Quantificadores na Lógica

Prévia do material em texto

Resumos - Lógica - Prof. Ricardo P. Tassinari - Departamento de Filosofia - Unesp/Marília - 2009
QUANTIFICADORES 
O QUANTIFICADOR UNIVERSAL 
Como vimos, a função proposicional P(x) não é verdadeira nem falsa, porém se torna verdadeira 
ou falsa quando substituímos x por um elemento a do conjunto A. Porém, como simbolizamos que 
P(x) é verdadeira para toda substituição de x por um elemento qualquer de A? A definição a se-
guir é motivada por essa questão.
Definição. Seja P(x) uma função proposicional sobre A, então:
∀x P(x)
simboliza a afirmação de que todos elementos de A tornam verdadeira a função proposicional 
P(x). Assim, temos que:
∀x P(x) é verdadeira se, e somente se, para todo elemento a de A, P(a) é verdadeira.
Definição. O símbolo ∀ (um A invertido, da palavra alemã “allgemein” e da inglesa “all”) é chamado 
de quantificador universal e a expressão “∀x P(x)” se lê “Para todo x, P(x)”.
Exemplo. Se P(x) é “x é filósofo”, então, “∀x P(x)” se lê “Para todo x, x é filósofo”, ou ainda, “to-
dos são filósofos”.
Notemos que por ser uma sentença aberta, P(x) não é verdadeira nem falsa, enquanto ∀x P(x) é 
verdadeira ou falsa, já que é uma proposição.
Notemos, ainda, que ∀x P(x) é verdadeira se, e somente se, o conjunto-verdade de P(x) é igual ao 
conjunto A sobre o qual P(x) está definida. Assim:
∀x P(x) é verdadeira se, e somente se, VP = A; e
∀x P(x) é falsa se, e somente se, VP ≠ A.
Exemplos. Seja P(x) a expressão “x é filósofo” no conjunto A = {Sócrates, Platão, Aristóteles}, 
neste caso ∀x P(x) é verdadeira, pois são verdadeiras as sentenças P(Sócrates), P(Platão) e 
P(Aristóteles), e VP = A.
Seja P(x) a expressão “x fundou a Academia” no conjunto A = {Sócrates, Platão} como em um dos 
exemplos acima. Neste caso ∀x P(x) é falsa, pois P(Sócrates) é falsa, e VP ≠ A, pois VP = {Platão} 
e A = {Sócrates, Platão}.
O QUANTIFICADOR EXISTENCIAL 
Análogo ao caso acima, a definição abaixo é motivada pela questão: como fazemos para simbolizar 
que P(x) é verdadeira para a substituição de x por algum a do conjunto A?
Definição. Seja P(x) uma função proposicional sobre A, então:
∃x P(x)
 simboliza a afirmação de que pelo menos um elemento de A torna verdadeira a função proposi-
cional P(x). Assim, temos que:
∃x P(x) é verdadeira se, e somente se, para algum elemento a de A, P(a) é verdadeira.
Definição. O símbolo ∃ (um E invertido) é chamado de quantificador existencial e a expressão 
“∃x P(x)” se lê “Existe x tal que P(x)”.
 Exemplo. Se P(x) é “x é filósofo”, então, “∃x P(x)” se lê “Existe x tal que x é filósofo”, ou “Existe 
um filósofo”, ou ainda “Alguém é filósofo”.
Notemos novamente que, por ser uma sentença aberta, P(x) não é verdadeira nem falsa, enquanto 
∃x P(x) é verdadeira ou falsa, já que é uma proposição.
Notemos, por fim, que ∃x P(x) é verdadeira se, e somente se, o conjunto-verdade de P(x) é dife-
rente do conjunto vazio. Assim:
∃x P(x) é verdadeira se, e somente se, VP ≠ ∅; e
∃x P(x) é falsa se, e somente se, VP = ∅.
Exemplos.
1. Seja P(x) a expressão “x é um animal irracional” no conjunto A = {Sócrates, Platão, Aristóte-
les}, neste caso ∃x P(x) é falso, pois são falsas as sentenças P(Sócrates), P(Platão) e P(Aristóte-
les), e VP = ∅.
2. Seja P(x) a expressão “x fundou a Academia” no conjunto A = {Sócrates, Platão} como acima. 
Neste caso ∃x P(x) é verdadeira, pois P(Platão) é verdadeira, e VP ≠ ∅, já que VP = {Platão}.
3. Seja P(x) a expressão “x é um filósofo” no conjunto A = {Sócrates, Platão, Aristóteles}. Neste 
caso também temos que ∃x P(x) é verdadeira, pois, e.g., P(Sócrates) e VP ≠ ∅, já que VP = {Sócra-
tes, Platão, Aristóteles}.