Exercícios de Cálculo 1 - Conteúdo de Integrais com Resposta para Praticar

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Exerćıcio 1. Calcule:
(a)
∫
xe−x dx (b)
∫
x cos x dx (c)
∫
[x2ex
3 − x3 lnx] dx
(d)
∫
arcsen 2x dx (e)
∫
x2exdx (f)
∫
x2 lnxdx
(g)
∫
(lnx)2dx (h)
∫
ex cosxdx (i)
∫
x2 senxdx
(Respostas: (a) −e−x(x+ 1) + k (b) x senx+ cosx+ k (c) e
x3
3
− x
4 lnx
2
+ k (d) x arcsen 2x+
1
2
√
1− 4x2 + k (e) ex(x2− 2x+ 2) + k (f) 13x
3(lnx− 13) + k (g) x(lnx)
2− 2x(lnx− 1) + k (h)
1
2e
x( senx+ cosx) + k (i) −x2 cosx+ 2x senx+ 2 cosx+ k)
Exerćıcio 2. Calcule
∫
e−st sen tdt, onde s > 0 é constante.
(Respostas: − e
−st
1 + s2
(cos t+ s sen t) + k
Exerćıcio 3. Para todo n ≥ 1 e todo s > 0, verifique que∫
tne−stdt = −1
s
tne−st +
n
s
∫
tn−1e−stdt.
Exerćıcio 4. Calcule
(a)
∫ 1
0
xexdx (b)
∫ 2
1
lnxdx
(c)
∫ π
2
0
ex cosxdx (d)
∫ x
0
t2e−stdt (s 6= 0)
(Respostas: (a) 1 (b) 2 ln 2− 1 (c) 12(e
π
2 − 1) (d) −1sx
2e−sx − 2
s2
xe−sx − 2
s3
e−sx + 2
s3
)
Exerćıcio 5. Suponha que f ′′ seja cont́ınua em [a, b]. Verifique que
f(b) = f(a) + f ′(a)(b− a) +
∫ b
a
(b− t)f ′′(t)dt.
Exerćıcio 6. Sejam m e n naturais não nulos. Verifique que:
(a)
∫ 1
0
xn(1− x)mdx = m
n+ 1
∫ 1
0
xn+1(1− x)m−1dx
(b)
∫ 1
0
xn(1− x)mdx = n!m!
(m+ n+ 1)!
Exerćıcio 7. Calcule
∫ √
a2 + x2 dx, a > 0.
(Respostas:
1
2
[
x
a2
√
a2 + x2 + ln
∣∣∣∣∣x+
√
a2 + x2
a
∣∣∣∣∣
]
+ k)
1
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 1 - INTEGRAIS
Exerćıcio 8. Deduza a área do ćırculo de raio r, r > 0.
(Respostas: πr2)
Exerćıcio 9. Calcule
(a)
∫ √
−x2 + 2x+ 3 dx (b)
∫ √
6− 3x2 dx (c)
∫
1
x
√
1 + x2
dx
(Respostas: (a) 2 arcsen
x− 1
2
+
x− 1
2
√
4− (x− 1)2 + k (b) 1
2
x
√
(6− 3x2) +
√
3 arcsen
1
2
√
2x + k
(c) ln
∣∣∣∣ x1 +√1 + x2
∣∣∣∣+ k).
Exerćıcio 10. Calcule a área da elipse descrita pela equação 9x2 + y2 ≤ 3.
(Respostas: π).
Exerćıcio 11. Sejam m e n constantes não nulas Mostre que:∫
mx+ n
1 + x2
dx =
m
2
ln(1 + x2) + n arctg x+ k
Exerćıcio 12. Calcule
(a)
∫
x3 + x+ 1
x2 − 4x+ 3
dx (b)
∫
3
x2 + 3
dx
(c)
∫
x2 + 3
x2 − 9
dx (d)
∫
x2 + 1
(x− 3)2
dx
(Respostas: (a)
x2
2
+ 4x− 3
2
ln |x− 1|+ 31
2
ln |x− 3|+ k (c) x+ 2 ln |x− 3| − 2 ln |x+ 3|+ k)
Exerćıcio 13. Calcule e verifique o resultado por derivação.
(a)
∫
x+ 3
x(x− 3)(x− 4)
dx (b)
∫
3
x3 − 16x
dx
(c)
∫
x3 + 1
x3 − x2 − 2x
dx (d)
∫
5
(x2 − 1)(x2 − 9)
dx
Exerćıcio 14. Siga as instruções:
1. Determine A, B, C e D tais que
x− 3
(x− 1)2(x+ 2)2
=
A
x− 1
+
B
(x− 1)2
+
C
x+ 2
+
D
(x+ 2)2
.
2. Calcule
∫
x− 3
(x− 1)2(x+ 2)2
dx.
(Respostas:
7
27
ln |x− 1|+ 6
27(x− 1)
− 7
27
ln |x+ 2|+ 15
27(x+ 2)
+ k.)
Exerćıcio 15. Calcule as integrais:
(a)
∫
2x− 1
(x− 1)(x− 2)
dx (b)
∫
x
(x+ 1)(x+ 3)(x+ 5)
dx
(c)
∫
x4
(x2 − 1)(x+ 2)
dx (d)
∫
dx
(x− 1)2(x− 2)
(e)
∫
x− 8
x3 − 4x2 + 4x
dx (f)
∫
dx
x(x2 + 1)
dx
(g)
∫
dx
x3 + 1
(h)
∫
4x2 − 8x
(x− 1)2(x2 + 1)2
dx.
2
(Respostas: (a) ln
∣∣∣∣(x− 2)3x− 1
∣∣∣∣+ k (b) 18 ln
∣∣∣∣ (x+ 3)6(x+ 5)5(x+ 1)
∣∣∣∣+ k
(c)
x2
2
− 2x+ 1
6
∣∣∣∣ x− 1(x+ 1)3
∣∣∣∣+ 163 ln |x+ 2|+ k (d) 1x− 1 + ln
∣∣∣∣x− 2x− 1
∣∣∣∣+ k
(e)
3
x− 8
+ ln
(x− 2)2
x2
+ k (f) ln
|x|√
x2 + 1
+ k (g)
1
6
ln
(x+ 1)2
x2 − x+ 1
+
1√
3
arctg
2x− 1√
3
+ k
(h)
3x2 − 1
(x− 1)(x2 + 1)
+ ln
(x− 1)2
x2 + 1
+ arctg x+ k )
Exerćıcio 16. Calcule as integrais:
(a)
∫ √
a2 − x2
x2
dx (b)
∫
dx
x2
√
1 + x2
dx
(c)
∫ √
x2 − a2
x
dx (d)
∫
1√
(a2 + x2)3
dx.
(Respostas: (a) −
√
a2 − x2
x
− arcsen x
a
+ k (b) −
√
1 + x2
x
+ k (c)
√
x2 − a2 − a arccos a
x
+ k
(d)
x
a2
√
a2 + x2
+ k)
3