Tratamento Estatístico de Dados Experimentais em Física

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA 
CENTRO DE CIÊNCIAS AGROVETERINÁRIAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE DADOS EXPERIMENTAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I 
Profª. Angela Emilia de Almeida Pinto 
2006 
 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
1
PARTE 1 INFORMAÇÕES GERAIS 
 
1.1 Objetivos 
 
Esta disciplina tem como objetivos o aprendizado de técnicas de sistematização, 
tratamento e apresentação de dados experimentais. O aprendizado da teoria das 
incertezas e sua aplicação no tratamento de dados experimentais. Desenvolvimento da 
capacidade de expressão na forma de relatório científico. Conhecimento de instrumentos 
e técnicas de medição e desenvolvimento de habilidade experimental. Demonstração e 
utilização prática de conceitos básicos da Mecânica Clássica (Cinemática, Dinâmica e 
Leis de Conservação). Assimilação do importante papel do modelo na análise de 
experiências. 
 
1.2 Programa 
 
1. TEORIA DE ERROS E RELATÓRIOS 
1.1 Algarismos significativos, arredondamento e notação científica. 
1.2 Como apresentar um resultado numérico. 
1.3 Valor Médio, desvio padrão e erro padrão da média. 
1.4 Propagação de erros. 
1.5 Gráficos 
1.6 Método dos Mínimos Quadrados 
1.7 Como fazer Relatórios 
 
2. INSTRUMENTOS DE MEDIDAS 
2.1 Paquímetro 
2.2 Micrômetro 
 
 
1.3 Critérios de Avaliação do Laboratório 
 
Relatórios das experiências feitas no laboratório. 
 
1.4 Bibliografia 
 
1. Vuolo, José Henrique. Fundamentos da Teoria de Erros. São Paulo: Edgard Blücher 
Ltda., 1996. 
 
2. Tipler, Paul Allen. Física para Cientistas e Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC – Livros 
Técnicos e Científicos editora, vol. 1, 4ª edição, 2000. 
 
3. Roteiro para o laboratório e notas de aulas do professor. 
 
 
 
 
 
 
 
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PARTE 2 PROCEDIMENTOS DO LABORATÓRIO DE FÍSICA 
2.1 Caderno de Laboratório 
 
Cada estudante deverá manter um Caderno de Laboratório, no qual anotará os 
dados, procedimentos e demais informações relevantes à realização de cada experiência. 
Não se trata de um caderno de relatórios. As anotações devem ser feitas durante a 
realização do experimento para garantir a objetividade e a fidelidade. 
Não é simples definir a priori o que é "relevante ao experimento". Uma maneira de 
avaliar a relevância de uma informação é imaginar que se você usar o Caderno daqui a 
alguns meses (isto vai acontecer realmente, nas provas, exames e demais experimentos) 
ou mesmo anos, a informação contida no Caderno deve lhe permitir repetir a experiência 
sem dificuldade, entendendo do anotado no Caderno o que foi feito e quais foram os 
resultados e as conclusões. É expressamente proibido realizar cópia de dados do caderno 
de outros alunos. No caso de trabalhos em grupo, cada aluno é responsável pelo registro 
dos dados em seu Caderno. Ele poderá copiar figuras e tabelas de livros e apostilas 
indicando claramente a fonte. É muito desejável que seja um caderno grande (formato A4) 
e com folhas quadriculadas. No mínimo, para cada experimento o Caderno de Laboratório 
deve sempre conter: 
 
1. Título do experimento, data de realização e participantes do grupo; 
2. Objetivos do experimento; 
3. Roteiro dos procedimentos experimentais; 
4. Esquema do aparato utilizado; 
5. Descrição dos principais instrumentos; 
6. Dados medidos; 
7. Cálculos; 
8. Gráficos; 
9. Resultados e conclusões. 
 
O formato de apresentação destes 9 itens não é rígido. O mais indicado é usar um 
formato seqüencial, anotando-se à medida que o experimento evolui. 
No Caderno de Laboratório também se anotam as observações que podem ser 
úteis na continuação de um experimento, ou lembretes de coisas que você deve 
providenciar (coisas do tipo: "passar na biblioteca para verificar uma referência", ou 
"lembrar de zerar o micrômetro antes de começar a medir" ou ainda: "perguntar ao 
professor porque a faísca falha às vezes"...). 
 
 
 
 
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2.1.1 Título, data e participantes do grupo. 
 
O Título do experimento deve ser anotado no topo das páginas correspondentes ao 
experimento. Na primeira página de cada experimento deve-se anotar quais os 
participantes do grupo na realização. A data deve ser anotada no início e, se for 
necessário, a cada dia que se continue no mesmo experimento. Em alguns casos pode 
ser útil anotar o horário em que certas medidas foram feitas. 
 
2.1.2 Objetivos do experimento 
 
Os objetivos devem ser descritos de forma sucinta e clara. Por exemplo: 
 
Os objetivos desta experiência são: 
 
1- Aprender o uso de instrumentos (Paquímetro, Micrômetro); 
2- Avaliar erros de medidas e como estes se propagam em expressões 
matemáticas; 
3- Determinar a média e o desvio padrão de uma série de medidas. 
 
Para atingir estes objetivos determinaremos a densidade de vários materiais 
medindo a massa e as suas dimensões. 
 
2.1.3 Roteiro dos procedimentos 
 
Antes da cada experiência fazer um roteiro de procedimentos e escrever as 
principais fórmulas que serão utilizadas (ex. cálculo dos desvios). Prever as dificuldades e 
as estratégias para contorná-las. Este roteiro deve vir feito de casa. 
 
2.1.4 Esquema do aparato utilizado 
 
Em geral feito à mão livre e com a identificação de cada componente. Indique o 
modelo, principais características e o número de série (ou qualquer outro identificador) de 
cada instrumento utilizado. Identificar os instrumentos e componentes é útil para poder 
repetir o experimento nas mesmas condições. 
 
2.1.5 Descrição dos principais instrumentos 
 
Não precisa ser uma lista única no início, pode-se ir descrevendo à medida que se 
os usa. Por exemplo: 
 
Paquímetro Mitutoyo, menor divisão do vernier = 0.05 mm. 
Micrômetro Starret, menor divisão no tambor = 0.01 mm. 
Balança Elmer (modelo BP 45, Nº de série 9800/76 ) menor divisão = 0.05 g. 
 
 
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Algumas vezes é bom incluir observações sobre o estado do instrumento, se isto 
puder afetar as medidas: 
 
O micrômetro completamente fechado não indicava 0.000 e não fechava 
sempre na mesma posição. Fizemos 10 medidas do zero abrindo e fechando 
novamente e tomamos uma média e o desvio padrão. O resultado foi Zero = ( -0.22 ± 
0.01 )mm. Todas as medidas efetuadas com este micrômetro foram corrigidas 
levando em consideração este fato. 
 
2.1.6 Dados medidos 
 
Todos os dados medidos devem ser anotados diretamente no Caderno de 
Laboratório e nunca em folhas separadas de rascunho. A anotação em folhas de 
rascunho causa perda de tempo, aumenta a possibilidade de erros involuntários de cópia 
e cria a tentação para a "filtragem" de dados (exclusão daqueles que não gostamos, ou 
achamos errados). Todo dado medido deve ser anotado. Dados considerados esquisitos 
ou anômalos devem ser identificados com uma pequena anotação ao lado (como: "Nesta 
medida alguém esbarrou na mesa e a régua se deslocou, podendo ter afetado esta 
medida."). Para correções em caso de erro na anotação não deve ser usada borracha, 
mas deve ser passado um risco sobre a anotação (supostamente) errada, escrevendo-se 
ao lado a correta. As anotações de dados medidos devem sempre incluir o valor da 
incerteza associada. 
 
2.1.7 Cálculos 
 
Os procedimentos de cálculo devem ser claramente descritos, para permitir a 
conferência e recálculo pelo mesmo caminho. Devem sempre ser considerados apenas 
os algarismos significativos nos resultados finais. Por exemplo: 
Determinação da densidade de uma esfera metálica - aparentemente de aço. 
Medidas de d (Diâmetro) com micrômetro Starret (precisão ± 0.01 mm), 12 medidas: 
Tabela 1.1. Medidas do diâmetro da esfera metálica. 
Medida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
d(mm)15.54 15.52 15.55 15.54 15.57 15.51 15.56 15.51 15.55 15.54 15.53 15.53 
 
Da Tabela 1.1 obtivemos a Tabela 1.2 com as frequências de cada medida: 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 1.2. Frequência de ocorrência das medidas em 12 medições 
 
d (mm) frequência 
15.54 3 
15.52 1 
15.55 2 
15.53 2 
15.51 2 
15.57 1 
15.56 1 
 
média = 15.5375 mm 
desvio padrão = S = 0.018647447 mm 
erro padrão da média = S / 12 = 0.00537 mm 
Resultado: d = ( 15.538 ± 0.005 ) mm (ou d = 15.538 mm ± 0.03 %) 
 
Medida da massa com balança Elmer (precisão nominal 0.05 g): 
m = ( 15.2 ±0.1 )g 
 
Obs.: embora a menor divisão da balança seja 0.05 g, na nossa apreciação ela 
continuava em equilíbrio para deslocamentos de quase ±2 divisões. Por isso, 
estimamos a incerteza desta medida como ± 0.1 g . 
 
ρ = 6 m/πd3 = 7.739297489 g/cm3 
Cálculo do desvio na densidade: 0.05097
2
D
∆D3
2
m
∆mρ∆ρ =




+




= 
Resultado: 
Densidade: ρ = ( 7.74 ± 0.05 ) g/cm3 
 
 
2.1.8 Figuras, Tabelas e Equações 
 
As Figuras e Tabelas devem ser numeradas em sequência e conter uma pequena 
legenda descritiva. A sequência numérica pode ser reiniciada 1 em cada experimento ou 
utilizar uma sequência dupla (por exemplo, “Fig. 2.3” é a terceira figura do experimento Nº 
2). Os gráficos, desenhos, esquemas, e fotografias são todas figuras, não há razão para 
abrir seqüências diferentes (ou seja, não escreva Gráfico 1, e sim Figura 1). Leia na 
Seção 2 sobre como devem ser feitos os gráficos. 
As figuras podem ser feitas em papel especial (por exemplo em papel milimetrado 
ou logarítmico) ou gerados por um computador e colados (sobre toda a área, nunca 
colados em uma ponta ou grampeadas) no caderno. Evite colar figuras pregáveis; se o 
original for grande, faça uma cópia reduzida de modo de caber inteira na folha do seu 
caderno. 
 
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No início de cada experimento geralmente fazemos um resumo da teoria envolvida 
e destacamos as equações mais relevantes. As equações (pelo menos as mais 
relevantes) devem ser numeradas para poder fazer referência a elas mais adiante, 
quando confrontamos as previsões do modelo com os resultados experimentais. Defina, 
imediatamente antes ou logo após, os símbolos matemáticos novos que aparecem em 
cada equação. 
 
2.1.9 Resultados e Conclusões 
 
São comentários sobre o que foi feito, qual a confiança nos resultados obtidos, 
pontos críticos ou duvidosos do experimento e comparação com modelos teóricos. Tudo 
isto deve ser exposto da forma mais abrangente possível, sempre associando a teoria 
descrita na introdução com os resultados obtidos em laboratório. Ao final podem ser 
sugeridas formas de contornar eventuais problemas surgidos no decorrer da tomada e 
análise dos dados. 
2.2 Tempo dedicado à disciplina 
 
O tempo de dedicação à disciplina deveria ser aproximadamente igual ao tempo de 
aula (em média). Esta dedicação extra classe se distribui nos seguintes trabalhos: 
• leitura de tópicos especiais apresentados neste roteiro; 
• estudo da bibliografia indicada; 
• leitura prévia do roteiro sobre a experiência a ser realizada; 
• resolver os exercícios e questões propostas; 
• fazer as sínteses da experiência; 
• elaborar o relatório. 
 
2.3 Segurança pessoal e cuidado com os equipamentos 
 
Experiências num laboratório de física sempre envolvem riscos de danos pessoais 
e também de danos aos equipamentos utilizados. O aluno deve seguir as normas de 
segurança para evitar danos a si próprio, aos colegas e aos equipamentos do 
laboratório. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PARTE 3 MEDIDAS 
 
3.1 O Sistema Internacional de Unidades de Medida 
 
A primeira coisa a fazer quando se quer medir uma grandeza é selecionar uma 
unidade de medida. Somente depois de ter feito essa escolha é que poderemos 
estabelecer quantas vezes a unidade está contida na grandeza a ser medida. Por 
exemplo dizer que um automóvel se move a 130 km/h significa: 
 
• ter escolhido o quilômetro por hora como unidade de medida de velocidade; 
• ter estabelecido que essa unidade de medida está contida 130 vezes naquela 
grandeza. 
 
Nos Estados Unidos, isso seria expresso de outra forma. Lá diriam que o automóvel 
está viajando a 80 milhas por hora. De fato, nos velocímetros dos automóveis 
americanos, as velocidades são medidas em milhas por hora. Não há qualquer motivo 
para que se escolha uma unidade de medida em vez de outra. No entanto, por 
praticidade, é conveniente selecionar o menor número possível de unidades de medida 
diferentes. Foi o que ocorreu em nível mundial quando se decidiu escolher as unidades de 
medida oficiais. São elas: 
• o metro para o comprimento; 
• o segundo para o tempo; 
• o quilograma para a massa; 
• o ampère para a intensidade de corrente elétrica; 
• o kelvin para a temperatura; 
• a candela para a intensidade luminosa; 
• o mol para a quantidade de matéria. 
 
Essas sete unidades, que fazem parte do Sistema Internacional de Unidades, são 
suficientes para medir qualquer outra grandeza. Por exemplo, como veremos adiante, a 
velocidade é medida em metros por segundo (m/s). Aqui, nos fixaremos em particular nas 
unidades de medida de comprimento e de tempo. 
 
3.2 Notação Científica 
O Sol dista da Terra 150 000 000 000 m, enquanto Proxima Centauri, que é a 
estrela mais próxima logo depois do Sol, se encontra a 40 000 000 000 000 000 m. 
Como fazemos para nos orientar entre esses números? Escritos dessa forma, é 
uma tarefa quase impossível. Mas há um modo muito mais simples, que permite ler com 
rapidez números grandes e pequenos. Trata-se de um sistema de escrita que utiliza as 
potências de 10, chamado notação científica. 
 
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Vejamos inicialmente quais são as potências de 10: 
102 = 100 = 10 x 10 
103 = 1000 = 10 x 10 x 10 
104 = 10000 = 10 x 10 x 10 x 10 
... 
106 = 1 000 000 = 10 multiplicado 6 vezes por si mesmo 
... 
109 = 1000000000 = 10 multiplicado 9 vezes por si mesmo 
 
Multiplicar por 10 equivale a aumentar o expoente em uma unidade. Ao contrário, 
quando dividimos por 10, diminuímos o expoente em uma unidade. Por exemplo: 
3
4
10
10
10
= 
Podemos completar a tabela das potências de 10, partindo de 102 e dividindo esse 
valor sucessivamente por 10. Obteremos: 
101 = 10 
100 = 1 (isto é, 101/10) 
10-1 = 1/10 
10-2 = 1/100 
10-3= 1/1000 
Usando as potências de 10, a distância entre a Terra e o Sol se torna: 
 
dTerra-Sol = 150 000 000 000 m = 1,5 x 1011 m 
 
e a distância entre a Terra e Proxima Centauri: 
dTerra-Proxima Centauri = 40 000 000 000 000 000 m = 4,0 x 1016 m 
 
Os números compreendidos entre 0 e 1 podem ser escritos usando expoentes 
negativos. Por exemplo, o raio do átomo de hidrogênio (H) é: 
rH = 0,00000000005 m = 5 x 10-11 m 
A notação exponencial permite escrever os números de um modo compacto e 
imediatamente legível, evitando que nos percamos entre os zeros e as casas decimais. 
Ela oferece ainda outra vantagem: permite que nos orientemos entre os números. 
Quando comparamos as distâncias que separam a Terra do Sol e da Proxima 
Centauri expressas em notação científica, notamos imediatamente quanto esta última se 
acha mais distante de que o Sol. Ela está aproximadamente 100 mil vezes mais distante: 
1016 / 1011 = 105 
 
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Traduzido em escala, isto significa que se o Sol estiver a 1 m da Terra, Proxima 
Centauri estará a 100 000 m, ou seja, a 100 km (a distância entre São Paulo e 
Campinas). 
Lendo essas mesmas distâncias expressas da maneira normal não teríamos obtido 
essa informação com facilidade. As duas distâncias pareceriam simplesmente muito 
grandes. Já com, notação científica,podemos rapidamente distinguir os diversos graus de 
"muito" (ou de "pouco"). Nesse sentido, podemos dizer que as potências de 10 são como 
marcos quilométricos de uma estrada, orientando-nos no conjunto ilimitado dos números. 
Também expressamos com as potências de 10 os prefixos que indicam os 
múltiplos e submúltiplos das unidades de medida, isso poder ser visualizado na tabela 
3.2: 
Tabela 3.2 
 exa = 1018 
 peta = 1015 
 tera = 1012 T 
 giga = 109 G 
 mega = 106 M 
 quilo = 103 k 
 deci = 10-1 d 
 centi = 10-2 c 
 mili = 10-3 m 
 micro = 10-6 µ 
 nano = 10-9 n 
 pico = 10-12 p 
 femto = 10-15 
 
Assim, 1 quilômetro = 103 metros, 1 milissegundo = 10-3 segundos, 1 megawatt = 
106 watts (uma unidade de medida de potência), etc. 
 
PARTE 4 TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE DADOS 
 
4.1 Algarismos significativos 
 
 O número de dígitos ou algarismos que devem ser apresentados em um resultado 
experimental é determinado pelo erro padrão neste resultado. As regras práticas para 
apresentar o erro padrão em um resultado e o número de algarismos significativos são 
apresentadas a seguir. 
 
 
 
 
 
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4.2 Erro padrão 
 
 O erro padrão σy, em uma grandeza y pode ser interpretado por meio do intervalo 
de confiança P correspondente, para o valor verdadeiro yv: 
 
yvy yyy σσ +<<− 
 
Esta inequação tem nível de confiança de P = 68 %, o que significa que a 
inequação tem 68% de probabilidade de ser correta. 
O erro padrão σy é quantidade positiva, pois a inequação acima não tem nenhum 
significado quando σy é negativo. 
 
4.3 Conceito de algarismo significativo 
 
O valor de uma grandeza experimental que é obtido diretamente a partir de 
cálculos ou medidas, pode ser um número na forma decimal, com muitos algarismos. Por 
exemplo, 
……
ivossignificatnãoivossignificativossignificatnão
DCBAWZYX, 0000 
 
Algarismo significativo em um número pode ser entendido como cada algarismo 
que individualmente tem algum significado, quando o número é escrito na forma decimal. 
Os zeros à esquerda do primeiro algarismo diferente de zero não são significativos. 
Cada "zero" à esquerda não tem nenhum significado quando considerado 
individualmente. O único significado do "conjunto dos zeros" é indicar a posição da vírgula 
decimal. Por exemplo, mudando as unidades da grandeza, os "zeros" podem ser 
eliminados. 
Por outro lado, deve ser considerado que existe uma incerteza associada ao 
número que representa a grandeza experimental. Isto significa que todos os algarismos à 
direita além de um certo algarismo W são não significativos. Isto é explicado um pouco 
mais detalhadamente a seguir. 
Devido à incerteza, cada um dos algarismos no número tem uma determinada 
probabilidade de ser correto. Geralmente, esta probabilidade é muito próxima de 100 % 
para o primeiro algarismo não nulo (X) e vai diminuindo para algarismos à direita. Para um 
determinado algarismo A, a probabilidade de que ele seja o algarismo correto se torna 
praticamente igual à probabilidade para qualquer outro algarismo. Ocorre que, quando um 
determinado algarismo tem a mesma probabilidade de ser o algarismo correto que 
 
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qualquer outro algarismo, então, este algarismo não pode ter nenhum significado. Em 
outras palavras, um algarismo é significativo se ele tem maior probabilidade de ser 
correto, em relação a outros. O último algarismo significativo à direita pode ser 
determinado pelo erro padrão na grandeza, conforme a regra: 
 
Se o erro padrão é dado com 2 algarismos, os 2 algarismos correspondentes na 
grandeza podem ser considerados como os 2 últimos algarismos significativos. 
Quando o erro padrão é dado com um único algarismo o algarismo correspondente 
na grandeza é o último algarismo significativo. 
 
Uma grandeza experimental deve ser escrita conforme as regras: 
• Os algarismos não significativos à direita nunca devem ser escritos no resultado final. 
• Zeros à esquerda, que também são considerados algarismos não significativos, devem 
ser evitados por meio de mudança de unidades ou usando notação científica, exceto 
se existirem outros inconvenientes. Por exemplo, é inconveniente mudar de unidades 
em uma mesma tabela. 
 
Exemplo 1. Uma distância x (valor verdadeiro desconhecido) foi medida, obtendo-se o 
seguinte resultado: 
x = 73,6 m sendo σx = 1,2 m 
Isto significa que com 68% de probabilidade pode-se afirmar que 
72,4 m < x < 74,8 m 
e podemos escrever 
x = (73,6 ± 1,2) m. 
 
4.4 Arredondamento de números 
 
Freqüentemente ocorre que números devem ser arredondados. Por exemplo, na 
soma ou subtração de 2 quantidades, as mesmas devem ser escritas com o mesmo 
número de algarismos significativos. Quando um dos números tem algarismos 
significativos excedentes, então estes devem ser eliminados com arredondamento do 
número. O arredondamento também deve ser empregado na eliminação dos algarismos 
não significativos de um número. 
Se em um determinado número, tal como 
 
……
excessoou.signifnãoivossignificat
DCBAXY,W 
 
A B C D ... são algarismos que por qualquer motivo devem ser eliminados, o algarismo X 
deve ser arredondado aumentando de uma unidade ou não. 
 
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A parte ABCD ... também pode ser entendida como uma fração de X de 0, 000 ... 
a 0,999... . 
O arredondamento de números deve ser feito conforme as regras apresentadas a 
seguir. 
 
• Frações de 0,000… a 0,499… são simplesmente eliminadas (arredondamento para 
baixo). 
• Frações de 0,500… a 0,999… são eliminadas, mas o algarismo X a ser arredondado 
aumenta de 1 (arredondamento para cima). 
• Se a fração a ser eliminada é exatamente 0,50000…, então o arredondamento deve 
ser tal que o algarismo X depois do arredondamento deve ser par. 
 
Exemplo 2. Arredondamento de números 
 
7510565
6599465
6938863
42342
,,
,,
,,
,,
⇒
⇒
⇒
⇒
 
3235233
4895749
8500575
6500565
,,
,,
,,
,,
⇒
⇒
⇒
⇒
 
 
4.5 Erros Sistemáticos e Estatísticos 
 
Em ciência e tecnologia, é fundamental a realização de medidas de grandezas 
físicas. Estas grandezas podem ser, por exemplo, comprimentos, intervalos de tempo, 
voltagem entre dois pontos, carga elétrica transportada, intensidade luminosa, e muitas 
outras. Para se caracterizar o sistema de freios de um automóvel, por exemplo, realiza-se 
uma medida da distância percorrida após o acionamento dos freios quando o carro se 
movia a uma certa velocidade. Ao se realizar uma medida, há sempre fontes de erro que 
a afetam. As fontes de erro fazem com que toda medida realizada, por mais cuidadosa 
que seja, esteja afetada por um erro experimental. Os erros experimentais podem ser 
classificados em dois grandes grupos: erros sistemáticos e erros estatísticos (ou 
aleatórios). 
 
4.6 Erros sistemáticos 
 
Os erros sistemáticos são causados por fontes identificáveis, e, em princípio, 
podem ser eliminados ou compensados. Erros sistemáticos fazem com que as medidas 
feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão 
 
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13
("accuracy") da medida (ver Figura 4.2.1). Podem ter causas muito diversas e geralmente 
estes erros se enquadram em um dos tipos definidos a seguir. 
 
 
4.6.1 Erros sistemáticos instrumentais 
 
Erro sistemático instrumental é erro que resulta da calibração do instrumento de 
medida. 
 
 Alta precisãoBaixa precisão Alta precisão 
 Baixa exatidão Baixa exatidão Alta exatidão 
 
Figura 4.6.1. Precisão e exatidão em medidas. 
 
Além do erro na calibração inicial do instrumento, deve ser observado que a 
calibração pode se alterar em função de diversos fatores (temperatura, desgaste e outros 
fatores). Por exemplo, uma régua comum apresenta erro sistemático que depende da 
qualidade da régua. Não basta que a régua seja fabricada com calibração muito boa. A 
régua deve também ser construída com bom material, de forma que a calibração não se 
altere ao longo do tempo e não dependa de fatores tais como temperatura, força e outros. 
Erros sistemáticos instrumentais podem, em princípio, ser reduzidos ou 
praticamente eliminados, por meio de recalibração ou nova aferição do instrumento de 
medida e correção dos resultados. Entretanto, deve ser observado que na prática isto 
pode ser muito difícil ou custar muito caro sendo inviável qualquer recalibração ou 
correção de resultados. 
 
4.6.2 Erros sistemáticos teóricos 
 
Erro teórico é erro que resulta do uso de fórmulas teóricas aproximadas ou uso de 
valores aproximados para eventuais constantes físicas que sejam utilizadas. Na 
realização de uma experiência, geralmente é necessário utilizar um modelo para o 
fenômeno físico em questão. Conforme o modelo adotado, as fórmulas teóricas podem 
não ser suficientemente exatas e grandezas físicas obtidas por meio destas fórmulas 
 
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14 
terão erro sistemático. O mesmo vale com relação às constantes físicas utilizadas em 
cálculos. 
Por exemplo, realiza-se uma medida da aceleração da gravidade g por meio de 
uma experiência de queda livre. Desprezando-se a resistência do ar a velocidade v em 
função do tempo t será dada por 
tgv = 
O valor médio obtido para g terá erro sistemático, pois a fórmula teórica acima é 
aproximada. Se fosse utilizada uma fórmula levando em conta a resistência do ar, o valor 
médio obtido para g seria um pouco maior que aquele obtido pela fórmula acima. 
Erros sistemáticos teóricos podem, em princípio, ser reduzidos ou praticamente 
eliminados utilizando-se modelos físicos, fórmulas e valores para as constantes 
suficientemente exatas para o fenômeno em questão. Mas também pode ocorrer que não 
existam modelos e fórmulas mais adequadas que as disponíveis, ou não existam valores 
mais acurados para os valores das constantes necessárias nos cálculos. 
Um outro exemplo de erro sistemático é o que ocorreu na famosa experiência de 
Millikan, em 1916, que permitiu determinar a carga do elétron. O valor encontrado por 
Millikan era 0.6 % menor devido ao fato que ele utilizou um valor um pouco incorreto para 
a viscosidade do ar em seus cálculos. Este erro sistemático foi corrigido somente 16 anos 
mais tarde. 
 
4.6.3 Erros sistemáticos ambientais 
 
Erro sistemático ambiental é um erro devido a efeitos do ambiente sobre a 
experiência. Fatores ambientes tais como temperatura, pressão, umidade, aceleração da 
gravidade, campo magnético terrestre, ondas de radio, luz e outros podem introduzir erro 
nos resultados de uma medida. 
Por exemplo, numa experiência para medir o campo magnético de um imã, o 
instrumento de medida indicará o campo magnético do imã superposto com o campo 
magnético da terra. Pode-se dizer que a medida do campo magnético do imã terá erro 
sistemático ambiental devido ao campo magnético terrestre. 
Erros sistemáticos ambientais também podem, em geral, ser reduzidos ou 
praticamente eliminados se as condições ambientais forem bem conhecidas e de 
preferência controladas. No exemplo acima, pode ser importante conhecer o campo 
magnético terrestre no próprio laboratório, para eliminar o erro corrigindo o resultado final, 
já que não é possível eliminar ou controlar o campo magnético terrestre. Entretanto, 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
15
alguns fatores ambientais como temperatura, humidade, luminosidade e outros podem ser 
controlados, além de serem medidos. 
 
4.6.4 Erros sistemáticos observacionais 
 
Erro sistemático observacional é um erro sistemático devido à falhas de 
procedimento do observador. 
O erro sistemático mais comum deste tipo é devido ao efeito de paralaxe na leitura 
de escalas de instrumentos. O erro de paralaxe na leitura de um instrumento analógico é 
devido ao não alinhamento correto entre o olho do observador, o ponteiro indicador e a 
escala do instrumento. Podem resultar, por exemplo, leituras sempre sistematicamente 
maiores que as reais, se o instrumento estiver colocado frontalmente ao observador, mas 
deslocado à sua direita. Disparar um cronômetro sempre atrasado na medida de um 
intervalo de tempo é outro exemplo deste tipo de erro. 
Erro deste tipo pode ser reduzido seguindo-se cuidadosamente os procedimentos 
corretos para uso dos instrumentos. Entretanto, mesmo que os procedimentos corretos 
sejam escrupulosamente seguidos, ainda poderá existir erro sistemático devido às 
limitações humanas. O tempo típico de reação do ser humano a um estímulo é da ordem 
de 
 τt ≈ 0,1 segundos (tempo de reação humana) 
 
Assim, uma medida de tempo com cronômetro acionado manualmente pode 
apresentar erro sistemático desta ordem de grandeza. Analogamente, a resolução típica 
do olho humano normal é da ordem de 
 
θ = 0,0080 ≅ 0,00014 rd (resolução do olho humano) 
 
Isto significa que o olho humano pode distinguir 2 pontos separados de 0, 14 mm a 
1 m de distância. Esta resolução é muito melhor que a necessária para realizar leituras 
muito precisas em escalas de instrumentos e geralmente permite realizar operações de 
ajustes e alinhamentos com muita precisão. 
Uma das principais tarefas do idealizador ou realizador de medidas é identificar e 
eliminar o maior número possível de fontes de erro sistemático. 
 
4.7 Erros estatísticos ou aleatórios 
 
Erros estatísticos resultam de variações aleatórias no valor uma grandeza, devido 
a fatores que não podem ser controlados ou que por qualquer motivo não são 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
16 
controlados. Essas variações podem ser na própria grandeza ou no valor da grandeza 
que é obtido na medida. 
Por exemplo, ao se realizar medidas de massa em uma balança, as correntes de ar 
ou vibrações (fatores aleatórios) podem introduzir erro estatístico na medida. Mas estes 
erros podem ser reduzidos ou praticamente eliminados colocando-se a balança em uma 
mesa a prova de vibrações e protegendo-se a balança em uma caixa de vidro ou mesmo 
em vácuo quando se desejar precisão muito alta. 
Mas, se em certos casos o erro estatístico pode ser reduzido ou praticamente 
eliminado, em outros casos isto não é possível. Por exemplo, o número de desintegrações 
radiativas que ocorre em 1 minuto em uma amostra de material radiativo é uma 
quantidade que varia aleatoriamente em torno de um valor médio. Este tipo de medida 
terá um erro estatístico intrínseco que não pode ser eliminado. 
A expressão "erro praticamente eliminado" será aqui empregada como significando 
um erro que foi reduzido de tal forma que este erro seja muito menor que os demais erros 
envolvidos no problema. Na verdade, um erro nunca pode ser eliminado, mas apenas 
reduzido. 
Uma solução para minimizar os efeitos de erros estatísticos consiste em repetir 
medidas, uma vez que o valor médio de um grande número de medidas tem erro 
estatístico menor. Dessa forma, os erros aleatórios são flutuações, para cima ou para 
baixo, que fazem com que aproximadamente a metade das medidas realizadas de uma 
mesma grandeza numa mesma situação experimental esteja desviada para mais, e a 
outra metade esteja desviada para menos. Os erros aleatórios afetam a precisão 
("precision") da medida (ver Figura 4.2.1). Nem sempre se pode identificar asfontes de 
erros aleatórios. Algumas fontes típicas de erros aleatórios são: 
 
• método de observação: erros devidos ao julgamento feito pelo observador ao fazer 
uma leitura abaixo da menor divisão de uma escala, como por exemplo, medir o 
comprimento de uma folha de papel com uma régua cuja menor divisão é 1 mm com 
precisão na medida de 0,5 mm; 
 
• flutuações ambientais: mudanças não previsíveis na temperatura, voltagem da linha, 
correntes de ar, vibrações (por exemplo causadas por passagem de pessoas perto do 
aparato experimental ou veículos nas vizinhanças). 
 
Erros aleatórios podem ser tratados quantitativamente através de métodos 
estatísticos, de maneira que seus efeitos na grandeza física medida podem ser, em geral, 
determinados. 
 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
17
4.8 Tratamento estatístico de medidas com erros aleatórios 
 
4.8.1 O valor mais provável e sua incerteza 
 
O valor mais provável de uma medida e a incerteza desse resultado são conceitos 
importantes quando se trata de medir grandezas. Tais quantidades são estimadas a partir 
da amostra de dados obtidos num determinado experimento. 
Imaginemos que tenhamos realizado um experimento do qual obtiveram-se 
diversos valores – da mesma grandeza – como resultado das medidas efetuadas. 
Desejamos obter o valor verdadeiro dessa grandeza. Naturalmente o valor verdadeiro não 
poderá ser conhecido, devido justamente às incertezas no processo de mensuração. Mas 
é um conceito importante do ponto de vista experimental. Mesmo que não se alcance o 
valor correto, pretende-se chegar o mais perto possível do mesmo, pretende-se obter a 
melhor estimativa dessa quantidade. 
Na tabela abaixo são apresentados os resultados de 55 medidas de uma mesma 
grandeza. Suponhamos que este seja nosso universo, isto é, todas as medidas que se 
poderiam efetuar de tal grandeza. Que tipo de informações podemos obter destes 
resultados? 
3,4 5,0 5,8 4,6 4,4 3,6 3,1 3,7 4,8 3,5 2,7 6,0 
4,5 5,3 4,8 6,2 5,1 4,7 4,0 5,0 4,6 5,4 3,6 6,8 
5,5 2,2 5,0 6,0 4,7 4,0 3,0 6,5 3,5 4,6 3,2 4,8 
3,6 3,0 3,4 6,6 4,2 5,3 5,6 7,0 4,8 2,6 5,3 7,4 
3,4 4,3 5,8 5,6 4,3 5,0 4,2 
Tabela 1: “Universo” de medidas de uma certa grandeza (série A) 
 
Os valores dispostos na forma da tabela não são muito esclarecedores, mas um 
histograma, agrupando todos os valores em classes apropriadas (a fim de reduzir a 
quantidade de números com os quais teremos que trabalhar) apresenta uma visão 
imediata da distribuição das medidas (figura 4.8.1). 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
18 
 
Figura 4.8.1: Histograma representando o “universo” de medida s da tabela 1. A curva 
contínua representa a gaussiana ajustada ao histograma e que satisfaz as condições de 
contorno citadas no texto. 
 
Através do histograma pode-se facilmente visualizar que há uma grande 
concentração de valores na região central, próximos de 65812,4x = (este é o valor de x 
que corresponde ao pico da gaussiana) e que a freqüência vai diminuindo quando se vai 
para as extremidades. A região compreendida entre (4,65812 – 1,257815 = 3,400305) e 
(4,65812 + 1,257815 = 5,915935) corresponde a aproximadamente 68% de todos os 
valores disponíveis. Como pode se visto facilmente na figura, é muito tentador ajustar-se 
uma gaussiana ao histograma obtido, com a condição de que a área total sob a curva de 
Gauss seja igual à área total correspondente aos retângulos que formam o histograma. 
 
Tais condições de contorno permitem-nos utilizar os parâmetros x (valor mais 
provável = valor médio) e Sx (desvio padrão das medidas), que são valores característicos 
associados a uma curva de Gauss. 
 
 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
19
 
Tabela 2: Resultados estatísticos obtidos a partir dos dados da tabela 1. 
Número de medidas 55 
Média, x 4,65812 
Desvio Padrão, Sx 1,25781 
Erro padrão da média, σx 0,16960 
 
 
 
Na tabela da esquerda apresentam-se os valores calculados através das fórmulas 
estatísticas (por isso não nos preocupamos com o arredondamento) enquanto que na 
tabela da direita apresentam-se os valores, e a notação apropriada, quando se trata de 
medidas obtidas experimentalmente. Observe atentamente a forma de apresentação do 
resultado, que leva em conta o arredondamento de acordo com as regras vistas 
anteriormente. 
 
4.8.2 Quando o universo de valores não está disponível 
 
No exemplo anterior fizemos a hipótese de que tínhamos todos os valores 
possíveis das medidas da grandeza que estamos estudando. Mas nem sempre isto é 
possível. Neste caso devemos contentar-nos com uma pequena amostra retirada de todo 
aquele universo. A conseqüência desastrosa de tal procedimento é a de que teremos 
reduzidas nossas chances de obter o valor verdadeiro da grandeza que queremos 
conhecer. Mas teremos que conviver com esta situação e mesmo assim tratarmos de 
obter a melhor estimativa do valor verdadeiro da grandeza. 
Por isso, uma boa estimativa para o valor mais provável ou correto da grandeza 
será a média aritmética dos valores medidos: 
 
∑
=
=
n
1i
ixn
1x 
 
onde x i é o resultado da i-ésima medida e n é o número total de medidas feitas. 
 
4.8.3 Desvio padrão e precisão da estimativa 
 
Ao se realizar várias medições da mesma grandeza nas mesmas condições, a 
incidência de erros aleatórios faz com que os valores medidos estejam distribuídos em 
torno da média. Quando eles se afastam muito da média, a medida é pouco precisa e o 
Valor mais provável, x 4,7 
Erro padrão da média, σx 0,2 
Apresentação do resultado 4,7 ± 0,2 
Desvio relativo 4% 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
20 
conjunto de valores medidos tem alta dispersão. Quando o conjunto de medidas feitas 
está mais concentrado em torno da média diz-se que a precisão da medida é alta, e os 
valores medidos tem uma distribuição de baixa dispersão. Quantitativamente a dispersão 
do conjunto de medidas realizadas pode ser caracterizada pelo desvio padrão do conjunto 
de medidas, definido como: 
 
( )∑
=
−
−
=
n
1i
2
ix xx1n
1S 
 
Conjuntos de medidas com desvio padrão baixo são mais precisas do que quando 
o desvio padrão é alto. Adicionalmente, pode-se demonstrar que o desvio padrão 
caracteriza o intervalo dentro do qual há 68% de probabilidade de ocorrência de um valor 
medido. Dito de outra forma, isto significa que se for feito um conjunto muito grande de 
medições, 68% delas estarão dentro do intervalo Sx − e Sx + . 
 
4.8.4 Erro padrão da média 
 
A medida que se realiza mais medidas, a compensação dos erros aleatórios entre 
si vai melhorando e a média do conjunto de medidas, x , vai se tornando uma grandeza 
mais precisa. O erro padrão da média é definido como: 
 
n
S
=σ 
 
Observe que o erro padrão da média diminui com a raiz quadrada do número n de 
medições realizadas. Portanto, realizar mais medidas melhora a determinação do valor 
médio como estimador da grandeza que se deseja conhecer. Entretanto a vantagem não 
é tão grande quanto desejaríamos, já que, por exemplo, para reduzir o erro padrão da 
média por um fator 3 é necessário aumentar o número de medidas por um fator 9. 
 
4.8.5 Erro total 
 
Se numa série de medidas de um mesmo experimento existir erro sistemático (que 
não possa ser removido), e erro estatístico, o erro total corresponde a: 
 
2
s
2
mT SS +=σ 
 
onde sm corresponde ao erro padrão da média e ss corresponde ao erro sistemático. 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
21
 
4.8.6 Erro percentual relativo 
 
É o erro que afeta a grandeza medida expresso como porcentagem do valor 
medido da grandeza. Portanto, o erro relativo percentual numa medida experimental x 
(valor médio) comparado com o valor teórico (de fábrica ou calculado), será dado por: 
%100
x
xx
(%)E
teo
expteo ×
−
= 
 
Exemplo 1. Medidado período de um pêndulo com um cronômetro. 
 O tempo ∆t para 10 medições de um pêndulo simples foi medido 8 vezes, usando 
um cronômetro digital. Os resultados das leituras ∆ti do cronômetro estão na tabela 1, 
junto com os resultados Ti = ∆t/10 para o período T do pêndulo. 
 
Tabela 1. Leituras ∆ti e valores obtidos Ti. 
i 1 2 3 4 5 6 7 8 
∆ti (s) 32,75 32,40 29,82 30,22 31,57 31,59 30,02 31,95 
Ti (s) 3,275 3,240 2,982 3,022 3,157 3,159 3,002 3,195 
 
O valor médio das 8 medidas Ti é 
s1290,3s
8
032,25
n
T
T
n
1i
i
===
∑
= 
 
e o desvio padrão é obtido por 
( ) 2
n
1i
2
i
2 s01270,0TT
1n
1S ∑
=
=−
−
= 
 Nem todos os algarismos mostrados até aqui são significativos, mas antes de se 
chegar ao resultado final, é preferível ter excesso de algarismos, do que correr o risco de 
omitir algarismos significativos. 
 Assim, a melhor estimativa para o desvio padrão das medidas é 
s11,0s01270,0S == 
e o erro padrão é dado por 
s039,0s
8
11,0
n
S
===σ 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
22 
 
Eventuais erros sistemáticos devem ser determinados e o resultado corrigido. Por 
exemplo, o cronômetro pode apresentar erro de calibração. Pode-se supor, por exemplo, 
que seja verificado que o cronômetro "atrasa" 20 segundos em 1 hora. Isto é, o 
cronômetro indicará 3580 segundos para um tempo real de 3600 segundos. Assim, as 
leituras feitas neste cronômetro devem ser multiplicadas por (3600/3580) para se obter o 
valor corrigido. O valor médio para o período é então, 
1465,3s1290,3
3580
3600T =×= 
Mas nem sempre é possível determinar o erro sistemático e fazer a correção 
correspondente, como é mostrado a seguir em um exemplo. 
Um possível erro sistemático que pode ocorrer é de tipo observacional, isto é, 
devido ao observador. Por exemplo, se o observador dispara o cronômetro sempre um 
pouco atrasado, mas para o cronômetro corretamente, então os intervalos de tempo 
medidos são sistematicamente menores que os reais. Se existir suspeita de que há um 
erro sistemático grande deste tipo, o melhor procedimento é refazer as medidas, pois é 
muito difícil determinar a correção a ser feita neste caso. 
Entretanto, por mais correto que seja o procedimento de cronometragem, pode 
existir um erro sistemático residual, pois o cronômetro é disparado e parado 
manualmente. O tempo de reação humana é da ordem de 0,1 segundo. Assim, por 
melhor que seja o cronometrista, pode existir um erro sistemático desta ordem de 
grandeza. Considerando que 0,1 s é um número bastante aproximado e que pode existir 
sistemático, tanto no acionamento quanto na parada do cronômetro, pode-se admitir um 
limite de erro total de 0,5 à para 10 oscilações. Assim, para o período T = ∆t/10, Ls ≅ 0, 05 
s é um limite de erro bastante confiável. Assim, obtém-se 
025,0
2
L
S ss =≅ 
E o erro total é dado por 
2
s
2
mT SS +=σ = 0,046 s 
 
O resultado final para o período de oscilação do pêndulo pode ser escrito como 
 
( ) ( ) s05,015,3Tous046,0146,3T ±=±= 
 
 Deve ser observado que o erro sistemático residual é relativamente pequeno em 
relação ao erro estatístico. Mas se as medidas fossem repetidas muitas vezes para 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
23
melhorar a precisão de T , o erro sistemático residual Ss se tornaria significativo 
estabelecendo um limite para o número de medidas a serem realizadas. 
 
4.9 Propagação de erros 
 
 Se uma grandeza w é calculada em função de grandezas x, y, z, … que tem erros, 
então w também tem erro, evidentemente. As expressões que permitem calcular a 
incerteza em w serão apresentadas a seguir. 
 
4.9.1 Fórmula de propagação de erros 
 
 Uma grandeza w que é calculada como uma função de outras grandezas x, y, z, … 
pode ser representada por 
w = w (x, y, z, …). 
 
 As grandezas x, y, z, … são admitidas como grandezas experimentais, sendo σx, 
σy, σz,… os erros padrões correspondentes: 
 
zyx zyx σσσ →→→ 
 Se os erros nas variáveis x, y, z, … são completamente independentes entre si, o 
erro padrão σw na grandeza é dado em primeira aproximação por 
…+





∂
∂
+





∂
∂
+





∂
∂
= 2z
2
2
y
2
2
x
2
w z
w
y
w
x
w
σσσσ 
 
 Para que esta seja uma boa aproximação, a função w(x, y, z, …) deve variar de 
maneira suficientemente lenta com x, y, z, …. 
 
4.9.2 Algumas fórmulas de propagação de erros 
 
A seguir são deduzidas fórmulas específicas para alguns casos comuns. 
 
• Soma ou subtração de variáveis: …±±±= zyxw 
 
…,1
z
w,1
y
w,1
x
w
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂ 
 
e assim 
…+++= 2z
2
y
2
xw σσσσ 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
24 
• Relação Linear: baxw += 
 
Admitindo que a e b são constantes isentas de erro ou com erros desprezíveis, 
somente a variável x é considerada para cálculo da incerteza. 
a
dx
dw
= 
logo, 
 
xw
2
x
2
w aoua σσσσ == 
 
• Produto ou divisão de variáveis: 
y
xawouyxaw == 
No caso de produto de variáveis, 
xa
y
weya
x
w
=
∂
∂
=
∂
∂ 
No caso de divisão de variáveis, 








−=
∂
∂
=
∂
∂
2y
xa
y
we
y
1a
x
w 
Obtém-se o mesmo resultado para ambas: 
2
y
2
x
w yx
w 





+




=
σσ
σ 
onde o valor de w depende se estamos trabalhando com o produto ou a divisão de 
variáveis. 
 
• Produto de funções: qp yxaw = 
1qpq1p yqxa
y
weyxpa
x
w −− =
∂
∂
=
∂
∂ 
 
e assim, 
2
y
2
x
w y
q
x
pw 





+




=
σσ
σ 
 
 Este resultado pode ser generalizado para qualquer número de variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
25
w = w (x, y, z, …) Expressões para σw 
…±±±= zyxw …+++= 2z2y2xw σσσσ 
mxw = 
x
mw xw
σ
σ = 
xaw = 
xw a σσ = 
baxw += 
xw
2
x
2
w aoua σσσσ == 
yxaw= 2
y
2
x
w yx
w 





+





=
σσ
σ 
y
xaw = 
2
y
2
x
w yx
w 





+





=
σσ
σ 
qp yxaw = 2
y
2
x
w y
q
x
pw 





+




=
σσ
σ 
 
Tabela 4.9.1. Exemplos de fórmulas de propagação de erros. 
 
PARTE 5 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
Em ciência, os problemas começam a ficar interessantes ao buscar-se as relações 
que existem entre duas ou mais grandezas. Neste momento vamos preocupar-nos com 
alguns dos mais simples tipos de relações, isto é, somente entre duas grandezas: uma 
grandeza, ou variável, dependente, e outra grandeza, ou variável, independente. Se 
efetuarmos medidas de duas de tais grandezas e colocarmos os pontos num gráfico cujas 
escalas sejam lineares, observaremos que a curva resultante, na maior parte das vezes, 
pode mostrar quatro formas relativamente simples de serem identificadas: linear, 
exponencial, potencial e logarítmica. Veremos agora exemplos de cada um destes tipos 
de curvas. 
5.1 Relação Linear 
Um pesquisador está estudando a relação entre correntes elétricas e diferenças de 
potencial elétrico. Foi-lhe fornecido um metro de fio de níquel cromo, montado num 
suporte, uma bateria de placas de chumbo e um voltímetro analógico. Ele conecta o fio a 
diversos elementos da bateria e mede a diferença de potencial, ou “voltagem”, entre o 
terminal negativo e vários pontos ao longo do fio. A análise prévia da escala do voltímetro 
permitiu-lhe estimar a incerteza em cada leitura do potencial como sendo igual a 0,05 V. A 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
26 
incerteza na posição da ponta de prova é menor do que 1 mm e por isso é considerada 
desprezível. 
Os dados obtidos estão listados na Tabela 5.1 e a curva resultante 
(essencialmente, uma reta) é mostrada na figura 5.1, que mostra a diferença de potencial 
(grandeza dependente) em função da posição no fio (grandeza independente).As 
incertezas estimadas em cada uma das medidas da diferença de potencial estão 
indicadas no gráfico pelas barras de erro verticais. 
medida,i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
xi (cm) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 
Vi (V) 0,37 0,58 0,83 1,15 1,36 1,62 1,90 2,18 2,45 
 
Tabela 5.1: Diferença de potencial, Vi, como função da posição, xi, ao longo de um fio de 
níquel cromo. 
 
Figura 5.1: Gráfico da diferença de potencial em função da posição ao longo de um fio 
condutor. As incertezas uniformes nas medidas de potencial estão indicadas como barras 
de erro verticais. A linha reta é o resultado do ajuste pelo método dos mínimos quadrados. 
 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
27
A “curva” que você vê na Figura 5.1 representa uma relação linear entre duas 
grandezas. 
5.2 Relação Exponencial 
Muitas populações (de pessoas, bactérias, núcleos radioativos, etc.) tendem a 
variar exponencialmente em função o tempo. Uma bióloga suspeita que uma população 
de bactérias está aumentando e faz medidas dessa população em oito dias sucessivos, 
obtendo os resultados mostrados na Tabela 5.2 
Medida, i 1 2 3 4 5 6 7 8 
Tempo ti (dias) 0 1 2 3 4 5 6 7 
População Ni 10 16 25 30 50 73 110 150 
Incerteza, σi 3 4 5 6 7 9 11 13 
 
Tabela 5.2: Contagem de uma população de bactérias em função do tempo. A tabela 
mostra a incerteza das contagens. 
 
Na figura 5.2 são mostrados os pontos experimentais e a curva que melhor se 
aproxima destes dados. As barras de erro representam a incerteza nas contagens da 
população. 
 
Figura 5.2: Crescimento de uma população de bactérias, em função do tempo, em dias. 
 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
28 
 
A curva da figura 5.2 é típica da relação exponencial entre duas grandezas. Note 
que nem sempre a relação é de crescimento exponencial como o que é mostrado aqui. 
Pode também acontecer que duas grandezas se relacionem de tal modo que haja um 
decréscimo exponencial. 
Como você pode imaginar, os físicos gostam de obter uma função analítica que 
relacione as duas grandezas envolvidas neste exemplo. E você pode imaginar também 
que não é muito fácil obter-se a expressão analítica, quando o gráfico é uma curva, ao 
invés de uma reta. Você pode, porém, linearizar a curva da figura 5.2, efetuando uma 
alteração utilizando os mesmos dados da tabela 5.2 e graficando-os com a escala vertical 
modificada, obtemos a reta da figura 5.2a. 
 
Figura 5.2a: Crescimento de uma população de bactérias, em função do tempo, em dias. 
A escala do eixo vertical é logarítmica. 
 
Após a alteração da escala do eixo vertical, linearizamos a curva da figura 5.2. 
Agora, fica muito fácil obter-se a equação da reta da figura 5.2a, conseqüentemente a 
própria equação da curva correspondente à figura 5.2. Note que as barras de erro não 
devem ser interpretadas pela sua dimensão mas sim comparando-as com a escala 
vertical do gráfico. 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
29
5.3 Relação Potencial 
Uma forma de se medir a aceleração da gravidade de um corpo em queda livre é a 
de medir-se a altura da queda, yi, do alto de um penhasco, em intervalos sucessivos e 
igualmente distanciados de tempo (usando uma fotografia estroboscópica, por exemplo). 
A tabela 5.3 mostra resultados obtidos através de tais medidas. 
Tempo, ti (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 
Altura, yi (cm) 0 5 20 45 80 125 180 236 
 
Tabela 5.3: Altura (em cm) em função do tempo (em segundos) para um corpo em queda 
livre. 
 
A função representativa do tipo de relação entre as duas grandezas citadas é 
mostrada na figura 5.3. A função que melhor se ajusta ao conjunto de pontos obtidos 
denomina-se função potencial. Observe que não foram desenhadas as barras de erro, 
representativas das incertezas nas medidas da altura, já que, por ora, não estamos 
interessados nessa questão. 
 
Figura 5.3: Altura de queda (em m) medida do alto de um penhasco, em função do tempo 
(em segundos) para um corpo em queda livre. 
 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
30 
Encontramo-nos novamente frente ao problema de encontrar a função analítica 
entre a a altura e o tempo de queda, para o fenômeno em questão. Novamente, iremos 
linearizar a curva através da alteração das duas escalas. Ambos os eixos, vertical e 
horizontal, são representados por escalas logarítmicas, conforme mostrado na figura 5.3a. 
 
Figura 5.3a: Altura de queda (em m) medida do alto de um penhasco, em função do 
tempo (em segundos) para um corpo em queda livre. Note que ambas as escalas são 
logarítmicas. 
 
Agora podemos obter a equação da reta representada na figura 5.3a. E, como no 
caso anterior, a equação desta reta pode ser facilmente transformada na equação da 
curva representada na figura 5.3. 
 
5.4 Funções Potenciais 
Na física utilizam-se freqüentemente funções e gráficos como linguagem de 
comunicação. Dificilmente você verá um estudo de fenômenos físicos que não contenha 
algum tipo de função ou gráfico para apresentar de forma concisa as relações entre as 
grandezas envolvidas. 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
31
Funções da forma nxC)x(y = , onde C e n são constantes, são denominadas 
funções potenciais e ocorrem freqüentemente na física. Você pode familiarizar-se com o 
comportamento de tais funções analisando atentamente a figura 5.4. As curvas estão 
restritas a regiões onde elas tenham somente valores reais, isto é, valores que não 
contenham 1− . 
 
 
Figura 5.4: Diversas funções da forma nxC)x(y = . 
 
 
PARTE 6 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
 
6.1 Introdução 
 
Sempre que obtivermos um conjunto de pares de valores experimentais xi, yi, cujos 
gráficos se assemelham a uma função linear, ou exponencial, ou potencial, ou 
logarítmica, poderemos efetuar alguns cálculos – utilizando os próprios dados 
experimentais – e obter funções analíticas entre as grandezas envolvidas. Ou, na 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
32 
linguagem da matemática, procuramos as funções que relacionam as variáveis 
independentes (eixo horizontal – x) e variáveis dependentes (eixo vertical – y). 
Cada uma das curvas que vimos pode ser representada por um tipo de função de 
duas variáveis. A tabela 6.1.1 mostra o tipo destas funções. 
 
Linha reta y = A + b x 
Curva exponencial y = A eb x, onde a > 0 
Curva potencial y = A xb, onde a > 0 
Curva logarítmica y = A + b ln(x) 
 
Tabela 6.1.1: Funções gerais entre as variáveis y e x para cada uma das curvas 
indicadas. a e b são constantes a determinar. A constante e = 2,718281828, na função 
exponencial, é a base dos logaritmos naturais, e ln(x) significa logaritmo natural de x, ou 
logaritmo neperiano. 
 
 
A fim de generalizar o processo de cálculo dos coeficientes de regressão a e b, da 
tabela 6.1.1, construímos a tabela de conversão de variáveis, tabela 6.1.2, onde A, Xi e Yi 
serão denominadas de variáveis generalizadas. 
 
Regressão A Xi Yi 
Linear a xi yi 
Exponencial ln a xi ln yi 
Potencial ln a ln xi ln yi 
Logarítmica a ln xi yi 
 
Tabela 6.1.2: Definição das variáveis A, Xi e Yi para cada uma das curvas. 
 
Dado um conjunto de pares de pontos experimentais xi e yi, pode-se obter o 
seguinte par de equações lineares de primeiro grau, 






=





⋅





∑
∑
∑∑
∑
ii
i
2
ii
i
YX
Y
b
A
XX
Xn
 (01) 
onde fizemos uso das variáveis generalizadas da tabela 6.1.2. n representa o número de 
pares de valores experimentais. Você pode procurar na bibliografia indicada no final do 
texto se quiser ver a dedução da equação acima. 
 A solução do sistema de equações 01 é a seguinte: 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
33
∆
⋅−⋅
= ∑ ∑ ∑ ∑ iii
2
ii YXXXYA (02) 
e 
∆
⋅−
= ∑ ∑∑ iiii YXYXnb(03) 
onde ∆ é o determinante dos coeficientes e é dado através da seguinte equação, 
( )∑ ∑−⋅=∆ 2i2i XXn . (04) 
Estas soluções são gerais, para os quatro tipos de funções apresentados na tabela 
6.1.2. Portanto, utilizando as tabelas 6.1.1 e 6.1.2 você pode escrever as expressões 
analíticas para as funções que desejar. 
 
6.2 Ajuste de uma reta pelo método dos mínimos quadrados 
Número da 
medida i 
Xi Yi 2iX Xi Yi 
2
iY A+b Xi 
2
i∆ 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
.... 
n 
Somatórias 
 
 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
34 
Tabela 6.2: Dados experimentais para a determinação de uma grandeza Y como função 
de outra grandeza X. 
 
 
Equação geral da reta: 
Y = A + b X 
 
Faça os cálculos indicados a seguir, a fim de obter os coeficientes linear (A) e 
angular (b) da reta particular em estudo: 
( ) =∆⇒−⋅=∆ ∑ ∑ 2i2i XXn 
=⇒
∆
⋅−⋅
= ∑ ∑ ∑ ∑ AYXXXYA iii
2
ii 
=⇒
∆
⋅−
= ∑ ∑∑ bYXYXnb iiii 
 
A fim de calcular as incertezas nos coeficientes linear e angular, você deve calcular 
os termos a seguir: 
( )[ ] =⇒+−−++⋅
−
= ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2iiii2i222i2 SYXbXAbYA2XbnAY2n
1S 
 
Incerteza no coeficiente linear: 
≅σ⇒
∆
≅σ ∑ A
2
i
2
A
XS
 
 
Incerteza no coeficiente angular: 
≅σ⇒
∆
⋅
≅σ b
2
b
Sn 
 
Incerteza no ajuste da reta: 
≅σ⇒≅σ 2S 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
35
Exemplo 
 
Número da medida i Xi Vi 
1 10 0,37 
2 20 0,58 
3 30 0,83 
4 40 1,15 
5 50 1,36 
6 60 1,62 
7 70 1,90 
8 80 2,18 
9 90 2,45 
 
Tabela: Diferença de potencial, V, como função da posição x, ao longo de um fio de 
níquel cromo. 
 
 
Número da 
medida i 
Xi Yi 2iX Xi Yi 
2
iY A+b Xi 
2
i∆ 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Somatória 
 
 
 
 
 
Elaborado pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
36 
 
( ) =∆⇒−⋅=∆ ∑ ∑ 2i2i XXn 
=⇒
∆
⋅−⋅
= ∑ ∑ ∑ ∑ AYXXXYA iii
2
ii 
=⇒
∆
⋅−
= ∑ ∑∑ bYXYXnb iiii 
A fim de calcular as incertezas nos coeficientes linear e angular, você deve calcular 
os termos a seguir: 
( )[ ] =⇒+−−++⋅
−
= ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2iiii2i222i2 SYXbXAbYA2XbnAY2n
1S 
 
Incerteza no coeficiente linear: 
≅σ⇒
∆
≅σ ∑ A
2
i
2
A
XS
 
 
Incerteza no coeficiente angular: 
≅σ⇒
∆
⋅
≅σ b
2
b
Sn 
 
Incerteza no ajuste da reta: 
≅σ⇒≅σ 2S 
 
Resultados: Y = 0,07139 + 0,02622 X 
 
99992,0
000340654,0
01917,0
b
A
=σ
=σ
=σ
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
1. Pinto, Ângela Emilia de Almeida, Física Geral e Experimental I, Apostila de curso, 
São Paulo: Faculdades Associadas de São Paulo, 2001. 
 
2. Vuolo, José Henrique, Fundamentos da Teoria de Erros, São Paulo: Edgard 
Blücher Ltda., 1996. 
 
3. Cruz, Carlos H. de Brito; Fragnito, Hugo L. ; Costa, Ivan F. da; Mello, Bernardo de 
A.. Guia para Física Experimental: Caderno de Laboratório, Gráficos e Erros. 
UNICAMP, 2000.