AULA 7 - Transformação das tensões

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
TRANSFORMAÇÃO DAS TENSÕES
Professor:
Felipe Quevedo
PORTO ALEGRE, 2021
1
1) Breve revisão de operações com matrizes
2) Tensão normal e tangencial em um plano qualquer
3) Transformação das tensões
4) Tensões principais e direções principais
5) Máxima tensão tangencial e seu plano de ação
6) Círculo de Mohr
7) Material Complementar para estudo dessa aula
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
2
1) Breve revisão de operações com matrizes
2) Tensão normal e tangencial em um plano qualquer
3) Transformação das tensões
4) Tensões principais e direções principais
5) Máxima tensão tangencial e seu plano de ação
6) Círculo de Mohr
7) Material Complementar para estudo dessa aula
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
3
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Para determinar uma tensão em um plano qualquer, representar as
tensões em outro sistema de coordenadas, ou ainda obter as tensões
máximas e mínimas, vamos precisar de alguns conceitos envolvendo
álgebra linear.
Portanto, revisaremos rapidamente os conceitos de:
• Matriz transposta
• Adição e subtração de matrizes
• Multiplicação de uma matriz por um escalar, vetor e outra matriz
• Determinante
OPERAÇÕES COM MATRIZES
OPERAÇÕES COM MATRIZES
OPERAÇÕES COM MATRIZES
OPERAÇÕES COM MATRIZES
OPERAÇÕES COM MATRIZES
OPERAÇÕES COM MATRIZES
OPERAÇÕES COM MATRIZES
1) Breve revisão de operações com matrizes
2) Tensão normal e tangencial em um plano qualquer
3) Transformação das tensões
4) Tensões principais e direções principais
5) Máxima tensão tangencial e seu plano de ação
6) Círculo de Mohr
7) Material Complementar para estudo dessa aula
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
12
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
Tínhamos visto que podíamos representar as tensões em um ponto no
interior do corpo através de um tensor de tensões. E esse tensor
representa as tensões em três planos ortogonais paralelos aos planos
formados pelos sistemas de eixos.
Mas e se quisermos as tensões em um outro plano, que possuí uma
orientação qualquer?
Para tanto, definiremos o conceito de vetor tensor!
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
x
y
z
Dessa forma, imagine um corpo genérico:
i j
k
Vamos marcar um 
ponto no seu interior
x
y
z
j y
yA
F
0
( )
0 0
0
lim
lim lim
lim
y
y y
y
A
y
A A
y
A
y
x
y
z
j
y
z
y
x
y
y
A
T
A A
A
F
FF
F



 →
 →  →
 →
 
 
   
    
= = =   
    
  
 


 



Nesse ponto, em um plano orientado pelo vetor unitário 𝑗 , tem-se 
uma força de contato ∆𝐹 que age sobre a área ∆𝐴𝑦.
i j
k
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 17-24
x
y
z
j y
yA
F
0
( )
0 0
0
lim
lim lim
lim
y
y y
y
A
y
A A
y
A
y
x
y
z
j
y
z
y
x
y
y
A
T
A A
A
F
FF
F



 →
 →  →
 →
 
 
   
    
= = =   
    
  
 


 



...definimos o vetor tensor que atua em um ponto no plano orientado 
por 𝑗 como:
i j
k
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 17-24
x
y
z
j y
yA
F
0
( )
0 0
0
lim
lim lim
lim
y
y y
y
A
y
A A
y
A
y
x
y
z
j
y
z
y
x
y
y
A
T
A A
A
F
FF
F



 →
 →  →
 →
 
 
   
    
= = =   
    
  
 


 



Veja que as componentes do vetor tensor são as tensões naquele ponto 
em um plano orientado por 𝑗.
i j
k
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 17-24
x
y
z
z
zA
F
0
( )
0 0
0
lim
lim lim
lim
z
z z
z
z
zx
zy
z
x
y
z
k
A
A
A
z
z
A
z
A
T
A A
A
F
FF
F



 →
 →  →
 →
 
 
   
   
= = =   
    
  



 



k
Se usarmos um outro plano, orientado pelo vetor unitário 𝑘 , teremos:
i j
k
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 17-24
x
y
z
xA
F
0
( )
0 0
0
lim
lim lim
lim
x
x x
x
A
x
x
xy
A A
x x
xz
A
x
i
x
y
z
A
T
A A
A
F
FF
F



 →
 →  →
 →
 
 
   
   
= = =   
    
  



 



i
x
...e se fosse o outro plano orientado pelo vetor unitário 𝑖:
i j
k
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 17-24
( )
x
i
xy
xz
T



 
 
=  
 
 
( )
( )
( )
i
x xy xz
j
yx yz
k
zx z
y
y z
T
T
T
  
   
  
   
   
= =   
   
  
( )
yx
y
yz
jT



 
 
=  
 
 
( )
zx
zy
z
kT



 
 
=  
 
 
Perceba que o tensor de tensões é composto pelos vetores tensores
que atuam em planos orientados pelos vetores unitários 𝑖, 𝑗 e 𝑘 do
sistema de eixos.
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
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( )
1 1 0 0
0 1 0 0
0 1 0 0
x xy xz x xy xz x
i
yx yz yx yz yx
zx zy zx z
y
zy
y
zxz
T i
      
       
      
    +  +    
      
=  =  =  +  +  =      
        +  +       
Podemos também obter o vetor tensor através do produto interno 
entre o tensor de tensões e os vetores unitários.
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 17-24
Podemos também obter o vetor tensor através do produto interno 
entre o tensor de tensões e os vetores unitários.
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
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( )
0 0 1 0
1 0 1 0
0 0 1 0
x xy xz x xy xz xy
j
yx yz yx yz y
zx zy zx z
y
zy
y
zyz
T j
      
       
      
      +  +  
      
=  =  =  +  +  =      
        +  +       
Podemos também obter o vetor tensor através do produto interno 
entre o tensor de tensões e os vetores unitários.
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 17-24
( )
0 0 0 1
0 0 0 1
1 0 0 1
x xy xz x xy xz xz
k
yx yz yx yz yz
zx zy zx z
y
zy
y
z z
T k
      
       
      
    +  +    
      
=  =  =  +  +  =      
        +  +       
...extrapolando essa ideia, se quisermos o vetor tensor em dado ponto 
no plano orientado por um vetor unitário 𝑛 qualquer temos:
x
y
z
( )nT
( )
( )
( )
( )
 
x xy xz
yx yz
zx zy
n
x xy
x
n
y
z
x y z
x y z
x
y
y
z
x
y
z
z x
n
yx z y
n
z zy y zx z
T
n
n n
n
n n n
n n n
n n
T
T
Tn
  
   
  
  
  
  
   
   
=  =   
     
   + +
  
=  + + =   
    + +  

 
 

n
i j
k
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 17-24
x
y
z
n
Note que o vetor tensor, não está necessariamente orientado na direção 𝑛 .
Mas ele tem uma componente nessa direção de magnitude 𝜎𝑛 e uma
componente perpendicular de magnitude 𝜏𝑛.
( )nT
nn
i j
k
( )nT n= 
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 17-24
x
y
z
n
( )nT
nn
i j
k
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
( )
n
n nT = 
Kim, Sankar e Bhavani(2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 17-24
...para determinar o valor e sentido da tensão normal basta
projetarmos o vetor tensor na direção normal:
( )nT n= 
A projeção é feita através do 
produto interno entre os dois 
vetores.
x
y
z
n
( )nT
nn
i j
k
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 17-24
Positivo significa que ambos os vetores tem
mesmo sentido, e portanto, a tensão
normal é de tração. Se tiverem sentidos
contrários, o produto dará valor negativo,
indicando que a tensão normal será
compressão.
O sentido do produto dará o sinal:
( )
n
n nT = 
( )nT n= 
Por fim, para determinar a tensão tangencial, pode ser feito um Pitágoras:
x
y
z
n
( )nT
nn
i j
k
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
( )
n
n nT = 
2 2
nn T = −
( ) 2 2 2n
x y zT T T T T= = + +
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 17-24
2 2
nn T = −
x
y
z
n
( )nT
nn
i j
k
TENSÃO NORMAL E TANGENCIAL EM UM PLANO QUALQUER
( )
n
n nT = 
2 2
nn T = −
( ) 2 2 2n
x y zT T T T T= = + +
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 17-24
2 2
nn T = −
Norma euclidiana
...e que a Tensão tangencial vem sem o sinal
...veja que para tanto usamos o conceito da norma de um vetor:
EXEMPLO 1
A força de superfície em um ponto é 𝑇(𝑛) = {3, 4, 5}𝑇 kN/m² sobre um
plano cujo vetor normal é paralelo ao eixo 𝑧. Calcule a tensão normal e
a tensão tangencial nesse ponto ao longo desse plano. Qual o ângulo
entre 𝑇 e 𝑛?
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 19
EXEMPLO 1
O problema não especifica onde está esse ponto, mas poderia ser algo
assim:
EXEMPLO 1
O problema, não especifica onde está esse ponto, mas poderia ser algo
assim:
EXEMPLO 1
O problema, não especifica onde está esse ponto, mas poderia ser algo
assim:
( )
3 0
4 0 3 0 4 0 5 1 5 kN/m²
5 1
n
n nT
   
   
=  =  =  +  +  =   
   
   
2 2 250 5 5 kN/m²nn T = − = − =
( ) 2 2 23 4 5 50 kN/m²nT T= = + + =
EXEMPLO 1
A tensão normal no ponto em um plano perpendicular ao eixo z é dada por:
Para a tensão tangencial tem-se:
( ) c )os(n
n n TT =  =
r
5
4a 5
5
arc
0
cos ccos on
T


  
= =   
  
=

EXEMPLO 1
O ângulo entre o vetor tensor e o plano pode ser obtido através do escalar resultante do
produto interno:
O estado de tensões de um ponto no sistema 𝑥𝑦𝑧 é dado pelo tensor
de tensões abaixo. Determine a tensão normal e a tensão tangencial
em uma superfície que passa pelo ponto e é paralela ao plano dado
pela equação 4𝑥 − 4𝑦 + 8𝑧 = 16.
EXEMPLO 2
2
7 7
7 a
3
4 0 MP
7 0

− 
 
=
 
 − 
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 22
Se representarmos o tensor de tensões no ponto material, seria assim:
EXEMPLO 2
2
7 7
7 a
3
4 0 MP
7 0

− 
 
=
 
 − 
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 22
EXEMPLO 2
O problema não especifica onde está esse ponto, mas poderia ser algo
assim:
EXEMPLO 2
...queremos saber a tensão normal e tangencial no plano que passa
pelo ponto paralelo ao plano dado pela equação 4𝑥 − 4𝑦 + 8𝑧 = 16:
EXEMPLO 2
4
4 cm
2
d
 
 
= − 
 
 
4 4 8 16x y z− + = →
...o vetor perpendicular ao plano da equação é obtido através dos interceptos do
plano nos eixos:
...dividindo esse vetor por sua norma tem-se o vetor
unitário:
4 / 6 2 / 3
4 / 6 2 / 3
2 / 6 1/ 3
d
n
d
   
   
= = − = −   
   
   
2 2 24 ( 4) 2 6 cmd = + − + =
EXEMPLO 2
Agora, calculando o vetor tensor, nesse ponto, no plano com normal 𝑛:
Com a projeção do vetor tensor sobre o vetor unitário 𝑛, a tensão normal nesse plano
será:
( )
2 / 3 2 / 3 2 / 3 1
a/
7 7 3
7
3 7 7 5
4 0 7 4 2
0
/ 3
2 / 3 2 3 2 / 3 1/ 3
1/ 3 2 / 3 2 / 3 1/ 30
0 MP
7 22 7 4
nT n
−  − +       
      
=  =  =  − + =      
      −  − +
−
      
−
− 
  −
 
 −
( )
5 2 / 3
2 2 1
2 2 / 3 5 2 4 6 MPa
3 3 3
4 1/ 3
n
n nT
−   
   
=  =  − = −  −  −  = −   
   −   
EXEMPLO 2
Por fim, calculando a tensão tangencial:
( ) 2 2 2( 5) (2) ( 4) 45 MPanT T= = − + + − =
2 2 2= 45 = a( 3 M) P6n nT  −= − −
EXEMPLO 3
Seja uma barra de seção transversal A = 2 ∙ 104m² com uma força axial
de 100N. Determine a magnitude da tensão normal e tangencial
aplicada em uma seção rotacionada ao longo do eixo z que faz um
ângulo 𝜃 com o eixo x.
x
x
y
y
( )nT
n
FF
F
A

Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 18
EXEMPLO 3
A barra está em um estado uniaxial e homogêneo de tensões, e o tensor de tensões
orientado no sistema xyz é dado por:
O vetor normal unitário que orienta o plano é dado por:
/ 0,005
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
F A

   
   
= =
   
      
)
)
cos(
sin(
0
n


 
 
=  
 
 
x
y
( )nT
n
F 
EXEMPLO 3
Portanto, o vetor tensor pode ser calculado por:
x
y
( )nT
n
F 
( )
0,005 0 0 cos( ) 0,005cos( )
0 0 0 sin( ) 0
0 0 0 0 0
nT n
 

     
    
=  =  =    
         
EXEMPLO 3
Projetando o vetor tensor sobre 𝑛 , a tensão normal ao plano orientado por 𝜃 passa a
ser:
x
y
( )nT
n
F 
( ) 2
0,005cos( ) cos( )
0 sin( ) 0,005cos( MPa)
0 0
n
n nT
 
 
   
   
=  =  =   
   
   
EXEMPLO 3
x
y
( )nT
n
F 
( ) 2
0,005cos( ) cos( )
0 sin( ) 0,005cos( MPa)
0 0
n
n nT
 
 
   
   
=  =  =   
   
   
Perceba que a tensão máxima ocorre logo quando 𝜃 = 0 e a mínima quando 𝜃 = 90°.
Projetando o vetor tensor sobre 𝑛 , a tensão normal ao plano orientado por 𝜃 passa a
ser:
EXEMPLO 3
Por fim, a tensão tangencial:
x
y
( )nT
n
F 
( ) 2 2 2(0,005cos( )) (0) (0) 0,005cos( MPa)nT T  = = + + =
2 2 2=0,005c 1o )s os( )( cn nT   −= −
Se fossemos plotar a função, um valor máximo é atingido logo quando 𝜃 = 45°. Como
veremos adiante, esse valor não é por acaso. A tensão tangencial máxima sempre ocorre
na bissetriz entre os ângulos de tensão normal máxima e mínima.
1) Breve revisão de operações com matrizes
2) Tensão normal e tangencial em um plano qualquer
3) Transformação das tensões
4) Tensões principais e direções principais
5) Máxima tensão tangencial e seu plano de ação
6) Círculo de Mohr
7) Material Complementar para estudo dessa aula
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
49
É possível também obter as componentes do tensor de tensões em um 
sistema de eixos diferentes do xyz. Por exemplo, em 2D:
TRANSFORMAÇÃO DAS TENSÕES
Ou ainda, em 3D:
TRANSFORMAÇÃO DAS TENSÕES
TRANSFORMAÇÃO DAS TENSÕES
Para tanto é feito uma rotação no tensor de tensões para um sistema 
x’y’z’ usando uma matriz de rotação. A expressão fica:
( ' ' ') ( )x y z T xyz
R R = R r r r  = 
O sobrescrito T representa a
operação de transposição.
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 27-29
A matriz de rotação é obtida 
por uma decomposição polar.
TRANSFORMAÇÃO DAS TENSÕES
x
y
zz'
x'


x
y
z
y'
z'

x
y
z
x'
y'
1 0 0
0 cos( s
)s
) )in(
0 in( cos( )
r  
 
 
 
=
 
 − 
cos( 0 sin(
)
0 1 0
si
)
n( 0 cos
)
( )
r
 
 
 
 
=
 
 − 
0
) ) 0cos( sin(
sin( cos(
0
) )
0 1
r
 
 
 
 
= −
 
  
A matriz de rotação pode ser determinada por uma combinação de rotações em cada 
eixo:

TRANSFORMAÇÃO DAS TENSÕES
Perceba que quando se gira em torno de apenas um eixo as tensões que 
envolvem a direção desse eixo não mudam. Por exemplo, uma rotação no 
eixo z:
TRANSFORMAÇÃO DAS TENSÕES..mas as tensões que envolvem as outras direções, podem alterar:
O estado de tensões de um ponto no sistema 𝑥𝑦𝑧 de coordenadas é
dado pelo tensor de tensões abaixo. Determine o tensor de tensões
relativo ao sistema x’y’z’ obtido ao girar o sistema de coordenadas xyz
de 45° em torno do eixo z.
EXEMPLO 4
M2 a0
1 0
1 P
0 0 2
2

 
 
=
 
  
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 27
EXEMPLO 4
O problema, não especifica onde se encontra o ponto, mas uma
interpretação poderia ser dada assim:
EXEMPLO 4
o o
o o
45 ) 45 ) 0
04
cos( si
)
n(
sin( co 4s(
0
5
0
5
1
)r
 
 
= − 
 
 
1 0 0
0 1 0 1
0 0 1
r r 
 
 
= = =
 
  
o o
o o
45 ) 45
5
cos( si
(
) 0
4 )
n(
sin( cos 05
1
4
0
)
0
R r r r r   
 
 
  = = −

 
= 

Para a matriz de rotação tem-se:
x
y
z
x'
y' 
Como não há rotação em torno
do eixo x e y suas matrizes de
rotação acabam se tornando uma
matriz identidade.
EXEMPLO 4
o o
o o
45 ) 45 ) 0
04
cos( si
)
n(
sin( co 4s(
0
5
0
5
1
)r
 
 
= − 
 
 
1 0 0
0 1 0 1
0 0 1
r r 
 
 
= = =
 
  
o o
o o
45 ) 45
5
cos( si
(
) 0
4 )
n(
sin( cos 05
1
4
0
)
0
R r r r r   
 
 
  = = −

 
= 

Para a matriz de rotação tem-se:
x
y
z
x'
y' 
EXEMPLO 4
o o
o o
45 ) 45 ) 0
04
cos( si
)
n(
sin( co 4s(
0
5
0
5
1
)r
 
 
= − 
 
 
1 0 0
0 1 0 1
0 0 1
r r 
 
 
= = =
 
  
o o
o o
45 ) 45
5
cos( si
(
) 0
4 )
n(
sin( cos 05
1
4
0
)
0
R r r r r   
 
 
  = = −

 
= 

Para a matriz de rotação tem-se:
x
y
z
x'
y' 
Portanto:
EXEMPLO 4
( )
cos( sin( 2 1 0 cos( sin(
sin( cos( 0 1 sin( cos( 0
0 0 1 0 0 0 1
3 0 0
 = 0 MPa
45 ) 45 ) 0 45 ) 45 ) 0
45 ) 45 ) 2 0 45 ) 45 )
0 2
1 0
00 2
o o o o
x y z o o o o
  
   −  
    
= −    
        
 
−
 
 
  
( ' ' ') ( )x y z T xyz
R R =
Interpretando o resultado:
EXEMPLO 4
M2 a0
1 0
1 P
0 0 2
2

 
 
=
 
  
( )
3 0 0
0 MPa
0
1 0
0 2
x y z
  
 
 
=
 
 
−

EXEMPLO 4
M2 a0
1 0
1 P
0 0 2
2

 
 
=
 
  
( )
3 0 0
0 MPa
0
1 0
0 2
x y z
  
 
 
=
 
 
−

Perceba que por se tratar de uma
rotação apenas no entorno do eixo z, as
componentes que envolvem essa
direção não alteraram.
1) Breve revisão de operações com matrizes
2) Tensão normal e tangencial em um plano qualquer
3) Transformação das tensões
4) Tensões principais e direções principais
5) Máxima tensão tangencial e seu plano de ação
6) Círculo de Mohr
7) Material Complementar para estudo dessa aula
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
64
Conforme vimos, as componentes do tensor de tensões variam
conforme a orientação dos eixos.
Além disso, a tensão normal e tangencial também variam conforme a
orientação do plano em que se escolhe.
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
Pergunta-se então: há uma tensão normal e tangencial máximas? E
em que plano elas ocorrem?
Como veremos, na próxima aula, essa pergunta não é apenas
acadêmica, mas também útil para prever a falha do material naquele
ponto.
Pode ser mostrado que em qualquer ponto de um sólido há pelo
menos três planos mutuamente ortogonais nos quais as tensões
normais atingem valores extremos (máximo ou mínimo).
Em todos esses planos a tensão tangencial é nula! Ou seja, o vetor
tensor 𝑇(𝑛) é paralelo ao vetor normal 𝑛 do plano considerado!
Desses três planos ortogonais, um corresponde ao valor máximo, e
outro, ao valor mínimo. Por fim, o terceiro plano, corresponde ao valor
intermediário.
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
Essas tensões normais especiais são chamadas de tensões principais 
naquele ponto...
Os planos em que atuam são chamados de planos principais,
...e vetores unitários que orientam esses planos apontam no que 
chamamos de direções principais.
...e são ordenadas da maior para a menor: 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ 𝜎3
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
As tensões principais são invariantes do tensor de tensões. Ou seja, 
independe do sistema de coordenadas que estamos adotando.
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
...tem-se que nos planos principais, o vetor tensor é paralelo as 
tensões normais (tensões tangenciais nulas), portanto:
( )n
nT n n =  =
Dessa forma, a solução para 𝜎𝑛 recai em um problema de álgebra 
linear de autovalores e autovetores da seguinte forma:
A v v =
Para deduzir,
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
Reorganizando a equação tem-se:
0
n
n
n n
n n
 
 
 =
 −  =
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 24-25
( )1 0n n −  =
Colocando em evidência o 𝑛 tem-se:
( )1 0n n −  =
Nessa parte é conveniente trocar a notação de 𝜎𝑛 para 𝜎𝑝, pois além 
de ser uma tensão normal, é também uma tensão principal. De forma 
análoga, é conveniente trocar a notação de 𝑛 por 𝑛𝑝 visto que além de 
ser um vetor unitário normal, é também um vetor que aponta na 
direção principal. Dessa forma:
( )1 0p pn −  =
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 24-25
Temos então a seguinte equação:
0
0
0
p
p
pxx p xy xz
yx p yz
zx zy p
y y
z
z
n
n
n
   
   
   
  −  
      
−  =    
    −      
Essa equação é a forma compacta do seguinte sistema de equações:
( )1 0p pn −  =
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 24-25
Perceba que 𝑛𝑝 = 0 é uma solução. Porém, é a solução trivial e não
tem significado físico, uma vez que o vetor 𝑛𝑝 é unitário. Contudo, o
sistema terá solução diferente da trivial se o determinante da matriz
de coeficientes for nulo.
0
x p xy xz
yx p y
y
y
z
z
zx z p
   
   
   
−
− =
−
0
0
0
p
p
pxx p xy xz
yx p yz
zx zy p
y y
z
z
n
n
n
   
   
   
  −  
      
−  =    
    −      
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 24-25
Abrindo o determinante da equação anterior tem-se a seguinte 
equação cúbica:
3 2
1 2 3 0p p p II I   −− =+
1 x y zI   = + +
2 2 2
2 z xx y y z xy yz zxI         = + + − − −
2
3
2 22x y z x yyzy zx x z zx xyy zI            = + −− −
em que:
Invariantes do 
tensor de tensões
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 19-20
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 534
Independem do 
sistema de 
coordenadas!
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
Invariantes do 
tensor de tensões
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 24-25
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 534
Abrindo o determinante da equação anterior tem-se a seguinte 
equação cúbica:
3 2
1 2 3 0p p p II I   −− =+
em que:
1 x y zI   = + +
2 2 2
2 z xx y y z xy yz zxI         = + + − − −
2
3
2 22x y z x yyzy zx x z zx xyy zI            = + −− −
O fato da matriz de coeficientes desse sistema ser simétrica, faz com
que a equação cúbica tenha três raízes reais. E essas raízes são as
tensões principais.
Existem métodos numéricos para resolver o problema de autovalores
associados a qualquer sistema. Ou ainda, para resolver as raízes da
equação cúbica característica. Contudo, como se tem uma matriz
simétrica, é possível utilizar uma forma analítica para determinar as
tensões principais. Segue o passo-a-passo:
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
...primeiramente se calcula as seguintes constantes:
1 2 3
3
1
1 2
3 27Q I I I I= − −
2
2
1
1
3
3
R I I= −
1
3
s
2
co
Q
R
 −
 
− =
 
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 534
...e então calcula-se as raízes com as seguintes expressões:
1
1
1
2 cos
3
2 cos
33
2 cos
3
3
2
3
4
3 3
a
b
c
I
R
I
R
I
R


 

 

  
= +  
  
  
= +  
  
  
+
= +  
 
+

E por fim, se ordena as 
tensões da maior para a 
menor.
1 2 3   
 em radianos!Nessas expressões, 
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 534
As direções principais são obtidas resolvendo o sistema para 𝑛𝑝 para cada uma 
das tensões 𝜎𝑝, ou seja, com 𝑝 = 1, 2 𝑜𝑢 3:
0
0
0
p
p
pxx p xy xz
yx p yz
zx zy p
y y
z
z
n
n
n
   
   
   
  −  
      
−  =    
    −      
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 534
A solução é obtida pela seguinte sequência de fórmulas com 𝑝 = 1, 2 𝑜𝑢 3 :
2 2 2
1
p p
p
p
k
a b c
=
+ +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y p yz
p
yz z p
xy yz
p
xz z p
xy y p
p
xz yz
a
b
c
  
  
 
  
  
 
−
=
−
= −
−
−
=
p p
p p
p
p
p
a k
n b k
c k
 
 
=  
 
 
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 535
Em um dado ponto de um corpo as tensões são dadas pelo tensor de
tensões abaixo. Determine (a) os invariantes do tensor de tensões, (b)
as tensões principais, (c) a direção da máxima tensão de tração e (d) o
valor absoluto da máxima tensão tangencial.
EXEMPLO 5
30 20
20 6
75 35 15
35 MPa
15 0

 
 
=
 
  −
− −
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 539
EXEMPLO 5
1 75 30 60 105 MPax y zI   = + + = − + =
2 2 2
2
2 2 2
2
 75 ( 30) ( 30) 60 60 75 (35) (( 20)
 1400
)
 MPa
15
x y y z xy yz zz xxI         = + + −
−
− −
+ −=  −  + − −
= −
 −
2 2 2
2 2 2
3
3
 75 ( 30) 60 35 ( 20) 15 75 ( 20) ( 30) (15) 60 (35)
2
2
 252.750 MPa
x y z xy zx x yz zx xyz y z yI            = + − −
 −    −   − −+  −
−
−
= −
= −
30 20
20 6
75 35 15
35 MPa
15 0

 
 
=
 
  −
− −
(a) os invariantes do tensor de tensões
EXEMPLO 5
( )1
3 5 3
1 3
3
2
1 2 1 2
1400 ( 252750) 105 ,1 1 18 MPa
3 27 3
10
27
05Q I I I I= − − = − − − = − 
2
2
1
21 13 105 3( 1400) 41,1299 MPa
3 3
R I I= − = − − =
5
1 1
3 3
d
11,18
2,5829 ra
2 2(41,129 )
0
cos cos
9
Q
R
 − −
  
− = − =  
 

=
 
1 105 MPaI =
2
2 1400 MPaI = −
3
3 252750 MPaI = −
(b) as tensões principais
EXEMPLO 5
5 31 P01,18 M aQ = 41,1299 MPaR = 2,5829 rad =
1 105 MPaI =
1
1
1
2,5829 105
41,1299 cos 88,60 MPa
3 3 3
2 2,5829 2 105
41,1299 cos 45,84 
2 cos 2
3
2 cos 2
3
2 cos
,
2
MPa
3 3 3 3 3
4 2
41,1299 cos
3 3 3
a
b
c
I
R
I
R
I
R


  

 

  
 + = 
  
= + =  
  


 
= + =  
  

  
= 
 
  
  
+ + + =

− 
+ = 

  
+ 

5829 4 105
62,23 MPa
3 3 3
  
+ + =  
  
EXEMPLO 5
1
3
2
88,60
45,84
62,23
a
b
c
 
 
 
= =
= − =
= =
...dessa forma,
1 2 3   
EXEMPLO 5
2 2 2
1 1 1
1
1
0,0003k
a b c
= =
+ +1
1
1
1
1
1
1
 
 
 
 2993,1818
 701,2905
 1079,1245
 
y yz
yz z
xy yz
xz z
xy y
xz yz
a
b
c
  
  
 
  
  
 
−
= =
−
= − =
−
−
= =
1 1
1 1
1 1
3
0,9187
0,2152
0,3312
a k
n b k
c k
   
   
= =   
   
   
(c) a direção da maior tensão de tração
1) Breve revisão de operações com matrizes
2) Tensão normal e tangencial em um plano qualquer
3) Transformação das tensões
4) Tensões principais e direções principais
5) Máxima tensão tangencial e seu plano de ação
6) Círculo de Mohr
7) Material Complementar para estudo dessa aula
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
87
A máxima tensão tangencial será dada pela média entre as tensões
principal máxima e mínima:
MÁXIMA TENSÃO TANGENCIAL E SEU PLANO DE AÇÃO
Essa tensão tangencial age no plano que divide o ângulo entre as
duas tensões principais máxima e mínima.
max
2
min
max
 

−
=
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 537
MÁXIMA TENSÃO TANGENCIAL E SEU PLANO DE AÇÃO
EXEMPLO 5
(d) valor absoluto da máxima tensão tangencial
max mi
m
n 1 3
ax 67,229 MPa
2 2
   

− −
= = =
1) Breve revisão de operações com matrizes
2) Tensão normal e tangencial em um plano qualquer
3) Transformação das tensões
4) Tensões principais e direções principais
5) Máxima tensão tangencial e seu plano de ação
6) Círculo de Mohr
7) Material Complementar para estudo dessa aula
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
91
O problema da transformação das
tensões resolvido de forma analítica
pode ser também interpretado
através de um método gráfico,
denominado método do Círculo de
Mohr, em homenagem ao engenheiro
Christian Otto Mohr (1835-1918),
que em 1882 aperfeiçoou um sistema
de representação das tensões
proposto anteriormente por outro
engenheiro chamado Karl Culmann
(1721-1881).
CÍRCULO DE MOHR
Culmann Mohr
O Círculo de Mohr é obtido a partir da determinação das tensões
normais e tangenciais no ponto em um plano que rotaciona em torno
de um dado eixo. O ângulo de rotação é deixado como uma variável.
CÍRCULO DE MOHR
As expressões da tensão normal e tangencial em função do ângulo são
deduzidas a partir das operações que vimos anteriormente:
CÍRCULO DE MOHR
( )n
n T n = 
( )nT n= 
cos(
si (
)
)n
n


 
=  
  ( ) 2 2 2n
x y zT T T T T= = + +
2 2
nn T = −
Não é utilizado uma das componentes pois está apenas fazendo uma
rotação no plano. Como se fosse um estado plano.
CÍRCULO DE MOHR
Por exemplo, deduzindo a
expressão da tensão normal
em função do ângulo.
CÍRCULO DE MOHR
Após a dedução, as expressões da tensão normal e tangencial em
função do ângulo ficam:
)co ) ss in(2(2
2 2
x y x y
xyn
   
   
−
= + +
+
)sin(2 ) (2cos
2
x y
xyn
 
   +
−
= −
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 447
CÍRCULO DE MOHR
...combinando ambas equações para eliminar o ângulo e trabalhando
algebricamente, pode-se obter a seguinte equação:
( )
2 2 2
med nn R  +− =
med
2
x y 

+
=
2
2
2
x y
xyR
 

− 
= + 
 
...e essa é a expressão de um círculo: o Círculo de Mohr! Esse círculo
está no espaço das tensões normais 𝜎𝑛 e tangenciais 𝜏𝑛.
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 448
CÍRCULO DE MOHR
n
n
× ××
med
max
maxmin
R
( )
2 2 2
medn n R  − + =
med
2
x y 

+
=
2
2
2
x y
xyR
 

− 
= + 
 
max med R = +
min med R = −
max R =
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 448
CÍRCULO DE MOHR
n
n
× ××
med
max
maxmin
R
( )
2 2 2
medn n R  − + =
max med R = +
min med R = −
max R =
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 448
Cada ponto no círculo
de Mohr corresponde
a uma tensão normal
e tangencial para uma
dada orientação.
Pode-se desenhar o
círculo de Mohr com
régua e compasso,
calculando a tensão
média e o raio.
CÍRCULO DE MOHR
n
n
× ××
med
max
maxmin
( ),x xy −
( ),y xy +
X
Y
Também é possível desenhar o
círculo de Mohr a partir das
componentes do tensor de tensões.
Para tanto, plota-se um ponto X e Y
seguindo a convenção abaixo e ao
lado:
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 457
CÍRCULO DE MOHR
n
n
× ××
med
max
maxmin
( ),x xy −
(),y xy +
X
Y
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 457
Muito cuidado, pois a convenção
pode mudar dependendo do autor e
a representação do sentido das
tensões tangenciais também.
CÍRCULO DE MOHR
A expressão do ângulo em que ocorrem as tensões principais
pode ser derivada a partir da equação paramétrica das tensões
tangenciais. As tensões principais ocorrem quando as tensões
tangenciais são nulas.
)
t n(2
2
)
(
a
xy
p
x y


 −
=
)sin(2 ) (2cos
2
x y
xyn
 
   +
−
= −
0n =
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 449
CÍRCULO DE MOHR
Contudo, no estado plano, há duas tensões principais (uma
máxima e uma mínima) e estão defasadas de 90°. Tem-se então
dois 𝜃𝑝. Um corresponde ao máximo e outro ao mínimo.
)
t n(2
2
)
(
a
xy
p
x y


 −
=
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 449
o
1
2 90
p p
p p
 
 
=
= +
Para saber qual o ângulo do plano principal máximo e mínimo
deve-se calcular a tensão normal 𝜎𝑛 com cada um desses ângulos
e ver qual dá a maior e menor tensão.
CÍRCULO DE MOHR
n
n
× ××
med
max
maxmin
( ),x xy −
( ),y xy +
X
Y
2 p
( )
2
x y −
Esse ângulo que dá a orientação dos
planos em que atuam as tensões
principal máxima e mínima pode ser
obtido também a partir do círculo de
Mohr:
xy
)
t n(2
2
)
(
a
xy
p
x y


 −
=
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 457
Para o estado plano de tensões mostrado abaixo, determine: (a) as
tensões principais (b) o plano em que ocorrem e (c) a tensões de
cisalhamento máxima e a tensão normal correspondente.
EXEMPLO 6
50 40 0
50 40
40 MPa MPa10 0
40 10
00 0
 
 
  
= → =    − 
 
−
 
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek (2008). Mecânica dos Materiais. 5ed. p. 451
EXEMPLO 6
(a) Tensões principais:
med
50 10
20 MPa
2 2
x y 

+ −
= = =
2 2
2 250 ( 10) 40 50 MPa
2 2
x y
xyR
 

−  − − 
= + = + =   
  
max med
min med
20 50 70 MPa
30 MPa
R
R
 
 
= + = + =
= − = −
EXEMPLO 6
(b) Planos principais:
2 2(40) 80
) 1,3333
)
t
6
an
0
(2
( ) 5 ( 10 0
xy
p
x y


 
= = = =
−− −
o
o o o
26,6
26,6 90 116,6
p
p


=
= + =
o o
cos(2
2 2
5
(
a
0 ( 1
) sin(2 )
50
 2 26,6 ) sin 2 26,6 )
0) ( 10
P
)
cos(
2 2
 70 M
x y x y
xy
x
n
y
   
   
+
+
−
= +
=
+ −
= +
+ − −
 
Portanto, 𝜃𝑝 = 26° é a direção do plano da maior tensão principal!
EXEMPLO 6
(b) Planos principais:
EXEMPLO 6
(c) Tensão tangencial máxima e a tensão normal correspondente:
2 2
2 250 ( 10) 40 50 MPa
2 2
x y
max xyR
 
 
−  − − 
= + = + = 

=  

med
50 10
20 MPa
2 2
x y 

+ −
= = =
EXEMPLO 6
(c) Tensão tangencial máxima e a tensão normal correspondente:
O plano da tensão tangencial
máxima está defasado a
45° do plano da tensão
máxima principal.
CÍRCULO DE MOHR
Vimos o Círculo de Mohr apenas rotacionando em torno de um
eixo, no caso, o eixo z.
Porém, é possível, plotar mais dois círculos, um para cada eixo.
Dessa forma podemos representar graficamente um caso
multiaxial de tensões.
Contudo, quando se tratar de um caso multiaxial, é melhor
trabalhar de forma algébrica calculando as tensões e direções
principais pelo método dos autovalores e autovetores.
Philpot T. A. (2017). Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4ed. p. 538
CÍRCULO DE MOHR
O Círculo de Mohr para um caso multiaxial:
Plano arbitrário
Combinação das tensões em um plano arbitrário
1
2
3
123
1 2 3   
Tensão tangencial máxima
Fliess - 1970 - Estabilidad Tomo II - 3ed. p. 47.
CÍRCULO DE MOHR
Tal como no estado plano, usando régua e compasso, é possível determinar as 
direções em que ocorrem qualquer par de tensões que esteja na área 
hachurada do círculo de Mohr para um estado multiaxial de tensões:
Porém não será tratado na
disciplina. Mas quem tiver
interesse pode buscar na
bibliografia abaixo.
1) Breve revisão de operações com matrizes
2) Tensão normal e tangencial em um plano qualquer
3) Transformação das tensões
4) Tensões principais e direções principais
5) Máxima tensão tangencial e seu plano de ação
6) Círculo de Mohr
7) Material Complementar para estudo dessa aula
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
114
Sites que calculam as tensões e direções principais e representam o Círculo
de Mohr:
MATERIAL COMPLEMENTAR PARA ESTUDO DESSA AULA
https://valdivia.staff.jade-hs.de/mohr3d_en.html
https://amesweb.info/StressStrainTransformations/3DStressAnalysis/3DStressAnalysis.
aspx
https://www.graniteng.com/mohr-3d
http://www.jnovy.com/jnovy/calcs/MohrsCircle2d/mohrsCircle2d.html
https://valdivia.staff.jade-hs.de/mohr3d_en.html
https://amesweb.info/StressStrainTransformations/3DStressAnalysis/3DStressAnalysis.aspx
https://amesweb.info/StressStrainTransformations/3DStressAnalysis/3DStressAnalysis.aspx
https://www.graniteng.com/mohr-3d
http://www.jnovy.com/jnovy/calcs/MohrsCircle2d/mohrsCircle2d.html
MATERIAL PARA COMPLEMENTAR O ESTUDO DESSA AULA
Entenendo transformação de tensões e círculo de Mohr (Efficient Engineer):
https://www.youtube.com/watch?v=_DH3546mSCM
Como desenhar Circulo de Mohr (Michael Thomas Rex F):
https://www.youtube.com/watch?v=qU_Fngzb-Vs
Introdução circulo de Mohr (Magic Marks):
https://www.youtube.com/watch?v=aOMXlW6gDJw
Desenhando o circulo de Mohr (Engel Universe):
https://www.youtube.com/watch?v=Us98HjLmBG0
Circulo de Mohr 3D (Structure Pro):
https://www.youtube.com/watch?v=9x6lpkap9qs
Visualizando o estado de tensões em um ponto (Udiprod):
https://www.youtube.com/watch?v=YxXyN2ifK8A
Transformação de tensões (Elizeth Rodrigues Machado)
https://www.youtube.com/watch?v=W9NzDNFb5is
Estado triplo de tensões e lei de Hook generalizada (UNIVESP)
https://youtu.be/86mupA55nkE
Estado triaxial de tensão e exemplo de estado plano de tensões resolvido
https://youtu.be/5uck13pOzDc
Exercício com Círculo de Mohr (Steven Róger):
https://www.youtube.com/watch?v=UxL7WWa-US8
https://www.youtube.com/watch?v=_DH3546mSCM
https://www.youtube.com/watch?v=qU_Fngzb-Vs
https://www.youtube.com/watch?v=aOMXlW6gDJw
https://www.youtube.com/watch?v=Us98HjLmBG0
https://www.youtube.com/watch?v=9x6lpkap9qs
https://www.youtube.com/watch?v=YxXyN2ifK8A
https://www.youtube.com/watch?v=W9NzDNFb5is
https://youtu.be/86mupA55nkE
https://youtu.be/5uck13pOzDc
https://www.youtube.com/watch?v=UxL7WWa-US8
1) Breve revisão de operações com matrizes
2) Tensão normal e tangencial em um plano qualquer
3) Transformação das tensões
4) Tensões principais e direções principais
5) Máxima tensão tangencial e seu plano de ação
6) Círculo de Mohr
7) Material Complementar para estudo dessa aula
8) Exercícios
O QUE SERÁ APRESENTADO?
117
EXERCÍCIO 1
As tensões em um ponto P são dadas abaixo. Primeiramente, (a) desenhe as
tensões representando o ponto como um cubo infinitesimal. Para um plano
orientado por um vetor 𝑑 = 3 4 12 𝑇 determine: (a) o vetor tensor, (b) a
magnitude do vetor tensor, (c) a tensão normal ao plano, (d) a tensão tangencial
ao plano e (e) o ângulo que o vetor tensor faz com o vetor normal ao plano.
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 52
13 13 0
13 MPa 26 13
1
 
0 3 39

−
 
 
=
 

−
−
EXERCÍCIO 2
Sendo o estado de tensões em um ponto representado pelo tensor de tensões
abaixo, determine: (a) as tensões principais, (b) as direções principais, (c) a
tensão tangencial máxima e a tensão normal associada e (d) o plano da
direção tangencial máxima. Fazendo uso das tensões principais (e) desenhe o
círculo de Mohr e (f) confira o resultado com um site que calcula círculo de
Mohr 3D.
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 52
M0 2 
2
1
0
3 1
1 Pa 
1

 
 
=
 
  
EXERCÍCIO 3
Encontre as tensões principais e as direções principaispara os seguintes casos 
em estado plano de tensões:
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 52
40 MPa, 0 MPa, 80 MPa
140 MPa, 20 MPa, 60 MPa
120 MPa, 50 MPa, 100 MPa
a) 
b) 
c) 
x y xy
x y xy
x y xy
  
  
  
= = =
= = = −
= − = =
Desenhe o círculo de Mohr para cada caso. Confira o resultado com um site 
que calcula círculo de Mohr 2D.
EXERCÍCIO 4
Se a tensão principal mínima é -7 MPa, encontre 𝜎𝑥 e o ângulo da tensão
principal máxima para o caso de estado plano de tensões mostrado abaixo.
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 52
EXERCÍCIO 5
Para o estado de tensões abaixo, duas tensões principais e suas direções
principais são fornecidas.
Kim, Sankar e Bhavani (2008). Introduction to Finite Element Analysis and Design. p. 53
M1 0 
0
1 0 2
0 
2 2
Pa
 
 
=
 
 − 
a) Qual a tensão normal e tangencial em um plano cujo vetor normal é paralelo ao vetor
𝑑 = 3 4 12 𝑇?
b) Calcule a tensão principal intermediária e sua direção associada.
c) Escreva o tensor de tensões em um sistema de coordenadas alinhado com as direções
principais.
1 2
2 / 5 1/ 5
0 ; 0 
1/ 5 2 / 5
n n
   
   
= =   
   
−   
1
3
2 MPa 
3 MPa


=
= −
EXERCÍCIOS
Philpot - 2017 - Mechanics of Materials - An Integrated Learning System. 4.ed
P12.19, P.12.20, P12.23 (p. 498)
Example 12.5, Example 12.6 (p. 508-510)
P12.27, P12.28, P12.29, P.12.34, P12.35, P12.37, P12.38, P12.40, P12.41 (p. 512-513) 
Example 12.7, 12.8, 12.9, 12.10, 12.11, (p. 518-527)
P12.42, P12.43, P12.44, P12.45, P12.46, P12.47, P12.50, P12.51, P12.52, P12.53, P12.60 (p. 529-531)
P12.66, P12.67, P12.68, P12.70, P12.71, P12.72 (p. 539)
Hibbeler - 2017 - Mechanics of Materials in SI Units - 10th Ed
Example 9.3, Example 9.4, Example 9.5, Example 9.6 (p. 474-477)
P9-2 (p. 479)
F9-2, F9-3 (p. 480)
P9-11, P9-12, P9-14, P9-15, P9-16, P9-17, P9-19, P9-23 (p. 481-483)
Example 9.7, Example 9.8, Example 9.9 (p. 491-493)
F9-8, F9-9 (p. 494)
P9-44 até P9-49, P9-51, P9-52, P9-53, P9-54, P9-55, P9-56, P9-57, P9-58, P9-59, P9-60, P9-61, P9-62, P9-67 (p. 495-497)
Example 9.10, Example 9.11 (p. 501-502)
P9-77, P9-78, P9-79, P9-80, P9-81, P9-82, P9-83, P9-84 (p. 503-504)
R9-5 (p. 509)
EXERCÍCIOS
Kim, Sankar e Bhavani - 2008 - Introduction to Finite Element Analysis and Design
Exercícios: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (p. 52-53)
Masuero - Apostila - Introducao a Mecanica Estrutural
Exemplo 5 (p. 156)
Beer - 2008 - Mecanica dos Materiais. 5ed
Exemplo 7.1 (p. 451)
7.5 até 7.8, 7.9 até 7.12, 7.3 até 7.16, 7.17 e 7.18, 7.21 e 7.22, 7.27, 7.28, 7.29 (p. 453-456)
Exemplo 7.2 (p. 459)
7.31 ao 7.52, 7.55 a 7.58, 7.59, 7.60, 7.61, 7.62, 7.63, (p. 464-466)
Exemplo 7.3 (p. 470)
Problema resolvido 7.4 (p. 476)
7.66, 7.67, 7.68, 7.69, 7.70 e 7.71, 7.72 e 7.73, 7.74, 7.75, 7.76, 7.77, 7.78, 7.79, 7.80 (p. 477-479)
Popov - 1990 - Engineering Mechanics of Solids
Example 8-6 (p 428)
EXERCÍCIOS
Pytel e Kiusalaas - 2012 - Mechanics of Materials. 2ed
Sample Problem 8.4, 8.5, 8.6 (p. 301)
8.42-8.45, 8.33-8.37 (p. 305)
Sample Problem 8.7 (p. 309)
8.48, 8.49, 8.50-8.56, 8.59, 8.61, 8.64, 8.65, 8.66 (p. 312-314)
Sample Problem 8.8 (p. 317)
8.68, 8.69, 8.70, 8.72, 8.73, 8.74, 8.75 (p. 318)
Hibbeler - 2010 - Resistencia dos Materiais. 7ed
Exemplo 9.2 (p. 326)
Exemplo 9.3, 9.4, 9.5, 9.6 (p. 329-331)
9.10, 9.11, 9.12, 9.13, 9.14, 9.15, 9.16, 9.17, 9.19, 9.24, 9.25, 9.33 (p. 332-335)
Leia Procedimento de análise Circulo de Mohr (p. 340)
Exemplo 9.7, 9.8, 9.9, 9.10, 9.11 (p. 341-344)
9.56-9.65, 9.66, 9.67, 9.68, 9.69, 9.70, 9.71, 9.72, 9.73, 9.74, 9.75, 9.76, 9.77, 9.78 (p. 348-349)
Exemplo 9.14, 9.15 (p. 354-356)
9.88, 9.89, 9.90, 9.91, 9.92, 9.93, 9.94 (p. 356-357)
9.98, 9.100, 9.103 (p. 360)
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