Exercícios de cubo e poliedros resolvidos

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PROFESSOR 
TELMO 
��
	33	 (Unicamp-SP) Dado um cubo de aresta , qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros 
das faces do cubo?
	34	 (Vunesp-SP) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira se recorta 
uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como 
se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que 
resta ao retirar as 8 pirâmides é igual a:
a V c V e V
b V d V
) ) )
) )
1
2
2
3
3
8
3
4
5
6
M
N
A
P
��
	33	 (Unicamp-SP) Dado um cubo de aresta , qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros 
das faces do cubo?
	34	 (Vunesp-SP) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira se recorta 
uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como 
se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que 
resta ao retirar as 8 pirâmides é igual a:
a V c V e V
b V d V
) ) )
) )
1
2
2
3
3
8
3
4
5
6
M
N
A
P
3
6
Resolução:
Sejam:
a 5 medida da aresta do octaedro
Vo 5 volume do octaedro
Vp 5 volume da pirâmide quadrangular 
regular cuja aresta da base mede a 
�
2
�
2
M
C
h a
E
a
2 a
2
a
2
O EMC é retângulo: (EC) (ME) (MC)
a
2 2 2
2
2
 5 1
5 
4
11 5
5 5 ? 5
5 5 ?
 
 

2
o p o
2
h 2 2
V 2V V 2 1
3
2
4 2
2
2 2 2 2
2
⇒
⇒
a
a
(( )2 2 6? 5 ⇒ Vo 3
Resolução:
V a a V5 53 3⇒ (I)
Cada pirâmide retiradaa tem S a e
S
b
2
b
5 ? ? 5 5
5 ? 5
1
2 2 2 8 2
1
3
1
3
a a h a
V hpir
aa a
48
(II)
Substituindo (I) em (II), t
2 3
8 2
? 5
a
eemos:
Como o volume do cubo
V V Vpir 5 5
3 3
48 48
( )
é , e o volume de cada pirâmide é V
48
, oV volume
do poliedro será:
8VpirV V V
V
pol 5 2 5 2
?8
448
5
6
5 V