LIVRO_MATEMÁTICA_-6-Ano-6_compressed-101-200

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 Prismas e pirâmides
Prismas
Os sólidos ao lado são denominados prismas. 
As faces hachuradas em cada prisma são chama-
das bases, e as demais, faces laterais. Em cada 
 prisma, as bases são idênticas.
prisma de base 
quadrangular
prisma de base 
triangular
pirâmide de base 
triangular ou 
tetraedro
pirâmide de base 
hexagonal
Pirâmides
Os sólidos ao lado são denominados pirâmides. 
A face hachurada em cada pirâmide é chamada 
base, e as demais, faces laterais.
Nas pirâmides, todas as faces laterais têm for-
ma triangular. Já a base pode ter forma triangular, 
quadrangular, pentagonal etc. 
Um pouco de história
Poliedros de Platão
Poliedros regulares são aqueles cujas faces são for-
madas por figuras idênticas. Nos poliedros regulares, 
todas as arestas têm a mesma medida e cada vértice é 
extremidade da mesma quantidade de arestas. Existem 
apenas cinco poliedros regulares (conhecidos desde o 
século VI a.C.). Observe-os ao lado.
Os poliedros regulares são casos particulares dos 
chamados poliedros de Platão (ou sólidos platônicos), 
em homenagem ao filósofo grego Platão (427-347 a.C.).
Os gregos associavam elementos da natureza aos 
 poliedros regulares. Veja o quadro abaixo.
tetraedro regular 
(4 faces iguais)
hexaedro regular ou 
cubo (6 faces iguais)
octaedro regular 
(8 faces iguais)
dodecaedro regular 
(12 faces iguais)
icosaedro regular
(20 faces iguais)
Ilustração do filósofo 
grego Platão.
Poliedro regular Elemento da natureza
Tetraedro Fogo
Hexaedro Terra
Octaedro Ar
Dodecaedro Universo
Icosaedro Água
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• Neste tópico serão aborda-
dos os prismas e as pirâmides, 
tipos de poliedros convexos. 
É interessante retomar os 
exemplos apresentados no 
“Trocando ideias” e investi-
gar se os alunos conhecem 
outras construções (prédios 
ou monumentos) que dão a 
ideia desses poliedros.
• Se possível, leve modelos 
de prismas e pirâmides para 
que os alunos manuseiem e 
observem suas característi-
cas. Mostre, no modelo, que 
no prisma as bases são iguais 
e que nas pirâmides as fa-
ces são todas triangulares. 
Comente que os prismas e as 
pirâmides podem ter bases 
triangulares, quadrangulares, 
pentagonais etc.
Caso julgue conveniente, 
existem softwares livres para 
construção e análise dessas 
figuras geométricas. Tanto 
para a utilização do mate-
rial concreto como para a de 
 softwares, é necessário pla-
nejar antecipadamente as 
atividades a serem desenvol-
vidas em aula, os materiais 
necessários e as estratégias. 
Nesse caso, é interessante 
organizar os alunos em gru-
pos ou duplas. 
Um pouco de história 
• Os poliedros regulares são 
introduzidos a partir dos po-
liedros de Platão. Iniciamos 
assim, de forma cautelosa, 
o trabalho com a habilidade 
EF06MA18, quando explora-
mos as faces dos poliedros 
regulares. 
• Como sugestão de ativida-
de extra, solicite aos alunos 
que se organizem em gru-
pos e pesquisem sobre Platão, 
apresentando algumas con-
tribuições dele à Matemática.
 
Sugestão de software
• No site da Universidade Federal do Rio Grande do Sul há indicações de diversos softwares. O software Poly 
é um exemplo. Livre e de fácil manipulação, mesmo não apresentando versão em português. Nesse software 
existem vários poliedros já construídos que podem ser girados, permitindo a sua observação por todos os la-
dos; além de os alunos poderem escolher a opção “poliedros de Platão” e explorá-los. 
Disponível em: <http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.php>. Acesso em: 1o ago. 2018. 
 
Veja sequência didática 3 do 
1o bimestre no Material do 
Professor – Digital.
http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.php
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cilindro
cilindro
cone
cone esfera
esfera
base
superfície
curva
base
vértice
superfície
curva
base
superfície
curva
Corpos redondos são sólidos geométricos cuja superfície apresenta alguma parte arredondada. 
Observe os exemplos a seguir.
Veja alguns elementos do cilindro, do cone e da esfera.
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Corpos redondos3
Lendo e aprendendo
O cubo gigante do Zabeel Park
O cubo é um caso particular de bloco 
retangular, em que as medidas de todas 
as arestas são iguais.
O artista David Harber projetou e 
construiu três grandes esculturas no 
Zabeel Park, em Dubai, Emirados Árabes 
Unidos. Uma dessas esculturas é um 
cubo gigante composto de 384 painéis 
distribuídos igualmente em suas faces 
de cobre e aço inoxidável.
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O cubo, de David Harber. 
Zabeel Park, Dubai, Emirados 
Árabes Unidos, 2007.
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• É possível dar continuida-
de ao trabalho interdisci-
plinar com Arte utilizando 
as formas arredondadas. O 
artista David Harber pos-
sui diversas obras que dão 
a ideia de corpos redondos. 
Uma possibilidade é fazer 
uma seleção dessas obras e 
apresentar aos alunos. (Site 
oficial de David Harber dis-
ponível em: <https://www.
davidharber.co.uk/>. Acesso 
em: 26 ago. 2018.)
 
Lendo e aprendendo 
• Esta seção apresenta o 
Cubo, obra de David Harber. 
Diversos outros artistas utili-
zam figuras geométricas pla-
nas e espaciais em suas obras. 
Na seção “Trocando ideias”, 
mostramos também o Cubo, 
de Tony Rosenthal. 
Sugestão de trabalho inter-
disciplinar
• Proponha uma pesquisa de 
outros artistas que utilizam 
formas geométricas espaciais 
em suas obras em parceria 
com o professor de Arte. Ou-
tra possibilidade é trabalhar 
com materiais reciclados, fa-
zendo releituras das obras 
pesquisadas. O trabalho com 
essas manifestações artísti-
cas propicia a abordagem da 
competência geral 3.
 
• É interessante levar, para 
os alunos manusearem e ob-
servarem, modelos de cone, 
cilindro e esfera e mostrar, 
nos objetos, os elementos 
desses sólidos geométricos. 
Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar 
de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
https://www.davidharber.co.uk/
https://www.davidharber.co.uk/
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ATIVIDADES
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I Esse cubo é formado por vários parale-
lepípedos reto-retângulos. Quantos sólidos 
desse tipo foram utilizados para compor 
essa escultura? 16 3 16 5 256
b) Para cada poliedro do quadro, verifique 
se a relação de Euler é válida.
a) Na figura, há:
• quantas faces? 
• quantas arestas? 
• quantos vértices? 
b) Qual é a figura que representa a base 
desse prisma?
5 faces
9 arestas
6 vértices
triângulo
a) b)
b) e)
c) f)
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a) d) 
a) um prisma e um cilindro;
b) uma pirâmide e um cone.
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 1 Qual é o nome do sólido geométrico que 
você associaria a cada uma destas imagens?
 5 Observe a figura abaixo, que representa um 
prisma, e responda às questões.
 6 Reúna-se com um colega para resolver 
esta atividade.
a) Copiem o quadro abaixo no caderno e 
completem-no.
 7 Observe a escul-
tura ao lado e, 
depois, responda 
à questão.
 2 Escreva no caderno uma característicacomum e uma diferença entre:
 3 Determine o número de faces, de arestas 
e de vértices de cada figura a seguir.
 4 Imagine que Paula vá fric-
cionar uma palma da mão 
na outra, fazendo girar o 
pirulito. O movimento 
do pirulito remete à 
imagem de um sólido 
geométrico. Qual é 
esse sólido? esfera
5 faces, 
8 arestas, 
5 vértices
6 faces, 
12 arestas, 
8 vértices
esfera
prisma
prismacone
pirâmidecilindro
Faça as atividades no caderno.
2. a) Exemplo de resposta: ambos são sólidos geométricos e possuem duas bases iguais; o 
prisma é um poliedro e o cilindro é um corpo redondo.
 b) Exemplo de resposta: ambos são sólidos geométricos e possuem uma única base; a 
pirâmide é um poliedro e o cone é um corpo redondo.
Poliedro 
regular
Número 
de 
vértices
Número 
de 
faces
Número 
de 
arestas
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
4
8
6
20
4
6
8
12
2012
6
12
12
30
30
6. b) A relação de Euler é válida para todos os poliedros do quadro, pois, em cada caso, a quantidade de faces 
somada à quantidade de vértices resulta na quantidade de arestas mais 2.
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Carlitos, de 
Carlos Estrada 
Vega, 2008.
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• As atividades têm por in-
tenção colaborar para o de-
senvolvimento da habilidade 
EF06MA17. 
• As atividades 1, 2, 3 e 5 ex-
ploram o reconhecimento e 
a identificação dos elemen-
tos de figuras geométricas 
espaciais, assim como suas 
características. A atividade 1, 
por exemplo, permite discu-
tir com os alunos a diferen-
ça entre o objeto e a figura 
geométrica que o represen-
ta, ressaltando as caracterís-
ticas e as propriedades dessa 
figura. Já para a atividade 2, 
pode-se organizar os alu-
nos em grupos e solicitar-
-lhes que façam uma síntese 
de características comuns e 
diferenças entre os sólidos. 
Depois, pedir aos integran-
tes de cada grupo que apre-
sentem a síntese aos demais 
colegas.
• A atividade 4, ao propor 
que o aluno gire uma su-
perfície circular obtendo 
uma esfera, trabalha com o 
conceito de sólido de revo-
lução. Há duas possibilida-
des de ampliar a atividade: 
pedir aos alunos que imagi-
nem qual sólido geométri-
co seria obtido se o pirulito 
tivesse a forma retangular 
e triangular ou perguntar 
qual figura geométrica pla-
na precisaria ser girada para 
obter um cilindro e um cone.
 
 
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Mateus e suas irmãs compraram um panetone para o lanche da tarde. Eles perceberam que a 
embalagem do panetone tem a forma de um sólido geométrico.
Depois que todos comeram o panetone, Mateus cortou a embalagem cuidadosamente pelas 
arestas e obteve sua planificação. Veja como ela ficou.
A seguir, observe a planificação da superfície de alguns sólidos geométricos.
Prisma de base triangular
Cilindro Cone
Pirâmide de base pentagonal
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Planificação da superfície 
de sólidos geométricos
4
planificação da embalagem do panetone
• O trabalho com planifica-
ção da superfície dos sólidos 
geométricos cumpre parte 
da habilidade EF06MA18, a 
qual será complementada no 
capítulo 9.
• Proponha aos alunos que 
levem embalagens e, tal 
como a situação proposta 
no livro com a caixa de pa-
netone, solicite que, com o 
auxílio de uma tesoura com 
pontas arredondadas, re-
cortem as embalagens cui-
dadosamente pelas arestas, 
produzindo uma planificação. 
O manuseio dessa planifica-
ção, assim como a possibi-
lidade de sua montagem e 
desmontagem, auxiliará no 
desenvolvimento da percep-
ção espacial. 
• Peça aos alunos que obser-
vem a figura e relacionem 
cada face da planificação da 
caixa de panetone, desta pá-
gina, com as faces da caixa 
montada.
 
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 Icosaedro
Poliedros regulares
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Observação 
A planificação da superfície de uma esfera é impossível, ainda que existam algumas represen-
tações gráficas aproximadas, como mostra o mapa abaixo. Observe:
Globo 
terrestre.Representação do globo 
terrestre em 
superfície 
plana.
Elaborado com base no “Planisfério político” do Atlas geográfico 
escolar. 7. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2016.
ERGONOMAL/SHUTTER
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DIVISÃO DOS CONTINENTES
60o
30o
30o
60o
0o
150o120o90o60o30o30o60o90o120o150o 0o
EQUADOR
CÍRCULO POLAR ÁRTICO
CÍRCULO POLAR ANTÁRTICO
TRÓPICO DE CÂNCER
TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO
ANTÁRTIDA
OCEANIA
ÁSIA
ÁFRICA
EUROPA
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OCEANO GLACIAL ÁRTICO
OCEANO
PACÍFICO
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PACÍFICO
OCEANO
ATLÂNTICO
OCEANO
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4.130 km
Sugestão de atividade extra
• Proponha aos alunos que 
se organizem em grupos e, 
em uma folha de papel (car-
tolina ou papel-cartão), re-
produzam os modelos das 
planificações dos seguin-
tes sólidos: prisma de base 
triangular, pirâmide de base 
pentagonal, cilindro, cone 
e dos poliedros de Platão 
(tetraedro, cubo, octaedro, 
dodecaedro e icosaedro). 
Recortem-nos e montem as 
figuras geométricas espa-
ciais, utilizando tesoura com 
pontas arredondadas e fita 
adesiva. Depois, peça aos 
alunos que:
 � Discutam as características 
comuns e as diferenças en-
tre o prisma e o cilindro e 
entre a pirâmide e o cone. 
 � Verifiquem em quais po - 
liedros cada vértice é ex tre-
midade da mesma quan - 
tidade de arestas, identifi-
cando os poliedros regulares 
e não regulares e ressaltan-
do que as condições, faces 
idênticas e mesma quan-
tidade de arestas em cada 
vértice garantem que o po - 
liedro seja regular. 
• Para que os alunos per-
cebam que, de fato, não é 
possível planificar uma es-
fera, solicite a eles que, em 
grupos, tentem embrulhar 
uma esfera, cobrindo toda 
a superfície e utilizando o 
mínimo de papel. Utilize 
qualquer objeto de forma 
esférica. Ao final da ativida-
de, proponha uma discussão 
com as seguintes questões: 
 � Foi fácil embrulhar a esfera? 
 � Vocês conseguiram co-
brir toda a superfície da 
esfera? 
 � Seria mais fácil embru-
lhar um bloco retangular? 
 � É possível cortar o pa-
pel do tamanho exato da 
esfera? 
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ATIVIDADES Faça as atividades no caderno.
a)
b)
c)
d)
Identifique esse cubo.
• Agora, desenhe a planificação da super-
fície de um cubo diferente das que você 
identificou nas figuras acima.
a) d)
b) e)
c) f)
Reúna-se com um colega, copiem as figu-
ras a seguir em uma malha quadri culada 
e identifiquem as faces opostas em cada 
uma das planificações.
a)
b)
c)
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alternativa c
Exemplo de 
resposta:
B
A
A
B CC
A
B
B
A
C
C
B
A
A
B
C
C
Não, pois os poliedros regulares têm todas as 
faces iguais e, na pirâmide citada, a base é 
pentagonal (5 lados) e as faces são triangulares.
alternativas a, c, d B
A
A
B CC
B
A
B
C
C
A
B
A
B
C
C
A
 2 Caio montou um cubo por meio da plani-
ficação da sua superfície.
 3 Observe as figuras e identifique as que são 
planificações da superfície de um cubo.
 4 Na figura 1 abaixo, temos a planificação 
de um cubo. Dobrando a planificação de 
maneira adequada (figura 2), obtemos 
uma caixa cúbica (figura 3).
Observe que a face de cima e a face em 
contato com o plano são opostas e estão 
indicadas com a mesma letra.
 5 Uma pirâmide pentagonal regular (cuja ba-
se tem cinco lados)é um poliedro regular? 
Justifique sua resposta.
 1 Desenhe a planificação da superfície de 
uma embalagem com a forma de bloco 
 retangular. Há só uma planificação possível 
de se desenhar? Em seguida, na planifi-
cação, pinte com a mesma cor duas faces 
opostas do bloco, isto é, que não tenham 
aresta comum.
�gura 1 
A
B
B
A CC
A
B
B
A CC
�gura 2 
�gura 1 
B
A C �gura 3 
• Para a atividade 4, pro-
videncie cópias da malha 
quadriculada que consta na 
página XXIV deste Manual. 
Durante a resolução desta 
atividade, os alunos podem 
ser convidados a construir 
um dado, marcando cada 
uma de suas faces conforme 
a orientação do enunciado. 
No entanto, é aconselhável 
que eles não planifiquem o 
dado, pois pode interferir 
no processo de abstração.
 
• Em complemento à ativi-
dade 1, proponha aos alunos 
que façam várias planifica-
ções e que comparem as suas 
com as produzidas pelos co-
legas. Apresente outras pla-
nificações que não tenham 
sido trabalhadas. Peça a eles 
que montem as planificações 
para verificar se, de fato, elas 
formam blocos retangulares. 
Abaixo, dois exemplos de pla-
nificações de blocos retangu-
lares com exemplos de faces 
opostas pintadas.
 
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Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, 
sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar in-
formações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo 
o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus 
saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
Competência geral 2: Exercitar a 
curiosidade intelectual e recorrer 
à abordagem própria das ciências, 
incluindo a investigação, a refle-
xão, a análise crítica, a imaginação 
e a criatividade, para investigar 
causas, elaborar e testar hipóteses, 
formular e resolver problemas e 
criar soluções (inclusive tecnológi-
cas) com base nos conhecimentos 
das diferentes áreas.
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apenas uma: 24 cm
Não. É possível encontrar apenas mais uma dimensão, que é indicada de 
forma indireta pelos 90 cm.
24 cm
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90 cm
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 • A Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) disponibiliza em seu site uma cartilha com 
orientações aos passageiros sobre suas bagagens:
 <http://www.anac.gov.br/publicacoes/anac_panfleto_bagagem.pdf/view>; acesso em: 
11 jun. 2018.
 Acessem o site e elaborem algumas ilustrações sobre três informações relevantes 
 presentes na cartilha. Essas ilustrações poderão ser divulgadas para a comunidade escolar.
 • Reúna-se com um colega. Avaliem o plano de resolução de cada um e representem 
uma das resoluções. 
 • Juntem-se à outra dupla e discutam as diferenças e as semelhanças entre os planos 
 escolhidos pelas duas duplas. Com base na análise das estratégias, executem o pro-
cesso de resolução. 
 Observação
 Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.
 • Calcule a dimensão indicada de forma indireta na figura. 
• Considerando as informações fornecidas pelo texto e pela figura do enunciado, elabore 
um esquema que represente um possível processo de resolução do problema. 
• Leia o enunciado da questão e procure relacioná-lo à figura dada.
• Responda: 
 I. Quantas dimensões foram indicadas diretamente na figura? 
 II. Com base nas informações da figura, é possível encontrar todas as medidas 
necessárias? 
apenas uma: 24 cm
Não; é possível encontrar apenas mais uma dimensão, 
que é indicada de forma indireta pelos 90 cm.
 • Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
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Resolvendo em equipe
(Enem) Conforme regulamento da Agência Nacional 
de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar 
em voo doméstico poderá transportar bagagem de 
mão, contudo a soma das dimensões da bagagem 
(altura 1 comprimento 1 largura) não pode ser superior 
a 115 cm.
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a 
forma de um paralelepípedo retângulo.
O maior valor possível para x, em centímetros, para que 
a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela 
Anac é:
a) 25 b) 33 c) 42 d) 45 e) 49
Indicando por a a medida da largura 
da caixa, temos: 90 5 24 1 24 1 a, 
ou seja, a 5 42 cm.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Nessa cartilha, além de informações referentes à bagagem de mão, há outras relacionadas, por exemplo, ao transporte 
de líquidos, à quantidade de massa (em quilograma) das bagagens e aos objetos cujo transporte é permitido. 
Faça as atividades no caderno.
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Resolvendo em equipe 
• A seção destaca as etapas 
na resolução de problemas. 
Elas devem ser analisadas 
e discutidas com os alunos. 
Além de favorecer o desen-
volvimento das competên-
cias gerais 2, 4, 9 e 10 e das 
competências específicas 2, 
3, 5, 6 e 8, a seção permite a 
transferência de estratégias 
de resolução para outros 
contextos e situações.
• Sugestão da resolução: 
De acordo com o enuncia-
do, a soma das dimensões 
não pode ser superior a 
115 cm, ou seja, a soma deve 
ser, no máximo, igual a 115. 
Como já foram definidas 
duas dimensões, uma de for-
ma direta (24 cm) e outra 
de forma indireta (42 cm), 
o valor máximo da terceira 
dimensão será obtido pela 
expressão: 115 2 (24 1 42) 5 
5 115 2 66 5 49. 
 
Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos 
convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Arit-
mética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria 
capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e 
resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
Competência específica 6: En-
fren tar situações-problema em 
múltiplos contextos, incluindo-
-se situações imaginadas, não 
diretamente relacionadas com 
o aspecto prático-utilitário, ex-
pressar suas respostas e sintetizar 
conclusões, utilizando diferentes 
registros e linguagens (gráficos, 
tabelas, esquemas, além de texto 
escrito na língua materna e outras 
linguagens para descrever algorit-
mos, como fluxogramas, e dados).
Competência específica 8: Inte-
ragir com seus pares de forma 
cooperativa, trabalhando coleti-
vamente no planejamento e de-
senvolvimento de pesquisas para 
responder a questionamentos e na 
busca de soluções para problemas, 
de modo a identificar aspectos 
consensuais ou não na discussão 
de uma determinada questão, res-
peitando o modo de pensar dos 
colegas e aprendendo com eles.
http://www.anac.gov.br/publicacoes/anac_panfleto_bagagem.pdf/view
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Trabalhando os conhecimentos adquiridosFaça as atividades no caderno.
Aplicando
Revisitando
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 1 Entre os sólidos geométricos estudados neste capítulo, quais foram os dois tipos destacados?
 4 Quais são as características que diferenciam os poliedros e os corpos redondos?
 6 Com a planificação de um octaedro regular obtemos:
a) 4 triângulos idênticos.
b) 8 triângulos idênticos.
c) 6 triângulos idênticos.
d) 20 triângulos idênticos.
 2 Cite uma aplicação industrial dos poliedros. 
 3 Que objetos de seu cotidiano lembram corpos redondos? 
 5 As embalagens de vários produtos podem ser desmontadas e decompostas em figuras planas. 
Qual é o conceito visto neste capítulo que está associado a essa situação?
poliedros e corpos redondos
alternativa b
Exemplos de resposta: construção civil, peças de 
máquinas, mobiliário etc.
planificação da superfície de sólidos geométricos
A superfície dos poliedros é formada apenas por partes planas (chamadas de face). Já a superfície dos 
corpos redondos apresenta pelo menos uma parte arredondada, ou seja, não plana.
de basquete, de vôlei etc.), lápis, vasos para plantas e casquinha de sorvete.
Exemplos de resposta: bolas (de futebol, 
 1 Qual das figuras a seguir não representa 
um poliedro?
b) d)
a) c)
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 2 (Saresp) A figura abaixo representa uma 
pirâmide de base hexagonal. O número de 
vértices dessa pirâmide é:
a) 6
b) 7 
c) 10 
d) 12
alternativa b
alternativa d
 4 (Saresp) A forma geométrica espacial que 
pode ser associada à planificação abaixo é:
a) um cilindro.
b) uma pirâmide de base pentagonal.
c) um prisma de base pentagonal.
d) um paralelepípedo.
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alternativa c
 3 Qual é o sólido geométrico cuja superfície 
corresponde à planificação?cone
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• A seção “Trabalhando os 
conhecimentos adquiridos” 
tem como objetivo retomar 
os conceitos e pro cedimentos 
vistos no capítulo, estimu-
lando a revisão, autoavalia-
ção e criatividade por meio 
da resolução e elaboração de 
problemas. É composta de a ti- 
 vidades de diversos níveis de 
dificuldade, incluindo desa-
fios, questões de exames e 
concursos, cuidadosamente 
escolhidas, para que os alu-
nos as resolvam com base nos 
conhecimentos adquiridos até 
o momento.
Revisitando 
• Esta seção foi criada para 
que os alunos tenham a 
oportunidade de verificar os 
conhecimentos consolidados. 
Se eles tiverem alguma dúvi-
da em relação aos conteúdos 
avaliados na seção, sugira 
que retomem as páginas do 
capítulo. Incentive-os a bus-
car a troca de conhecimen-
to em grupo e, caso a dúvida 
persista, ajude-os a encon-
trar um bom caminho para a 
compreensão. 
Aplicando 
• Durante o capítulo, procu-
rou-se utilizar objetos que 
lembrassem formas geo-
métricas para auxiliar na 
percepção espacial. Para a 
realização das atividades 
propostas, espera-se que 
os alunos tenham adquiri-
do a abstração necessária 
para resolvê-las, cumprindo 
o objetivo de alcançar per-
cepção espacial. Caso ainda 
tenham dúvidas, recorra aos 
modelos utilizados durante 
o estudo do capítulo. 
 
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Lembre-se:
Não escreva no livro!
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 6 (Saresp) O quarto de Felipe estava uma 
bagunça e sua mãe mandou que ele o 
 arrumasse. O menino adora Matemática e 
resolveu guardar seus brinquedos de uma 
forma diferente. Ele pegou duas caixas de 
papelão e escreveu: caixa A — figuras planas 
e caixa B — figuras espaciais. Ajude Felipe 
a colocar os brinquedos que lembram 
 figuras planas na caixa A e os brinquedos 
que lembram figuras espaciais na caixa B. 
Marque a alternativa em que os brinquedos 
estão nas caixas certas.
a) caixa A: bola, foto; caixa B: dado, figurinha
b) caixa A: dado, foto; caixa B: figurinha, bola
c) caixa A: figurinha, foto; caixa B: dado, bola
d) caixa A: figurinha, bola; caixa B: dado, foto
 5 (Enem) Maria quis inovar em sua loja de 
embalagens e decidiu vender caixas com 
diferentes formatos. Nas imagens apresen-
tadas estão as planificações dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que 
Maria obterá a partir dessas planificações?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e 
pirâmide.
b) Cone, prisma de base pentagonal e 
pi râ mide. 
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma.
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
alternativa a
alternativa c
 8 Resolva com um colega a atividade a seguir.
 (Obmep) Num dado comum, a soma dos 
pontos de duas faces opostas é sempre  7. 
É possível construir um dado comum dobran-
do e colando uma das peças de papelão a 
seguir. Que peça é essa?
 7 (Saresp) Observe a caixa representada abaixo.
Uma planificação dessa caixa é:
a) c)
b) d)
d)
a)
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b)
c)
alternativa c
alternativa c
Para a resolução da ativida-
de 5, incentive os alunos a 
nomearem as figuras geo-
métricas planas presentes 
nas planificações apresenta-
das (círculo, retângulo, pen-
tágono e triângulo).
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Lembre-se:
Não escreva no livro!
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DESAFIO
Resolva com um colega a atividade a seguir.
(Obmep) As figuras mostram planificações de sólidos com faces numeradas. Após montados 
esses sólidos, dizemos que o valor de um vértice é a soma dos números escritos nas faces 
que contêm esse vértice. Por exemplo, a figura abaixo mostra a planificação de uma pirâmide; 
quando essa pirâmide é montada, o valor do vértice correspondente ao ponto indicado na 
figura é 1 1 3 1 4 5 8.
a) Qual é o maior valor de um vértice da pirâmide acima? 
b) A figura abaixo mostra a planificação de um cubo. Qual é o valor do vértice correspondente 
ao ponto indicado?
c) A figura a seguir mostra a planificação de um sólido chamado octaedro. Qual é o valor do 
vértice correspondente ao ponto A?
d) Qual é o valor do vértice correspondente ao ponto B na planificação do item anterior? 12
9
11
22
5 1
3
4
6 2
5
4
6
7
A B
8
1
3
2
Elaborando
Observe os poliedros a seguir e faça o que se pede.
• No caderno, elabore três questões que podem ser 
respondidas observando os poliedros.
• Troque de caderno com um colega e responda às 
questões elaboradas por ele.
• Analise as respostas do colega e dê um retorno a ele, 
dizendo o que ele respondeu corretamente e em que 
ele se equivocou.
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1
3 4
1 4
3
2
Caso os alunos apresentem 
dificuldades na compreensão 
do enunciado, reproduza a 
imagem da pirâmide com 
as marcações e perceba se 
eles conseguem localizar 
as faces e o vértice após a 
pirâmide ser montada.
• O Desafio requer uma vi-
são espacial bem apurada, 
pois necessita que os alunos 
façam correspondência en-
tre a planificação e o sólido 
correspondente em diversas 
posições. Se for necessário, 
mostre a posição dos núme-
ros nas faces do cubo e do 
octaedro também.
Elaborando 
• A seção incentiva a cria-
tividade e a elaboração 
de questões por parte dos 
alunos, favorecendo o de-
senvolvimento das compe-
tências gerais 2, 4 e 10.
• Questões possíveis que po-
derão ser elaboradas com 
suas respectivas respostas: 
 � Qual poliedro tem o 
maior número de ares-
tas? Resposta: O prisma de 
base hexagonal.
 � Qual poliedro é uma pi-
râmide? Resposta: O polie-
dro do meio.
 � Quais poliedros têm o 
mesmo número de faces? 
Resposta: O poliedro do 
meio e o da direita. 
Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação,a 
reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sono-
ra e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informa-
ções, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
85
É hora de extrapolar Faça as atividades no caderno.
VOCÊ JÁ VIU QR CODE EM EMBALAGENS DE PRODUTOS?
Além de serem usados no lugar dos códigos de barras em produtos, os QR codes 
podem ter outras finalidades nas diversas situações em que aparecem: em folhetos 
de museus e de outras instituições, para fornecer dados; nas passagens aéreas, a fim 
de liberar o acesso dos passageiros; em ingressos de shows e de cinema, para liberar a 
entrada, entre outras situações. Atualmente, os QR codes são bastante usados como 
estratégia de marketing em embalagens de diversos produtos, trazendo informações 
extras, promoções e até jogos.
Objetivos: Pesquisar sobre o QR code e suas aplicações, construir a embalagem de um 
produto e utilizar essa tecnologia para oferecer mais informações sobre o produto.
Etapa 1: Pesquisa sobre o QR code e suas aplicações.
1. Reúna-se em grupo com os colegas, leiam a tirinha e, depois, respondam às questões.
• Qual foi o número pensado e descoberto?
Por Willian Silva
Por Willian Silva
a) Qual é o título da tirinha?
b) Há quantos personagens na tirinha?
c) Sobre que tipo de código eles estão falando?
d) O código que aparece no primeiro quadro da tirinha representa qual frase?
2. Pesquisem o que é QR code, como ele surgiu e quais são as suas principais aplicações.
3. Existem vários aplicativos para celular e sites que oferecem programas de leitura 
e criação de QR codes que podem ser baixados gratuitamente. Utilizando algum 
deles, descubram o que está escrito na tirinha a seguir.
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Resposta rápida.
dois
QR code
“Isso não é um labirinto, seu maluco! É um QR code.”
Quadro 1: “Eu 
vou adivinhar o 
número que você 
está pensando”; 
“3”; “Essa eu 
quero ver.”
Quadro 2: “Você 
pensou no 3.”; 
“Que demais! 
Você é mágico?” 
Quadro 3: “Não, 
eu usei um 
aplicativo para 
ler QR code.”; 
“Você acabou de 
perder um fã.”
3
É hora de extrapolar
• A seção propõe o fecha-
mento da unidade com um 
trabalho colaborativo que 
explora a pesquisa, a comu-
nicação e a elaboração de 
um produto final, com a em-
balagem e o QR code, que 
será compartilhado com a 
turma ou com a comunida-
de escolar.
• Com a finalidade de organi-
zar o trabalho, a seção é dividi-
da em etapas que promovem:
 � Entendimento do con-
texto e dos objetivos do 
trabalho a ser realizado. 
 � Pesquisa individual ou 
coletiva.
 � Elaboração, em grupo, 
do produto proposto.
 � Apresentação e exposi-
ção do produto.
 � Reflexão e síntese do 
trabalho.
As etapas de pesquisa e de 
elaboração do produto po-
dem ser realizadas extraclas-
se. Verifique o perfil dos alu-
nos e oriente-os com relação 
ao prazo, aos materiais e a 
outros aspectos necessários à 
realização do trabalho. 
• A seção também favorece 
o desenvolvimento das com-
petências gerais 2, 4, 5, 7, 8, 9 
e 10 (consulte a página V des-
te Manual) e das competên-
cias específicas 2, 3, 4, 5, 6 
e 8 (consulte a página VI), pro-
curando mobilizar conteú - 
dos estudados nos capítu-
los que integram a unidade. 
Portando, é recomendável 
trabalhar a seção depois de 
estudar os capítulos, mas, se 
preferir trabalhar as etapas 
da seção à medida que os 
capítulos forem estudados, 
atente para os conhecimen-
tos prévios necessários.
 
• Para a etapa 1, auxilie os alunos na busca por aplicativos que façam leitura e criação de QR codes. Há uns 
que só fazem leitura, outros que só geram o código e outros ainda com as duas funcionalidades. Oriente os 
alunos a pesquisar sobre as opções existentes, testar alguns e escolher o aplicativo que acharem conveniente.
Alguns aplicativos leitores de QR code não apresentam todos os acentos gráficos corretamente.
 
86
4. Criem dois QR codes: um que represente o enunciado de um problema, que pode ser 
resolvido com a operação de divisão, e outro que contenha a solução do problema.
5. Troquem os QR codes criados no item anterior com outro grupo e resolvam o 
problema proposto.
Etapa 2: Escolha do produto e da embalagem.
6. Retomem o estudo das planificações da superfície dos sólidos e confeccionem uma 
embalagem que lembre algum sólido geométrico.
7. Algumas questões importantes que devem ser debatidas pelo grupo:
a) Para que serve o produto?
b) Qual é o público-alvo (faixa etária, grupo social etc.) que pode se interessar pelo 
produto?
c) Que formato de embalagem vai acondicionar o produto com segurança e 
eficiência?
d) Que informações sobre o produto (nome, quantidade etc.) devem aparecer na 
embalagem?
e) Que tipo de informação (promoção, charada, jogo etc.) pode estar representado 
por um QR code na embalagem e pode despertar ou aumentar o interesse do 
público-alvo?
8. Depois de selecionar o produto e confeccionar a embalagem, criem um QR code 
que represente a informação escolhida para aumentar o interesse do público-alvo. 
Não esqueçam de inserir o QR code na embalagem do produto. 
Etapa 3: Apresentação e análise da embalagem.
9. Disponibilizem a embalagem criada pelo grupo para que os outros conheçam 
o produto escolhido, leiam as principais informações e descubram o que está 
representado pelo QR code.
10. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas. 
Etapa 4: Síntese do trabalho realizado.
11. Questões que devem ser discutidas:
a) A embalagem confeccionada pelo grupo atingiu os objetivos propostos?
b) Os colegas conseguiram identificar o produto e suas principais informações?
c) A mensagem representada pelo QR code foi decifrada?
d) Vocês modificariam algo no processo, na embalagem e na mensagem em 
QR code?
12. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo 
na etapa 2 e que considere o resultado da etapa 3, levando em 
conta as reações e as sugestões dos colegas.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Respostas pessoais.
Respostas pessoais.
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• No item 4 da etapa 1, veja 
uma sugestão de questão:
 � De quantas caixas, com 
capacidade para arma-
zenar uma dúzia, Lucas 
precisa para guardar sua 
coleção de HQs, que hoje 
conta com 60 revistas? 
Resposta: 5 caixas.
• Na etapa 2, se achar con-
veniente, argumente que a 
escolha da embalagem tam-
bém pode ser direcionada 
em relação ao custo do ma-
terial utilizado. Assim, mui-
tas vezes é preciso fazer uma 
análise criteriosa na escolha.
• Na etapa 3, após a apre-
sentação e análise das em-
balagens, proponha uma 
discussão geral sobre a ade-
quabilidade da embalagem 
escolhida por cada grupo. 
Para essa discussão, pode ser 
levado em consideração o 
formato, a apresentação, o 
material, o custo etc. 
• Para consolidar o estudo 
da unidade, releia e refaça 
coletivamente as atividades 
“Revisitando” e as questões 
da abertura de unidade.
Veja proposta de avaliação 
de aprendizagem no Mate-
rial do Professor – Digital.
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UNIDADE II
Nesta unidade você vai estudar
Capítulo 4 Igualdades e desigualdades
Capítulo 5 Múltiplos e divisores
Capítulo 6 Frações
Capítulo 7 Números decimais
É hora de começar
1 Em quais situações do dia a dia você observa relações de igualdade 
e de desigualdade?
2 Você sabe o significado da palavra “múltiplo”? E da palavra “divisor”?
3 Quais ideias estão associadas às frações?
4 Você conhece situações em que os números decimais são utilizados? 
Em caso afirmativo, quais?
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• Nesta unidade, os alunos 
estudarão o conteúdo das 
unidades temáticas Álgebra 
e Números. Em Álgebra, no 
capítulo 4, serão retomadas 
e aprofundadas as igual-
dades, bem como proprie-
dades e operações. Esse 
conhecimento servirá de 
embasamento para o desen-
volvimento das habilidades 
relacionadas, por exemplo, 
às equações do 1o grau com 
uma incógnita e sistemas de 
equações do 1o grau, conteú- 
dos que serão abordados 
nos próximos anos. Os de-
mais capítulos desta unida-
de, “Múltiplos e divisores”, 
“Frações” e “Números deci-
mais”, pertencem à unidade 
temática Números, prepa-
rando os alunos para lidar 
com situações-problema mais 
complexas e elaboradas. 
• O objetivo dessas questões 
é instigar a curiosidade dos 
alunos para os assuntos que 
serão estudados nos capítulos 
que integram esta unidade. 
As questões não precisam ser 
respondidas nesse momento, 
mas sugerimos retomá- las 
no final do estudo da unidade 
para que os alunos reflitam 
sobre o que aprenderam.
 
Veja plano de desenvolvi-
mento e projeto integrador 
no Material do Professor – 
Digital.
88
CAPÍTULO
Igualdades e 
desigualdades4
88
É hora de observar e refletir
No dia a dia, ao fazer uma compra, é comum usarmos uma 
combinação de notas e moedas buscando um valor equivalente ao 
valor do produto pelo qual temos que pagar. A palavra equiva-
lente significa “de igual valor”. Por exemplo, na situação apre-
sentada, a cliente deu em pagamento uma nota de 5 reais, 
duas notas de 2 reais e três moedas de 1 real, valor equivalente 
a 12 reais (preço do pedaço de melancia comprado).
Agora, considere que um cliente queira levar dois mamões e 
um melão, totalizando R$ 20,00.
 De quais maneiras o cliente pode combinar notas ou moe-
das para que a soma seja equivalente a R$ 20,00?
 O que há em comum entre essas maneiras?
Exemplos de resposta: duas notas de 10 reais; 20 moedas 
Todas equivalem a R$ 20,00.
Aqui está, uma nota 
de 5 reais, duas notas de 
2 reais e três moedas 
de 1 real.
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de 1 real; quatro notas de 5 reais. 
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EF06MA14: Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus 
dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.
Objetivos
• Relembrar a ideia de igual-
dade.
• Compreender a ideia de 
desigualdade.
• Reconhecer as proprieda-
des da igualdade.
• Resolver problemas utili-
zando as propriedades da 
igualdade e estratégias de 
operações para encontrar 
um valor desconhecido.
Habilidade da BNCC
• Este capítulo foi planejado 
para favorecer o desenvolvi-
mento da seguinte habilida-
de da BNCC: EF06MA14.
 
É hora de observar e refletir
• A abertura explora uma 
situação do cotidiano para 
ilustrar um significado do ter-
mo equivalente, para que os 
alunos se lembrem e se habi-
tuem a empregá-lo quando 
quiserem se referir a formas 
diferentes de representar um 
mesmo valor.
• A noção de equivalência, 
como explorada na aber-
tura e, também, na seção 
“Trocando ideias”, conteúdo 
previsto, segundo a BNCC, 
para os Anos Iniciais do 
Ensino Fundamental, servi-
rá de ponto de partida e de 
inspiração para as próximas 
situa ções e o desenvolvimen-
to do conceito. 
 
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.
Podemos escrever situações utilizando sentenças matemáticas expressas por 
uma igualdade. Observe, a seguir, algumas maneiras de representar R$ 25,00 e como 
interpretá-las por meio de sentenças matemáticas.
 Quais sentenças matemáticas representam as combinações de notas ou moedas que 
você encontrou na atividade de abertura?
 Elas são equivalentes entre si? Por quê?
Neste capítulo, você vai estudar sentenças matemáticas expressas por igualdades e 
também por desigualdades.
Resposta pessoal.
Sim, pois todas equivalem a R$ 20,00.
4 5 2 1 1 1 1
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Trocando ideias
20 1 5 5 25 5 1 5 1 5 1 5 1 5 5 25 10 1 10 1 5 5 25
Também podemos representar a pesagem de batatas em uma balança de pratos com 
uma sentença matemática. Note que a balança está em equilíbrio, isso significa que os 
pesos de metal colocados em um dos pratos são equivalentes à massa das batatas, ou 
seja, têm o mesmo valor.
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Trocando ideias
• Esta seção foi criada para 
incentivar uma conversa en-
tre os alunos sobre o assunto 
que será desenvolvido no ca-
pítulo – igualdade –, mobili-
zando seus conhecimentos. 
Sugerimos explorá-la oral-
mente; caso ache necessá-
rio, solicite aos alunos que 
respondam às questões por 
escrito no caderno. A seção 
busca favorecer o desenvol-
vimento das competências 
gerais 9 e 10.
• A resposta para a primeira 
questão depende das res-
postas dadas na abertura. 
As possíveis combinações 
de notas são: duas notas de 
10 reais; vinte moedas de 
1 real; quatro notas de 5 reais 
etc. Assim, as sentenças ma-
temáticas serão, respectiva-
mente: 10 1 10 5 20, 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 
5 20 e 5 1 5 1 5 1 5 5 20.
 
Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo 
o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus 
saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
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Sentenças matemáticas1
Na abertura do capítulo e na seção “Trocando ideias”, você leu e escreveu algumas sentenças 
que chamamos de sentenças matemáticas.
As sentenças matemáticas podem ser verdadeiras ou falsas. Veja os exemplos:
Observação
Note que, se mudarmos o sinal de uma sentença matemática, sem alterar os números, ela pode 
se tornar verdadeira ou falsa. Por exemplo, temos que 13 5 11 1 2 é uma sentença verdadeira, 
enquanto 13 . 11 1 2 é uma sentença falsa.
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
Sentença matemática é aquela escrita com símbolos matemáticos (números, sinais 
etc.) e pode ser expressa por uma relação de igualdade, de desigualdade, entre outras 
relações.
 2 Quais das sentenças abaixo são verdadeiras?
a) 5 , 9
b) 7 3 2 < 7 3 3
c) 6 1 3 % 9 
d) 22 2 10 . 12
 3 Copie as sentenças em seu caderno substituindo o por um símbolo que as tornem verdadeiras. 
Use um dos símbolos: ,, <, 5, . ou >. 
a) 10 1 2 6 1 3 1 2 1 1
b) 4 3 5 3 6 6 1 7 1 8
c) 32 3 22 32 1 22
d) 23 2 22 5
5, < ou >
> ou .
> ou .
, ou <
 1 Escreva emseu caderno como se leem as sentenças matemáticas abaixo.
a) 8 1 3 5 11
b) 32 . 20 4 10
c) 23 > 12 1 8
d) 3 3 4 < 3 3 5
Vinte e três é maior ou 
igual a doze mais oito.
Três vezes quatro é menor 
ou igual a três vezes cinco.
Oito mais três é igual a onze.
Trinta e dois é maior que 
vinte dividido por dez.
verdadeira
verdadeira
falsa
falsa
 5 1 8 5 13 é uma sentença verdadeira.
Lemos: “cinco mais oito é igual a treze”.
 21 % 20 1 1 é uma sentença falsa.
Lemos: “vinte e um é diferente de vinte mais um”.
Lemos: “vinte e cinco é maior ou igual 
a vinte mais cinco”.
 25 > 20 1 5 é uma sentença verdadeira.
Lemos: “três vezes sete é menor que 
três mais sete”.
 3 3 7 , 3 1 7 é uma sentença falsa.
 
• É importante explorar com 
os alunos a conversão de sen-
tenças matemáticas da língua 
materna (língua portuguesa) 
para a linguagem algébrica 
e vice-versa. A compreensão 
dos conceitos em Matemática 
é favorecida quando os alu-
nos mobilizam duas ou mais 
representações diferentes do 
mesmo conceito. 
• Na atividade 2, se julgar 
pertinente, peça aos alunos 
que escrevam as sentenças 
verdadeiras por extenso no 
caderno e que corrijam as 
sentenças falsas.
• Na atividade 3, verifique se 
os alunos dão como resposta 
um ou mais símbolos. Se es-
tiverem usando apenas um 
dos símbolos indicados, per-
gunte se existe mais de uma 
opção, ou seja, mais de um 
símbolo que torna a senten-
ça verdadeira. 
 
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Igualdades2
A sentença matemática que apresenta o sinal de igual (5) é chamada de igualdade. Nessas 
sentenças, chamamos a expressão à esquerda do sinal de igual de 1o membro e a expressão à 
direita, de 2o membro. Observe os exemplos:
7 3 8 2 32 1 7 5 2 3 (20 1 7)
1o membro 2o membro
12 5 5 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1
1o membro 2o membro
A seguir, veremos que uma relação de igualdade não se altera quando adicionamos, 
subtraímos, multiplicamos ou dividimos os dois membros por um mesmo número e como pode-
mos resolver problemas utilizando uma igualdade.
 Adição e subtração de números naturais
Situação 1
Maria e Rodrigo têm R$ 7,00 cada um. Veja:
 Tenho três notas 
de R$ 2,00 e uma 
moeda de R$ 1,00.
Tenho uma nota 
de R$ 5,00 e uma 
de R$ 2,00.
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Propriedades da igualdade
• Reflexiva
6 5 6 ou, ainda: 2 1 4 5 2 1 4
• Simétrica
Se 2 1 4 5 6, então: 6 5 2 1 4
• Transitiva
Se 7 3 7 2 7 5 6 3 7 e 6 3 7 5 42,
então: 7 3 7 2 7 5 42
Agora, vejam 
essas propriedades 
da igualdade.
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• As propriedades reflexiva, 
simétrica e transitiva podem 
ser exemplificadas no qua-
dro de giz. Não é necessário 
que os alunos identifiquem 
as propriedades pelos no-
mes nesse momento, mas é 
importante que compreen-
dam essas propriedades para 
desenvolver as habilidades 
relacionadas à Álgebra no 
decorrer dos Anos Finais do 
Ensino Fundamental. 
• No tópico “Adição e sub-
tração de números naturais”, 
damos início ao trabalho mais 
focado no desenvolvimen-
to da habilidade EF06MA14, 
que será desenvolvida ao lon-
go de todo o capítulo.
 
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Lendo e aprendendo
Podemos representar a situação de Maria e Rodrigo com uma sentença matemática expressa 
por uma igualdade:
5 1 2 5 2 1 2 1 2 1 1
 7 5 7
Essa sentença é verdadeira, pois tanto o 1o membro (5 1 2) como o 2o membro (2 1 2 1 2 1 1) 
têm soma igual a 7.
Maria e Rodrigo ganharam mais uma nota de R$ 2,00 cada um para levarem ao passeio no 
parque. Veja o que acontece:
5 1 2 1 2 5 2 1 2 1 2 1 1 1 2
 9 5 9
Como adicionamos 2 a ambos os membros da igualdade, a soma do 1o membro continua igual à 
soma do 2o membro. Assim, a igualdade se manteve verdadeira ao realizarmos a mesma operação: 
adicionar 2 aos dois membros da igualdade.
O real
O dinheiro que circula em nosso país é o real e está presente na nossa economia desde 
1994. As notas e moedas tiveram sua aparência renovada com o passar dos anos e algumas 
deixaram de circular, como a nota de R$ 1,00, já que produzir a moeda de R$ 1,00 é mais 
barato que produzir a nota, além de a moeda durar mais tempo.
Segundo o Banco Central do Brasil, a renovação da aparência de notas e moedas tem 
como objetivo aumentar a segurança do dinheiro, dificultando falsificações. A produção de 
notas e moedas de real custa caro, por isso, às vezes, o Brasil manda imprimir parte das notas 
em outro país, em vez de manter a produção apenas na Casa da Moeda, no Rio de Janeiro. 
Em 2017, por exemplo, o Banco Central mandou imprimir cédulas de R$ 2,00 na Suécia, 
pois mil cédulas impressas custaram R$ 202,05, valor menor que os R$ 242,73 pagos à Casa 
da Moeda para produzir a mesma quantidade.
Como você pode notar, dinheiro 
custa caro, por isso, não devemos 
danificar as notas. O dinheiro para 
produzir dinheiro sai dos impos-
tos que nós pagamos.
 Quais são as notas e moedas 
de real que estão em circulação 
atualmente?
 Que ações que devemos ter 
para não danificar as notas de 
real?
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Casa da Moeda do Brasil, 
Santa Cruz (RJ), 2013.
Não devemos escrever nas notas, nem amassá-las, dobrá-las ou rasgá-las e devemos guardá-las em locais 
(carteiras, bolsas etc.) que as mantenham em bom estado.
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Lendo e aprendendo 
• A seção busca favorecer o 
desenvolvimento das com-
petências gerais 1, 6 e 7 da 
BNCC.
• Acesse o site do Banco do 
Brasil para informar-se a 
respeito do custo de produ-
ção de notas e moedas (dis-
ponível em: <https://www.
bcb.gov.br/pre/bc_atende/
port/MeioCirc_CustoProd.
asp?idpai5FAQCIDADAO>; 
acesso em: 8 ago. 2018), 
arredondando os valores e 
apresentando o custo apro-
ximado de cada nota e mo-
eda do real para os alunos. 
Faça perguntas como: “O 
que vale mais a pena: produ-
zir duas moedas de 1 real ou 
uma nota de 2 reais?”. Esse 
tipo de questionamento aju-
dará a enriquecer o desen-
volvimento da seção, além 
de explorar a competência 
geral 7 e a específica 2. 
• Atualmente, temos as se-
guintes moedas em circula-
ção: 1 real, 50 centavos, 
25 centavos, 10 centavos, 
5 centavos e 1 centavo (mas 
deixou de ser emitida em 
2004, devido ao alto custo 
de produção); e as seguin-
tes notas: 2 reais, 5 reais, 
10 reais, 20 reais, 50 reais e 
100 reais.
Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e 
digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, demo-
crática e inclusiva.
Competência geral 6: Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que 
lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu 
projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
https://www.bcb.gov.br/pre/bc_atende/port/MeioCirc_CustoProd.asp?idpai5FAQCIDADAO
https://www.bcb.gov.br/pre/bc_atende/port/MeioCirc_CustoProd.asp?idpai5FAQCIDADAO
https://www.bcb.gov.br/pre/bc_atende/port/MeioCirc_CustoProd.asp?idpai5FAQCIDADAO
https://www.bcb.gov.br/pre/bc_atende/port/MeioCirc_CustoProd.asp?idpai5FAQCIDADAO
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Situação 2
No fim de semana, Maria e Rodrigo foram ao parque com seus tios. Cada um levou a quantia 
que tinha, R$ 9,00.
Quando um mesmo número é adicionado aos dois membros de uma igualdade ou 
subtraído dos dois membros da igualdade, a igualdade se mantém verdadeira.
Exemplos
• 3 1 2 5 5
3 1 2 1 7 55 1 7
 12 5 12
17 17
• 12 2 5 5 14 2 7
12 2 5 2 3 5 14 2 7 2 3
 4 5 4
23 23
 5 1 2 1 2 5 2 1 2 1 2 1 1 1 2
5 1 2 1 2 2 4 5 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 4
 5 5 5
24 24
Observe que subtraímos 4 de cada membro da igualdade; com isso, o resultado da expressão 
do 1o membro e o resultado da expressão do 2o membro ficaram iguais a 5. Dessa forma, a igual-
dade se manteve verdadeira.
Quatro notas 
de R$ 2,00 e uma 
moeda de R$ 1,00, 
Maria.
Eu tenho uma 
nota de R$ 5,00 e 
duas notas de R$ 2,00. 
E você, Rodrigo?
 Durante o passeio, os amigos resol-
veram tomar um sorvete.
Cada um escolheu um sorvete que 
custava R$ 4,00 e pagou com o próprio 
dinheiro.
Podemos representar essa situação 
com uma sentença matemática ex-
pressa por uma igualdade:
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Sugestão de atividade extra
• Oriente os alunos a se or-
ganizar em duplas. Distribua 
jornais e revistas para cada 
dupla e peça que recorte 
imagens de pessoas. Então, 
solicite aos alunos que mon-
tem uma história, com as 
personagens escolhidas, na 
qual haja uma situação de 
igualdade (não necessaria - 
mente envolvendo dinheiro), 
que implique o uso de adi-
ção e de subtração, man-
tendo a igualdade verda-
deira. Ao final, solicite que 
apresentem a história para 
os colegas, explicitando no 
quadro de giz os cálculos en-
volvidos na situação. 
 
Competência geral 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, 
pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo res-
ponsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.
Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convin-
centes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
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<006-i-nova-MCP6-C04-G20>
Ilustrar uma caixa com calças. A caixa pode 
estar parcialmente aberta para aparecerem 
calças azuis parecidas com jeans. Na caixa deve 
aparecer a anotação de “10 unidades”.
Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
 Multiplicação e divisão por números naturais
Situação 1
Uma fábrica de roupas vende para as lojas uma calça 
jeans por R$ 60,00. Esse preço é composto de R$ 40,00 de 
matéria-prima mais R$ 20,00 de mão de obra. Essa situação 
pode ser representada pela seguinte igualdade:
60 5 40 1 20
60 5 60
Uma loja comprou 10 calças dessa fábrica. A sentença 
matemática expressa por uma igualdade que representa 
essa situação é:
 60 5 40 1 20
 60 3 10 5 (40 1 20) 3 10
 600 5 400 1 200
 600 5 600
3 10 3 10
Como multiplicamos os dois membros da igualdade por um mesmo número, a igualdade se 
manteve verdadeira.
Observação
A multiplicação de 10 pelo 2o membro da igualdade pode 
ser feita aplicando a propriedade distributiva. Veja ao lado. (40 1 20) 3 10 5
5 400 1 200
 2 1 3 5 10 2 5
2 1 3 1 5 5 10 2 5 1 5
 10 5 10
15 152. a)
 14 2 5 5 3 1 3 1 3
14 2 5 2 2 5 3 1 3 1 3 2 2
 7 5 7
22 222. b)
 1 Avalie as afirmações a seguir e copie as 
verdadeiras em seu caderno.
a) Se adicionarmos 1 ao 2o membro de 
uma igualdade, ela continuará sendo uma 
sentença matemática verdadeira.
b) Se subtrairmos um mesmo número 
dos dois membros de uma igualdade, 
ela se mantém verdadeira.
c) Se adicionarmos 2 ao 1o membro de 
uma igualdade e 3 ao 2o membro da 
mesma igualdade, ela se mantém 
verdadeira.
falsa
verdadeira
falsa
 2 Efetue as operações indicadas para cada 
sentença matemática e encontre o valor 
de cada membro.
a) Adicione 5 aos dois membros da sen-
tença 2 1 3 5 10 2 5.
b) Subtraia 2 dos dois membros da sen-
tença 14 2 5 5 3 1 3 1 3.
c) Adicione 3 a ambos os membros da 
sentença 21 2 10 5 22 2 11.
d) Subtraia 3 de ambos os membros da 
sentença 13 1 2 5 6 1 6 1 3.
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 21 2 10 5 22 2 11
21 2 10 1 3 5 22 2 11 1 3
 14 5 14
13 132. c)
 13 1 2 5 6 1 6 1 3
13 1 2 2 3 5 6 1 6 1 3 2 3
 12 5 12
23 232. d)
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• Na atividade 1, peça aos 
alunos que deem exemplos 
que justifiquem que as afir-
mações das alternativas a e 
c sejam falsas. Veja os exem-
plos de resposta:
 � Para o item a: 
1 5 1
1 5 1 1 1
1 5 2 (sentença falsa)
 � Para o item c: 
1 5 1
1 1 2 5 1 1 3
3 5 4 (sentença falsa)
• Após a realização das 
atividades 1 e 2, pergun-
te aos alunos se acreditam 
que existe algum limite no 
número de operações que 
podem ser realizadas. Por 
exemplo, para igualdade do 
item a da atividade 2, per-
gunte se poderíamos adi-
cionar um mesmo número 
aos dois membros da igual-
dade um número indefinido 
de vezes. Espera-se que os 
alunos percebam que, des-
de que a mesma operação 
(adição ou subtração) com 
o mesmo número seja reali-
zada em ambos os membros 
da igualdade, ela se mante-
rá verdadeira; portanto, não 
há um limite no número de 
operações que podem ser 
realizadas. 
 
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Situação 2
A mesma fábrica de roupas também faz ca-
misetas de manga curta e as vende em caixas 
de 20 unidades por R$ 400,00. O preço de uma 
caixa com 20 camisetas é composto de R$ 200,00 
de matéria-prima e R$ 200,00 de mão de obra. 
A igualdade que representa a situação é dada por:
400 5 200 1 200
400 5 400
Multiplicando ou dividindo os membros de uma igualdade por um mesmo número 
diferente de zero, a igualdade se mantém verdadeira.
Para obter a sentença matemática que indica o valor de uma camiseta, podemos dividir 
ambos os membros da igualdade por 20, que é o número de camisetas de uma caixa.
 400 5 200 1 200
 20 5 10 1 10
 20 5 20
4 20 4 20
Assim, temos que o valor de uma camiseta é R$ 20,00, sendo R$ 10,00 de matéria-prima e 
R$ 10,00 de mão de obra.
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Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
Resposta possível:
antes: 3 1 2 1 2 5 7
depois: 6 1 4 1 4 5 14
 1 1 2 1 3 5 3 1 3
 4 1 8 1 12 5 12 1 12
 24 5 24
3 4 3 41. a)
10 1 20 5 30
 1 1 2 5 3
 3 5 3
4 10 4 101. b)
 1 Efetue em seu caderno as operações indicadas para cada sentença matemática e encontre o 
valor de cada membro.
a) Multiplique os dois membros da sentença 1 1 2 1 3 5 3 1 3 por 4.
b) Divida os dois membros da sentença 10 1 20 5 30 por 10.
c) Multiplique os dois membros da sentença 12 2 6 5 2 ∙ 3 por 2.
d) Divida os dois membros da sentença 3 1 3 1 3 5 18 2 9 por 3. 
 2 Mariele tinha 3 jogos de ação, 2 de corrida e 2 de futebol, totalizando 7 jogos. No seu ani-
versário, a quantidade de cada tipo de jogo dobrou. Represente com uma sentença matemá-
tica expressa por uma igualdade as quantidades de jogos que ela tinha antes e depois do 
aniversário.
 12 2 6 5 2 3 3
24 2 12 5 2 3 3 3 2
 12 5 12
3 2 3 21. c)
3 1 3 1 3 5 18 2 9
1 1 1 1 1 5 6 2 3
 3 5 3
4 3 4 31. d)
Exemplos
6 1 6 1 6 5 18
2 1 2 1 2 5 6
 6 5 6
4 3 4 3
 12 2 5 5 14 2 7
(12 2 5) 3 11 5 (14 2 7) 3 11
 77 5 77
3 11 3 11
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 Sugestão de atividade extra
• Assim como foi feito para 
a adição e a subtração, se 
julgar pertinente, organi-
ze a turma em duplas, dis-
tribua revistas e jornais e 
peça aos alunos que recor-
tem imagens de pessoas. 
Então, solicite que montem 
uma história, com colagens, 
na qual haja uma situação 
de igualdade que envol-
va multiplicação e divisão, 
mantendo a igualdade ver-
dadeira. Ao final, peça que 
apresentem a história para 
os colegas, explicitando no 
quadro de giz os cálculos 
envolvidosna situação. 
 
Material Digital Audiovisual
• Vídeo: Balanças
Orientações para o 
professor acompanham o 
Material Digital Audiovisual
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 Resolvendo problemas com igualdades
Vimos até aqui que os valores do 1o membro e do 2o membro são iguais em uma sentença 
matemática expressa por uma igualdade. Além disso, é possível adicionar, subtrair, multiplicar 
ou dividir os membros por um mesmo número sem que a relação de igualdade se altere.
Agora, vamos resolver problemas usando essas ideias.
Problema 1
Dona Marta vende temperos na feira. Ela usa uma balança de pratos e pequenos pesos metá-
licos para medir a massa de temperos para os clientes. Veja a situação a seguir.
100 1 100 5 1 50
Sabemos que, quando um mesmo número é subtraído dos dois membros de uma igualdade, 
ela se mantém verdadeira. Vamos subtrair 50 dos dois membros da igualdade.
 100 1 100 5 1 50
 100 1 100 2 50 5 1 50 2 50
 100 1 50 5 
 150 5 
250 250
Portanto, a massa do tempero é 150 g.
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Como a balança está equilibrada, podemos representar a relação entre a massa do tempero 
e as massas dos pesos com uma sentença matemática expressa por uma igualdade. Mas, como 
não conhecemos a massa do tempero, usaremos um para representá-la.
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• Até aqui, os alunos reto-
maram e refletiram a respei-
to das operações realizadas 
em ambos os membros da 
igualdade a fim de mantê-
-la verdadeira. Agora, foca-
remos no desenvolvimento 
da resolução de problemas 
aplicando as técnicas e as 
propriedades vistas até en-
tão, promovendo o desen-
volvimento da habilidade 
EF06MA14.
 
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Problema 2
Paulo e Daniela estão brincando de adivinhar números.
Como o resultado das operações realizadas por Paulo é 25, Daniela resolveu anotar a situação 
utilizando uma sentença matemática expressa por uma igualdade. Veja a representação que ela 
fez na lousa.
Primeiro, vou 
subtrair 10 dos 
dois membros.
Agora, divido 
os dois membros 
por 3.
Já sei como 
fazer! 
A ideia de Daniela era representar o número desconhecido por um e fazer operações 
 deixando apenas o no primeiro membro. Veja os cálculos de Daniela.
Pensei no triplo de 
um número e adicionei 10. 
O resultado é igual a 25. 
Qual é esse número?
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 Sugestão de atividade extra
• Peça a cada aluno que 
elabore um problema se-
melhante ao apresentado – 
a ideia é que tentem adivi-
nhar números. Organize a 
turma em duplas; enquanto 
um aluno realiza os cálcu-
los para descobrir o “núme-
ro secreto”, o outro anali-
sará e validará os cálculos. 
Realize mais de um rodada 
de advinhação, orientando 
para que comecem com uma 
situação simples, e peça que 
aumentem o nível de dificul-
dade a cada nova rodada. 
 
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Faça as atividades no cadernoATIVIDADES Faça as atividades no caderno.
 1 Uma balança de pratos está em equilíbrio. 
Num prato, há um pacote de farinha e um 
peso metálico de 200 g e, no outro, dois 
pesos metálicos de 300 g. Faça o que se 
pede.
a) Represente a situação por meio de um 
desenho e depois usando uma sentença 
matemática. 
b) Qual é a massa do pacote de farinha, 
em grama?
Como Daniela fez operações idênticas nos dois membros da igualdade, a relação de igualdade 
se manteve. Assim, ela escreveu uma igualdade e usou um para representar o número 
desconhecido, descobrindo que é o 5.
Uau! É isso aí!
O número é 5, 
Paulo!
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Exemplos
• O dobro de um número mais 4 vale 10.
 Que número é esse?
 2 3 1 4 5 10
 2 3 1 4 2 4 5 10 2 4
 2 3 5 6
 5 3
24 24
4 2 4 2
 É o número 3.
• Havia algumas maçãs em uma caixa.
Comemos 3 e sobraram 8.
 Quantas maçãs havia na caixa?
13
 2 3 5 8
 2 3 1 3 5 8 1 3
 5 11
13
 Havia 11 maçãs na caixa.
 3 Descubra o número desconhecido nas 
sentenças matemáticas a seguir.
a) 1 10 5 15
b) 10 2 2 5 2 2
c) 2 3 1 3 5 10 1 5
d) 14 2 2 5 10 1 
e) 31 5 3 3 2 8
f) 3 3 (9 2 2) 5 3 3 
 4 Num jogo de videogame, Paula e Vítor 
têm, juntos, 300 pontos. Se Paula tem o 
dobro dos pontos de Vítor, qual é a pontu-
ação de cada um?
5
10
6
2
13
7
Paula: 200; Vítor: 100
b) O triplo de um número mais 1 é igual 
a 7. Que número é esse? 3 3 1 1 5 7; 2
 2 Represente as situações usando uma sen-
tença matemática expressa por igualdade 
e resolva em seu caderno.
a) Luiz ganhou um saquinho com boli-
nhas de gude. Se ele deu 10 bolinhas 
para Pedro e ainda ficou com 25, quan-
tas bolinhas havia no saquinho?
 2 10 5 25; 35
400 g
 1 200 5 300 1 300
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Sugestão de atividade extra
• Para enriquecer o traba-
lho com cálculo mental e 
a adaptação e a compreen-
são da linguagem algébrica, 
peça aos alunos que respon-
dam às questões a seguir. Os 
cálculos deverão ser feitos 
mentalmente e as respostas, 
dadas oralmente. Caso haja 
necessidade, oriente-os e 
sane as dúvidas.
 � Duas vezes um número 
dá 4. Que número é esse? 
Resposta: 2
 � Três vezes um número 
dá 9. Que número é esse? 
Resposta: 3
 � Três vezes um número 
dá 15. Que número é esse? 
Resposta: 5
 � O resultado de duas ve-
zes um número mais 1 dá 
21. Que número é esse? 
Resposta: 10
Após o último item, per-
gunte aos alunos o que 
aconteceria se omitísse-
mos o termo “o resulta-
do”. Espera-se que per-
cebam que a conversão 
para a linguagem algé-
brica poderia ser ambí-
gua. No caso, poderíamos 
ter tanto 2 3 x 1 1 5 21 
quanto 2 3 (x 1 1) 5 21, 
em que não determinaría-
mos o valor desconhecido 
no conjunto dos números 
naturais.
 � O resultado de três vezes 
um número mais 5 dá 20. 
Que número é esse? Res-
posta: 5
 � Um número mais o seu 
dobro dá 24. Que número 
é esse? Resposta: 8
 � Um número dividido 
por 4 dá 6. Que número é 
esse? Resposta: 24
 � O quociente de um nú-
mero dividido por 2 mais 5 
dá 18. Que número é esse? 
Resposta: 26
 � Trinta menos duas vezes 
um número dá 12. Que nú-
mero é esse? Resposta: 9
 
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Chamamos de desigualdade uma sentença matemática em que aparece um destes sinais:
maior que
.
maior ou igual a
>
menor ou igual a
<
menor que
,
diferente
%
Com os dados apresentados no texto acima, podemos fazer algumas comparações:
 Renaud ficou em 2o lugar porque saltou uma altura menor que a de Thiago e maior que a de 
Sam Kendricks.
598 , 603 e 598 . 585
 Thiago recebeu a medalha de ouro porque conseguiu o salto mais alto, pois:
603 . 598 e 603 . 585
Assim como nas igualdades, os sinais das desigualdades estabelecem dois membros: 
o 1o membro fica à esquerda, e o 2o membro fica à direita do sinal. Por exemplo:
598 , 603
1o membro 2o membro
A ideia de desigualdade é muito usada para comparar 
dados, principalmente em competições esportivas, 
nas quais os atletas se esforçam para alcançar o menor 
tempo, a maior pontuação e a melhor colocação, supe-
rando seus limites e obtendo um recorde.
Por exemplo, nos Jogos Olímpicos do Rio de Janeiro, 
em 2016, o brasileiro Thiago Braz quebrou o recorde 
olímpico de salto com vara. Thiago conquistou a 
medalha de ouro com um salto de 603 cm, vencendo 
o francês Renaud Lavillenie, que ficou com a prata ao 
realizar um salto de 598 cm, e o estadunidense Sam 
Kendricks, que ficou com a medalha de bronze com um 
salto de 585 cm. 
Desigualdades3
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O brasileiro Thiago Braz exibe a medalha de 
ouro, 2016.
Renaud Lavillenie, medalha de prata, 2016. Sam Kendricks, medalha de bronze, 2016.
• A exemplo do que foi fei-
to no texto sobre o salto 
com vara, peça aos alunos 
que realizem uma pesquisa 
e tragam dados a respeito 
da Copa do Mundo de Fu-
tebol de 2018, que ocorreu 
na Rússia. Para isso, oriente-
-os a escolher 3 seleções da 
preferência deles e a buscar 
dados sobre saldo de gols, 
número de vitórias, entre 
outros, e a escrever um texto 
comparando as informações 
obtidas por meio de desi-
gualdades. 
 
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Um pouco de história
 Adição e subtração de números naturais 
Os sinais
Os sinais “1” e “2”, usados para representar, respectivamente, a adição e a subtração, 
foram introduzidos pelo professor alemão Johann Widman (1462-1498), por volta de 1489, e 
eram utilizados para indicar excesso ou falta de mercadorias. 
O sinal “5” foi utilizado pela primeira vez pelo inglês Robert Recorde (1512-1558), em 1557. 
Matemático e médico, Recorde usou um par de retas paralelas, ou retas gêmeas, para criar 
esse símbolo.
Os sinais “.” e “,”, indicativos de desigualdade, foram registrados pelo matemático inglês 
Thomas Harriot (1560-1621), em obra publicada postumamente em 1631. O sinal “#”, que 
representa a multiplicação, acredita-se que tenha sido utilizado pela primeira vez pelo inglês 
William Oughtred (1574-1660), no início do século XVII.
A adoção desses sinais na Matemática não foi imediata; passaram-se séculos até que todos 
fossem usados como são hoje.
Fontes: Carl Boyer; Uta C. Merzbach. História da Matemática. São Paulo: Blucher, 2012; 
Howard Eves. Introdução à história da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004.
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Cada um dos dois ganhou mais 7 livros da tia Teresa. Assim, a desigualdade pode ser repre-
sentada com a nova quantidade de livros dos primos. Veja:
 11 , 17
 11 1 7 , 17 1 7
 18 , 24
17 17
Adicionamos 7 unidades a ambos os membros da desigualdade e ela se manteve verdadeira, 
pois 18 é menor que 24.
Situação 1
Júlia e Henrique são primos e ado-
ram ler. Júlia tem 11 livros, e Henrique 
tem 17. Podemos representar a quan-
tidade de livros dos primos por meio de 
uma sentença matemática expressa 
por uma desigualdade. 
11 , 17
A desigualdade é verdadeira, pois 
11 é menor que 17.
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Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural 
e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, 
democrática e inclusiva.
Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de 
diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos 
e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
 Um pouco de história
• Esta seção proporciona a 
discussão sobre a Matemática 
enquanto criação humana. 
Debates desse gênero con-
tribuem para o desenvol-
vimento das competências 
geral 1 e específica 1 da BNCC. 
Comente com os alunos 
que em Matemática é muito 
 comum convencionar símbo-
los e representações, como 
é explicado sobre os sinais. 
Isso permite que a Matemá-
tica seja uma linguagem que 
pode ser compreendida em 
diferentes culturas, facilitan-
do a comunicação e o desen-
volvimento dessa ciência. 
 
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Quando um mesmo número natural é adicionado aos membros de uma desigualdade ou 
subtraído dos dois membros de uma desigualdade, ela se mantém verdadeira.
Situação 2
No Dia do Livro, Henrique e Júlia foram com seus pais à biblioteca do bairro para doar 
alguns livros.
Subtraímos 5 unidades de ambos os membros da desigualdade e ela se manteve verdadeira, 
pois 13 é menor que 19. 
 18 , 24
 18 2 5 , 24 2 5
 13 , 19
25 25
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Observe que Júlia também doou 5 livros. Podemos representar a comparação entre a quanti-
dade de livros dos primos, considerando as doações, com a seguinte desigualdade:
Exemplos
 13 1 4 > 9 2 2
 13 1 4 1 8 > 9 2 2 1 8
 25 > 15
18 18
 14 1 20 . 26 1 4
 14 1 20 2 10 . 26 1 4 2 10
 24 . 20
210210
Olá, Marta! 
Trouxe esses livros para 
doação. Dos 24 livros 
 que eu tinha em casa, 
estes 5 eu já havia lido. 
Gostei muito deles!
Muito obrigada, 
Henrique!
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• Aproveite a situação 2 
para pesquisar e incentivar o 
hábito de leitura dos alunos. 
Algumas perguntas podem 
ser feitas para conduzir a 
conversa: “Qual foi o últi-
mo livro que vocês leram?”; 
“Quantos livros vocês cos-
tumam ler por mês? E por 
ano?”; “Que tipo de livro 
vocês gostam de ler?”; “Vo-
cês conhecem alguma biblio-
teca? Se sim, qual?”; “Vocês 
costumam ir à biblioteca?”; 
“Você já trocou de livro com 
um colega?”; “Que livro você 
indicaria a um colega?”.
 
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Faça as atividades no caderno.ATIVIDADES
 Multiplicação e divisão por números naturais
Situação 1
Marcelo e Luciano são amigos e começaram a colecionar ímãs de geladeira de diferentes 
lugares. Sempre que eles viajam, compram um ímã. Marcelo tem 4 ímãs, e Luciano tem 5.
 1 Faça as operações indicadas em cada uma das desigualdades, calculando o valor de ambos 
os membros.
a) Adicione 4 a ambos os membros da desigualdade 10 2 3 . 4.
b) Subtraia 11 de ambos os membros da desigualdade 24 4 2 > 6 1 6.
c) Adicione 13 unidades a ambos os membros da desigualdade 1 1 2 1 3 < 1 3 2 3 3. 
d) Subtraia 7 unidades de ambos os membros da desigualdade 3 1 3 1 3 . (21 2 7) 4 2.
 2 Rodrigo tem 15 figurinhas e Mara tem 20 a mais do que ele. Fábio deu 10 figurinhas para cada 
um dos dois. Represente a quantidade de figurinhas de Mara e Rodrigo usando uma desigual-
dade em dois momentos: antes de Fábio dar as figurinhas para os dois e depois que ele deu 
10 figurinhas para cada um. antes: 15 1 20 . 15
depois: 15 1 20 1 10 . 15 1 10
 1 1 2 1 3 < 1 3 2 3 3
 1 1 2 1 3 1 13 < 1 3 2 3 3 1 13
 19 < 19
113 1131. c) 3 1 3 1 3 . (21 2 7) 4 2
 3 1 3 1 3 2 7 . (21 2 7) 4 2 2 7
 2 . 0
27 271. d)
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
 10 2 3 . 4
10 2 3 1 4 . 4 1 4
 11 . 8
14 141. a)
 24 4 2 > 6 1 6
 24 4 2 2 11 > 6 1 6 2 11
 1 > 1
211 2111. b)
Essa situação pode ser representada por sentença matemática expressa por uma desi-
gualdade. Veja.
4 , 5
Com as últimas viagens, eles dobraram o número de ímãs que tinham. Nesse caso, podemos 
multiplicar a desigualdade apresentada por 2. Assim:
 4 , 5
4 3 2 , 5 3 2
 8 , 10
3 2 3 2
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por 2, ela se manteve verdadeira, pois 
8 é menor que 10.
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• Na atividade 2, espera-se 
que os alunos relacionem, 
usando uma desigualdade, 
a quantidade de figurinhas 
de Mara e Rodrigo. Assim, 
teremos: 
 � Antes de Fábio dar as fi-
gurinhas:
Rodrigo: 15 figurinhas
Mara: (15 1 20) figurinhas
Desigualdades: 
15 , 15 1 20; 
15 < 15 1 20; 
15 1 20 . 15; 
15 1 20 > 15; 
15 % 15 1 20
 � Depois de Fábio dar as 
figurinhas:
Rodrigo: (15 1 10) figuri-
nhas
Mara: (15 1 20 1 10) figu-
rinhas
Desigualdades: 
15 1 10 , 15 1 20 1 10; 
15 1 10 < 15 1 20 1 10; 
15 1 20 1 10 . 15 1 10;