Ajustamento-Cap2

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CAPÍTULO 2 
 AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES 
 
2.1 Motivação para AJUSTAR OBSERVAÇÕES! 
As observações conduzidas pelo homem se caracterizam pela inevitável presença dos “erros de 
medida”. Erros que decorrem não apenas de falhas humanas, mas também da imperfeição do 
equipamento e da influência das condições ambientais nas quais se processa a mensuração. Cabe 
aqui, de imediato, a célebre frase do Prof. Camil Gemael: “Quem dá os primeiros passos na 
análise de observações começa por fazer uma concessão: abdicar da pretensão de obter o 
verdadeiro valor de uma grandeza medida”. 
A desconfiança no resultado de uma medida isolada, fruto da certeza na falibilidade humana, leva 
naturalmente à repetição das observações. Assim, a partir da pluralidade de observações, 
sabidamente incorretas – pelas discrepâncias que apresentam como extrair um resultado que seja 
único e que possa representar com confiança a grandeza medida? O ajustamento de observações 
proporciona este resultado bem como estima a precisão da solução adotada. 
 
2.2 Erros: Verdadeiro, Aparente e Resíduo 
Designando por X o valor estimado de uma grandeza medida; por  o seu verdadeiro valor, e 
por li os valores observados, tem-se que: 
 lv i   - erro verdadeiro; 
 l Xa i   - erro aparente; 
 V X li i  - resíduo 
Em função da certeza de não podermos conseguir chegar ao verdadeiro valor de uma grandeza 
também não é possível conhecer os erros verdadeiros e seus comportamentos. Assim, devemos 
lançar mão da pluralidade de observações sobre uma grandeza e procurar um procedimento para 
estimar o “melhor valor” ou o valor mais provável da grandeza. Assim, toda a análise dos erros e 
seus comportamentos é realizada a partir dos resíduos. 
 
2.3 O Método dos Mínimos Quadrados - MMQ 
Para apresentar o MMQ, considere o caso muito simples de medida direta de uma grandeza X. 
Sejam 
1 2 3
, , ,...,
n
l l l l 
os valores obtidos em uma série de n observações – medidas da grandeza X. 
Na impossibilidade de se obter o verdadeiro valor de X, pesquisemos uma estimativa na qual se 
possa confiar; adote-se, com base num certo critério, o valor x e determinam-se as diferenças: 
6 
 
1 1
2 2
.............
n n
x l v
x l v
x l v
 
 
 
 
Tais diferenças (
i
v ) são os resíduos; estes, a priori são desconhecidos, e somados às observações 
reproduzem o valor escolhido x. 
Mudando o critério, poder-se-ia adotar outro valor x’; resultaria um novo conjunto de resíduos: 
i i
x l v   
E assim por diante. Qual dos valores x, x’,... adotar? Como escolher um critério que permita, das 
observações repetidas 
i
l , discrepantes entre si, extrair um valor único para representar a incógnita 
X? Há dois séculos, Gauss e Legendre indicaram a solução: Método dos Mínimos Quadrados – 
MMQ. 
 
ENUNCIADO: 
A melhor estimativa de uma grandeza X é o valor que torna mínima a soma dos quadrados dos 
resíduos: 
2
1
min
n
i
i
v

 
Quando as observações não oferecem o mesmo grau de confiança, são homogeneizadas através da 
atribuição de pesos 
i
p : 
2
1
min
n
i i
i
p v

 
Modernamente, prefere-se a notação matricial: 
min
T
V V min
T
V PV 
sendo V o vetor coluna dos resíduos. 
Até há bem pouco tempo, a teoria clássica dos mínimos quadrados manteve-se inalterada; isto é, 
impunha restrições hoje dispensáveis: observações não correlacionadas e os resíduos obedecerem 
à distribuição normal. Foram os avanços da Estatística Matemática, através da extraordinária 
concisão da linguagem matricial associada ao uso de computadores capazes de manipular 
matrizes de elevadas dimensões, que mostraram a conveniência da revisão de certos conceitos. 
Assim, os pré-requisitos de “observações não correlacionadas” e os de “desvios normais” 
recebem atualmente outro enfoque: as observações são encaradas como variáveis aleatórias ou 
estocásticas (sujeitas as oscilações probabilísticas) e o ajustamento proporciona estimativas das 
7 
 
mesmas e/ou de quantidades (parâmetros) a elas ligadas. A introdução da estimativa por 
intervalos e dos testes estatísticos veio possibilitar o tratamento mais lógico de certos problemas. 
 
RESUMO 
Em resumo, pode-se dizer que: 
A partir de observações superabundantes, sujeitas a flutuações probabilísticas e de uma estimativa 
de sua precisão, o AJUSTAMENTO tem por objetivo: 
a) Estimar mediante a aplicação de modelos matemáticos adequados e do MMQ, um 
valor único para cada uma das incógnitas do problema; 
b) Estimar a precisão de tais incógnitas e a eventual correlação entre elas. 
 
2.3.1 Considerações gerais 
A maioria das medições topográficas realizadas em levantamentos devem se adequar a certas 
condições geométricas. Quando as medições não satisfazem estas condições surge o conhecido 
erro de fechamento e isso é indicativo da presença de erros aleatórios. Diversos procedimentos 
são utilizados para distribuir esses erros e produzir condições geométrica e matematicamente 
perfeitas. Alguns profissionais aplicam correções iguais às medidas o que significa distribuir 
igualmente o erro de fechamento entre todas as medidas envolvidas. Outros introduzem correções 
proporcionais aos pesos estabelecidos para as medições. 
Vimos anteriormente que os erros aleatórios em Topografia ocorrem em conformidade com as 
leis matemáticas da probabilidade e se distribuem normalmente. Por esta razão o processo de 
ajuste mais adequado deverá basear-se nestas leis. O procedimento dos Mínimos Quadrados é um 
deles. Não é um método novo, pois ao final do século XVIII Gauss já o havia aplicado. Entretanto 
o método foi pouco difundido devido a grande quantidade de cálculos envolvidos. Com o 
aparecimento dos computadores e a utilização do cálculo matricial, o método tornou-se 
novamente atrativo. Além do fato de o método produzir solução única para o problema, permite 
também determinar a qualidade desta solução (acurácia). 
O Método dos Mínimos Quadrados é um procedimento adequado para ajustar quaisquer tipos de 
medição e é especialmente indicado para todos os procedimentos topográficos. O método reforça 
a condição que a soma dos quadrados dos resíduos é mínima, ou, se as medições forem 
ponderadas a soma dos produtos dos pesos das medidas multiplicadas pelos resíduos 
correspondente elevados ao quadrado, se minimiza. Esta condição, que se desenvolve a partir da 
distribuição normal de erros, proporciona os valores mais prováveis para as quantidades ajustadas. 
Além disso, o MMQ possibilita: 
 1- determinar as precisões dos valores ajustados; 
 2- detectar a presença de erros grosseiros e equívocos de tal forma que se possa tomar 
medidas para eliminá-los; 
 3- planejar as tarefas de campo ainda no escritório, definindo o procedimento e 
equipamentos mais adequados para a tomada de medidas de campo. 
As hipóteses básica em que se apoia o MMQ são: 
8 
 
 1- os equívocos e erros sistemáticos já foram tratados adequadamente, de tal forma que só 
restaram os erros aleatórios; 
 2- o número de observações a serem ajustadas deve ser grande; em outras palavras, para 
aplicação do MMQ é necessário a existência de observações redundantes (superabundantes); 
 3- a distribuição de frequência dos erros é considerada normal. Caso essa hipótese não 
possa ser cumprida integralmente, mesmo assim o ajuste por mínimos quadrados proporciona o 
tratamento mais rigoroso dos erros. 
 
2.3.2 Aplicando o Método dos Mínimos Quadrados 
Algebricamente a expressão do MMQ pode ser escrita na forma 
φ = v1
2
 + v2
2
 + v3
2 
+ … + vn
2
 =mínimo = ∑vi
2
 
onde os vi
2
 são os resíduos da n observações realizadas. Se as n observações forem obtidas com 
diferentes níveis de confiabilidade, torna-se necessário a introdução de pesos e nesse caso pode-se 
escrever 
φ = p1.v1
2
 + p2.v2
2
 + p3.v3
2 
+ … + pn.vn
2
 =mínimo = ∑vi
2
.pi 
Afinal, quando uma função passa por um mínimo? Uma função passa por um mínimose a 
derivada primeira for nula. Assim, toda vez que aplicamos o MMQ vamos impor a condição de 
derivada nula e resolver o sistema de equações que resulta desse processo. 
Para facilitar o entendimento do princípio vamos desenvolver exemplos numa forma geral sem a 
definição do método de ajustamento a ser utilizado. 
1) Numa base ABCD foram medidos os segmentos AB, BC, CD, AC e BD. Todas as medidas são 
não correlacionadas e possuem a mesma confiabilidade. Os valores medidos encontram-se anexos 
ao croquis. Ajustar as medidas pelo MMQ e informar qual a distância entre A e D. 
 
Solução: Com os comprimentos AB (x1), BC (x2) e CD (x3) já pode-se determinar a base AD 
desejada. Porém foram realizadas mais duas medições, totalizando cinco observações. Existem, 
portanto duas observações redundantes. 
Para cada observação vamos escrever uma equação envolvendo as observações efetuadas (coluna 
da esquerda). 
Ocorre que as equações apresentadas não são consistentes, uma vez que as medições apresentam 
erros. Assim temos que inserir os resíduos para eliminar a inconsistência (coluna da direita). 
 
 
9 
 
L1 = x1 
L2 = x2 
L3 = x3 
L4 = x1 + x2 
L5 = x2 + x3 
L1 + v1 = x1
a 
 v1 = x1
a 
- L1 
L2 + v2 = x2
a 
 v2 = x2
a 
- L2 
L3 + v3 = x3
a 
 v3 = x3
a 
- L3 
L4 + v4 = x1
a
 + x2
a 
 v4 = x1
a
 + x2
a 
- L4 
L5 + v5 = x2
a
 + x3
a 
 v5 = x2
a
 + x3
a 
- L5 
Vamos aplicar o MMQ: a soma dos quadrados dos resíduos deve ser mínima; então 
φ = v1
2
 + v2
2
 + v3
2 
+ v4
2 
+
 
v5
2
 =mínimo = ∑vi
2
 c/i = 1,...,5 
Substituindo os resíduos pelas respectivas expressões dadas no quadro (coluna da direita), pode-se 
escrever: 
φ = (x1
a
 – 100,000)
2
 + ( x2
a
 -100,000)
2
 +( x3
a 
-100,080)
2
+ 
+ ( x1
a
 + x2
a
 – 200,040)
2
 + ( x2
a
 + x3
a
 – 200,000)
2
 = mínimo 
Para minimizar a função φ suas derivadas parciais com relação as incógnitas (distâncias x1
a
, x2
a
 
e x3
a
) devem ser iguais a zero: 
(δφ/δ x1
a
) = 2( x1
a
 – 100,000) + 2( x1
a
 + x2
a
 – 200,040) = 0 
(δφ/δ x2
a
) = 2( x2
a
 – 100,000) + 2( x1
a
 + x2
a
 – 200,040) + (x2
a
 + x3
a
 – 200,000) = 0 
(δφ/δ x3
a
) = 2( x3
a
 – 100,080) + 2( x2
a
 + x3
a
 – 200,000) = 0 
Efetuando as operações algébricas indicadas, resulta o sistema de equações normais a seguir: 
 2 x1
a
 + x2
a
 = 300,040 
 x1
a
 + 3 x2
a
 + x3
a
 = 500,040 
 x2
a
 + 2 x3
a
 = 300,080 
As equações acima possuem as três incógnitas procuradas e são conhecidas por equações normais. 
Resolvendo as equações por qualquer procedimento encontram-se os valores para as incógnitas: 
x1
a
 = 100,025 m 
x2
a
 = 99,990 m 
x3
a
 = 100,045 m 
Então, a distância ajustada AD = x1
a
 + x2
a
 + x3
a
 = 300,060 m. 
Com o intuito de efetuar algumas verificações vamos calcular os resíduos: 
v1 = x1
a
 - L1 = 0,025 m v4 = x1
a
 + x2
a
 - L4 = -0,025 m 
v2 = x2
a
 - L2 = -0,01 m v5 = x2
a
 + x3
a
 - L5 = 0,035 m 
v3 = x3
a
 - L3 = -0,035 m 
 
2) Os três ângulos horizontais medidos (conforme figura) ao redor do horizonte foram: x = 42
o
 
17', y = 60
o
 48' e z = 256
o
 52'. Ajuste estes ângulos pelo MMQ de maneira que a soma seja 360
o
. 
 
10 
 
 
Solução: 
1) Primeiramente vamos escrever as equações de observação: 
x
a
 = 42
o
 17' + v1 y
a
 = 60
o
 48' + v2 z
a
 = 256
o
 52' + v3 
2) Existe uma condição geométrica que deve ser atendida; escrevamos a expressão: 
x
a
 + y
a 
+ z
a
 = 360
o
 
Devido a esta condição geométrica, o resíduo da observação z não é independente dos demais; 
assim, temos que reescrever a equação exprimindo-a somente em função dos resíduos 
independentes. Logo, teremos: 
( 42
o
 17' + v1 + 60
o
 48' + v2 + 256
o
 52' + v3 ) = 360
o
 
v3 = 03' – v1 – v2 
3) Vamos criar a função φ = ∑ vi
2
 = mín 
φ = ∑ vi
2
 = v1
2
 + v2
2
 + (03' – v1 – v2 ) = mín 
 
4) Derivando parcialmente a função em relação a v1 e v2, temos: 
∂∑ vi
2
 /∂v1 = 0 = 2 v1 + 2(03' – v1 – v2)(-1); 4 v1 + 2 v2 = 06' 
∂∑ vi
2
 /∂v2 = 0 = 2 v2 + 2(03' – v1 – v2)(-1); 2 v1 + 4 v2 = 06' 
 
5) Resolvendo as duas equações surge: v1 = 01' e v2 = 01' 
6) ) O terceiro resíduo é imediato: v3 = 03' – v1 – v2 = 01' 
7) Finalmente substituindo os valores encontrados na equação de observação, resultam os valores 
ajustados: 
x
a
 = 42
o
 17' + v1 x
a
 = 42
o
 17' + 01' = 42
o
 18' 
y
a
 = 60
o
 48' + v2 y
a
 = 60
o
 48' +01' = 60
o
 49' 
z
a
 = 256
o
 52' + v3 z
a
 = 256
o
 52' + 01' = z
a
 = 256
o
 53' 
cuja soma resulta 360
o
 , conforme esperado. 
O resultado deste exemplo evidencia outro procedimento básico usualmente aplicado em 
Topografia; isto é, para ângulos igualmente ponderados medidos ao redor do horizonte, se 
11 
 
aplicam correções de igual magnitude a cada ângulo. O mesmo acontece quando os três ângulos 
igualmente ponderados de um triângulo plano se ajustam por MMQ: cada um recebe uma 
correção de igual magnitude. 
 
2.3.3 Considerações sobre o peso nas observações 
A atribuição de pesos às observações não é tarefa trivial e é tida como uma das mais complexas 
em ajustamento de observações. Inúmeros fatores devem ser levados em conta no momento de 
decidir por ponderar as observações, tais como, instrumentos utilizados, operadores envolvidos e 
condições ambientais no momento da tomada das medidas. 
O peso de uma observação é a confiança relativa de um valor observado comparado com algum 
outro valor. Na verdade são estimativas ou expressões das confianças relativas das observações. 
Uma alta precisão implica num pequeno desvio, que por sua vez demonstra uma boa observação e 
um peso alto. 
Em geral a expressão genérica do peso é dada por: pi = σ0
2
 / σi
2
 onde σ0
2
 é um valor igual à 
variância de uma observação cujo peso é considerado unitário e σi
2 
é a variância da observação i. 
O peso de uma observação é, portanto, inversamente proporcional ao quadrado do desvio padrão 
correspondente. Em geral, no início do ajustamento, atribui-se o valor unitário para σ0
2 
. 
Nas medições angulares os pesos são atribuídos proporcionalmente ao número de vezes em que os 
ângulos são medidos. No nivelamento, os pesos são inversamente proporcionais ao comprimento 
das seções a serem niveladas. Assim, quanto mais longa a seção nivelada menor será o peso 
agregado. 
 
2.3.4 Atribuição de pesos usando Matriz Variância-Covariância 
Nos cálculos de ajustamento utilizando matrizes é comum utilizar a MVC das observações para a 
atribuição de pesos. 
Admitamos que as mencionadas observações não ofereçam o mesmo “grau de confiança”; neste 
caso, podemos “homogeneizá-las” multiplicando por pesos. Quanto maior o valor atribuído ao 
peso, maior é a confiança que as observações inspiram – quanto maior a confiança, menor o valor 
da variância da observação. 
Seja ∑Lb a matriz variância-covariância do vetor das observações e σo
2
 um fator de escala, valor 
adimensional numericamente igual à variância da observação à qual foi atribuído peso unitário. 
Dividindo ∑Lb por σo
2
 obteremos nova matriz, simétrica, denominada matriz dos coeficientes de 
peso: 
Q = 1/σo
2
 . ∑Lb 
Se a matriz Q for não singular admitirá inversa: 
Q
-1
 = σo
2
 ∑Lb
-1
 = P 
onde P recebe o nome de matriz dos pesos. A matriz P, também simétrica se reduz a uma matriz 
diagonal quando as observações são não correlacionadas entre si. Neste caso os elementos 
diagonais de P são os pesos das observações.