matemática2-Planificação de sólidos-11-06-2021-

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Matemática 
Planificação de sólidos 
Objetivos 
Conhecer as planificações de sólidos geométricos e suas características. Além disso, aprender a calcular a 
área de algumas planificações. 
Se liga 
Para essa aula, é importante que você tenha um conhecimento prévio nos seguintes assuntos: áreas, prismas 
– até nomenclatura e classificação –, cilindro – definição e classificação –, pirâmides – até classificações – 
e cone – definição e elementos – (caso não seja direcionado, pesquise por "Áreas das principais figuras 
planas", “Prismas”, “Cilindros”, “Pirâmides” e “Cones”, respectivamente, na biblioteca). 
Curiosidade 
Você sabia que o cubo e tem onze planificações distintas? Você pode conferir isso aqui: 11 planificações do 
cubo. 
Teoria 
 
A planificação de um sólido geométrico é a apresentação de todas as formas que constituem sua superfície 
em um plano, ou seja, em duas dimensões. Existem diversos usos para essas planificações como, por 
exemplo, auxílio no cálculo da área do sólido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://descomplica.com.br/cursos/todas-as-carreiras-semiextensivo-completo-2020-a/aulas/areas-das-principais-figuras-planas/videos/metodos-para-obtencao-de-areas/
https://descomplica.com.br/cursos/enem-extensivo-2018/aulas/prismas-2a-serie/videos/definicao-e-principais-elementos/
https://descomplica.com.br/cursos/enem-extensivo-2019/aulas/cilindros-geometria-espacial/videos/definicao-e-classificacao-cilindro/?discipline=matematica&subject=geometria&topic=geometria-espacial
https://descomplica.com.br/cursos/enem-extensivo-2019/aulas/piramidess/videos/classificacoes/?discipline=matematica&subject=geometria&topic=geometria-espacial
https://descomplica.com.br/cursos/enem-extensivo-2019/aulas/cones-/videos/definicao-e-elementos-0/?discipline=matematica&subject=geometria&topic=geometria-espacial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cubo#/media/Ficheiro:Planificacao_cubo.gif
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cubo#/media/Ficheiro:Planificacao_cubo.gif
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/dimensoes-espaco.htm
 
 
 
 
 
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Matemática 
Prismas 
A figura abaixo representa um prisma triangular. 
 
E uma de suas planificações é: 
 
Veja a animação da planificação em: https://www.geogebra.org/m/ct9FyAE3 
 
Área da planificação de prismas 
A = 2 ∙ Ab + Al 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.geogebra.org/m/ct9FyAE3
 
 
 
 
 
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Matemática 
Cilindros 
A figura abaixo representa um cilindro. 
 
 
E uma de suas planificações é: 
 
Veja a animação da planificação em: https://www.geogebra.org/m/XzfFNDYV 
 
Área da planificação de cilindros 
A = 2 ∙ Ab + Al 
A = 2 ∙ πr2 + 2πr ∙ h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.geogebra.org/m/XzfFNDYV
 
 
 
 
 
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Matemática 
Pirâmides 
Representação de uma pirâmide de base triangular: 
 
 
E uma de suas planificações é: 
 
Veja a animação da planificação em: https://www.geogebra.org/m/nxjpp2g8 
 
Área da planificação de pirâmides 
A = Ab + Al 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.geogebra.org/m/nxjpp2g8
 
 
 
 
 
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Matemática 
Cones 
A figura abaixo representa um cone. 
 
E uma de suas planificações é: 
 
 
Área da planificação de cones 
A = Ab + Al 
A = πr2 + πrg 
 
 
Planificação dos sólidos de Platão 
Os poliedros de Platão possuem características próprias: 
• O número de arestas é igual em todas as faces; 
• Os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas. 
 
Vale a relação de Euler (V + F = A + 2), onde V = vértices, A = arestas e F = faces. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Tetraedro 
 
 
Área da planificação do tetraedro regular 
A = 4 ∙ At 
A = 4 ∙ (
l2√3
4
) → A = l²√3 
 
Cubo ou hexaedro 
 
 
Área da planificação do cubo 
A = 6 ∙ Aquadrado → A = 6l² 
 
Octaedro 
 
Veja a animação da planificação em: https://www.geogebra.org/m/WgGcsmZF#material/wXaVzs3r 
 
Área da planificação do octaedro regular 
A = 8 ∙ At 
A = 8 ∙ (
l2√3
4
) → A = 2 ∙ l²√3 
 
https://www.geogebra.org/m/WgGcsmZF#material/wXaVzs3r
https://www.geogebra.org/m/WgGcsmZF#material/wXaVzs3r
 
 
 
 
 
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Matemática 
Dodecaedro 
 
Veja a animação da planificação em: https://www.geogebra.org/m/afjm5ug8 
 
Icosaedro 
 
Veja a animação da planificação em: https://www.geogebra.org/m/r4WFpxYv 
 
 
https://www.geogebra.org/m/afjm5ug8
https://www.geogebra.org/m/r4WFpxYv
 
 
 
 
 
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Matemática 
Exercícios de fixação 
 
1. Um prisma de base hexagonal possui 
a) 6 faces laterais retangulares e 2 faces da base hexagonais. 
b) 6 faces laterais hexagonais e 2 faces da base pentagonais. 
c) 6 faces laterais pentagonais e 2 faces da base hexagonais. 
d) 6 faces laterais hexagonais e 2 faces da base retangulares. 
 
 
2. A sala de jantar da casa de Ariel é na forma da planificação de um cubo. Se esse cubo tem aresta igual 
a 3 m, qual é o perímetro da sala? 
 
 
3. As faces laterais de uma pirâmide de base hexagonal são: 
a) quadrados; 
b) triângulos; 
c) retângulos; 
d) hexágonos. 
 
 
4. A área da figura que é a planificação de um tetraedro regular de aresta igual a 4 cm será: 
a) 16 cm²; 
b) 17 cm2; 
c) 16√3 cm2; 
d) 17√3cm². 
 
 
5. Calcule a área da planificação de um cilindro com raio igual a 4 cm e altura igual a 10 cm. 
a) 112π cm2. 
b) 32π cm². 
c) 100π cm². 
d) 54π cm². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Exercícios de vestibulares 
 
 
 
 
1. Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas das figuras a seguir, obteremos três modelos de 
figuras espaciais cujos nomes são: 
 
a) tetraedro, octaedro e hexaedro; 
b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro; 
c) octaedro, prisma e hexaedro; 
d) pirâmide, tetraedro e hexaedro; 
e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro. 
 
 
2. Um lojista adquiriu novas embalagens para presentes, que serão distribuídas aos seus clientes. As 
embalagens foram entregues para serem montadas e têm a forma dada pela figura: 
 
Após montadas, as embalagens formarão um sólido com quantas arestas? 
a) 10. 
b) 12. 
c) 14. 
d) 15. 
e) 16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
3. Em uma aula de matemática, a professora propôs que os alunos construíssem um cubo a partir da 
planificação em uma folha de papel, representada na figura a seguir 
 
Após a construção do cubo, apoiou-se sobre a mesa a face com a letra M. As faces paralelas deste 
cubo são representadas pelos pares de letras: 
a) E-N, E-M e B-R; 
b) B-N, E-E e M-R; 
c) E-M, B-N e E-R; 
d) B-E, E-R e M-N; 
e) E-N, B-M e E-R. 
 
 
4. Um jogo entre dois jogadores tem as seguintes regras: 
(a) o primeiro jogador pensa em uma forma geométrica, desenha apenas uma parte da forma e fornece 
uma dica para que o segundo jogador termine o desenho; 
(b) se o segundo jogador conseguir concluir o desenho, ganha um ponto; caso contrário, quem ganha 
um ponto é o primeiro jogador. 
Dois amigos, Alberto e Dora, estão jogando o referido jogo. Alberto desenhou a figura a seguir e deu a 
seguinte dica a Dora: "a forma em que pensei é a planificação de um prisma reto". 
 
Dora completou o desenho com: 
a) um pentágono e um retângulo. 
b) um pentágono e quatro retângulos. 
c) um pentágono e cinco retângulos. 
d) dois pentágonos e quatro retângulos. 
e) dois pentágonos e cinco retângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
5. Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido 
externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, 
para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material 
de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser 
revestida. Qual deverá ser a forma do adesivo? 
a) 
 
d) 
 
b) 
 
e) 
 
c)8 
Matemática 
 
 
6. Uma empresa que embala seus produtos em caixas de papelão, na forma de hexaedro regular, deseja 
que seu logotipo seja impresso nas faces opostas pintadas de cinza, conforme a figura: 
 
A gráfica que fará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes sugestões planificadas: 
 
Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa? 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
7. Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em 
voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem 
(altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 115 cm. 
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo. 
 
O maior valor possível para x em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões 
permitidos pela Anac é 
a) 25. 
b) 33. 
c) 42. 
d) 45. 
e) 49. 
 
 
8. Ronaldo brincava distraído com dois dados distintos que, planificados, ficavam da seguinte forma: 
 
Marcelo, seu primo, observava e imaginava quais seriam as possíveis somas dos resultados dos dois 
dados, se esses, quando lançados sobre a mesa, ficassem apoiados sobre as suas faces sem 
numeração. O resultado da observação de Marcelo corresponde a 
a) 3, 4, 6 e 8. 
b) 3, 4, 8 e 10. 
c) 4, 5 e 10. 
d) 4, 6 e 8. 
e) 3, 6, 7 e 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
 
9. A figura abaixo representa a planificação de um poliedro P: 
 
Avalie as afirmações I, II e III sobre o poliedro representado pela planificação: 
I. O número de arestas do poliedro P corresponde a uma vez e meia o número de vértices; 
II. O poliedro P tem, pelo menos, duas faces paralelas; 
III. O poliedro P pode ser classificado como pentágono. 
Contém uma afirmação verdadeira: 
a) apenas II; 
b) apenas I e II; 
c) apenas I e III; 
d) apenas II e III; 
e) I, II e III. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
10. As figuras abaixo representam um octaedro regular e uma de suas planificações. 
 
Aos vértices A, B, E, F do octaedro correspondem, respectivamente, aos pontos a, b, e, f da planificação. 
Ao vértice D do octaedro correspondem, na planificação, os pontos: 
a) m, n, p; 
b) n, p, q; 
c) p, q, r; 
d) q, r, s; 
e) r, s, m. 
 
 
 
 
 
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Clique aqui para fazer uma lista extra de exercícios. 
https://dex.descomplica.com.br/enem/matematica/exercicios-planificacao-de-solidos
 
 
 
 
 
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Matemática 
Gabaritos 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1. A 
Um prisma de base hexagonal tem duas faces da base hexagonais e, como a lateral do prisma é formada 
por retângulos de mesma quantidade de lados do polígono da base, então terá seis faces laterais 
retangulares. 
 
2. Observe a figura abaixo: a planificação de um cubo de aresta 3 m está representado nessa figura. O 
perímetro da sala será a soma de todos essas lados externos, ou seja, 14 ∙ 3 = 42 m 
 
 
3. B 
Uma pirâmide é formada por um polígono na base e por faces laterais triangulares cuja quantidade sempre será 
igual ao número de lados do polígono da base. Portanto, as faces laterais são triângulos. 
 
4. C 
A planificação de tetraedro serão quatro triângulos equiláteros de aresta igual a 4 cm. Portanto a área 
será: 
ATetraedro = 4 ∙ Atriângulo equilátero 
AT = 4 ∙ (
a2 ∙ √3
4
) 
AT = a
2√3 = 42√3 = 16√3 cm² 
 
5. A 
Na planificação e um cilindro temos dois círculos e um retângulo. Portanto, a sua área será 
A = 2 ∙ Ac + AR 
A = 2π42 + 2π ∙ 4 ∙ 10 
A = 32π + 80π = 112π cm² 
 
 
Exercícios de vestibulares 
 
1. E 
A primeira figura é uma pirâmide, pois todas as faces laterais apresentam um vértice em comum. 
A segunda figura é um prisma, pois apresenta duas faces iguais e paralelas, pentágonos. 
A terceira figura é um hexaedro, também chamado de cubo. 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
2. D 
O sólido formado será um prisma pentagonal. Logo o número de arestas é igual a 3 ∙ 5 = 15. 
 
3. C 
Construindo o cubo, temos: 
 
Portanto, as faces paralelas desse cubo são B-N, E-R, E-M. 
 
4. C 
Como se trata de um prisma, teremos duas bases iguais. Assim, será preciso desenhar mais um 
pentágono. Além disso, teremos cinco faces laterais, uma para aresta da base. Por fim, como as faces 
laterais de um prisma reto são retângulos, será preciso desenhar cinco retângulos. 
 
5. E 
Temos um cone formado com as informações dadas no enunciado, onde temos um tronco de um cone 
formado. Quando planificamos esse tronco de cone, a área dessa superfície lateral forma a figura da 
alternativa da letra E. 
 
6. C 
A planificação deve apresentar duas bases impressas opostas e quatro laterais na visão tridimensional. 
A única alternativa que apresenta tal imagem é a alternativa C. 
 
7. E 
Analisando a planificação da figura, temos que o contorno não pode ser maior do que 115, assim: 
x + 42 + 24 ≤ 115 
x ≤ 49 
Dessa maneira, o valor máximo de x é 49 cm. 
 
8. D 
Observando a planificação dos dados, percebemos que, no dado mais à esquerda, as faces opostas aos 
lados sem numeração são as faces 1 e 3. Já no dado mais à direita, as faces opostas aos lados sem 
numeração são as faces 5 e 3. Assim, fazendo a soma dos resultados possíveis, encontramos 4, 6 ou 8. 
 
9. B 
É imediato que P é um prisma pentagonal regular. 
I. Verdadeira. De fato, pois P possui 15 arestas e 10 vértices. 
II. Verdadeira. Com efeito, as bases de P são paralelas. 
III. Falsa. É um prisma pentagonal regular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
10. D