunciei a definição conceitual de Progressão Geométrica 
pedindo que copiassem em seus cadernos (anexo I). 
Desta forma, pude utilizar o Ensino de Matemática através da Resolução 
de Problemas, tendo como ponto de partida um problema trabalhado com a 
turma, que foi instigada a resolvê-lo diante da curiosidade, do fato de não saber 
como fazer, tornando suas investigações e raciocínios, fatos importantíssimos 
no processo de construção do conhecimento. 
 
3.1.1. Resultados obtidos com a utilização da Metod ologia da 
Resolução de Problemas 
No desenvolvimento de uma aula de Matemática, o que espera-se é que 
os alunos absorvam o conhecimento trabalhado, participando ativamente das 
atividades propostas em resposta aos apelos do professor quando da inserção 
de um problema que exija raciocínio. 
De acordo com a experiência descrita nas linhas acima, observamos ser 
possível que todo o processo de ensino-aprendizagem ocorra de forma 
30 
 
construtiva, por meio do ensino da Matemática através da Resolução de 
Problemas. 
Neste contexto, o professor deve deixar para trás as antigas concepções 
sobre o ensino de Matemática, e encarar cada novo pensamento do aluno, 
sobre a questão proposta, como “meio de” desenvolver o novo conceito, afinal, 
se o problema introduzido parte de certo conhecimento já existente no saber 
dos alunos, eles serão induzidos a utilizá-lo, e ao mesmo tempo, modificá-lo de 
acordo com as novas necessidades surgidas. 
Na aula que utilizamos como base para este trabalho, a resolução do 
problema inicialmente apresentado partia do conhecimento de Progressão 
Aritmética que os alunos já possuíam, e através da investigação orientada pela 
professora, levava os alunos a perceber a necessidade da introdução e 
construção de um novo conhecimento, que levou ao aprendizado e 
entendimento das Progressões Geométricas. 
Portanto, o ensino de Matemática ocorrido através da Resolução de 
Problemas foi realizado, os alunos participaram da construção de seu próprio 
conhecimento, e, este foi entendido e aprendido pelos estudantes. 
 
3.2. Erro como Instrumento Didático no Ensino da Ma temática 
Ao longo de meu Estágio de Regência, na Escola Capitão Horácio 
Antonio do Nascimento, situada em Tabapuã-SP, criei um grupo de orientação 
voltado aos alunos matriculados nas classes de 3ª série do Ensino Médio que 
estivessem interessados em participar de grupos de estudo e preparação para 
o ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) e vestibulares em geral. As “aulas” 
eram ministradas uma vez por semana e duravam aproximadamente três 
horas⁄dia, no período noturno, a fim de possibilitar a participação dos alunos 
que estudavam nos outros períodos. 
Em uma das aulas, foi observado num momento de Resolução de 
Problemas retirados de vestibulares anteriores, como podemos relacionar e 
utilizar os próprios erros dos alunos a favor do ensino da matemática. 
31 
 
Nas aulas anteriores já havíamos revisado os conteúdos de Regra de 
Três Simples e Composta, e também foram aplicados diversos problemas e 
exercícios que envolviam tal conteúdo. 
Partindo de um problema, iniciamos então, o estudo de percentagem. 
Apresentando o enunciado aos alunos, procuramos desenvolver a resolução 
baseando-nos nas ideias dos mesmos, num processo de investigação, visando 
à exposição das ideias que possuíam e que seriam úteis ao problema em 
questão. 
(PUC-RIO 2009) João recebeu um aumento de 10% e com isso seu 
salário chegou a R$1.320,00. O salário de João antes do aumento era igual a? 
a)R$1.188,00 b)R$1.200,00 c)R$1.220,00 d)R$1.310,00 e)R$1.452,00 
A princípio os alunos mantiveram-se pensativos, alguns estabeleceram 
diálogos com seus colegas, e logo surgiram ideias que sugeriam por onde e 
como começariam a resolver. Através das exposições iniciais, comecei a 
explorar suas ideias que ainda não estavam muito bem definidas. Senti que 
havia certo receio por parte de alguns alunos em participar da resolução e não 
conseguir encontrar qual seria o resultado correto – é o medo de errar e ser 
julgado pelo professor. 
Consegui que “pensassem em voz alta” e a partir daí, fui desenvolvendo 
o raciocínio de acordo com o que me orientavam, e observei que haviam desde 
o início, partido de uma hipótese equivocada – e porque não diria – errada. 
Ao fim da resolução, pedi para que me explicassem então como havia 
sido o raciocínio e ainda assim, nenhum deles percebeu “o erro” que estava em 
calcularem 10% sobre o valor de R$ 1.320,00, chegando a R$ 132,00 e, ainda 
subtraindo o valor encontrado do valor julgado por eles como inicial ( fizeram 
R$ 1.320,00 – R$ 132,00), obtendo o resultado final de R$ 1.188,00 que 
correspondia à alternativa a. 
A partir daí, após chegarem ao valor acima citado, perguntei o que era 
este valor; responderam que era o salário inicial do João. Por meio de um 
diálogo calmo, e contando com a participação de praticamente todos os alunos 
32 
 
presentes, indaguei que, se o salário inicial do João era R$ 1.188,00 de acordo 
com o que haviam encontrado, então, como deveríamos proceder para que ele 
recebesse o aumento salarial? 
Quase que automaticamente, responderam que deveríamos calcular 
10% sobre R$ 1.188,00 e somar o valor encontrado ao valor do salário inicial 
do João. Pedi que fizessem estes cálculos e mais que de pressa perceberam 
que o valor final do salário encontrado após este raciocínio era R$ 1.306,80, e 
não R$ 1.320,00 conforme o enunciado do problema. Havia algum erro na 
resolução feita por eles. Onde estaria este erro? 
Alguns alunos conseguiram visualizar que estávamos calculando a 
percentagem sobre um valor que não era o correto, mas ainda assim, não 
sabiam – na verdade, não se lembravam - como deveriam proceder. 
Voltando ao enunciando do exercício sem apagar o desenvolvimento do 
problema fruto do raciocínio da turma, fui trabalhando com eles qual seria a 
outra forma de resolvermos tal questão. 
- Qual era valor inicial sobre o qual deveríamos calcular o aumento 
salarial do João? 
- O que este valor desconhecido representava quando pensávamos em 
percentagem? 
- Como podíamos relacionar o aumento com o valor inicial e o valor final 
do salário – onde só conhecemos o valor final? 
Partindo da ideia do que não deveriam fazer, e recordando conceitos já 
revisados em nosso grupo de orientação onde havíamos estudado em dias 
anteriores problemas envolvendo regra de três, os alunos foram novamente 
expondo suas ideias, já com hipóteses mais bem estruturadas, com uma nova 
e melhor organização do pensamento, e perceberam onde estava havendo o 
erro e como deveriam proceder sempre diante de problemas desse tipo. 
Depois de resolvermos em conjunto ede forma correta o problema 
enunciado acima, defini então o cálculo de percentagem, sempre ressaltando 
33 
 
que aquele tipo de erro é comum, e que na maioria das vezes quando já se 
obtêm o domínio do conceito, ele pode ocorrer mais ainda por falta de atenção. 
 
3.2.1. Resultados obtidos com a utilização da Análi se dos Erros 
dos Alunos 
Como já foi dito anteriormente, o erro por parte dos alunos pode ter 
diversas causas. Levando em conta minha experiência em sala, a um grupo de 
alunos do último ano que visam as provas de vestibular, e que, já “conhecem” a 
maior parte dos conceitos matemáticos, classifico algumas causas que podem 
ter levado ao erro descrito acima sendo elas: acharem que dominam o 
conceito, ficarem presos à pressa para resolver cada problema/exercício de 
vestibular pois o tempo é peça importantíssima ao que diz respeito à conseguir 
terminar a prova, não interpretarem corretamente o enunciado, e nem mesmo 
tentarem visualizá-lo como costumeiro que muitas vezes é. 
Não digo isto insinuando que é “errado errar”; estaria desta forma 
contradizendo tudo que enunciei neste trabalho. Pelo contrário, graças ao erro 
ocorrido, pude no momento, desenvolver a aula de forma construtiva e agora, 
aprofundar meus conhecimentos neste tema, tendo “o erro como orientador da 
aprendizagem matemática.” 
Errar, nem sempre é provar que não se sabe aquilo que é pedido. Há 
vários outros fatores que influenciam os alunos em uma avaliação, e muitas 
vezes, o erro é fruto de algo que apenas, não foi bem “explicitado”. Acredito 
que, quando sabemos onde e por que os alunos estão tendo dificuldades, fica 
bem mais fácil resolvermos os problemas, melhorando nossas aulas, 
metodologia e formas de avaliação. Em sala mesmo, julgo importantíssima a 
participação dos alunos na construção do saber, e isso só se dá quando há a 
participação ativa deles na “construção” do conceito; digo isso, pois, quando os 
alunos nos acompanham no desenvolvimento de um novo conteúdo, através 
do diálogo e do raciocínio em “voz alta”, podemos perceber onde estão as 
maiores dificuldades, e até mesmo, usá-las no ato do ensino, mostrando que 
34 
 
daquela forma, não iremos chegar ao esperado. Devemos sim, corrigir os 
erros, mas antes o melhor é observar por quais causas ele ocorreu. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ensinar matemática nunca foi uma tarefa fácil, e este é um dos diversos 
fatos que levaram tantos estudiosos a dedicarem-se a uma melhor forma de 
realizá-la. 
A Resolução de Problemas como metodologia veio revolucionar as 
ideias de como ensinar matemática, e hoje, é uma das metodologias que mais 
fornece resultados satisfatórios quando é bem empregada. Mais ainda, o 
ensino da Matemática através da Resolução de Problemas, trouxe mudanças 
no que diz respeito a não mais ensinar Matemática considerando que os alunos 
não possuem conhecimento algum, mas sim, levando em conta o que eles já 
sabem, desenvolvendo estes conceitos, evoluindo suas ideias, seu raciocínio e 
pensamento. Ensinar matemática, sob esta visão tornou-se “um meio” de 
construir novos conhecimentos. 
Desta forma, a metodologia da Resolução de Problemas, e o ensinar 
“através” dela, tornou-se por si só, uma excelente maneira de desenvolver as 
aulas, tornando-as mais ricas e mais participativas no que diz respeito ao fato 
de o próprio aluno estar envolvido na resolução do problema apresentado pelo 
professor. 
Assim como pôde ser observado na aplicação do estudo sobre este 
tema, certa aula que antes ocorria apenas de maneira expositiva, onde o 
conteúdo era simplesmente apresentado, e deveria ser entendido, ou mesmo 
gravado pelos alunos, não mais se desenvolve desta forma. Na concepção de 
ensinar através da resolução de problemas, o professor funciona como 
mediador do saber, já que instiga a curiosidade do aluno ao introduzir um 
problema não tão simples, que requer raciocínio e dedução, ao mesmo tempo, 
que trabalha as informações recebidas dos alunos, ajudando-os a organizá-las 
e a desenvolvê-las. No fim, o conhecimento é construído a partir dos 
pensamentos que são apresentados por eles, e delineados com a ajuda do 
professor. 
A opção de ensinar Matemática através da Resolução de Problemas fica 
a cargo de cada professor, que de acordo com o contexto e realidade, pode ou 
36 
 
não utilizá-la como metodologia de ensino. Não necessariamente, aquele que 
optar por utilizá-la em certa aula, deverá sempre continuar ensinando através 
dela, mas, geralmente quem faz a opção por esta metodologia, diante dos 
resultados obtidos, muito dificilmente voltará a ensinar de forma tradicional. 
Com tantas razões já apresentadas para que ocorra a adoção da 
Metodologia da Resolução de Problemas como forma de ensino da 
Matemática, é interessante ressaltar que, ela pode ser utilizada como forma 
única de trabalho em sala de aula, e também ser desenvolvida combinada a 
outras metodologias de ensino ou de pesquisa que por ventura venham a 
somar no desenvolvimento da aula, e na construção do conhecimento. 
Neste trabalho conhecemos além da metodologia da Resolução de 
Problemas, outra forma de desenvolver o ensino da Matemática: a Análise de 
Erros, a qual sob a visão de alguns estudiosos considera o erro como 
instrumento didático (CURY, 2007). 
Só é possível que haja algum erro por parte do aluno, mediante a 
participação do mesmo no decorrer da aula e, principalmente no momento da 
construção dos conhecimentos necessários à resolução do problema 
apresentado. Isto significa que, ao tentar resolver a questão, o aluno expõe 
suas opiniões e raciocínios, buscando a solução; se ele ainda não conhece os 
meios necessários para resolver corretamente o problema, provavelmente, não 
conseguirá solucioná-lo da forma que pensava, e cometerá algum tipo de erro. 
Com base no que já foi apresentado na teoria sobre Análise de Erros, 
podemos observar que de alguma forma, o erro do aluno servirá como 
instrumento para o ensino e introdução do novo conceito tornando possível o 
desenvolvimento correto do problema, bem como a obtenção do resultado 
esperado. 
Dessa forma, podemos relacionar a utilização da análise de erros como 
instrumento didático, estando muitas vezes aliada ao ensino da Matemática 
através da Resolução de Problemas, já que o uso desta metodologia 
proporciona a construção do conhecimento tendo como ponto de partida um 
problema que os alunos ainda não possuem ferramentas suficientes para 
37 
 
resolver. Ao tentar solucioná-lo, através da Resolução de Problemas, os alunos 
serão levados a buscar estratégias que ao serem desenvolvidas, levarão à 
apresentação e posteriormente, à definição de um novo conceito, chegando ao 
resultado esperado; quando, porém, na tentativa de solucionar o problema 
enunciado, os alunos, por diversas causas, tomam um caminho equivocado, o 
erro se fará presente e será necessário trabalhá-lo de forma que os alunos 
possam enxergar como chegarão a um absurdo se continuarem a resolução do 
problema pelo caminho que escolheram. 
Assim feito, os alunos por si mesmos reorganizarão seus pensamentos, 
e com a ajuda do professor, que proporcionará a eles um ambiente motivador, 
levando-os a novos raciocínios, poderão finalmente, construir o novo 
conhecimento, e perceberão que são capazes de fazer matemática e não 
somente enxergá-la como algo pronto, ao mesmo tempo, inatingível. 
Podemos concluir então que a Análise de Erros funciona, quando 
introduzida ao Ensino da Matemática através da Resolução de Problemas, 
como instrumento no processo de construção do conhecimento, visto que 
possibilita aos professores explorar os erros dos alunos, suas causas e 
características sempre levando em conta que o erro é fruto de um saber que o 
aluno já possui e que foi construído de alguma forma, e que somente através 
das intervenções didáticaselaboradas pelo professor, o aluno chegará ao 
questionamento de suas próprias respostas, e finalmente à construção de 
novos conhecimentos. 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
5. REFERÊNCIAS 
ALLEVATO, N. S. G., Associando o Computador à Resolução de Problemas 
Fechados: Análise de uma experiência. 2005. Tese (Programa de Pós 
Graduação em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências 
Exatas (IGCE), Universidade Estadual Paulista (UNESP), Rio Claro - SP, 2005. 
CURY, H. N., Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos 
alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. 
CURY, H. N., Retrospectiva Histórica e Perspectivas Atuais da Análise de Erros 
em Educação Matemática. In Revista Zetetiké, Ano 3 - n.4, p.39-50, 1995. 
LORENZATO, S., Valorizar os erros dos alunos. Coleção Formação de 
Professores: Para aprender matemática. Campinas, SP: Autores Associados, 
2010. 
MOREN, E. B. S.; DAVID, M. M. M. S.; MACHADO, M. P. L. Diagnóstico e 
Análise de Erros em Matemática: Subsídios para o Processo Ensino-
Aprendizagem. In Caderno de Pesquisa, São Paulo, n.83, p.43-51, nov.1992. 
ONUCHIC, L. R., ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o Ensino da 
Matemática através da Resolução de Problemas. In Educação Matemática: 
Pesquisa em Movimento. / Maria Aparecida Viggiane Bicudo, Marcelo de 
Carvalho Borba (orgs.). –São Paulo: Cortez, 2004. p.213-231. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
6. ANEXOS 
 
Anexo I 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
41