APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA (COMPLETA) PDF ATUALIZADA

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APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA 
 PROF. GEORGE MOURÃO 
 
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
a) Números Naturais: N = { 0, 1, 2, 3, ....} 
b) Números Inteiros: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
c) Números Racionais: Q = {x/y, com x, y Z e y 0} 
d) Números Irracionais: I, são todos os números que não podem ser escritos como uma 
fração de dois números inteiros. 
e) Números Reais: R = {x, x é racional ou x é irracional}. 
Exemplos 
1) Diga se cada uma das sentenças é verdadeira ou falsa. 
a) √ 
 
 
 √ 
 e) – 3 
 
 
 
2. FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 Toda função do tipo f(x) = ax +b com {a, b} R e a ≠ 0 é denominada função do 1º 
grau ou função afim. 
Exemplos: 
a) y = 3x + 1 b) g(x) = x – 5 c) y = 5x d) f(x) = 
 
 
 + 1 
3. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 Um importante postulado da geometria diz: “ Dois pontos distintos determinam uma 
reta”. De acordo com esse postulado, a construção do gráfico a função do 1º grau é feita 
obtendo-se dois de seus pontos distintos e traçando-se a reta determinada por eles. 
Exemplo: Construir o gráfico da função y = 2x – 5 
 
 
 
 1 
 
EXERCÍCIOS 
1. Construa o gráfico de cada uma das funções: 
a) y = 3x – 6 b) y = 4x c) y = - 3x – 6 d) y = - 3x e) y = 
 
 
 + 2 
2. Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções:7 
 a) y = 4x + 8 b) y = 5x c) y = 
 
 
 + 2 
3.Discuta , algebricamente, a variação de sinal de cada uma das funções: 
 a) y = 4x + 8 b) y = - 3x – 6 c) y = 
 
 
 + 3 d) y = 
 
 
 – 2 
 
4. FUNÇÃO QUADRÁTICA OU DO 2º GRAU 
 Toda função do tipo y = a + bx + c, com {a, b, c} R e a ≠ 0, é chamada de função 
quadrática ou função do 2º grau. 
Exemplos: 
a) y = 2 + 3x – 7 b) y = 5 – 8 c) y = 7 d) y = 
 
 
 + 
 
 
 
 
5. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 Demonstra-se que o gráfico de uma função do tipo y = a + bx + c, com {a, b, c} R e 
a ≠ 0, é uma parábola. 
 Essa parábola tem o eixo de simetria perpendicular ao eixo Ox e sua concavidade é 
voltada para o sentido do eixo Ou, se a > 0, ou voltada para o sentido negativo do eixo Ou, 
se a < 0. 
Exemplo 
Esboçar o gráfico da função y = . 
 
 
 
 
 2 
 
6. O VÉRTICE DA PARÁBOLA 
 O vértice V( , ) da parábola de equação y = a 
 + bx + c, com {a, b, c} R e a ≠ 0, 
é o ponto V( 
 
 
 
 
 
), em que = – 4ac . É fácil notar que: 
 Se > 0, a equação terá duas raízes reais e distintas. 
 Se = 0 , a equação terá duas raízes reais e iguais. 
 Se < 0, a equação não terá raízes reais, pois não existe raiz quadrada real de 
número negativo. 
Exemplo 
 Esboçar o gráfico da função y = – 6x + 8, dando seu domínio e conjunto imagem. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
Esboce o gráfico de cada uma das funções, dando seu domínio e conjunto imagem: 
1) y = 2) y = 3) y = 
 5) y = 6) y = 
7) y = 8) y = 9) y = 
10) y = 
 
7. FUNÇÃO MODULAR 
 Seja f uma função de R em R que é denominada modular quando pode ser escrita na 
forma: 
 ( | | {
 
 
 
 3 
Exemplo: 
Construir o gráfico da função f(x) = | | e determinar seu domínio e conjunto imagem. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
Construa o gráfico de cada uma das funções e determine seu domínio e conjunto imagem: 
1) y = | | 2) y = | | 3) y = | | 4) y = - | | 
5) y = | | 6) y = - | | 7) y = | | 8) y = - | | 
 
8. FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 Chama-se função exponencial toda função f: R 
 , tal que f (x) = , em que a é uma 
constante real positiva e diferente de 1. 
Exemplos: 
 f(x) = g(x) = (
 
 
)
 
 h(x) = w(x) = ( 
9. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
1ª) Sendo a 0 e a 1, tem-se que: = x = y 
2ª) A função exponencial f(x) = é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a >1 
 Tem-se então: > > , a, a R e a > 1. 
3ª) A função exponencial f(x) = é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 
 0 < a < 1. 
 Tem-se então: : > < , a, a R e 0 < a < 1. 
10) EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 É toda equação cuja incógnita se apresenta no expoente de uma ou mais potências de 
bases positivas e diferentes de 1. 
a) = 9 b) = 30 c) = 2. 4 
11) RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 A resolução de uma equação exponencial baseia-se na primeira propriedade, isto é, 
sendo a > 0 e a 1, tem – se que: 
 = x = y 
 
EXERCÍCIOS 
1 . Resolva em R as equações: 
1) 2) = 1 3) 4) 
5) 6) 7) 8) 
9) 10) 11) 12) 
 
13) 14) 
 
2. Determine, em R, o conjunto solução de cada uma das equações: 
1) (
 
 
)
 
 
 
 
 2) (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 3) (√ )
 
 √ 4) √ = (√ 
 
)
 
 
5) (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 6) (
 
 
)
 
 7)√ 
 
 √ 8) (√
 
 
 
)
 
 √
 
 
 
 
3) Determine o conjunto dos valores x, x R, que satisfazem cada uma das equações: 
1) 2) 3) 
4) 5) 2. 
 
4) Resolva em R as equações: 
1) 2) 3) 
4) 5) 
 
 6) 
 
 
 
 5 
5) Resolver em R as inequações: 
1) 2) 3) (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
4) ( ( 5) (√ )
 
 √ 
 
 6) (√ )
 
 
7) (
 
 
)
 
 8) 
 
12. LOGARITMOS 
 Sejam a e b números reais positivos e b . Chama-se logaritmo de a na base b o 
expoente x tal que = a. 
 Em símbolos: 
 
13. PROPRIEDADES 
 1ª) 
 2ª) 
 3ª) 
 
 4ª) 
 
 5ª) 
 6ª) 
 7ª) 
 
 
 
 8ª) 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Calcular os logaritmos: 
 a) b) 
 
 
 c) √ 
 
 d) 
 
 
 
 
2) Calcule os logaritmos: 
 a) b) c) d) 
 
 
 
 
 e) √ 
 
 f) g) h) 6 
 i) j) √ 
 
 k) √ √ 
 
 l) 
 m) n) 
 
 
 
 o) p) 
 
3) Determine x em cada igualdade: 
 a) b)c) d) 
 e) f) = 
 
 
 g) h) √ 
4) Sabendo que , calcule: 
 a) b) 
 
 
 c) d) 
 e) f) g) h) 
 
 
 
 i) √ j) √ 
 
 k) √ 
5) Sabendo que = 0,69 e = 0,47, calcule: 
 a) b) c) 
 
 
 d) 
 
 
 e) 
 f) g) h) √ 
 
 i) j) 
 
14) TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo. 
 sen 
 
 
 
 
 
 
 cos 
 
 
 
 
 
 
 tg 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
1) Sabendo que sen calcular o valor de 
x em cada figura. 
 
 
 7 
2) Sabendo que sen calcular o valor de 
x em cada figura. 
 
 
 
 
 
 
 
15) RELAÇÃO ENTRE O SENO, O COSSENO E A TANGENTE DE UM ÂNGULO 
AGUDO. 
 Dado um ângulo agudo de medida tem-se que: 
 tg = 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Dados sen determinar o valor de x na figura: 
 
 
 
16) A FUNÇÃO SENO 
 Consideremos a função f: R ao que associa cada número real x ao sen x. 
 D = R e o conjunto imagem; Im = { y R/ - 1 } 
 
17) GRÁFICO DA FUNÇÃO y = sen x 
 
 
 
 
 8 
 EXERCÍCIOS 
1) Esboce o gráfico da função y = 2 sen x 
2) Esboce o gráfico da função y = 3 + 2 sen x. 
3) Esboce o gráfico da função y = - 2 sen x. 
4) Esboce o gráfico de cada uma das funções: 
a) y = 3 sen x b) y = 4 sen x c) y = - 4 sen x d) y = 
 
 
 
e) y = 4 + 2 sen x f) y = 3 - 2 sen x g) y = - 3 + sen x 
 
17) A FUNÇÃO COSSENO 
 Considerando a função g: R R que associa cada número real a ao cos x. 
 O domínio e a imagem de g são, respectivamente, os conjuntos: 
 D = R; Im = { y R/ - 1 } 
18) GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = COS X 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Esboçe o gráfico de cada uma das funções: 
 a) y = 3 cos x b ) y = 4 cos x c) y = - 4 cos x d) y = 
 
 
 
 e) y = 4 + 2 cos x f) y = 3 – 2 cos x g) y = -3 + cos x h) y = 2 cos x 
 
 
 9 
 
 19) LIMITES 
 Dada uma função f: R R e um número R, se, quando x tende a , os valores 
de f(x) tendem a um número b, dizemos que ( = b. 
 Sendo f : R R uma função contínua, quando x tende a temos que f(x) tende a 
f( . Portanto: 
 Se f: R R é contínua, ( = f( ). 
 Intuitivamente, f: R R é contínua quando podemos fazer o seu gráfico sem tirar o 
lápis do papel. Neste caso, para calcular o limite quando x tende a basta substituir x por 
 em f(x). 
Exemplos: 
1) Como se comportam os valores da função y = 3x +5 quando x se aproxima do ponto 
p = 4? 
À medida que x se aproxima de 4, o valor 3x + 5 aproxima-se de 17. 
O limite é portanto L = 17 e indicaremos: 
 ( 
2) Como se comportam os valores da função y = quando x se aproxima 
do ponto p = 3? 
 À medida que x se aproxima de 3, o valor aproxima-se de 9 – 6 + 1 = 4. 
O limite é portanto L = 4 e indicaremos: 
 ( 
 
3) Como se comportam os valores da função y = 
 
 
 quando x se aproxima do ponto 
p = 2? 
 À medida que x se aproxima de 2, o valor 
 
 
 aproxima-se de 
 
 
 
O limite é portanto L = 0 e indicaremos: 
 ( 
 
 
) 
4) Como se comportam os valores da função y = 
 
 
 quando x se aproxima do ponto 
p = 2? 
 À medida que x se aproxima de 2, o valor 
 
 
 aproxima-se de 
 
 
, que é uma 
indeterminação e o raciocínio não pode ser aplicado. 
 
 10 
Para resolver essa questão, construímos duas tabelas de valores que se aproximam à 
esquerda e à direita do ponto p = 2, e procuramos concluir para que valor a expressão 
realmente converge. 
 x 1 1,9 1,99 1,999 
 y = 
 
 
 3 3,9 3,99 3,999 
 
 x 3 2,1 2,01 2,001 
 y = 
 
 
 5 4,1 4,01 4,001 
 
Não é difícil concluir que, à medida que x se aproxima de 2, os valores de y = 
 
 
 
aproximam-se do valor L = 4 
O limite é portanto L = 4 e indicaremos: 
 ( 
 
 
) 
OBSERVAÇÃO: 
 Pode ocorrer que as tabelas de valores à esquerda indicada por e à direita indicada 
por forneçam valores distintos. Nesse caso, dizemos que esses valores são os limites 
laterais, à esquerda e à direita do ponto. Entretanto, o limite no ponto não existe. 
 Pode ocorrer também que a função nem possa ser calculada em um dos lados do ponto. 
O limite nesse caso não existe. O que existe é o limite lateral que pode ser calculado. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Para cada função abaixo f(x) e para cada a, calcule ( quando existir ): 
 ( ( ( 
a) f(x) = b) y = 2x + 1, a = 3 c) y = 
 
 
 
d) ) y = 
 
 
 e) f(x) ={
 
 
 
f) y = {
 
 
 g) f(x) = {
 
 
 
h) y = √ , a = 7 i) y = 
 
 
 a = 2 
 11 
OBS: Convém lembrarmos algumas formas de fatoração: 
a) ( = ( a + b) ( a – b ) 
b) ( ( 
c) ( ( 
d) a ( ( onde são raízes da equação 
a 
e) ( = ( a + b) ( 
f) ( – = ( a - b) ( 
 
20) FORMAS INDETERMINADAS 
 Consideremos a função y = 
 
 
 e vejamos qual o limite quando x tende a 2; se x 
tender a 2 pela esquerda ou pela direita, notamos que o numerador tende a 0, bem como o 
denominador. Teríamos então uma fração impossível de ser calculada (
 
 
) e que é chamada 
de forma indeterminada. 
 Todavia, observamos que a expressão de f(x) pode ser simplificada ao fatorarmos o 
denominador, ou seja: 
 f(x) = 
( 
( ( 
 
 
 
 . 
 Assim sendo, as funções f(x) = 
 
 
 e h(x) = 
 
 
 têm um comportamento idêntico 
(exceto para x = 2, em que a 1ª não é definida). 
 Portanto, no cálculo do limite de f(x), quando x tende a 2, não interessa o que acontece 
quando x = 2 ( pois quando x tende a 2 ele é diferente de 2). Assim, no cálculo do limite 
f(x) e h(x) têm o mesmo comportamento. Então: 
 
 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
1. Dada f(x) = 3x – 11, x R, calcule os limites: 
a) ( b) ( c) ( 
2. Dada f(x) = – 7x + 6, x R, calcule os limites: 
a) ( b) (c) ( 
 12 
3. Calcule os limites indicados. 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 
4. Obtenha os limites: 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 
5. Calcule os limites indicados. 
 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 
d) 
 
 
 e) 
 
 
 f) 
 
 
 
g) 
 
 
 h) 
 
 
 i) 
 
 
 
j) 
 
 
 l) 
 
 
 m) 
 
 
 
n) 
 
 
 o) 
 
 
 p) 
 
 
 
q) 
 
 
 r) 
 
 
 s) 
 
 
 
t) 
 
 
 
 
21) LIMITES INFINITOS 
 Consideremos a função f(x) = 
 
 
 definida para todos os reais diferentes de 3. Vejamos 
o que acontece com f(x) nas vizinhanças de 3. 
 Calculemos o limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita: vamos atribuir a x os 
valores de uma sucessão que convirja para 3 pela direita, por exemplo: 
 (3,1; 3,01; 3,001; 3,0001; ...) 
 As correspondentes imagens são: 
 f(3,1) =
 
 
 ( 
 
 
 ( 
 
 
 
 Observamos que as imagens vão ficando cada vez maiores, superando qualquer valor 
fixado. Dizemos, neste caso, que o limite de f(x), quando x tende a 3 pela direita, é 
infinito, e escrevemos: 
 ( 
 
 
 13 
 Analogamente, para calcularmos o limite de f(x) pela esquerda, vamos atribuir a x, por 
exemplo, os valores: 
 ( 2,9; 2,99; 2,999; 2,9999; .....). 
 As correspondentes imagens são: 
 f(2,99) = 
 
 
 ( 
 
 
 ( 
 
 
 
 Observamos que as imagens vão ficando cada vez menores, ficando abaixo de qualquer 
valor fixado. Dizemos que o limite de f(x) é menos infinito, quando x tende a 3 pela 
esquerda, e escrevemos: 
 ( 
 
 
 
 De um modo geral, o limite de uma função é mais infinito quando os valores de f(x) 
vão ficando cada vez maiores, superando qualquer valor fixado; da mesma forma, dizemos 
que o limite de uma função é menos infinito quando os valores de f(x) vão ficando cada 
vez menores, de modo a se situarem abaixo de qualquer valor fixado. 
 
 EXERCÍCIOS 
1) Para cada função f(x) abaixo, calcule ( ( , quando 
existirem: 
a) f(x) = 
 
 
 b) f(x) = 
 
 
 c) f(x) = 
 
| |
 
d) f(x) = 
 
 
 e) f(x) = 
 
 
 f) f(x) = 
 
 
 
 g) f(x) = 
 
 
 h) f(x) = 
 
 
 i) f(x) = 
 
 
 
 j) f(x) = 
 
 
 k) f(x) = 
 
 
 l) f(x) = 5x + 
 
 
 
 m) f(x) = 
 
( 
 n) f(x) = 
 
 ( 
 o) f(x) = 
 
( 
 
22) LIMITES NOS EXTREMOS DO DOMÍNIO 
 Quando fizemos o estudo das funções no item anterior, vimos a importância de 
conhecermos o comportamento de uma função quando x era muito grande ( tendendo para 
infinito) ou muito pequeno ( tendendo para menos infinito). Na verdade, o que queríamos 
era determinar os valores dos limites, chamados limites nos extremos: 
 ( ( 14 
 A maneira de obtermos esses limites consiste em escolhermos uma sucessão que divirja 
para mais infinito, ou simplesmente para infinito ( , ou menos infinito ( - ), e 
determinarmos o comportamento da nova sucessão gerada por f(x). 
 Consideremos a função f(x) = 
 
 
 e tomemos uma sequência que divirja para infinito, por 
exemplo ( 10, 100, 1.000,......). 
 As correspondentes imagens são: 
f(10) = 
 
 
 ( 
 
 
 ( 
 
 
 
 Intuitivamente, percebemos que as correspondentes imagens convergem para 0. 
Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para infinito é 0 e escrevemos: 
 ( 
 
 
 
 Analogamente, para determinarmos o limite de f(x) quando x tende para menos 
infinito, tomemos uma sequência que divirja para menos infinito, por exemplo (- 10, - 100, 
- 1.000, .....). As correspondentes imagens são: 
f(- 10) = 
 
 
 ( 
 
 
 ( 
 
 
 
 Percebemos intuitivamente que as imagens também convergem para 0. Dizemos então 
que o limite de f(x) é 0 quando x tende a menos infinito, e escrevemos: 
 ( 
 
 
 
 Consideremos a função f(x) = . Se considerarmos as mesmas sucessões divergentes 
para mais e menos infinito dadas no exemplo anterior, poderemos concluir que: 
 ( 
 ( 
 
 
OBSERVAÇÕES 
1) Os limites nos extremos ( x tendendo a mais ou menos infinito ) podem ser um 
número real, ou ainda podem dar mais ou menos infinito, conforme os exemplos 
anteriores mostraram. 
2) O limite nos extremos de uma função polinomial é igual ao limite de seu termo de 
maior expoente, pois, colocando-se esse termo em evidência, todos os outros 
termos tendem a 0. Veja o exemplo: 
 
 15 
 ( 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
)= 
 
 Pois todos os termos (exceto o 1º) entre parênteses tem limite igual a 0 quando x tende 
a infinito. 
3) Como consequência da observação anterior, quando tivermos o limite nos extremos 
de um quociente de dois polinômios, ele será igual ao limite do quociente dos 
termos do maior expoente do numerador e denominador. Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Calcule os seguintes limites: 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 d) 
 
e) 
 f) 
 g) ( 
 
h) ( 
 i) ) ( 
 
j) ( 
 l) 
 
 
 
m) 
 
 
 n) 
 
 
 
o) 
 
 
 p) 
 
 
 
q) 
 
 
 r) 
 
 
 
s) 
 
 
 t) 
 
 
 
u) 
 
 
 v) 
 
 
 
 
23. LIMITE DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
a) 
b) 
c) 
 se a 
 
 
 com k . 16 
NOTE: 
 
24. LIMITE DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 Sejam . 
 Temos: 
 
 
25. LIMITE DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 Seja , a > 0 e . E a função y = . Então: 
 se b > 0.17