Apostila Estatística

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Estatística
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1ª Edição
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(PROGRAD)
Virginia Genelhu de Abreu Francischetti
Pró-Reitoria de Pós-Graduação Lato Sensu e Extensão 
(PROPEX)
Nara Pires
Sumário
Apresentação ..................................................................................... 9
Objetivos Gerais ................................................................................. 11
Conceitos Básicos
Para início de conversa... ..................................................................... 13
Objetivo ............................................................................................ 15
1. População ............................................................................ 17
2. Amostra .............................................................................. 18
2.1 Tamanho de uma Amostra ..................................................... 19
2.2 Amostragem ........................................................................ 22
2.3 Técnicas de Amostragem ....................................................... 23
3. Variáveis ............................................................................. 26
Referências ........................................................................................ 29
Exercícios .......................................................................................... 30
Representação Gráfica e Tabular
Para início de conversa… ................................................................... 33
Objetivo ........................................................................................... 35
1. Tipos de Gráficos .................................................................. 37
1.1 Gráficos em Coluna ............................................................... 37
1.2 Gráfico de Linha ................................................................... 37
1.3 Gráfico em Setor Circular ....................................................... 38
1.4 Histograma .......................................................................... 40
1.5 Pictograma .......................................................................... 41
2. Tipos de Tabelas ................................................................... 42
2.1 Confecção de uma Tabela Simples .......................................... 42
2.1.1 Título da Tabela ................................................................... 43
2.1.2 Cabeçalho ........................................................................... 44
2.1.3 Coluna Indicadora ................................................................ 44
2.1.4 Corpo da Tabela ................................................................... 45
2.2 Séries Estatísticas ................................................................. 46
2.2.1 Histórica, Cronológica ou Temporal .......................................... 46
2.2.2 Geográfica, Espacial ou Territorial ............................................ 47
2.2.3 Específica ou Categórica ........................................................ 48
3. Distribuição de Frequência .................................................... 48
3.1 Tabela Primitiva .................................................................... 49
3.2 Rol ..................................................................................... 49
3.3 Construção de Distribuição de Frequências ................................ 50
Referências ........................................................................................ 59
Medidas de Posição
Para início de conversa… ................................................................... 61
Objetivo ............................................................................................ 63
1. Média ................................................................................. 65
1.1 Média Aritmética Simples de uma Amostra de Dados ................ 65
1.1.1 Dados não Agrupados em Classes ........................................... 65
1.1.2 Dados Agrupados em Classes ................................................. 66
1.2 Média Aritmética Ponderada ................................................... 67
1.3 Média Geométrica (G) .......................................................... 68
1.4 Média Harmônica Simples (H) ............................................... 69
2. Moda .................................................................................. 71
2.1 Dados Não Agrupados em Classes ........................................... 71
2.2 Dados Agrupados em Classes ................................................. 72
3. Mediana ( Md ) .................................................................... 73
3.1 Dados Não Agrupados em Classes .......................................... 74
3.2 Dados Agrupados em Classes ................................................. 75
3.3 Separatriz ............................................................................ 75
3.3.1 Percentil .............................................................................. 76
3.3.1.1 Dados Agrupados em Classes ................................................ 76
3.3.2 Decil ................................................................................... 79
3.3.2.1 Dados Agrupados em Classes ................................................. 79
3.3.3 Quartil ................................................................................ 79
2.3.3.1 Dados Agrupados em Classes ................................................. 80
Referências ........................................................................................ 83
Exercícios Resolvidos ........................................................................... 85
Medidas de Dispersão
Para início de conversa… ................................................................... 91
Objetivos ........................................................................................... 93
1. Variância e Desvio Padrão ...................................................... 95
1.1 Variância e Desvio Padrão de Dados Não Agrupados em Classes .. 95
1.1.1 Variância e Desvio Padrão de uma População ........................... 95
1.1.2 Variância e Desvio Padrão de uma Amostra de Dados ................ 96
1.2 Variância e Desvio Padrão de Dados Agrupados em Classes ....... 99
2. Coeficiente de Variação (CV) .................................................. 100
3. Desvio Médio (DM) ........................................................................ 106
Referências ........................................................................................ 109
Exercícios .......................................................................................... 110
Medidas de Assimetria e Curtose
Para início de conversa… ................................................................... 113
Objetivos ...........................................................................................115
1. Assimetria ........................................................................... 117
2. Curtose ............................................................................... 124
Referências ........................................................................................ 129
Exercícios .......................................................................................... 131
Correlação e Regressão Linear
Para início de conversa… ................................................................... 135
Objetivos .......................................................................................... 137
1. Diagrama de Dispersão .......................................................... 139
2. Coeficiente de Correlação Linear de Pearson ............................. 141
2.1 Nível de Significância ............................................................ 145
3. Equação de Regressão ........................................................... 147
Referências ........................................................................................ 153
Exercícios .......................................................................................... 155
Introdução ao Estudo da Probabilidade
Para início de conversa... ..................................................................... 159
Objetivos ........................................................................................... 161
1. Espaço Amostral ................................................................... 163
2. Evento ................................................................................ 164
3. Definição Clássica de Probabilidade ......................................... 166
3.1 Propriedades da Probabilidade ................................................ 168
Exercícios Propostos: ........................................................................... 175
Referências ........................................................................................ 177
Probabilidade Condicional e Teorema de Bayes
Para Início de Conversa… .................................................................. 179
Objetivo ............................................................................................ 181
1. Probabilidade Condicionada .................................................... 183
2. Teorema de Bayes ................................................................ 186
Exercícios Propostos ............................................................................ 195
Referências ........................................................................................ 199
Considerações Finais ........................................................................... 200
Apresentação
A Estatística, ainda que não da maneira como a conhecemos 
atualmente, é utilizada desde antes da Era Cristã. De acordo com relatos 
históricos, no ano de 2238 a.C., o imperador chinês Yao realizou um censo 
(do latim, Censere, que significa “taxar”) populacional. Um outro exemplo, 
datado de 578-534 a.C., relata que o imperador romano Sérvio Túlio fez um 
censo para determinar o número de pessoas “aptas” para compor seu exército. 
Naquele período, a Estatística ainda não tinha status de ciência, e 
seus objetivos eram basicamente tributários (calcular o imposto devido por 
cada família em função do número de pessoas que a compunham), bélicos 
(total de possíveis “soldados” de um império) e para aferição da riqueza de 
um governante. Cabe também comentar que o Livro de Números, da Bíblia 
Sagrada, recebeu esse nome (na versão de origem latina) em alusão aos dois 
censos nele relatados. Na Idade Média, foram realizados diversos censos, dentre 
os quais destacamos o Doomsday Book (FERNANDES apud PARANÁ, 
2010), realizado em 1066, na Inglaterra, por Guilherme, o Conquistador.
No século XVI, os dados sociais coletados – como nascimentos e 
óbitos – começaram a passar por uma análise sistemática. No século XVIII, 
a Estatística, batizada com esse nome por Godofredo Achenwall em alusão 
ao termo latino status, obteve estrutura de ciências. Os dados que antes eram 
o objetivo final, tornaram-se o ponto de partida para busca de regularidades 
e possíveis previsões. Dessa forma, buscavam-se conclusões sobre o todo, 
partindo da observação de uma de suas “partes”.
As tabelas foram aperfeiçoadas e surgiram as representações gráficas. 
O aprimoramento do Cálculo de Probabilidades – que já existia desde o 
9Estatística
século XVII – alavancou ainda mais tal ciência. Atualmente, ela é aplicada 
em praticamente todas as áreas de conhecimento humano, nos auxiliando 
na tomada de decisões de uma maneira mais estruturada. Com o advento da 
tecnologia e por uma necessidade cada vez maior de analisar dados e deles 
tirar conclusões, precisamos aprender essa ciência e utilizá-la como uma 
pujante ferramenta. 
As tabelas foram aperfeiçoadas e surgiram as representações gráficas. 
O aprimoramento do Cálculo de Probabilidades (que já existia desde o 
século XVII) alavancou mais ainda tal ciência. Atualmente ela é aplicada 
em praticamente todas as áreas de conhecimento humano, nos auxiliando 
na tomada de decisões de uma maneira mais estruturada. Com o advento 
da tecnologia, e uma necessidade cada vez maior de analisar dados e deles 
tirar conclusões, precisamos aprender esta Ciência e utilizá-la como uma 
pujante ferramenta. 
10 Estatística
Objetivos Gerais
 Desenvolver o pensamento estatístico por meio de situações-problema.
11Estatística
Conceitos Básicos
Para início de conversa...
Antes de nos aprofundarmos no estudo desta disciplina, veremos 
alguns conceitos básicos necessários à aprendizagem dos temas. Falaremos 
sobre o Método Estatístico, população, amostra, técnicas de amostragem e os 
diferentes tipos de variáveis.
Um método, de maneira geral, é um conjunto de meios dispostos 
convenientemente para se chegar ao fim desejado. Existem diferentes tipos 
de método: científicos (dedutivo, experimental, estatístico etc.) e outros 
não científicos (tentativa e erro etc.). No Método Estatístico, em virtude da 
impossibilidade de mantermos constantes as causas, admitimos suas variações 
e tentamos determinar a influência que coube a cada uma delas. Esse método 
é de suma importância quando se deseja, partindo da análise de uma parte dos 
dados (amostra), obter resultados (inferir) válidos para o todo (população). 
Neste capítulo, veremos algumas técnicas de amostragem que nos permitirão 
extrapolar conclusões, ainda que não seja possível avaliar todos os elementos 
do conjunto. 
 
 
13Estatística
https://www.lexico.pt/extrapolar/
Objetivo
Conceituar os principais termos estatísticos: População, Amostra 
e Variável.
15Estatística
1. População
 
Estatisticamente falando, uma população é o conjunto da totalidade dos 
indivíduos sobre o qual se faz uma inferência. Isto é, é o conjunto constituído 
por todas as unidades experimentais (ou observacionais) que apresentam 
pelo menos uma característica comum e ela pode ser finita ou infinita. Por 
exemplo, todos os professores da Unigranrio formam uma população (no 
caso, finita). Eles poderiam até ter outras coisas em comum, mas o fato de 
todos lecionarem na mesma instituição faz deles um exemplo de população. 
Mas, qual a importância disso? Com o auxílio da Estatística 
podemos, dentre outras coisas, fazer previsões sobre uma população, 
tomando como base os dados de apenas um “pedaço” desse conjunto (isto é, 
uma inferência). Por exemplo, não precisamos entrevistar todos os eleitores 
para prever qual candidato deve vencer a eleição. É importante observar que 
isso é uma previsão e, como tal, está sujeita a uma margem de erro (que 
pode ser previamente determinada). 
Quando a pesquisa envolve dados de toda a população, dizemos que houve 
um censo. No Brasil, o censo demográfico começou em1872, com o objetivo 
de contar a população brasileira e extrair informações sobre as características 
desses habitantes. Atualmente, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística 
(IBGE) é o responsável pelo recenseamento, sendo que tal processo costuma 
ocorrer a cada dez anos (1940,1950, 1960, 1970 etc.).
Para fazermos uma pesquisa Estatística com resultados válidos, 
devemos executar algumas tarefas. A seguir, explicaremos cada passo a 
ser seguido. 
1. Definir a variável
É a delimitação do problema, isto é, definir o que você irá pesquisar.
2. Realizar a pesquisa 
É o momento de coletar os dados correspondentes às variáveis 
escolhidas.
17Estatística
3. Organizar os dados 
É a parte de elaborar tabelas ou gráficos a partir dos dados coletados.
4. Analisar os resultados
Utilizando diferentes conceitos estatísticos, analisamos os 
resultados obtidos na amostra, objetivando tirar conclusões válidas 
para a população.
2. Amostra
Na Estatística, é necessário definir um outro conjunto além da 
população. Esse conjunto é chamado de amostra e, à medida que você 
avançar nos estudos nesta disciplina, perceberá a sua importância. Contudo, 
a definição de uma amostra é bem simples, trata-se do subconjunto finito de 
uma população. Veja os seguintes exemplos:
 ▪ Exemplo 1
População: O conjunto de todos os torcedores de um determinado 
time de futebol.
Amostra: O conjunto dos torcedores desse mesmo time que têm 
mais que 18 anos.
 ▪ Exemplo 2
População: O conjunto de todas as baleias de uma determinada região.
Amostra: O conjunto de baleias dessa mesma região que possuem 
um chip de monitoramento remoto, de coleta de dados, que visa o 
estudo e preservação desse animal.
 ▪ Exemplo 3
População: Conjunto de pessoas portadoras de HIV (soropositivas 
HIV), no Brasil. 
Amostra: Conjunto das pessoas portadoras de HIV 
(soropositivas HIV) que fazem tratamento no Hospital 
Universitário Gaffrée Guinle.
18 Estatística
Veja, agora, um esquema em que exemplificamos uma população 
estatística e algumas de suas possíveis amostras:
Figura 1: Exemplo de uma população e algumas de suas diferentes amostras. Fonte: Elaborado pelos autores.
Dependendo do contexto, um mesmo conjunto pode desempenhar o papel de população 
ou de amostra. Por exemplo, todos os alunos da Universidade Unigranrio podem ser 
considerados uma população, da qual todos os alunos que estudam no Campus Duque 
de Caxias compõem uma amostra. Porém, se consideramos como população todos os 
universitários brasileiros, o conjunto de todos os alunos da Unigranrio se torna uma amostra.
2.1 Tamanho de uma Amostra
Na maioria das vezes, não é possível trabalhar com o universo 
populacional, isto é, realizar o censo. Em alguns casos, por se tratar de uma 
população infinita; em outros; por se tratar de uma população demasiadamente 
extensa, o que normalmente demanda muito tempo e um custo elevado. Em 
algumas situações, existem inviabilizações naturais, por exemplo: ao pesquisar 
uma determinada espécie de um pássaro, é praticamente impossível capturar 
todos. Por isso, precisamos “escolher” alguns elementos da população para 
População
Exemplos de
amostras
Importante
19Estatística
a realização da pesquisa. Mas, quantos elementos precisam ser utilizados de 
modo que a amostra seja representativa? Para esse cálculo, podemos utilizar a 
fórmula descrita a seguir:
Para o cálculo do tamanho da amostra de uma população considerada 
finita, utilizaremos:
Sendo o valor correspondente ao nível de confiança que o pesquisador 
deseja para a sua pesquisa. O nível de confiança, também chamado de 
coeficiente de confiança, é a probabilidade de uma pesquisa ter os mesmos 
resultados quando a mesma é aplicada em um conjunto de dados, dentro do 
mesmo perfil amostral e com a mesma margem de erro. Por exemplo, se o 
nível de confiança de uma pesquisa é de 95%, isso implica que se a mesma 
for aplicada 100 vezes, gerará resultados dentro da margem de erro estipulada 
em 95 casos.
Normalmente, consideramos um nível de confiança maior ou igual 
a 95%. Cada percentual remete a um valor para . Por exemplo, um nível 
de confiança de 95% equivale ao valor de . Veja, na tabela a seguir, alguns 
valores de em função do nível de confiança desejado na pesquisa.
Nível de confiança Valor de Z
80% 1,28
90% 1,64
95% 1,96
99% 2,58
Os valores apresentados na tabela surgem a partir de alguns cálculos 
baseados em algumas teorias matemáticas. Entretanto, foge ao escopo deste 
capítulo abordar tais assuntos.
O “N” na fórmula representa o tamanho da população; e o , a margem 
de erro estipulada para as pesquisas. Um erro de 3% significa que o resultado 
( )
( ) ( )
2
2 2
0,5. 
0,5. 1.
Z N
n
Z N e
=
+ −
20 Estatística
obtido pode ter uma variação aceitável de até 3 pontos percentuais, para mais 
ou para menos, em relação ao valor real. Se em uma pesquisa, o candidato 
A tem 25% das intenções de votos, e o candidato B tem 27%, eles serão 
considerados tecnicamente empatados, em virtude da margem de erro que, 
no primeiro caso, varia entre 22% e 28%, e no segundo, entre 24% e 30%.
Para reduzirmos a margem de erro, precisamos aumentar o nível de 
confiança ou o tamanho da amostra e vice e versa.
Normalmente, quando uma população possui mais de 100.000 
elementos, ela é considerada como infinita. Para esses casos, utilizamos a 
seguinte fórmula: 
Como é de se esperar, a fórmula depende somente do “Z”, que é o 
nível de confiança, e do “e” que representa o erro na pesquisa, já que estamos 
considerando uma população infinita. 
Existem outras fórmulas para a determinação do número de elementos de uma amostra, 
estas envolvem outros parâmetros não estudados neste material.
 ▪ Exemplo 4:
Calcule o tamanho de uma amostra, de nível de 95%, com uma 
margem de erro de 4%, sabendo-se que a população possui 
5000 elementos.
Como a população é finita, temos: (Importante: 4% equivale 
a 0,04)
Aproximadamente, 535 pessoas.
2
2.
Zn
e
 =  
 
Importante
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2 2
0,5. .
0,5. 1 .
0,5. 1,96 .5000
 
0,5. 1,96 5000 1 .0,04
4802 534,83
8,9784
Z N
n
Z N e
n
n
=
+ −
=
+ −
= =
21Estatística
Se esse mesmo problema fosse relativo à uma população com mais 
100.000 elementos, usaríamos a fórmula para uma população infinita do 
seguinte modo.
Aproximadamente, 600 pessoas.
 
2.2 Amostragem
 
Para que uma amostra seja representativa e, consequentemente, possa 
ser utilizada para extrapolarmos as conclusões para a população, é necessário 
que sigamos determinadas regras na seleção de seus elementos. Esse processo 
de escolha se chama amostragem. Observe o exemplo a seguir:
 ▪ Exemplo 5:
Uma nutricionista decide verificar a incidência de obesidade em um 
determinado município, com cerca de cento e vinte mil habitantes. 
Como é inviável pesar e medir todos os habitantes, ela decidiu fazê-
lo com alguns moradores (amostra). Para tal, montou um quiosque 
de assistência em uma praça do centro desta cidade, no qual ofereceu 
alguns serviços básicos de saúde, dentre eles, o cálculo do Índice 
de Massa Corpórea (IMC) de todos os voluntários. Os resultados 
foram alocados na tabela a seguir:
Peso Normal Obesidade grau 1 Obesidade grau 2 Obesidade grau 3
Homens 21 19 23 7
Mulheres 558 186 120 66
( )
2
2
2
2
 
2.
1,96 
2. 0,04
1,96 
0,08
24,5
600,25
Zn
e
n
n
n
n
 =  
 
 =  
 
 =  
 
=
=
22 Estatística
Analisando os resultados obtidos, ela verificou que 21 homens 
estavam com o peso normal (30%) e 49 tinham algum grau de obesidade. 
Daí, concluiu que 70% dos homens do referido município tinham algum 
grau de obesidade. 
Será que essa conclusão é válida? Se não, por quê? Antes de 
respondermos a tais indagações, primeiro veremos as técnicas de amostragem.
2.3 Técnicas de Amostragem
A amostragem pode ser probabilística ou não probabilística. Na 
primeira, cada elemento da população tem a mesma chance de ser escolhido, 
atribuindo à amostra maior caráter de representatividadee ressaltando 
sua importância, uma vez que as conclusões da pesquisa estão vinculadas 
exatamente a essas amostras. Na segunda, a seleção dos elementos da 
população que irão compor a amostra depende exclusivamente do julgamento 
do pesquisador ou do entrevistador no campo (que é algo muito subjetivo). 
Nela, não se pode extrapolar os resultados da pesquisa para a população. A 
seguir, explicaremos alguns casos e daremos exemplos. 
a. Aleatória simples: É feito um sorteio por meio de um dispositivo 
aleatório. Por exemplo, associar cada elemento da população a um 
papel com um número diferente e colocá-lo dentro de uma urna 
para, depois, enfiar a mão na urna e escolher um papel qualquer. 
b. Estratificada: Nessa técnica, a população é dividida em 
subpopulações, denominadas estratos, dos quais retiramos os 
elementos. Por exemplo, se queremos uma amostra de 300 pessoas, 
podemos dividi-la em dois estratos (sexo masculino e feminino) 
e pesquisar 150 homens e 150 mulheres. Voltando ao exemplo 5, 
foram entrevistados 70 homens e 930 mulheres, ou seja, o resultado 
obtido não pode ser extrapolado para a população, pois a quantidade 
de homens entrevistados foi insignificante em relação à de mulheres 
(ao compararmos com esses percentuais na população).
c. Por conveniência: Se um pesquisador precisa testar um novo 
medicamento antirretroviral (ARV) em portadores do vírus HIV, 
não seria conveniente ele ficar no calçadão da cidade perguntando 
23Estatística
a cada transeunte se o mesmo é portador do vírus e se deseja 
participar do teste de um novo medicamento? Nesse caso, ele deve 
utilizar a amostra que lhe convém, como ir em um hospital de 
referência da doença e procurar voluntários para o teste.
Os medicamentos antirretrovirais (ARV) agem inibindo a multiplicação do HIV no organismo, 
evitando assim o enfraquecimento do sistema imunológico. Atualmente, há 22 desses 
medicamentos. O AZT é bem conhecido. 
d. Sistemática: Nesse caso, o pesquisador cria uma “regra” de escolha 
da amostra. Por exemplo, ele dispõe de 2000 prontuários médicos, 
organizados em gavetas, por ordem alfabética. Decide escolher os 
dez primeiros de cada gaveta, para fazer parte de sua amostra. 
A distribuição das técnicas de amostragem habitualmente utilizadas 
pode ser resumida no esquema da Figura 2:
Figura 2: Técnicas habituais de amostragem. Fonte: Elaborado pelos autores.
 ▪ Exemplo: Vamos supor que um cientista social deseja investigar 
a democratização do acesso à internet em um determinado 
Curiosidade
Técnicas habituais 
de amostragem
Probabilística
(ou aleatória)
Não probabilística
Aleatória simples
Por conglomerado
Sistemática
Estratificada
Por conveniência
Intencional
24 Estatística
município que possui cerca de 130.000 habitantes e um baixo 
Índice de Desenvolvimento Humano (IDH). Faremos, a seguir, 
uma descrição de todo o processo:
 
I. Definição do problema: ele quer verificar se o acesso à internet 
está disponível a todos os moradores ou apenas aos de melhor 
poder aquisitivo. Além disso, em qual local esse acesso se dá (na 
residência, no trabalho, na escola, universidade etc.).
II. Realização da pesquisa com a definição do tipo de amostragem 
e do tamanho da amostra: como a população tem mais do que 
100.000 indivíduos (que para efeito de cálculo de tamanho de 
amostra é considerada infinita) se torna inviável a realização da 
pesquisa em todas as residências. Após a escolha dos parâmetros 
(95% de nível de confiança e 3% de erro máximo), foi feito o 
seguinte cálculo para a determinação do tamanho da amostra: 
O pesquisador decidiu que faria 1068 entrevistas e optou pela 
amostragem estratificada, por entender que o acesso a tal 
serviço variava de acordo com algumas especificidades. Cada um 
dos quatro distritos foi considerado um estrato; nestes, foram 
realizadas 267 entrevistas. Além disso, foram visitados bairros de 
periferia e os principais centros comerciais de cada distrito. Foram 
visitados também os arredores das instituições de ensino em 
diversos horários. À medida do possível, foram escolhidas pessoas 
de diferentes faixas etárias. Formando, assim, um diversificado 
público-alvo.
III. Após as entrevistas, o pesquisador organizou os dados em diversas 
tabelas (por local e por faixa etária). Expôs, convenientemente, os 
resultados em gráficos.
IV. Analisou os resultados, em busca de possíveis erros e não os 
encontrou. Concluiu que o percentual de pessoas com acesso à 
internet, geograficamente falando, era praticamente o mesmo em 
todo o município. Porém, ao observar os gráficos por faixa etária, 
2 22 1,96 1,96 1067,11
2. 2. 0,03 0,06
Zn
e
    = = =          

25Estatística
verificou que os mais idosos não dispunham desse serviço. De 
posse deste estudo, solicitou à prefeitura que ofertasse um curso 
de informática voltado à terceira idade e que definisse políticas 
públicas nesse sentido. 
3. Variáveis
Uma variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
As variáveis podem ser divididas em qualitativas ou quantitativas. 
Na variável qualitativa, os valores são expressos por atributos. Caso 
esses atributos possam ser ordenados, ela é chamada de qualitativa ordinal. 
Caso não admitam tal ordenação, é chamada de qualitativa nominal. 
No caso da quantitativa, se os valores forem expressos apenas por 
números inteiros, dizemos que ela é discreta. Se os valores forem números 
decimais, dizemos que é contínua.
 ▪ Exemplo 6:
Cor dos olhos: Qualitativa (pois é um atributo) nominal (não existe 
uma ordem predeterminada, que organize as cores dos olhos).
 ▪ Exemplo 7:
Nível de escolaridade: Qualitativa (é um atributo, não um número) 
ordinal (aceita ordenação). Por exemplo, nível fundamental 
completo, nível médio completo, nível superior completo.
 ▪ Exemplo 8:
Número de seguidores no Facebook, de uma determinada pessoa: 
Quantitativa (é um número) discreta (não podemos ter, por exemplo, 
41,5 seguidores, apenas um número inteiro de seguidores).
 ▪ Exemplo 9:
Velocidade de download de um plano de internet: Quantitativa (é 
um número) contínua (podemos ter um valor que não seja um 
número inteiro, por exemplo, 131,37 Mbps).
26 Estatística
Figura 3: Resumo dos diferentes tipos de variáveis. Fonte: Elaborado pelos autores.
Ao realizarmos uma pesquisa, devemos nos preocupar com os possíveis resultados de um 
fenômeno (variáveis). Por exemplo, se o pesquisador fizer a pergunta “Que comida você 
mais gosta?”, teria uma quantidade praticamente infinita de variáveis possíveis. Isso tornaria 
inviável a organização e a análise dos dados. 
Nesse caso, uma opção seria reescrever a pergunta como “Dentre as opções de comida a 
seguir, qual você mais gosta?” Isso restringiria o número de possíveis respostas para um 
quantitativo aceito pelo pesquisador.
Neste capítulo, conhecemos um pouco da história da Estatística e 
sua ascensão ao status de ciência. Vimos as principais etapas na realização 
de uma pesquisa (definir o problema, coletar e organizar os dados, expô-
los por meio de gráficos e analisá-los objetivando tirar conclusões válidas). 
Diferenciamos o conceito de amostra do de população estatística, dando 
exemplos em diferentes áreas do conhecimento científico. Em seguida, 
estudamos as principais técnicas de amostragem e o uso das fórmulas para 
determinação do tamanho ideal de amostra, dados os parâmetros (nível de 
confiança e erro máximo). Vimos que as variáveis podem ser classificadas 
em qualitativa (nominal ou ordinal) ou quantitativas (discreta ou contínua), 
citando exemplos de cada caso. Assim, de uma maneira geral, trabalhamos 
com os conceitos básicos da disciplina Estatística. 
Tipos de variáveis
Quantitativa
(ou numérica)
Discreta
Contínua
Qualitativa 
(ou categórica)
Nominal
Ordinal
Importante
27Estatística
28 Estatística
Referências
FERNANDES, M. C. Estudando estatística e conhecendo um pouco de 
história da matemática. O professor PDE e os desafios da escola pública 
paranaense. (CadernosPDE). Curitiba, 2010. Disponível em: www.
diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_
pde/2010/2010_utfpr_mat_artigo_maria_concilia_fernandes.pdf. Acesso 
em: 17 jun. 2019.
29Estatística
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2010/2010_utfpr_mat_artigo_maria_concilia_fernandes.pdf
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2010/2010_utfpr_mat_artigo_maria_concilia_fernandes.pdf
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2010/2010_utfpr_mat_artigo_maria_concilia_fernandes.pdf
Exercícios
1. Classifique as asserções em verdadeiras (V) ou falsas (F) e marque 
o item que exibe a ordem correta das respostas.
( ) A cor dos olhos de uma pessoa é um exemplo de variável 
quantitativa ordinal.
( ) O bairro onde uma pessoa reside é um exemplo de variável 
qualitativa nominal.
( ) O nível de escolaridade de uma pessoa é um exemplo de variável 
qualitativa ordinal.
a. V, F, V.
b. F, V, V. 
c. V, V, F.
d. F, F, V. 
e. V, V, V.
2. A série estatística que se caracteriza por apresentar o tempo variável, 
mantendo-se fixos o local e a espécie, é denominada de:
a. Série Finita.
b. Série Variável.
c. Série Específica.
d. Série Geográfica.
e. Série Temporal.
30 Estatística
3. Estatisticamente falando, uma amostra é:
a. Qualquer exemplo de variável.
a. Algo no qual você testa as tuas hipóteses.
b. Um subconjunto finito de uma população.
c. É um conjunto que tem um exemplo que representa bem o 
conjunto de dados.
d. A metade da população. 
Gabarito
1)B; 2)E; 3)C.
31Estatística
Representação Gráfica 
e Tabular
33Estatística
Para início de conversa…
É comum vermos, no nosso cotidiano, reportagens que fazem uso 
de gráficos e tabelas para resumir as informações que pretendem difundir. 
Assuntos como a variação do câmbio, o grau de satisfação do cidadão com seu 
governante ou as intenções de voto dos eleitores são frequentemente divulgadas 
de maneira gráfica e tabular. Essa utilização se dá em função da facilidade de 
“leitura” de um gráfico – por exemplo, uma variação de um determinado 
dado, exibida por meio de um gráfico em linha, pode ser percebida até mesmo 
por uma pessoa fora do meio acadêmico. 
Apesar dessa aparente simplicidade, essa forma de apresentação de 
dados deve seguir rigorosos critérios de elaboração. A exposição, de forma 
adequada, dos resultados de uma pesquisa é de suma importância. Nesta 
unidade de aprendizagem, veremos os principais tipos de gráficos e tabelas e 
quais os critérios utilizados para a escolha do tipo que melhor se adequada 
aos dados em questão.
35Estatística
Objetivo 
Identificar os principais elementos de uma Distribuição de Frequências 
e interpretar tabelas e gráficos.
37Estatística
1. Tipos de Gráficos
A exposição de dados por meio de gráficos facilita a “leitura” e o 
entendimento dos resultados da pesquisa. Existem inúmeros tipos de gráficos, 
mas, aqui, trataremos apenas dos mais importantes. Cabe lembrar que os 
exemplos a seguir foram construídos com o auxílio do software Excel.
1.1 Gráficos em Coluna
Normalmente, esse tipo de gráfico exibe as categorias ao longo do 
eixo horizontal e os valores no eixo vertical. Quando há muitas categorias de 
dados, esse tipo de gráfico se torna inviável, pelo espaço que ocupa. O Gráfico 
1, a seguir, exibe o preço da cesta básica, no Rio de janeiro. 
Preço da cesta básica, em reais, Rio de Janeiro, abril/18 a março/19
360.00
abr
/1
8
380.00
400.00
420.00
440.00
460.00
480.00
500.00
ma
io/
18
jun
/1
8
jul/
18
ago
/1
8
set/
18
out
/1
8
nov
/1
8
dez
/1
8
jan
/1
9
fev
/1
9
ma
r/1
9
Gráfico 1: Gráfico em coluna. Fonte: Elaborado pelo autor.
1.2 Gráfico de Linha
Esse tipo de gráfico é recomendado para mostrar dados contínuos, 
exibidos em intervalos de tempo iguais. As linhas ou colunas de uma 
38 Estatística
tabela podem ser facilmente plotadas em um gráfico de linha. Ele é muito 
utilizado para mostrar a variação periódica (quinzenal, mensal, bimestral, 
semestral etc.) de um valor, como o preço de um produto. O Gráfico 2, a 
seguir, exibe os mesmos dados do exemplo anterior, porém, utilizando um 
gráfico de linha. 
Preço da cesta básica, em reais, Rio de Janeiro, abril/18 a março/19
abr
/1
8
390.00
410.00
430.00
450.00
470.00
490.00
510.00
ma
io/
18
jun
/1
8
jul/
18
ago
/1
8
set/
18
out
/1
8
dez
/1
8
jan
/1
9
fev
/1
9
ma
r/1
9
nov
/1
8
Gráfico 2: Gráfico de linha. Fonte: Elaborado pelo autor.
Para plotar um gráfico no Excel, digite os dados no programa, selecione as colunas que 
deseja representar graficamente, clique no menu “Inserir”, depois na opção “Gráfico”, e 
escolha o tipo que deseja usar. 
1.3 Gráfico em Setor Circular
Esse gráfico é construído com base em um círculo, que é dividido em 
tantos setores circulares quantos forem os tipos de dados, e a área ocupada 
por cada setor é proporcional aos valores que cada um deles representam. 
Importante
39Estatística
As condições necessárias à utilização desse tipo de gráfico são:
 ▪ os dados devem exibir os tamanhos dos itens de uma série, de 
maneira proporcional à soma de seus valores;
 ▪ temos que ter apenas uma série de dados e nenhum dos dados 
pode ser negativo;
 ▪ é aconselhável que não tenhamos valores nulos (nem desprezíveis 
em relação ao todo) e que o número de categorias seja no 
máximo seis.
Exemplos de utilização de gráfico em setor circular:
 ▪ mostrar a contribuição de cada filial, no faturamento de uma 
empresa;
 ▪ mostrar a composição (quais os ingredientes e suas proporções) 
de um determinado produto;
 ▪ exibir os diferentes tipos de despesas que compõem o custo 
total de uma empresa, mostrando que parte do todo cada uma 
delas representa. 
Vejamos um exemplo de uma tabela de dados e sua respectiva 
representação gráfica em setor circular: 
Gasto de uma família, por tipo de despesa (março, 2019)
Tipos de despesa Valor gasto (em Reais)
Alimentação 500
Educação 300
Saúde 100
Moradia 1000
Transporte 100
A soma de todas as despesas é R$ 2.000,00. Para determinarmos a 
porcentagem relativa a cada uma delas, dividimos cada valor por dois mil e, 
40 Estatística
depois, multiplicamos o resultado por cem. Por exemplo, se quisermos saber 
a porcentagem correspondente à alimentação, fazemos . Assim, a alimentação 
corresponde à 25% do total, a Educação consome 15%, Saúde 5%, Moradia 
50% e Transporte 5%. Representando graficamente, temos:
Representando graficamente, temos: 
 Alimentação
 Educação
 Saúde
 Moradia
 Transporte
1.4 Histograma
Esse tipo de gráfico é utilizado para a representação de dados oriundos 
de uma tabela de distribuição de frequência. Vejamos, a seguir, uma tabela de 
distribuição de frequência e sua representação gráfica.
Idade dos alunos da disciplina Estatística, Unigranrio, em 2018
Classes (Idades, em anos) Frequência simples
20 |– 30 14
30 |– 40 13
40 |– 50 10
50 |– 60 7
41Estatística
60 |– 70 1
70 |– 80 5
Fre
qu
ên
cia
20 30 40 50 60 70 80
Idade dos alunos da disciplina Estatística, Unigranrio, 2018.
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1.5 Pictograma
É um gráfico no qual se utiliza um símbolo ou imagem sugestiva da 
variável em estudo. Por exemplo, para cada cinco clientes insatisfeitos, foi 
utilizado um “emoji zangado”. Para cada cinco clientes muito satisfeitos, foi 
utilizado um “emoji feliz”. 
Grau de satisfação com o pós-venda da empresa (março, 2019)
Grau de satisfação Número de clientes
Insatisfeito 20
Satisfeito 25
Muito satisfeito 15
42 Estatística
Grau de satisfação com o pós-venda da empresa, março de 2019
Insatisfeito Satisfeito
0
Muito satisfeito
5
10
15
20
25
30
2. Tipos de Tabelas
De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística 
(IBGE), uma tabela é a forma não discursiva de apresentação de informações, 
das quais os dados numéricos, dispostos em uma ordemdeterminada, 
se destacam como informação central. Quando há uma grande variedade 
(qualitativa ou quantitativa) de dados a ser exposta, o uso da tabela facilita 
sua leitura e interpretação. 
2.1 Confecção de uma Tabela Simples
Uma tabela deve ser completa em si mesma, de maneira que não 
precisemos recorrer ao texto para saber do que trata. Seus elementos 
fundamentais são: título, cabeçalho, coluna indicadora e corpo. Para 
complementar uma tabela, devemos citar a fonte dos dados (a fim de dar-lhes 
credibilidade) e, caso haja necessidade, as notas (que esclarecem o conteúdo) 
e as chamadas. 
43Estatística
2.1.1 Título da Tabela 
O título deve ser explicativo, contendo a natureza do fato (o que), 
as variáveis (como), a abrangência geográfica (onde) e temporal dos dados 
(quando). Vejamos exemplos de títulos adequados: 
Exemplo 1: Distribuição dos indivíduos no mercado formal de empregos, por sexo, no 
município do Rio de Janeiro, 2018.
Ocupação Feminino Masculino
Engenharias 22% 78%
Educação 64% 36%
Saúde 71% 29%
Outros 51% 49%
Exemplo 2: Número de registro de agravo de violência contra mulher, por estado da Região 
Sudeste, Brasil, 2018.
Estados da Região Sudeste Número de Registros
Espírito Santo 1.108
Minas Gerais 941
Rio de Janeiro 1.460
São Paulo 1.852
Total 5.361
Exemplo 3: Frequências das ocorrências das características gerais da violência familiar 
e doméstica contra a mulher, por mês, em Duque de Caxias – RJ, Brasil, no primeiro 
quadrimestre de 2018.
Violência Familiar e Doméstica Número de Registros
Janeiro 527
Fevereiro 386
Março 178
44 Estatística
Abril 292
Total 1383
2.1.2 Cabeçalho
É a parte superior da tabela, na qual se especifica o conteúdo das colunas.
Exemplo: Distribuição dos indivíduos no mercado formal de empregos, por sexo, no município 
do Rio de Janeiro, 2018.
Cabeçalho
Ocupação Feminino Masculino
Engenharias 22% 78%
Educação 64% 36%
Saúde 71% 29%
Outros 51% 49%
2.1.3 Coluna Indicadora 
É a parte da tabela na qual se especifica o conteúdo das linhas.
Exemplo: Número de registros de agravo de violência contra mulher, por estado da Região 
Sudeste, Brasil, 2018.
Coluna indicadora
Estados da Região Sudeste Número de Registros
Espírito Santo 1.108
Minas Gerais 941
Rio de Janeiro 1.460
São Paulo 1.852
Total 5.361
45Estatística
2.1.4 Corpo da Tabela
É o conjunto de linhas e colunas. Ele deve conter apenas os dados 
realmente relevantes à análise a qual se propõe. As linhas são retas horizontais 
imaginárias, nas quais se inscrevem os dados. Uma célula é a intersecção entre 
uma linha e uma coluna.
Exemplo: Frequências das ocorrências das características gerais da violência familiar 
e doméstica contra a mulher, por mês, em Duque de Caxias – RJ, Brasil, no primeiro 
quadrimestre de 2018.
Corpo da tabela
Violência Familiar e Doméstica Número de Registros
Janeiro 527
Fevereiro 386
Março 178
Abril 292
Total 1383
A figura a seguir exibe um resumo dos itens que compõem uma tabela.
Tabela 1: Título
Coluna indicadora Cabeçalho
Conteúdo da linha Célula
Fonte:
Nota
Exemplo de tabela: Número de casos notificados e confirmados de sarampo, por município 
de residência, Amazonas, 2018.
Importante
Co
lun
a
Corpo da tabela
46 Estatística
Municípios Notificados Confirmados
Manaus 8.561 7.729
Outros municípios 2.343 1.748
Total 10.904 9.477
Note que a célula de uma tabela não pode ser deixada vazia. De 
acordo com as normas tabulares do IBGE, quando o valor for zero, devemos 
preenchê-la com um traço horizontal (um hífen). Se não tivermos os dados, 
colocamos três pontos. Se houver dúvida quanto à exatidão de determinado 
valor, escrevemos um ponto de interrogação. Caso o valor seja muito pequeno 
para ser expresso pela unidade utilizada, preenchemos a célula com um 
número zero.
2.2 Séries Estatísticas
Estatisticamente falando, uma série é um tipo de tabela que exibe a 
distribuição de um conjunto de dados, em função de sua espécie, época ou 
do local ao qual se referem. Uma série pode ser classificada de acordo com o 
elemento que sofre variação. Vejamos, agora, essa classificação. 
2.2.1 Histórica, Cronológica ou Temporal
Quando ocorre a variação do tempo, em um determinado local. 
Exemplo: Número de casos confirmados de sarampo, no município do Rio de Janeiro, 
2011-2018.
Variação dos anos
Ano Casos confirmados
2011 3
2012 0
2013 0
47Estatística
2014 3
2015 0
2016 0
2017 0
2018 16
Observe que a tabela acima mostra a evolução de uma mesma doença, 
no mesmo local, em diferentes anos (há variação apenas do período).
2.2.2 Geográfica, Espacial ou Territorial
Quando há a variação do local, em um determinado instante. 
Exemplo 1: Número de homicídios, por região, Brasil, em 2016.
Variação das regiões
Região Número de mortes
Norte 7.903
Nordeste 24.863
Sudeste 16.815
Sul 7.289
Centro-Oeste 5.647
Exemplo 2: Número de homicídios por cem mil habitantes, por região, Brasil, 2016.
Variação das regiões
Região Taxa por cem mil habitantes
Norte 44,55
Nordeste 43,68
Sudeste 19,47
Sul 24,76
Centro-Oeste 36,06
48 Estatística
Note que a tabela acima exibe o número absoluto de homicídios, por 
região brasileira, em 2016. Observe que, se expusermos os mesmos dados 
de maneira relativa (taxa a cada cem mil habitantes), perceberemos que a 
região onde houve mais homicídios no período citado, em relação ao total da 
população, é a Norte. Observe, ainda, que uma exposição de dados de maneira 
não adequada (por má-fé ou por desconhecimento) pode nos levar a uma 
interpretação errada do fato. 
2.2.3 Específica ou Categórica
Quando houver variação da especificação, em um determinado 
tempo e local. 
Exemplo 1: Número de escolas por etapa de ensino, Brasil, 2017.
Variação das etapas de ensino
Etapa de ensino Número de escola
Creches 67.902
Pré-escolas 105.200
Anos iniciais do + Ensino Fundamental 115.372
Anos finais do Ensino Fundamental 62.394
Ensino Médio 28.558
3. Distribuição de Frequência 
Ao estudarmos conjuntos de dados numéricos com uma grande 
quantidade de elementos, é conveniente organizá-los e resumi-los em tabelas 
chamadas distribuição de frequências. Por constituir-se no tipo de série 
estatística mais importante para a Estatística Descritiva, faremos um estudo 
mais detalhado a respeito dessas distribuições.
Como a confecção de uma tabela de distribuição de frequência pode 
ser um processo longo, para melhor entendimento, explicaremos cada uma de 
suas etapas, a partir dos seguintes exemplos: 
49Estatística
3.1 Tabela Primitiva
Denominamos tabela primitiva um agrupamento de dados não 
ordenados numericamente.
Exemplo 1: Os dados abaixo representam a idade, por paciente, após o diagnóstico, em uma 
amostra de 24 pacientes tratados na Clínica-Escola de Fisioterapia da Unigranrio, em 2005.
8 7 11 10 8 9
7 8 10 12 11 7
7 6 9 10 9 11
9 10 6 12 8 8
Exemplo 2: Supondo que um administrador, objetivando excelência no atendimento em sua 
empresa, decidiu fazer uma pesquisa de satisfação e entrevistou 50 clientes. A fim de adequar 
os produtos oferecidos à faixa etária atendida, perguntou (dentre outras coisas) a idade de 
cada entrevistado. As respostas dadas nesse item do questionário estão listadas a seguir:
23 59 31 22 38 75 36 72 29 38
29 55 56 41 50 45 32 45 25 79
35 25 73 37 57 39 22 34 28 21
42 51 54 25 36 72 26 23 44 33
45 44 42 28 43 22 41 69 31 41
3.2 Rol
Denominamos rol o agrupamento de dados após a sua ordenação 
numérica (em geral, usa-se a ordenação crescente).
Exemplo 3: O conjunto abaixo representa o rol do Exemplo 1 deste tópico.
6 6 7 7 7 7
8 8 8 8 8 9
50 Estatística
9 9 9 10 10 10
10 11 11 11 12 12
Exemplo 4: O conjunto abaixo representa o rol do Exemplo 2 deste tópico.
21 22 22 22 23 23 25 25 25 26
28 28 29 29 31 31 32 33 34 35
36 36 37 38 38 39 41 41 41 42
42 43 44 44 45 45 45 50 51 54
55 56 57 59 69 72 72 73 75 79
3.3 Construção de Distribuição de Frequências
O nosso desafio, agora, consiste em dispor dados de uma tabelaprimitiva (ou rol) de outro modo. A tabela que construiremos a seguir recebe 
o nome de Distribuição de Frequências, assim chamada porque relaciona 
variáveis quantitativas com contagens (ou frequências) do número de valores 
que se enquadram em cada categoria. Uma distribuição de frequências pode 
ser sem intervalos de classes ou com intervalos de classes. Os exemplos 5 e 6 
elucidam a construção de cada um desses dois tipos. 
Exemplo 5: Construir uma distribuição de frequências para os dados abaixo:
Número de sessões de fisioterapia, por paciente, após o diagnóstico, em uma amostra de 
24 pacientes tratados na Clínica-Escola de Fisioterapia da Unigranrio, em 2005
6 6 7 7 7 7
8 8 8 8 8 9
9 9 9 10 10 10
10 11 11 11 12 12
Note que esse agrupamento é formado por números inteiros e com 
uma amplitude pequena, pois o menor deles é 6 e o maior é 12, o que sugere 
51Estatística
a construção de uma distribuição de frequência sem intervalos de classes. 
Assim, após a sua construção, vamos obter a seguinte tabela:
Número de sessões de fisioterapia, por paciente, após o diagnóstico, em uma amostra de 
24 pacientes tratados na Clínica-Escola de Fisioterapia da Unigranrio, em 2005
Idade (xi) frequência (fi)
6
7
8
9
10
11
12
2
4
5
4
4
3
2
Total 24
Fonte: Clínica-Escola de Fisioterapia da Unigranrio.
Exemplo 6: Construir uma distribuição do mesmo tipo para os dados abaixo:
Idade dos clientes entrevistados, da empresa Y (março, 2019)
21 22 22 22 23 23 25 25 25 26
28 28 29 29 31 31 32 33 34 35
36 36 37 38 38 39 41 41 41 42
42 43 44 44 45 45 45 50 51 54
55 56 57 59 69 72 72 73 75 79
Observe que, diferentemente dos dados do exemplo 5, agora temos 
uma amplitude grande, o que torna inviável construir uma distribuição de 
frequência sem intervalos de classe. Existem algumas regras para determinar 
o número de classes e a amplitude delas; optamos por utilizar, neste texto, o 
método conhecido como Regra de Sturges.
a. Determinação do número de classe (representado pela letra 
“K”), em função do total de dados (representado pela letra n)
52 Estatística
K=1+3,22 . log10n
Número de classes Total de dados
Substituindo “n” por 50 (já que temos 50 dados) e, depois, calculando, 
com o auxílio de uma calculadora científica, o valor do logaritmo de 50, temos:
K=1+3,22 =.log log 50
K=1+3,22 .1,69
K=1+5,44
K=6,44
Utilizaremos 6 classes, ou seja, 6 linhas.
b. Determinação da amplitude total (ou amostral) e da amplitude 
da classe
A amplitude total (AT) é a diferença entre o maior e o menor valor da 
tabela. No nosso caso, esses valores são, respectivamente, 79 e 21. Daí:
AT = 79-21=58
 ATA amplitude de cada classe (h) é definida pela fórmula. h = 
 k
Substituindo os valores de e de , calculados anteriormente, temos:
AT 58 h = = 9,7
 k 6
Arredondando esse valor, cada classe terá a amplitude igual a 10.
c. Construção da tabela, utilizando os resultados anteriores
No nosso exemplo, teremos seis linhas, e cada linha terá amplitude 
igual a 10. A primeira classe tem como limite inferior o número 20 e limite 
superior o número 30. Essa classe, representada por , deve conter todos os 
valores maiores ou iguais a 20 e menores do que 30. Observe que, se o 
valor fosse exatamente igual a 30, faria parte da classe . As classes precisam 
englobar todos os dados iniciais.
53Estatística
Idade dos clientes entrevistados, Filial 1 (março, 2019)
Classes (Idades, em 
anos) Frequência simples 
20 |– 30 14
30 |– 40 12
40 |– 50 11
50 |– 60 7
60 |– 70 1
70 |– 80 5
Ou seja, nos dados, há 14 números 
que estão entre 20 (inclusive) e 30
O limite inferior da primeira classe é 20 
e o superior é 30
Determinação das frequências acumuladas, pontos médios e 
frequências relativas simples de cada classe
Idade dos clientes entrevistados, Filial 1 (março, 2019)
Classes (Idades, em anos) Frequência simples Frequência acumulada 
20 |– 30 14 14
30 |– 40 12 14+12=26
40 |– 50 11 14+12+11=37
50 |– 60 7 14+12+11+7=44
60 |– 70 1 14+12+11+7+1=45
70 |– 80 5 14+12+11+7+1+5=50
A frequência acumulada de uma 
determinada classe é igual à soma 
de todas as frequências simples até 
a classe em questão. 
54 Estatística
Para determinarmos a frequência relativa simples de uma classe, 
dividimos a frequência simples pelo total e, depois, multiplicamos o resultado 
obtido por cem. Se quisermos o ponto médio de uma classe, basta somarmos 
os seus limites (inferiores e superiores) e dividirmos o resultado por dois. 
Completando a tabela com esses dados, teremos:
Classes (Idades, 
em anos)
Frequência 
simples 
Frequência 
acumulada 
Ponto médio da 
classe
Frequência relativa 
simples (em %)
20 |– 30 14 14 25
14 . 100 = 28
50
30 |– 40 12 26 35
12 . 100 = 24
50
40 |– 50 11 37 45
11 . 100 = 22
50
50 |– 60 7 44 55
 7 . 100 = 14
50
60 |– 70 1 45 65
 1 . 100 = 2
50
70 |– 80 5 50 75
 5 . 100 = 10
50
Nesta unidade, vimos as normas do Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE) para a confecção de uma tabela. Aprendemos a identificar 
o título, o cabeçalho, a fonte e o corpo de uma tabela. Definimos série 
estatística e sua classificação (em histórica, geográfica ou específica). Vimos, 
detalhadamente, a confecção de uma tabela de distribuição de frequências, 
inclusive com o cálculo do número de classes e sua amplitude. Em seguida, 
aprendemos a confeccionar os principais tipos de gráficos e a identificar o 
mais adequado para cada caso. 
Esse tema é de suma importância tanto no meio acadêmico, quanto no 
nosso cotidiano, visto que é comum o uso de gráficos em reportagens sobre 
finanças, esportes, saúde, previsão do tempo, educação e em tantos outros 
temas relevantes.
55Estatística
Exercícios
1. Os dados a seguir representam o peso (massa) em Quilogramas, 
de 70 pacientes atendidos em uma clínica ortopédica, no mês de 
março de 2019. Complete a tabela de distribuição de frequência 
desses dados e responda o que se pede:
Classes (em kg) Frequência simples 
Frequência 
acumulada 
Ponto médio da 
classe
Frequência relativa 
simples (em %)
40 |– 50 10
50 |– 60 15
60 |– 70 20
70 |– 80 10
80 |– 90 7
90 |– 100 8
a. Qual a porcentagem de pacientes que têm 40 kg ou mais, 
porém, menos do que 70 kg?
b. Qual a porcentagem de pacientes que têm 60 kg ou mais, 
porém, menos do que 90 kg?
c. Qual a frequência acumulada da terceira classe?
d. Qual o limite inferior da segunda classe?
e. Um paciente com 70 kg está enquadrado em qual dessas classes?
2. A tabela a seguir representa os dados de 150 pacientes 
atendidos em um determinado hospital, no mês de abril de 
2019. Represente os dados por meio de um gráfico de setor 
circular, com o auxílio do Excel. 
56 Estatística
Número de consultas, por Especialidade Médica (abril, 2019)
Especialidade médica Número de consultas
Ortopedia
Clínica Médica
Pediatria
Otorrino
Ginecologia
20
45
38
12
35
Total 150
3. Represente a tabela a seguir, por meio de um gráfico em barras:
Gasto de uma família, por tipo de despesa (março, 2019)
Tipos de despesa Valor gasto (em reais)
Alimentação 500
Educação 300
Saúde 100
Moradia 1000
Transporte 100
GABARITO 
1. Preenchendo a tabela, temos: 
Classes (em kg) Frequência simples 
Frequência 
acumulada 
Ponto médio 
da classe
Frequência relativa 
simples (em %)
40 |– 50 10 10 45
10 . 100 = 14,29
70
50 |– 60 15 25 55
15 . 100 = 21,43
70
57Estatística
60 |– 70 20 45 65
20 . 100 = 28,57
70
70 |– 80 10 55 75
10 . 100 = 14,29
70
80 |– 90 7 62 85
 7 . 100 = 10
70
90 |– 100 8 70 95
 8 . 100 = 11,42
70
a. Qual a porcentagem de pacientes que têm40 kg ou mais, porém, 
menos do que 70 kg?
Podemos somar as frequências simples até a terceira classe e dividir o 
resultado pelo total. 
 10 + 15 + 20 45Assim, teremos: = = 64,29%. 
 70 70
Outra maneira de fazer seria somar as frequências relativas até a 
terceira classe (14,29% + 21,43% + 28,57% = 64,29%).
b. Qual a porcentagem de pacientes que têm 60 kg ou mais, porém, 
menos do que 90 kg?
 20 + 10 + 7 37 = = 52,85% 
 70 70
c. Qual a frequência acumulada da terceira classe? 45.
d. Qual o limite inferior da segunda classe? 50.
e. Um paciente com 70 kg está enquadrado em qual destas classes? 
Na quarta classe, pois a terceira contempla valores maiores ou iguais 
a 60, porém, menores do que 70 kg. Por exemplo, um paciente 
com 69,9 kg estaria na terceira. 
58 Estatística
2. Para fazermos o gráfico no Excel, precisamos seguir os seguintes passos:
 ▪ Digitamos a tabela no Excel e a selecionamos.
 ▪ No menu “Inserir”, clicamos na opção “Gráfico” e, depois, 
escolhemos o tipo “Pizza”.
 Ortopedia
 Clínica Médica
 Pediatria
 Otorrinolaringologista
 Ginecologia
Número de consultas por especialidade médica (abril, 2019)
13%
30%
25%
8%
23%
3. Utilizando o Excel, teremos:
Alimentação Educação Saúde Moradia Transporte
Gasto de uma família, por tipo (março, 2019)
0
100
200
400
500
600
700
800
900
1000
1100
59Estatística
Referências
FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A. Curso de estatística. 6 ed. São Paulo: 
Atlas, 1992.
MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. 2 ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 1983.
TOLEDO, G. L.; OVALLE, I. I. Estatística básica. 2 ed. São Paulo: 
Atlas, 1985.
TRIOLA, M. F. Introdução à estatística. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Medidas de Posição
61Estatística
Para início de conversa…
Neste capítulo, veremos que as Medidas de Posição nos fornecem, 
de forma resumida, o comportamento de fenômeno em estudo. Dentre elas, 
destacamos as Medidas de Tendência Central (as principais são a Média, 
Moda e a Mediana) e as Separatrizes (Percentis, Decis, Quartis etc.). 
Estudaremos, também, que as Separatrizes têm como função separar 
os dados em “n” partes, com a mesma quantidade de elementos cada. Já as de 
Tendência Central são usadas quando queremos escolher adequadamente um 
valor que represente, de alguma forma, o conjunto de todos os dados.
63Estatística
Objetivo
Reconhecer e utilizar as Medidas de Posição na resolução de problemas. 
65Estatística
1. Média
Para iniciarmos nossos estudos, é importante compreendermos o 
conceito de média. Esta é encontrada quando somamos todos os dados e os 
dividimos pelo número de dados. É o número “médio”.
1.1 Média Aritmética Simples de uma Amostra de Dados 
Vamos, agora, conhecer alguns exemplos de média aritmética simples, 
com casos de dados agrupados e não agrupados em classes.
1.1.1 Dados não Agrupados em Classes
Seja uma lista de n (n > 1) números Reais, x1, x2, x3, ..., xn. A média 
aritmética simples é definida como: 
_ x1+x2+x3+...+ xnx = 
 n
Isto é, a média aritmética simples é igual à soma de todos os valores 
dividida pela quantidade total de dados. 
Exemplo 1: A média aritmética simples da seguinte sequência (12, 30, 
13, 9, 12, 8, 7) é calculada da seguinte maneira:
_ 12 + 30 + 9 + 12 + 8 + 7 91 x = = = 13
 n 7
A média é uma medida que depende de todos os dados da sequência. Por isso, não 
deve ser utilizada quando a sequência tiver valores extremos (outliers). Cada número 
tem exatamente a mesma importância (o mesmo peso) que os demais. Note que, se 
somarmos, subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos cada elemento de uma determinada 
sequência por uma constante, a média aritmética simples ficará acrescida, diminuída, 
multiplicada ou dividida por essa constante. 
Importante
66 Estatística
1.1.2 Dados Agrupados em Classes
Se estivermos trabalhando com uma distribuição de frequências 
com intervalos de classes, devemos utilizar a seguinte fórmula para 
determinar a média:
_ ∑ ( x1 . fi )x = 
 n
Em que: 
O sinal ∑ significa somatório.
xi representa o ponto médio da classe i
fi representa a frequência simples da classe i
Exemplo 2: Suporemos que a tabela de distribuição de frequência a seguir represente o peso 
(em kg) de 42 pacientes de uma clínica de tratamento renal.
Classes (em kg) Frequência simples ( fi )
20 |– 30 4
30 |– 40 9
40 |– 50 16
50 |– 60 7
60 |– 70 1
70 |– 80 5
n = 42
67Estatística
Para determinarmos a média aritmética simples, primeiro precisamos 
determinar ∑ ( xi . fi ). Depois, substituímos esse valor na fórmula. Completando 
a tabela, teremos: 
Classes (em kg)
Frequência simples 
( fi )
Ponto médio da classe 
( xi )
xi . fi
20 |– 30 4 25 25 . 4 = 100
30 |– 40 9 35 35 . 9 = 315
40 |– 50 16 45 45 . 16 = 720
50 |– 60 7 55 55 . 7 = 385
60 |– 70 1 65 65 . 1 = 65
70 |– 80 5 75 75 . 5 = 375
n = 42 ∑ ( xi . fi ) = 1960
Substituindo os valores na fórmula, temos:
_ ∑ ( xi . fi ) 1960 ~x = = = 46,66 
 n 42
1.2 Média Aritmética Ponderada
Nesse tipo de média, os números possuem pesos diferentes. É 
muito utilizada, por exemplo, no cálculo de notas compostas por diversos 
instrumentos avaliativos, que têm importâncias (pesos) diferentes. 
Exemplo 3: A nota bimestral de um colégio é composta de três instrumentos avaliativos, 
valendo dez pontos cada. Cada aluno deverá fazer um teste (peso 1), um trabalho (peso 2) 
e uma prova (peso 7). 
Digamos que um aluno tenha obtido nota 6,5 no teste, 7,0 no trabalho e 5,5 na prova. Para 
determinarmos sua nota, devemos efetuar o seguinte cálculo: 
 1 . (nota do teste) + 2 . (nota do trabalho) + 7 . (nota da prova)
Nota bimestral = 
 1 + 2 + 7
68 Estatística
1.3 Média Geométrica (G)
Seja uma sequência com n (n > 1) números reais positivos. A 
média geométrica será igual à raiz n-ésima do produto de todos os seus 
elementos. Ou seja, 
 n
G = √(x1 ) . (x2 ) . (x3 ) . ... . (xn )
Exemplo 4: Determine a média geométrica dos dados (9; 11 e 15). 
Substituindo os valores na fórmula, obtemos:
 a a 
~G = √9 . 11 . 15 = √ 1.485 = 11,40
Exemplo 5: A tabela a seguir exibe a taxa de aumento do salário mínimo, entre os anos de 
2015 e 2018. Determine a taxa média de aumento, no período citado.
Aumento percentual do salário mínimo no Brasil, de 2015 a 2018
Ano Taxa de Reajuste Concedida
2015 8,84%
2016 11,68%
2017 6,48%
2018 1,81%
A média pedida equivale a um valor (percentual), que, se fosse 
concedido igualmente mês a mês, produziria o mesmo montante (valor final) 
que essas taxas aplicadas sucessivamente no valor inicial. Esse problema 
pode ser resolvido utilizando-se o conceito de média geométrica, conforme 
descrito a seguir: 
 4 8,84 11,68 6,48 1,81 G = √(1 + ) . (1 + ) . (1 + ) . ( 1+ ) 100 100 100 100
69Estatística
 4 G = √(1 + 0,884) . (1 + 0,1168) . (1 + 0,0648) . (1 + 0,0181)
 4 
 ~ G = √(1 + 1,0884) . (1 + 1,1168) . (1 + 1,0648) . (1 + 1,0181) = 1,071409
1,071409 - 1 = 0,071409 (ou 7,1409%)
Isso significa que, se fossem concedidos quatro aumentos anuais, 
iguais e sucessivos de7,1409%, teríamos o mesmo valor final que temos 
ao conceder, respectivamente, 8,84%, 11.68%, 6,48% e, depois, 1,81%. 
Para efeito de comparação, faremos o cálculo mês a mês, das duas situações, 
supondo um salário inicial de R$ 1.000,00. 
Valor final com as taxas dadas
(8,84%, 11,68%, 6,48% e 1,81%)
Valor final com as taxas médias
(7,1409% em todos os meses)
Primeiro mês 1.088,40 1.071,40
Segundo mês 1.215,52 1.147,90
Terceiro mês 1.294,28 1.229,87
Quarto mês 1.317,70 1.317,70
Isso não significa que, para o trabalhador, seria a mesma coisa receber esses aumentos 
ou a média de aumento salarial anual. Observe, na tabela, que ele teria uma perda 
mensal nos salários. 
1.4 Média Harmônica Simples (H)
Seja uma lista de n (n > 1) números reais positivos, x1, x2, x3, ..., xn. A 
média harmônica simples é definida como: 
 - nH = 
 1 1 1 ... 1 + + + 
 x1 x2 x3 xn
Importante
70 Estatística
Isto é, é igual ao inverso da média aritmética simples dos inversos dos 
dados. Normalmente utilizamos esse tipo de média quando estamos tratando 
de dados inversamente proporcionais entre si, tais como vazão de um fluído e 
o tempo de escoamento ou velocidade e tempo de viagem.
Exemplo 6: Calcule a média harmônica da sequência 3, 8, 6 e 12:
Substituindo na fórmula, obtemos:
 _ 4 4 4 96 ~H = = = = = 5,65
 1 1 1 1 8 + 3 + 4 + 2 17 17 + + + 
 3 8 6 12 24 24 
Exemplo 7: Uma padaria recebeu uma encomenda de última hora. O administrador sabe 
que a matriz, sozinha, demoraria 6 horas para produzir o pedido. Se fosse só a filial, seriam 
necessárias 8 horas. Se elas trabalhassem simultaneamente, quanto tempo seria necessário 
para terminar a encomenda?
Calculando a média harmônica simples, temos: 
 _ 2 2 48 ~H = = = = 6,85 horas 
 1 1 7 7 + + 
 6 8 24 
Como as duas fariam simultaneamente, o tempo se reduziria à metade. 
Ou seja, juntas, demorariam, aproximadamente, 3,42 horas.
Só para conferir, vamos supor que a encomenda fosse de 240 bolos. Se a 
matriz levaria 6 horas para concluir, isso significa que ela faz 40 bolos por hora; já 
a filial precisaria de 8 horas, ela faz 30 unidades por hora. Logo, juntas, fazem 70 
bolos por hora. Se têm que fazer 240 bolos, precisam de 240 = 3,42 horas.
 70 
Exemplo 8: Uma torneira demora 6 horas para encher um reservatório. Uma segunda saída 
de água, sozinha, demoraria 12 horas para encher o mesmo recipiente. Quanto tempo seria 
necessário para que as duas torneiras, simultaneamente abertas, enchessem o recipiente? 
 _ 2 2 H = = = 8 
 1 1 3 + + 
 6 12 12 
71Estatística
Como as duas torneiras estarão abertas simultaneamente, esse tempo 
se reduz ao meio, ou seja, serão necessárias 4 horas.
Para fazer um teste, supomos que a capacidade do reservatório seja 
de 120 litros. Se uma torneira demora 6 horas para enchê-lo, ela derrama 20 
litros a cada hora; a segunda, pelo mesmo raciocínio, entorna 10 litros por 
hora. Juntas, derramam 30 litros por hora. Como são 120 litros, precisam de 
4 horas, juntas, para completar a tarefa. 
2. Moda
A moda (Mo ) é o dado que tem maior frequência simples, ou seja, é 
o que mais se repete. Essa medida pode ser utilizada para dados qualitativos 
ou quantitativos, isto é, podemos determinar a moda de dados não numéricos 
ou numéricos.
2.1 Dados Não Agrupados em Classes
Uma sequência pode ser amodal (não ter moda), bimodal (ter 
exatamente duas modas) ou multimodal (ter três ou mais modas). 
Se todos os valores tiverem a mesma frequência absoluta, a sequência 
será amodal.
Exemplo 9: A moda da sequência a seguir é o elemento “21”, pois ele tem a maior frequência 
absoluta, isto é, é o número que mais se repete nessa sequência.
12 21 10 11 30 31 21 31 21 17
16 14 16 22 21 11 25 12 31 15
Exemplo 10: A moda da sequência a seguir é o elemento “Paulo”, que se repete mais vezes 
que os demais.
Ana Diana Paulo Marta João Andressa Ricardo Paulo
Carlos José Maria Pedro Carla Paulo Alessa Ygor
72 Estatística
2.2 Dados Agrupados em Classes
Existem diferentes maneiras para determinarmos a moda de uma 
distribuição de frequência em intervalos de classes. Destacamos a Moda de 
King, a Moda de Pearson e a Moda de Czuber. Neste capítulo, optamos pelo 
uso da fórmula da Moda de Czuber, abaixo descrita:
 h . ( fi - fi - 1 ) Mo = li + [ ] ( fi - fi - 1 ) + ( fi - fi + 1 ) 
Em que: 
i é a classe modal (a classe que tem maior frequência simples)
h é a amplitude da classe 
li é o limite inferior da classe modal
fi é a frequência absoluta simples da classe modal
f i - 1 é a frequência absoluta simples da classe anterior à classe modal
Exemplo 11: A tabela a seguir exibe a altura, em centímetros, de 50 alunos participantes 
de um projeto de Educação Física, denominado “Projeto Futebol”. Determine a moda desse 
conjunto de dados.
Altura (em cm) dos alunos participantes do “Projeto Futebol”, da Escola X, 2018
 
 Classe modal
Classes (em centímetros) Frequência simples ( Fi )
130 |– 140 2
140 |– 150 5
150 |– 160 4
160 |– 170 21
170 |– 180 14
180 |– 190 4
n = 50
73Estatística
Nesse caso, teremos:
 h . ( fi - fi - 1 ) Mo = li + [ ] ( fi - fi - 1 ) + ( fi - fi + 1 ) 
 
Em que: 
i é a quarta classe, pois é a que possui a maior frequência simples
h é a amplitude da classe, que, no nosso caso, é igual a 10
li é o limite inferior da quarta classe, que é 160
fi é a frequência absoluta simples da quarta classe, que é 21
f i - 1 é a frequência absoluta simples da terceira classe, que é 4
f i + 1 é a frequência absoluta simples da quinta classe, que é 14
Substituindo os valores na fórmula, temos:
 10 . ( 21 - 4 ) Mo = 160 + [ ] ( 21 - 4 ) + ( 21 - 14 ) 
 
 10 . (17 ) Mo = 160 + [ ] (17 ) + ( 7 ) 
 170 ~ Mo = 160 + = 167,08
 24 
3. Mediana ( Md )
A mediana é o termo que ocupa a posição central da sequência, já 
organizada de forma crescente ou decrescente.
74 Estatística
3.1 Dados Não Agrupados em Classes 
Se a sequência tiver uma quantidade ímpar de elementos, a mediana 
será o termo central. Se a quantidade de elementos for par, devemos somar os 
dois elementos centrais da sequência e dividir o resultado por dois. 
Exemplo 12: Esta sequência possui 9 elementos. A mediana é o termo do meio. 
8 11 15 22 25 29 32 37 41
 4 elementos 4 elementos
 Mediana 
Exemplo 13: Esta sequência possui 8 elementos. Precisamos somar os dois elementos do 
meio e dividir a resposta por dois. 
11 19 21 24 26 29 41 43
 24 + 26 50 Md = = = 25 2 2 
A mediana, ao contrário da média, não é afetada por valores extremos.
Observe que as duas sequências a seguir têm a mesma mediana, apesarde o último elemento da segunda ser o cêntuplo da primeira.
Cêntuplo é um número multiplicativo que significa aquele que contém cem vezes a mesma 
quantidade, ou seja, o que é cem vezes o outro.
Importante
Glossário
75Estatística
2 14 15 27 31 39 42 49 51
Mediana
2 14 15 27 31 39 42 49 5100
3.2 Dados Agrupados em Classes
A mediana é o número que divide uma série ordenada de dados em 
duas outras com a mesma quantidade de elementos. Para dados distribuídos 
em classes, utilizamos a seguinte fórmula para determinação da mediana:
 ∑ fi 
 - fi - 1 ( 2 ) . hP50 = li + [ ] fi 
Em que:
i é a classe que contém o elemento mediano da distribuição, ou seja, 
que contém a posição ∑ fi . Essa classe é denominada de classe mediana.
 2
h é a amplitude da classe mediana
li é o limite inferior da classe mediana
f
i
 é a frequência absoluta simples da classe mediana
Fi - 1 é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana. 
Observe que a letra “F” maiúscula diz respeito à frequência acumulada, 
enquanto a letra “f ” minúscula representa a frequência simples. 
3.3 Separatriz
São valores que ocupam posições no rol (ou seja, uma amostra já 
ordenada), dividindo-o em partes iguais. As principais separatrizes são o 
percentil, o decil e o quartil.
76 Estatística
3.3.1 Percentil
Divide um rol em cem partes de mesma frequência. Existem 99 
percentil: P1, P2, P3, ..., P97, P98, P99. Como os quartis e decis são um subcaso 
de percentil, estudaremos apenas o caso geral (o percentil). 
1% 1% 1% 1% 1% ... 1% 1% 1% 1%
 
P1 
P99
3.3.1.1 Dados Agrupados em Classes 
Para determinarmos um percentil x, representado por Px, de dados 
agrupados em classes, utilizamos a seguinte fórmula:
 x . ∑ fi 
 - fi - 1 ( 100 ) . hPx = li + [ ] fi 
Em que:
i é a classe que contém o elemento central da distribuição, ou seja, a 
classe que contém a posição n.∑ fi . 100 . No caso da mediana, esse valor sempre 
será a metade do somatório das frequências simples
h . é a amplitude da classe 
li é o limite inferior da classe que contém a posição central da 
distribuição
f1 é a frequência absoluta simples da classe que contém a posição 
central da distribuição
Fi - 1 é a frequência acumulada da classe anterior à classe que contém 
a posição central da distribuição. Observe que a letra “F” maiúscula diz 
77Estatística
respeito à frequência acumulada, enquanto a letra “f ” minúscula representa a 
frequência simples.
Exemplo 14: Determine o percentil 50 da seguinte tabela de distribuição de frequência:
Altura (em cm) dos alunos participantes do “Projeto Futebol”, da Escola X, 2018
Classes (em centímetros) Frequência simples ( fi )
130 |– 140 2
140 |– 150 5
150 |– 160 4
160 |– 170 21
170 |– 180 14
180 |– 190 10
∑ fi = 56
Primeiro, devemos determinar a frequência acumulada de cada classe:
Classes (em 
centímetros)
Frequência simples 
( fi )
Frequência acumulada ( Fi )
130 |– 140 2 2
140 |– 150 5 2+ 5 =7
150 |– 160 4 2 +5 + 4 = 11
160 |– 170 21 2 +5+ 4+ 21 = 32
170 |– 180 14 2 +5+ 4 + 21 +14= 46
180 |– 190 10 2 +5+ 4 + 21 +14+ 10 = 56
Essa sequência possui 56 elementos (∑ fi = 56). Nós queremos 
determinar o percentil 50 (x = 50). A posição central é determinada por 
Classe utilizada 
para o percentil 50. 
Nela, encontra-se o 
28o termo
78 Estatística
x.∑ fi 50.56
 = = 28 100 100
Isto é, a classe que buscamos é aquela que possui o vigésimo oitavo 
elemento da sequência. No nosso exemplo, será a quarta classe. Observe que 
o percentil 50 equivale à mediana de uma distribuição de frequências, pois 
ambos a dividem ao meio.
i é a quarta classe
h é a amplitude da quarta classe,que é igual a
li é o limite inferior da quarta classe, que é 160
fi é a frequência (absoluta) simples da quarta classe, que é 21
Fi - 1 é a frequência acumulada da terceira classe, que é 11
Substituindo na fórmula, temos:
 x . ∑ fi 
 - fi - 1 ( 100 ) . hPx = li +[ ] fi 
 50 . 56 
 - 11 ( 100 ) . 10P50 = 160 +[ ] 21 
 28 . 11 P50 = 160 +[ ]. 10 21 
 28 . 11 P50 = 160 +[ ]. 10 = 160 + 8,09 = 168,09 21 
79Estatística
3.3.2 Decil
Divide o conjunto de dados em dez partes, todas com a mesma 
quantidade de elementos. Há 9 decis: D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8 e D9. 
Observe que 10% dos dados são menores ou iguais ao primeiro decil (D1 ) 
ou, ainda, 30% dos dados são iguais ou menores que o terceiro decil (D3 ). 
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%
 
D1 
D2 
D3 
D4 
D5 
D6 
D7 
D8 
D9
3.3.2.1 Dados Agrupados em Classes
Se quisermos calcular um decil de dados agrupados, calculamos 
o percentil equivalente a ele. Assim, utilizaremos apenas a fórmula de 
percentil. Por exemplo, o sexto decil tem o mesmo valor do percentil 60, 
conforme tabela abaixo.
Decil Percentil equivalente Decil Percentil equivalente
Primeiro Percentil 10 Sexto Percentil 60
Segundo Percentil 20 Sétimo Percentil 70
Terceiro Percentil 30 Oitavo Percentil 80
Quarto Percentil 40 Nono Percentil 90
Quinto Percentil 50
3.3.3 Quartil
Divide o conjunto de dados em quatro partes, todas com a mesma 
quantidade de elementos. Note que 25% dos dados têm valores menores 
ou iguais ao primeiro quartil (Q 1 ) ou, ainda, 75% dos dados têm valores 
menores ou iguais ao terceiro quartil (Q 3 ).
80 Estatística
25% 25% 25% 25%
 
Q1 
Q2 
Q3 
2.3.3.1 Dados Agrupados em Classes
Se quisermos determinar um quartil de dados agrupados, devemos 
calcular o percentil equivalente a ele, conforme a tabela abaixo. 
Quartil Percentil equivalente
Primeiro Percentil 25
Segundo Percentil 50
Terceiro Percentil 75
Exemplo 15: Determine o terceiro quartil (Q3 ) da seguinte distribuição:
Classes (em centímetros) 
Frequência 
simples ( fi )
Frequência 
acumulada ( Fi )
28,5 |– 30 2 2
30,0 |– 31,5 2 4
31,5 |– 33,0 19 23
33,0 |– 34,5 17 40
34,5 |– 36,0 10 50
36,0 |– 37,5 8 58
37,5 |– 39,0 2 60
∑ fi = 56
81Estatística
Como o terceiro quartil equivale ao percentil 75, temos:
 x . ∑ fi 
 - fi - 1 ( 100 ) . hPx = li +[ ] fi 
 75 . 60 
 - 40 ( 100 ) . 1,5P75 = 34,5 +[ ] 10 
 45 - 40 P75 = 34,5 +[ ] . 1,5 10 
 5 P75 = 34,5 +[ ] . 1,5 = 34,5 + 0,75 = 35,25 10 
Nesta unidade, estudamos as Medidas de Posição. Vimos, 
detalhadamente, as medidas de tendência central (especialmente a média 
aritmética, a moda e a mediana) e as separatrizes (as principais são percentis, 
decis, quintis e quartis). As medidas de tendência central recebem esse nome 
pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno 
dos valores centrais. Já as separatrizes são assim chamadas, pois têm como 
finalidade separar (dividir) uma distribuição em partes iguais. 
Vimos a definição e a fórmula para o cálculo dessas