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ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO 
•	 Bacharel, licenciado e especialista em Matemática pela UFMG. Atuou como: chefe dos Departamen-
tos de Matemática do Centro Pedagógico, do Colégio Universitário e do Instituto de Ciências Exatas 
da UFMG; coordenador da área de Matemática do Projeto de Inovação Curricular e Capacitação de 
Docentes do Ensino Fundamental da Secretaria Estadual de Educação do Estado de Minas Gerais; 
coordenador da área de Matemática do Projeto de Correção do Fluxo Escolar para o Ensino Funda-
mental da Secretaria Estadual de Ensino do Estado da Bahia; e membro da equipe de consultores do 
Projeto de Capacitação de Professores de Ensino Médio da Rede Estadual de Ensino de Minas Gerais.
PAULO ANTÔNIO FONSECA MACHADO
•	 Bacharel e mestre em Matemática pela UFMG, doutor em Matemática pela Unicamp/UFBA. Atualmente 
é professor associado do Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exatas da UFMG, do 
qual foi chefe em vários mandatos.
2a edição, Belo Horizonte, 2015
ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO
PAULO ANTôNIO FONSECA MAChADO
Descobrindo e aplicando a
MATEMATICA
Descobrindo e aplicando a
6anoO
Ensino
FundamEntal
matemática
manual do proFEssor
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Copyright © 2004 by Alceu dos Santos Mazzieiro
 Paulo Antônio Fonseca Machado
Fundadores 
Gilberto Gusmão de Andrade
Zélia Almeida
Diretora editorial 
Zélia Almeida
Editora 
Pilar Espí
Editor de arte 
Jan Deckers
Ivan Reis
Coordenadora de produção 
Rúbia Calais
PRODUÇÃO EDITORIAL 
Projeto gráfi co/Capa 
Reginaldo Almeida
Ilustrações 
 Júlia Bianchi, Son Salvador e Duke
 desenho técnico: Sérgio Pessoa, Tuim, 
 Nivaldo Marques e Giselle Vargas
Revisão 
Silvana Costa
PRODUÇÃO GRÁFICA
Editoração eletrônica e Pré-impressão 
Tuim
Todos os os direitos reservados à
EDITORA DIMENSÃO
Rua Rosinha Sigaud, 201 - Caiçara
Telefax: (31) 3527-8000 
30770-560 - Belo Horizonte (MG) 
www.editoradimensao.com.br
 M477d Mazzieiro, Alceu dos Santos
 Descobrindo e aplicando a matemática; 
6o ano / texto de Alceu dos Santos Mazzieiro e 
Paulo Antônio Fonseca Machado;
 — Belo Horizonte: Dimensão, 2015. 2a edição.
(6º ao 9o ano do ensino 
fundamental – Matemática)
 ISBN - 978 - 85 - 7319 - 499 - 9 (LA) 
 ISBN - 978 - 85 - 7319 - 528 - 6 (LP)
1.Matemática-ensino fundamental. I.Machado. 
Paulo Antônio Fonseca.II.Título. III.Série.
 
CDU 51(075.2)
Ficha elaborada por Rinaldo de Moura Faria CRB/6 no 1006
2ª edição, 2015 
INICIOMat6_2015.indd 2 19/04/16 13:53
Estudante,
Este livro foi elaborado para que você converse bastante na aula de 
Matemática. Calma, não estamos dizendo para você perturbar o ambiente. 
Nada disso. A conversa a que nos referimos tem a ver com os exercícios 
e atividades aqui propostos, que vão estimular você a participar da aula o 
tempo todo, sozinho ou em grupo.
De que maneira? Fácil: respondendo perguntas, resolvendo e inventando 
problemas ligados ao dia a dia, montando e desmontando objetos, fazendo 
contas com a calculadora, interpretando ou fazendo gráficos, desenhando 
figuras ou interpretando desenhos de figuras, discutindo como resolver ou 
inventar problemas, descobrindo propriedades dos números e das figuras. 
Sobretudo, aplicando suas descobertas em problemas da vida prática e em 
situações relacionadas com as outras matérias que você estuda.
Você verá como a aula de Matemática se torna agradável com a parti-
cipação de todos.
Use este livro com carinho, pois ele será utilizado no próximo ano por 
outro aluno. Lembre-se de que não deve desenhar nem escrever nele, nem 
mesmo seu nome.
Uma última recomendação: crie o hábito de, assim que chegar em casa, 
fazer os exercícios marcados pela professora ou pelo professor. Principal-
mente por dois motivos: o primeiro, porque ainda estão em sua memória os 
assuntos estudados em aula, e o segundo porque, ao deixar para depois, 
imprevistos podem impedi-lo de resolver os exercícios. E esses são muito 
importantes para o complemento de sua aprendizagem.
Um abraço,
Os Autores
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Como você vai usar o livro
 
Este livro é formado por nove capítulos e um glossário.
Os sete primeiros capítulos visam apresentar o conteúdo teórico e prático do ano escolar 
correspondente. São divididos em algumas seções temáticas, que por sua vez se subdividem, 
cada uma, em três partes cujos títulos, conteúdos e objetivos descrevemos a seguir.
Além das seções temáticas, há três outras seções especiais, também descritas à frente.
O capítulo 8 tem por objetivo uma revisão dos assuntos estudados, e o capítulo 9 contém 
atividades complementares a cada um dos sete primeiros capítulos.
O glossário, que se encontra após o capítulo 9, permite rever o significado de termos usados 
no livro ou conhecer o significado de novos termos, principalmente os ligados ao dia a dia.
AS TRÊS PARTES DE CADA SEÇÃO DOS SETE PRIMEIROS CAPÍTULOS: 
EXPLORANDO O QUE VOCÊ JÁ SABE
Esta parte é composta de perguntas sobre assuntos que você já conhece e que são impor-
tantes para o estudo que virá a seguir.
APRENDENDO EM SALA DE AULA
Aqui são colocados diversos exercícios e atividades em sala de aula, que você vai fazer so-
zinho ou, na maioria das vezes, em grupo, sempre orientado pela professora ou pelo professor.
APRENDENDO EM CASA
São dispostos nesta parte exercícios e atividades para você resolver em casa. Nunca deixe 
de fazê-los, pois você e seus colegas irão apresentar e discutir as soluções nas aulas seguintes.
AS SEÇÕES ESPECIAIS: 
EXPLORANDO O QUE VOCÊ APRENDEU E APRENDENDO MAIS
Nesta seção você encontrará exercícios e atividades propostos como revisão e, principalmente, 
aplicação do que você aprendeu em problemas práticos.
SEÇÃO OLÍMPICA
Aqui você terá à sua disposição diversos problemas escolhidos e adaptados das provas da 
Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) e da Olimpíada Brasileira de 
Matemática (OBM), para você testar suas habilidades matemáticas.
VERIFIQUE SE VOCÊ APRENDEU
Lista de assuntos estudados no capítulo e números dos exercícios correspondentes. Essa 
lista é muito importante para que você reveja o estudo, descobrindo se aprendeu todos 
os assuntos, ou, caso contrário, voltando aos exercícios correspondentes e estudando-os 
novamente.
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Aos pais
Não faz muito tempo era bastante comum as pessoas terem aversão a Matemática. Motivo 
havia de sobra, basta reparar nas maneiras como se ensinava: exercícios sem qualquer aplicação 
prática, relacionados apenas e tão somente com a própria disciplina, davam a sensação de que 
havia dois mundos, o da Matemática e aquele em que vivemos.
Felizmente, os estudos sobre Educação Matemática e alguns documentos oficiais, como os 
Parâmetros Curriculares Nacionais, estão contribuindo de maneira decisiva para uma nova visão.
É com base principalmente nesses textos e documentos que propomos uma Matemática agra-
dável, participativa e voltada para todos os contextos do nosso dia a dia. Este livro é feito para 
que seus filhos sejam preparados para os desafios do mundo atual, no qual, todos sabemos, as 
transformações ocorrem de forma cada vez mais veloz. Essas rápidas transformações requerem 
de cada um de nós capacidade de decidir sobre situações novas, criatividade, compreensão das 
diversas linguagens, além de coragem e competência para o exercício da cidadania.
Para que a aprendizagem de seu filho seja a mais eficiente possível, é necessário que vocês 
colaborem acompanhando os estudos dele em casa, discutindo as atividades propostas (nunca 
as resolvendo) e participando do projeto pedagógico da Escola.
Por fim, justificamos com um exemplo cotidiano por que Matemática se deve aprender fa-
zendo. Para entender, observe a reação de uma criança bem pequena que “briga” para tomar 
a colherzinha da mão de quem a alimenta. Quando consegue, ela começa a levar a colherzinha 
aonariz, à testa, até acertar a boca. E daí em diante não admite mais ser alimentada por outra 
pessoa. Ou seja, ela quer “resolver o problema” sozinha.
Esta criança nos ensina, assim, que desde os primeiros meses de idade o ser humano apre-
senta como característica essa vontade, essa necessidade de aprender fazendo, em vez de 
esperar que alguém faça por ele.
Um abraço,
Os Autores
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CapItulo 1 - Figuras, números e gráficos 
Figuras e números .................................................................... 11
Números naturais, tabelas e gráficos ........................................ 16
Vistas e números ...................................................................... 21
Os objetos e os ângulos ........................................................... 29
As circunferências ..................................................................... 37
Perpendiculares, paralelas e transversais .................................. 40
Seção olímpica ......................................................................... 48
Verifique se você aprendeu ....................................................... 50
CapItulo 2 - Figuras, números e medidas
Os objetos e os polígonos ........................................................ 53
Os polígonos, seus lados e seus ângulos ................................. 57
Os polígonos regulares ............................................................. 62
Lendo e escrevendo números naturais ..................................... 64
As frações ................................................................................ 70
Frações e números decimais .................................................... 80
Medidas de comprimento e os números decimais .................... 87 
Seção olímpica ......................................................................... 90
Verifique se você aprendeu ....................................................... 92
CapItulo 3 - Números naturais e o dia a dia
Números naturais, igualdade e ordem ....................................... 95
Somando ou subtraindo ........................................................... 97
Adição e subtração de números naturais .................................. 99
Cálculo mental e estimativas ..................................................... 102
A multiplicação e o dia a dia ..................................................... 110
A divisão e o dia a dia ............................................................... 115
As possibilidades e a potenciação ............................................ 121 
Seção olímpica ......................................................................... 130
Verifique se você aprendeu ....................................................... 132
SumArio
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CapItulo 5 - Números, figuras e o dia a dia
Múltiplos de números naturais .................................................. 175
Divisores de números naturais .................................................. 180
Contando e desenhando .......................................................... 184
Caminhos e simetrias ................................................................ 190 
Seção olímpica ......................................................................... 198
Verifique se você aprendeu ....................................................... 202
CapItulo 6 - Medidas e o dia a dia
Medidas, o real e o dia a dia ..................................................... 205
Medidas de comprimento e o dia a dia ..................................... 211
Medidas de tempo e o dia a dia ................................................ 216
Medidas de área e o dia a dia ................................................... 221
Volumes e o dia a dia ................................................................ 226 
Seção olímpica ......................................................................... 232
Verifique se você aprendeu ....................................................... 236
CapItulo 7 - Figuras, números e proporcionalidade
Razões e grandezas ................................................................. 239
Proporções e grandezas proporcionais ..................................... 246
Ampliações e reduções – semelhanças .................................... 250
Por cento .................................................................................. 256 
Seção olímpica ......................................................................... 259
Verifique se você aprendeu ....................................................... 260
CapItulo 4 - Medidas, frações e decimais
Números e medidas .................................................................. 135
Somando ou subtraindo ........................................................... 139
Multiplicando ............................................................................ 148
Dividindo ................................................................................... 153
Frações, a divisão e os decimais .............................................. 157
Arredondamentos e estimativas ................................................ 161
Seção olímpica ......................................................................... 170
Verifique se você aprendeu ....................................................... 172
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CapItulo 8 - Revendo e aprendendo mais
Revendo o capítulo 1 .............................................................. 263
Revendo o capítulo 2 ................................................................ 265
Revendo o capítulo 3 ................................................................ 267
Revendo o capítulo 4 ................................................................ 269
Revendo o capítulo 5 ................................................................ 270
Revendo o capítulo 6 ................................................................ 272
Revendo o capítulo 7 ................................................................ 273
Seção olímpica ......................................................................... 281
CapItulo 9 - Atividades complementares
Atividades complementares do capítulo 1 ................................. 285
Atividades complementares do capítulo 2 ................................. 295
Atividades complementares do capítulo 3 ................................. 301
Atividades complementares do capítulo 4 ................................. 308
Atividades complementares do capítulo 5 ................................. 311
Atividades complementares do capítulo 6 ................................. 315
Atividades complementares do capítulo 7 ................................. 320
Desafios.................................................................................... 324
Glossário .................................................................................. 327
Sugestões de leituras e sites para os alunos ............................. 333
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CapItulo 1
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Figuras, númerose gráficos
C
ri
st
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ci
ob
an
u 
| D
re
am
st
im
e.
co
m
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Este capítulo es-
tabelece conexões 
entres três blocos de 
conteúdo: geometria, 
números e tratamento 
da informação, como 
também entre estes 
e situações do dia a 
dia. Recomendamos 
que o professor ex-
plore, tanto no qua-
dro quanto usando os 
mais variados recur-
sos, situações seme-
lhantes às propostas. 
Houve o cuidado de 
não explorar, neste 
capítulo, situações que 
levassem o aluno a 
cálculos de adições, 
subtrações ou multi-
plicações complexas 
(“com reserva”). Ele 
será solicitado a traba-
lhar essas situações no 
capítulo 3.
Ao lado,explicita-
mos os objetivos gerais 
do capítulo. Sugerimos 
um breve comentário 
sobre os mesmos, uti-
lizando as ilustrações 
da página.
Professor(a): Neste 
e em outros capítu-
los, são exploradas 
diversas si tuações 
para que os alunos 
“descubram”, a partir 
de casos particula-
res, propriedades de 
números, de figuras, 
regras de cálculos 
etc. É extremamente 
importante que, após 
estas “descobertas”, 
sejam feitas observa-
ções af irmando que 
tais conclusões são 
verdadeiras (e, even-
tualmente, provar estes 
fatos) para que não 
fique a falsa ideia de 
que, a partir de poucos 
casos particulares, é 
possível generalizar. 
Sempre que possível, 
use expressões algé-
bricas para expressar 
tais generalizações, 
bem como algumas 
regularidades relacio-
nadas com sequências 
numéricas.
Você já conhece várias figuras geométricas 
e sabe fazer contas com números naturais.
Neste capítulo, você vai aprender como:
• Identificar figuras planas e figuras espaciais no mundo ao seu redor.
• Contar faces, arestas e vértices de figuras espaciais.
• Identificar vistas de objetos ou figuras espaciais.
• Contar figuras que formam uma figura dada. 
• Construir figuras usando dobraduras ou desenhos.
• Completar sequências de números ou de figuras.
• Interpretar informações dadas em tabelas ou gráficos.
• Resumir informações em tabelas ou gráficos.
• Resolver problemas relacionados com tabelas, gráficos, números ou figuras.
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11
 Observe os dois objetos das figuras abaixo e responda:
• Qual deles tem a forma de um cubo?
• Qual é o nome da figura geométrica que o outro objeto lembra?
• Quantas faces tem cada uma dessas figuras?
• Qual é o nome das figuras planas que você lembra ao observar as faces de um 
cubo? 
 Observe o paralelepípedo e resolva os exercícios de 1 a 3:
1. Conte e responda:
a) Quantas faces tem o paralelepípedo?
b) Quantos vértices?
c) Quantas arestas?
2. A face da frente e a da direita do paralelepípedo se encontram em uma 
aresta. Escreva as posições de duas faces:
a) Que não se encontram.
b) Que se encontram em uma aresta.
3. No paralelepípedo, a face da frente é oposta à face de trás. 
a) Qual é a face oposta à face da direita?
b) Qual é a face oposta à face de baixo?
Recado ao(à) Professor(a): 
Os conceitos e proposi-
ções da Geometria usados 
nesta coleção são coerentes 
com a axiomática de A.V. 
Pogorelov (livro “Geometria 
Elemental”. Moscou: Edito-
rial Mir, 1974). 
 
Todas as atividades que 
iniciam os estudos dos temas 
têm como título “Explorando 
o que você já sabe” e devem 
ser respondidas oralmente 
pelos alunos. Quando neces-
sário, explore mais as situa-
ções com outras perguntas. 
Procure verificar se todos 
os alunos compreendem 
os significados dos termos 
usados. Sempre que possível, 
crie situações semelhantes 
no quadro, explorando-as.
• Dado.
• Paralelepípedo.
• Seis.
• Quadrados.
É aconselhável anteceder 
este tema usando modelos, 
ob jetos, embalagens, o am-
biente da sala de aula, e ex-
plorar ativi dades análogas às 
propostas nos exercícios e 
atividades re la cionadas com 
esta subunidade. 
Proponha à turma ativi-
dades de identificação entre 
as faces, arestas e vértices de 
embalagens e as faces, ares-
tas e vértices dos desenhos 
correspondentes (veja ilus-
trações das páginas 11 a 13 
ou faça desenhos no quadro, 
se necessário). Verifique, por 
meio de perguntas, se todos 
entendem que os tracejados 
(dos desenhos) representam 
partes não visíveis (quando 
observamos os objetos cor-
respondentes). Por exemplo, 
pergunte-lhes, em relação ao 
paralelepípedo representado 
na página 11: Quais são as 
faces não visíveis, se olhar-
mos o sólido correspondente 
na mesma posição da figura? 
R) A da esquerda, a dos fun-
dos e a de baixo.
Por questão de economia 
de espaço, muitas das res-
postas inseridas nas margens 
são breves. Entretanto, é 
necessário criar nos alunos o 
hábito de enunciar as respos-
tas coerentes com as pergun-
tas. Exemplo: Quanto Jorge 
pagou pela bola? Resposta: 
Jorge pagou R$... pela bola 
(e não, simplesmente: R$…).
 
Fo
to
s:
 N
az
ar
et
h 
L
ei
te
/
L
áp
is
 L
az
úl
i, 
20
06
1. a) Seis;
 b) Oito;
 c) Doze.
2. a) A face da direita e a face da esquerda (ou outros pares); 
 b) A face da frente e a face de cima (ou outras).
3. a) A face da esquerda;
 b) A face de cima.
Figuras e números
Explorando o que você já sabe
Aprendendo em sala de aula
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12
 Marcelo recortou uma embalagem em forma de paralelepípedo e obteve 
uma planificação da mesma. Na figura a seguir, você vê uma representa-
ção da planificação obtida por Marcelo após cortar abas, na qual cada 
face está identificada por uma letra.
 Observe a planificação e responda os itens 4 a 7 a seguir:
4. Quantas e quais faces da embalagem não eram opostas à face O?
5. Identifique pelas letras as faces quadradas que tinha a embalagem.
6. Identifique pelas letras as faces retangulares que tinha a embalagem.
7. Verdadeiro ou falso: R e N representam duas faces opostas que tinha a 
embalagem.
8. Observe as figuras, seus nomes e a tabela:
 Cubo Prisma de base 
triangular
Pirâmide de base 
retangular
Professor(a): Para a se-
quência das atividades das 
aulas, recomendamos criar o 
hábito de ler as sugestões que 
fazemos, antes de explorar 
os exercícios cujos números 
das respostas são colocados 
posteriormente a essas su-
gestões, porque a maior parte 
delas ou reforça atividades 
anteriores, ou, principalmen-
te, prepara os alunos para as 
atividades seguintes.
Corte uma embalagem de 
pape lão em forma de pa ra-
lelepípedo re tângulo, desdo-
bre-a, corte as abas e encoste-
-a totalmente no quadro para 
que os alunos compreendam o 
que é uma pla ni ficação.
Explore objetos cujas fa-
ces tenham as formas das fi-
guras geométricas estudadas 
no capítulo. Peça aos alunos 
que tragam, para a sala de 
aula, objetos e embalagens 
que atendam à concretização 
desse objetivo.
As duas primeiras figuras 
do exercício 8 são vistas de 
um cubo e um prisma de 
base triangular. Comente 
que, nestas figuras, para se 
ter ideia do sólido correspon-
dente, as formas de algumas 
faces ficam deformadas. Por 
exemplo, na figura do cubo, 
a face superior e a lateral, que 
têm forma de paralelogramo, 
representam faces que, no só-
lido correspondente, são qua-
drados. O mesmo fato ocorre 
com a figura do prisma, em 
que estão representadas duas 
faces não visíveis na forma 
de paralelogramos, mas que, 
no sólido correspondente, 
são retângulos. Em exer-
cícios futuros, os alunos irão 
desenhar essas figuras.
 
Não se deve exigir que os 
alunos copiem esta ou qual-
quer outra tabela futura. Basta 
que escrevam (no caderno) 
as letras e as respostas con-
venientes.
8. a) 6;
 b) 12;
 c) 8;
 d) 5;
 e) 9;
 f) 6;
 g) 5;
 h) 8;
 i) 5.
Figura Número de faces Número de arestas Número de vértices
Cubo a b c
Prisma de base 
triangular
d e f
Pirâmide de 
base retangular
g h i
P
Q N M
O
R
4. Três faces: R, Q e M
5. Três faces: Q e M
6.As faces P,N,O e R
7.Verdadeiro.
4. Quatro faces: R, Q, M e N.
5. Q e M.
6. As faces P, N, O e R.
7. Verdadeiro.
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13
 Veja que a letra a da tabela da página 12 deve ser substituída pelo 
número 6 porque o cubo tem 6 faces. Agora, escreva em seu caderno 
os números que substituem corretamente todas as outras letras de b 
até i.
9. Escreva os nomes das figuras espaciais correspondentes a cada uma 
das planificações a seguir:
 
a) b)
 
c) d)
Desenhe no qua dro alguns 
polígonos: quadrado, retân-
gulo, triângulo, pen tágono e 
hexágono e peça os nomes. 
Ve rifique se todos já co-
nhecem o termo “polígono” 
e, caso necessário, explore 
seu signi ficado. De se nhe, 
também, outros prismas e 
pirâ mides, explorando a 
iden tificação dos mesmos.
Explore plani fi cações de 
emba la gens para que os alu-
nos identifiquem as formas 
das figuras espaciais corres-pon dentes.
Peça que observem as 
figuras do exercício 8 (na 
página 12) e descubram duas 
delas que têm o mesmo nú-
mero de faces. Pergunte: 
a) Quais as duas figuras 
espaciais mais lembradas 
quando observamos a forma 
das embalagens das diversas 
mercadorias de um super-
mercado ou de uma farmá-
cia? (R: Paralelepípedos de 
base retangular e cilindros).
b) Vocês conhecem algum 
artigo cuja embalagem tem 
a forma de um prisma de 
base triangular? (R: Alguns 
chocolates.)
Peça que associem as for-
mas de três objetos escolares 
com figuras espaciais (borra-
chas, lápis sem ponta, caixas 
de lápis etc.).
Sugira ou exiba para os 
alunos o interessante vídeo 
“Diálogo geométrico” no site 
http://www.dominiopublico.
gov.br.
Trabalhe com modelos em 
papel, como as figuras do 
exercício 9, usando-as para 
formar prismas ou pirâmides.
Neste texto, usamos os 
termos figura plana e figura 
espacial de modo intuitivo. 
Explore os significados des-
ses termos usando material 
concreto. Observações aná-
logas se aplicam a outros 
termos que já foram ou serão 
usados no texto de modo 
intuitivo, como os listados 
na relação de revisão no final 
desse capítulo. Para a maior 
parte desses termos, é pos-
sível explorar o significado 
usando material concreto, 
desenhando ou apresentando 
exemplos variados. 
Nas figuras anteriores,
 você vê um prisma de base triangular 
e uma pirâmide de base retangular.
Agora, veja mais outros
 tipos de prismas e pirâmides:
9. a) Cubo;
 b) Paralelepípedo;
 c) Prisma de base triangular;
 d) Pirâmide de base triangular.
Figura Nome Polígono da base
Prisma de base 
pentagonal
Pentágono
(5 lados e
5 ângulos)
Pirâmide de base 
hexagonal
Hexágono
(6 lados e 
6 ângulos)
S
on
 S
al
va
do
r
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14
 Observe as figuras espaciais representadas nas ilustrações a seguir. Note 
que o paralelepípedo, o cubo, a pirâmide e o prisma têm faces contidas 
em superfícies planas. As outras figuras representadas nas ilustrações 
têm faces contidas em superfícies curvas.
10. Diga o nome da figura espacial que você associa à forma de cada um 
dos objetos a seguir: 
a) Uma lata de azeite; h) Parte inferior de um pião; 
b) Pilha de aparelho elétrico; i) Casquinha de sorvete; 
c) Ponta de um lápis; j) Bola de árvore de Natal; 
d) Bola; k) Vela sem pavio;
e) Aparelho de micro-ondas; l) Ponta de um prego;
f) Rolo de pintura; m) Globo terrestre;
g) Chapéu de palhaço; n) Cabeça de parafuso sextavado.
Peça aos alunos que tra-
gam para a próxima aula 
algu mas embalagens cu jas 
formas lem brem as que já 
foram estu dadas, explorando-
-as, no início da aula, com 
atividades de verif icação, 
ou que acrescentem novos 
conhecimentos.
ATIVIDADE EXTRA
A seu critério, explore as 
atividades que julgar mais 
pertinentes no momento:
Desenhar no quadro re-
tas horizontais, verticais, 
paralelas, perpendiculares, 
inclinadas etc., e explorar 
atividades relacionadas com 
diversos conceitos como, por 
exemplo: ser paralelo a, ser 
perpendicular a, ser inclinado 
(em relação a), ser horizontal, 
ser vertical.
Separar e classif icar 
objetos pela forma, pelas 
dimensões, ou por outras 
características, usando pe-
quenos sólidos geométricos, 
bem como formas geomé-
tricas planas recortadas em 
papelão, plástico etc. Usar 
triângulos, quadrados, retân-
gulos, trapézios, paralelogra-
mos, discos, cubos, esferas, 
pirâmides, cones, prismas 
de diversas bases, variando 
tamanhos e cores.
OBSERVAÇÕES IMPOR-
TANTES:
1a. Os exercícios 10 e 11 
visam a uma compreensão 
intuitiva das figuras espaciais 
neles exploradas. É necessá-
rio observar que as formas 
dos objetos dão uma ideia 
aproximada das formas das 
figuras a elas associadas.
2a. Para simplificar enun-
ciados, constantemente usa-
remos recursos como, por 
exemplo, “observe o paralele-
pípedo” (como no exercício 
1) em vez de “observe a 
f igura que representa um 
paralelepípedo”.
3a. A menos que fique explí-
cito no enunciado, ao nos re-
ferirmos a pirâmides, cones, 
cilindros, prismas, estaremos 
restritos às respectivas f i-
guras não oblíquas. (Veja 
sugestões ao lado.)
4a. O termo “paralelepípedo” 
(salvo menção em contrário) 
deve ser entendido como pa-
ralelepípedo de base retangu-
lar (que também é chamado 
de bloco retangular).
Comente estes fatos com 
os alunos.
5a. a) Chame a atenção do 
aluno para o conceito de base. 
A base de uma figura espacial 
nem sempre é a parte que 
numa ilustração aparece na 
parte inferior: a base é a face 
que se define como tal. Por 
exemplo, o prisma de base 
triangular na ilustração está 
deitado sobre uma de suas 
faces, mas estamos chaman-
do de base à face triangular, 
que aparece, na perspectiva 
adotada, em nossa direção.
PARALELEPÍPEDO DE BASE RETANGULAR CILINDRO
CUBO CONE
PIRÂMIDE DE BASE RETANGULAR PRISMA DE BASE TRIANGULAR
10. a) paralelepípedo; 
 b) cilindro; 
 c) cone; 
 d) esfera; 
 e) paralelepípedo; 
 f) cilindro; 
 g) cone; 
 h) cone; 
 i) cone; 
 j) esfera;
 k) cilindro; 
 l) cone; 
 m) esfera; 
 n) prisma de base 
 hexagonal.
SUGESTÕES
1a Exiba modelos (ou faça desenhos no quadro) de algumas figuras espaciais oblíquas. 
2a Explore o fato de que cilindros e cones não oblíquos (chamados de cilindro reto e cone reto) podem ser obtidos girando, 
respectivamente, um retângulo em torno de um de seus lados e um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. 
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15
11. Escreva os nomes das figuras espaciais que você lembra ao observar 
as formas dos objetos a seguir:
12. Desenhe, em seu caderno ou no papel quadriculado, colorindo o interior:
a) Um quadrado. d) Um pentágono. 
b) Um retângulo. e) Um hexágono. 
c) Um triângulo.
13. Escreva os nomes das figuras espaciais representadas a seguir:
11. Paralelepípedos, cilindros, 
cones, esferas e pirâmides.
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“Aprendendo em casa” para 
verificar se os alunos estão 
aptos a resolvê-las.
Professor(a): Em diversos 
enunciados escrevemos “es-
creva’, “desenhe”, sem nos 
preocupar em acrescentar “no seu 
caderno”, pois os alunos já foram 
advertidos do fato de o livro ser 
não consumível. Mas nunca é 
demais lembrá-los disso.
12. Desenhos do aluno.
13. a) Prisma de base hexagonal;
 b) Pirâmide de base penta-
gonal.
14. a) 8; 12; 18;
 b) 6; 6; 10.
15. a) Paralelepípedo; b) Cilin-
dro; c) Cone; d) Cilindro.
Caso julgue oportuno, pode-
-se estabelecer a se guinte ativi-
dade com caráter de jo go:
Jogo: Qual é a figura?
Personagens do jogo: objetos 
com as formas das figuras espa-
ciais estudadas, ou desenhos das 
mesmas ou planificações.
Equipes: duas equipes a e b 
que sorteiam um representante 
ra e rb, respectivamente.
Ra entrega a você duas perso-
nagens do jogo (em qualquer das 
formas citadas acima) sem que 
o membro da equipe b as veja. 
Suponha que sejam um prisma 
hexagonal e um paralelepípedo. 
Você começa a dar pistas para 
rb. Por exemplo: a primeira 
tem 8 faces (ou: a primeira tem 
18 arestas) (ou: a primeira é um 
prisma). Rb desenha ou escreve 
o nome no quadro. Se acertar, 
recebe novas pistas sobre a 
segunda personagem. Se errar, 
você começa a dar pistas para 
ra sobre as personagens que 
rb entregou, até que ele erre. A 
cada erro de um representante, 
você passa a dar pista para o 
outro representante. Os erros 
que ra e rb forem cometendo 
serão anotados em uma tabela 
no quadro. Ganhará a equipe que 
menor número de erros cometer.
As pistas que você vai dar 
podem ser relacionadas com nú-
meros de faces, vértices, arestas, 
sobre medidas de arestas ou de ân-
gulos ou sobre para lelismo ou não 
paralelismo de faces ou arestas.
Alternativa: as pistas po-
dem ser dadas pelos próprios 
representantes: ra para rb e rb 
para ra.
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01
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14. Veja novamente as figuras anteriores, conte e responda:
a) Quantasfaces, vértices e arestas tem o prisma de base hexagonal?
b) Quantas faces, vértices e arestas tem a pirâmide de base pentagonal?
15. Escreva o nome da figura espacial que se assemelha a cada uma das 
formas dos objetos a seguir:
a) Uma caixa de dentifrício. c) Um funil. 
b) Uma lata de leite em pó. d) Uma pilha de rádio. 
a) b) 
Aprendendo em casa
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16
Desafio!
 João é pintor e na semana passada, de segunda a 
sexta-feira, pintou somente peças em forma de pirâ-
mides de base retangular. Ele anotou em uma tabela 
quantas peças pintou em cada dia da semana. Para 
isso, cada segmento representa uma peça pintada. 
Por exemplo, os quatro segmentos do quadrinho 
 representam 4 peças pintadas.
	 Anotações do João:
ATIVIDADES ORAIS
 
• 15 peças.
• 3a feira.
Resposta do desafio.
Os dois últimos segmen-
tos da 3a. feira completam, 
para 5 segmentos, o terceiro 
quadrinho da 4a. feira. Como 
no terceiro quadrinho da 
5a. feira falta um segmento, 
multiplicamos 5 x 15 (nú-
mero de linhas x número de 
quadrinhos como se fossem 
completos em cada linha) e, 
do produto obtido, subtraí-
mos l (porque o último qua-
drinho da 5a. feira somente 
tem 4 segmentos). Logo, 
João pintou ao todo 74 peças 
(5 x 15 – 1).
Leia, no manual (infor-
mações úteis para os profes-
sores), a parte denominada 
“A resolução de problemas”, 
seção 8.2, antes de trabalhar 
os problemas deste e de ou-
tros capítulos.
16. a) 30 faces;
 b) 60 reais.
17. a) 5 x 6 = 30. Porque ele 
pintou 5 caixas de 6 
faces cada uma.
 b) 30 x 2 = 60. Porque, 
para pintar cada face, 
gasta 2 reais. Logo, 30 
faces gastam 60 reais.
Nos exercícios 16 e 18 
são exploradas estratégias 
diferentes para resolver um 
mesmo problema. Sempre 
que possível, proponha aos 
alunos que discutam manei-
ras diferentes de se resolver 
um mesmo problema e as 
utilizem.
18. 1a) 6 x 2 para calcular 
quanto custa pintar 
cada caixa (6 faces ao 
preço de 2 reais por 
face).
 2a) 12 x 5 para calcular 
quanto ele gastou para 
pintar todas as caixas 
(5 caixas ao preço de 
12 reais cada).
• Quantas peças João pintou na segunda-feira?
• Em qual dia João pintou mais peças?
Observando a tabela, como faço para calcular quantas peças João 
pintou ao todo, nesta semana, usando uma multiplicação e uma 
subtração?
16. Ontem, João pintou 5 caixas cúbicas de mesmo tamanho. Para pintar 
cada face, João gasta 2 reais em tinta. Calcule:
a) O total de faces das caixas que ele pintou ontem.
b) Quantos reais ele gastou para pintar todas essas caixas.
17. Qual conta você fez:
a) Para resolver a parte a do exercício anterior? Por quê?
b) Para resolver a parte b? Por quê?
18. O professor disse que há outras maneiras de calcular quanto João gastou 
ao todo. Discuta com seus colegas e diga quais seriam essas contas. 
Justifique sua resposta.
Números naturais, tabelas e gráficos
Explorando o que você já sabe
Aprendendo em sala de aula
2a feira 3a feira 4a feira 5a feira 6a feira
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17
19. Hoje, João gastou 48 reais para pintar todas as caixas cúbicas que ele 
fez, ao mesmo custo de 2 reais por face. Quantas caixas ele pintou? 
20. Quais contas você fez para resolver o exercício anterior? Por quê?
21. Um prédio tem 10 andares. Cada andar tem 30 janelas. Cada janela tem 
2 partes de vidro. 
a) O prédio tem quantas janelas?
b) Quantas partes de vidro existem, ao todo, nas janelas do prédio?
22. Uma estante de loja tem 10 prateleiras. Cada prateleira tem 30 divisões. 
Em cada divisão existem 2 peças iguais.
a) Quantas divisões existem, ao todo, nas prateleiras?
b) Quantas peças iguais existem na estante?
23. Um prédio de 10 andares tem 360 janelas. Se os andares têm todos a 
mesma quantidade de janelas, quantas janelas existem em cada um 
deles?
24. Discuta com seus colegas e responda:
a) O que você e eles notaram de parecido nos problemas 21 e 22?
b) Qual conta vocês fizeram para resolver o problema 23?
19. 4 caixas.
20. 48 : 6 = 8; 8 : 2 = 4.
 Porque, dividindo 48 
por 6, encontrei quan-
to custou para pintar as 
faces das caixas que ele 
fez. Como custou 2 reais 
cada face, dividi 8 : 2 = 
4 e concluí que ele fez 4 
caixas.
21. a) 300;
 b) 600.
22. a) 300;
 b) 600.
Ver observação após 
a resposta 24.
23. 36.
24. a) Eles têm respostas 
iguais porque, para 
resolvê-los, fizemos 
o mesmo raciocínio 
e as mesmas con-
tas: 10 x 30 = 300 e 
300 x 2 = 600;
 b) 360 : 10.
Nos exercícios 17, 20 e 24, 
pede-se aos alunos que expli-
citem as contas que fizeram 
para resolver os problemas 
anteriores. Explore sempre 
que possível esta atividade, 
mesmo que não esteja pro-
posta no texto.
Os dois exercícios 21 e 22 
visam explo rar contextua-
lizações diferentes de uma 
mesma situação ma temática: 
uma multi plicação dos fa tores 
10, 30 e 2. Esta é a primeira 
situação dentre várias que se-
rão exploradas no sentido de 
conduzir os alunos a genera-
liza ções e a per ceberem que 
diversos proble mas perten-
cem a uma mesma “família”. 
Gra da ti va mente, eles devem 
perceber que vários pro-
blemas po dem ser resol vidos 
com uma mesma ope ração, 
uma mes ma equação, um mes-
mo raciocínio.
Observe que os problemas 
anteriores envolvem mul-
tiplicações e divisões “fá ceis”, 
pois o objetivo dos mes mos não 
é verificar se os alunos sabem 
resolver ope rações mais com-
plexas. Ao abordar o capítulo 
relacio nado com essas opera-
ções, oferece re mos oportuni-
dade de verificar se os alunos 
sabem efetuar cálculos das 
operações ditas “com reser-
va” , apresen tando problemas 
cu jas so luções requeiram 
a abor dagem em grau de 
dificul dade crescente de tais 
ope ra ções.
Antes de responder,
meus parabéns! Gostei de ver que 
você quer aprender mais. Agora você 
vai começar a aprender um pouco 
sobre gráficos.Professor,
o que é um 
gráfico?
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18
Os exercícios que seguem 
visam uma primeira explo-
ração de tabelas e gráficos. É 
recomendável que sejam ante-
cedidos por atividades sim ples, 
feitas com tabelas e gráficos 
retirados de jornais ou revistas. 
Inicialmente, destaque os títu-
los, as grandezas envolvidas, 
o que significam os valores 
numéricos das tabelas ou suas 
correspondentes re pre sen-
tações por retângulos (quanto 
maior o valor, maior o com-
primento do retângulo), bem 
como a fonte. Dê preferência 
às tabelas ou gráficos que 
envolvam fatos significativos 
para alunos do sexto ano, bem 
como os relacionados com o 
dia a dia do cidadão comum.
 Pela grande importância 
do tema, ele voltará a ser 
abordado neste volume e nos 
demais, apresentando, inclu-
sive, outros tipos de tabelas 
e gráficos.
25. a) Produção do João de 11 
a 15 de julho;
 b) O possível total de 
peças pintadas a cada 
dia;
 c) O total de peças pinta-
das no dia 12 (18);
 d) Rosa e azul.
Obs.: Futuramente, serão 
explorados mais detalhes 
sobre gráficos com títulos, 
legendas, fontes etc. 
Explore atividades com 
passagens de tabelas para 
gráficos e vice-versa.
26. a) Dia 20; 17;
 b) Dia 22; 13;
 c) 62;
 d) 61;
 e) de 18 a 21;
 f) 
18
19
20
21
22
Solicite, ao máximo, que os 
alunos explicitem que contas 
fizeram para resolver as di-
versas situações-problema e, 
principalmente, o raciocínio 
desenvolvido para resolvê-
-las. (Como nos exercícios 
17, 20 e 24.)
 O patrão de João gosta muito de gráficos. Veja como ele resumiu em 
um gráfico os dados da tabela que João fez:
25. Observe o gráfico e responda: 
a) Qual é o título do gráfico?
b) O que representam os números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., escritos na parte inferior 
do gráfico?
c) O que representa o retângulo amarelo?
d) Quais são as cores dos retângulos que representam quantidades iguais de peças 
pintadas pelo João?
26. Veja outro gráfico feito pelo patrão do João:
 Agora, responda ou faça o que se pede:
a) Em qual dia João pintou mais peças e quantas peças ele pintou nesse dia?
b) Em qual dia João pintoumenos peças e quantas peças ele pintou nesse dia?
c) Calcule quantas peças ele pintou de 18 a 21 de julho.
d) Calcule quantas peças ele pintou de 19 a 22 de julho.
e) Ele pintou mais peças de 18 a 21 ou de 19 a 22 de julho?
f ) Monte uma tabela correspondente ao gráfico.
PRODUÇÃO DO JOÃO NA SEMANA DE 11 A 15 DE JULHO
PRODUÇÃO DO JOÃO NA SEMANA DE 18 A 22 DE JULHO
TOTAL DE PEÇAS PINTADAS PELO JOÃO
18
19
20
21
22
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19
27.a) 75;
 b) 15;
 c) O total de peças pintadas 
foi de 75, a média foi 15;
 d) e e) Professor(a): Orien-
te a discussão dos alu-
nos sobre esse assunto. 
Comente que a média 
aritmética é uma forma 
de medir a quantidade 
“ideal” de peças que 
deveriam ser pintadas 
por dia no período, ou 
seja, uma forma mais 
regular e econômica de 
trabalhar. Por exemplo: 
se João pinta mais pe-
ças num dia e menos 
em outro, em teoria ele 
gasta mais energia na-
quele e menos nesse. 
Explique que o assunto 
será abordado com mais 
detalhes em anos poste-
riores. Peça aos alunos 
que façam uma pesquisa 
sobre a Estatística e o 
uso da média aritmética: 
definições, exemplos em 
jornais, etc.
Nos exercícios 27 e 31, são 
exploradas as primeiras ideias 
de regularidade: a descober-
ta de leis de formação das 
sequências numéricas.
As regularidades serão 
extremamente úteis na am-
pliação dos conjuntos numé-
ricos, na descoberta de regras 
de sinais e na justificativa de 
algoritmos de operação com 
números.
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“Aprendendo em casa” para 
verificar se os alunos estão 
aptos a resolvê-las.
28. a)
2a
3a
4a
5a
6a
 b) 4a feira;
 c) 5a feira; 6;
 d) 2a e 6a feira;
 e) 3a feira;
 f) 22. 
27. O patrão de João leu num jornal que os operários de uma fábrica de 
móveis produziam cada um, em média, 24 cadeiras por dia. Então ele 
resolveu calcular quantas peças João pintou em média por dia de 18 
a 22 de julho, usando os dados do gráfico que fez, e encontrou o valor 
de 15 peças. Para acompanhar o cálculo do patrão de João, responda 
ou faça o que se pede:
a) Calcule quantas peças João pintou de 18 a 22 de julho.
b) Divida o valor encontrado no item anterior pelo número de dias de trabalho no 
período. O valor obtido é a média aritmética da quantidade de peças pintadas por 
João no período.
c) Repita os mesmos cálculos para o período de 11 a 15 de julho, usando os dados do 
gráfico do exercício 25.
d) Discuta com seus colegas: o que se pode concluir comparando os valores encontrados 
nos itens b e c acima? Qual a relação desses valores com as quantidades de peças 
pintadas por João em cada dia?
e) A média aritmética é uma das ferramentas da Estatística, a ciência que estuda e in-
terpreta dados como esses coletados pelo patrão de João. Faça uma pesquisa sobre 
essa ciência.
28. A turma A tem 25 alunos. A professora anotou as presenças dos dias 
12 a 16 de fevereiro (de 2a a 6a feira) em uma tabela, e fez um gráfico 
como o seguinte:
Observe o gráfico e responda ou faça o que se pede:
a) Monte uma tabela correspondente ao gráfico.
b) Em qual dia da semana todos os alunos da turma A compareceram?
c) Em qual dia houve o maior número de faltas? Quantas?
d) Em quais dias houve o mesmo número de faltas?
e) Em qual dia houve uma única falta?
f) Calcule quantos alunos estavam presentes por dia, em média, no período de 12 a 16 
de fevereiro.
2a
3a
4a
5a
6a
Aprendendo em casa
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20
Nos anos seguintes, ao ex-
plorar gráficos, teremos a opor-
tunidade de destacar os conjuntos 
numéricos aos quais estão asso-
ciadas as grandezas envolvidas. 
No momento, achamos delicada 
tal abordagem.
ATIVIDADES EXTRAS
A seu critério, explore as 
atividades que julgar mais per-
tinentes no momento, como:
1) Coletar, separar, organi-
zar e tirar conclusões a partir de 
dados colhidos ou fornecidos 
pelos próprios alunos, infor-
mações contidas em jornais 
ou revistas.
2) Organizar dados em ta-
belas.
Exemplos:
1) Dados relacionados com 
a família:
Cada aluno deve responder 
à pergunta: quantos irmãos e 
irmãs você tem?
As respostas vão sendo ano-
tadas no quadro, inicialmente 
uma após a outra. Exemplo: 
(1, 3) um irmão e 3 irmãs, 
(2, 1) dois irmãos e 1 irmã etc.
Depois, organizam-se os 
resultados, em uma tabela de 
duas linhas:
Irmãos 1 2 etc. soma
Irmãs 3 1 etc. soma
Exploram-se as conclu-
sões: a) Uma das respostas 
tem o maior número de ir-
mãos possível; qual é ele? 
b) Existem alunos que têm 
irmãos e não têm irmãs? 
Existem alunos que são fi-
lhos únicos? No total, exis-
tem mais irmãos que irmãs?
Discutir as razões pelas 
quais as famílias da atuali-
dade têm, em geral, menos 
f ilhos. Pergunte se algum 
aluno conhece alguém da 
família ou do bairro que tem 
grande quantidade de filhos 
e, se possível, quantos são.
2) Dados relacionados 
com figuras geométricas.
Dadas várias figuras geo-
métricas de formas ou cores 
diferentes, organizar tabelas 
relacionadas com as quanti-
dades de figuras de mesma 
forma ou de mesma cor.
Comente: pela grande im-
portância do tema (tabelas e 
gráficos), ele será estudado 
novamente nos diversos vo-
lumes.
Peça aos alunos que com-
pletem com mais três nú-
meros:
 a) 1, 4, 7, 10, ...;
 b) 2, 4, 8, 16, ...
Peça-lhes que expliquem 
como resolveram o exercício 31.
29. Na semana de 19 a 23 de fevereiro, a professora anotou as presenças 
dos 25 alunos da turma A em uma tabela como a seguinte:
 
Use um papel quadriculado para fazer o gráfico correspondente à 
tabela.
 Recomendações:
• Use cores diferentes nos retângulos do gráfico.
• Escreva o título do gráfico.
• Escreva os títulos das grandezas envolvidas.
30. Responda com base na tabela dada e no gráfico que você fez no exer-
cício anterior: 
a) O retângulo de maior comprimento corresponde a qual dia da semana? 
b) O retângulo de menor comprimento corresponde a qual número natural? 
c) O que representa o número natural encontrado no item b) acima?
31. No primeiro quadro abaixo você vê representados, em uma reta numerada, 
os cinco primeiros números da sequência: 0, 2, 5, 9, 14, …
 Observe atentamente o segundo quadro, descubra os valores que devem 
substituir corretamente cada letra usando a regra sugerida e os escreva 
em seu caderno.
29. Gráfico dos alunos.
30. a) 5a feira; b) 20; c) Quantos alunos compareceram na 3a feira.
31. a) 5; b) 6; c) 7; d) 8; e) 20; f) 27; g) 35.
2a feira 3a feira 4a feira 5a feira 6a feira
23 20 21 25 22
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21
Desafio!
As atividades que seguem 
devem ser an tece didas pela 
ex ploração de ativi da des aná-
logas a elas, usando di versos 
objetos como peças de brin-
quedos, caixas de fósforos 
vazias etc., pelo fato de que 
o universo de vivência dos 
alunos é o espaço tridi men-
sional. Assim, a exploração 
dos objetos tridimen sionais 
deve ante ceder o estudo das 
figuras planas, sendo estas 
apresentadas, inicialmente, 
como faces, arestas ou vér-
tices dos referidos ob jetos. 
Trabalhar a visão espacial 
do alu no é um dos grandes 
objetivos deste e de ou tros 
capítulos. 
Deve-se explorar situa-
ções de desenhos de vistas de 
blocos, formados com caixas 
de fósforos (das grandes), 
ou outros objetos em forma 
de blocos retangulares, co-
locados sobre a mesa. Em 
particular, usando blocos re-
tangulares, explore situações 
análogas às propostas nos 
exercícios 35 e 36 da página 
23, formando sobre a mesa 
pilhas de peças (como no 35) 
e pedindo que, após observá-
-las de perto, desenhem no 
quadro todas as possíveis 
vistas: de frente, dos dois 
lados, de trás e de cima.
Visite ou recomende os 
sites
http://web.educom.pt/
pr1305mat_geometri_ 
solidos.htm
 
http://www.educ.fc.ul.pt/
icm/icm2002/icm204/soli-
dos_geometricos.htm
 
http://math.haifa.ac.il/RO-
VENSKI/rovenski/rov17_6.
html
ATIVIDADES ORAIS
 • Paralelepípedo.
 • Cinco.
 • Sete.
 
Desafio!
9 peças (ver exercício 32).
 Observe as figuras e responda ou façao que se pede:
• Qual é o nome da figura geométrica que cada uma das peças da pilha lhe lembra?
• Quantas destas peças podemos contar, observando pela vista de frente?
• E observando pela vista da direita?
 Pilha de blocos Vista de frente
Vista da direita
Vista de cima
Fo
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 N
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L
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 L
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i, 
20
05
 A pilha tem quantas peças: 9 ou 16?
Vistas e números
Explorando o que você já sabe
Book_MAT6_ALCEU_06072015.indb 21 06/07/15 15:10
22
32. Leia com os alunos o 
texto ao lado; depois, 
explore a solução do de-
safio.
Desafio
 de frente:
 da direita:
 de cima:
 A pilha tem 9 peças.
 
33. a)
Obs.: AM = amarelo.
 A = azul.
 V = vermelho.
 VR = verde.
 b) 
34. a) 
 
 
 
 b)
 
 
32. Examine como é possível resolver um problema parecido com o desafio 
anterior:
a) Na vista de frente, você vê seis blocos (números de 1 a 6).
b) Na vista da direita, você vê cinco, porém, três deles já foram contados: 4, 5 e 6; 
logo, os blocos ainda não contados são dois: números 7 e 8. 
c) Na vista de cima, você vê três blocos, mas todos já foram contados: 1, 4 e 7.
 Logo, a pilha tem 8 blocos (numerados de 1 a 8).
Use raciocínio parecido com o desenvolvido nos itens a), b) e c), 
acima, para resolver o desafio da página anterior.
33. Observe com atenção as vistas da pilha da ilustração anterior e desenhe:
a) A vista da esquerda.
b) A vista dos fundos.
34. Veja novamente a pilha do problema-desafio e desenhe:
a) A vista da esquerda.
b) A vista dos fundos.
 Pilha de blocos
Vista de frente
Vista da direita
Vista de cima
 AM
 A A
 V V 
 VR AM
 A A
 V V 
Fo
to
s:
 N
az
ar
et
h 
L
ei
te
/L
áp
is
 L
az
úl
i, 
20
06
 1 
 3 6 9
 3 6
 4 7
 5 8 9 
 3
 1 4
 2 5 
 AM VR
 A A
 VR V V 
amarelo
 azul azul
 verde vermelho 
Aprendendo em sala de aula
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23
35. Responda, observando a figura:
a) Ela pode ter apenas 5 peças?
b) Ela pode ter mais de 5 peças? Se pode, ex-
plique por que e quantas.
35. a) Pode;
 b) Sim. Pode existir uma peça 
escondida; logo, podem 
existir 6 peças.
Os exercícios 35 e 37 visam 
mostrar aos alunos que os pro-
blemas de Mate má tica podem 
ter mais de uma resposta cor-
reta, dependendo das dis cus sões 
relacio nadas com os seus da dos.
36. a e b.
 (No caso b, uma peça escon-
dida.)
37. a) Sete, onze;
 b) Doze.
Peça aos alunos que expliquem 
como resolveram o exercício 37.
Do exercício 38 em dian-
te, são exploradas as ideias de 
dimen sões de algumas figuras 
es paciais, figuras pla nas e dos 
seg men tos (respectivamente 3, 
2 e 1 dimensões). Alguns deles 
explo ram, também, esti mativas 
de medidas, bem como medidas 
com unidades não convencionais.
Recomenda-se a utilização de 
diversos objetos com as formas 
exploradas no texto, para identi-
ficação dos nomes e medição de 
suas dimensões. 
38. a) 6 cm;
 b) A largura;
 c) Três.
Ao trabalhar este capítulo, 
explore situações que esclareçam 
os fatos que listamos a seguir:
Segmentos são entes geomé-
tricos que diferem das grandezas 
“comprimentos” associadas aos 
mesmos. Por exemplo: (a) dese-
nhe diversos segmentos no quadro 
e peça aos alunos que meçam seus 
comprimentos; (b) peça-lhes que 
decidam se são verdadeiras ou 
falsas as afirmações: (1) seg-
mentos são figuras geo métricas; 
(2) comprimento de um segmento 
é um número que representa a 
medida do segmento; (3) existem 
segmentos que têm medidas 
iguais; (4) um número não pode 
representar a medida de vários 
segmentos. 
Figuras planas são entes geo-
métricos que diferem das grande-
zas “áreas” associadas às mesmas. 
Por exemplo: peça-lhes que deci-
dam se são verdadeiras ou falsas 
as afirmações: (1) no exercício 36, 
estão representadas três figuras 
geométricas planas; (2) as áreas das 
três figuras citadas são expressas 
por números; (3) as áreas das três 
figuras citadas são iguais; (4) 
medidas com a mesma unidade de 
medida de área, podemos afirmar 
que a área da figura (a) é menor 
que a área da figura (b), e esta, 
menor que a área da figura (c).
36. Quais das figuras a seguir podem ser vistas de cima, se consideramos 
todas as possíveis pilhas representadas pela figura anterior?
37. Se a figura c anterior for a vista de cima de uma pilha de duas ca-
madas de peças, responda:
a) Se a camada de cima for incompleta, qual é o menor número de peças que a 
pilha pode ter? E qual é o maior?
b) Quantas peças tem a pilha se a camada de cima for completa?
38. Observe os paralelepípedos a seguir:
a) b) c)
 Agora, responda:
a) Quanto mede o comprimento do paralelepípedo representado pela figura da 
direita?
b) Qual das duas dimensões mede 3 cm: a largura ou a altura?
c) Paralelepípedos são figuras de quantas dimensões: duas ou três?
Observação importante para os alunos: as medidas anotadas nas ilustrações ou descritas nos exercícios 
são relacionadas com os objetos que elas representam e não com as próprias ilustrações.
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24
39. As pilhas representadas pelas figuras a seguir são formadas de blocos 
que têm, cada um, as seguintes dimensões: comprimento 6 cm, largura 
3 cm e altura 2 cm.
 Calcule o compri men to, a largura e a altura de cada uma das três pilhas.
40. A caixa representada pela figura abaixo tem as seguintes dimensões 
internas:
Comprimento 24 cm, largura 9 cm, altura 4 cm.
Agora, responda: para encher totalmente essa caixa, quantos blocos 
iguais aos do exercício anterior serão utilizados? Justifique os seus 
cálculos.
b) 
Figuras espaciais são entes 
geométricos que diferem 
das grandezas “volumes” 
associadas às mesmas. Como 
exemplo, imite as situações 
anteriores usando as pilhas 
do exercício 39, notando 
que (a) e (b) têm volumes 
iguais se medidos com a 
mesma unidade de medida 
de volume. 
As medidas anotadas nas 
arestas das vistas de um sóli-
do não são proporcionais aos 
segmentos que, no desenho, 
representam tais arestas, 
porque, como se sabe, para 
dar ideia de que o sólido 
é tridimensional, as faces 
na representação em dese-
nho são deformadas. Como 
exemplo, use a segunda fi-
gura do exercício 38, cujos 
segmentos que representam 
a largura e a altura deveriam 
ter como medidas a metade 
e a terça parte da medida do 
segmento que representa o 
comprimento.
Observação importante 
para os alunos: as medidas 
anotadas nas ilus tra ções ou 
descritas nos exer cícios são 
rela cio nadas com os obje tos 
que elas re presentam e não 
com as próprias ilus tra ções. 
39. a) 18 cm, 3 cm, 4 cm;
 b) 12 cm, 3 cm; 6 cm;
 c) 24 cm; 6 cm; 8 cm.
40. 4 x 3 x 2 = 24.
 R) 24 blocos.
Justif icativa: Como o 
comprimento de cada bloco 
mede 6 cm, é possível colo-
car 24 : 6 = 4 blocos ao longo 
do comprimento. Como a 
largura de cada bloco mede 
3 cm, existirão 9 : 3 = 3 ca-
madas de 4 blocos, ou seja, 
4 x 3 blocos. Finalmente, 
como a altura de cada bloco 
mede 2 cm, existirão duas 
camadas de 4 x 3 blocos, ou 
seja, 4 x 3 x 2 = 24 blocos.
Por coerência com os no-
mes das di men sões dos para-
lele pí pedos, iremos usar os 
termos com primento e altura 
pa ra os re tân gulos.
a) 
c)
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41. A figura a seguir representa um cartão subdividido em 12 retângulos de 
medidas iguais: comprimento 2 cm e altura 1 cm. Calcule o comprimento 
e a altura do cartão:
42. O pátio de uma escola tem a forma de um retângulo cujas dimensões são: 
comprimento 60 metros e largura 30 metros. Ele vai ser todo cimentado 
e, para evitar rachaduras, será dividido em quadrados de um metro de 
lado. Para marcar essas divisões, o pedreiro fez um quadriculado com 
barbantes. Quantos quadrados ele obteve? 
43. O mesmo pátio do exercício anterior também pode ser dividido em 
quadrados cujos lados tenham outras medidas inteiras em metros. Por 
exemplo, quadrados cujos lados medem 2 metros.
a) Dê mais dois exemplos de medidas inteiras dos lados desses quadrados (em metros) 
e uma razão de elasservirem.
b) Dê dois exemplos de medidas inteiras (em metros) que não podem ser usadas e dê 
uma razão para esse fato.
Observe os nomes das duas dimensões do retângulo a seguir: 41. 8 cm; 3 cm.
 Peça que expliquem 
como resolveram o exer-
cício 41.
Antes de abordar os pro-
blemas 42 e 43, explore si-
tua ções análogas, usando o 
quadro da sala para desenhar 
alguns retângulos e quadricu-
lar os mes mos. Para isso, é 
pos sível, inclusive, usar uni-
dades arbitrárias de medidas 
de com primento, como, por 
exemplo, o tamanho do giz, 
de um lápis etc., obtendo 
compri mento e largura dos 
retângulos como múl tiplos 
da unidade arbitrária que foi 
escolhida.
Caso julgue opor tu no, ex-
plore o exercí cio 42, para 
dar uma primeira ideia de 
área em metros qua drados. 
Diga que: se o pá tio pode ser 
divi dido em 1 800 qua drados 
de um metro de lado, então 
a área do pátio mede 1 800 
metros quadra dos. 
42. 60 x 30 = 1 800.
 R) 1 800.
 Peça que expliquem 
como resolveram o exer-
cício 42.
43. a) 6 m e 3 m, porque 60 
e 30 podem ser divi-
didos exatamente por 
6 e 3;
 b) 4 m, porque 4 não di-
vide 30 exatamente, e 
7 m, porque 7 não divide 
exatamente 60 nem 30.
O exercício 43 permite, 
de maneira contextualizada, 
uma primeira exploração (no 
item a) do conceito de divisor 
de um número natural. Ao 
responder, por exemplo, 3 m 
e 5 m, o aluno irá se basear 
no fato de que 3 é divisor de 
30 e 60, bem como 5 é divisor 
de 30 e 60. Permite, também, 
explorar o fato de que um 
problema pode ter mais de 
uma solução.
Como as respostas suge-
ridas não são as únicas pos-
síveis, peça aos alunos que 
ditem, para serem escritas no 
quadro, o maior número pos-
sível de respostas corretas.
A
LT
U
RA
COMPRIMENTO
NOSSAS MEDIDAS SÃO AS 
DIMENSÕES DO RETÂNGULO
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44. Um paralelepípedo tem as três dimensões diferentes. Na figura a seguir, 
você vê dois retângulos que representam duas das faces desse parale-
lepípedo:
 Discuta com seus colegas para concluir como responder:
a) Quais as dimensões do terceiro par de faces opostas do paralelepípedo?
b) Quais as três dimensões do paralelepípedo?
Observação im por tante 
para os alu nos: as medidas 
ano tadas nas ilustrações ou 
descritas nos exer cícios são 
relacio nadas com os obje tos 
que elas representam e não 
com as próprias ilus trações.
Antes do exercício 44, 
explore atividades análogas 
com embalagens em forma 
de paralelepípedo.
44. a) 8 cm e 10 cm;
 b) 4 cm, 8 cm, 10 cm. 
 Peça que expliquem 
como resolveram o exer-
cício 44.
Desenhe no quadro uma 
reta e, nesta, dois pontos 
A e B. Destaque com cor 
o segmento AB. Explore a 
situação para que o aluno 
compreenda: 1o) que a parte 
destacada em cor chama-se 
segmento AB; 2o) que os 
pontos A e B chamam-se 
extremos do segmento AB; 
3o) o segmento AB é formado 
pelos pontos A, B e todos 
os pontos da reta que estão 
entre A e B; 4o) o segmento 
tem uma única dimensão.
Exiba desenhos de segmen-
tos sem destacar as retas que 
os contêm e proponha que 
alunos desenhem no quadro 
segmentos designando os 
extremos dos mesmos.
Atividades no quadro: 
proponha que desenhem 
algumas retas e destaquem 
sobre elas, usando régua 
graduada, segmentos de me-
didas diferentes, compatíveis 
com a graduação da régua. 
Explore: a) a representação 
por letras maiúsculas dos 
extremos dos segmentos; 
b) usando um dos segmentos, 
peça que exibam pontos 
da reta que estão entre os 
extremos e pontos que não 
estão; c) marque um ponto 
de um dos segmentos que 
f ica a igual distância dos 
extremos desse segmento (e 
diga para os alunos que este 
ponto chama-se ponto médio 
do segmento); d) explore 
com perguntas o fato de o 
ponto médio do segmento ser 
caracterizado por duas condi-
ções: estar entre os extremos 
e equidistar dos mesmos. 
Para isto, usando apenas uma 
dessas condições de cada 
vez, pergunte se um ponto 
que a satisfaz é o ponto mé-
dio. Mostre contraexemplos: 
para a primeira condição, um 
ponto entre os extremos, mas 
não equidistante, e, para a 
segunda, um ponto equidis-
tante dos extremos, mas não 
pertencente ao segmento. 
Uma última observação: o 
conceito de “estar entre” para 
pontos é intuitivo e requer 
que os pontos pertençam a 
uma mesma reta.
O segmento 
de extremos C e D 
mede 42 milímetros 
(42 mm).
O segmento 
de extremos A e B 
mede 40 milímetros
(40 mm).
Um segmento 
tem uma única 
dimensão: seu 
comprimento.
O segmento AB 
de extremos A e B 
mede 40 milímetros
(40 mm).
O segmento AB 
de extremos A e B 
mede 40 milímetros
(40 mm) e o 
O segmento CD 
de extremos C e D 
mede 42 milímetros
(42 mm).
O segmento CD 
de extremos C e D 
mede 42 milímetros
(42 mm).
C
A
D
B
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45. Em sua sala de aula existem vários objetos com faces em forma de 
retângulo, como a capa de seu livro, por exemplo.
a) Descubra pelo menos mais dois objetos com faces em forma de retângulo em sua 
sala de aula.
b) Faça uma estimativa das dimensões da capa de seu livro.
46. O palmo do pai de Frederico tem, aproximadamente, 20 cm. Ele me-
diu uma porta com seu palmo e encontrou as seguintes dimensões: 
11 palmos de altura e 4 palmos de largura.
 Dê as medidas aproximadas da porta que ele mediu, em centímetros.
45. a) Paredes, portas, pisos 
etc.
 b) Respostas variadas.
46. Altura: 220 cm;
 Largura: 80 cm.
O exercício 46 explora, 
pela pri meira vez, o uso de 
medidas não conven cionais. 
Explore outros mo dos de me-
dir: com barbantes, varetas 
etc., reproduzindo si tuações 
que podem ocorrer no dia a 
dia, como a necessidade de 
me dir sem ter, no mo mento, 
um instru mento apro priado.
O exercício 47 visa a mos-
trar co mo é possível apro-
ximar curvas por po li gonais 
para medir seus comprimen-
tos, sendo a medida mais 
precisa quanto maior for o 
número de segmentos de tais 
poligonais.
Explore a atividade a se-
guir: desenhe um grande 
arco de semicircunferência 
de extremos A e B no quadro 
(o maior possível) e uma po-
ligonal com dois segmentos 
AM e MB com M em uma 
posição mais próxima possí-
vel de dividir o arco AB em 
dois arcos iguais. Depois, 
desenhe entre a poligonal 
de dois lados e o arco AB 
outra poligonal de lados AC, 
CM, MD e DB. Se possível, 
desenhe outra poligonal de 
oito lados de modo análo-
go ao anterior. Explore o 
desenho com perguntas que 
levem os alunos a descobrir 
que, quanto maior o número 
de lados dessas poligonais, 
mais próximo o comprimento 
delas fica do comprimento da 
curva. Não se preocupe, neste 
momento, em conceituar 
comprimento do arco ou da 
poligonal. Use-os de maneira 
intuitiva.
47. a) Azul;
 b) Verde;
 c) A linha vermelha tem 
comprimento menor 
que o da linha azul e 
maior que o compri-
mento da linha verde.
Professor(a): Antes de ex-
plorar o exercício 48, verifi-
que se os alunos distinguem, 
exibidos vários objetos, o que 
seja a espessura dos mesmos.
48. a) mm;
 b) cm;
 c) cm;
 d) mm.
47. Observe a figura abaixo e discuta com os seus colegas: 
a) Qual é a cor da linha de maior comprimento?
b) Qual é a cor da linha de menor comprimento?
c) Qual a relação do comprimento da linha vermelha com os comprimentos das outras 
duas?
48. Para cada objeto a seguir, diga se você o mediria em centímetros ou 
em milímetros:
a) A espessura de uma caneta.
b) O comprimento de uma toalha de banho.
c) A largura de uma caixa de sapatos.
d) A espessura de um palito. 
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49. O pai de Frederico mediu a janela com o palmo e encontrou as seguin-
tes dimensões: largura, 6 palmos; e altura, 4 palmos. Se o palmo dele 
mede, aproximadamente, 20 centímetros, dê as medidas aproximadas 
da janela, em centímetros.
50. Examine a pilha, ilustrada abaixo, e use papel quadriculado para dese-
nhar as vistas:
a) Da direita.
b) De cima.
c) De frente.
51. No quadro abaixo, você vêrepresentadas, na cor laranja, duas curvas 
AB e CD. Calcule as medidas aproximadas dessas curvas, em centí-
metros. Justifique. 
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“Aprendendo em casa” para 
verificar se os alunos estão 
aptos a resolvê-las.
49. Largura: 120 cm; Altura: 
80 cm.
50. a)
 
 
 b)
 
 c)
Caso seja opor tuno, ex-
plore o jogo descrito a seguir:
Jogo: Quantos blo cos tem a 
pi lha? Per sonagens: três vistas 
de uma pilha. Equi pes: a e b 
com re pre sentantes sortea-
dos (ra e rb). Inicialmente, 
usando caixinhas de fósforos, 
cada equipe forma uma pilha 
e desenha três vistas das mes-
mas em um papel. Sorteia-se 
quem vai dar a pri meira 
pista. Su ponha que seja ra 
o sortea do. Ao começar o 
jo go, ra copia do ca der no 
para o qua dro uma das vistas 
e rb ten ta descobrir quan tas 
caixinhas for mam a pilha. Se 
ace rtar, ganhou o jogo. Se rb 
errar, pas sa a dese n har uma 
das vistas para que ra tente 
acer tar. O jogo continua até 
que um dos repre sentantes 
acerte. Po dem acon tecer 
tenta tivas, mes mo depois 
de de senhadas as três vis tas.
Destaque para os alunos 
que as medidas anotadas 
na figura do exercício 51 
correspondem a segmentos 
representados na figura e 
não aos segmentos da figura 
(cujas medidas são evidente-
mente bem menores).
51. AB: 30 cm;
 CD: 38 cm.
Justificativa: O compri-
mento da curva AB é um va-
lor próximo ao comprimento 
da poligonal cujos lados 
medem 8 cm, 8 cm e 14 cm. 
O comprimento da curva 
CD é um valor próximo ao 
comprimento da poligonal 
cujos lados medem 19 cm 
e 19 cm.
Aprendendo em casa
Não existem 
caixas escondidas 
atrás da pilha.
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 Em cada objeto a seguir, você vê, em destaque, um ângulo:
•	 Em qual dos objetos você vê o ângulo “mais aberto”: na tesoura, no 
compasso ou nas pernas da mesa?
Professor(a): Em ativi-
dades futuras, usaremos os 
conceitos de perímetro e área 
de alguns polígonos. Explore 
exercícios que esclareçam 
estes conceitos sem maiores 
preocupações de formali-
zações. 
Recomende ou explore a 
leitura de:
“Atividades e jogos com 
ângulos”. Marion Smoo-
they – Tradução de Sérgio 
Quadros. Coleção Investi-
gação Matemática. Editora 
Scipione
ATIVIDADES ORAIS
• Na tesoura.
Com o objetivo de tornar 
claro que nosso estudo inicial 
ficará restrito a ângulos que 
medem, no máximo, 180 
graus, destacamos o interior 
dos mesmos com um pe-
queno setor colorido, com 
exceção apenas para ângulos 
retos, cujo destaque se faz 
com pequenos quadradinhos. 
Coerentemente, solicitamos 
que, ao propor exercícios aos 
alunos, se proceda de modo 
análogo.
Se pos sível, use um re-
lógio grande ou um des-
pertador para repro duzir 
situações como as que se-
guem. Ex plore, também, 
um compasso de madeira 
(dos usados para desenhar 
no quadro), mantendo um 
dos lados fixos e movi men-
tando o outro, abrindo ou 
fechando, para que os alunos 
associem ângulos com giros. 
52. a) 5 horas;
 b) Uma hora;
 c) O segundo (3 horas).
52. Observe os ângulos dos ponteiros dos relógios:
 Agora, responda:
a) O ângulo mais aberto corresponde a quantas horas?
b) Qual das horas corresponde ao ângulo mais fechado: uma ou três horas?
c) Qual dos três ângulos ilustrados corresponde aos ângulos de cada um dos quatro 
cantos das páginas de seu livro de Matemática?
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Os objetos e os ângulos
Explorando o que você já sabe
Aprendendo em sala de aula
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30
53. Qual dos dois ângulos a seguir é maior, isto é, qual deles é “mais aberto”?
Primeiro ângulo Segundo ângulo
54. Para obter ângulos usando dobraduras, repita cada passo da figura, 
usando um pedaço de papel:
dobre desdobre
dobre
desdobre
53. O primeiro ângulo.
Desenhe, no quadro, ân-
gulos de diversas abertu-
ras, tendo os compri men tos 
dos lados tamanhos me -
nores quanto maio res forem 
as aber turas dos ângu los. 
Em seguida, explore essas 
f iguras até que os alunos 
compreen dam que um ângulo 
é maior que o outro porque é 
“mais aber to” e não porque 
os seus lados têm, no dese-
nho, comprimentos maiores 
que os lados de outro ângulo 
desenhado. Observe que nem 
faz sentido falar em “com-
primento” dos lados de um 
ângulo porque são semirretas.
Explore situações análogas 
às do exercício 53 para refor-
çar o que se afirma no balão 
da ilustração. Para que os 
alunos não associem medida 
do ângulo com as áreas dos 
setores coloridos no interior 
dos mesmos, desenhe dois 
ângulos opostos pelo vértice 
com o setor colorido de um 
deles com raio bem maior 
que o setor do outro ângulo. 
Explore com perguntas: a) Os 
dois ângulos têm a “mesma 
abertura”? b) O que podemos 
afirmar das medidas desses 
dois ângulos?
Professor(a): Em diversos 
enunciados escrevemos “es-
creva’ , “desenhe”, sem nos 
preocupar em acrescentar 
“no seu caderno”, pois os 
alunos já foram advertidos 
do fato de o livro ser não 
consumível. Mas nunca é 
demais lembrá-los disso.
Reforce a observação do 
balão da ilustração explo-
rando situações que façam 
os alunos associar o fato 
de que dados dois ângulos 
de aberturas diferentes o de 
maior abertura tem medida 
maior que a medida do outro.
54. Dobraduras dos alunos.
Você deve ter observado que, 
nos ângulos, o mais importante é 
a abertura. O tamanho dos lados 
não é importante.
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31
55. Para obter quatro ângulos de medidas iguais usando dobraduras, repita 
cada passo da figura usando um pedaço de papel:
56. Abaixo, você vê três ângulos com aberturas diferentes:
 Agora, responda:
a) O ângulo agudo é menor ou maior que o ângulo reto?
b) E o ângulo obtuso?
c) Os ângulos de cada um dos quatro cantos de uma página de seu livro de Matemática 
podem ser associados a qual tipo de ângulos: agudos, retos ou obtusos?
55. Dobraduras dos alunos.
Professor(a): Peça aos alu-
nos para observarem que, ao 
dobrar pela segunda vez, o 
vinco da primeira dobra deve 
se superpor.
Usando folhas de papel, refa-
ça atividades como as abordadas 
nos exercícios 54 e 55 e reforce 
a observação dada no balão 
da ilustração relacionada com 
“ângulos retos”.
Um pouco de história: pro-
ponha uma pesquisa sobre ân-
gulos e figuras. Sugestão: visite 
ou recomende o site http://www.
somatematica.com.br/historia/
grau. php.
Aqui, sem falar em medidas, 
intro duzi mos as noções de ân-
gulo agudo e ângulo obtuso 
como sendo ân gulos de “aber-
turas” menores ou maiores, 
respecti va mente, que a abertura 
de um ângulo reto.
56. a) Menor;
 b) Maior;
 c) Retos.
Observação: evidentemente 
o aluno responderá pensando 
nas páginas deste livro, o que o 
levará a dar a resposta inserida 
anteriormente.
 a) Proponha que alunos de-
senhem no quadro ângulos 
agudos, ângulos obtusos e 
ângulos retos.
 b) Desenhe no quadro um 
ângulo reto e um ângulo 
agudo com o “tamanho” 
dos lados maior que o “ta-
manho” dos lados do ângu-
lo reto para verificar se os 
alunos já compreenderam 
que as medidas dos ângu-
los se relacionam com a 
“abertura” entre os lados, e 
não com o “tamanho” dos 
mesmos.
 c) Desenhe, no quadro, ângu-
los com um lado vertical 
(“apontando” para cima) 
e o outro lado formando 
aberturas cada vez maio-
res, até chegar ao ângulo 
raso (opcionalmente, cite o 
nome deste) e explique que 
este é o ângulo de maior 
medida possível que vamos 
estudar. Esta sugestão visa, 
de modo intuitivo, conven-
cionar que consideraremos 
apenas ângulos de medida, 
no máximo, de 180 graus.
Na figura anterior,
 você vê duas retas que se cortam 
formando quatro ângulos iguais. 
Cada um deles chama-se
 ângulo reto.
Ângulo agudo Ângulo reto Ângulo obtuso
desdobre
desdobre
dobre
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57. Classifique como agudo, reto ou obtuso o ângulo dos ponteiros de um 
relógio quando ele está marcando:
a) 5 horas. b) 3 horas. c) 12 horas e 10 minutos.
58. Na figura a seguir, você vê como dar nome a um ângulo e as formas de 
ler esse nome:
 Agora, escreva em seu caderno algumas maneiras de ler o nome do 
ângulo da figura a seguir:
59. Observe a figura:
 Agora, responda:
a) Quais são os lados do primeiro ângulo da figura anterior? E o vértice?
b) As semirretas LJ e LM são lados de qual dos ângulos?
c) O vértice de um dos ângulos é o ponto E. Qual é esse ângulo?
Você vê Você lê de uma das maneiras a seguir:
Ângulo P ou ângulo MPR ou 
ângulo RPM
Os lados do ângulo RPq da figura 
são as semirretas PR e Pq.
O vértice do ângulo é o ponto P.
R
Q
M
P
R
F
D
E J
L
M
57. a) Obtuso;
 b) Reto;
 c) Agudo.
Faça, no quadro, um es-
boço das três situações do 
exercício 57, marcando o in-
terior dos ângulos com arcos 
coloridos, reforçando o fato 
de se tratar de ângulos que 
medem menos de 180 graus.
No exercício 58, usa mos o 
termo se mirreta de maneira 
intuitiva, sem a preo cupação 
de concei tuar. Na segunda 
ilustração, o ângulo é mos-
trado como a união de duas 
semirretas distintas, PQ e 
PR, que têm a origem P em 
comum.
58. Ângulo P;
 Ângulo RPQ;
 Ângulo QPR.
Explore situações de mo-
vimentos sucessivos, descre-
vendo caminhos retilíneos 
que mudem de direção, for-
mando ângulos retos para 
a direita, para cima, para a 
esquerda, para baixo etc.
Em casa, os alunos de-
vem anotar, no caderno, os 
quadros em destaque do 
exercício 58.
59. a) Lados: ED e EF; vérti-
ce: E;
 b) JLM (ou MLJ);
 c) DEF (ou FED).
P
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33
Primeiro esquadro
Segundo esquadro
60. Observe que cada um dos esquadros tem um ângulo reto.
a) Os outros dois ângulos dos esquadros são agudos ou obtusos?
b) Qual deles tem dois ângulos de medidas iguais?
61. O ângulo reto mede 90º (90 graus). Observe as figuras a seguir e res-
ponda quanto medem, em graus:
a) Cada um dos ângulos AOB, BOC e COD da figura A.
b) Os ângulos MON e NOP da figura B.
c) Os dois ângulos agudos dos esquadros da figura C.
Leve, para a sala de aula, 
esquadros de madeira utiliza-
dos para desenhar no quadro 
e explore as situações que 
se guem, repetindo-as com 
desenhos no quadro, sempre 
que possível.
Comente com os alunos 
como se lê: a) 90o (noventa 
graus), b) 45o (quarenta e 
cinco graus) etc.
O exercício 61 objetiva 
dar uma ideia aos alunos 
de ângulos que medem 30, 
45, 60 e 90 graus, sem usar 
o transferidor. Os alunos 
concluem, observando as 
figuras, que os ângulos de 
30 e 45 graus são, respec-
tivamente, a terça parte e 
a metade do ângulo reto, 
enquanto que o de 60 graus 
é aquele cuja soma com o 
de 30 graus é o ângulo reto. 
Atividades de medir ângulos 
com transferidor serão intro -
duzidas posteriormente.
60. a) Agudos;
 b) O segundo.
Desenhe no quadro três se-
mirretas OM, OX e ON com 
OX entre OM e ON, sendo o 
ângulo MON menor que um 
ângulo reto. Pergunte aos 
alunos o que podem dizer das 
medidas dos ângulos MOX e 
XON com relação à medida 
do ângulo MON. 
61. a) 30º;
 b) MON: 30º; NOP: 60º;
 c) 45º.
Peça aos alunos que justi-
fiquem as respostas dos itens 
do exercício 61.
Novamente, sugerimos 
criar o hábito de cobrar, 
dos alunos, enunciados de 
respostas compatíveis e mais 
completas com relação às 
atividades propostas como, 
por exemplo:
a) A medida de cada um 
dos três ângulos é a terça 
parte da medida do ângulo 
reto; logo, cada um deles 
mede 30 graus.
b) O ângulo MON tem 
medida igual à dos três an-
teriores, ou seja, 30 graus. 
Como a soma dos dois ân-
gulos da figura é um ângu-
lo reto, o segundo ângulo 
(NOP) mede 60 graus.
c) A medida de cada um 
dos dois ângulos é a metade 
da medida do ângulo reto; 
logo, cada um deles mede 
45 graus.
 
 Figura A Figura B Figura C
Um instrumento
 de desenho muito conhecido 
é o esquadro.
Existem dois tipos de esquadros. 
Veja nas figuras ao lado.
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62. Some as medidas em graus dos três ângulos de cada um dos dois 
esquadros. Quantos graus você obteve como soma?
Nos exercícios 62 e 63, 
apresentamos uma primeira 
exploração do fato: a soma 
dos ângulos de um triângulo 
é 180o.
62. 180º.
Use as figuras dos exercí-
cios 62 e 63 para comentar 
que os quadradinhos nos 
vértices são usados para 
indicar que os ângulos são 
ângulos retos.
63. São iguais.
As ideias de perpendicu-
lares e paralelas devem ser 
exploradas usando diversos 
objetos: o ambiente da sala 
de aula, as linhas de ilustra-
ções, fotos etc.
64. a) 90º;
 b) 90º;
 c) 180º.
Em casa, os alunos devem 
anotar, no caderno, as figuras 
e os textos dos professores 
dos exercícios 63 e 64.
Desenhe no quadro uma 
reta e três pontos L, O, P, 
com O entre L e P. Desenhe 
setas nos extremos (como na 
ilustração do exercício 64) 
para distinguir as representa-
ções de retas e de segmentos 
de retas. Peça aos alunos para 
identificarem, no desenho: a) 
duas semirretas opostas; b) 
o ponto denominado origem 
dessas duas semirretas.
A seu critério, explore 
ou não perguntas que façam 
os alunos concluir que: 1) a 
origem de semirretas opostas 
separa os pontos das mesmas, 
isto é, está entre eles; 2) a 
origem de uma semirreta não 
separa seus pontos.
 
63. As somas das medidas, em graus, dos três ângulos dos dois esquadros 
são iguais ou diferentes?
64. Observe a figura e responda à pergunta que a secede:
 Quanto mede cada um dos ângulos da figura?
a) Ângulo AOB. b) Ângulo BOC. c) Ângulo AOC.
 As duas retas da figura se 
cortam formando ângulos retos. 
Por isso, elas se chamam 
retas perpendiculares.
Dizemos que o 
ângulo AOC da figura ao lado é 
um ângulo raso. Dizemos 
também que os seus lados OA 
e OC são semirretas 
opostas.
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65. Quanto mede, em graus, um ângulo raso?
66. Você viu, na figura A do exercício 61, que a medida do ângulo reto AOD 
é equivalente à soma das medidas de três ângulos iguais; logo, cada 
um deles mede 30o (trinta graus). Agora, responda: quantos ângulos 
medindo, cada um, 1o (um grau) são necessários para que a soma das 
medidas deles seja equivalente à medida do ângulo reto? 
67. Use um esquadro para desenhar um ângulo que mede:
a) 30º c) 60º
b) 45º d) 90º
68. Siga os passos da figura para desenhar a perpendicular a uma reta dada, 
passando por um ponto que não pertence à reta.
69. Siga os passos da figura para desenhar a perpendicular a uma reta dada, 
passando por um ponto que pertence à reta.
70. Use dois esquadros para desenhar ângulos que medem:
a) 75º c) 120º
b) 135º d) 150º
65. 180º.
66. São necessários 90 desses 
ângulos.
67. Desenhos dos alunos.
68. Desenhos dos alunos.
Repita, no quadro, as 
construções dos exercícios 
68 a 70.
Descreva os passos da 
construção:
 a) Desenhe uma reta e um 
ponto que não perten-
ce a ela;
 b) Coloque uma régua sob 
a reta;
 c) Apoie o esquadro sobre 
a régua, deslizando-o 
até ficar próximo ao 
ponto;
 d) Desenhe a perpendicu-
lar.
69. Desenhos dos alunos.
Descreva a construção.
 a) Desenhe uma reta e um 
ponto que pertence a 
ela.
 b) Coloque uma régua 
sob a reta, apoie o es-
quadro sobre a régua e 
deslize-o até que fique 
próximo do ponto.
 c) Desenhe a perpendicu-
lar.
Usam-se 2 esquadros para 
o exercício 70:
 a) 45º + 30º;
 b) 90º + 45º;
 c) 90º + 30º;
 d) 90º + 60º.
Exemplo (a):
45º + 30º = 75º
70. Desenhos dos alunos.
45º
30º
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71. Discuta com seus colegas como desenhar com dois esquadros um 
ângulo de 15o. Depois, desenhe. 
72. Quantas maneiras diferentes vocês acharam para desenhar o ângulo 
de 15o?