AULA 9 - Esforço Normal

Prévia do material em texto

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
ESFORÇO NORMAL
Professor:
Felipe Quevedo
PORTO ALEGRE, 2021
1
1) Introdução
2) Princípio de Saint-Venant
3) Concentração das Tensões
4) Deslocamento devido ao esforço normal
5) Exemplos
6) Princípio da Superposição
7) Material Complementar
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
2
1) Introdução
2) Princípio de Saint-Venant
3) Concentração das Tensões
4) Deslocamento devido ao esforço normal
5) Exemplos
6) Princípio da Superposição
7) Material Complementar
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
3
INTRODUÇÃO
Na primeira parte da disciplina, vimos como interpretar
e determinar as solicitações internas em estruturas
reticuladas.
Partimos do equilíbrio externo e determinamos os
diversos diagramas de solicitações: normal, cortante,
fletores e torsores.
INTRODUÇÃO
Já na segunda parte desenvolvemos os conceitos de
tensão e deformação.
Também vimos a relação matemática entre as tensões e
deformações, em particular, quando o material se
comporta dentro do regime elástico (Lei de Hook).
INTRODUÇÃO
Também vimos as teorias de resistências que
relacionavam o estado de tensões (através das tensões
principais) com a falha do material.
Contudo, não vimos a relação entre as tensões e
solicitações (normal, cortante, fletor e torsor).
INTRODUÇÃO
Como tínhamos visto na primeira aula:
INTRODUÇÃO
 
Veremos que cada solicitação gerará tensões normais ou tangenciais nas seções:
INTRODUÇÃO
Esforço 
Normal
Corte 
Puro
Flexão e 
corte na 
flexão
Solicitações 
compostas
Torção
Portanto, veremos as tensões geradas pelos seguintes esforços:
INTRODUÇÃO
Esforço 
Normal
Corte 
Puro
Flexão e 
corte na 
flexão
Solicitações 
compostas
Torção
Portanto, veremos as tensões geradas pelos seguintes esforços:
INTRODUÇÃO
Como já tínhamos visto, o esforço normal é a componente da
resultante de forças que atua no baricentro da seção e que é normal
ao plano.
Pikey (2004). Formulas for Stress, Strain and Structural Matrices. p. 108
n
A
N dA= 
INTRODUÇÃO
Se as tensões são homogêneas na seção (suas magnitudes não
dependem da posição), tem-se:
n
n
A
n
A
N dA
dA
A



=
=
=


Pikey (2004). Formulas for Stress, Strain and Structural Matrices. p. 108
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 43
n
N
A
 =
INTRODUÇÃO
Tínhamos visto também a seguinte convenção:
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 44
Tração Compressão
INTRODUÇÃO
Hipóteses para aplicação da expressão:
• O eixo da barra inicialmente reto, permanece reto após a deformação;
• A seção transversal incialmente plana, permanece plana após a
deformação.
• A força normal está aplicada no centroide da seção;
• Material elástico, homogêneo e isotrópico.
Consequência:
• Deformações e tensões se tornam homogêneas na seção.
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 44
1) Introdução
2) Princípio de Saint-Venant
3) Concentração das Tensões
4) Deslocamento devido ao esforço normal
5) Exemplos
6) Princípio da Superposição
7) Material Complementar
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
15
PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Veja que na região de 
aplicação da carga as 
deformações não são 
homogêneas.
...e portanto, as tensões 
também não são 
homogêneas.
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 142
PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Contudo, logo mais abaixo,
aproximadamente a distância
da largura da membrana, as
deformações e tensões se
tornam homogêneas!
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 142
d
d
PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
https://mechanicalengineering.blog/saint-venants-principle/
Concentração de tensões próximo ao ponto de aplicação da carga
Concentração de tensões próximo a um furo
Concentração de tensões na mudança abrupta de seção
Veja que a partir de um
determinado ponto (afastado
das descontinuidades) as
tensões e deformações se
tornam homogêneas.
PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
“A tensão e deformação produzidas
em uma região afastada da aplicação
de um dado sistema de forças tem o
mesmo efeito, nessa região afastada,
que qualquer outro sistema de forças
estaticamente equivalente.”
https://pt.wikipedia.org/wiki/Adh%C3%A9mar_Jean_Claude_Barr%C3%A9_de_Saint-Venant
Saint-Venant (1797-1886)
PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
http://www.fem.unicamp.br/~assump/Projetos/2010/g5(1).pdf
Por exemplo:
Distribuição da tensão normal homogênea
PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Esse fenômeno ocorre, pois as forças
internas tendem a se distribuir e se
homogeneizar no interior do material.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Adh%C3%A9mar_Jean_Claude_Barr%C3%A9_de_Saint-Venant
Saint-Venant (1797-1886)
“A diferença entre os efeitos de dois
sistemas de forças diferentes mas
estaticamente equivalentes são muito
pequenos a uma dada distância da sua
região de aplicação.”
Ou de forma equivalente:
PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Região de tensões não
homogêneas
Em uma seção afastada da 
região de aplicação da carga 
as tensões se tornam 
homogêneas
Próximo ao vínculo as 
tensões não são mais 
homogêneas
Seção a-a Seção b-b Seção c-c
med
P
A
  ==
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 142-143
med
P
A
  =
1) Introdução
2) Princípio de Saint-Venant
3) Concentração das Tensões
4) Deslocamento devido ao esforço normal
5) Exemplos
6) Princípio da Superposição
7) Material Complementar
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
23
CONCENTRAÇÃO DAS TENSÕES
A expressão da tensão normal média é válida para toda a peça, exceto
para regiões muito próximas da aplicação da carga, perto dos vínculos ou
ainda próximas as mudanças abruptas da seção transversal da peça.
Nessas regiões ocorre o que chamamos de concentração das tensões. E
possuem um tratamento diferenciado. Geralmente se utiliza um fator de
concentração das tensões.
max
med
K


=
max

med

Configuração de referência
Configuração deformada Tensões médias
Atual distribuição das 
tensões
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 180
...esse fator relaciona as tensões de pico com a tensão média:
max med
K =
Ou ainda,
CONCENTRAÇÃO DAS TENSÕES
Nesse aspecto define-se a
trajetória das tensões como
sendo a linha paralela que
acompanha a direção das
tensões principais.
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 129
O princípio por trás do fator
de concentração está no fato
de que as descontinuidades
interrompem a trajetória das
tensões desviando as tensões
principais.
CONCENTRAÇÃO DAS TENSÕES
O fator de concentração pode ser obtido da solução (analítica ou
numérica) considerando a teoria da elasticidade, através de ensaios
medindo as deformações e relacionando com as tensões ou ainda com
outras técnicas como a fotoelasticidade.
Contudo, para casos simples, os livros de resistência dos materiais
possuem ábacos para determinar o coeficiente de concentração de
tensão. Há livros com diversas tabelas dedicadas ao tema.
CONCENTRAÇÃO DAS TENSÕES
https://cafe.mst.edu/
CONCENTRAÇÃO DAS TENSÕES
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 182
CONCENTRAÇÃO DAS TENSÕES
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 131
CONCENTRAÇÃO DAS TENSÕES
Beer - 2008 - Mecanica dos Materiais. 5ed, p. 126
CONCENTRAÇÃO DAS TENSÕES
Pilkey - 2004 - Formulas for Stress, Strain, and Structural Matrices, p. 299
CONCENTRAÇÃO DAS TENSÕES
EXEMPLO 1
A parte de uma máquina com 20 mm de espessura é feita de bronze
C86100. Determine a carga máxima admissível P com um fator de
segurança de 2,5.
27 mm diâmetro do furo
15 mm raio do fillet
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 133
EXEMPLO 1
Coletando a tensão de escoamento na tabela do apêndice D tem-se:
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 826
331
132, 4MPa
2,5
adm
Y
s

 = = =EXEMPLO 1
Para o Fillet:
15 mm
0, 25
60 mm
r
h
= =
90 mm
1,5
60 mm
w
h
= =
1,6K =
adm max med
K  ==
d
adm
a m
P
ht
K =
(132, 4N/mm²)(60 mm)(20 mm)
99,3 kN
1,6
a m
adm
dP t
K
h

= = =
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 182
EXEMPLO 1
Para o furo:
2 27 mm
0,3
90 mm
r
w
= = 2,3K =
adm max med
K  ==
( 2 )
adm
P
w r t
K
−
=
(132, 4N/mm²)(90 mm 27 mm)(20 mm)
72,5 kN
2,3
adm
P
−
= =
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 182
EXEMPLO 1
Dessa forma tem-se:
72,5 kN
adm
P =
99,3 kN
adm
P =Pelo Fillet:
Pelo Furo:
Adota-se como carga admissível a menor entre as duas: 72,5 kN
1) Introdução
2) Princípio de Saint-Venant
3) Concentração das Tensões
4) Deslocamento devido ao esforço normal
5) Exemplos
6) Princípio da Superposição
7) Material Complementar
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
38
DESLOCAMENTO DEVIDO AO ESFORÇO NORMAL
Imagine a seguinte barra com comprimento L, seção variável A(x), esforço
normal variável N(x) e módulo de elasticidade E(x) variável ao longo do
comprimento...
...queremos saber qual a variação do comprimento 𝛿.
( )
d
x
dx

 =
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 143
Pela lei de Hook:
( )
( ) ( ) ( )
( )
N x
x E x x
A x
 = =
( )
( )
( )
N x d
E x
A x dx

=
( )
( ) ( )
N x
d dx
A x E x
 =
0
( )
( ) ( )
L N x
dx
A x E x
 = 
Fazendo a integral ao longo do comprimento tem-se:
Essa equação permite obter a
variação do comprimento de uma
peça reticulada sobre um esforço
normal.
DESLOCAMENTO DEVIDO AO ESFORÇO NORMAL
Se a peça possui seção constante, esforço normal constante, módulo de
elasticidade constante, tem-se:
0
( )
( ) ( )
L N x NL
dx
A x E x AE
 = =
E se for uma peça composta por n descontinuidades, tem-se:
1
n
i
i
 
=
=
DESLOCAMENTO DEVIDO AO ESFORÇO NORMAL
EXEMPLO 2
Uma barra, engastada-livre, de seção constante de aço A-36 tem um
diâmetro de 50 mm e está sujeita ao carregamento mostrado abaixo.
Determine o deslocamento em D e o deslocamento do ponto B relativo ao
ponto C.
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 147
EXEMPLO 3
Uma viga rígida AB está sobre duas
colunas. A coluna AC é feita de aço
( 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 GPa) e tem um
diâmetro de 20 mm e a coluna BD
é feita de alumínio (𝐸𝑎𝑙 = 70 GPa)
e tem um diâmetro de 40 mm.
Determine o deslocamento vertical
do ponto F. Despreze efeitos de
flambagem.
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 149
EXEMPLO 4
Um elemento é feito de um material
com peso específico 𝛾 = 6 kN/m³ e
módulo de elasticidade 𝐸 = 90 Gpa.
Se esse elemento tiver a forma de um
cone como mostrado na figura ao
lado, determine até que distância sua
extremidade se deslocará sob a força
da gravidade, quando suspenso na
posição vertical.
Hibbeler (2018). Mechanics of Materials in SI Units. 10ed. p. 150
EXEMPLO 5
O elemento axial composto consiste de três seguimentos: (1) barra de
alumínio (𝐸 = 70 Gpa) com 20 mm de diâmetro, (2) barra de alumínio
(𝐸 = 70 Gpa) com 24 mm de diâmetro, (3) barra de aço (𝐸 = 200 Gpa)
com 16 mm de diâmetro. Determine os deslocamentos do ponto B, C e
D em relação ao ponto A.
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 88
1) Introdução
2) Princípio de Saint-Venant
3) Concentração das Tensões
4) Deslocamento devido ao esforço normal
5) Exemplos
6) Princípio da Superposição
7) Material Complementar
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
46
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
É um princípio utilizado para determinar, tensão
deformação ou deslocamento em um elemento quando
ele está sujeito a um carregamento complicado.
“O efeito de um sistema de forças qualquer pode ser
determinado pela soma algébrica do efeito de cada
força em separado.”
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
LINEARIDADE 
FÍSICA
LINEARIDADE 
GEOMÉTRICA
- Relação linear entre carga e
deslocamento;
- Ou de forma equivalente,
linearidade entre tensão e
deformação.
- Pequenos deslocamentos;
- Ou de forma equivalente,
geometria não se altera
significativamente.
O princípio é válido quando:
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
Algumas não-linearidades:
Grandes 
deslocamentos
Comportamento 
plástico
Fadiga e danos
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
Grandes
deformações
Fluência e 
retração
Envelhecimento
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
A maioria das equações envolvendo carga, tensão,
deformação e deslocamento que serão desenvolvidas
estarão dentro de relações lineares e, portanto, dentro
do princípio da superposição.
Perceba também que a expressão deduzida é de fato uma relação linear
entre os deslocamentos e esforços.
0
( )
( ) ( )
L N x
dx
A x E x
 = 
E pode ser usado o princípio da superposição.
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
1) Introdução
2) Princípio de Saint-Venant
3) Concentração das Tensões
4) Deslocamento devido ao esforço normal
5) Exemplos
6) Princípio da Superposição
7) Material Complementar
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
53
MATERIAL PARA COMPLEMENTAR O ESTUDO DESSA AULA
Princípio de Saint Venant e deformações (Me Salva):
https://www.youtube.com/watch?v=4jjHM4voZ-g
Princípio de Saint Venant (Calvin Hans):
https://www.youtube.com/watch?v=_HDPddhaZuM
Princípio de Saint Venant com esponjas (Lluís Puigdomènech)
https://www.youtube.com/watch?v=Qs1cyL0Lfqo
Trajetória das tensões com Photoelasticidade (Dr Burns)
https://www.youtube.com/watch?v=5mvATvu5WIM
Concentração de tensões com Photoelasticidade (Elliott Slamovich)
https://www.youtube.com/watch?v=vDZ5yISiADM
Ensaio com photoelasticidade (Almost There)
https://www.youtube.com/watch?v=kWJjSyoCJ3s
https://www.youtube.com/watch?v=4jjHM4voZ-g
https://www.youtube.com/watch?v=_HDPddhaZuM
https://www.youtube.com/watch?v=Qs1cyL0Lfqo
https://www.youtube.com/watch?v=5mvATvu5WIM
https://www.youtube.com/watch?v=vDZ5yISiADM
https://www.youtube.com/watch?v=kWJjSyoCJ3s
MATERIAL PARA COMPLEMENTAR O ESTUDO DESSA AULA
Photoelasticity (METU AE410)
https://www.youtube.com/watch?v=1rZRdT0UvU0
Fotoelasticidade (Manual do Mundo)
https://www.youtube.com/watch?v=-1FCLNsD8s4
Concentração de tensões (Introductory Engineering Mechanics)
https://www.youtube.com/watch?v=6rAoSlUS-Zk
Exemplo resolvido de concentração de tensões (Less Boring Lectures)
https://www.youtube.com/watch?v=eUllaQGwoCU
Determinação do fator de concentração (TU Delft Online Learning)
https://www.youtube.com/watch?v=7xjKYLFa3Vk
https://www.youtube.com/watch?v=1rZRdT0UvU0
https://www.youtube.com/watch?v=-1FCLNsD8s4
https://www.youtube.com/watch?v=6rAoSlUS-Zk
https://www.youtube.com/watch?v=eUllaQGwoCU
https://www.youtube.com/watch?v=7xjKYLFa3Vk
1) Introdução
2) Princípio de Saint-Venant
3) Concentração das Tensões
4) Deslocamento devido ao esforço normal
5) Exemplos
6) Princípio da Superposição
7) Material Complementar
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
56
EXERCÍCIOS
Philpot - 2017 - Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4.ed
Example 5.1, Exemple 5.2 (p. 88-92)
P5.1, P5.2, P5.3, P5.4, P5.5, P5.6, P5.7, P5.8, P5.9, P5.10, P5.11, P5.12, P5.13, P5.14, P5.15 (p. 92-95)
Example 5.9 (p. 133)
Hibbeler - 2017 - Mechanics of Materials in SI Units - 10th Ed
Example 1.5, Example 1.6, Example 1.7 (p. 46-48)
F1-7, F1-8, F1-9, F1-10, F1-11, F1-12 (p. 57)
1.32, 1.39, 1.40, 1.42, 1.46, 1.49, 1.50, 1.55, 1.58, 1.62, 1.67, 1.68, (p. 58-63)
Example 4.1, Example 4.2, Example 4.3, Example 4.4 (p. 147-151)
P4-1, P4-2, P4-3, P4-4, P4-5 (p. 151)
4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6, 4-7, 4-8, 4-9, 4-10, 4-11, 4-12, 4-13, 4-14, 4-15, 4-16, 4-17, 4-18, 4-19, 4-20, 4-21, 4-22, 4-23, 4-24, 
4-25, 4-26, 4-27, 4-28, 4-29, 4-30 (p. 153-157)
Example 4.13 (parte a) (p. 186)
P4-87, P4-88, P4-89, P4-90, P4-91, P4-92, P4-93, P4-94, P4-95 (p. 190-191)
EXERCÍCIOS
Masuero - Apostila - Introducao a Mecanica Estrutural
Exemplo 2 (p. 166), Exemplo 3 (p. 167), Exemplo 4 (p. 168) 
Beer - 2008 - Mecanica dos Materiais. 5ed
Exemplo 2.1 (p.82)
2.1, 2.2,2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 2.17, 2.18, 2.19, 2.20, 2.21, 2.22, 
2.23, 2.24, 2.26, 2.27 (p. 85-89)
Exemplo 2.12 (p. 128)
2.93, 2.94, 2.95, 2.96, 2.97, 2.98, 2.99, 2.100 (p. 136-137) 
Sample Problem 2.1, 2.2, 2.3 (p .38-39)
2.4, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.12, 2.14, 2.16, 2.20, 2.25, 2.26 (p. 42-46)
Sample Problem 12.8 (p. 456)
12.56, 12.58-12.61, 12.63, 12.65 (p. 457-458)
Pytel e Kiusalaas - 2012 - Mechanics of Materials. 2ed
EXERCÍCIOS
Popov - 1990 - Engineering Mechanics of Solids
1-12, 1-13, 1-15, 1-16 (p. 53) 
Example 2-2, 2-3, (p. 74-77) 
Example 2.8 (p. 90)
Hibbeler - 2010 - Resistencia dos Materiais. 7ed
Exemplo 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 (p. 89-90)
4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.11, 4.12, 4.15, 4.16, 4.17, 4.18, 4.19, 4.20, 4.21, 4.22, 4.23, 4.24, 4.25,
4.26, 4.27, 4.28, 4.29, 4.30 (p. 91-95)
Exemplo 4.13, 4.14 (p. 113)
4.87, 4.88, 4.89, 4.90, 4.91, 4.92, 4.93, 4.94, 4.95 (p. 118-119)
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