(E-book IFMG) - Matemática Analise Combinatória e Probabilidade (1)

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Matemática: 
Análise Combinatória e Probabilidade 
 
 
 
 Vinícius Barbosa de Paiva
Formação Inicial e 
Continuada 
+ 
IFMG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vinícius Barbosa de Paiva 
 
 
 
 
 
Matemática: Análise Combinatória e Probabilidade 
1ª Edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
Instituto Federal de Minas Gerais 
2021 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FICHA CATALOGRÁFICA 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 
 
P149m Paiva, Vinícius Barbosa de. 
 Matemática : análise combinatória e probabilidade [recurso 
eletrônico] / Vinícius Barbosa de Paiva. – Belo Horizonte : 
Instituto Federal de Minas Gerais, 2021. 
 82 p. : il. color. 
 
 E-book, no formato PDF. 
 Material didático para Formação Inicial e Continuada. 
 ISBN 978-65-5876-093-1 
 
 1. Análise combinatória. 2. Probabilidades. 3. Matemática. 
I. Título. 
 
 CDD 519.2 
Catalogação: Andreia Cristina Damasceno - CRB-6/1976 
 
 
Índice para catálogo sistemático: 
 
Análise combinatória- 519.2 
 
 
Pró-reitor de Extensão 
Diretor de Programas de Extensão 
Coordenação do curso 
Arte gráfica 
Diagramaçã978-65-5876-093-1o 
Carlos Bernardes Rosa Júnior 
Niltom Vieira Junior 
Vinícius Barbosa de Paiva 
Ângela Bacon 
Eduardo dos Santos Oliveira 
© 2021 by Instituto Federal de Minas Gerais 
Todos os direitos autorais reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico 
ou mecânico. Incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de 
armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização por escrito do 
Instituto Federal de Minas Gerais. 
2021 
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Instituto Federal de Minas Gerais 
Avenida Mário Werneck, 2590, 
CEP: 30575-180, Buritis, Belo Horizonte – MG, 
Telefone: (31) 2513-5157 
Sobre o material 
 
 
 
Este curso é autoexplicativo e não possui tutoria. O material didático, 
incluindo suas videoaulas, foi projetado para que você consiga evoluir de forma 
autônoma e suficiente. 
 Caso opte por imprimir este e-book, você não perderá a possiblidade de 
acessar os materiais multimídia e complementares. Os links podem ser 
acessados usando o seu celular, por meio do glossário de Códigos QR 
disponível no fim deste livro. 
Embora o material passe por revisão, somos gratos em receber suas 
sugestões para possíveis correções (erros ortográficos, conceituais, links 
inativos etc.). A sua participação é muito importante para a nossa constante 
melhoria. Acesse, a qualquer momento, o Formulário “Sugestões para 
Correção do Material Didático” clicando nesse link ou acessando o QR Code a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para saber mais sobre a Plataforma +IFMG acesse 
https://mais.ifmg.edu.br 
 
Formulário de 
Sugestões 
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https://mais.ifmg.edu.br/
 
 
 
 
 
 
 
Palavra do autor 
 
 
 Prezado(a) estudante, seja bem-vindo ao curso de Formação Continuada 
“Matemática: Análise Combinatória e Probabilidade”. 
O estudo do conteúdo de Análise Combinatória e Probabilidade é 
abordado no Ensino Médio e, geralmente, tem sido um grande obstáculo por 
parte de estudantes que apresentam dificuldades em assimilar os assuntos e, 
consequentemente, na resolução de exercícios relacionados ao tema. 
O tema proposto no Curso em questão é de grande importância na 
formação dos estudantes e egressos do Ensino Médio e tem sido muito cobrado 
em concursos públicos, processos seletivos e no Exame Nacional do Ensino 
Médio (ENEM). 
Dividido em três módulos, este curso irá apresentar os assuntos de 
Análise Combinatória e Probabilidade de modo a contribuir com a consolidação 
do conteúdo proposto junto aos estudantes e egressos do Ensino Médio. 
É muito importante que você tenha disciplina e assista aos vídeos com 
muita atenção realizando as atividades propostas. 
A sugestão de estudos indica a realização do Curso em três semanas, 
considerando que a cada etapa é preciso dar um prazo para a reflexão e 
amadurecimento das informações que lhe serão apresentadas. 
 
Bons estudos! 
O autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentação do curso 
 
 
Este curso está dividido em três semanas, cujos objetivos de cada uma são 
apresentados, sucintamente, a seguir. 
 
SEMANA 1 
Nesta semana, estudaremos os assuntos de análise 
combinatória: princípio fundamental da contagem, fatorial 
de um número natural, permutação simples e arranjo 
simples. 
SEMANA 2 
Nesta semana, vamos abordar os assuntos: combinação 
simples, permutação com elementos repetidos e 
iniciaremos o estudo da probabilidade com os assuntos: 
espaço amostral, eventos, probabilidade e suas 
propriedades. 
SEMANA 3 
Nesta semana, vamos abordar os assuntos: probabilidade 
da união de dois eventos, probabilidade condicional e 
probabilidade de eventos independentes. 
 
 
Carga horária: 30 horas. 
Estudo proposto: 2h por dia em cinco dias por semana (10 horas semanais). 
 
 
Apresentação dos Ícones 
 
 
Os ícones são elementos gráficos para facilitar os estudos, fique atento quando 
eles aparecem no texto. Veja aqui o seu significado: 
 
 
 
 
Atenção: indica pontos de maior importância no 
texto. 
 
Dica do professor: novas informações ou 
curiosidades relacionadas ao tema em estudo. 
 
Atividade: sugestão de tarefas e atividades para 
o desenvolvimento da aprendizagem. 
 
Mídia digital: sugestão de recursos 
audiovisuais para enriquecer a aprendizagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Semana 1 – Análise Combinatória ................................................................ 15 
1.1. Princípio fundamental da contagem ................................................... 15 
1.2. Fatorial de um número natural ........................................................... 27 
1.3. Permutação simples ........................................................................... 28 
1.4. Arranjo simples .................................................................................. 35 
Semana 2 – Análise Combinatória e Probabilidade ....................................... 41 
2.1 Combinação ....................................................................................... 41 
2.2 Permutação com elementos repetidos ............................................... 47 
2.3 Espaço amostral e eventos ................................................................ 52 
2.4 Probabilidade e propriedades ............................................................. 55 
Semana 3 – Probabilidade ............................................................................ 61 
3.1 Probabilidade da união de dois eventos ............................................. 61 
3.2 Probabilidade condicional .................................................................. 63 
3.3 Probabilidade de eventos independentes ........................................... 66 
Referências ................................................................................................... 75 
Currículo do autor .......................................................................................... 77 
Glossário de códigos QR (Quick Response) ................................................. 78 
 
 
 
 
file:///C:/Users/Niltom/Downloads/(E-book%20+IFMG)%20-%20Matemática%20Analise%20Combinatória%20e%20Probabilidade%20-%20versão%20final%20(1).docx%23_Toc76477728
file:///C:/Users/Niltom/Downloads/(E-book%20+IFMG)%20-%20Matemática%20Analise%20Combinatória%20e%20Probabilidade%20-%20versão%20final%20(1).docx%23_Toc76477733
file:///C:/Users/Niltom/Downloads/(E-book%20+IFMG)%20-%20Matemática%20Analise%20Combinatória%20e%20Probabilidade%20-%20versão%20final%20(1).docx%23_Toc76477740Plataforma +IFMG 
 
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Pró-Reitoria de Extensão 
15 
 
 
 
 
 
 
 
Mídia digital: Antes de iniciar os estudos, vá até a sala 
virtual e assista ao vídeo “Apresentação do curso”. 
 
1.1. Princípio fundamental da contagem 
 
Dispondo-se de três cores distintas é possível colorir o mapa do Brasil, figura 1, de 
modo que as regiões com uma fronteira em comum sejam coloridas de cores diferentes? 
Caso seja possível, qual é total de possibilidades? 
 
Figura 1. Mapa do Brasil. 
Fonte: http://asnovidades.com.br/mapas-dos-estados-do-brasil-para-pintar/. Acesso em 17/07/2020. 
 
Responderemos a essas perguntas no decorrer de nossos estudos. 
A análise combinatória é uma técnica de contagem que determina a quantidade total 
de possibilidades de um acontecimento, sem que haja necessidade de descrevermos todas 
as suas possibilidades. 
Objetivos 
Nesta semana, estudaremos as algumas técnicas de 
contagem e você vai compreender a utilização dessas 
técnicas para a resolução de problemas. 
Semana 1 – Análise Combinatória 
http://asnovidades.com.br/mapas-dos-estados-do-brasil-para-pintar/
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16 
 
Dica do Professor: Sempre que for realizar a resolução 
dos exercícios procure se colocar na situação e, se 
possível, faça um desenho/ilustração da 
situação/problema. 
 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista ao vídeo 
“Princípio fundamental da contagem”. 
 
Considere a seguinte situação: Pedro deseja chegar à cidade 𝐶3 partindo da cidade 
𝐶1 passando, obrigatoriamente, pela cidade 𝐶2. Sabe-se que existem 2 estradas que ligam 
as cidades 𝐶1 à 𝐶2 e, 3 estradas, que ligam as cidades 𝐶2 à 𝐶3. De quantas maneiras distintas 
Pedro poderá realizar seu trajeto chegando ao seu destino final? 
De acordo com as informações da situação problema podemos representar a 
ilustração abaixo nomeando as estradas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pedro, que está no seu local de partida, 𝐶1, deverá tomar uma decisão para se chegar 
a 𝐶2: escolher viajar pela estrada 𝑎 ou pela estrada 𝑏, uma vez que não é possível viajar 
pelas duas estradas ao mesmo tempo. Tomada a decisão e chegado à 𝐶2 deverá escolher, 
novamente, uma das opções para se chegar à 𝐶3, ou seja, viajar pela estrada 𝑐, 𝑑 ou 𝑒. 
Portanto, através de um quadro, podemos descrever todas as possibilidades de 
trajetos possíveis para que Pedro chegue ao seu destino. São eles: 
 
 
 
 
 
𝑒 
𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝟑 
𝑎 
𝑏 
𝑐 
𝑑 
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17 
1ª escolha: 𝐶1 à 𝐶2 2ª escolha: 𝐶2 à 𝐶3 
 
𝑎 
 
𝑐 
 
𝑑 
 
𝑒 
ou 
𝑏 
𝑐 
 
𝑑 
 
𝑒 
Quadro 1. Total de possibilidades e possíveis trajetos para Pedro. 
Fonte: Arquivo próprio. 
 
Portanto, existem 6 trajetos distintos: 𝑎𝑐, 𝑎𝑑, 𝑎𝑒, 𝑏𝑐, 𝑏𝑑 ou 𝑏𝑒. 
 
 
Atenção: É fundamental que você entenda que da 
cidade 𝐶1 à 𝐶2, existem duas opções para Pedro, no 
entanto ele deverá optar por apenas uma delas. 
Realizada essa escolha surge uma nova dúvida: Qual 
estrada usar para se deslocar da cidade 𝐶2 à 𝐶3. 
 
Assim, após essas duas sucessivas escolhas e através do quadro 1 que descreve 
todas as possibilidades, vemos que Pedro tem seis opções de chegar à cidade 𝐶3 partindo 
da cidade 𝐶1 passando, obrigatoriamente, pela cidade 𝐶2. Esse resultado é justamente o 
produto do número de opções para a 1ª escolha pelo número de opções para a 2ª escolha. 
Portanto 2×3 = 6 
Podemos, também, ter o seguinte raciocínio. Pedro deverá fazer uma escolha para 
percorrer da 𝐶1 à 𝐶2 e uma outra escolha para percorrer da 𝐶2 à 𝐶3: 
 
1ª escolha 
𝐶1 à 𝐶2 
e 2ª escolha 
𝐶2 à 𝐶3 
 
 
_______ e _______ 
 
 
 
 
 
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 1ª escolha e 2ª escolha 
 
2º) Número de possibilidades 2 e 3 = 6 possibilidades 
1º) Quais as possibilidades? 
𝑎 
ou 
𝑏 
 𝑐 
ou 
𝑑 
ou 
𝑒 
 
 
 
 
Dica do Professor: Leia os exercícios com muita 
atenção procurando sempre pelos conectivos: 
• e = usamos multiplicação; 
• ou = usamos adição. 
 
 
Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo 
Se uma decisão 𝐃𝟏 pode ser tomada de 𝒎 maneiras e se, uma vez tomada a decisão 
𝐃𝟏, a decisão 𝐃𝟐 puder ser tomada de 𝒏 maneiras então o número de maneiras de se 
tomarem as decisões 𝐃𝟏 e 𝐃𝟐, sucessivamente, é 𝒎.𝒏 
 
 
Atenção: Esse princípio multiplicativo pode ser 
estendido para três ou mais decisões independentes. 
 
 
 
Atenção: Cuidado com o termo distinto/diferente. 
Considere a situação: Criar senhas formadas de 4 
dígitos do sistema decimal de numeração (0, 1, … ,9): 
• Senhas distintas de 4 dígitos: pode ocorrer 
repetição de dígitos, mas as senhas são distintas. 
Ex: 0721 ≠ 1271 ≠ 2222 ≠ 3346 ≠ 7799 ≠ ⋯ 
• Senhas de 4 dígitos distintos: não podem ocorrer 
repetição de dígitos na senha. 
Ex: 3721 ≠ 1237 ≠ 2579 ≠ 3846 ≠ 0739 ≠ ⋯ 
 
 
 
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Dica do Professor: O estudo dos números de 
possibilidades deve começar sempre pelas etapas em 
que há restrição, dando-se preferência para aquelas 
onde a restrição é maior. 
 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista aos vídeos 
com a resolução de exemplos do “Princípio fundamental 
da contagem”. 
 
Exemplo: Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Quais são as sequências 
possíveis de faces obtidas nesses lançamentos? 
 Uma vez que a moeda será lançada três vezes, teremos, respectivamente, um 
resultado para cada lançamento realizado, ou seja: 
(1º Resultado, 2º Resultado e 3º Resultado) 
 Perceba que foi identificado o conectivo “e” que será associado ao princípio 
multiplicativo. O resultado obtido no 1º lançamento, por exemplo cara, não vai interferir nos 
próximos lançamentos. 
 Portanto, teremos: 
 1º Lançamento, 2º Lançamento e 3º Lançamento 
 
 ___ ___ e ___ 
1º) Quais as possibilidades? 
Cara 
ou 
Coroa 
Cara 
ou 
Coroa 
 Cara 
ou 
Coroa 
 
 Preenchido as possibilidades de cada resultado, em seguida conseguimos identificar 
o número que representa esse total de possibilidade: 
 1º Lançamento, 2º Lançamento e 3º Lançamento 
 
 
 
 
2º) Número de possibilidades 
2 2 e 2 
 
Cara 
ou 
Coroa 
Cara 
ou 
Coroa 
 Cara 
ou 
Coroa 
 
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20 
Através do Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo, temos que o total 
de possíveis resultados é dado por: 2x2x2=8 possíveis sequências de resultados. 
 São elas: C = cara e K = Coroa. 
 
(C,C,C), (C,C,K), (C,K,C), (K,C,C), (C,K,K), (K,C,K), (K,K,C), (K,K,K) 
 
Exemplo: Uma prova é composta por 10 questões de múltipla escolha com 4 alternativas 
(a, b, c, d) em cada questão. De quantas maneiras distintas podem ser respondidas todas 
as questões dessa prova? 
 Uma vez que a prova possui 10 questões com 4 alternativas cada uma, teremos que 
tomar uma decisão para cada uma das 10 questões, ou seja: 
 
(1ª Questão, 2ª Questão, ... , 9ª Questão e 10ª Questão) 
 
 Novamente foi identificado o conectivo “e” que será associado ao princípio 
multiplicativo. Ao responder a 1ª Questão a escolha não vai interferir para as respostas das 
outras Questões restantes. 
 
 Portanto, teremos: 
 
 1ª Questão 2ª Questão ... 9ª Questão e 10ª Questão 
 
 ___ ___ ... ___ e ___ 
1º) Quais as possibilidades? 
a 
ou 
b 
ou 
c 
ou 
d 
 
a 
ou 
b 
ou 
c 
ou 
d 
 
 a 
ou 
b 
ou 
c 
ou 
d 
 
 a 
ou 
b 
ou 
c 
ou 
d 
 
 
 
 Preenchido as possibilidades de cada resultado, em seguida conseguimos identificar 
o número que representa esse total de possibilidade: 
 
 
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21 
 1ª Questão 2ª Questão ... 9ª Questão e 10ª Questão2º) Número de possibilidades 
 
4 
 
4 
 
... 
 
4 
 
e 
 
4 
 
 
a 
ou 
b 
ou 
c 
ou 
d 
 
a 
ou 
b 
ou 
c 
ou 
d 
 
 a 
ou 
b 
ou 
c 
ou 
d 
 
 a 
ou 
b 
ou 
c 
ou 
d 
 
 
 
 Através do Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo, temos que 
o total de possíveis resultados distintos para se responder as 10 questões da prova é dado 
por: 
 
 4 × 4 ×⋯× 4 ×⏟ = 410
10 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡õ𝑒𝑠
 
 
 
Exemplo: (Uneb-BA) Uma senhora idosa foi retirar um dinheiro em um caixa automático, 
mas se esqueceu da senha. Lembrava que não havia o algarismo 0, que o primeiro algarismo 
era 8, o segundo era par, o terceiro era menor que cinco e o quarto e último era ímpar. Qual 
o maior número de tentativas que ela pode fazer, no intuito de acertar a senha? (Considere 
que o banco não bloqueie as diversas tentativas.) 
a) 13 
b) 60 
c) 75 
d) 78 
e) 80 
 
Para conseguir retirar/sacar o dinheiro do caixa automático é necessário que a 
Senhora acerte todos os dígitos da senha na sequência correta, ou seja: 
 
1º dígito, 2º dígito, 3º dígito “e” 4 dígito. 
 
A base do sistema decimal de numeração é formada pelos números (0, 1, 2, 3, ..., 9). 
Uma vez que o exercício informou que a senha não existe o número 0 (zero) vamos 
considerar apenas os números: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). 
Plataforma +IFMG 
 
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22 
 
 1º dígito 2º dígito 3º dígito e 4º dígito 
 
 _____ 
 
_____ _____ e _____ 
1º) Quais as possibilidades? É o número 8 É par: 
2, 4, 6 ou 8 
Menor que 5: 
4, 3, 2 ou 1 
 É ímpar: 
1, 3, 5, 7, 9 
 
 Preenchido as possibilidades de cada resultado, em seguida conseguimos identificar 
o número que representa esse total de possibilidade: 
 
 
 
 
 
 Através do Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo, temos que 
o total de possibilidades distintas para que a Senhora tente acertar a senha do caixa 
automático é: 1x4x4x5 = 80 possibilidades. Opção letra E. 
Exemplo: (ENEM-2004) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de 
artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando 
desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, 
mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), 
conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores 
azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a 
mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número 
de variações que podem ser obtidas para a paisagem é: 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
 
 1º dígito 2º dígito 3º dígito e 4º dígito 
 
 
2º) Número de possibilidades 
 
 
 
 e 
 É o número 8 
 
 
 
É par: 
2, 4, 6 ou 8 
Menor que 5: 
4, 3, 2 ou 1 
 
 É ímpar: 
1, 3, 5, 7, 9 
 
 
1 4 4 5 
Existe 
apenas 1 
número 8 
na base 
decimal 
Existem 4 
possibili-
dades. 
Existem 4 
possibili-
dades. 
Existem 5 
possibili-
dades. 
 
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23 
Teremos que pintar: Casa, Palmeira “e” Fundo. 
Perceba que o exercício traz uma restrição: “o fundo da garrafa não pode ter a mesma 
cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste”. Portanto, começaremos 
nossa análise pelo fundo da garrafa! 
Seguiremos a seguinte ordem de análise: 
 
 
Casa Palmeira Fundo 
2º 3º 1º 
 
Uma vez que existe a possibilidade da casa e da palmeira assumirem a mesma cor 
do fundo, vamos dividir o exercício em duas situações: 
• 1ª situação: Assumiremos que o fundo será pintado na cor Azul, ou: 
• 2ª situação: Assumiremos que o fundo será pintado na cor Cinza; 
 
 
1ª situação 
 
“ou” 2ª situação 
Casa, Palmeira “e” Fundo “ou” Casa, Palmeira “e” Fundo 
 
 
 
 
 + 
 
Azul 
verde 
ou 
Amarelo 
 
Cinza 
ou 
Verde 
 
 
 
 
 
Azul 
ou 
verde 
ou 
Amarelo 
 
Cinza 
Verde 
 
 
 
 
 
 
 
 Através do Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo, temos que 
o total de possibilidades distintas para que o artesão execute sua tarefa é dado por: 
(2x2x1) + (3x1x1) = 7 possibilidades. 
Opção letra B. 
Azul 
Cinza 
2 2 1 3 1 1 
Casa e Palmeira não 
podem ser azul! 
Portanto temos que excluir 
a cor azul da casa, 
sobrando, assim, 2 cores: 
verde ou amarelo. 
Casa e Palmeira não 
podem ser cinza! 
Portanto temos que 
excluir a cor cinza da 
palmeira, sobrando, 
assim, 1 cor: verde. 
Existe restrição! 
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24 
 
Exemplo: Considerando os algarismos do sistema decimal de numeração (0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8 e 9), quantos são os números pares com três algarismos distintos que podemos 
formar? 
 Queremos formar números pares compostos de três algarismos distintos, ou seja, os 
números deverão ter: centena, dezena e unidade. Portanto temos que garantir que ocorram 
as exigências: ser par e ter 3 algarismos distintos. Perceba que os nossos números não 
poderão iniciar pelo algarismo zero, pois nesse caso estaríamos formando números de dois 
algarismos por exemplo: 016, 072, 054, 078 e etc. Nesse caso temos que ficar atentos ao 
preencher as casas da unidade (definirá se o número é par) e centena (não pode iniciar pelo 
algarismo zero). 
 Diante desse fato vamos separar o nosso exercício em duas situações: 
• 1ª situação: terminar pelo algarismo zero; 
• 2ª situação: terminar em 2, 4, 6 ou 8. Aqui temos que ficar atentos para o caso em 
que a centena será diferente de zero. 
 
 Vamos analisar cada situação na seguinte ordem de prioridade: unidade, centena e 
dezena. 
 
1ª situação “ou” 2ª situação 
Centena, Dezena “e” 
Unidade 
“ou” Centena, Dezena “e” 
Unidade 
 
 
 
 
 + 
 
2º) Uma vez 
que estamos 
garantindo 
que o número 
está 
terminando 
por zero e 
estamos 
trabalhando 
com 
algarismos 
distintos não 
existe a 
possibilidade 
de iniciar por 
zero. Portanto 
temos as 
opções: 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8 
e 9. Dessas 9 
opções vamos 
escolher um 
3º) Aqui não 
poderá aparecer 
nem o 0 (zero) 
nem o 7 (sete) 
utilizados, 
respectivamente, 
nas casas da 
unidade e 
centena. 
Portanto temos 8 
opções: 1, 2, 3, 
4, 5, 6, 8 e 9 
1º) 
Terminar 
por 0. 
 2º) Aqui não 
poderemos 
iniciar por 0 
(zero) pois ao 
invés de 
termos 3 
algaristmos 
teríamos 
apenas 2 
algarismos. 
Aqui também 
não poderá 
aparecer o 
número 2 que 
foi utilizado na 
casa da 
unidade. 
Temos as 
opções: 1, 3, 
4, 5, 6, 7, 8 e 
9. Dessas 8 
opções vamos 
3º) Aqui não 
poderá aparecer 
nem o 2 (dois) 
nem o 5 (cinco) 
utilizados, 
respectivamente, 
nas casas da 
unidade e 
centena. Mas 
agora poderá 
aparecer, além 
dos outros 
números, o ) 
(zero). Portanto 
temos 8 opções: 
0, 1, 3, 4, 6, 7, 8 
e 9. 
1º) 
Terminar 
por 2, 4, 
6 ou 8. 
Dessas 
4 
opções, 
vamos 
escolher 
uma, por 
exemplo, 
o 
número 
2. 
9 8 1 8 8 4 
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25 
número, por 
exemplo: 7. 
Ao 
preenchermos 
a casa das 
dezenas 
temos que 
levar em 
consideração 
os números 
escolhidos 
para a 
unidade e 
centena. 
escolher um 
número, por 
exemplo: 5. 
Ao 
preenchermos 
a casa das 
dezenas 
temos que 
levar em 
consideração 
os números 
escolhidos 
para a 
unidade e 
centena. 
Quadro 2. Comentários sobre a resolução do exemplo. 
Fonte: Arquivo próprio. 
 
 Através do Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo, temos que 
o total de números pares formados por 3 algarismo distintos será: 
(9x8x1) + (8x8x4) = 328. 
Agora vamos responder às perguntas realizadas no início de nosso estudo sobre 
análise combinatória! 
Exemplo: Dispondo-se de três cores distintas é possível colorir o mapa do Brasil, figura 1, 
de modo que asregiões com uma fronteira em comum sejam coloridas de cores diferentes? 
Caso seja possível, qual é total de possibilidades? 
 
Figura 2. Mapa do Brasil. 
Fonte: http://asnovidades.com.br/mapas-dos-estados-do-brasil-para-pintar/. Acesso em 17/07/2020. 
 
http://asnovidades.com.br/mapas-dos-estados-do-brasil-para-pintar/
Plataforma +IFMG 
 
Instituto Federal de Minas Gerais 
Pró-Reitoria de Extensão 
26 
 Ao colorirmos o Mapa do Brasil devemos respeitar o fato de que regiões com 
fronteiras em comum não tenham as mesmas cores. Portanto, para uma melhor organização 
do raciocínio, vamos iniciar colorindo nosso Mapa da região Norte para a região Sul. 
 Portanto teremos que colorir na seguinte ordem: 1º Norte, 2º Nordeste, 3º Centro-
Oeste, 4º Sudeste “e” 5º Sul. 
 Considere três cores: azul, verde e rosa. Colorida uma região, ao colorirmos a 
seguinte, temos que verificar as fronteiras. 
 1º Norte 2º Nordeste 
3º Centro-
Oeste 
4º Sudeste 5º Sul 
 
 
 
1º) 
possibilidades 
de colorir. 
azul 
ou 
verde 
ou 
rosa 
 
azul 
ou 
rosa 
 
azul 
 
 
verde 
 
 
rosa 
Comentário: Existem 3 
possibilidades 
para se 
colorir a 
primeira 
região. 
Vamos supor 
que 
escolhemos a 
cor verde. 
Nordeste 
não pode 
ser colorida 
de verde 
pois faz 
fronteira 
com Norte. 
Sobram 
duas 
opções. 
Vamos 
supor que 
escolhemos 
a cor rosa. 
Centro-
Oeste faz 
fronteira 
com Norte 
e 
Nordeste. 
Portanto 
não pode 
ser 
colorida 
com as 
cores: 
verde e 
rosa. 
Sobra 
apenas 
uma 
opção: a 
cor azul. 
Sudeste faz 
fronteira com 
Nordeste e 
Centro-Oeste 
que foram 
coloridas, 
respectivamente, 
nas cores rosa e 
azul. Mas 
perceba que 
Sudeste não faz 
fronteira com 
Norte. Portanto 
pode assumir a 
cor verde! 
De forma 
análoga, Sul faz 
fronteira com 
Centro-Oeste e 
Sudeste que 
foram coloridas, 
respectivamente, 
nas cores azul e 
verde. Mas Sul 
não faz fronteira 
com Nordeste. 
Portanto pode 
assumir a cor 
rosa! 
Quadro 3. Comentários sobre a resolução do exemplo. 
Fonte: Arquivo próprio. 
 
 Através do Princípio Fundamental da Contagem, verificamos que é possível colorir o 
Mapa do Brasil utilizando três cores distintas, de modo que regiões com fronteira em comum 
tenham cores diferentes. O total de possibilidades de Mapas coloridos de formas distintas é 
dado por: 3x2x1x1x1 = 6 possibilidades. 
 
3 2 1 1 1 
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27 
1.2. Fatorial de um número natural 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista ao vídeo 
“Fatorial de um número natural”. 
Em problemas que envolvem a Análise Combinatória é comum aparecerem produtos 
de sequências de números naturais consecutivos, por exemplo: 
a) 3 × 2 × 1 = 6 
b) 4 × 3 × 2 × 1 = 24 
c) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 
 Esses produtos são chamados fatoriais. 
 
Definição: 
 Seja 𝒏 um número natural. Indicamos o fatorial de 𝒏 por 𝒏! 
“Lê-se 𝑛! : 𝑛 fatorial” 
• Se 𝑛 = 0, então 0! = 1 
• Se 𝑛 = 1, então 1! = 1 
• Se 𝑛 ≥ 2, então 𝑛! = 𝑛. (𝑛 − 1). (𝑛 − 2). ⋯ .3.2.1 
 Portanto, fatorial de 𝑛 representa o produto dos 𝑛 primeiros números naturais 
positivos escritos de 𝑛 até 1. 
 
 
Dica do Professor: Com o fatorial não podemos realizar 
as operações básicas: adição, subtração, multiplicação 
e divisão. Podemos apenas simplificar fatoriais idênticos. 
Exemplo: Resolva os fatoriais abaixo: 
a) 2! = 2 × 1 = 2 
b) 3! = 3 × 2 × 1 = 6 
c) 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 
d) 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 
e) 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 
f) 8! + 6! = 8 × 7 × 6! + 6! = 6! (8 × 7 + 1) = 57 × 6! = 57 × 720 = 41.040 
g) 
4!
6!
 − 
3!
4!
= 
4!
6×5×4!
 − 
3!
4×3!
=
1
30
 − 
1
4
=
2−15
60
= − 
13
60
 
Plataforma +IFMG 
 
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28 
h) 
10!
7!.3!
=
10×9×8×7!
7!3×2×1
=
720
6
= 120 
i) 
(𝑛+3)!
(𝑛+1)!
=
(𝑛+3)×(𝑛+2)×(𝑛+1)!
(𝑛+1)!
= (𝑛 + 3). (𝑛 + 2) 
 
1.3. Permutação simples 
 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista ao vídeo 
“Permutação simples”. 
 
De quantas maneiras distintas podemos organizar na parede da sala os três quadros 
da figura abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Quadros expostos na parede de uma sala. 
Fonte: http://img.elo7.com.br/product/main/2E97DE4/kit-conjunto-3-quadros-romero-floral-sala-mais-barato-
britto-quadro-para-quarto.jpg. Acesso em: 26 jul 2020. 
 
 Observe que teremos que organizar os três quadros em, exatamente, três posições: 
1ª posição, 2ª posição e 3ª posição. 
 
http://img.elo7.com.br/product/main/2E97DE4/kit-conjunto-3-quadros-romero-floral-sala-mais-barato-britto-quadro-para-quarto.jpg
http://img.elo7.com.br/product/main/2E97DE4/kit-conjunto-3-quadros-romero-floral-sala-mais-barato-britto-quadro-para-quarto.jpg
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29 
Portanto, temos que pensar em todas as formas de “embaralhar” os quadros da figura, ou 
seja, formar novos agrupamentos distintos utilizando-se os três quadros: 𝑄1, 𝑄2 e 𝑄3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De acordo com o problema podemos dispor os quadros em cada uma das três 
posições, portanto podemos escrever que: 
 
1ª posição 2ª posição 3ª posição 
 
3 
 
 
2 
 
1 
 
𝑄1 
 
ou 
 
𝑄2 
 
ou 
 
𝑄3 
 
 
𝑄1 
 
ou 
 
𝑄3 
 
 
𝑄3 
 
 Para a 1ª posição temos 3 possibilidades, escolhido um quadro, sobram 2 
possibilidades para a 2ª posição e, novamente escolhido um quadro, em seguida sobra 1 
possibilidade para a 3ª posição. 
 Através do Princípio Fundamental da Contagem, verificamos que o total de 
possibilidades distintas de dispormos os três quadros na parede da sala é dado por: 3x2x1 
= 6 possibilidades. 
𝑄1 𝑄2 𝑄3 
𝑄1 𝑄2 𝑄3 
𝑄1 𝑄3 𝑄2 
𝑄2 𝑄1 𝑄3 
𝑄2 𝑄3 𝑄1 
𝑄3 𝑄2 𝑄1 
𝑄3 𝑄1 𝑄2 
Plataforma +IFMG 
 
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30 
 
Definição: Considere 𝒏 elementos distintos de um conjunto: 
{𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛} 
 Chama-se permutação simples todo agrupamento ordenado formado por esses 𝒏 
elementos. 
 
Posição 1 Posição 2 Posição 3 ⋯ Posição n 
𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ⋯ 1 
 
 Pelo princípio fundamental da contagem, temos que o número de grupos é igual a: 
𝑃𝑛 = 𝑛. (𝑛 − 1). (𝑛 − 2).⋯ .1 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
 
 
Atenção: Em Permutação Simples, a palavra simples 
significa que em cada agrupamento formado não haverá 
repetição de elementos. Usamos permutação quando 
quisermos embaralhar os elementos, ou seja, colocar os 
elementos em fila sempre utilizando todos os elementos. 
 
 
Definição: 
 
 Anagrama é um processo no qual permutamos/embaralhamos a ordem das letras de 
uma determinada palavra obtendo-se assim uma nova palavra que tenha sentido ou não. A 
própria palavra é considerada um anagrama. 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista aos vídeos 
com a resolução de exemplos de “Permutação simples”. 
 
 
Exemplo: Considere a sigla IFMG. 
a) Quantos anagramas podemos formar? 
b) Quantos anagramas iniciam pela letra F? 
c) Quantos anagramas iniciam por consoante? 
d) Quantos anagramas iniciam e terminam por consoante? 
 
Plataforma +IFMG 
 
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31 
 Queremos obter anagramas com a sigla IFMG, ou seja, vamos “embaralhar” as 4 
letras da sigla de modo a formar outras siglas que também vão possuir as mesmas 4 letras, 
respeitando as exigências estabelecidas. Perceba que a sigla IFMG não possui letras 
repetidas. 
a) As letras I, F, M e G devem ser dispostas em 4 posições de modo que podemos obter, 
por exemplo: IFMG, IFGM, IGFM, IGMF, ... 
 
Como não há exigências vamos preencher da 1ª posição até a 4ª posição. 
 
1ª posição 2ª posição 3ª posição 4ª posição 
 
4 
 
 
 3 
 
 2 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, com a sigla IFMG temos: 
 
𝑃𝑛 = 𝑛! ⇒ 𝑃4 = 4! ⇒ 𝑃4 = 4 × 3 × 2 × 1 ⇒ 𝑃4 = 24 anagramas. 
 
b) Quantos anagramasiniciam pela letra F? 
 
 Perceba que agora existe a exigência de que os anagramas iniciem pela letra F, ou 
seja, devemos dispor as letras de modo a obtermos anagramas que iniciam pela letra F, por 
exemplo: FIMG, FIGM, FGIM, FGMI, ... 
 Vamos preencher a 1ª posição uma vez que existe exigência de iniciar por F e em 
seguida preencheremos as demais posições. 
 
Temos 4 
possibilidades para 
a 1ª posição: I, F, M 
ou G. 
Vamos supor que 
escolhemos a letra 
M para a 1ª 
posição. 
Diante disso a letra 
M não poderá mais 
aparecer nas 
demais posições. 
Temos 3 
possibilidades para 
a 2ª posição: I, F ou 
G. 
Vamos supor que 
escolhemos a letra 
G para a 2ª posição. 
Diante disso a letra 
G não poderá mais 
aparecer nas 
demais posições. 
Temos 2 
possibilidades para 
a 3ª posição: I ou F. 
Vamos supor que 
escolhemos a letra I 
para a 3ª posição. 
Diante disso a letra 
I também não 
poderá mais 
aparecer. 
Temos apenas uma 
possibilidade para a 
4ª posição: F. 
Plataforma +IFMG 
 
Instituto Federal de Minas Gerais 
Pró-Reitoria de Extensão 
32 
1ª posição 2ª posição 3ª posição 4ª posição 
 
1 
 
 
 3 
 
 2 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, com a sigla IFMG temos: 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
1 × 𝑃3 = 1 × 3! 
1 × 𝑃3 = 1 × 3 × 2 × 1 
 
6 anagramas que iniciam pela letra F. 
 
 Vimos que na letra (a) obtemos um total de 24 anagramas com as letras I, F, M e G. 
Se dividirmos os 24 anagramas por 4 letras obtemos 6 anagramas que iniciam por cada uma 
das letras respectivas letras I, F, M e G. 
 
c) Quantos anagramas iniciam por consoante? 
 
 Perceba que agora existe a exigência de que os anagramas iniciem por consoantes: 
F, M ou G. 
 Vamos preencher a 1ª posição uma vez que existe exigência de iniciar por uma das 
consoantes. 
 
 
Deve iniciar pela 
letra F. 
Diante disso a letra 
F não poderá mais 
aparecer nas 
demais posições. 
Temos 3 
possibilidades para 
a 2ª posição: I, M ou 
G. 
Vamos supor que 
escolhemos a letra 
G para a 2ª posição. 
Diante disso a letra 
G não poderá mais 
aparecer nas 
demais posições. 
Temos 2 
possibilidades para 
a 3ª posição: I ou M. 
Vamos supor que 
escolhemos a letra I 
para a 3ª posição. 
Diante disso a letra 
I também não 
poderá mais 
aparecer. 
Temos apenas uma 
possibilidade para a 
4ª posição: M. 
Plataforma +IFMG 
 
Instituto Federal de Minas Gerais 
Pró-Reitoria de Extensão 
33 
1ª posição 2ª posição 3ª posição 4ª posição 
 
 
3 
 
 
 3 
 
 2 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, com a sigla IFMG temos: 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
3 × 𝑃3 = 3 × 3! 
3 × 𝑃3 = 3 × 3 × 2 × 1 
 
18 anagramas que iniciam por consoante. 
 
 Vimos que na letra (c) obtemos um total de 6 anagramas que iniciam pela consoante 
F. Uma vez que temos um total de 3 consoantes (F, G e M) basta multiplicarmos 3 (total de 
consoantes) por 6 (total de anagramas que iniciam por cada consoante) obtendo, assim, 18 
anagramas que iniciam por consoante. 
 
d) Quantos anagramas iniciam e terminam por consoante? 
 
 Perceba que agora existem as exigências de que os anagramas iniciem e terminem 
por uma das consoantes: F, M ou G. Uma vez que o anagrama iniciar por uma consoante 
ele não poderá terminar com a mesma consoante. 
 
Deve iniciar por 
uma das letras: F, 
M ou G. Portanto 
temos 3 opções. 
Escolhida uma 
delas para a 
primeira posição, 
por exemplo F, irão 
sobrar para serem 
embaralhadas para 
as 3 seguintes 
posições as 3 
letras (G, M ou I). 
Temos 3 
possibilidades para 
a 2ª posição: G, M 
ou I. 
Vamos supor que 
escolhemos a letra I 
para a 2ª posição. 
Diante disso a letra 
I não poderá mais 
aparecer nas 
demais posições. 
Temos 2 
possibilidades para 
a 3ª posição: G ou 
M. 
Vamos supor que 
escolhemos a letra 
G para a 3ª posição. 
Diante disso a letra 
G também não 
poderá mais 
aparecer. 
Temos apenas uma 
possibilidade para a 
4ª posição: M. 
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34 
Portanto vamos preencher a 1ª posição e a 4ª posição que trazem exigências e, em seguida, 
as 2ª e 3ª posições. 
1ª posição 2ª posição 3ª posição 4ª posição 
 
 
3 
 
 
 2 
 
 1 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, com a sigla IFMG temos: 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
3 × 𝑃2 × 2 = 3 × 2! × 2 
3 × 𝑃2 × 2 = 3 × 2 × 1 × 2 
12 anagramas que iniciam por consoante. 
Exemplo: Na figura abaixo, da esquerda para a direita, temos os personagens da “Turma 
da Mônica”: Cebolinha, Magali, Mônica, Cascão e Chico Bento, distribuídos na 1ª, 2ª, 3ª, 4ª 
e 5ª posição, respectivamente. 
 
Figura 4. Personagens Turma da Mônica. 
Fonte: http://mega.ibxk.com.br///2016/08/11/11165840492432.jpg?w=1200&h=480&mode=crop. Acesso: 26 
jul 2020. 
Deve iniciar por 
uma das letras: F, 
M ou G. Portanto 
temos 3 opções. 
Escolhida uma 
delas para a 1ª 
posição, por 
exemplo F, irão 
sobrar para a 4ª 
posição 2 letras (G 
ou M). 
Temos 2 
possibilidades para 
a 2ª posição: M ou I. 
Vamos supor que 
escolhemos a letra I 
para a 2ª posição. 
 
Temos 1 
possibilidades para 
a 3ª posição: M. 
Uma vez que 
decidimos que 
iniciaremos com a 
letra F, restaram as 
2 letras G ou M para 
a última posição. 
Vamos supor que 
escolhemos a letra 
G. Agora temos que 
embaralhar as 
letras M e I nas 
duas posições 
restantes. 
http://mega.ibxk.com.br/2016/08/11/11165840492432.jpg?w=1200&h=480&mode=
https://mega.ibxk.com.br/2016/08/11/11165840492432.jpg?w=1200&h=480&mode=crop
Plataforma +IFMG 
 
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Pró-Reitoria de Extensão 
35 
a) De quantas maneiras podemos dispor os personagens de modo que venhamos obter 
figuras distintas? 
b) Quantas figuras teremos com as personagens Magali e Mônica lado a lado? 
 
 
a) Queremos permutar/embaralhar os cinco personagens de modo a obter novas 
possibilidades de imagens que contenham os cinco personagens. 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
𝑃5 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 
Podemos obter 120 figuras distintas. 
b) Aqui temos uma exigência de mantermos Magali e Mônica lado a lado ao procedermos o 
embaralhamento dos personagens. Para isso vamos colocar Magali e Mônica em uma 
“caixa” de modo que ao procedermos o embaralhamento temos a garantia de que as duas 
continuem lado a lado. 
Magali e Mônica , Cascão, Cebolinha e Chico Bento. 
 
 Com esse procedimento passamos a ter “4 personagens”: caixa, Cascão, Cebolinha 
e Chico Bento. Agora, perceba que, uma vez que Magali e Mônica devem estar lado a lado 
podemos ter duas possibilidades: Magali e Mônica ou Mônica e Magali. 
 Logo, termos que embaralhar os 4 personagens “e” a Caixa (Magali e Mônica). 
𝑃𝑛 × 𝑃𝑛 
𝑃4 × 𝑃2 
𝑃4 × 𝑃2 = 4! × 2! 
𝑃4 × 𝑃2 = 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 
 São possíveis 48 novas figuras com os 5 personagens de modo que Magali e Mônica 
fiquem juntas em qualquer ordem. 
 
1.4. Arranjo simples 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista ao vídeo 
“Arranjo simples”. 
 
 Gustavo, Leandro, Paulo e Tiago se reuniram para a disputa de um torneio de Tênis 
de Mesa. Quais são os possíveis resultados desse torneio sabendo que haverá premiações 
para o Campeão e Vice-Campeão? 
Plataforma +IFMG 
 
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Pró-Reitoria de Extensão 
36 
 
Figura 5. Partida de Tênis de Mesa. 
Fonte: http://www.coladaweb.com/wp-content/uploads/2018/03/20180322-tenis-mesa.jpg. Acesso em: 28 jul 
2020. 
 Observe que, dos quatro participantes, teremos que pensar em dois nomes para 
ocupar, exatamente, duas posições: 
 Diante dessa situação temos o seguinte quadro de possibilidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As 12 (doze) possibilidades distintas representam agrupamentos ordenados de 2 
pessoas escolhidas de um total de 4 pessoas e são chamados Arranjo de quatro 
“elementos” tomados “dois a dois”. Indicamos por: 𝐴4,2 = 12 possibilidades. 
Podemos obter o resultado através do PrincípioFundamental da Contagem – PFC: 
CAMPEÃO “e” VICE-CAMPEÃO 
 
CAMPEÃO 
 
1ª Posição 
 
 
4 
 
Gustavo 
Leandro 
Paulo 
Tiago 
 
 
VICE-CAMPEÃO 
 
2ª Posição 
 
 
 
 
3 
 
 
Leandro 
Paulo 
Tiago 
Campeão Vice-campeão 
Gustavo 
Leandro 
Paulo 
Tiago 
Leandro 
Gustavo 
Paulo 
Tiago 
Paulo 
Gustavo 
Leandro 
Tiago 
Tiago 
Gustavo 
Leandro 
Paulo 
http://www.coladaweb.com/wp-content/uploads/2018/03/20180322-tenis-mesa.jpg
Plataforma +IFMG 
 
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37 
 Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 
4 × 3 = 12 possibilidades. 
Definição: 
 Dado um conjunto com 𝑛 elementos distintos: {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛}, chama-se Arranjo 
desses 𝑛 elementos, tomados 𝑘 a 𝑘 (com 𝑘 ≤ 𝑛), todo agrupamento ordenado de 𝑘 
elementos distintos escolhidos dentre os 𝑛 elementos. 
 Indicaremos o arranjo desses 𝑛 elementos tomados 𝑘 a 𝑘 por: 𝐴𝑛,𝑘 
 Escolhendo os 𝑘 elementos do total de 𝑛 elementos: 
1ª escolha 2ª escolha 3ª escolha ⋯ 𝒌 escolha 
𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ⋯ 𝑛 − (𝑘 − 1) 
 
𝐴𝑛,𝑘 = 𝑛. (𝑛 − 1). (𝑛 − 2) .⋯ . [𝑛 − (𝑘 − 1)] 
 
𝐴𝑛,𝑘 = 𝑛. (𝑛 − 1). (𝑛 − 2) .⋯ . (𝑛 − 𝑘 + 1) 
 
𝐴𝑛,𝑘 = 𝑛. (𝑛 − 1). (𝑛 − 2) .⋯ . (𝑛 − 𝑘 + 1).
(𝑛 − 𝑘). (𝑛 − 𝑘 − 1) .⋯ .3.2.1
(𝑛 − 𝑘). (𝑛 − 𝑘 − 1) .⋯ .3.2.1
 
 
𝐴𝑛,𝑘 =
𝑛!
(𝑛−𝑘)!
, com 𝑘 ≤ 𝑛. 
 
 
Dica do Professor: Dado um conjunto com 𝑛 elementos 
distintos: {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛}: 
• Formar grupos ordenados de elementos distintos 
com todos elementos do conjunto: Permutação; 
• Formar grupos ordenados de elementos distintos 
com alguns elementos do conjunto: Arranjo. 
 
A ordem que dispomos os elementos é importante! 
 
 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista aos vídeos 
com a resolução de exemplos de “Arranjo simples”. 
 
Plataforma +IFMG 
 
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38 
Exemplo: Gustavo, Leandro, Paulo e Tiago se reuniram para a disputa de um torneio de 
Tênis de Mesa. Quais são os possíveis resultados desse torneio sabendo que haverá 
premiações para o Campeão e Vice-Campeão? 
 Temos 4 participantes disputando dois prêmios de Campeão e Vice-campeão. 
Portanto temos “4 elementos” para serem agrupados “2 a 2”. 
 Para termos certeza de que vamos trabalhar com Arranjo verificaremos, agora, se a 
ordem que dispomos os elementos é importante! 
 Escolha, aleatoriamente, dois elementos do conjunto dos 4 participantes do torneio, 
por exemplo: Gustavo e Leandro, e imagine as duas situações: 
 
Gustavo (campeão) e Leandro (vice) ≠ Leandro (campeão) e Gustavo (vice) 
 
 Perceba que ao alterarmos a ordem da escrita dos nomes estamos formando uma 
nova possibilidade de premiação. Portanto a ordem é importante e nesse caso usaremos 
Arranjo! 
𝐴𝑛,𝑘 =
𝑛!
(𝑛−𝑘)!
, com 𝑘 ≤ 𝑛 
𝐴4,2 =
4!
(4 − 2)!
 
𝐴4,2 =
4!
2!
 
𝐴4,2 =
4 × 3 × 2!
2!
 
𝐴4,2 = 12 possibilidades. 
 
Exemplo: (UFSM-RS) Num acidente rodoviário, após ouvir várias testemunhas, concluiu-se 
que o motorista culpado pelo acidente dirigia um carro cuja placa era constituída de 2 vogais 
distintas e 4 algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o 5. Isso não 
facilitou o trabalho da polícia, pois o número de placas suspeitas é de: 
a) 10.800 
b) 10.080 
c) 8.100 
d) 1.080 
e) 524 
 
 Vamos imaginar uma possibilidade de placa que atenda às exigências do exercício, 
por exemplo: AE 0125. Agora vamos embaralhar a ordem das letras e algarismo e verificar 
se a ordem é importante. 
𝐴𝐸 0125 ≠ 𝐸𝐴1205 
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 Ao alterarmos a posição das vogais e algarismos obtemos placas diferentes. Portanto, 
a ordem é importante e usaremos Arranjo! 
2 vogais distintas “e” 4 algarismos diferentes 
 
 
 
 
 Para a posição das vogais vamos escolher 2 dentre as 5 existentes: {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}; 
 Para os algarismo, uma vez que já utilizamos o algarismo 5 na unidade, vamos 
escolher 3 dentre os 9 existentes: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} 
𝐴𝑛,𝑘 =
𝑛!
(𝑛−𝑘)!
, com 𝑘 ≤ 𝑛 
𝐴5,2 × 𝐴9,3 =
5!
(5 − 2)!
×
9!
(9 − 3)!
= 
5!
3!
×
9!
6!
=
5 × 4 × 3!
3!
×
9 × 8 × 7 × 6!
6!
 
5 × 4 × 9 × 8 × 7 = 10.080 possibilidades de placas. Letra B. 
Exemplo: (ÉTICO) Em uma sessão de fotos, o fotógrafo contava com um grupo de modelos 
e usou apenas 2 deles para cada foto, obtendo assim 132 fotografias distintas apenas pelas 
pessoas e posição delas. O número de modelos de que o fotógrafo dispunha nessa sessão 
era: 
a) 13 
b) 12 
c) 11 
d) 10 
e) 9 
 Considere os modelos nas fotografias 1 e 2 abaixo. Perceba que a ordem em que os 
modelos são dispostos é importante pois obtemos fotos distintas. Portanto usaremos 
Arranjo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
números vogais 
5 
Figura 6. Fotografia 1 e 2. 
Fonte: Recorde de pessoas da imagem Word. Acesso em: 28 jul 2020. 
 
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 Queremos descobrir o número 𝑛 de modelos que foram agrupados 2 a 2 de modo a 
obtermos um total de 132 fotografias. 
𝐴𝑛,𝑘 =
𝑛!
(𝑛−𝑘)!
, com 𝑘 ≤ 𝑛 
 
𝐴𝑛,2 =
𝑛!
(𝑛 − 2)!
= 132 
 
𝑛. (𝑛 − 1). (𝑛 − 2)!
(𝑛 − 2)!
= 132 
 
𝑛. (𝑛 − 1) = 132 
 
𝑛2 − 𝑛 = 132 
𝑛2 − 𝑛 − 132 = 0 ⇒ {
𝑎 = 1 
𝑏 = −1 
𝑐 = 132
 
 
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 ⇒ ∆= 529 
 
𝑛 =
−𝑏 ± √∆
2. 𝑎
⇒ 𝑛 =
1 ± 23
2
⇒ {
𝑛′ = 12 
𝑛" = −11 
 
 
 O número de modelos procurado é positivo, portanto o fotógrafo contava com 
exatamente 12 modelos. Letra B. 
 
 
 
Atividade: Para concluir a primeira semana de estudos, 
vá até a sala virtual e resolva o 1º questionário no valor 
de 10 pontos. 
Você terá três tentativas para a realização do mesmo e 
deverá obter 60% de aproveitamento em pelo menos um 
dos questionários. 
 
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2.1 Combinação 
 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista ao vídeo 
“Combinação”. 
Na vitrine de uma lanchonete existem 4 opções de salgados: coxinha, empada, pastel 
e quibe. De quantas maneiras distintas podemos escolher 2 opções de salgados dentre as 
4 existentes? 
 
Figura 7. Vitrine com salgados. 
Fonte: http://i.pinimg.com/originals/bf/7e/57/bf7e572d86bae5a8d68668f7518a9106.jpg. Acesso em: 28 dez 
2020 
Observe que, das 4 opções (coxinha, empada, pastel e quibe), teremos que pensar 
em 2 delas para ocupar, exatamente, duas posições referente às escolhas: 
1ª escolha 2ª escolha 
 
Vamos descrever o quadro de possibilidades: 
Coxinha e Empada Empada e Coxinha Pastel e Coxinha Quibe e Coxinha 
Coxinha e Pastel Empada e Pastel Pastel e Empada Quibe e Empada 
Coxinha e Quibe Empada e quibe Pastel e Quibe Quibe e Pastel 
Quadro 4. Possibilidades distintas de escolher 2 salgados dentre 4 opções. 
Fonte: Arquivo próprio. 
Objetivos 
Nesta semana finalizaremos o estudo das técnicas de 
contagem abordando os temas combinação simples e 
permutação com elementos repetidos. Iniciaremos o estudo 
de probabilidade com os assuntos: espaço amostral, eventos, 
probabilidade e suas propriedades. 
Semana 2 – Análise Combinatória e Probabilidade 
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42 
Após preenchermos o quadro verificamos que algumas opções de possibilidades 
repetem. Portanto, desconsiderando as opções repetidas, obtemos um total de 6 
possibilidades. 
Esses 6 (seis) resultados de possibilidades obtidos são chamados Combinações de 
quatro “elementos” tomados “dois a dois”. 
Indicamos por: 𝐶4,2 ou (
4
2
) 
 
Definição: 
Dado um conjunto com 𝑛 elementos distintos: {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛}, chama-se 
Combinação desses 𝑛 elementos, tomados 𝑘 a 𝑘 (com 𝑘 ≤ 𝑛), todo subconjunto de 𝑘 
elementos distintos escolhidos dentre os 𝑛 elementos. 
Indicaremos a Combinação desses 𝑛 elementos tomados 𝑘 a 𝑘 por: 𝐶𝑛,𝑘ou (
𝑛
𝑘
) 
Escolhendo os 𝒌 elementos do total de 𝒏 elementos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica do Professor: Dado um conjunto com 𝑛 elementos 
distintos: {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛}: 
• Formar grupos não ordenados de elementos 
distintos com alguns elementos do conjunto: 
Combinação. 
 
A ordem que dispomos os elementos não é importante! 
 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista aos vídeos 
com a resolução de exemplos de “Combinação”. 
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
𝐴𝑛,𝑘
𝑃𝑘
 
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
 
𝑘! 
𝐶𝑛,𝑘 = 
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
𝑘!
 𝐶𝑛,𝑘 = 
𝑛!
(𝑛−𝑘)!𝑘!
 , com 𝑘 ≤ 𝑛 
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Exemplo: Na vitrine de uma lanchonete existem 4 opções de salgados: coxinha, 
empada, pastel e quibe. De quantas maneiras distintas podemos escolher 2 opções de 
salgados dentre as 4 existentes? 
 Temos 4 salgados onde teremos que escolher dois tipos. Portanto temos “4 
elementos” para serem agrupados “2 a 2”. 
 Para termos certeza de que vamos trabalhar com Combinação verificaremos, agora, 
que a ordem que dispomos os elementos não é importante! 
 Escolha, aleatoriamente, dois elementos do conjunto dos 4 salgados, por exemplo: 
Coxinha e empada, e imagine as duas situações: 
 
Coxinha e Empada = Empada e Coxinha 
 
 Perceba que ao alterarmos a ordem da escrita dos nomes dos salgados não estamos 
formando uma nova possibilidade de escolha, ou seja, estamos escolhendo os mesmos 
salgados. Portanto a ordem não é importante e nesse caso usaremos Combinação! 
𝐶𝑛,𝑘 =
𝑛!
(𝑛−𝑘)!𝑘!
, com 𝑘 ≤ 𝑛 
𝐶4,2 =
4!
(4−2)!2!
 ⇒ 𝐶4,2 =
4!
2!2!
 ⇒ 𝐶4,2 =
4×3×2!
2!2×1
 
 Existem 6 possibilidades de escolhermos 2 opções de salgados dentre um total de 4 
opções. 
Observação: 𝐶𝑛,𝑘 = 
𝑛!
(𝑛−𝑘)!𝑘!
, com 𝑘 ≤ 𝑛. 
i) (𝑛
0
) = 𝐶𝑛,0 = 1 
Exemplo: 
𝐶7,0 =
7!
(7 − 0)! 0!
=
7!
7! 0!
= 1 
 
ii) (𝑛
1
) = 𝐶𝑛,1 = 𝑛 
Exemplo: 
𝐶7,1 =
7!
(7 − 1)! 1!
=
7!
6! 0!
=
7 × 6!
6! 0!
= 7 
 
 
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44 
iii) (𝑛
𝑛
) = 𝐶𝑛,𝑛 = 1 
Exemplo: 
𝐶7,7 =
7!
(7 − 7)! 7!
=
7!
0! 7!
= 1 
 
iv) (𝑛
𝑘
) = ( 𝑛
𝑛−𝑘
) ou 𝐶𝑛,𝑘 = 𝐶𝑛,𝑛−𝑘 (complementares) 
Exemplo: 
𝐶7,3 =
7!
(7 − 3)! 3!
=
7!
4! 3!
=
7 × 6 × 5 × 4!
4! 3 × 2 × 1
= 35 
𝐶7,4 =
7!
(7 − 4)! 4!
=
7!
3! 4!
=
7 × 6 × 5 × 4!
3 × 2 × 1 × 4!
= 35 
 
Exemplo: Em uma sala estão presentes 6 mulheres, dentre elas Paula, e 4 homens, dentre 
eles Pedro. Deseja-se formar comissões de 4 integrantes. 
a) Quantas comissões distintas podemos formar? 
b) Quantas comissões com 2 mulheres e 2 homens podemos formar? 
c) Quantas comissões participa Pedro e não participa Paula? 
 
a) Não temos nenhuma exigência. Imagine que será realizado um sorteio, ou seja, em uma 
sacola existem 10 nomes (6 mulheres e 4 homens) e você vai sortear 4 integrantes de um 
total de 10 pessoas para compor a comissão. 
 
Sejam 4 nomes aleatórios: João, José, Ana e Maria. 
 
Ao embaralhar esses nomes percebemos que a Comissão ficará 
a mesma, ou seja, a ordem não é importante. 
 
Portanto usaremos Combinação. 𝐶𝑛,𝑘 = 
𝑛!
(𝑛−𝑘)!𝑘!
, com 𝑘 ≤ 𝑛 
 
𝐶10,4 =
10!
(10−4)!4!
=
10!
6!4!
=
10×9×8×7×6!
6!4×3×2×1
= 210 comissões 
 
 
 
 
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b) Aqui temos uma exigência de que a comissão seja composta de 4 integrantes e tenha 2 
mulheres e 2 homens. Nesse caso vamos separar as mulheres e homens em duas sacolas, 
ou seja, vamos sortear mulheres dentre mulheres e homens dentre os homens. 
 
 
 Portanto, vamos escolher 2 mulheres de um total de 6 mulheres “e” 2 homens de um 
total de 4 homens. 
𝐶𝑛,𝑘 = 
𝑛!
(𝑛−𝑘)!𝑘!
, com 𝑘 ≤ 𝑛 
𝐶6,2 e 𝐶4,2 
6!
(6 − 2)! 2!
×
4!
(4 − 2)! 2!
 
6!
4! 2!
×
4!
2! 2!
 
6 × 5 × 4!
4! 2 × 1
×
4 × 3 × 2!
2! 2 × 1
 
30
2
×
12
2
 
 São possíveis 90 comissões de 4 integrantes sendo 2 mulheres e 2 homens. 
c) Aqui temos uma exigência de que a comissão seja composta de 4 integrantes sendo que 
Pedro seja um deles de modo que Paula não participe. 
 Portanto nossa comissão será formada por: “Pedro + 3 integrantes (homens ou 
mulheres)”. 
 Temos que escolher mais 3 integrantes para compor a comissão. Essa escolha será 
feita de um total de 8 integrantes pois temos que retirar Pedro, que já foi escolhido, e Paula, 
que não poderá participar. 
 
 
 + 3 integrantes. 
 
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
𝑛!
(𝑛−𝑘)!𝑘!
, com 𝑘 ≤ 𝑛 
𝐶8,3 =
8!
(8 − 3)! 3!
=
8!
5! 3!
=
8 × 7 × 6 × 5!
5! 3 × 2 × 1
= 56 
Pedro 
Paula 
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46 
 Podemos formar 56 comissões de 4 integrantes sendo que participa Pedro e não 
participa Paula. 
Exemplo: (UFOP-MG) Numa assembleia, de que participam 5 matemáticos e 5 físicos, são 
constituídas comissões formadas por três membros, incluindo, no mínimo, um matemático. 
Podemos afirmar que o número de comissões que podem ser formadas é: 
a) 15 
b) 20 
c) 50 
d) 100 
e) 110 
 
 Queremos formar comissões de 3 membros de modo que cada comissão contenha, 
no mínimo, um matemático. Perceba que, uma vez que temos o termo “no mínimo um 
matemático”, temos que pensar em todas as possibilidades, ou seja, podemos ter mais de 
um matemático na comissão, desde que atenda ao total de 3 membros. 
 Portanto, temos as seguintes situações para as comissões: 
“1 Matemático e 2 Físicos” ou “2 Matemáticos e 1 Físico” ou “3 Matemáticos e 0 Físico” 
 Considere os Professores da área de Matemática: Denilson, Douglas e Vinícius. 
 Vamos embaralhar essa comissão e verificar se a ordem importa ou não. 
 
 
 
 Perceba que temos a mesma comissão após o embaralhamento, ou seja, a ordem 
não importa. Portanto vamos trabalhar com combinação, onde iremos escolher matemático 
dentro de matemático e físico dentro de físico. 
 Temos um total de 5 matemáticos e 5 físicos para formarmos comissão de 3 membros 
incluindo, no mínimo um matemático, então: 
“1 Matemático e 2 Físicos” ou “2 Matemáticos e 1 Físico” ou “3 Matemáticos e 0 Físico” 
𝐶𝑛,𝑘 = 
𝑛!
(𝑛−𝑘)!𝑘!
, com 𝑘 ≤ 𝑛 
𝐶5,1 e 𝐶5,2 ou 𝐶5,2 e 𝐶5,1 ou 𝐶5,3 e 𝐶5,0 
𝐶5,1.𝐶5,2 + 𝐶5,2.𝐶5,1 + 𝐶5,3.𝐶5,0 (∗) 
 Sabemos que: 
𝐶5,1 = 5 
𝐶5,0 = 1 
𝐶5,2 = 𝐶5,3 = 10 (são complementares) 
Denilson, Douglas e Vinícius Vinícius, Denilson e Douglas 
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𝐶5,2 =
5!
(5 − 2)! 2!
=
5!
3! 2!
=
5 × 4 × 3!
3! 2 × 1
= 10 
 
 Substituindo os valores em (∗): 
5.10 + 10.5 + 10.1 = 110 
 Portanto, podemos formar 110 comissões. Letra E. 
 Poderíamos resolver o exercício de uma outra forma, ou seja, do total de 10 
professores (5 matemáticos e 5 físicos) obtemos todas as comissões possíveis de 3 
membros e, desse resultado, subtrairmos as comissões que não possuem nenhum 
matemático (comissões formadas apenas por físicos. 
𝐶10,3 − 𝐶5,3 = 120 − 10 = 110. 
 
2.2 Permutação com elementos repetidos 
 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista ao vídeo 
“Permutação com elementos repetidos”. 
 De quantas maneiras distintas podemos organizar as quatro almofadas na cabeceira 
da cama? 
 
Figura 8. Almofadas cabeceira da cama. 
Fonte: Arquivo pessoal 
 Para responder ao questionamento devemos proceder com o embaralhamento das 
almofadas de modo a esgotar todas as possibilidades. Perceba que no conjunto de 4 
almofadas existem 2 pares de almofadas idênticas. 
 
 
 
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48 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, existem 6 possibilidades distintas de organizarmos as 4 almofadas na 
cabeceira da cama. 
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com a palavra FEVEREIRO? 
 A palavra FEVEREIRO possui 9 letras, sendo algumas repetidas: 
• “E” aparece 3 vezes; 
• “R” aparece 2 vezes;Vamos imaginar que essas letras se diferenciam pelas cores: FEVEREIRO. Portanto 
temos que embaralhar essas 9 letras “distintas”, ou seja, formar palavras com 9 letras. 
 
 
 Uma vez que assumimos que as letras são “distintas” (pelas cores) vamos preencher 
os 9 espaços destinados a cada uma das letras da palavra FEVEREIRO. 
1º) Vamos distribuir as 3 letras “E”. Perceba que a ordem que colocamos as letras E será 
importante uma vez que elas são “distintas”. 
𝐴9,3 
 
 
 
 Mas as letras “E” são idênticas! Agora dividimos 𝐴9,3 por 3! (possibilidades de 
embaralhamento das letras E) 
𝐴9,3 
3!
 
2º) De forma análoga, vamos distribuir as 2 letras “R” nos 6 espaços restantes. 
𝐴6,2 
 
 
E E E 
R E E E R 
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49 
 Mas as letras “R” são idênticas! Agora dividimos 𝐴6,2 por 2! (possibilidades de 
embaralhamento das letras R) 
𝐴6,2 
2!
 
3º) Após distribuirmos as letras repetidas, vamos distribuir as 4 letras restantes (F, V, I, O) 
nos 4 espaços restantes. 
𝑃4 
 
 
 
 Portanto, é necessário realizarmos o 1º, 2º “e” 3º passos. 
 
𝐴9,3 
3!
.
𝐴6,2 
2!
.𝑃4 
9!
(9 − 3)!
 
3!
.
6!
(6 − 2)!
 
2!
. 4! 
9!
6!
.
1
3!
.
6!
4!
.
1
2!
. 4! 
9!
3!2!
= 30.240 anagramas. 
Perceba que: 
FEVEREIRO = 9 letras 
E = repete 3 vezes 
R = repete 2 vezes 
 
Definição: 
Considere 𝑛 elementos, nem todos distintos, de um conjunto {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑎𝑛}. O 
número de permutações formado com todos os 𝑛 elementos desse conjunto é dado por: 
 
𝑃𝑛
𝑛1,𝑛2,𝑛3,⋯ = 
𝑛!
𝑛1! 𝑛2! 𝑛3!⋯
 
 
 Onde 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3, … indicam o número de repetições de cada elemento do conjunto de 
𝑛 elementos. 
R E F O E I V E R 
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50 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista aos vídeos 
com a resolução de exemplos de “Permutação com 
elementos repetidos”. 
 
Exemplo: De quantas maneiras distintas podemos organizar as quatro almofadas na 
cabeceira da cama? 
 
Figura 9. Almofadas cabeceira da cama. 
Fonte: Arquivo pessoal 
 Temos 4 “elementos/almofadas” sendo que 2 são coloridas e 2 são marrons. 
𝑃𝑛
𝑛1,𝑛2 = 
𝑛!
𝑛1! 𝑛2!
 
𝑃4
2,2 = 
4!
2!2!
= 
4×3×2!
2!2×1
= 6 possibilidades 
 
Exemplo: (FGV-SP) Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam por S e terminam 
em O? 
a) 5! 
b) 7! 
c) 30 
d) 60 
e) 90 
 
 Primeiramente vamos atender a exigência de iniciar com a letra S e terminar pela letra 
O. 
 
 
 
 Diante disso temos que preencher os 5 espaços com as 5 letras que sobraram, sendo 
que destas, a letra S repete 2 vezes. 
𝑃𝑛
𝑛1 = 
𝑛!
𝑛1!
 
S O 
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51 
𝑃5
2 = 
5!
2!
= 
5×4×3×2!
2!
= 60 possibilidades. Letra D. 
 
Exemplo: (VUNESP-2010) A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma 
pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela 
caminhará sempre nos sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda para a direita”. O 
número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é: 
a) 95040. 
b) 40635. 
c) 924 
d) 792. 
e) 35. 
 
 
 
 
 
 
Figura 10. Planta do bairro da cidade com o deslocamento do ponto A ao ponto B. 
Fonte: Processo seletivo VUNESP-2010. 
 O objetivo da pessoa é chegar no ponto B partindo do ponto A. Vamos definir o sentido 
Norte como sendo “de baixo para cima” e Leste sendo “da esquerda para a direita”. 
 Representando uma possibilidade de trajeto da pessoa por setas, temos a seguinte 
situação: 
LLLLNNNNNLLL 
 
 Ou seja, independente de qual caminho a pessoa escolher ela sempre estará 
formando uma “palavra” de 12 letras sendo que a letra L e N repetirão 7 vezes e 5 vezes, 
respectivamente. 
𝑃𝑛
𝑛1,𝑛2 = 
𝑛!
𝑛1! 𝑛2!
 
𝑃12
7,5 = 
12!
7!5!
=
12×11×10×9×8×7!
7!5×4×3×2×1
= 792 possibilidades. Letra D. 
 
 
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52 
2.3 Espaço amostral e eventos 
 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista ao vídeo 
“Espaço amostral e eventos”. 
 No estudo de probabilidade estudaremos as possibilidades da ocorrência de um 
determinado acontecimento na realização de um experimento aleatório. 
 
Experimentos Aleatórios: São experimentos que, repetidos em condições idênticas, não 
produzem sempre o mesmo resultado, ou seja, os resultados não são previsíveis. Por mais 
que sejam mantidas as mesmas condições, não podemos prever qual será o resultado, mas 
conhecemos as possibilidades. 
 
Exemplos: 
• Lançamento de uma moeda; 
• Lançamento de uma moeda e um dado; 
• Lançamento de dois dados; 
• Sorteio de uma rifa. 
 
ESPAÇO AMOSTRAL: 
 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
Indicaremos o espaço amostral pela letra 𝑼 e 𝒏(𝑼) representará o número de elementos do 
espaço amostral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica do Professor: Em alguns casos, para 
determinarmos a quantidade de elementos do Espaço 
Amostral, usaremos as técnicas de contagem. 
 
 
 
𝑼 
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53 
Exemplos: 
• Lançamento de uma moeda; 
𝑈 = {𝑐𝑎𝑟𝑎, 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎} 𝑛(𝑈) = 2 
 
• Lançamento de uma moeda e um dado; 
𝑈 = {
(𝑐𝑎𝑟𝑎, 1)(𝑐𝑎𝑟𝑎, 2)(𝑐𝑎𝑟𝑎, 3)(𝑐𝑎𝑟𝑎, 4)(𝑐𝑎𝑟𝑎, 5)(𝑐𝑎𝑟𝑎, 6)
(𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 1)(𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 2)(𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 3)(𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 4)(𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 5)(𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 6)
} 𝑛(𝑈) = 12 
 
• Lançamento de dois dados; 
 
𝑈 =
{
 
 
 
 
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}
 
 
 
 
 𝑛(𝑈) = 36 
 
 
Evento: “Aposta” 
 
 É qualquer subconjunto do Espaço Amostral (𝑈) de um experimento aleatório. 
Denominaremos o evento por uma letra maiúscula do alfabeto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Uma rifa é composta de 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Será sorteado um 
desses bilhetes. Sejam os eventos: 
a) O número sorteado é múltiplo de 12; 
b) O número sorteado é um quadrado perfeito; 
c) O número sorteado é natural positivo menor ou igual a 100; 
d) O número sorteado possui três algarismos distintos. 
 
𝑈 = {1, 2, 3, … , 99, 100} 𝑛(𝑈) = 100 
 
a) 𝐴 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96} 𝑛(𝐴) = 8 
 
b) 𝐵 = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} 𝑛(𝐵) = 10 
 
c) C = {1, 2, 3, … , 99, 100} 𝑛(𝐶) = 100 (Evento certo) 
𝑼 
𝑨 
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54 
d) D = { } 𝑛(𝐷) = 0 (Evento impossível) 
 
 
 
 
 
Dica do Professor: O conjunto vazio e o próprio 
conjunto são considerados subconjuntos de um 
conjunto. 
• Quando o evento coincide com o espaço amostral 
dizemos que o evento é certo! 
• Quando o evento é o conjunto vazio dizemos 
evento impossível. 
• O número de elementos de um Evento 𝐴 será 
sempre da forma: 
0 ≤ 𝑛(𝐴) ≤ 𝑛(𝑈) 
 
 
 
Evento complementar: 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista ao vídeo 
“Evento complementar”. 
 Seja 𝐴 um evento de um Espaço Amostral (𝑈). Definimos o evento complementar de 
𝐴, em relação a 𝑈 o evento que ocorre quando o evento 𝐴 não ocorre. 
 Indicamos o evento complementar do evento 𝐴 por: 
 
�̅� ou 𝐶𝑈
𝐴 = 𝑈 − 𝐴 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica do Professor: Para um Evento 𝐴 e seu 
complementar �̅� podemos escrever: 
• 𝐴 ∪ �̅� = 𝑈 ⇒ 𝑛(𝐴) + 𝑛(�̅�) = 𝑛(𝑈) 
• 𝐴 ∩ �̅� = ∅ 
 
𝐔 
𝐀 
�̅� 
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55 
Exemplo: Uma rifa é composta de 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Será sorteado um 
desses bilhetes. Sejam os eventos: 
a) O número sorteadoé múltiplo de 12. Qual é o complementar? 
b) O número sorteado é um quadrado perfeito. Qual é o complementar? 
 
𝑈 = {1, 2, 3, … , 99, 100} 𝑛(𝑈) = 100 
 
a) 𝐴 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96} 𝑛(𝐴) = 8 
 �̅� = {𝑛ã𝑜 𝑠𝑒𝑟 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 12} 𝑛(�̅�) = 92 
 
b) 𝐵 = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} 𝑛(𝐵) = 10 
�̅� = {𝑛ã𝑜 𝑠𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜} 𝑛(�̅�) = 90 
 
 
 
 
 
 
2.4 Probabilidade e propriedades 
 
 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista ao vídeo 
“Probablilidade e propriedades”. 
 
Espaço Amostral Equiprovável 
 Denominamos Espaço Amostral Equiprovável aquele cujos resultados possuem a 
mesma chance de ocorrerem, ou seja, realizado o experimento indefinidamente, os 
diferentes eventos unitários tendem a aparecer na mesma frequência. 
 
Probabilidade de um evento: 
A probabilidade de ocorrência de um evento 𝐴 em um experimento aleatório com 
espaço amostral equiprovável 𝑈 é dada pela razão entre o número de elementos do evento 
𝐴 e o número de elementos do espaço amostral 𝑈. 
 
Atenção: Evento e seu complementar: 
𝐴: Ganhar 
�̅�: Não ganhar 
 
𝐵: Chover 
�̅�: Não chover 
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56 
Denotamos a probabilidade de ocorrência de um evento 𝐴 por: P(A) 
 
 
 
 
𝑃(𝐴) = 
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
 
Propriedades: 
I) Eventos: impossível e certo: 
0 ≤ 𝑛(𝐴) ≤ 𝑛(𝑈) ÷ 𝑛(𝑈) ≠ 0 
0
𝑛(𝑈)
≤
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
≤
𝑛(𝑈)
𝑛(𝑈)
 
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 
ou 
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 100% 
II) Evento Complementar: 
 
 
 
 
 
𝐴 + �̅� = 𝑈 
𝑛(𝐴) + 𝑛(�̅�) = 𝑛(𝑈) ÷ 𝑛(𝑈) ≠ 0 
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
+
𝑛(�̅�)
𝑛(𝑈)
=
𝑛(𝑈)
𝑛(𝑈)
 
𝑃(𝐴) + 𝑃(�̅�) = 1 
ou 
𝑃(𝐴) + 𝑃(�̅�) = 100% 
 
𝑼 
𝑨 
𝐔 
𝐀 
�̅� 
Plataforma +IFMG 
 
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57 
 
Atenção: Evento e seu complementar: 
𝐴: Ganhar. Se 𝑃(𝐴) = 0,3. 
�̅�: Não ganhar. Então 𝑃(�̅�) = 0,7. 
 
𝐵: Chover. Se 𝑃(𝐵) = 32%. 
�̅�: Não chover. Então 𝑃(�̅�) = 68%. 
 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista aos vídeos 
com a resolução de exemplos de “Probabilidade”. 
 
Exemplo: Uma rifa é composta de 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Será sorteado um 
desses bilhetes. Qual a probabilidade de obtermos: 
a) O número sorteado ser múltiplo de 12; 
b) O número sorteado ser um quadrado perfeito; 
c) O número sorteado ser natural positivo menor ou igual a 100; 
d) O número sorteado ter três algarismos distintos. 
 
𝑈 = {1, 2, 3, … , 99, 100} 𝑛(𝑈) = 100 
 
a) 𝐴 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96} 𝑛(𝐴) = 8 
𝑃(𝐴) = 
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
⇒ 𝑃(𝐴) =
8
100
⇒ 𝑃(𝐴) =
2
25
 
 
b) 𝐵 = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} 𝑛(𝐵) = 10 
𝑃(𝐵) = 
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑈)
⇒ 𝑃(𝐵) =
10
100
⇒ 𝑃(𝐵) =
1
10
 
 
c) C = {1, 2, 3, … , 99, 100} 𝑛(𝐶) = 100 (Evento certo) 
𝑃(𝐶) = 
𝑛(𝐶)
𝑛(𝑈)
⇒ 𝑃(𝐶) =
100
100
⇒ 𝑃(𝐶) = 1 
 Quando a probabilidade de um evento é igual a um dizemos que o evento é certo! 
 
d) D = { } 𝑛(𝐷) = 0 (Evento impossível) 
𝑃(𝐷) = 
𝑛(𝐷)
𝑛(𝑈)
⇒ 𝑃(𝐷) =
0
100
⇒ 𝑃(𝐷) = 0 
 Quando a probabilidade de um evento é igual a zero dizemos que o evento é 
impossível! 
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58 
Exemplo: No lançamento de uma moeda e um dado, qual a probabilidade de obtermos cara 
e uma face com número maior que 4? 
𝑈 = {
(𝑐𝑎𝑟𝑎, 1)(𝑐𝑎𝑟𝑎, 2)(𝑐𝑎𝑟𝑎, 3)(𝑐𝑎𝑟𝑎, 4)(𝑐𝑎𝑟𝑎, 5)(𝑐𝑎𝑟𝑎, 6)
(𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 1)(𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 2)(𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 3)(𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 4)(𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 5)(𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 6)
} 𝑛(𝑈) = 12 
 
𝐴 = {(𝑐𝑎𝑟𝑎, 5)(𝑐𝑎𝑟𝑎, 6)} 𝑛(𝐴) = 2 
 
𝑃(𝐴) = 
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
⇒ 𝑃(𝐴) =
2
12
⇒ 𝑃(𝐴) =
1
6
 
 
Exemplo: No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de obtermos produto dos 
pontos obtidos igual 12? 
 
𝑈 =
{
 
 
 
 
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}
 
 
 
 
 𝑛(𝑈) = 36 
 
𝐵 = {(2,6)(3,4)(4,3)(6,2)} 𝑛(𝐵) = 4 
𝑃(𝐵) = 
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑈)
⇒ 𝑃(𝐵) =
4
36
⇒ 𝑃(𝐵) =
1
9
 
Exemplo: (ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 
anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido 
filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no 
gráfico ao lado. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A 
probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é: 
a) 1/3 
b) 1/4 
c) 7/15 
d) 7/23 
e) 7/25 
 
Figura 11. Gráfico ex-alunas e número de filhos. 
Fonte: ENEM. 
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59 
 Perceba que queremos obter a probabilidade de que a criança premiada seja filho(a) 
único(a). Portanto temos que descobrir o número de crianças que estavam presentes na 
reunião comemorativa. Para isso, de acordo com o gráfico, basta multiplicarmos o número 
de mães (eixo y) pelo seu respectivo número de filhos (eixo x). 
• 8 mães possuem 0 filho. Então temos 0 crianças; 
• 7 mães possuem 1 filho. Então temos 7 crianças que são filhos(as) únicos(as); 
• 6 mães possuem 2 filhos. Então temos 12 crianças; 
• 2 mães possuem 3 filhos. Então temos 6 crianças. 
𝑈 = {0 + 7 + 12 + 6} 𝑛(𝑈) = 25 crianças 
𝐴 = {7} 𝑛(𝐴) = 7 crianças são filhos(as) únicos(as) 
𝑃(𝐴) = 
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
⇒ 𝑃(𝐴) =
7
25
 
Letra E. 
 
 
Atividade: Para concluir a segunda semana de estudos, 
vá até a sala virtual e resolva o 2º questionário no valor 
de 10 pontos. 
Você terá três tentativas para a realização do mesmo e 
deverá obter 60% de aproveitamento em pelo menos um 
dos questionários 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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60 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1 Probabilidade da união de dois eventos 
 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista ao vídeo 
“Probabilidade da união de dois eventos”. 
 Sejam 𝐴 e 𝐵 dois eventos de um mesmo espaço amostral 𝑈, equiprovável, finito e 
não vazio. 
 Queremos obter a probabilidade da ocorrência dos eventos 𝐴 ou 𝐵. 
 
 
 
 
 
 Da união de conjuntos, temos que: 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) ÷ 𝑛(𝑈) ≠ 0 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵)
𝑛(𝑈)
=
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
+
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑈)
 − 
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑈)
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
Observação: Conjuntos disjuntos ou eventos mutuamente exclusivos. 
 
 
 
 
 Quando temos dois eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos o 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 e, 
então, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0. 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
Objetivos 
Nesta semana, vamos finalizar o estudo de probabilidade 
abordando os temas: probabilidade da união de dois eventos, 
probabilidade condicional e probabilidade de eventos 
independentes. 
Semana 3 – Probabilidade 
𝐔 
𝐁 𝑨 
𝐔 
𝐁 𝑨 
 
 
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Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista aos vídeos 
com a resolução de exemplos de “Probabilidade da 
união de dois eventos”. 
 
Exemplo: Uma rifa é composta de 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Será sorteado um 
desses bilhetes. Qual a probabilidade de obtermos um múltiplo de 8 ou um múltiplo 12? 
𝑈 = {1, 2, 3, … , 99, 100} 𝑛(𝑈) = 100 
 
 Queremos obter múltiplo de 8 “ou” múltiplo de 12. Temos dois eventos: 
𝐴 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96} 𝑛(𝐴) = 12 
𝐵 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96} 𝑛(𝐵) = 8 
𝐴 ∩ 𝐵 = {24, 48, 72, 96} 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 4𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
+
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑈)
 − 
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑈)
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
12
100
+
8
100
 − 
4
100
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
16
100
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
4
25
= 16% 
 
Exemplo: (ENEM) Um município de 628 km² é atendido por duas emissoras de rádio cujas 
antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município, conforme mostra a figura: 
 
Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um 
morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de 
pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente: 
a) 20% 
b) 25% 
c) 30% 
d) 35% 
e) 40% 
 
 
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Pró-Reitoria de Extensão 63 
 Queremos obter a probabilidade de que um morador tem de, circulando livremente 
pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Ou 
seja, o morador pode escutar a rádio A “ou” a rádio B. 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
 Pela figura, percebemos que as rádios A e B não alcançam áreas comuns, portanto, 
são conjuntos disjuntos. Logo: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
 Sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero (trapézio retângulo) é 
360°. 
�̂� + �̂� + 90° + 90° = 360° 
�̂� + �̂� = 180° 
 Portanto, uma vez que �̂� + �̂� = 180°, a soma das áreas de alcance das rádios A e B 
definem um semicírculo de raio 10 𝑘𝑚. 
• Área semicírculo: 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
⇒ 𝐴 =
𝜋(10)2
2
⇒ 𝐴 =
100𝜋
2
⇒ 𝐴 = 50𝜋 𝑘𝑚2 
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) ⇒ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
+
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑈)
 ⇒ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵)
𝑛(𝑈)
 
𝑈 = {á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑛𝑖𝑐í𝑝𝑖𝑜} 𝑛(𝑈) = 628 𝑘𝑚2 
𝐴 + 𝐵 = {𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜} 𝑛(𝐴 + 𝐵) = 50𝜋 𝑘𝑚2 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
50𝜋
628
⇒ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
50.3,14
628
⇒ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
1
4
⇒ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 25% 
Letra B 
3.2 Probabilidade condicional 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista ao vídeo 
“Probabilidade condicional”. 
Considere os eventos 𝑨 e 𝑩 de um espaço amostral (𝑼), equiprovável, finito e não vazio. 
 
 
 
𝐔 
𝐁 𝑨 
 
 
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Pró-Reitoria de Extensão 64 
A probabilidade condicional de ocorrer o evento 𝐴 sabendo que o evento 𝐵 já tenha ocorrido 
é indicada e definida por: 
𝑃(𝐴/𝐵) =
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝐵)
 ou 𝑃(𝐴/𝐵) =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
 
 
 
Atenção: Na probabilidade condicional, 𝑃(𝐴/𝐵), o 
espaço amostral fica restringido, ou seja, o “evento 𝐵” 
passa a ser o espaço amostral. É comum aparecer os 
termos: “Verificou-se...sabe-se...” 
 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista aos vídeos 
com a resolução de exemplos de “Probabilidade 
condicional”. 
 
Exemplo: (ENEM) Um experimento foi conduzido com o objetivo de avaliar o poder 
germinativo de duas culturas de cebola, conforme a tabela. 
Germinação de sementes de duas culturas de cebola 
Culturas 
Germinação 
Total 
Germinaram Não Germinaram 
A 392 8 400 
B 381 19 400 
Total 773 27 800 
BUSSAB, W. O; MORETIN, L. G. Estatística para as ciências agrárias e biológicas (adaptado). 
 
Desejando-se fazer uma avaliação do poder germinativo de uma das culturas de cebola, 
uma amostra foi retirada ao acaso. Sabendo-se que a amostra escolhida germinou, a 
probabilidade de essa amostra pertencer Cultura A é de: 
a) 8/27 
b) 19/27 
c) 381/773 
d) 392/773 
e) 392/ 800 
 
 
 
Instituto Federal de Minas Gerais 
Pró-Reitoria de Extensão 65 
 Queremos obter a probabilidade de uma amostra pertencer a Cultura A “sabendo-se” 
que a amostra escolhida germinou. 
𝑃(𝐴/𝐵) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐵)
 
𝐴: Cultura 𝐴 
𝐺: Germinou 
𝑃(𝐴/𝐺) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐺)
𝑛(𝐺)
 
Pela tabela apresentada temos que: 
• Número da cultura 𝐴 que germinaram, ou seja, 𝑛(𝐴 ∩ 𝐺) = 392 
• Cultura que germinaram, ou seja, 𝑛(𝐺) = 773 
 
𝑃(𝐴/𝐺) =
392
773
 
 
Letra D. 
 
Exemplo: Uma rifa é composta de 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Será sorteado um 
desses bilhetes. Qual a probabilidade de obtermos um múltiplo de 8 sabendo que ocorreu 
um múltiplo 12? 
Queremos a probabilidade de obter múltiplo de 8 “sabendo-se” que ocorreu múltiplo de 12. 
 
𝑃(𝐴/𝐵) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐵)
 
 
𝑃(𝑀(8)/𝑀(12)) =
𝑛(M(8) ∩𝑀(12))
𝑛(𝑀(12))
 
 
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑀(8) ∩ 𝑀(12) = {24, 48, 72, 96} 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑛(M(8) ∩𝑀(12)) = 4 
𝐵 = 𝑀(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96} 𝑛(𝐵) = 𝑛(𝑀(12)) = 8 
 
𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝑀(8)/𝑀(12)) =
4
8
= 50% 
 
Exemplo: (ENEM) Para verificar e analisar o grau de eficiência de um teste que poderia 
ajudar no retrocesso de uma doença numa comunidade, uma equipe de biólogos aplicou-o 
em um grupo de 500 ratos, para detectar a presença dessa doença. Porém, o teste não é 
totalmente eficaz podendo existir ratos saudáveis com resultado positivo e ratos doentes 
com resultado negativo. Sabe-se, ainda, que 100 ratos possuem a doença, 20 ratos são 
saudáveis com resultado positivo e 40 ratos são doentes com resultado negativo. Um rato 
foi escolhido ao acaso, e verificou-se que o seu resultado deu negativo. A probabilidade de 
esse rato ser saudável é: 
a) 1/5 
b) 4/5 
c) 19/21 
d) 19/25 
e) 21/ 25 
 
 
Instituto Federal de Minas Gerais 
Pró-Reitoria de Extensão 66 
 Queremos a probabilidade de termos um rato saudável (𝑆) após saber que o 
resultado de seu exame ser negativo (𝑁). 
𝑃(𝐴/𝐵) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐵)
⇒ 𝑃(𝑆/𝑁) =
𝑛(𝑆 ∩ 𝑁)
𝑛(𝑁)
 
 Do texto apresentado na questão podemos escrever que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃(𝑆/𝑁) =
𝑛(𝑆 ∩ 𝑁)
𝑛(𝑁)
=
380
40 + 380
=
380
420
=
19
21
 
Letra C. 
 
3.3 Probabilidade de eventos independentes 
Probabilidade da interseção de dois eventos: 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista ao vídeo 
“Probabilidade da interseção de dois eventos”. 
 Considere os eventos 𝐴 e 𝐵 de um espaço amostral (𝑈), equiprovável, finito e não 
vazio. 
 Vimos que a probabilidade condicional de ocorrer o evento 𝐴 sabendo que o evento 
𝐵 já tenha ocorrido é indicada e definida por: 
𝑃(𝐴/𝐵) =
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝐵)
 ou 𝑃(𝐴/𝐵) =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
 
 Portanto, definimos a probabilidade da interseção de dois eventos 𝐴 e 𝐵 como sendo 
o produto da probabilidade do evento 𝐵 pela probabilidade do evento 𝐴, sabendo que o 
evento 𝐵 ocorreu. 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵). 𝑃(𝐴/𝐵) 
500 ratos 
100 ratos doentes 
400 ratos saudáveis 
40 ratos - negativo 
60 ratos - positivo 
20 ratos - positivo 
380 ratos - negativo 
 
 
Instituto Federal de Minas Gerais 
Pró-Reitoria de Extensão 67 
 
Dica do Professor: Atenção ao resolver os exercícios: 
• Experimentos com reposição: espaço amostral 
permanece o mesmo; 
• Experimentos sem reposição: espaço amostral 
fica alterado. 
 
 
Mídia digital: Vá até a sala virtual e assista aos vídeos 
com a resolução de exemplos de “Probabilidade da 
interseção de dois eventos”. 
Exemplo: Em um estojo existem 8 canetas azuis e 6 canetas vermelhas. Duas delas serão 
retiradas sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade de obtermos duas canetas 
azuis? 
 Podemos representar o diagrama abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Queremos duas bolas azuis 𝑃(𝐴 𝑒 𝐴), ou seja: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵). 𝑃(𝐴/𝐵) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐴/𝐴) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐴) =
8
14
.
7
13
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐴) =
4
13
 
 
𝐴 =
8
14
 
𝑉 =
6
14
 
𝐴 =
7
13
 
𝑉 =
6
13
 
𝐴 =
8
13
 
𝑉 =
5
13
 
 
 
Instituto Federal de Minas Gerais 
Pró-Reitoria de Extensão 68 
Exemplo: Em um estojo existem 8 canetas azuis e 6 canetas vermelhas. Duas delas serão 
retiradas sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade de obtermos duas 
canetas de cores distintas? 
 Queremos obter canetas de cores distintas, ou seja, “azul e vermelha” ou “vermelha 
e azul”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝑉) ou 𝑃(𝑉 ∩ 𝐴) 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝑉) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝑉/𝐴) ou 𝑃(𝑉 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝑉). 𝑃(𝐴/𝑉) 
 
8
14
.
6
13
+
6
14
.
8