DECOMPOSIÇÃO LU DE MATRIZES COM APLICAÇÃO

Prévia do material em texto

decomposição l.u. de matrizes
Discentes: Ana Poerner e Karina Sasaki
Docente: Prof. Dr. Daniel Leite 
Cuiabá, 10-04-2019
FATORAÇÃO L.U.
Cuiabá, 10-04-2019
2
AX = b
A = (; i,j = 1,2,...,n
b =; i = 1,2,...,n
det(A) ≠ 0
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
MÉTODO DIRETO DE RESOLUÇÃO
SUMÁRIO
Cuiabá, 10-04-2019
3
Sistemas triangulares (inferior e superior)
Método de fatoração aplicado
Resolução de sistemas lineares
Situação cotidiana
Custos computacionais
Cuiabá, 10-04-2019
4
SISTEMAS TRIANGULARES
Os coeficientes () = 0 se i > j;
≠ 0 ; i = 1, 2,...,n
SISTEMA SUPERIOR (UPPER)
UX=b
Cuiabá, 10-04-2019
5
Os coeficientes () = 0 se i < j;
≠ 0 ; i = 1, 2,...,n
SISTEMA INFERIOR (LOWER)
LX=b
SISTEMAS TRIANGULARES
Cuiabá, 10-04-2019
6
MÉTODO	DE FATORAÇÃO 
=
A= L.U.
Cuiabá, 10-04-2019
7
MÉTODO	DE FATORAÇÃO 
UPPER – Método de Gauss
Trocar a posição de duas equações do sistema;
 Multiplicar uma equação do sistema por um escalar não nulo;
 Trocar uma equação somando-a com um múltiplo escalar de outra equação.
LOWER – Multiplicadores
Obtida a partir dos multiplicadores utilizados; 
A diagonal principal é composta por coeficientes ()=1, i = 1, 2,...,n
Cuiabá, 10-04-2019
8
MÉTODO	DE FATORAÇÃO 
 
AX= b
A= 
det(A)= (-3+32-42)-(-36+28-4)
Teorema: Só é possível decompor uma matriz A= ()nxn i,j= 1, 2,..., n se det(A)≠0 
det(A)= -1
-1 ≠ 0
Cuiabá, 10-04-2019
9
FATORAÇÃO L.U.
A = 
L1
L2
L3
 
L2 L2 + (-2)L1
L3 L3 + (-4)L1
 
U- MÉTODO DE GAUSS
L3 L3 + (1)L2
U = 
L = 
Cuiabá, 10-04-2019
10
Sejam , e três planos em , tais que:
Determine a intersecção dos três planos.
MÉTODO	DE FATORAÇÃO 
: 
:
: 4
Cuiabá, 10-04-2019
11
SISTEMAS LINEARES
Considerando um Sistema Linear do tipo AX = B e dispondo a decomposição A = LU, então:
Passo 1 – Reescreva AX = B como LUX = B;
Passo 2 – Defina uma nova matriz Y de tamanho nx1 sendo UX = Y;
Passo 3 – Substitua Y na equação LUX = B;
Passo 4 – Resolva o Sistema LY = B para encontrar valores de Y;
Passo 5 – Resolva UX = Y para encontrar valores de X.
Sejam , e três planos em , tais que:
Determine a intersecção dos três planos.
Cuiabá, 10-04-2019
12
: 
:
: 4
Matriz decomposta obtida anteriormente:
SISTEMAS LINEARES
Passo 1 – Reescreva AX = B como LUX = B;
Cuiabá, 10-04-2019
13
 
 
AX = b
LUX = b
SISTEMAS LINEARES
Passo 2 – Defina uma nova matriz Y de tamanho nx1 sendo UX = Y;
Cuiabá, 10-04-2019
14
 
SISTEMAS LINEARES
UX = Y
Passo 3 – Substitua Y na equação LUX = B;
Cuiabá, 10-04-2019
15
 
 
SISTEMAS LINEARES
LUX = b
UX = Y
Cuiabá, 10-04-2019
16
 
 
LUX = b
SISTEMAS LINEARES
UX = Y
LY = b
Passo 4 – Resolva o Sistema LY = B para encontrar valores de Y
Cuiabá, 10-04-2019
17
SISTEMAS LINEARES
LY = b
Passo 4 – Resolva o Sistema LY = B para encontrar valores de Y
Cuiabá, 10-04-2019
18
Sistema de Equações
SISTEMAS LINEARES
LY = b
Passo 4 – Resolva o Sistema LY = B para encontrar valores de Y
Cuiabá, 10-04-2019
19
LY = b
SISTEMAS LINEARES
Sistema de Equações
Passo 5 – Resolva UX = Y para encontrar valores de X.
Cuiabá, 10-04-2019
20
 
SISTEMAS LINEARES
UX = Y
Sistema de Equações
A intersecção entre os três planos é representado por (-2, 3, 0)
Cuiabá, 10-04-2019
21
SISTEMAS LINEARES
Cuiabá, 10-04-2019
22
Três famílias foram ao cinema e compraram os itens abaixo. Determine qual o valor de cada um dos produtos adquiridos
	Família	Ingressos	Pipoca	Refrigerante	Total gasto
	Silva 	3	4	3	79
	Macedo	2	1	2	46
	Linhares	4	4	5	106
SITUAÇÃO COTIDIANA
Cuiabá, 10-04-2019
23
SITUAÇÃO COTIDIANA
 
AX= b
A= 
det(A)= (15+32+24)-(12+24+40) 
Teorema: Só é possível decompor uma matriz A= ()nxn i,j= 1, 2,..., n se det(A)≠0 
det(A)= 71 – 76 = -5
-5 ≠ 0
Cuiabá, 10-04-2019
24
SITUAÇÃO COTIDIANA
A= 
L1
L2
L3
U- MÉTODO DE GAUSS
L3 L3 + (-4/3)L1
L2 L2 + (-2/3)L1
L3 L3 + (-4/5)L2
U=
L=
Resolvendo de forma direta: 
Cuiabá, 10-04-2019
25
L=
LY= b
Sistema de Equações
SITUAÇÃO COTIDIANA
Resolvendo de forma direta: 
Cuiabá, 10-04-2019
26
L=
LY= b
Sistema de Equações
Y
SITUAÇÃO COTIDIANA
Resolvendo de forma direta: 
Cuiabá, 10-04-2019
27
U=
Sistema de Equações
UX= Y
SITUAÇÃO COTIDIANA
Resolvendo de forma direta: 
Cuiabá, 10-04-2019
28
U=
Sistema de Equações
UX= Y
O ingresso custa 15 reais, a pipoca custa 4 reais e o refrigerante custa 6 reais.
SITUAÇÃO COTIDIANA
Foi calculado o custo computacional de forma generalizada para matrizes quadradas de ordem nxn, sendo n ≥ 2;
O sistema 1x1 é trivial, portanto, não é objeto do presente estudo;
Considera-se o passo a passo, maior número de operações necessárias, ignorando quaisquer facilitações, utilizando um algoritmo;
É contabilizado as operações de multiplicação, divisão, adição e subtração.
Cuiabá, 10-04-2019
29
CUSTOS COMPUTACIONAIS
Cuiabá, 10-04-2019
30
CUSTOS COMPUTACIONAIS
Cuiabá, 10-04-2019
31
C.C. – Resolução de sistemas lineares com decomposição L.U.
Decomposição L.U.
Sistema triangular
Total
Cuiabá, 10-04-2019
32
C.C. – Comparação com outros métodos
Decomposição L.U.
Eliminação de Gauss
Regra de Cramer
Substituição
31 operações
31 operações
28 operações
71 operações
Cuiabá, 10-04-2019
33
Custo operacional
LU
Custo operacional
Substituição
Para matrizes de ordem n = 2, o método de Substituição é mais vantajosa.
Para matrizes de ordem n = 3 os métodos são igualmente vantajosos;
Para matrizes de ordem n ≥ 4, o método de decomposição LU é mais vantajosa;
COMPARAÇÃO DOIS A DOIS
Decomposição L.U.
Substituição
x
Cuiabá, 10-04-2019
34
Custo operacional
LU
Custo operacional
Eliminação Gaussiana
Eliminação Gaussiana é mais vantajosa para qualquer matriz de ordem n ≥ 2
Decomposição L.U.
Eliminação de Gauss
x
COMPARAÇÃO DOIS A DOIS
Cuiabá, 10-04-2019
35
Custo operacional
LU
A Fatoração LU é mais vantajosa para qualquer matriz de ordem n ≥ 2
Decomposição L.U.
x
Regra de Cramer
Custo operacional Regra de Cramer
COMPARAÇÃO DOIS A DOIS
Dispondo da técnica de decomposição de matrizes, pode-se evitar processos longos e números grandes, os quais podem se transformar em causadores de erros;
A decomposição LU é vantajosa quando deparamos com grande número equações do tipo AX = B, com a mesma matriz A e diferentes vetores B, não precisamos repetir o mesmo processo várias vezes;
Por fim, é interessante conhecer mais uma técnica de resolução de Sistemas Lineares, em vista que pode vir a ser útil por facilitar e/ou otimizar o tempo.
Cuiabá, 10-04-2019
36
CONSIDERAÇÕES FINAIS
BEAN, Sonia Elena Palomino Castro; KOZAKEVICH, Daniel Noberto. Álgebra Linear I. Florianópolis: [s. n.], 2011. Disponível em: http://mtm.grad.ufsc.br/files/2014/04/%C3%81lgebra-Linear-I.pdf. Acesso em: 26 mar. 2019.
FILHO, Claudio dos Reis Lobo; PEREIRA, Clovemilton Menezes. Diagonalização e Decomposição LU de Matrizes. 2009. Trabalho de Conclusão de Curso (Curso de Especialização em Matemática) - Universidade Virtual do Estado do Maranhão, Caxias - MA, 2009. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/107664/MTM0027-M.pdf?sequence=1. Acesso em: 26 mar. 2019.
SISTEMAS Lineares - Fatoração LU. [S. l.: s. n.], 2017. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Oww8p1YiOJ4&t=642s. Acesso em: 25 mar. 2019.
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear com Aplicações. Porto Alegre - RS: Bookman, 2012. Disponível em: http://www.professores.uff.br/jcolombo/wp-content/uploads/sites/124/2018/08/Algebra_Linear_com_Aplica_10_-Edi_Anton_Rorres.pdf. Acesso em: 26 mar. 2019.
Cuiabá, 10-04-2019
37
REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO