Lista1ExP2Turma8720-32

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Universidade Estadual de Maringá
1a Lista para 2a Prova de Cálculo II
Professor: Ronaldo Lopes
Exercício 1: Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
a) fpx, yq “ 3x´ 2y4;
b) fpx, yq “ x5 ` 3x3y2 ` 3xy4;
c) fpx, yq “ xe3y;
d) fpx, yq “ x´ y
x` y
;
e) fpx, yq “ xy ` 2xy;
f) fpx, y, zq “ xz ´ 5x2y3z4;
g) fpx, y, zq “ lnpx` 2y ` 3zq.
Exercício 2: Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
a) fpx, yq “ x2 ` y2;
b) fpx, yq “ senpx3yq ` 3xy2;
Exercício 3: Use a derivação implícita para determinar zx e zy:
a) x2 ` y2 ` z2 “ 3xyz;
b) yz “ lnpx` zq;
Exercício 4: A temperatura em um ponto px, yq é T px, yq, medida em graus Celsius. Um in-
seto rasteja de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por
x “
?
1` t, y “ 2 ` t{3, onde x e y são medidas em centímetros. A função tempe-
ratura satisfaz Txp2, 3q “ 4 e Typ2, 3q “ 3. Quão rápido a temperatura aumenta no
caminho do inseto depois de 3 segundos?
Exercício 5: Se z “ fpx, yq é uma função diferenciável, onde x “ r cospθq e y “ rsenpθq:
a) Determine zx e zy;
b) Mostre que
pzxq
2
` pzyq
2
“ pzrq
2
`
1
r2
pzθq
2.
Exercício 6: Use a Regra da Cadeia para determinar dz{dt para cada um dos itens a seguir:
a) z “ x2y ` xy2, onde x “ 2` t4 e y “ 1´ t3;
b) z “ senpxq cospyq, onde x “ πt e y “
?
t.
Exercício 7: Use a Regra da Cadeia para determinar fr e fs para cada um dos itens
a seguir:
a) fpx, yq “ x2y3, onde x “ r cospsq e y “ rsenpsq;
b) fpx, yq “ ex`2y, onde x “ r{s e y “ s{r.
Exercício 8: Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especí-
ficado para cada um dos itens a seguir:
a) z “ 4x2 ´ y2 ` 2y, P “ p´1, 2, 4q;
b) z “ y lnpxq, P “ p1, 4, 0q.
Exercício 9: Determine a aproximação linear da função fpx, yq “
a
20´ x2 ´ 7y2 no
ponto p2, 1q e use-a para aproximar fp1, 95, 1, 08q.
Exercício 10: Determine a aproximação linear da função fpx, yq “ lnpx ´ 3yq no ponto
p7, 2q e use-a para aproximar fp6, 9, 2, 06q.
Exercício 11: Se z “ 5x2 ` y2 e px, yq varia de p1, 2q a p1, 05, 2, 1q, compare os va-
lores de ∆z e da diferencial dz.
Exercício 12: O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30
cm e 24 cm, respectivamente, com erro na medida de, no máximo, 0, 1 cm. Utilize a
diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.
Exercício 13: Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica
fechada de 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo
possui 0, 1 cm de espessura e o das laterias tem espessura de 0, 05 cm.
Exercício 14: Nas proximidades de uma boia, a profundidade de um lago em um plano de
coordenadas px, yq é z “ 200 ` 0, 02x2 ´ 0, 001y3, onde x, y e z são medidos em metros.
Um pescador que está em um pequeno barco parte do ponto p80, 60q em direção à boia,
que está localizada no ponto p0, 0q. A água sob o barco está ficando mais profunda ou
mais rasa quando ele começa a se mover? Justifique sua resposta.
Questão 15: Dada a função fpx, yq “ x2 ` xy calcule a derivada direcional de f na
direção do vetor ÝÑu no ponto P=p1, 2q, denotada por fup1, 2q, sendo ÝÑu o versor dos vetores
a) ÝÑv “ p1, 1q
b) ÝÑw “ p3, 4q
Questão 16: O lucro mensal de uma loja de departamento depende do nível de esto-
que x (em milhares de dólares) e do espaço disponível y (em milhares de pés quadrados)
para expor a mercadoria, como descrito pela equação
P px, yq “ ´0.02x2 ´ 15y2 ` xy ` 39x` 25y ´ 20000.
Calcule Pxpx, yq e Pypx, yq quando x “ 4000 e y “ 150. Justifique qual das iniciativas é a
melhor para aumentar o lucro mensal: aumentar o estoque ou aumentar o espaço disponível.
Exercício 17: Uma loja de móveis fabrica mobília doméstica com ou sem acabamento.
Estima-se que a demanda semanal de suas mesas nas versões com e sem acabamento é de x
e y unidades, quando os preços unitários da demanda com acabamento e sem acabamento
p, q, respectivamente, satisfazem as equações
p “ 200´ x5 ´
y
10 e q “ 160´
x
10 ´
y
4 .
a) Qual é a função receita total semanal Rpx, yq?
a) Determine o domínio da função Rpx, yq.
a) O que é mais vantajoso segundo a função R: ter uma demanda de 60 mesas com
acabamento e 100 mesas sem acabamento ou o contrário, 100 mesas com acabamento e 60
mesas sem acabamento?
Exercício 18: Determine os valores de máximo e mínimo relativos e pontos de sela
das funções a seguir:
a)fpx, yq “ 9´ 2x` 4yx2 ´ 4y2;
b)fpx, yq “ x3y ` 12x2 ´ 8y;
c)fpx, yq “ 2x3 ` 3y3 ` 10xy;
d)fpx, yq “ 2x3 ` xy2 ` 5x2 ` y2;
e)fpx, yq “ 12xy2 ` 10x2y.
Exercício 19: Determine a menor distância entre o ponto p4, 3q e a reta x´ y “ 3.
Exercício 20: Determine a menor distância entre o ponto p2, 1,´1q e o plano x` y´ z “ 1.
Exercício 21: Determine os pontos da superfície y2 “ 9 ` xz que estão mais próxi-
mos da origem.
Exercício 22: Determine 3 números positivos cuja soma é 100 e o produto é máximo.
Soluções
Ex. 1 - a) fxpx, yq “ 3, fypx, yq “ ´8y3
b) fxpx, yq “ 5x4 ` 9x2y2 ` 3y4, fypx, yq “ 6x3y ` 12xy3
c) fxpx, yq “ e3y, fypx, yq “ 3xe3y
d) fxpx, yq “
2y
px` yq2
, fypx, yq “
´2x
px` yq2
e) fxpx, yq “
$
&
%
yxy´1 ` 2y, se y ­“ 0, x ą 0
2y, se y “ 0, x ą 0
fypx, yq “ lnpxqxy ` 2x, x ą 0
f) fxpx, y, zq “ z ´ 10xy2z4, fypx, y, zq “ ´15x2y2z4, fzpx, y, zq “ x´ 20x2y3z3
g) fxpx, y, zq “
1
x` 2y ` 3z , fypx, y, zq “
2
x` 2y ` 3z , fzpx, y, zq “
3
x` 2y ` 3z
Ex. 2 -
a) fxxpx, yq “ 2
fxypx, yq “ 0
fyypx, yq “ 2
b) fxxpx, yq “ ´9x4senpx3yq ` 6x cospx3yq
fxypx, yq “ ´3x2senpx3yq ` 6y
fyypx, yq “ ´senpx3yq ` 6x
Ex. 3 -
a) zxpx, yq “ ´
2x´ 3yz
2z ´ 3xy ; zypx, yq “ ´
2y ´ 3xz
2z ´ 3xy
b) zxpx, y, zq “
1
px` zqy ´ 1 ; zypx, y, zq “ ´
xz ´ z2
px` zqy ´ 1
Ex. 4 -
A temperatura aumenta 2oC por segundo.
Ex. 6 -
a) dz
dt
“ p2p2` t4qp1´ t3q ` p1´ t3q2q4t3 ´ 3t2pp2` t4q2 ` 2p2` t4qp1´ t3q4q.
b) dz
dt
“ π cospπtq cosp
a
ptqq ´
senpπtqsenp
?
tq
2
a
ptq
.
Ex. 7 -
a) frpr, sq “ 5r4 cos2psqsen3psq.
fspr, sq “ ´2r5 cospsqsen4psq ` 3r5 cos3psqsen2psq.
b) frpr, sq “
er{s`p2sq{r
s
´
2ser{s`p2sq{r
r2
.
fspr, sq “ ´
rer{s`p2sq{r
s2
´
2er{s`p2sq{r
r
.
Ex. 8 -
a) z “ ´8x´ 2y.
b) z “ 4x´ 1.
Ex. 9 -
Lp1, 95; 1, 08q « 2.81667.
Ex. 10 -
Lp6, 9; 2, 06q “ ´0, 28.
Ex. 11 -
δz “ 0, 9225, dz “ 0, 9.
Ex. 12 -
A diferença na área é de 5, 4 cm2.
Ex. 13 -
O volume de metal da lata é de aproximadamente 8, 2π cm3.
Ex. 14 -
A profundidade aumenta.
Ex. 15 -
a) DfÝÑu p1, 2q “
5
?
2
2 ; b) DfÝÑu p1, 2q “
16
?
5
5 .
Ex. 16 -
Aumentar o estoque x.
Ex. 17 -
a) Rpx, yq “ ´x
2
5 ´
y2
4 ´
xy
5 ` 200x` 160y.
b) Os valores de x e y que fazem sentido pelo significado das variáveis do problema são:
x ě 0, y ě 0, 200´ x5 ´
y
10 ě 0, 160´
x
10 ´
y
4 ě 0
c) 100 mesas com acabamente e 60 mesas sem acabamento.
Ex. 18 -
a)
˜
3
c
1
2 ,
1
2
3
c
1
4
¸
é ponto de sela.
b) p2,´4q é ponto de sela.
c) p0, 0q é ponto de sela.
˜
´
9
10
3
c
1002
4862 ,
3
c
´
100
486
¸
é ponto de sela.
d) p0, 0q é ponto de mínimo.
p´
5
4 , 0q é ponto de mínimo.
e) p0, 0q é ponto crítico, mas o teste da derivada segunda é inconclusivo.
Ex. 19 -
Ponto de mínimo =
ˆ
17
4 ,
5
4
˙
.
Distância mínima
?
50
4 .
Ex. 20 -
Ponto de mínimo = p1, 0, 0q.
Distância mínima
?
3.
Ex. 21 -
Pontos de mínimo: p0, 3, 0q e p0,´3, 0q.
Pontos de máximo:
ˆ
3
4
?
2
, 0,´3
?
2
4
?
2
˙
e
ˆ
´
3
4
?
2
, 0,´3
?
2
4
?
2
˙
.
Pontos mais próximos da origem: p0, 3, 0q e p0,´3, 0q.
Ex. 22 -
Pontos de mínimo: p100, 0, 0q, p0, 100, 0q e p0, 0, 100q.
Pontos de máximo:
ˆ
100
3 ,
100
3 ,
100
3
˙
.
Produto Máximo: 100
3
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