Lista 02 -Produto Escalar - Atualizada em 21-08-2020

Prévia do material em texto

PUC MINAS – GAAL – LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE PRODUTO 
ESCALAR – PROF. OSVALDO 
PRIMEIRA PARTE – EXERCÍCIOS DO LIVRO VETORES E GEOMETRIA 
ANALÍTICA , 2.ED. PAULO WINTELE 
.LIVRO ELETRÔNICO DISPONÍVEL PARA TODOS ALUNOS DA PUC NO 
SITE DA BIBLIOTECA. TODOS EXERCÍCIOS TEM RESPOSTA. 
Pg 66 : 1 até 13 , 15 , 17 , 20,25,27,31,40 ,41 ,44,49 . 
SEGUNDA PARTE – EXERCÍCIOS DIGITADOS 
SEGUNDA PARTE – EXERCÍCIOS DIGITADOS 
1.Sejam os vetores : a = (1,–m,–3), b = (m+3,4–m,1) e c = (m,–2,7).Determinar 
m para que a•b =(a + b )• c 
2.Sejam u = (1,1,1) e w = (0,2,2). Determine : 
a) O versor de u. 
b) O cosseno do ângulo formado por u e w 
c) a projeção ortogonal do vetor u na direção do vetor w. 
3.Verifique se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois. 
a) u = (2,-4) e v = (-1,2) 
b) u = (2,-4) e v = (4,2) 
c) u = (5,0,2) e v = (7 , 3,-2) 
4.Um vendedor vende a hamburgueres , b cachorros-quentes e c refrigerantes 
num determinado dia. Ele cobra R$3 o hamburger , R$2 o cachorro-quente e 
R$1 o refrigerante. Se u = (a,b,c) e v = (3,2,1), qual é o significado do produto 
escalar u.v? 
5.Verifique se os vetores v = (2, 10 , 3) e w = (5, 5, -20) são ortogonais . 
6.Determine o vetor que é a projeção de w = (-1, 2) sobre o vetor v = (3,4). 
7.Sejam os pontos A(2,3,1) , B(-1,2,0) e C(1,0,-1). 
𝑎) 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑠ã𝑜 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠. 
𝑏) 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 é 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗� 
�⃗⃗� =
�⃗� . 𝑣 
|𝑣 |²
 𝑣 
 
 
8.Seja u = (1,2,1) v = (2,3,4). Determine 
a) o versor de u. 
b) o vetor que é a projeção ortogonal se u sobre v . Faça um desenho com 
o vetor u , v e projeção ortogonal de u sobre v. 
𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗� �⃗� =
�⃗� . 𝑣 
||𝑣 ||²
𝑣 
9.Uma força dada pelo vetor F = 3i + 4j + 5k move uma partícula do ponto P(2,0,1) ao 
ponto Q(4,6,2). Determine o trabalho realizado. 
10.Um caixote de madeira é puxado 8m acima em uma rampa sob uma força constante 
de 200N aplicada em um ãngulo de 25º com a rampa. Calcule o trabalho realizado. 
 
11.Uma força constante com representação vetorial F = 10i + 18j – 6k move um objeto 
em linha reta do ponto (2,3,0) ao ponto (4,9,5). Calcule o trabalho realizado se a 
distância for medida em metros e a magnitude da força em newtons. 
RESPOSTAS 
1. m = 2 
2. 𝑎) (
1
√3
,
1
√3
,
1
√3
 ) 𝑏) 
√6
3
 c) (0,1,1) 
3. a) paralelos, b) ortogonais c) nenhum dos dois 
4. Significa quanto o vendedor arrecadou no dia. 
5. Sim, são ortogonais. 
6. (
3
5
,
4
5
) 
7. a) não são ortogonais b) (−
4
7
, −
12
7
, −
8
7
) 
8. 𝑎) (
1
√6
,
2
√6
,
1
√6
) 𝑏) (
24
29
,
36
29
,
48
29
) 
 
9. 35 
10. 1449,6 J 
11. 98 N