Medidas de dispersão - Bioestatistica

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-Medidas de dispersão-
As medidas de dispersão são usadas para avaliar o grau de
variação ou dispersão dos dados de um conjunto de observações.
Algumas das medidas de dispersão mais comuns em
bioestatística incluem: 
 
Amplitude total: é a diferença
entre o maior e o menor valor
em um conjunto de dados. 
Variância: é a média dos
quadrados das diferenças
entre cada valor e a média. A
variância é uma medida de
dispersão que indica o quão
afastados os valores de um
conjunto de dados estão em
relação à média. 
Desvio padrão: é a raiz
quadrada da variância. O
desvio padrão é uma medida
de dispersão que indica a
distância média 
dos valores em relação à
média. 
Coeficiente de variação: é uma
medida de dispersão relativa que
é calculada dividindo o desvio
padrão pela média e
multiplicando por 100%. O
coeficiente de variação é útil para
comparar a variabilidade entre
diferentes conjuntos de dados
que tenham médias diferentes. 
Quartis e desvio interquartil: os
quartis são os valores que
dividem um conjunto de dados
ordenados em quatro partes
iguais. O desvio interquartil é a
diferença entre o terceiro e o
primeiro quartis. Essas medidas
são úteis para avaliar a 
variabilidade de conjuntos de
dados que possuem valores
extremos ou assimetria. 
Cada medida de dispersão tem suas próprias vantagens e
desvantagens e é escolhida com base nos objetivos da
análise e nas características do conjunto de dados em
questão. 
-Amplitude Total-
A amplitude total é uma medida simples de dispersão que
corresponde à diferença entre o maior e o menor valor de um
conjunto de dados.
Por exemplo, considere o conjunto de dados a seguir, que
representa o número de ovos por ninhada de um determinado
animal em cinco anos consecutivos: 
10, 12, 9, 15, 13 
A amplitude total desse conjunto de dados é calculada
subtraindo-se o menor valor (9) do maior valor (15): 
Amplitude total = 15-9 = 6 
 
Isso significa que a variação no número de ovos por ninhada
observada nesses cinco anos foi de 6 ovos, o que é
relativamente baixo. 
A amplitude total é uma medida de dispersão simples, mas
pode ser influenciada por valores extremos (outliers), que
podem ser muito distantes dos demais valores do conjunto de
dados e, portanto, não representativos da variação geral. Por
esse motivo, é importante utilizar outras medidas de dispersão,
como a variância e o desvio padrão, para complementar a
análise da amplitude total.
-Variância-
A variância é uma medida de dispersão que indica o quão
afastados os valores de um conjunto de dados estão em
relação à média.
Ela é calculada pela média dos quadrados das diferenças entre cada
valor e a média. Por exemplo, considere o conjunto de dados a seguir,
que representa a altura (em centímetros) de cinco pessoas:
 
160, 165, 170, 172, 175 
Para calcular a variância desse conjunto de dados, primeiro é
necessário calcular a média, que é a soma dos valores dividida pelo
número de observações: 
Média = (160 + 165+ 170 +172 + 175) / 5 = 168,4 cm 
Em seguida, calculamos as diferenças entre cada valor e a média: 
(160-168,4) = -8,4 
(165-168,4) = -3,4 
(170-168,4) = 1,6 
(172-168,4) = 3,6 
(175-168,4) = 6,6 
Depois, elevamos cada diferença ao quadrado: 
(-8,4)^2 = 70,56 
(-3,4)^2 = 11,56 
(1,6)^2 = 2,56 (3,6)^2 = 12,96 (6,6)^2 = 43,56 
A variância é a média dos quadrados das diferenças entre cada valor e a
média:
 
Variância = (70,56 + 11,56 +2,56 + 12,96 + 43,56) / 5 = 28,24 
Portanto, a variância desse conjunto de 
dados é de 28,24 cm^2. 
A variância é uma medida útil para quantificar a dispersão dos
dados, mas ela é expressa em unidades ao quadrado, o que
pode dificultar a interpretação dos resultados. Por esse
motivo, é comum utilizar o desvio padrão, que é a raiz
quadrada da variância e tem a mesma unidade de medida dos
dados originais. 
-Desvio Padrão-
O desvio padrão é uma medida de dispersão que indica a
variabilidade dos valores de um conjunto de dados em
relação à média.
Um exemplo de como calcular e interpretar o desvio padrão é o
seguinte: 
Suponha que você tenha uma amostra de idades de 5 pessoas: 
20, 22, 25, 27 e 30 anos. 
Para calcular o desvio padrão, você deve seguir estes passos: 
Calcule a média: somando todos os valores e dividindo pelo número de
observações:
 
Média = (20 + 22 + 25 +27 + 30) / 5 = 24,8
 
Calcule as diferenças entre cada valor e a média: 
20-24,8 = -4,8 
22-24,8 = -2,8 
25-24,8 = 0,2 
27-24,8 = 2,2 
30-24,8 = 5,2
 
Eleve cada diferença ao quadrado:
 
(-4,8)^2 = 23,04 
(-2,8)^2 = 7,84 (0,2)^2 = 0,04 (2,2)^2 = 4,84 
(5,2)^2 = 27,04
 
Calcule a média dos quadrados das diferenças:
 
Variância = (23,04 +7,84 + 0,04 + 4,84 + 27,04) / 5 = 12,4
 
Calcule a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão:
 
Desvio padrão = raiz quadrada de 12,4 = 3,52
 
Interpretando o resultado, podemos dizer que a média de idade da
amostra é 24,8 anos e que o desvio padrão é de 3,52 anos. Isso significa
que, em média, as idades dos cinco indivíduos estão a 3,52 anos de
distância da média de 24,8 anos. Quanto maior o desvio padrão, mais
dispersos os valores estão em relação à média. 
-coeficiente de variação-
O coeficiente de variação é uma medida de dispersão
relativa, que é calculada dividindo o desvio padrão pela
média e multiplicando o resultado por 100%.
Ele é útil para comparar a variabilidade de diferentes conjuntos de
dados que tenham médias diferentes. Quanto maior for o coeficiente
de variação, maior será a variabilidade relativa dos dados em relação à
média. 
Por exemplo, suponha que você está estudando o peso de amostras de
um determinado tecido em duas espécies diferentes de animais. Você
mediu o peso de dez amostras em cada espécie e obteve os seguintes
resultados: 
Espécie A: média de peso = 12,5g, desvio padrão = 1,5g 
Espécie B: média de peso = 10g, desvio padrão = 2,5g 
Para calcular o coeficiente de variação, basta dividir o desvio padrão
pela média e multiplicar por 100%. Assim, temos:
 
Coeficiente de variação para a espécie A: (1,5/12,5) x 100% = 12% 
Coeficiente de variação para a espécie B: (2,5/10) x 100% = 25% 
Isso significa que a espécie B apresenta uma maior variabilidade
relativa em relação à média do que a espécie A. 
O coeficiente de variação é útil porque permite comparar a
variabilidade de diferentes conjuntos de dados, mesmo que as
unidades de medida sejam diferentes. 
-Quartis-
Quartis são medidas que dividem um conjunto de dados em
quatro partes iguais, cada uma contendo 25% dos dados.
O primeiro quartil (Q1) é o valor que separa os 25% menores valores dos
demais, o segundo quartil (Q2) é a mediana (valor que separa os 50% 
menores dos demais) e o terceiro quartil (Q3) é o valor que separa os
25% maiores valores dos demais. 
Por exemplo, considere o conjunto de dados a seguir, que representa o
tempo (em segundos) que um grupo de pessoas levou para resolver um
determinado problema: 
23, 18, 26, 21, 30, 17, 19, 25, 27, 22 
Para calcular os quartis desse conjunto de dados, primeiro é preciso
ordená-lo em ordem crescente: 
17, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 30
 
Em seguida, encontra-se o segundo quartil, que é a mediana do
conjunto de dados, ou seja, o valor que separa os 50% menores dos
demais. Como o conjunto tem um número par de valores, a mediana é a
média aritmética dos dois valores centrais: 
Mediana = (22+23)/2 = 22,5 
O primeiro quartil é o valor que separa os 25% menores valores dos
demais. Para encontrá-lo, basta calcular a mediana dos valores
menores que a mediana:
Q1 = mediana do subconjunto (17, 18, 19, 21, 22) = (18 +19)/2 = 18,5 
O terceiro quartil é o valor que separa os 25% maiores valores dos
demais. Para encontrá-lo, basta calcular a mediana dos valores maiores
que a mediana: 
Q3 = mediana do subconjunto (23, 25, 26, 27,30) = (25+ 26) / 2 = 25,5 
Portanto, os quartis desse conjunto de dados são: 
Q1 = 18,5, Q2 = 22,5 e Q3 = 25,5. 
Os quartis são úteis para identificar a distribuição dos dados e para
detectar valores extremos (outliers) que possam estar presentes no
conjunto de dados.-distância interquartílica-
A distância interquartílica (DIQ) é uma medida de dispersão
que representa a diferença entre o terceiro quartil (Q3) e o
primeiro quartil (Q1) de um conjunto de dados.
Ela indica a amplitude do intervalo em que se encontra a metade
central dos dados, ou seja, os valores que estão entre Q1 e Q3. 
Por exemplo, considere o conjunto de dados a seguir, que representa as
idades (em anos) de um grupo de pessoas: 
18, 25, 32, 21, 38, 29, 27, 19, 22, 24, 20, 26
 
Para calcular a distância interquartílica desse conjunto de dados,
primeiro é preciso encontrar os quartis, que são: 
Q1 = 20,25, Q2 (mediana) = 25,5 e Q3 = 29,75. 
Em seguida, basta calcular a diferença entre Q3 e Q1: 
DIQ = Q3 - Q1 = 29,75 - 20,25 = 9,5 
Portanto, a distância interquartílica desse conjunto de dados é de 9,5
anos. Essa medida é útil para avaliar a dispersão dos dados em torno da
mediana e para identificar a presença de valores extremos (outliers)
que possam estar fora do intervalo entre Q1 e Q3. 
-exercícios-
1) Calcule o desvio padrão dos pesos (em kg) de um grupo de dez
pessoas: 70, 72, 65, 68, 75, 78, 63, 70, 73, 69.
2) Calcule a variância dos níveis de colesterol (em mg/dL) de um grupo
de 20 pacientes: 160, 175, 152, 180, 170, 145, 150, 165, 168, 155, 182,
178, 190, 185, 163, 168, 172, 155, 148, 162. 
3) Calcule o coeficiente de variação dos tempos (em minutos) de
realização de um teste por dez estudantes: 15, 20, 12, 18, 22, 14, 19, 21,
16, 13.
 
4) Calcule a amplitude total dos valores de glicemia (em mg/dL) de um
grupo de 15 pacientes: 110, 125, 98, 143, 132, 150, 136, 90, 135, 120,
105, 142, 128, 130, 140. 
5) Calcule os quartis e a distância interquartílica das alturas (em cm) de
um grupo de 12 pessoas: 170, 175, 180, 160, 168, 172, 173, 165, 169, 182,
176, 178. 
6) Calcule o desvio padrão dos volumes (em mL) de urina produzidos
por 15 pacientes em um dia: 800, 900, 700, 750, 600, 950, 1100, 1200,
1300, 750, 900, 800, 1000, 850, 700. 
7) Um pesquisador mediu a concentração de um determinado
composto em amostras de água coletadas em cinco pontos diferentes
de um rio. Os resultados obtidos foram: 2,4; 2,1; 2,3; 2,5; 2,2 (em mg/L).
Qual é o desvio padrão da concentração desse composto no rio? 
8) Em um estudo sobre a eficácia de um novo medicamento, os
pesquisadores mediram a pressão arterial de 20 pacientes antes e após
o tratamento. Os valores da pressão arterial antes do tratamento
foram: 120, 130, 135, 125, 128, 126, 129, 132, 127, 130, 125, 130, 129, 131,
125, 130, 128, 127, 131, 129 (em mmHg). Calcule a variância da pressão
arterial antes do tratamento.
 
9) Em um estudo sobre o ganho de peso de crianças no primeiro ano de
vida, foram pesadas 20 crianças ao nascer e aos 12 meses de idade. Os
resultados (em kg) foram: 3,2; 2,8; 3,5; 3,0; 3,8; 3,1; 3,7; 3,6; 3,3; 3,5; 3,2;
3,9; 3,3; 3,2; 3,1; 3,6; 3,0; 3,4; 3,1; 3,7. Calcule a variância do ganho de
peso dessas crianças. 
10) Um estudo investigou a variação na pressão arterial de um grupo de
idosos ao longo de um dia. A pressão arterial (em mmHg) foi medida a
cada 2 horas em um período de 24 horas. Os resultados foram: 120,
130, 135, 125, 128, 126, 129, 132, 127, 130, 125, 130, 129, 131, 125, 130,
128, 127, 131, 129, 126, 129, 128, 130, 127, 126, 129, 131, 128, 130, 129,
127, 132, 130, 133, 130, 128, 129, 131, 130, 133, 130, 131, 129, 132, 130,
131. Calcule a amplitude total da variação da pressão arterial nesse
período. 
-Respostas-
1) Desvio padrão = 4,28 kg. 
2) Variância = 203.15 (mg/dL)^2. 
 
3) Coeficiente de variação = 25,92%.
4) Amplitude total = 60 mg/dL. 
5) Q1 = 167, Q2 = 172.5, Q3 = 177, DIQ = 10. 
6) Desvio padrão = 203,14 mL. 
7) Desvio padrão = 0,14 mg/L. 
8) Variância = 10,27 (mmHg)^2. 
9) Variância = 0,092 (kg)^2. 
10) Amplitude total = 13 mmHg.