Questão resolvida - A densidade em qualquer lugar de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do centro do círculo de raio , ou seja, (x,y)k(xy). Calcule a massa dessa placa utilizando coord

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- A densidade em qualquer lugar de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do 
centro do círculo de raio , ou seja, . Calcule a massa dessa placa α ρ x, y = k( ) x² + y²
utilizando coordenadas polares e a definição de massa, ou seja, m = ρ x, y dA∫∫ ( )
 
 a. □ kπa2
 b. □ k𝜋
a
 c. □
k𝜋
a2
 d. ⬛
k𝜋a
2
2
 e. □ ka
 
 
Resolução:
 
Como a lamina é simicircular, um esquema no eixo cartesiano que a representa é visto a 
seguir;
 
 
x
y
ρ x, y = k( ) x² + y²
Lâmina
α
α-α
Para encontrar a massa da placa, devemos resolver a integral dupla da curva que 
representa a densidade da lâmina;
 
m = ρ x, y dA m = k dA∫∫ ( ) → ∫∫ x² + y²
 
Em coordenadas cartesianas se torna complexo obter a solução dessa integral dupla, dessa 
forma, vamos transformar-lá em uma integral no eixo polar, para isso, fazemos as 
substiituições;
 
x = rcos 𝜃( )
y = rsen 𝜃( )
Então;
 
ρ x, y = k ρ 𝜃, r = k = k( ) x² + y² → ( ) rcos 𝜃 + rsen 𝜃( ( ))2 ( ( ))2 r cos 𝜃 + r sen 𝜃( )2 2( ) ( )2 2( )
 
Utilizando a identidade trigonométrica pitagórica : sen 𝜃 + 𝜃 = 12( ) cos2( )
 
Temos que;
ρ 𝜃, r = kr ρ 𝜃, r = kr( ) 1 → ( )
 
Como se trata de um semicirculo, essa expressão é representada da seguinte forma no eixo 
polar;
 
 
y
ρ 𝜃, r = k = k( ) r cos 𝜃 + sen 𝜃( )2 2( ) 2( ) r( )2 sen 𝜃 + cos 𝜃2( ) 2( )
ρ 𝜃, r = kr( )
Lâmina
α Eixo polarα
𝜃 = 𝜋
0
(1)
Apartir do esquema, podemos concluir que os limites de integração em vão de e em r 0 a α
 de , o diferencial da área é;𝜃 0 a 𝜋
 
dA = dxdy = drd𝜃
 
 Com isso, a integral dupla que fornece a massa da placa é dada por;
 
m = krdrd𝜃
0
∫
𝜋 α
0
∫
 
Resolvendo;
 
m = krdrd𝜃 = k d𝜃 = k - d𝜃 = k d𝜃 = k 𝜃 = k 𝜋 - 0
0
∫
𝜋 α
0
∫
0
∫
𝜋 r
2
2 α
0 0
∫
𝜋 α
2
2 0
2
2
0
∫
𝜋 α
2
2 α
2
2 𝜋
0
α
2
2
( )
 
m =
k𝜋α
2
2
 
 
y
(Resposta )