slides aula 2 calculo e diferencial

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CÁLCULO 
DIFERENCIAL E 
INTEGRAL
Limites
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Como podemos utilizar 
o conceito de limites 
para analisar 
situações?
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CÁLCULO 
DIFERENCIAL E 
INTEGRAL
Limites
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Limites
Noção intuitiva de limites
Vamos analisar o comportamento da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 + 2 para valores de 𝑥
próximos de 2.
𝒙 𝒇(𝒙)
1 2
1,5 2,750000
1,8 3,440000
1,9 3,710000
1,95 3,85250
1,99 3,970100
1,999 3,997001
𝒙 𝒇(𝒙)
3 8
2,5 5,750000
2,2 4,640000
2,1 4,310000
2,05 4,152500
2,005 4,015025
2,001 4,003001
1 3
6 7
8 9
Suponha que 𝑓(𝑥) seja definido quando está próximo ao número 𝑎. (Isso 
significa que 𝑓 é definido em algum intervalo aberto que contenha 𝑎 , 
exceto possivelmente no próprio 𝑎.) Então escrevemos
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳
e dizemos “o limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende a 𝑎, é igual a 𝐿” se pudermos 
tornar os valores de 𝑓(𝑥) arbitrariamente próximos de 𝐿, ao
 tomar 𝑥 suficientemente próximo de 𝑎 
(por ambos os lados de 𝑎), mas não necessariamente
 igual a 𝑎
Limites laterais
Escrevemos
lim
→
𝑓(𝑥) = 𝐿
e dizemos que o limite à esquerda de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende a 𝒂 é igual a 𝐿 se 
pudermos tornar os valores de 𝑓(𝑥) arbitrariamente próximos de 𝐿, para 𝑥
suficientemente próximo de 𝑎 e 𝑥 menor que 𝑎.
Limites laterais
Escrevemos
lim
→
𝑓(𝑥) = 𝐿
e dizemos que o limite à direita de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende a 𝒂 é igual a 𝐿 se 
pudermos tornar os valores de 𝑓(𝑥) arbitrariamente próximos de 𝐿, para 𝑥
suficientemente próximo de 𝑎 e 𝑥 maior que 𝑎.
O lim
→
𝑓(𝑥)existe se e somente se os limites laterais são iguais, isto é, 
lim
→
𝑓(𝑥) = lim
→
𝑓(𝑥) = 𝐿
Limite Bilateral
lim
→
𝑥 − 𝑥 + 2 = 4 lim→
𝑥 − 𝑥 + 2 = 4
lim
→
𝑥 − 𝑥 + 2 = 4
Limites
Exemplo:
lim
→
𝑓(𝑥) = 2 lim
→
𝑓(𝑥) = −1
Propriedades de Limites
 lim
→
[𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] = lim
→
𝑓(𝑥) ± lim
→
𝑔(𝑥)
 lim
→
[𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 ] = lim
→
𝑓(𝑥) ⋅ lim
→
𝑔 𝑥
 lim
→
𝑓 𝑥 = lim
→
𝑓 𝑥 onde 𝑛 ∈ ℤ
 lim
→
𝑥 = 𝑎 onde 𝑛 ∈ ℤ
 𝑙𝑖𝑚
→
𝑥 = 𝑎 onde 𝑛 é um inteiro positivo 
 𝑙𝑖𝑚
→
=
 
→
 
→
, se 𝑙𝑖𝑚
→
𝑔(𝑥) ≠ 0
 𝑙𝑖𝑚
→
𝑐 = 𝑐 e 𝑙𝑖𝑚
→
𝑥 = 𝑎
 𝑙𝑖𝑚
→
𝑥 = 𝑎 onde 𝑛 ∈ ℤ
10 11
12 13
14 15
CÁLCULO 
DIFERENCIAL E 
INTEGRAL
Limites
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Cálculo de Limites
Cálculo de limites 
Encontre o limite que segue:
lim
→ 
(3𝑥 + 2𝑥 + 1)
= lim
→ 
(3𝑥 ) + lim
→ 
(2𝑥 ) + lim
→ 
(1)
= 3 −2 + 2 −2 + 1 = 57
Cálculo de limites
Encontre o limite que segue:
lim
→ 
𝑥 − 6𝑥 + 9
𝑥 − 3
lim
→ 
𝑥 − 3
𝑥 − 3
=
lim
→ 
𝑥 − 3 = 0
𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 2𝑎𝑏 + 𝑏
Cálculo de limites 
Encontre o limite que segue:
lim
→ 
|𝑥 − 2|
𝑥 − 2
lim
→ 
−(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
= −1
lim
→ 
𝑥 − 2
𝑥 − 2
= 1
lim
→ 
|𝑥 − 2|
𝑥 − 2
= ∄
Estudo do 
comportamento de 
funções
16 17
18 19
20 21
Estudo do comportamento de funções
Dentre a equipe de jovens engenheiros que pretendem organizar e implantar a 
startup relacionada à indústria 4.0, você ficou responsável por desenvolver 
estudos teóricos que contribuam para o desenvolvimento do primeiro software a 
ser lançado por essa empresa. Assim, você deverá estudar os comportamentos 
de algumas funções conhecidas, em regiões específicas, 
para que possa comparar os resultados teóricos com as 
informações que forem geradas pelo software em 
desenvolvimento.
Estudo do comportamento de funções
As funções a serem analisadas são:
 𝑓 𝑥 = quando 𝑥 se aproxima de −2.
 𝑓 𝑥 = quando 𝑥 tende a zero.
Estudo do comportamento de funções
Analisando a primeira função temos:
lim
→ 
𝑥 − 2
2𝑥 − 3𝑥 + 2
=
lim
→ 
(𝑥 − 2)
lim
→ 
(2𝑥 − 3𝑥 + 2)
=
(16 − 2)
16
=
14
16
=
7
8
Estudo do comportamento de funções
Analisando a segunda função temos:
lim
→ 
tg 𝑥
𝑥
= lim
→ 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
𝑥
lim
→ 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
⋅
1
𝑥
= lim
→ 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
⋅
1
cos(𝑥)
= lim
→ 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
⋅ lim
→ 
1
cos(𝑥)
= 1 ⋅ 1 = 1
Limite Fundamental:
lim
→ 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1
CÁLCULO 
DIFERENCIAL E 
INTEGRAL
Limites
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Limites Infinitos e no 
infinito 
22 23
24 25
26 27
Limites Infinitos
Vamos analisar o gráfico da função 𝑓 𝑥 = quando 𝑥 tende a zero.
Limites infinitos
Às vezes, os limites laterais ou bilaterais não existem 
porque os valores da função crescem ou decrescem 
sem cotas. Esses comportamentos de limites são 
descritos escrevendo
lim
→
𝑓(𝑥) = ∞
Ou
lim
→
𝑓(𝑥) = −∞
Limites infinitos
 lim
→ 
𝑓(𝑥) = ∞
 lim
→ 
𝑓(𝑥) = −∞
 lim
→ 
𝑓(𝑥) = ∞
 lim
→ 
𝑓(𝑥) = −∞
 lim
→ 
𝑓(𝑥) = ∞
 lim
→ 
𝑓(𝑥) = −∞
A reta 𝑥 = 𝑎 é chamada assíntota vertical da curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) se pelo 
menos uma das seguintes condições estiver satisfeita
Limites infinitos
Vamos encontrar analisar os limites laterais da seguinte função:
lim
→ 
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 5)(𝑥 − 5)
lim
→ 
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 5)(𝑥 − 5)
= lim
→ 
(𝑥 + 2)
(𝑥 − 5)
= −∞
lim
→ 
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 5)(𝑥 − 5)
= lim
→ 
(𝑥 + 2)
(𝑥 − 5)
= ∞
Limites no Infinito
Vamos analisar o gráfico da função 𝑓 𝑥 = quando 𝑥 assume valores 
muito grandes.
28 30
31 32
33 34
Limites no infinito
Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo 
𝑎, +∞ podemos afirmar que lim
→
𝑓(𝑥) significa 
dizer que os valores de 𝑓(𝑥)aproximam-se de 𝐿 à 
medida que tomamos valores de 𝑥 suficientemente 
grandes. Por outro lado, para 𝑓 definida em 
(−∞, 𝑎), afirmar que lim
→
𝑓(𝑥) implica dizer que os 
valores de 𝑓(𝑥)aproxima-se de 𝐿 à medida que 
tomamos valores de 𝑥 suficientemente pequenos. 
Usualmente, lê-se o trecho "𝑥 → +∞“ como “𝑥
tendendo a mais infinito”, e o correlato "𝑥 → −∞“
como “𝑥 tendendo a menos infinito”.
Limite no infinito
Limites no infinito
Vamos calcular o seguinte limite 
lim
→
11𝑥 − 2
2𝑥 − 1
Note que, ao avaliar a função para 𝑥 tendendo ao infinito, tanto o polinômio do 
numerador quanto do denominador tendem ao infinito, o que
ocasionaria em uma indeterminação do tipo cujo valor 
não pode ser avaliado. 
Limites no infinito
Para o cálculo iniciaremos dividindo todos os termos do numerador e 
denominador pelo monômio de mais alto grau dentre os termos dos dois 
polinômios
lim
→
11𝑥 − 2
2𝑥 − 1
= lim
→
11𝑥
𝑥
−
2
𝑥
2𝑥
𝑥
−
1
𝑥
= lim
→
11
𝑥
−
2
𝑥
2 −
1
𝑥
=
0
2
= 0
CÁLCULO 
DIFERENCIAL E 
INTEGRAL
Limites
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Função contínua e 
Função descontínua
Continuidade
Intuitivamente, a continuidade de uma função tem relação com a ausência de 
lacunas, saltos ou interrupções em seu gráfico.
36 37
38 39
40 41
Continuidade
Uma função 𝑓 é contínua em um número 𝒂 se:
1) 𝑓(𝑎) está definida (isto é, 𝑎 está no domínio de 𝑓)
2) lim
→ 
𝑓(𝑥) existe
3) lim
→ 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Continuidade
Analisemos a função 𝑓, definida por 
partes, a qual é apresentada a seguir:
𝑓 𝑥 =
𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 1
2, 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 > 1
Continuidade
As funções 𝑔 𝑥 = 𝑥 e ℎ 𝑥 = 2 são contínuas em seus domínios, donde 
segue que 𝑓 é contínua, exceto, possivelmente, em 𝑥 = 1 e 𝑥 = 2 , que 
consistem nos pontos de transição da função definida por partes.
Continuidade
Analisando os limites laterais em 𝑥 = 1 podemos 
observar que lim
→ 
𝑓(𝑥) = 1 e lim
→ 
𝑓(𝑥) = 2, o que 
indica que o limite de 𝑓 não existe em torno de 
𝑥 = 1, assim, não podemos avaliar a continuidade 
de 𝑓 nesse ponto. No entanto, note que 𝑓 1 =
2 então lim
→ 
𝑓(𝑥) = 𝑓(1), isto é, podemos dizer 
que a função 𝑓 é contínua à direita em 𝑥 = 1.
Continuidade
Analisando os limites laterais em 𝑥 = 2 podemos observar que lim
→ 
𝑓(𝑥) = 2 e 
lim
→ 
𝑓(𝑥) = 2, o que comprova a existência do limite, com lim
→ 
𝑓(𝑥) = 2. Além 
disso, como 𝑓 2 = 2 e lim
→ 
𝑓(𝑥) = 𝑓(2). Logo 𝑓 é contínua em 𝑥 = 2. 
Funções descontínuas
Dada uma função real 𝑓 e um ponto fixado 𝑎, pertencente ou não ao domínio 
de𝑓, dizemos que 𝑓 é descontínua em 𝑎, ou 𝑓 tem uma descontinuidade 
em 𝑎, quando 𝑓 não for contínua em 𝑎. 
43 44
45 46
47 48
Descontinuidade Infinita
As funções que possuem descontinuidade infinita são as que possuem 
assíntotas verticais, ou seja, aquelas nas quais obtemos ±∞ ao 
calcularmos os limites laterais. 
Em 𝑥 = temos:
lim
→ 
𝑡𝑔(𝑥) = −∞
lim
→ 
𝑡𝑔(𝑥) = +∞
Descontinuidade Removível
Nesse tipo de descontinuidade temos um ponto, no qual a função não está 
definida, mas em torno do qual o limite bilateral da função existe, de modo 
que ao completar a definição da função adequadamente podemos torná-la 
em uma função contínua.
𝑓 𝑥 =
𝑥 − 4
𝑥 − 2
Descontinuidade do tipo Salto
Na descontinuidade de salto observamos que os limites laterais são 
diferentes, por isso dizemos que a função “deu um salto” em um 
determinado valor de 𝑥.
𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥
, 𝑥 ≠ 0
Análise de funções 
contínuas e 
descontínuas
Análise de funções contínuas e descontínuas
 Dentre a equipe de jovens engenheiros que pretendem organizar e implantar a 
startup relacionada à indústria 4.0, você ficou responsável por desenvolver estudos 
teóricos que contribuam para o desenvolvimento do primeiro software a ser lançado 
por essa empresa. Para um dos projetos em desenvolvimento, você foi indicado como 
o responsável por realizar os estudos teóricos que possibilitarão a validação do 
software em desenvolvimento. Por se tratar de um projeto voltado 
a circuitos elétricos, é necessário implementar nesse software 
funcionalidades que permitam avaliar funções contínuas e 
descontínuas.
Análise de funções contínuas e descontínuas
 Sua tarefa, nesse projeto, consiste em avaliar a seguinte função, a qual será 
essencial para a validação dos resultados obtidos por meio do software. 
Função f, a partir de sua lei de formação
𝑓 𝑥 =
𝑥 − 𝑥 − 2
𝑥 − 2
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 2
3, 𝑠𝑒 𝑥 = 2
49 50
51 52
53 54
Análise de funções contínuas e descontínuas
Para estudarmos a função f quanto à continuidade, analisemos inicialmente a 
sua definição para 𝑥 real e diferente de 2.
 A função 𝑓 é contínua para os intervalos −∞, 2 e (2, +∞) por se tratar de 
uma função racional, visto que, a razão não se anula para 𝑥 ≠ 2
Análise de funções contínuas e descontínuas
Vejamos agora para 𝑥 = 2
lim
→ 
𝑥 − 𝑥 − 2
𝑥 − 2
= lim
→ 
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
= lim
→ 
𝑥 + 1 = 3
lim
→ 
𝑥 − 𝑥 − 2
𝑥 − 2
= lim
→ 
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
= lim
→ 
𝑥 + 1 = 3
Logo, 
lim
→ 
𝑥 − 𝑥 − 2
𝑥 − 2
= 3 = 𝑓(2)
CÁLCULO 
DIFERENCIAL E 
INTEGRAL
Limites
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Recapitulando
Recapitulando
Limite
lim
→
𝑓(𝑥) = 𝐿
Existe se
lim
→
𝑓(𝑥) = lim
→
𝑓(𝑥) = 𝐿
É um valor real
Limites infinitos
lim
→
𝑓(𝑥) = ∞
Ou
lim
→
𝑓(𝑥) = −∞
Limites fundamental
lim
→
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1
Recapitulando
Continuidade
lim
→
𝑓(𝑥) = 𝐿
Existe se
lim
→
𝑓(𝑥) = lim
→
𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑓(𝑎) está definida 𝑓 𝑎 = lim
→
𝑓(𝑥)
55 56
57 58
59 60