Teste de conhecimento Fundamentos da Algebra

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Teste de conhecimento Fundamentos da Algebra
Aula 1- Operações Binárias e Grupos
1. Considere as seguintes Afirmaçoes:
(I ) A operação  x⋆y=x+y2,  G = R sobre G é um grupo.
(II)  A  operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento neutro e portanto não é um grupo.
(III)  A  operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento
neutro e = 4
Podemos concluir que: A afirmação III é verdadeira
2. O Conjunto R dotado da operação * tal que x * Y = x + y – 3 é um grupo. Determine o elemento Neutro. e = 3.
3. Verifique se a operação binária * sobre R+, definida por x * y = √x2 + y2 possui elemento neutro. Existe elemento neutro e = 0.
4. Seja operação binária * definida por *: Z x Z → Z
(x,y) → x * y = resto da divisão de a + b por 4. Calcule 12 * (-3)
R: 1
5. Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x * y = x + y + xy
Verifique a existência do elemento neutro.
Existe o elemento neutro e = 0.
6. O conjunto R dotado da operçao * tal que x * y = x + y2 é um Grupo?
Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
7. O conjunto de números reais e a operação multiplicação, possuem estrutura de grupo. Nestas condições, a propriedade que garante que seja um grupo abeliano é; COMUTATIVA.
8. Considere a operação binária * sobre R, definida por x * y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. m = n
Aula 2 – Tábua em um grupo finito
1. A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G. x = f
	2. Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11. 
	{(0,6)}
3. Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto de uma operação * apresentada na tábua de operação abaixo:
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares: 1, 2 e 5
4. Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
R: 
5. Calcule o produto (27) . (45) considerando Z10. R: 5
6. Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8. 
R: 1
7. = 3.
8. Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto z11. R: 4
Aula 3 - Subgrupos e Grupos Cíclicos
1. Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈∈ Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
R: Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1).
Logo, t*u ∈ 3Z.
Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   
Logo, t-1 ∈ 3Z.
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
2. A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G.
	R: x = c
3. Considere o grupo (Z10, + ). Determine o subgrupo gerado pelo elemento 3.
R: Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
4. A tábua abaixo com a operação * mostra o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine a ordem do elemento d.
R: o (d) = 3
5. Seja (G,*) um grupo. Se R e S são subgrupos então RᲘS é um subconjunto de G. Marque a alternativa que apresente a demonstração correta dessa preposição.
R: Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S contém o elemento e ∈ G, assim e ∈ R ∩ S . Isso mostra que R ∩ S ≠ Ø. Considere dois elementos x, y ∈ R ∩ S. Pela teoria dos conjuntos x,y ∈  R e x,y ∈ S. Pela hipótese  xy ∈ R e xy ∈ S então  xy ∈  R ∩ S  . Agora considerando um elemento x ∈ R ∩ S, temos x ∈ R e x ∈ S, pela hipótese x-1 ∈ R e x-1 ∈ S , temos então x-1 ∈ R ∩ S. Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G. 
6. A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G.
R: x = f
7. Podemos verificar de maneira mais simples a existência de subgrupo através de uma proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente essa proposição.
	R: 
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes propriedades: 
∀∀ h1,h2 ∈∈H, temos  h1h2 ∈∈H   e
 ∀∀ h ∈∈ H, ∃∃ h ∈∈H, tal que h ∈∈H.
8. Determine 2-4  em (Z, +).
R: -8
Aula 4 – Subgrupo normal e Grupo Quociente
1. Considere  o  grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i}  e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica  as classes laterais G.
R: {1,-1}, {i,-i}
2. Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então: R: A ordem de H divide a ordem de G
3. 
	R: O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H
4. Considere o Teorema de Lagrange:
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H,  O(H),  é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H). Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema.
	R: Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
5. Considere o grupo aditivo (Z6,+)  e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G. R: G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N}
Aula 5 – Homomorfismos, isomorfismos e permutações
1. 
R; 1 2 3 4
 2 3 1 4
2. 
R: (1234
 3124)
3. Consideremos o homomorfismo de grupos f: (ZxZ, +) → (ZxZ, +), 
f(x,y) = (x - y, 0). Determine o núcleo de f: R: N(f) = {(x,y) ∈ ZxZ/x =y}
4. Considere o seguinte resultado sobre isomorfismos de grupos:
Sejam m, n elementos de N*  tais que m|n. Se n = md, d é um elemento de N, então pelo Teorema do Isomorfismo concluímos que
 De acordo com o resultado apresentado, marque a alternativa correta.
 R: 
5. Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f. R; N9f) = {0}
6. Sejam os grupos (R+*, . ) e (R, +) e o homomorfismo f: R → R*+, f(x) = log x. Determine o núcleo de f. R: N(f) = {1}
7. Marque a alternativa correta; R; Seja f: A→B tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel
8. = 4
Aula 6 – Teoria dos anéis
1.
 O elemento neutro desse anel é: R: e = 0
2. Um anel A é um conjunto não vazio, munidos de duas operações internas: (+) adição e a (.) multiplicação, que satisfazem as seguintes condições:
I  - Em relação a adição(+): associativa, existência do elemento neutro, existência do elemento simétrico, comutativa. Em relação a multiplicação (.), temos: associativa, distributiva em relação a adição, existência do elemento neutro e a comutativa.
II - Em relação a adição(+): associativa, existência do elemento neutro, existência do elemento simétrico, comutativa.
III - Em relação a multiplicação (.), temos: associativa, distributiva em relação a adição, existência do elemento neutro e a comutativa. R: Somente a I é verdadeira
Por definição: Em relação a adição(+): associativa, existência do elemento neutro, existência do elemento simétrico, comutativa. Em relação a multiplicação (.), temos: associativa, distributiva em relação a adição, existência do elemento neutro e a comutativa.
3. Marque a alternativa correta que apresenta o elemento neutro do anel (Q,*, Δ) com as operações definidas por: a * b = a + b – 1
 a Δ b = a + b - ab
R: e = 1
4. Marque a alternativa correta que apresenta o elemento simétrico do anel (Q,*, Δ) com as operações definidas por: a * b = a + b -1 e a Δ b = a + b – ab. R: x’ = 2 – a
5. Com as operações de anel estudadas analise as proposições abaixo e sinalize as corretas: 
(I) (Z, +), (Q, +), (R, +) e (C, +) são grupos abelianosfinitos.
(II) (Zn , +),  n ∈ N ⋅ é um grupo abeliano finito com n elementos.
(III) Se A é um anel, então (Mn(A), +) é um grupo abeliano para cada n ∈ N
R: Apenas a II e III estão corretas
6. Com as operações induzidas pelas operaçoes de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operçao de multiplicação usual. R: nZ
7. Resolvendo a equação 3x + 2 = 6x + 7 no anel Z8 encontramos como solução: R: x = 1
8. Julgue as preposições abaixo e marque a alternativa correta.
(I) (A, + , . ) é um anel de funções de Z em Z
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano de A x B não é um anel.
(III) Seja k um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por Ak o conjunto de todas as funções de k em A. R: I e III estão corretas.
Aula 7 – Tipos de Anéis e propriedades
1. Indique nas alternativas abaixo a unidade do anel (Zm,+, .) para m ≥ 2 onde m é um elemento do conjuntos dos inteiros. R; 1
2. A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo: 
Se  (A, + ,⋅ ) é um anel  e  x,y,z ∈ A  então  (x - y)z = xz - yz.
R: Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
3. Identifique o anel abaixo com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade. R; 2Z
4. Um anel é um conjunto A, cujos elementos (x, y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as seguintes algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel comutativo. R; x . y = y . x
5. Marque a única alternativa correta sobre os anéis comutativos. R; (RR, + , . ) é um anel comutativo
6. A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: 
Seja A um anel, a um elemento de A e m, n elementos de Z, m(na) = (mn)a
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
R; Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
7. A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: 
Seja A um anel, a, b ∈ A e m ∈ Z temos: m(a + b) = ma + mb
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta
R: Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A  e m∈Zm∈ℤ.
Por indução sobre m verificamos que:
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1.
k(a + b) = ka + kb
Vejamos que é válido para m = k + 1.
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b.
9. Sejam A um anel e a, b ∈ A.
(I) a . 0 = 0;
(II) a . (-b) = (-b) . a = - b . a;
(III) (-1) . a = -a;
(IV) a + b = b + a;
Segundo as alternativas; 
R: Apenas a II está incorreta
Aula 8 – Subanéis e anel integridade
1. O anel Z6 admite quantos divisores de zero? R: 3
2. (Z, *, Δ) é um anel com as operaçoes x * y = x + y e xΔy = 0. Com relação a esse anel podemos afirmar que: R: não é um anel de integridade
3. Considere as seguintes informações:
(I) 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6.
(II) O anel Z7 possui divisores próprios de zero
(III) Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, se o mdc(x,m) = 1.
(IV) O anel das matrizes (Mn (A), + , .) tem divisores de zero para todo n ≥ 2.
Podemos afirmar que: R: Somente as alternativas I e IV são verdadeiras
4. Marque a alternativa que indica a definição correta de subanel.
R; Seja (A, +, .) um anel e S ≠ Ø um subconjunto não vazio de A. Dizemos que (S, +, .) é um subanel de A, se ele é um anel com as operações do anel A, isto é, S é fechado para as operações de adição e multiplicação, ou seja, x + y ∈ S  e xy ∈ S,  ∀ x,y `in´S, e  (S, +, .)  também for um anel. 
5. A definiçao de divisores de um anel diz que: Seja A um anel com as operaçoes usuais de adição e multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e  y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição marque a alternativa correta. R; 2, 3 e 4 são divisores próprios no anel Z6.
6. 
R; Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
7. Qual dos anéis abaixo pode ser definido anel de integridade. R: Q
8. Indique, entre as opções abaixo um exemplo de um anel A e um subanel B, tais que exista um elemento neutro multiplicativo de A, mas não exista um elemento neutro multiplicativo de B: R: A = Z e B = 2Z
Aula 9 – Elementos de um anel e corpo
1. Marque a alternativa correta:
R: Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀ x ∈ K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈ K tal que x.x-1 = 1.
2. No anel Z4 determine Reg(Z4). R: Reg(Z4) = {1,3}
3. Um anel comutativo com unidade k e denominado corpo se todo elemento não nulo de k possuir... inverso multiplicativo
4. Considere a seguinte proposição; Se k é um corpo, então k é anel de integridade. Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição.
R; Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e  y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
5. Marque a única afirmação correta; R; Todo anel de integridade finito é um corpo.
6. Determine U(Z12)  em Z12. R; U(Z12) = {1,5,7,11}
7. No anel Z6 determine Indep(Z6). R; Idemp (Z6 ) = {1,3,4}
8. = 5
Aula 10 – Homomorfismo e isomorfismo de anéis, ideais...
1. Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de anéis: 
R; Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
2. = 1
3. Considere a seguinte proposição:
Se I  e J são ideais de um anel A, então I ∩ J é um ideal de A,
I ∩ J = {x ∈∈A, x ∈∈ I e x ∈∈J}. A partir da proposição determine 2Z ∩ 3Z. R; 6Z
4. Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis.
R; Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
5. Marque a alternativa correta;
R; Seja f: A → B   tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel.
6. Marque a alternativa correta; 
R; 2Z é um ideal no anel Z.
7. Determine todos os ideais de Z8: R; {0}, {0,2,4,6}, {0,4} e Z8
8. Indique o ideal principal em Z6 gerados por [2]. R; {0,2,4}