Exercicio PTV - 02

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Questão 01 - Usando o PTV calcule o deslocamento horizontal em “B” e a rotação da 
tangente elástica em “C”. InerciaCF = InerciaFD = 2I; InerciaAE=EC=DB = I. 
Calculo dos Deslocamentos. 
Estrutura Real 
1. Reações de Apoio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcular as reações – Estrutura real. 
 + ∑ Fx = 0  60 – Ha=0  Ha=60KN 
 +∑ Fy = 0  Va +Vb -60 =0 Va+Vb=60KN(I) 
 +∑ Ma = 0  -60x2 - 30 – 60x7,5 + Vbx9=0  9Vb=600 66,67KN  Vb= 66,67 
 Va= 60 - 66,67 = -6,67KN  Va = -6,67KN 
 
3. Calcular os momentos fletores das estruturas. 
6.2. Estrutura Real 
Barra n°01 - Intervalo  0<x<2 
MAE(x) = 60.x 
Barra n°02 - Intervalo 0<x<2 
MEC(x) = 60(2+x) – 60.x  120 +60x -60x  MEC(x) =120KN.m 
Barra n°03 - Intervalo  0<x<4 
MCF(x) = +Ha x 4 – 60x2 + Va.X= 4 x 60 -60x2+Va.X  MCF(x) =-6,67x +120 
Barra n°04 - Intervalo  0<x<2 
MFD(x) = +Ha x 4 – 60x2 +30+ Va.(4+X)= 4 x 60 -60x2+30+(-6,67).(4+X) 
 MFD(x) =240 - 120 + 30 - 26,68 - 6,67.x  MFD(x) = 123,32 – 6,67x 
Barra n°05 - Intervalo  0<x<3 
MDB(x) = Vb.X -20.x.(x/2)  MDB(x) =66,67 – 10x² 
 
 Tg-¹ = 4/3 = 1,3333 = 53,13° ; cos 53,13° = 0,60; sen53,13° = 0,80 
 
 ds = 3/5 = 0,60 = cos 53,13° 
 
 
 
 
 
 
A B 
E 
C F D 
Ha 
Va Vb 
20.x kN 
x 
4 
3 
5 
5 
4 
3 
Estrutura Virtual. 
4. Calcular as reações – Estrutura Virtual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Calcular as reações – Estrutura Virtual. 
 
 + ∑ Fx = 0  1 – Ha=0  Ha=1KN 
 +∑ Fy = 0  Va +Vb = 0 Va+Vb=0KN(I)  Va= 0KN 
 +∑ Ma = 0  Vbx9 + 0 = 0  Vb = 0KN 
 
6. Calcular os momentos fletores da estrutura - Virtual. 
 
6.1. Estrutura Virtual. 
Barra n°01 - Intervalo  0<x<2 
MAE(x) = 1.x = X 
Barra n°02 - Intervalo 0<x<2 
MEC(x) = Ha(2+x)  MEC(x) =1(2+x)MEC = 2+X 
Barra n°03 - Intervalo  0<x<4 
MCF(x) = +Ha x 4 + 0.X  MCF(x) =4Kn.m 
Barra n°04 - Intervalo  0<x<2 
MFD(x) = +Ha x 4 + 0(4+x)  MFD(x) = 4Kn.m 
Barra n°05 - Intervalo  0<x<3 
MDB(x) = Vbx0 + (1 x 1,33).x  MDB(x) =1,33.x 
 
 Tg-¹ = 4/3 = 1,3333 = 53,13° ; cos 53,13° = 0,60; sen53,13° = 0,80 
 
 ds = 3/5 = 0,60 = cos 53,13° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vb 
Ha 
Va 
A 
B 
E 
C 
 
F D 
4 
3 
5 
7. Calcular os O trabalho Virtual(Wint). 
 
Wext = 1 X DEFORMAÇÃO; Wint = Esforços ( Eq. Geral) 
 
1
𝐸𝐼
[∫02(60x)(x)dx + ∫02(120)(x+2)dx + ∫03(6,67 – 10x²)(1,33.x) 
𝑑𝑥
0,6
] + 
1
2𝐸𝐼
[∫04(-6,67x +120)(4)dx + ∫02(123,32 – 6,67x)(4)dx] 
 
1
𝐸𝐼
[∫02(60x²)dx + ∫02(120x+240)dx + ∫03(8,87x – 13,3x³) 
𝑑𝑥
0,6
] + 
1
2𝐸𝐼
[∫04(-26,68x +480)dx + ∫02(493,28– 26,68x)dx] 
 
δ = 
1761,19
𝐸𝐼
+
1319,88
𝐸𝐼
 = 
3081,07
𝐸𝐼
 δB= 
𝟑𝟎𝟖𝟏,𝟎𝟕
𝑬𝑰
 
 
Rotação da tangente Elastica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 θc =?