slides aula 3 calculo e diferencial

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CÁLCULO 
DIFERENCIAL E 
INTEGRAL
Derivadas e Regras de Derivação
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Como podemos utilizar 
o conceito de derivadas 
para analisar 
situações?
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CÁLCULO 
DIFERENCIAL E 
INTEGRAL
Derivadas e Regras de Derivação
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Derivada
O problema da reta tangente
Seja uma função 𝑓, cujo gráfico 𝑦 = 𝑓(𝑥) bem como um ponto 𝑃(𝑥 , 𝑓(𝑥 ))
fixado e pertencente ao gráfico de 𝑓. Queremos determinar a inclinação da reta
tangente ao gráfico de 𝑓 passando pelo ponto 𝑃.
Reta tangente
A equação da reta tangente é dada por:
𝑦 − 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑎 ⋅ (𝑥 − 𝑎)
A reta tangente a 𝑦 = 𝑓(𝑥) em 𝑎, 𝑓 𝑎 é a reta que passa em 𝑎, 𝑓 𝑎 , cuja 
inclinação é igual a 𝑓′(𝑎), a derivada de 𝑓 em 𝑎.
𝑓 𝑎 = lim
→
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)
ℎ
1 3
4 5
6 7
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4𝑥
Reta tangente a curva 
𝑓(𝑥) no ponto (4,0).
A lei de formação da reta 
tangente é 𝑦 = 4𝑥 − 16
Inclinação da reta 
tangente: dada pela 
derivada de 𝑓(𝑥) no 
ponto(4,0)
A taxa de variação instantânea
O quociente das diferenças = ( ) é denominado é denominado taxa 
média de variação de 𝑦 em relação a 𝑥 no intervalo 𝑥 , 𝑥 e pode ser 
interpretado como a inclinação da reta secante 𝑃𝑄 .
https://bit.ly/2SakTsV
O limite dessas taxas médias de variação é chamado taxa (instantânea) de 
variação de 𝑦 em relação a 𝑥 em 𝑥 = 𝑥 , a qual (como no caso da velocidade) 
é interpretada como a inclinação da tangente à curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) em 
𝑃 𝑥 , 𝑓 𝑥 :
A taxa instantânea de variação é dada por:
lim
→
Δ𝑦
Δ𝑥
= lim
→
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 )
𝑥 − 𝑥
Derivada de uma função
A derivada de uma função 𝒇 em relação a 𝒙, denotada por 𝑓′(𝑥) é
𝑓 𝑥 = lim
→
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
Se o limite existir.
Derivada de uma função
A derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 é dada por:
𝑓 𝑥 = lim
→
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
→
(𝑥 + ℎ) − 𝑥
ℎ
= lim
→
𝑥 + ℎ − 𝑥
ℎ
= lim
→
ℎ
ℎ
= lim
→
1 = 1
Logo a derivada de 
𝑓 𝑥 = 𝑥 é dada por 
𝑓 𝑥 = 1
Derivada de uma função
Se a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é derivável, então além da notação 𝑓′(𝑥) (lê-se “𝑓 linha 
de 𝑥”) para a derivada, podemos empregar as seguintes notações: 𝐷 𝑓(𝑥)(lê-
se “derivada de 𝑓(𝑥) em relação a 𝑥”), 𝐷 𝑦 (lê-se “derivada de 𝑦 em relação a 
𝑥”) ou (lê-se “derivada de 𝑦 em relação a 𝑥”).
8 9
10 11
12 13
Regras de derivação
Derivada de uma função 
constante
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = 0
Derivada de uma função 
potência
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 = 𝑛𝑥
A Regra da Multiplicação por 
Constante
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
Derivada da soma ou 
diferença de duas funções 
deriváveis
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) ±
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑥)
Regras de derivação
Determine a derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2𝑥 + 3𝑥
𝑓 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 − 2𝑥 + 3𝑥 
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 − 2
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 + 3
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
= 4𝑥 − 2 ⋅ 3𝑥 + 3 ⋅ 1𝑥
= 4𝑥 − 6𝑥 + 3
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Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Derivada do produto 
e quociente de 
funções 
Regra do produto
A derivada de um produto de duas funções é a 
derivada da primeira função vezes a segunda função mais 
a primeira função vezes a derivada da segunda função.
Seja duas funções 𝑓 e 𝑔 deriváveis, então
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
[𝑔 𝑥 ]
Regra do produto
Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 ⋅ (3𝑥 + 1). Determine 𝑓 (𝑥).
𝑓 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 + 2𝑥 (3𝑥 + 1) + 𝑥 + 2𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(3𝑥 + 1)
𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 2) ⋅ (3𝑥 + 1) + 𝑥 + 2𝑥 ⋅ 3
𝑓 𝑥 = 6𝑥 + 2𝑥 + 6𝑥 + 2 + 3𝑥 + 6𝑥
𝑓 𝑥 = 9𝑥 + 14𝑥 + 2
14 15
16 17
18 19
Regra do quociente
A derivada de um quociente é o denominador vezes a 
derivada do numerador menos o numerador vezes a 
derivada do denominador, todos divididos pelo quadrado 
do denominador.
Seja duas funções 𝑓 e 𝑔 deriváveis, então
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥
𝑔 𝑥
Regra do quociente
Seja 𝑓 𝑥 = . Determine 𝑓 (𝑥).
𝑓 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 + 3𝑥 (𝑥 + 1) − 𝑥 + 3𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 + 1
𝑥 + 1
𝑓 𝑥 =
(3𝑥 + 3) ⋅ (𝑥 + 1) − 𝑥 + 3𝑥 ⋅ 2𝑥
𝑥 + 1
𝑓 𝑥 =
(3𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 + 3) − 2𝑥 + 6𝑥
𝑥 + 1
𝑓 𝑥 =
3𝑥 + 6𝑥 + 3 − 2𝑥 − 6𝑥
𝑥 + 1
=
𝑥 + 3
𝑥 + 1
Taxas de variação e 
densidade linear
Taxas de variação e densidade linear
Considere que para realizar um experimento, um pesquisador selecionou um 
pedaço de fio não homogêneo, de modo que sua massa, medida a partir de 
uma extremidade fixada do fio, seja descrita pela função:
𝑚 𝑥 = 2𝑥(1 + 𝑥)
em que x indica a distância, em metros, medida a partir da 
extremidade fixada, enquanto m representa a massa, dada 
em quilogramas.
Taxas de variação e densidade linear
Sabendo que a densidade linear do fio consiste na taxa de variação da massa 
em relação ao comprimento do fio, qual é a densidade linear desse fio 
considerando o comprimento de 2 metros, medido a partir da extremidade 
fixada?
Taxas de variação e densidade linear
Se a densidade linear do fio, que denotaremos por 𝜌 , 
corresponde à taxa de variação da massa em relação ao 
comprimento do fio, então a densidade linear pode ser dada por 
𝜌 = 𝑚′(𝑥). Logo:
𝑚 (𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
2𝑥 (1 + 𝑥) + 2𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(1 + 𝑥)
𝑚 𝑥 = 2 1 + 𝑥 + 2𝑥
1
2
𝑥 = 2 + 2 𝑥 + 𝑥 = 2 + 3 𝑥
𝑥 = 𝑥
20 21
22 23
24 25
Taxas de variação e densidade linear
Logo, a densidade linear em cada ponto 𝑥 é dada pela função 𝜌 = 2 + 3 𝑥. Para 
um fio com 2 metros de comprimento, a densidade linear no ponto 𝑥 = 2 
corresponde a:
𝜌(2) = 2 + 3 2 ≅ 6,24
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Derivadas e Regras de Derivação
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Derivada de função 
exponencial, 
logarítmica e 
trigonométricas
Derivada de função Logarítmica
A derivada do logaritmo geral é dada por:
𝑑
𝑑𝑥
log 𝑥 =
1
𝑥 ln 𝑎
A função 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 é diferenciável para todo 𝑥 > 0. Assim temos que:
 ln 𝑥 = , x > 0.
Derivada de função Exponencial
A derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑎 é dada por :
𝑑
𝑑𝑥
𝑎 = 𝑎 ln 𝑎
Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑒 . A sua derivada é dada por
𝑒 = 𝑒 .
Derivadas trigonométricas
 A derivada da função seno é dada por:
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑓 𝑥 = cos(𝑥)
 A derivada da função cosseno é dada por:
𝑓 𝑥 = cos(𝑥)
𝑓 𝑥 = −sen(𝑥)
26 27
28 29
30 31
Derivadas trigonométricas
Seja a função 𝑓 𝑥 = tg (𝑥), sua derivada é:
𝑓 𝑥 = tg (𝑥)
𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ (cos 𝑥 )′
cos 𝑥
𝑓 𝑥 =
cos(𝑥) ⋅ cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ (−𝑠𝑒𝑛 𝑥 )
cos 𝑥
𝑓 𝑥 =
cos (𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 )
cos 𝑥
=
1
cos 𝑥
= sec (𝑥)
Derivadas sucessivas
Em geral, a n-ésima derivada de 𝑓 é denotada por 𝑓( ) e é obtida a partir de 𝑓, 
derivando 𝑛 vezes. Se 𝑦 = 𝑓(𝑥), escrevemos
𝑦( ) = 𝑓 𝑥 =
𝑑 𝑦
𝑑𝑥
Derivadas Sucessivas Exemplo
Seja a função 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + ln(𝑥) + 𝑒 a derivada de segunda ordem é 
dada por:
𝑓 𝑥 = 3𝑥 + ln(𝑥) + 𝑒
𝑓′ 𝑥 = 6𝑥 +
1
𝑥
+ 𝑒
𝑓′ 𝑥 = 6𝑥 + 𝑥 + 𝑒
𝑓′′ 𝑥 = 6 + (−1)𝑥 + 𝑒
𝑓′′ 𝑥 = 6 −
1
𝑥
+ 𝑒
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Regra da Cadeia
32 33
34 35
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Regra da cadeia
Na notação de Leibniz, se 𝑦 = 𝑓(𝑢) e 𝑢 = 𝑔 𝑥 temos
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
⋅
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Se 𝑔 for derivável em 𝑥 e 𝑓 for derivável em𝑔(𝑥), então a função composta 𝐹
= 𝑓 ∘ 𝑔 definida por 𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) é derivável em 𝑥 e 𝐹′ é dada pelo 
produto 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥
Regra da cadeia
Sem mudar 
a função de 
dentro
Derivada 
da função 
de fora
Derivada 
da função 
de dentro
função 
de 
fora
 função 
de 
dentro
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′(𝑥)
Regra da cadeia
Seja 𝐹 𝑥 = cos(3𝑥 + 2𝑥). Determine 𝐹′(𝑥). 
A função 𝐹(𝑥) pode ser expressa como 𝐹 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )
Em que 𝑢 = 3𝑥 + 2𝑥 e 𝑦 = cos(𝑢)
𝐹 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢
⋅
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
= −𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 2𝑥 ⋅ 6𝑥 + 2
= −6𝑥 − 2 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 2𝑥)
Regra da cadeia
Podemos reescrever 𝐹(𝑥) como 𝐹 𝑥 = cos(3𝑥 + 2𝑥). Assim temos:
𝐹 𝑥= −𝑠 𝑒 𝑛 3 𝑥 + 2 𝑥 ⋅ ( 6 𝑥 + 2 )
𝐹 𝑥 = −6𝑥 − 2 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 2𝑥)
Avaliada na 
função de 
dentro
Derivada 
da função 
de fora
Derivada 
da função 
de dentro
Exemplo
A receita em relação a venda de um determinado produto é dado pela 
função:
𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥 + 3
Determine a função receita marginal.
𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥 + 3
𝑓 𝑥 = 𝑥 ⋅ 𝑥 + 3 + 𝑥 ⋅ [ 𝑥 + 3 ]′
𝑓 𝑥 = 1 ⋅ 𝑥 + 6𝑥 + 9 + 𝑥 2 𝑥 + 3 2𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 6𝑥 + 9 + 𝑥 4𝑥 + 12𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4𝑥 + 12𝑥 + 6𝑥 + 9
𝑓 𝑥 = 5𝑥 + 18𝑥 + 9
Regra da cadeia
𝑢 = 𝑥 + 3
𝑦 = 𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑢
⋅
𝑑𝑢
𝑑𝑥
38 39
40 41
42 43
Derivada implícita
Função implícita
Geralmente as funções são descritas expressando-se uma variável 
explicitamente em termos da outra, como por exemplo:
𝑦 = 𝑥 − 4 
Em geral escrevemos 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
Porém algumas funções são definidas implicitamente por 
uma relação entre x e y, como por exemplo:
𝑥 + 𝑦 = 4
Derivação implícita
Consiste na derivação de ambos os lados da equação em relação a 𝑥 e, então, 
na resolução da equação isolando 𝑦′.
Exemplo
Se 𝑥 + 𝑦 = 4, encontre .
 Derivamos ambos os lados da equação em relação a 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑦 =
𝑑
𝑑𝑥
4
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = 0
Lembre-se que 𝑦 é uma 
função de 𝑥 então é 
necessário utilizar a 
regra da cadeia
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = 0
2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
 Isolamos na equação encontrada:
2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2𝑥
2𝑦
= −
𝑥
𝑦
Taxa de variação
44 45
46 47
48 49
Suponha que você esteja economizando dinheiro para comprar um
equipamento eletrônico. Assim você decidiu realizar um depósito de 𝑅$1000,00
em sua conta com uma taxa de juros anual 𝑟 com capitalização mensal. Ao final
de 3 anos o saldo em sua conta é dado por:
𝑀 = 1000 1 +
𝑟
12Qual a taxa de 
variação de 𝑀 
em relação a 𝑟?
Qual a taxa de variação de 
𝑀 em relação a 𝑟, quando 𝑟
= 0,08? E quando 𝑟 = 0,10?
A taxa de variação de 𝑀 em relação a 𝑟 será dada pela 
derivada da função 𝑀:
𝑀 = 1000 1 +
𝑟
12
𝑀 𝑟 =
𝑑
𝑑𝑟
1000 1 +
𝑟
12
𝑀 𝑟 = 36 ⋅ 1000 1 +
𝑟
12
⋅
1
12
𝑀 𝑟 = 3000 1 +
𝑟
12
Regra da cadeia:
𝑢 = 1 +
𝑟
12
𝑦 = 𝑢
𝑀 𝑟 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢
⋅
𝑑𝑢
𝑑𝑟
Para determinarmos a taxa de variação de 𝑀 em relação a 𝑟, quando 𝑟 = 0,08
e quando 𝑟 = 0,10 temos que substituir esses valores na derivada encontrada:
𝑀 𝑟 = 3000 1 +
𝑟
12
𝑀 0,08 = 3000 1 +
0,08
12
≅ 3785,47
𝑀 0,10 = 3000 1 +
0,10
12
≅ 4011,12
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Derivadas e Regras de Derivação
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Recapitulando
Recapitulando
Derivada
𝑓 𝑥 = lim
→
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
Equação da 
reta
tangente
A taxa de 
variação
instantânea
Regras de derivação
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = 0
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 = 𝑛𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑓 𝑥
= 𝑐
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) ±
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑥)
50 51
52 53
54 55
Recapitulando
Regras de derivação
Regra da Cadeia
Seja 𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) então 
𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 ⋅ 𝑔′ 𝑥
Regra do quociente
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥
𝑔 𝑥
Regra do produto
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
[𝑔 𝑥 ]
Derivadas
Seja 𝑓 𝑥 = 𝑒 então 
𝑓 𝑥 = 𝑒
Seja 𝑓 𝑥 = 𝑎 então 
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑙𝑛 𝑎
Seja 𝑓 𝑥 = log 𝑥
então 𝑓 𝑥 =
( )
Funções exponenciais
Funções logarítmicas
Seja 𝑓 𝑥 = ln(𝑥)
então 𝑓 𝑥 =
Funções Trigonométricas
Seja 𝑓 𝑥 = cos(𝑥)
então 𝑓 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Seja 𝑓 𝑥 = sen(𝑥) 
então 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
Seja 𝑓 𝑥 = tg (𝑥) 
então 𝑓 𝑥 = sec (𝑥)
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