Questão resolvida - Ache o volume do cone de altura de 2 m e diâmetro de base 6 metros Utilize uma integral tripla - Cálculo b

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• Ache o volume do cone de altura de e diâmetro de base metros. Utilize uma 2 m 6
integral tripla.
 
Resolução:
 
Em coordenadas cartesianas, cone que desejamos o volume proposto é mostrado 
esquematicamente na sequência;
 
O calculo do volume deve ser feito usando coordenadas cilíndricas, dessa forma, o volume é 
dado por;
 
V = 1dV∫∫∫
O diferencial do volume é dado por;
 
dV = RdRd𝜃dh
 
Como se trata de um cone, com base circular, os limites de integração para o raio deve ser ir 
de a (raio do círculo da base), o deve variar de a e a altura vai variar 0 = 3
6
2
𝜃 0 2𝜋 h
segundo uma relação entre a altura e o raio da base do cone. A integral é a soma 
infinitesimal cilindros, já que vamos trabalhar com essa coordenada;
 
 
x
y
z
3-3
3
2
Ou seja, como visto no esquema, vamos ter infinitos raios e alturas para infinitos R h
cilindros; dessa forma, fazemos um corte do cone do esquema visto anteriormente e 
obtemos os seguintes triângulos;
 
Por semelhança de triângulos, temos a seguinte relação;
 
=
2
3
h
R
 
Temos que colocar em função de , assim, a medida que fomos integrando, a altura vai R h
diminuindo,ou seja;
 
h = 2 - z
Substituindo em 1,temos que;h
 
=
2
3
2 - z
R
Isolando ;z
 
 
3-3
3
2
Rh
3 m
2 m
R
h
= = 3 ⋅ 2 - z = 2R 6 - 3z = 2R -3z = 2R - 6 ⋅ -1
2
3
2 - z
R
→
2 - z
R
2
3
→ ( ) → → ( ) ( )
(1)
3z = -2R + 6 3z = 6 - 2R z = z = -→ →
6 - 2R
3
→
6
3
2R
3
→
z = 2 -
2R
3
Com isso, a altura vai variar de até a expressão encontrada em . Dessa forma, o volume 0 2
do cone por integral tripla é dado por;
 
V = RdhdRd𝜃
0
∫
2𝜋 3
0
∫
0
∫
2 -
2R
3
Resolvendo, temos;
 
 
V = 6𝜋 u. v.
 
 
V = RdhdRd𝜃 = Rh dRd𝜃 = R 2 - - R 0 dRd𝜃
0
∫
2𝜋 3
0
∫
0
∫
2 -
2R
3
0
∫
2𝜋 3
0
∫
2 -
0
2R
3
0
∫
2𝜋 3
0
∫ 2R
3
( )
0
V = 2R - dRd𝜃 = - dRd𝜃 = R - dRd
0
∫
2𝜋 3
0
∫ 2R
3
2
0
∫
2𝜋 2R
2
2 2R
3 ⋅ 3
3 3
0 0
∫
2𝜋
2
2R
3
3
2
3
0
 
 V = R - d𝜃 = 3 - - 0 - d𝜃
0
∫
2𝜋
2 2R
9
3 3
0 0
∫
2𝜋
( )2
2 3
3
( )3
2
( )2
2 0
9
( )3
 V = 9 - 2 ⋅ 3 - 0 d𝜃 = 9 - 6 d𝜃 = 3d𝜃 = 3𝜃 = 3 2𝜋 - 0 = 3
0
∫
2𝜋
[( ) ]
0
∫
2𝜋
( )
0
∫
2𝜋 2𝜋
0
( )
0
1
(2)
(Resposta )