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TEORIA DAS ESTRUTURAS II 
ALUNA: Marcilene Pedreira 
 
ESTUDO DIRIGIDO 
 
 
Flexão e a torção exercida sobre uma barra e as consequências no dimensionamento das mesmas 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
Torção 
 
 Um conjugado que tende a torcer uma peça fazendo-a girar sobre o seu próprio eixo é 
denominado “momento de torção”, momento torçor ou torque. O caso mais comum de torção ocorre 
em eixos de transmissão. A torção simples, torção uniforme ou torção pura (não atuação simultânea 
com M e V), excetuando os eixos de transmissão, ocorre raramente na prática. Geralmente a torção 
ocorre combinada com momento fletor e força cortante, mesmo que esses esforços sejam causados 
apenas pelo peso próprio do elemento estrutural. De modo aproximado, os princípios de 
dimensionamento para a torção simples são aplicados às vigas com atuação simultânea de momento 
fletor e força cortante (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
Um caso comum de torção em vigas de Concreto Armado ocorre quando existe uma distância entre 
a linha de ação da carga e o eixo longitudinal da viga. Ocorre com lajes em balanço, engastadas em 
vigas de apoio, como por exemplo lajes (marquises) para proteção de porta de entrada de barracões, 
lojas, galpões, etc. O fato da laje em balanço não ter continuidade com outras lajes internas à 
construção faz com que a laje deva estar obrigatoriamente engastada na viga de apoio, de modo que 
a flexão na laje passa a ser torção na viga. A torção na viga torna-se flexão no pilar, devendo ser 
considerada no seu dimensionamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equilíbrio entre tensões e esforços internos 
 
A formulação geral do modelo matemático para o comportamento de barras também considera 
relações de equilíbrio, no nível da seção transversal da barra, que associam tensões com esforços 
internos efeitos axiais e de flexão provocam deformações normais na direção longitudinal da barra. 
Como consequência, aparecem tensões normais longitudinais σ x devidas a esses dois efeitos. 
 
 
Modelo matemático do comportamento axial e à flexão de barras 
 
 De maneira geral, as estruturas civis trabalham em regime elástico-linear. Por isso, a maioria 
das estruturas é analisada adotando-se essa aproximação. Mesmo para projetos com base em regime 
último, a determinação da distribuição de esforços internos, em geral, é feita a partir de uma análise 
linear, isto é, faz-se o dimensionamento local no estado último de resistência, com o uso de 
coeficientes de majoração de carga e de minoração de resistência, mas com esforços calculados 
através de uma análise global linear. Essa é uma aproximação razoável na maioria dos casos, mas o 
correto seria fazer uma análise global considerando o material em regime não linear (que é 
relativamente complexa quando comparada com uma análise linear). Na prática, uma análise não 
linear é executada por computadores de forma incremental, sendo que em cada passo do processo 
incremental é feita uma análise linear. O foco é a descrição do modelo matemático do comportamento 
de barras à flexão. A consideração em si de leis constitutivas não lineares é um tema bastante amplo. 
 Portanto, o material considerado apresenta comportamento elástico-linear. As tensões σx e as 
deformações εx que aparecem nesse caso são normais às seções transversais das barras (na direção 
do eixo local x, na direção axial da barra). A lei constitutiva que relaciona tensões normais e 
deformações normais é a conhecida lei de Hooke (Beer & Johnston 2006, Féodosiev 1977) e é dada 
por: σx = Eεx 
 
 
 
sendo: E → módulo de elasticidade (propriedade do material) [F/L2 ]; 
σ x → tensão normal na seção transversal da barra (direção longitudinal) [F/L2 ]; 
ε x → deformação normal na direção longitudinal da barra 
 
 
Relações entre deslocamentos e deformações em barras 
 
 
 O modelo estrutural tem como premissa uma condição de continuidade dos campos de 
deslocamentos e deformações no interior das barras. Além disso, esses dois campos têm que ser 
compatíveis entre si, isto é, os deslocamentos e deformações de uma barra devem estar associados. 
 Nos métodos de análise, a condição de continuidade no interior de uma barra é forçada 
automaticamente quando só se admitem deformações contínuas para a barra. Esta seção resume as 
hipóteses básicas do modelo estrutural que garantem continuidade e compatibilidade entre 
deformações e deslocamentos no interior de uma barra. O modelo estrutural adotado baseia-se na 
teoria de vigas de Navier para barras submetidas à flexão acrescida da consideração de efeitos axiais 
provocados por esforços normais à seção transversal da barra. Outra hipótese simplificadora adotada 
aqui é o desacoplamento dos efeitos axiais e transversais (flexão e cisalhamento). Isso significa que 
esses efeitos podem ser considerados em separado e superpostos, resultando nas mesmas respostas 
de quando os efeitos atuam em conjunto. Essa hipótese é consistente com a hipótese de pequenos 
deslocamentos, que também está sendo adotado. 
 
 
Devem ser levados em conta efeitos de deformação da barra, até certo nível de tensão aplicada, o 
material trabalha no regime elástico-linear, isto é, segue a lei de Hooke e a deformação linear 
específica é proporcional ao esforço aplicado. O valor máximo da tensão antes da ruptura é 
denominado resistência à ruptura do material. A resistência à ruptura do material é calculada 
dividindo-se a carga máxima que ele suporta, antes da ruptura, pela área da seção transversal inicial 
do corpo de prova. 
 
ELASTICIDADE 
 
Uma peça de aço sob efeito de tensões de tração ou de compressão sofre deformações, que podem ser 
elásticas ou plásticas. Tal comportamento se deve à natureza cristalina dos metais, pela presença de 
planos de escorregamento de menor resistência mecânica no interior do reticulado. Elasticidade de 
um material é a sua capacidade de voltar à forma original em ciclo de carregamento e 
descarregamento. A deformação elástica é reversível, ou seja, desaparece quando a tensão é removida. 
 
PLASTICIDADE 
 
Deformação plástica é a deformação permanente provocada por tensão igual ou superior à fp - 
resistência associada ao limite de proporcionalidade. É o resultado de um deslocamento permanente 
dos átomos que constituem o material, diferindo, portanto, da deformação elástica, em que os átomos 
mantêm as suas posições relativas. A deformação plástica altera a estrutura interna do metal, tornando 
mais difícil o escorregamento ulterior e aumentando a dureza do metal. 
 
DUCTILIDADE 
 
Ductilidade é a capacidade dos materiais de se deformar sem se romper. Pode ser medido por meio 
do alongamento ou da estricção, ou seja, a redução na área da seção transversal do corpo de prova. 
Quanto mais dúctil o aço, maior será a redução de área ou o alongamento antes da ruptura. A 
ductilidade tem grande importância nas estruturas metálicas, pois permite a redistribuição de tensões 
locais elevadas. 
 
TENSÕES RESIDUAIS 
 
As diferentes velocidades de resfriamento, após a laminação, conforme o grau de exposição, da chapa 
ou perfil laminado, levam ao aparecimento de tensões que permanecem nas peças, recebendo o nome 
de tensões residuais. Em chapas, por exemplo, as extremidades resfriam-se mais rapidamente que a 
região central, contraindose; quando a região central da chapa resfria-se, as extremidades, já 
solidificadas, impedem essa região de contrair-se livremente.